学校排课的优化模型
摘要
排课是学校的一项常规工作,也是学校教育教学管理过程中不可或缺的重要环节。在学校教务管理工作中，课程的编排是一项十分复杂、棘手的工作。它不仅关系到学校教学工作的正常运行、教学效果、学生发展及教学资源的整合和科学高效的利用,而且关系到教师的身心健康和教育教学质量。排课需要考虑时间、课程、教学区域、教室、班级、教师等多种因素。本文就此类问题进行讨论，并根据题目要求深入分析后，将该问题归结为优化问题，确定了“将教师、课程、教室三个因素优化组合，并并分配到课表上的不同时间段上，形成最终课表”的解决方案。首先建立各因素间关联关系，根据各因素间约束关系的不同，将多重约束条件为硬约束（强制要求）和软约束，写出各因素间的目标函数。其次，为课表上四个时间段随机分配课表，以0-1规划方法分别将教师、教室分配到课表上的不同时间段上。最终，形成了一份尽可能多的满足课程、教师、教室的要求的课表。本文采用0-1规划法、逐级优化法，并考虑多重约束条件，形成了一个良好的排课模型。并根据题目给出的数据，通过计算机编程，进行模型验证，求出了所需课表。且在方案合理性分析中用计算机模拟的方法分析了教室的种类对排课结果的影响，最后给出了教师、教室、课程的配置建议。
一．问题的重述
在学校的教务管理工作中，课程表的编排是一项十分复杂、棘手的工作。排课需要考虑时间、课程、教学区域、教室、班级、教师等多种因素。经优化的排课，可以在任意一时间段内，教师不冲突，授课不冲突，授课的班级不冲突，教室占用不冲突，且综合衡量全校课表在宏观上是合理的。如何利用有限的师资力量和有限的教学资源，排出一个合理的课程安排结果，对稳定教学秩序、提高教学质量有着积极意义。
某高校现有37个自然班，编号为1..N；教师共有79名，编号为1..M；有教室50间，编号为1..R；有课程数54.
课表编排规则：1.同一自然班不在同一时候参加不同教学班的授课；
2. 同一教师不能同时参加不同教学班的授课；
3. 一个教室不能同时开两门课程；
4. 满足课程的教室类型需求；
5. 学生人数不能超过教室容量；
6. 同一门课程尽量不在同一天开课两次及以上；
7. 一个自然班的课程尽量分布均匀到每天；
8. 教师上课尽量集中，同时一天尽量不要超过6节，最好4节
10. 晚上尽量不排课。
所要解决的问题：结合实际情况，对给出的N个教学班做出较为合理的课表编排方案，给出每个教学班的开课时间和地点，对教师上课尽
量集中，教室配置给出合理化建议。
二．模型假设
1.假设一周排课只有5天，且一天只上8节课；
2.假设每个班级的人数在40人范围内；
3.假设每位老师对课程及教室的安排满意无异议且无调课现象；
4.假设教学班的人数无大的变动；
5.假设不考虑老师的补课情况；
6.假设不考虑在特殊情况下，老师临时改动教室；
7.假设教学班所在教室的所有设备、仪器均是完好的；
8.假设不考虑每位老师对每个班级都有一张课程表；
9.假设没有特殊假期对课程安排的影响；
10.假设排课的目标是将课程全部编排；
11.假设在课程要求中的各项为强制要求，即“硬约束”；
12.假设每个班级对应的课程为强制要求，即“硬约束”；
13.假设在教师属性中，能胜任课程类别、周最大课时数为强制要求，即“硬约束”；
14.假设每天有四个时间段（每两个课时为单位，即一个时间段）；
15.当每一课程的课时数为奇数时，取大于他的最小偶数。
三．变量说明
m:为老师重新编号1..M
n:为自然班重新编号1..N
k: 星期一上午1,2=1 上午3,4=2 下午5,6=3 下午7,8=4 晚上9,10,11=5 星期二上午1,2=6 3,4=7 …… k=1..25
r:为教室重新编号1..R
t:为教学班的重新编号1..T
关于教学班的说明：这里的教学班指上某次课同一个老师给几个自然班一起上。
B k n,m,:m教师, n自然班,k时间B取值为0,1 0=没课1=有课
例：B111，，=0 表示1号教师对1号自然班星期一第1,2节没课
D k t,r,: r教室,t教学班,k时间D取值为0,1 0=空闲1=占有
例：D111，，=1 表示1号教室被1号教学班在星期一1,2节占用
A n m,:m号教师对n自然班一周的上课次数
H t:教学班t的课时长度2节为0 ，3节为1
C n:自然班一周的总课数
P t:教学班t的人数
PR r:r教室容纳人数
T t:教学班t所需要的教室类型1=nc 2=nm
R r:教室的类型r教室对应的类型1=nc 2=nm
四．模型的建立
目标函数
1. 一个自然班的课程尽量分布均匀到每天
