垂线和平行线
一、本节学习指导
本节我们重点掌握垂线和平行线的概念和性质，知识点不多，注意多动手操作。对于垂线和平行线的画法我们必须掌握。
二、知识要点
1、垂直与平行：
（1）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
如下图一：“直线A和直线B是平行线；直线A的平行线是直线B”
（2）如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
如下图二：“直线A和直线B相互垂直；直线A是直线B的垂线；点C是垂足。”
2、画垂线：
（1）过直线上一点画这条直线的垂线方法？
把三角尺的一条直角边靠近直线，三角尺上的直角顶点靠近直线上的点，然后用笔沿另一条直角边画出直线就可以了。
（2）过直线外一点画这条直线的垂线方法？
把三角尺的一条直角边靠近直线，三角尺上的另一条边靠近直线外的点，然后用笔沿这条边画直线就可以了。
（3）把直线外一点A与直线上任意一点连接，所画线段哪个最短？
小结：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。
即“点A到直线所画的垂直线段最短；点A到这条直线的距离是10厘米”
3、画平行线：
（1）：怎样画平行线？
可以用直尺和三角尺来画平行线，先把三角尺的一条直角边紧靠直线，再把直尺紧靠三角尺的另一条直角边，这时沿直尺平移三角尺，再画一条直线就可以了。
（2）：在两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段，这些线段的长度特点？
小结：两条平行线之间的距离是相等的。
下图中，直线AB和直线CD平行，123三条线段垂直于AB，CD，则123条线段相等。
三、经验之谈：
记住本节中有两个非常重要的结论，一、直线外一点到直线的线段中垂线段最短；二、两条平行线之间的距离是相等的。
第八单元垂线与平行线 第10课时垂线与平行线（整理与练习） 教学内容： 教材第96、97页。 教学目标： 1、进一步认识射线、直线和角，掌握角的分类，会用量角器量角和画角。 2、进一步感受垂线和平行线的特点，能过一点画已知直线的垂线，会画已知直线的平行线。 教学重难点： 对本单元所学知识进行回顾和整理。 教具准备： 直尺、三角尺、量角器 教学过程： 一、回顾与整理 小组内交流：本单元学习了哪些知识，是怎样学会这些知识的。 对本单元所学知识进行适当的整理。 依次讨论教材提出的三个问题。 全班反馈。 二、练习与应用 1、教材第96页第1题。 学生按要求画出相应的线段和射线。 展示和交流。 提问：为什么画线段时可以指定线段的程度，而画射线时却不能。 2、教材第96页第2题。 学生量出每个角的度数。 说说每个角各是什么角。 具体说说量角的方法。 3、第3题。 先让学生说说用量角器画角的方法，再按要求画一画。 组织展示和交流。 4、第4题。 （1）出示左边的正方形，让学生按要求量出相关的度数，比较量得的结果，说
说有什么发现。 （2）出示右边的长方形，让学生分别量一量，说一说。 5、第5题。 读题，理解题目要求。 同桌同学相互指一指、说一说。 组织全班交流。 6、第6题。 读题。 说说怎样过点A分别画已知直线的垂线。 学生独立完成画图。 组织展示和交流。 三、探索与实践 1、第7题。 组织学生分别按要求折一折。 组织反馈与交流：你是怎么折的？有什么不同折法？ 2、第8题。 第（1）题，先让学生在小组里指一指、说一说，再组织全班交流。 第（2）题，先让学生在图中画出排水口的位置，再说明理由。 四、评价与反思 说一说自己在本单元学习中的表现，有哪些经验和收获，对本单元的哪些内容比较感兴趣，哪些内容还觉得有困难。 结合教材列出的指标，用给“★”涂色的方式进行评价。 教学反思： 教学内容： 教材第95页。 教学目标： 1、进一步巩固对垂线和平行线的认识，能正确把握平面上两条直线的位置关系。 2、进一步巩固对点到直线距离的认识，能过直线上或直线外一点画已知直线的垂线，会画已知直线的平行线。 教学重难点： 在动手操作中进一步巩固对垂线和平行线的认识，对点到直线距离的认识。教具准备： 直尺、三角尺、量角器
第五章相交线与平行线知识点、考点与典型例题 【知识要点】 1.两直线相交 2.邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。 3.对顶角 （1）定义：有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角 (或两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角) 。 （2）对顶角的性质：对顶角相等。 4．垂直定义：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是90°那么这两条线互相垂直。 5.垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短。 6．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，“平行”用符号“∥”表示，如直线a，b是平行线，可记作“a∥b” 7．平行公理及推论 （1）平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 （2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 注： （1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思：一是存在性；二是唯一性。 （2）平行具有传递性，即如果a∥b，b∥c，则a∥c。 8．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。 9．