Min G1=∑∑=N n 151|∑∑===M x x k B 1m 54,5k n,m,-[C n /5]| N n ? ,M m ?, 5..1?x
解释：
[C n /5]：自然班一周总课程除以5 平均每天应该上多少节； 2. 教师上课尽量集中，同时一天尽量不要超过6节，最好4节
Min G2=∑∑=M m ,151|∑∑===N x x k B 1n 54,5k n,m,-2| N n ? ,M m ?, 5..1?x
解释：这里2是指2个单元，1个单元2节课
3.晚上尽量不排课
Min G3=∑（(B k n,m, -0)*2） N n ?,25,20,15,10,5?k ,M m ? 解释：这里*2是指权重系数。
4.同一门课程尽量不要同一天开课两次及以上
Min G4=
∑
((∑-=x x k k n m B 545),,(-1)*2) N n ?,5..1?x ,M m ?,∑-=x x k k n m B 545),,(>1
解释：这里*2是指权重系数。
约束条件
1. 同一自然班不可能在同一时候参加不同教学班的授课；
11,,≤∑=R r k t r D T t ? ,25..1?k
课程时间安排数学建模公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
课程时间安排的优化模型 摘要 排课是教务运作中的一项重要工作，同时排课问题也是一个复杂的组合优化问题，对此问题的建模和求解，难度都非常大。多数情况下我们只是满足于求解问题的一个可行解，而对此可行解的进一步优化往往通过手工完成，效率很低。目前有很多计算机专家和数学专家都致力于对大规模排课问题的研究，在此我们给出一个规模相对较少，约束相对较少的较为简单的排课问题。解决排课中的问题，既能满足老师授课上机的要求又能满足学生对上机时间的合理安排。让学校、老师和同学的满意。 让老师满意，就是安排尽量少出现像同一天同一位老师上1-2节，7-8节，最好是1-2节面授然后4-5节课上机；让同学们满意，可从以下几方面考虑，比如，同一班级同一门课程，至少应隔一天上一次，另外对学生感到比较难学的课程尽量安排在最好的时段，上机时间要安排在面授课之后；让学校满意，就是尽量减少因出现问题而不得不为老师调课的次数。根据实际情况在具体模型建立过程中采用了0-1矩阵法，矩阵的乘法等数学方法，建立优化类数学模型来求解有效矩阵，根据有效矩阵初排课表，结合多方面因素建立修正矩阵，对初排课表逐层修改，得出最优排课表。并通过matlab实现算法和给出模型的解。 先将123班级课表和20张老师课表转换为0-1变量，有课改为0，没课改为1，组成两个矩阵，然后可用VB编程得到一个新的矩阵，两矩阵中元素都为1时，新的矩阵对应的元素就为1，即老师和班级同时有空时为1。将多目标函数转换为单目标函数，其他的要求可直接在约束条件中满足。然后用lingo软件编程解决（其约束条件和目标函数都可用lingo的语句表示出来） 关键词：排课问题 0-1矩阵矩阵的乘法优化目标矩阵 lingo VB 1 问题重述 排课是教务运作中的一项重要工作，同时排课问题也是一个复杂的组合优化问题，对此问题的建模和求解，难度都非常大。多数情况下我们只是满足于求解问题的一个可行解，而对此可行解的进一步优化往往通过手工完成，效率很低。目前有很多计算机专家和数学专家都致力于
数学建模培训课程体系设计探讨 王茂芝，徐文皙，郭科 （成都理工大学信息管理学院，四川成都 610059） 摘要：数学建模培训的目标是培养学生应用数学解决实际问题的能力．对参与数学建模培训的学生的能力要求主要包括： 对数学学科的宏观驾驭能力，分析和解决问题以及数学建模的能力，数学模型的求解能力以及对计算机工具和数学软件的使 用能力，数学迁移能力和创新能力等．数学建模培训课程体系设计包括以下几个阶段：准备阶段，建模预处理阶段，专题培 训阶段及模拟和实战阶段． 关键词：数学建模；工科数学；数学教学改革 中图分类号： G642.3，O29 文献标识码： A 文章编号：1004–9894（2005）01–0079–03 全国大学生数学建模活动对于全方位提高学生的素质 和能力；提升教师的教学水平、业务能力和科研水平；促进 工科数学的教学改革等方面都起到了积极有效的推动作 用．《数学模型》和《数学实验》课程的开设，数学实验室 的建立等多种教学方式、措施和手段的出现都是数学建模活 动的开展带来的实际教学改革成果．本文作者根据多年来组 织、指导全国大学生数学建模的实际，针对在数学建模培训 过程中所讲授的内容以及开设的专题，从数学学科的角度对 数学建模培训课程体系的设置进行一些探讨． 1 数学建模培训的目标 数学建模是把数学作为一种工具，并应用它解决实际问 题的教学活动方式．由于实际问题背景的复杂性和广泛性， 同时也因为数学学科涵盖范围的广泛性，导致在数学建模培 训过程中相关课程（或专题）的开设既要考虑到点，又要照 顾到面．在点和面相结合的同时，重点培养并提高学生的多