平行线的性质： （1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内） （2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内） （3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内） 10．平行线的判定 （1）同位角相等，两直线平行；（在同一平面内） （2）内错角相等，两直线平行；（在同一平面内） （3）同旁内角互补，两直线平行；（在同一平面内） （4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； 补充： （5）平行的定义；（在同一平面内） （6）在同一平面内 ．．．．．．，垂直于同一直线的两直线平行。 11.平移的定义及特征 定义：将一个图形向某个方向平行移动，叫做图形的平移。 特征：①平移前后的两个图形形状、大小完全一样； ②平移前与平移后两个图形的对应点连线平行且相等。 【典型例题】
四年级画垂线和平行线 练习题 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
1、过直线上一点画垂线 2、过直线外一点画这条直线的垂线 3、过一点画两条相交线和垂线 . . . 4、过直线外一点画这条直线的平行线 5、过一点画出下面这个角两边的平行线 6、过直线外一点画这条直线的平行线和垂线 . . . 2 、画出下面图形的高 3、画出下面图形的高 4、画一个上、下底分别是32厘米的梯形。 5、画一个长5厘米、宽3 6、画一个边长3厘米的正方形。 6 7、右图中有（ ）个梯形。 1、下面有四个点，经过其中两点画直线，你能画几条画出来。 · · · 9、在点子图上画一个等腰梯形和平行四边形，并画出它们的高。[共4分] 10. O 点画AC 的平行线。 点游到河对岸， 6.欢欢在要到河边提水，如何走路线最短 画出最短的路线。 的垂线段，并量出长度（就是O 点到它们的距离）（取整毫米） B 点画已知直线的垂线。 （1） （2） 六、拼剪类型 底 底 底 河 ·欢欢
1、在平行四边形内画一条线段，将其分成两相等的梯形。 2、在梯形里画一条线段，将其分成一个平 行四边形和一个三角形。 3、画一条线段，将其分成一个平行四边形和一个梯形。 4、画两条线段，将其分成三个三角形。 一、数角。数一数下图中各有几个角 （）个（）个（）个 二、数图形。数一数下图中各有几个平行四边形和梯形。1、 （）个平行四边形 （）个梯形 2、 （）个平行四边形，（）个梯形 3、数平行四边形 （）个（）个（）个 三、角度的计算。求下面图中指定角的度数。1、已知∠1=35°∠2= 2、已知∠1=90° ∠2=45°∠3= 3、已知∠1=130° ∠2= （），∠3=（），∠4=（）， ( )个 （） （） 4 、
初中数学相交线与平行线全集汇编及解析 一、选择题 1．如图，12180∠+∠=?，3100∠=?，则4∠=（ ） A ．60? B ．70? C ．80? D ．100? 【答案】C 【解析】 【分析】 首先证明a ∥b ，再根据两直线平行同位角相等可得∠3=∠6，再根据对顶角相等可得∠4． 【详解】 解：∵∠1+∠5=180°，∠1+∠2=180°， ∴∠2=∠5， a ∥ b ， ∴∠3=∠6=100°， ∴∠4=180°-100°=80°． 故选：C ． 【点睛】 此题考查平行线的判定与性质，解题关键是掌握两直线平行同位角相等． 2．下列说法中，正确的是（ ） A ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C ．垂于同一条直线的两条直线平行 D ．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角一定相等 【答案】B 【解析】 【分析】
根据平行线的性质和判定，平行线公理及推论逐个判断即可． 【详解】 A 、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项不符合题意； B 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项符合题意； C 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故本选项不符合题意； D 、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故本选项不符合题意； 故选：B ． 【点睛】 此题考查平行线的性质和判定，平行线公理及推论，能熟记知识点的内容是解题的关键． 3．如图，能判定EB ∥AC 的条件是（ ） A ．∠C ＝∠ABE B ．∠A ＝∠EBD C ．∠C ＝∠ABC D ．∠A ＝∠AB E 【答案】D 【解析】 【分析】 在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线． 【详解】 A 、∠C ＝∠ABE 不能判断出E B ∥A C ，故A 选项不符合题意； B 、∠A ＝∠EBD 不能判断出EB ∥A C ，故B 选项不符合题意； C 、∠C ＝∠ABC 只能判断出AB ＝AC ，不能判断出EB ∥AC ，故C 选项不符合题意； D 、∠A ＝∠AB E ，根据内错角相等，两直线平行，可以得出EB ∥AC ，故D 选项符合题意． 故选：D ． 【点睛】 此题考查平行线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行． 4．如图，下列能判定AB ∥CD 的条件有几个（ ） （1）12∠=∠ （2）34∠=∠（3）5B ∠=∠ （4）180B BCD ∠+∠=?． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】B