种能力．这样才能达到应用数学解决实际问题的目的 [1~3]． 由于大学生数学建模竞赛的主要参赛对象是大学二、三 年级的学生，所以参与培训的学生一般都具有一定的数学基础（基本都学过《线性代数》《高等数学》《概率论与数理统计》这 3门基础课程）．同时，由于数学建模集中培训（集 训）的时间有限，不可能在这么短的时间里把数学的相关基础课程和专业课程进行详尽地讲解．比较现实和可行的方法是：根据数学建模的目标要求以及数学学科的特点，通过开设一些专题讲座，有针对性地提高学生的能力． 1.1 数学建模培训的能力要求 经过多年的实践和探索，我们认为对于参与数学建模培 训的学生的能力要求有以下几个方面． 第一是对数学学科的宏观驾驭能力．也就是通过培训， 使学生对数学的学科划分、专业设置、相关课程设置、学科特点等都有一定的理解和认识．这实际上是一个占领制高点的过程，对于后续课程有一个清晰的脉络和清醒的认识．这 一步的完成在很大程度上可以使整个培训过程达到事半功 倍的效果．但前提是要求参与培训讲解的指导老师需要有较好的数学素养． 第二是对于一个给定的复杂问题背景，要学会理清两个 问题．一是透过问题背景知道告诉了我们什么已知信息；二是要求我们明确做什么，解决什么问题．然后紧密联系上面两个问题，实现两个量化．一是对已知条件的符号化和量化； 二是对需解决问题的转化和量化．最后，再联系自己对数学知识的把握、对数学建模方法的领悟，借助一系列数学工具（方程、函数、矩阵、向量等）把量化后的符号（变量）组 织起来建立数学模型． 第三是数学模型的求解能力，以及对计算机和数学软件
一、问题的重述 排课问题是高校制定教学计划、安排教学过程中的一项较为复杂的工作，在高校教务管理工作中处于重要地位。高校在每学期末都要根据培养计划和教学资源作出下学期的教学安排, 这主要体现在对课表的编排上。其中涉及的关键要素很多, 包括教师、班级、教室和授课时段等。根据排课总体目标、约束条件、及优先级, 充分利用紧缺资源, 设计并实现高校课表安排系统。我校所面临的问题主要有：第一，渭水校区有包括从大一至大三三个年级的学生，20个学院近700个班级，教学任务繁重，课表安排难度较大；第二，校区地处偏僻,距市区较远，老师上课需乘车来回奔波，如果课表安排不当，就会导致部分老师前往渭水乘车次数过多或在渭水逗留时间过长；第三，基于学生的学习规律与习惯，应根据课程的难度与重要性进行课程时段的安排，若安排不当，会导致学生的学习效果不佳；第四，为节省学校在校车往返方面的开支，安排课表时应尽量减少校车运行车次。为此应根据教学计划和排课要求,综合考虑教师、课程、班级和授课时段等因素，协调合理的编排课表,制作一个系统模型，根据这个模型使老师、同学和学校尽可能满意，并且具有足够的可行性和可变动性。让老师满意，即让每位老师一周前往渭水的乘车次数尽可能少，同时还要使每位老师在渭水逗留的时间尽可能少；让学生满意，即同一班级同一门课程在时间段上尽量间隔开来，另外相对重要的课程应尽量安排在较好的教学时段上；让学校满意，即节约学校开支，使每周派往渭水的车次尽可能少。 二、问题的分析 课表安排的主要任务是把各学院的课程汇总, 然后根据教学计划或教学环
节制订全校各班级的课表。根据学校的实际情况和学校所面临的问题，可以将这类题归为以老师、学生和学校的满意情况为多目标的多约束的规划问题。为了使课表的编排准确、合理、快速、高效, 充分利用学校资源，根据已知条件提出以下可行性要求： 1、课程的优先级：将大学所有课程分为三类，1）公共必修课：多个学院开设的课程，课程重要且开设的班级数最多，这类课尽量安排在最好时段；2）专业必修课：少数学院或一个学院开设的课程，课程重要且开设的班级数较多，这类课尽量安排在较好时段；3）其他如专业选修课或公共选修课等：少数班级开设的课程，课程相对简单，可以任意安排时段授课。 2、课程时段的规定：将每天分为5个时段(上午两个,下午两个,晚上一个)，并规定为：1-2节课为第一时段，3-4节课为第二时段……依此类推。根据学生的学习效果及课程难度与重要性，将课程时段按有利程度分为五个等级，即第一时段>第二时段>第三时段>第四时段>第五时段。 3、时间段的分配优先级：周一至周五的白天共20个时段用来安排公共必修课和专业必修课及部分选修课,每天晚上及周六、周日安排其他课程；先安排公共必修课表,在剩余的时间段安排各系专业课程，最后再安排选修课程；将相对重要的课程安排在较好时段。 4、时间段的有效性：1）同一班级同一门课的两次授课时间必须隔天，但相隔天数不宜超过两天；2）一个老师一天的两节课应连排, 即尽量安排在同一天上午或同一天下午, 为教师上课提供方便，同时也减少了派往渭水的车次 5、应避免各种冲突:1）教室不冲突, 同一教室同一时间不能安排两门课程，人数不能超过教室的最大容量；2）学生不冲突, 同一班级学生不能在同一时间
教务处排课系统建模 摘要：为解决教务处排课系统选课问题，通过对问题的分析，设计解决问题的主要数据结构，再设计出算法程序，从时间、教师、周开课次数、冲突检测及解决等方面处理排课问题。 关键词：排课系统，数据结构，算法，冲突检测，建模。 每年开学时需要选课，有时排课系统会出现各种各样的问题，一部分是因为排课系统本身的算法问题。设计一个合理算法对于学生选课方便至关重要，以下是一个排课系统的介绍。 1.排课系统的基本要求： 1.必修课尽可能的排在上午；例如，数学、英语、专业课等安排在上午，而 体育、计算机、实验等安排在下午。 2.一个教师如果上午连续上四节课，尽可能的将四节课都安排在一个教室； 3.一周上多次的课程尽可能间隔至少一天，比如高数，如果一周上六节课， 则尽可能安排周1、3、5上午上课；因此同一节的课程一周最多上六节课，且只能在周一、周三、周五。 4.同一专业的课程不能有冲突。 2. 问题的描述： 根据排课的优先级，应该先将全校各个专业本学期的专业课安排好，再考虑教师的教学问题，即如果某一个教师某天上午或下午连续教四节课，确保后一节课的教室号与前一节相同。判断同一课程一周上几次，一次则可以在五天中无课程的时间中随机抽取一天安排课程，两次则可以分为周一和周 三、周二和周四、周三和周五三周时间来排课，三次则只能是周一、周三、 周五一种排课时间。 3.基本算法的描述： 设要安排的课程为{ C1 , C2 , ., Cn} ,课程总数为n , 而各门课程每周安排次数为{ N1 , N2 , ., Nn} ;每周教学日共5 天,即星期一～至星期五;每个教学日最多安排4 次课程教学,即1 ～ 2 节、3 ～4 节、5 ～ 6 节和7 ～8 节(以下分别称第1 、2 、3 、4 时间段) . 在这种假设下,显然每周的教学总时间段数为5 ×4 = 20 ,并存在以下约束关系: n ≤20 (1) N = 6n，i =1，Ni ≤20 (2) 自动排课问题是:设计适当的数据结构和算法, 以确定{ C1 , C2 , ……, Cn } 中每个课程的教学应占据的时间段,并且保证任何一个时间段仅由一门课程占据. 4. 主要数据结构
数学建模：课程安排优化问题
2012年数学建模竞赛 参赛队员 题目 A题：课程安排优化问题 关键词排课问题，优化矩阵，有效矩阵 摘要 每学期的开学初，总有许多老师对阳光校区的课程安排很有意见，本文选取武汉纺织大学机械设计系的师生情况、课程、教室间数为研究对象，以课程与上课时间之间的关系矩阵为目标矩阵，通过用各影响矩阵优化目标矩阵的方法，对机械设计系的课表进行了重排。在具体模型建立过程中采用了0-1矩阵法，矩阵的乘法等数学方法，建立优化类数学模型来求解有效矩阵，根据有效矩阵初排课表，结合多方面因素建立修正矩阵，对初排课表逐层修改，得出最优排课表。 运用我们建立的数学模型，对武汉纺织大学机械设计系的课表进行重排，将所得新课表与现有的课表进行比较，显然新排的课表更加合理化、人性化。根据新课表中每节课对应的相关因素（课程名称、教室、老师、班级）进行分析整合，可衍生出新的安排表（如通过对不同时间段上课老师人数的研究安排校车的接送）。我们以学校、教师和学生对所排课表满意度作为衡量标准，以···大学机械设计系的课表为例，可得学校、教师和学生对我们所排课表的满意度主因素分别为校车接送次数、在阳光校区逗留时间、专业课排在早上，可见对本模型使三方的满意度基本均衡且都超过80%，即做到了三者兼顾的满意最大化。最后，根据我们建立的模型，分析了模型的优缺点。