专题垂直和平行线 一、填空 1、线段有（）个端点，射线有（）个端点，直线（）端点。 2、两条直线相交成直角时，这两条直线就互相（）。 3.、在同一平面内，两条不相交的直线互相（）。相交成（）角时，两条直线互相垂直。 4、从直线外一点向直线画一条垂直线段，再画几条不垂直的线段，其中（）线段最短。 5、数学书相邻的两条边互相（），上下的两条边互相（）。 6、在一个正方形中有（）组对边互相平行。 7. 右图中有4条直线a,b,c,d,其中 d （）和（）互相平行 b （）和（）互相垂直 a c 7、在同一个平面内，两条直线和位置关系如果不平行，那它们肯定（）。 8、同一平面内，直线a与直线b互相垂直，直线c与直线a互相垂直，那么直线b与直c的关系是（） 9、经过一点可以画（）条直线；经过两点可以画（）条直线． 二、判断对错。 1、小方在纸上画了一条平行线。……（） 2、永不相交的两条直线叫做平行线。………（） 3、同一平面内的两条直线，不平行就互相垂直。（） 4、上午九时整，钟面上的时针和分针互相垂直（） 5、长方形相对的两条边互相垂直且平行。（） 6、同一平面内过直线外一点只能画一条直线和它垂直（） 7、在同一平面内，平行的两条直线永远不会相交。（） 8、平行线间的距离处处相等。（） 9、从直线外一点到这条直线只能做一条垂线。（）10、两条平行线之间只能作一条垂线。（） 三、选择。1、两条平行线之间的（）最短。 A、线段 B、直线 C、垂线段 2、正方形的相邻两边互相（）A、垂直 B、平行 C、重合 3、右图中有（）组平行线。 A、2 B、3 C、4 4、右图中一个是长方形，一个是正方形，则∠1（）∠2。 A、大于 B、小于 C、等于 D、无法判断 5、在同一平面内不重合的两条直线（）A 相交 B 平行 C 不相交就平行 四、作图题． 1．过直线外一点作已知直线的平行线和垂线。
第五章：相交线与平行线 平行线的性质三大技巧应用 我们已经学过了平行线的性质定理:两条直线平行,则同位角相等,内错角度相等,同旁内角互补.下面给大家列举一下,如何使用平行线的性质巧解试题. 一、三线八角必识记 所谓三线八角是指两条直线被第三条直线所截, 形成八个角,如图⑴,其中, 同位角有: 与 , 与 , 与 , 与 , 内错角有: 与 , 与 ,同旁内角有: 与 , 与 . 1. 如图,如果两条平行线被第三条直线所截得的八个角中,有一个角的度数已知,则( ) A、只能求出其余三个角的度数. B、只能求出其余五个角的度数. C、只能求出其余六个角的度数. D、只能求出其余七个角的度数. 二、加平行线的辅助线 2.如图⑶,一条公路修到湖边时,需拐弯绕过 湖通过.如果第一次拐的角∠A是110°, 第二 次拐的角∠B是140°, 第三次拐的角∠C,这时 的道路与第一条路平行,则∠C是( ). A、120° B、130° C、140° D、150° 8 1 2 3 4 5 6 7 图⑴ 1 2 4 3 6 5 8 7 图⑵ A B C D E F
6．如图10,AD∥EG∥BC，AC∥EF，则图中与∠1相等的角（不含∠1）有_____个，若∠1=40°，则∠AHG=_________。 转折角处巧添辅助线 学习了平行线的知识后，我们知道平行线有三 条性质，当两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。因此，在求解有关平行线中角的问题时，我们可以在转折点处添加辅助线------平行线，从而构造出特殊位置关系的角，为解题架桥铺路。下面举例加以说明。 1.如图AB//CD,?=∠?=∠721,120A 则D ∠的度数为 2.如图，己知 AB//DE,?=∠?=∠140,80CDE ABC ,则=∠BCD __ 3.如图，AB//CD, 若?=∠?=∠35,120DCE ABE ,则=∠BEC 度. F A B C D E H G 1 图10
整理成第八单元<垂线与平行线>知识点线段：有两个端点，不能延伸，能够量出长度有限长。 射线：一个端点，可以向一端无限延伸，不能量出长度，无限长。 直线：没有端点，可以向两端无限延伸，不能量出长度，无限长。 2，角的定义：从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。角通常用符号“∠”来表示。角由1个顶点，2条边组成。 3，角的大小：角的大小与两边的长短无关，与角两边叉开得大小有关 4、两点之间线段最短。一个点能画出无数条直线，两个点只能画出一条直线 5、连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离。 6，量角器：一个圆是360度，半圆是180度。把半圆平分成180等份，每一份所对的角的大小是l 度。记做1° （2）量角的方法：①点对点；（角的顶点，量角器的中心点）②边对边；（量角器的0刻度线，角的一条边）易错：看清楚0刻度线在内圈还是外圈。③再看另一边，度数看另一边。0度在里看里线，0度在外看外线。 （3）三角形三个角加起来都是180度。四边形（包括长方形，正方形梯形）的四个角加起来都是2×180=360.五边形内角和是540度。 ,7.钟面时间问题： 关于时针：因为周角是360°钟面上的一圈也是360度，而钟面上时针有12个整点刻度，也就是12小时。所以每两个整点刻度间的夹角也就是1小时是360°÷12=30°两小时就是2×30°=60°.时针走6小时就是6×30°=180° 关于分针：因为周角是360°钟面上的一圈也是360度，而钟面上分针有60个刻度，也就是一圈是60分钟。所以分针每分钟走360°÷60=6°两分钟就是2×6°=12°.分针走40分针就是40×6°=240° 8. 熟练记忆三角尺各个角的度数： 9、尖尖的三角尺度数分别是：30度、60度、90度，另一个三角尺45度、45度、90度。 用一副三角尺还能画出15度（60-45或45-30）、75度（45+30）、105度（60+45）、120度（90+30）、135度（90+45）和150度（90+60）的角。 9，.角的分类：0°＜锐角＜90°，90°＜钝角＜180°平角=180°，周角=360° （2）1个周角=2个平角=4个直角； 1个平角=2个直角；