一、问题重述 我校现有三个校区，有在校学生近25000人，其中阳光校区在校学生人数最多。阳光校区现有四栋教学楼，分别是3号、6号、7号和8号楼，四栋教学楼之间有较大的距离，如从3号楼到8号楼步行需要约10分钟。我校的学生作息时间安排中，一天共有13节课，划分为5个时间段，分别是1-2节、3-5节、6-8节、9-10节、11-13节。按学校的规定同一门课程一天中最多可集中上3节课，一周不得超过6节。同一年级的相同课程可以合班上课，合班一般由各个院系或公共课教学部门给出具体安排。每学期临近结束时，学校教务处根据各个专业的培养计划向各院系下达下一学期的教学任务，由各个专业将教学任务分解到具体的任课教师，然后由教务处排出下一学期的课程表。每学期我校的课程表排出并开始运行后都会受到师生的抱怨。有学生说自己的课程分布不均衡，某天要上10节课，而某天又一节课都没有；有的学生抱怨一天中要在不同的教学楼之间反复奔波；有的教师抱怨自己的课程安排太分散，从南湖跑到阳光路上要花近两个小时，却只上两节课，这样太浪费时间。由此可见，我校的课程安排尚存在一些不太合理的地方，有进一步优化的必要。针对这一问题，请完成以下任务： 一.了解我校师生对课程安排的需求； 二.了解我校课程安排的相关规定； 三.收集与课程安排相关的数据； 四.建立我校课程安排的优化模型，分析模型的优缺点。 二、问题分析 首先，解决班级、课程与教师之间的多对多关系，例如当出现多个班级上同一门课而该由多个教师任教时，课程是否合上，由哪几个班级合上、哪位教师任教的问题。解决上应满足可 手动调整的要求。然后，取出全部班级，求出班级所上课程的优先级总和，按优先级高低排定班级顺序，按此顺序且遵照排课规则为每一个班级的每一门课程安排上课时间与地点。 首先，要进行预排课处理。预排课处理的目的是要解决两个基本问题: 1) 班级与课程之间的多对多关系，即合班上课的问题; 2) 课程与教师之间的多对多关系，即为每门课程安排任课教师。在预排课处理完成后，以班级作为外部大循环、以课程作为内部小
“管理系统数学建模”课程教学大纲 英文名称：Management system mathematic modeling 课程编号：MAGT3776 学时：32 （理论学时：30 实验学时：0上机学时：0课外学时：20）学分：2 适用对象：行政管理，社会保障专业 先修课程：高等数学，线性代数，运筹学、经济博弈论 使用教材及参考书： [1]经济数学模型教改组编.经济数学模型.西安：西安交通大学理学 院,2005. [2]齐欢，代建民，奇翔.公共部门数学建模方法及案例.北京：科学出 版社，2007. [3]高洪深.经济系统分析法.北京：清华大学出版社，2007. [4]谭跃进，陈英武，易进先.系统工程原理.长沙:国防科技大学出版社， 1999. [5]谢识予.经济博弈论.上海：复旦大学出版社，2002. 一、课程性质和目的 性质：专业应用课 目的：使本专业学生掌握数学建模方法，并能应用到专业领域。 二、课程内容简介 本课程通过对初等经济方法模型、微分学模型、线性代数模型、随机决策模型和AHP、博弈论的相关知识、MATLAB的基
本功能和使用等知识的学习，让学生对管理系统数学建模的知识有所掌握，使本专业学生的定量分析能力进一步得到提高，增加学生对所学知识的应用能力和实践能力，把管理学与经济学的相关知识应用到数学建模中去。 三、教学基本要求 1．熟练掌握初等经济方法模型 2．掌握微分学模型 3．熟练掌握线性代数模型 4．掌握随机决策模型和AHP 5. 掌握博弈论的相关知识 6．熟悉MATLAB的基本功能和使用 四、教学内容及安排 第一章：公共部门数学建模概论 1.公共管理与数学建模概况 2. 复杂科学与公共管理 教学安排及教学方式
第1讲MATLAB及 在数学建模中的应用 ? MatLab简介及基本运算?常用计算方法 ?应用实例
一、 MatLab简介及基本运算 1.1 MatLab简介 1.2 MatLab界面 1.3 MatLab基本数学运算 1.4 MatLab绘图
1.1 MatLab简介?MATLAB名字由MATrix和 LABoratory 两词组成。20世纪七十年代后期, 美国新墨西哥大学计算机科学系主任Cleve Moler教授为减轻学生编程负担，为学生设计了一组调用LINPACK和EISPACK库程序的“通俗易用”的接口，此即用FORTRAN编写的萌芽状态的MATLAB。
?经几年的校际流传，在Little的推动下，由Little、Moler、Steve Bangert合作，于1984年成立了MathWorks公司，并把MATLAB正式推向市场。从这时起，MATLAB的内核采用C语言编写，而且除原有的数值计算能力外，还新增了数据图视功能。