平行线和垂线练习题 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
一、填空 1、线段有（）个端点，射线有（）个端点，直线（）端点。 2、两条直线相交成直角时，这两条直线就互相（）。 3.、在同一平面内，两条不相交的直线互相（）。相交成（）角时，两条直线互相垂直。 4、从直线外一点向直线画一条垂直线段，再画几条不垂直的线段，其中（）线段最短。 5、数学书相邻的两条边互相（），上下的两条边互相（）。 6、在一个正方形中有（）组对边互相平行。 右图中有4条直线a,b,c,d,其中 d （）和（）互相平行 b （）和（）互相垂直 a c 7、在同一个平面内，两条直线和位置关系如果不平行，那它们肯定（）。 8、同一平面内，直线a与直线b互相垂直，直线c与直线a互相垂直，那么直线b与直c 的关系是（）。 9、经过一点可以画（）条直线；经过两点可以画（）条直线． 10、一束鲜花20元，买4束送1束。李阿姨一次买4束，每束便宜（）元。 二、判断对错。 1、小方在纸上画了一条平行线。……（） 2、永不相交的两条直线叫做平行线。………（） 3、同一平面内的两条直线，不平行就互相垂直。………（）
4、上午九时整，钟面上的时针和分针互相垂直。……（） 5、长方形相对的两条边互相垂直且平行。………（） 6、同一平面内过直线外一点只能画一条直线和它垂直。………（） 7、在同一平面内，平行的两条直线永远不会相交。………（） 8、平行线间的距离处处相等。（） 9、从直线外一点到这条直线只能做一条垂线。（） 10、两条平行线之间只能作一条垂线。 （） 三、选择。 1、两条平行线之间的（）最短。 A、线段 B、直线 C、垂线段 2、正方形的相邻两边互相（） A、垂直 B、平行 C、重合 3、右图中有（）组平行线。 A、2 B、3 C、4 4、右图中一个是长方形，一个是正方形，则∠1（）∠2。 A、大于 B、小于 C、等于 D、无法判断 5、两条直线互相垂直，这两条直线相交成（）°的角． A 180° B 90° C 45° 6、在同一平面内不重合的两条直线（） A 相交 B 平行 C 不相交就平行 四、动手实践，操作应用。 1、过A点画已知直线的平行线。
第五章相交线与平行线 5.1相交线 5.1.1 相交线 邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 注意点： （1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； （2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角； （3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角； （4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 例：如图，三条直线交于一点，任意找出图中的四对对顶角． 错解：如图，对顶角为：（1）∠AOC 与∠BOD ； （2）∠AOF 与∠BOD ； （3）∠COF 与∠DOE ； （4）∠AOC 与∠BOE ． 错解分析：错解中把有公共顶点的角误认为是对顶角，导致（2）和（4）错误．如果对对顶角的概念没有真正理解 和掌握，在比较复杂的图形识别中会产生错误．对顶角就是：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线． 正解：（1）∠AOC 与∠BOD ；（2）∠BOE 与∠AOF ；（3）∠COF 与∠DOE ； （4）∠COE 与∠DOF ．（答案不唯一：∠ AOE 与∠BOF ，∠BOC 与∠AOD 也是对顶角） 5.1.2 垂线 1、定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 符号语言记作： 如图所示： AB ⊥CD ，垂足为O A B C D O
2、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 3、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. 4、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 5.1.3 同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角. 如图，直线b a ,被直线l 所截 1、∠1与∠5在截线l 的同侧，同在被截直线b a ,的上方， 叫做同位角（位置相同） 2、∠5与∠3在截线l 的两旁（交错），在被截直线b a ,之间（内） 3、∠5与∠4在截线l 的同侧，在被截直线b a ,之间（内），叫做同旁内角. 例： 如图，判断下列各对角的位置关系： （1）∠1与∠2；（2）∠1与∠7；（3）∠1与∠BAD ；（4）∠2与∠6；（5）∠5与∠8. 解：我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图. 如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD 是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角. 注意：图中∠2与∠9，它们是同位角吗？ 不是，∵∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成. 5.2 平行线及其判定 5.2.1 平行线 1、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥b . a b l 1 2 3 4 5 6 7 8 1 6 B A D 2 3 4 5 7 8 9 F E C A B F 2 1 A B C 1 7 A B C D 2 6 A D B 1 A F E 5 8 C
垂线和平行线练习题 一、判断题。 1、相交的两条直线一定互相垂直。(） 2、过直线外一点画已知直线的垂线，只能画出一条。（） 3、如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,它就一定与另一条 垂直。() 4、长方形相对的两条边是一组平行线。（） 5、两条平行线之间可以作无数条垂线,这些垂线的长度都相等。 ( ） 6、过直线外一点可以作无数条与这条直线垂直的直线。（) 7、同一平面内,两条直线不相交,就一定互相平行。（) 8、两条直线相交成四个角，如果其中一个角是直角，那么另外三 个角也一定都是直角。（） 9、9时30分,分针和时针成直角。( ) 10、平行线间的距离处处相等。（) 二、填空题。 １、两条直线相交成( ）时，这两条直线（）,其中一条直线是另一条直线的（),这两条直线的交点叫做（)。 ２、从直线外一点到这条直线所画的()的长度，叫做这点到直线的（)。 3、在（）内，不相交的两条直线( )，其中
一条直线是另一条直线的()。 4、课桌面相邻的两条边互相（)，相对的两条边互相（)。 5、平行线间的距离处处（）。 6、从直线外一点向已知直线画线段,( )最短。 三、选择题。 １、判断两条直线是否垂直可以使用（）。 A、三角板 B、量角器 C、直尺 2、两条直线互相垂直,这两条直线的交点叫做（)。 A、交点 B、垂足 C、端点 3、过直线外一点画已知直线的垂线,可以画（）。 Ａ、1条B、2条Ｃ、无数条 4、两条直线相交，如果其中一个角是９0°,那么其他三个角是( ）。Ａ、锐角 B、直角C、钝角 四、操作题。 1、过直线上一点画这条直线的垂线。
2、过直线外一点画这条直线的垂线。 ３、过直线外一点画这条直线的平行线。 4、用画平行线的方法，在下图的基础上画出一个长方形。 · · ·
知识点 1.相交线 同一平面中，两条直线的位置有两种情况： 相交：如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，其中以O为顶点共有4个角：∠1，∠2，∠3，∠4； 邻补角：其中∠1和∠2有一条公共边，且他们的另一边互为反向延长线。像∠1 和∠2这样的角我们称他们互为邻补角； 对顶角：∠1和∠3有一个公共的顶点O，并且∠1 的两边分别是∠3两边的反向延长线，具有这种位 置关系的两个角，互为对顶角； ∠1和∠2互补，∠2和∠3互补，因为同角的补 角相等，所以∠1＝∠3。 所以，对顶角相等 例题： 1.如图，3∠1＝2∠3，求∠1，∠2，∠3，∠4 的度数。 2.如图，直线AB、CD、EF相交于O，且AB CD 2_______， 127，则∠= ⊥，∠=? FOB__________。 ∠= C E A 2 O B 1 F D 垂直：垂直是相交的一种特殊情况两条直线相互垂直，其 中一条叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足。如图所示， 图中AB⊥CD，垂足为O。垂直的两条直线共形成四个直角， 每个直角都是90?。 例题： 如图，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O，∠1＝26?，求∠EOD，∠2，∠3的度数。(思考：∠EOD可否用途中所示的∠4表示？)
垂线相关的基本性质： （1）经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； （3）从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 例题：假设你在游泳池中的P点游泳，AC是泳池的岸，如果此时你的腿抽筋了，你会选择那条路线游向岸边？为什么？ *线段的垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。如何作下图线段的垂直平分线？ 2.平行线：在同一个平面内永不相交的两条直线叫做平行线。 平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。 如上图，直线a与直线b平行，记作a//b 3.同一个平面中的三条直线关系： 三条直线在一个平面中的位置关系有4中情况：有一 个交点，有两个交点，有三个交点，没有交点。 （1）有一个交点：三条直线相交于同一个点，如 图所示，以交点为顶点形成各个角，可以用角的相关 知识解决；
四年级数学-垂线和平行线测试题 一、判断题。（20分） 1、相交的两条直线一定互相垂直。（） 2、过直线外一和已知直线的垂线，只能作一条。（） 3、如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，它就一定与另一条垂直。（） 4、长方形相对两条边是一组平行线。（） 5、两条平行线之间可以作无数条垂线，这些垂线的长度都相等。（） 6、过直线外一点可以作无数条与这条垂直的直线。（） 7、两条直线不相交，这两条直线一定互相平行。（） 8、两条直线相交成四个角，如果其中一个角是直角，那么另外三个角也一定都是直角。（） 9、9时30分，分针和时针成直角。（） 10、平行线间的距离处处相等。（） 二、填空题。（第6题8分，其余每空2分，计24分） 1、两条直线相交成（）时，这两条直线叫做（）。 2、从直线外一点到这条直线所画（）的长度，叫做这点到直线的（）。 3、在（）内，不相交的两条直线叫做（）。 4、课桌面相邻的两条边是互相（）的。 5、从直线外一点向已知直线画线段，（）最短。 6、下面各是什么角？把它们按从小到大的顺序排列起来。 （）（）（）（）（）