?1997年春，MATLAB5.0版问世，紧接着是5.1、5.2、5.3、6.0、6.1、6.5、7.0版。现今的MATLAB拥有更丰富的数据类型和结构、更友善的面向对象、更加快速精良的图形可视、更广博的数学和数据分析资源、更多的应用开发工具。 ?20世纪九十年代的时候，MATLAB已经成为国际控制界公认的标准计算软件。
?MATLAB具有用法简易、可灵活运用、程式结构强又兼具延展性。以下为其几个特色： ①可靠的数值运算和符号计算。在MATLAB环境中，有超过500种数学、统计、科学及工程方面的函 数可使用。 ②强大的绘图功能。 MATLAB可以绘制各种图形，包括二维和三维图形。 ③简单易学的语言体系。 ④为数众多的应用工具箱。
排课问题分析 摘要： 本题要求我们对多约束条件的典型组合进行分析，求解，并作最优化处理。基于此种原因，我们先对各个元素间的冲突做预处理，进行约束条件的规划，再通过matlab软件将教室、教师、课程和时间间的约束条件统一化，构成R-T-C表（详见附表），再将各个元素进行优先级的计算，从而根据排课的优化模型，求出最优解。 经过对所给的表格，数据的深入分析，我们可以得知，教师明显缺少，比如课程学时要求有160个课时，然而教师能上的课时仅有116个课时，所以开始排课时，不考虑教师，向教师中安排课程。?由于同类课程最好不要放在一起，同时根据老师的需求和教室的开放时间进行分配，经过与我们实际的课表的排课情况的分析，比如隔一天排同一课，课程类别不同的课程不在同一时间上课，我们可以大致的排出一个按教室上课的表，即R-T-C表。通过对R-T-C表的分析，发现有很多课没老师上和老师没课上的情况，我们就对其进行相应的，合理的调整。最后发现还是老师要外聘。将外聘14名老师去上相应没人上的科目，具体情况见附表。 最后，我们得到了一张相对优化的，以教室为准的课表（详见附表），从而解决问题（1）的要求。对于我们课表的安排，发现再没对晚自习有其他条件约束是不会对所排的课表有所影响。 关键词：排课问题组合规划多目标函数数据量化优先级 一、问题重述 对于有课程40门，教师共有25名，教室18间的条件下合理的安排课程表，而课程、教师、教室的具体属性及要求详见附表（表1，表2，表3） 对于课表德编排，题目有如下规则：每周以5天为单位进行编排；每天最多只能编排8节课（上午4节，下午4节），特殊情况下可以编排10节课（晚上2节），每门课程以2节课为单位进行编排，同类课程尽可能不安排在同一时间。 要求所要解决的问题： 1.请你结合实际情况建立数学模型，通过编程计算，给出较为合理的课表编排方案，分析 你所给出的方案的合理性。 2.如果不准晚上排课，排课结果是否有所变化，如何变化？ 3.对教师聘用，教室配置给出合理化建议。 二、问题分析 随着现代教学的改革及各项教育工程的实施，新的教育体制对课表的编排提出了更高的要求。但现实生活中，排课问题屡屡皆是，小学如此，中学如此，大学更是如此，不仅科目多样，而且教室、老师多变，这使得排课问题往往是很令人费解的。经过分析，排课问题就是的多资源组合问题，问题的求解就是找出各个元素间的对应关系。进而将各个元素间的联系进一步确定，转化成一个可以量度其大小的值，从而确定优先级，而我们又将如何确定各元素间的关系，目标函数的确定？ 根据已有知识可以知道，本题主要分析的是建立一个排课的优化模型。而它是一个在课程类别、教师编号、教师及时间上的一个四维空间模型，在各种约束条件下的组合规划
《数学建模》课程教学大纲 课程编号： 总学时数：32 总学分数：2 课程性质：专业必修课 适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学 一、课程的任务和基本要求： 课程的性质和任务： 数学建模是数学与应用数学专业、信息与计算数学专业的一门必修课程，是大学数学课程的重要组成部分，它是在数学分析、高等代数、概率论与数理统计等课程基础上开设的重要教学环节，它将数学知识、实际问题与计算机应用有机地结合起来，旨在培养学生运用所学知识解决实际问题的意识和创新思维，激发学生学习数学的兴趣，了解数学广泛的应用领域，提高学生的综合素质和分析问题、解决问题的能力。 课程的基本要求： 1、在大学数学基础课的教学内容基础上进一步突出培养学生解决实际问题的能力； 2、学会运用数学知识建立实际问题的数学模型并求解，对较复杂的问题能够使用数学软件或编程求解； 二、基本内容和要求： （一）建立数学模型 内容： （1）初等建模示例：椅子能在不平地面上放稳吗，预报人口增长等； （2）有关数学建模的基本知识。 目的和要求： 理解数学模型的意义、内容和方法，掌握建立数学模型的一般步骤。 （二）初等模型 内容： （1）建模示例：公平席位分配，双层玻璃窗的功效等； （2）讨论与交流：录音机计数器，商品的包装。 目的和要求： 由建模实例进一步了解和熟悉建模的方法和步骤，了解对实际问题的分析、抽象过程，基本掌握用初等方法建立数学模型。 （三）简单的优化模型 内容： （1）建模示例：存储模型，森林救火，最优价格等； （2）讨论与交流：冰山运输 目的和要求： 基本掌握建立静态优化模型的一般方法，会利用微分法解决优化问题。 （四）数学规划模型 内容： （1）建模示例：奶制品的生产与销售，汽车生产与原油采购，钢管和易拉罐下料等； （2）讨论与交流：自来水的输送，接力队员的选拔 目的和要求: 理解规划优化模型的思想与意义，掌握建立规划模型的一般方法，能够利用优化软件求解规划模型的解。
魅力数模美丽力建力建学院第六届数学建模竞赛 自信坚强团结创新 论文题目课表编排0-1规划模型 参赛编号 2008tj0804 监制：力建学院团委数学建模协会（2010年11月）力建学院第六届数学建模竞赛
承诺书 我们仔细阅读了第六届建工数学建模竟赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。 我们的参赛编号为：2008tj0804 参赛队员(签名) ： 队员1：叶庆 队员2：靳小龙 队员3：胡传鹏 课表编排问题
第一部分 摘要： 本文根据制定课表时需考虑的问题,建立了冲突最少的0-1规划模型； 求解得课表，并根据所得结果对教师聘用,教室的配置,来做出合理的建议。 考虑目标函数时，分析课表编排要符合的条件为：课程要求、教师课程编排尽量分散、同课程编排尽量分散、教师超出工作量尽量少。则我们 目标函数冲突最少分解为：各门课程各自不符合程度总和最少、各教师各 自课程编排分散程度总和最大、各门课程编排分散程度总和最大、各教师 超出工作量程度总和最少。 考虑约束条件时，分析附录中的相关数据,得到课程编排的影响因素有,时间,教室,课程等，则可以根据此来约束目标函数。 根据以上考虑因素建立系统递阶图,使目标更清晰。建立空间向量，已知数据与空间向量一一对应。根据课程要求与实际编排差距最少原理，建立目标函数。加上课表编的约束条件,进行优化,用Matlab求解课表. 再根据求解得课表与相关系数指标为教师聘用,教室的配置,来做出合理 建议. 关键词：课表编排系统递阶图空间向量 第二部分 一、问题重述 某高校现有课程40门，编号为C01～C40；教师共有25名，编号为T01～T25；教室18间，编号为R01～R18。具体属性及要求见表1，表2，表3： 课表编排规则：每周以5天为单位进行编排；每天最多只能编排8节课，上午4节，下午4节，特殊情况下可以编排10节课，每门课程以2节课为单位进行编排，同类课程尽可能不安排在同一时间。 你所要解决的问题： 请你结合实际情况给出较为合理的课表编排方案，分析你所给出的方案的合理性。对教师聘用，教室配置给出合理化建议。 二、问题的分析 问题分析为先建立合理的课表编排方案，再从课表编排方案中分析对教师聘用，教室配置给出合理化建议。 针对问题一： 1、该问题要求给出合理的课表编排方案，分析如下： （1）、总体上尽量使每门课程符合要求，即求各门课程各自不符合程度总和最低；（2）、总体上使同一老师的课程尽量分散，即求其总各教师各自课程编排分散程度总和最大； （3）、总体上使每门课程的编排尽量分散，即求各门课程编排分散程度总和表达式最大；
数学实验与数学建模 实验报告 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 完成时间：年月日
承 诺 书 本人承诺所呈交的数学实验与数学建模作业都是本人通过学习自行进行编程独立完成，所有结果都通过上机验证，无转载或抄袭他人，也未经他人转载或抄袭。若承诺不实，本人愿意承担一切责任。 承诺人： 年 月 日 数学实验学习体会 （每个人必须要写字数1200字以上，占总成绩的20%） 练习1 一元函数的图形 1． 画出x y arcsin =的图象. 2． 画出x y sec =在],0[π之间的图象. 3． 在同一坐标系中画出x y =，2x y =，3 x y = ，3x y =，x y =的图象. 4． 画出3 2 3 2)1()1()(x x x f + +-=的图象，并根据图象特点指出函数)(x f 的奇偶性. 5． 画出)2ln(1++=x y 及其反函数的图象. 6． 画出3 21+=x y 及其反函数的图象.