三、选择题。（18分） 1、判断两条直线是否垂直可以使用（）。 A、三角板 B、量角器 C、直尺 2、两条直线互相垂直，这两条直线的交点叫做（）。 A、交点 B、垂足 C、端点 3、过直线外一点画已知直线的垂线，可以画（）。 A、1条 B、2条 C、无数条 4、图形＝是由两条（）组成的，∠是由两条（）组成的。 A、线段 B、射线 C、直线 5、两条直线相交，如果其中一个角是90°,那么其他三个角是（）。 A、锐角 B、直角 C、钝角 6、已知直线a与直线c互相平行，直线b与直线c互相平行。那么，直线a与直线 b ( )。 A．互相平行 B．互相垂直 C．无法确定 四、操作题。（25分） 1、过直线上A点画所在直线的垂线。过直线外B点画直线的垂线和平行线。（9） A· B· 2、用画平行线的方法，在下图的基础上画出一个长方形。（6）
① 2 1 21 ②12 ③1 2 ④ 优学教育------七年级数学下五六单元测试题 一、选择题：（每题2.5分，共35分） 1．下列所示的四个图形中，1∠和2∠是同位角．．．的是（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①④ 2．如右图所示，点E 在AC 的延长线上，下列条件中能判断．．．CD AB //（ ） A. 43∠=∠ B. 21∠=∠ C. DCE D ∠=∠ D. ο 180=∠+∠ACD D 3．一学员练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ） A. 第一次向左拐ο30，第二次向右拐ο30 B. 第一次向右拐ο50，第二次向左拐ο130 C. 第一次向右拐ο50，第二次向右拐ο130 D. 第一次向左拐ο50，第二次向左拐ο130 4．两条平行直线被第三条直线所截，下列命题中正确．． 的是（ ） A. 同位角相等，但内错角不相等 B. 同位角不相等，但同旁内角互补 C. 内错角相等，且同旁内角不互补 D. 同位角相等，且同旁内角互补 5．下列说法中错误．． 的个数是（ ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。 （2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种。 （4）不相交的两条直线叫做平行线。 （5）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6．下列说法中，正确．． 的是（ ） A. 图形的平移是指把图形沿水平方向移动。 B. 平移前后图形的形状和大小都没有发生改变。 C. “相等的角是对顶角”是一个真命题。 D. “直角都相等”是一个假命题。 E D C B A 432 1
相交线与平行线 一、目标与要求 1.理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认; 2.掌握对顶角相等的性质和它的推证过程; 3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力。 二、重点 在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角; 两条直线互相垂直的概念、性质和画法; 同位角、内错角、同旁内角的概念与识别。 三、难点 在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角; 对点到直线的距离的概念的理解; 对平行线本质属性的理解，用几何语言描述图形的性质; 能区分平行线的性质和判定，平行线的性质与判定的混合应用。 四、知识框架 五、知识点、概念总结 1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。 2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。 3.对顶角和邻补角的关系
4.垂直：两条直线、两个平面相交，或一条直线与一个平面相交，如果交角成直角，叫做互相垂直。 5.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。 6.垂足：如果两直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，它们的交点叫做垂足。 7.垂线性质 (1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 (3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 8.同位角、内错角、同旁内角： 同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。 内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。 同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。 9.平行：在平面上两条直线、空间的两个平面或空间的一条直线与一平面之间没有任何公共点时，称它们平行。 10.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 11.命题：判断一件事情的语句叫命题。 12.真命题：正确的命题，即如果命题的题设成立，那么结论一定成立。 13.假命题：条件和结果相矛盾的命题是假命题。
垂线和平行线测试题 一、判断题。（20分） 1、相交的两条直线一定互相垂直。（） 2、过直线外一点和已知直线的垂线，只能作一条。（） 3、如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，它就一定与另一条垂直。（） 4、长方形相对一两条边是一组平行线。（） 5、两条平行线之间可以作无数条垂线，这些垂线的长度都相等。（） 6、过直线外一点可以作无数条与这条垂直的直线。（） 7、两条直线不相交，这两条直线一定互相平行。（） 8、两条直线相交成四个角，如果其中一个角是直角，那么另外三个角也一定都是直角。（） 9、9时30分，分针和时针成直角。（） 10、平行线间的距离处处相等。（） 二、填空题。（20分） 1、两条直线相交成（）时，这两条直线叫做（）。 2、从直线外一点到这条直线所画（）的长度，叫做这点到直线的（）。 3、在（）内，不相交的两条直线叫做有（）。 4、课桌面相邻的两条边是互相（）的。 5、平行线间的距离处处（）。 6、从直线外一点向已知直线画线段，（）最短。 三、选择题。（10分） 1、判断两条直线是否垂直可以使用（）。 A、三角板 B、量角器 C、直尺 2、两条直线互相垂直，这两条直线的交点叫做（）。 A、交点 B、垂足 C、端点
3、过直线外一点画已知直线的垂线，可以画（ ）。 A 、1条 B 、2条 C 、无数条 4、图形＝是由两条（ ）组成的，∠是由两条（ ）组成的。 A 、线段 B 、射线 C 、直线 5、两条直线相交，如果其中一个角是90°,那么其他三个角是（ ）。 A 、锐角 B 、直角 C 、钝角 四、操作题。（40分） 1、过直线上一点画这条直线的垂线。 2、过直线外一点画这条直线的平行线。 3、过直线外一点画这条直线的垂线和平行线。 · · ·
相交线与平行线专题总结 一、知识点填空 1.两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线， 具有这种关系的两个角，互为_____________. 2.对顶角的性质可概括为： 3.两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相 互_______. 4.垂线的性质：⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直 ⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中， 5.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做 6.两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中:⑴如 果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________. 7.在同一平面内，不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线 的位置关系只有________与_________两种. 8.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 9.平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两 条直线平行.简单说成：_____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成： ________________________________________. 10.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线 _______ . 11.平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成： ⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成： __________________________________.⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：________________________________ . 12.判断一件事情的语句，叫做_______.命题由________和_________两部分组成. 题设是已知事项，结论是______________________.命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是，“那么”后接的部分是_________. 如果题设成立，那么结论一定成立.像这样的命题叫做___________.如果题设成立时，不能保证结论一定成立，像这样的命题叫做___________.定理都是真命题. 13.把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，图形的这种移动，叫 做平移变换，简称_______.图形平移的方向不一定是水平的. 14.平移的性质：⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完 全___ ___.⑵新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段_________________. 二：典型题型训练 15.如图，,8,6,10, BC AC CB cm AC cm AB cm ⊥===那 么点A到BC的距离是_____，点B到AC的距离是_______， 点A、B两点的距离是_____，点C到AB的距离是________． 16.设a、b、c为平面上三条不同直线，若//,// a b b c，则a与c的位置关系是 _________；若, a b b c ⊥⊥，则a与c的位置关系是_________；若// a b，
“垂线与平行线”知识点 1.灯射出的光线都可以看作射线。 2.把线段的一端无限延长，就得到一条射线。 3.把线段的两端都无限延长，就得到一条直线。 4.线段有两个端点，射线只有一个端点，直线没有端点。 5.线段可以量出长度，射线和直线都是无限长的，量不出长度。 6.射线、直线和线段都是直的。 7.A、B两点之间的所有连线中，线段最短。 8.连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离。 9.从一点引出的两条射线所组成的图形叫做角。 10.角是由一个顶点，两条边组成。 11.线段是直线的一部分。 12.量角器是度量角的工具。 13.把半圆分成180等份，每一份所对的角是1度的角。 14.“度”是角的计量单位，用符号“o”表示，如1度记作1o. 15.角的大小与两边叉开的大小有关，与边的长短无关。 16.经过一点可以画无数条直线。 17.经过两点只能画一条直线。 18.点点重，边边重，从零找角另一边。 19.直角=90o平角=180o 1平角=2直角 20.周角=360o 1周角=2平角=4直角 21.锐角比直角小，小于90o 22.钝角比直角大，比平角小。钝角大于90o，小于180o。 23.钟面上共有12大格，共360°,每一大格30°,每一小格6°。
24.一副三角尺有两只，其中含有的角度分别是45°，45°，90°；含有的角度分别是30°，60°，90° 一副三角尺可拼成的角有：15°，75°，105°，120°，135°，150°，180° 25、平行：同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线叫做另一条直线的平行线。 26、垂直：相交成直角的两条直线（互相垂直），其中一条直线叫做另一条直线的（垂线），交点叫做（垂足）。 作图题中，作完垂直一定要画上表示垂直的符号“∟”。 27、从直线外一点到已知直线所画的所有线段中，垂直线段最短。 28、从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。 29、平行线间所有垂直线段的长度都相等，所以说“平行线间的距离处处相等” 30、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线和平行线练习题 班级：姓名： 一、判断题。 1、相交的两条直线一定互相垂直。（） 2、过直线外一和已知直线的垂线，只能作一条。（） 3、如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，它就一定与另一条垂直。（） 4、长方形相对一两条边是一组平行线。（） 5、两条平行线之间可以作无数条垂线，这些垂线的长度都相等。（） 6、过直线外一点可以作无数条与这条垂直的直线。（） 7、两条直线不相交，这两条直线一定互相平行。（） 8、两条直线相交成四个角，如果其中一个角是直角，那么另外三个角也一定都是直角。（） 9、9时30分，分针和时针成直角。（） 10、平行线间的距离处处相等。（） 二、填空题。 1、两条直线相交成（）时，这两条直线叫做（）。 2、从直线外一点到这条直线所画（）的长度，叫做这点到直线的（）。 3、在（）内，不相交的两条直线叫做有（）。 4、课桌面相邻的两条边是互相（）的。 5、平行线间的距离处处（）。 6、从直线外一点向已知直线画线段，（）最短。 三、选择题。 1、判断两条直线是否垂直可以使用（）。 A、三角板 B、量角器 C、直尺 2、两条直线互相垂直，这两条直线的交点叫做（）。 A、交点 B、垂足 C、端点 3、过直线外一点画已知直线的垂线，可以画（）。 A、1条 B、2条 C、无数条 4、图形＝是由两条（）组成的，∠是由两条（）组成的。 A、线段 B、射线 C、直线 5、两条直线相交，如果其中一个角是90°,那么其他三个角是（）。 A、锐角 B、直角 C、钝角 四、操作题。
1、过直线外一点画这条直线的垂线。 2、过直线外一点画这条直线的平行线。 3、用画平行线的方法，在下图的基础上画出一个长方形。 4、过A点分别作这两条直线的平行线。 5、分别作出下面三角形的三条高。 7、过A点分别作这两条直线的垂线。 五、计算。
人教七年级下册数学相交线与平行线 5.1 相交线 邻补角、对顶角 对顶角相等 直线a 与直线b 互相垂直，记作a b 。 垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 垂线段最短。 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 同位角、内错角、同旁内角 5.2 平行线及其判定 5.2.1 平行线 在同一平面内，当直线a 与直线b 不相交时，我们就说直线a 与直线b 互相平行，记作//a b . 平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 即如果b a P ，c a P ，那么b c P . 5.2.2 平行线的判定 判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 同位角相等，两直线平行。 判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 内错角相等，两直线平行。 判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。 5.3 平行线的性质 5.3.1 平行线的性质 性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 两直线平行，同位角相等。 性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 两直线平行，内错角相等。 性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。两直线平行，同旁内角互补。 5.3.2 命题、定理、证明 判断一件事情的语句，叫做命题 命题由题设和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。 数学中的命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。 如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。 题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题中做假命题。 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。 5.4 平移