练习2 函数极限 1．计算下列函数的极限. (1) x x x 4 cos 1 2 sin 1 lim 4 - + π → . 程序： sym x; f=(1+sin(2*x))/(1-cos(4*x)); limit(f,x,pi/4) 运行结果： lx21 ans = 1 (2). 程序： sym x; f=(1+cos(x))^(3*sec(x)); limit(f,x,pi/2) 运行结果： lx22 ans = exp(3) (3) 2 2 ) 2 ( sin ln lim x x x - π π → . 程序： sym x; f=log(sin(x))/(pi-2*x)^2; limit(f,x,pi/2) 运行结果： lx23 ans = -1/8 (4) 2 1 2 lim x x e x →. 程序： x x x sec 3 2 ) cos 1( lim+ π →
高校排课优化模型 一、问题的提出 随着高校不断扩招，班级数量也不断增加，且各班级有不同的开课计划，而教室数量有限，因此课程表的编排是高等学校教学管理中的一个难题。课程安排的优劣直接影响到教学质量，为了保证在完成教学任务的基础上提高教学质量，我们在编制课程安排时，应尽量使时间、教师、学生、教室合理，均匀，而不冲突地分配。教学资源得到合理、充分的配置，对提高教学质量是至关重要的。因此，尽管我们无法做到课程安排使上课时间绝对均匀，但我们应尽量编制一个简便、可行性强的较优课程安排表。在此背景下出现下面问题：现有数学系6个教学班，其中一年级、二年级各2个，三年级、四年级各1个。各年级的开课计划如下（表一）。可以供使用的教室数量为4个，每周上5天课，每天上午可排4节课，下午可排3节课，但星期二下午不排课。另外，有一个计算机实验室，计算机基础、数学实验和程序设计语言三门课程需要安排在该实验室。担任这6个班级教学任务的13名教师的授课任务如下（表二）。 表一 表二 根据以上一组简化的数据来讨论以下问题： ⑴给这6个班编制一个课程安排表。 ⑵寻找一个通用性的排课方法。
2 二、问题的分析 所考虑的就是如何安排课程，使得各班、各门课程和各位教师的上课时间都比较均匀。对于第一问，我们要解决的问题是：⑴将问题符号化，即用符号数字代替文字说明，简化题目。⑵给出一个符合限制条件的课程安排表。 第二问：排课过程中常要满足各种各样的约束条件，纵观这些约束条件，它们对排课过程产生的影响主要集中在两个方面，一种是对特定资源的需求（时间资源、空间资源）导致了局部资源瓶颈的产生，使得虽然总体上满足有解条件，但局部不满足有解条件而导致求解失败。另一种是对课时排布特性的要求，例如排课要求课时安排有连续性，即在一门课程的一个进程内，编排的课程表在此进程内的任意两个周的授课节次应当是一致的。所以要找到一个通用性的排课的方法，就要解决这两方面的问题。 三、模型的假设 ⑴假设某一课程参加的总人数小于所安排的教室的座位数。 ⑵假设任一个可以使用的教室（除计算机实验室外）其设备配置相同。 ⑶假设任意两个班都没有在同一时间同一教室上同一课程，即没有两个班混合上的大课。 ⑷假设任一门课程都是两节课连上，没有单独的一节课。 四、模型的建立与求解 第一问： 将这6个班级分别记作A1、A2、B1、B2、C 、D ，4个教室分别记作①、②、③、④，计算机实验室记作⑤。 下面给了一个这6个班的课程安排表（表四、表五、表六、表七、表八、表九）： 表四
《数学建模》课程教学计划 第一部分：数学建模理论教学内容 一、开设数学建模课程宗旨 数学模型方法是数学领域中的一个重要分支，是随着计算机技术的广泛应用飞速发展起来的一门数学学科。它利用数学理论与方法，通过计算机技术手段来解决复杂的实际问题。应运而生的《数学建模》课程注重学生的创造性思维和创新意识的培养，将实践检验放在重要的地位，以提高学生从事现代科学研究和工程技术开发的能力为目标。 二、课程设计特点 本课程的教学内容设计充分考虑课程特点：创造性，综合性、实践性。 [1] 强调数学理论与实际应用并重，既重视理论的完整性又兼顾应用的适用性。 [2] 充分考虑我校不同专业学生的原有数学基础，同时加深拓展学生的数学基础和知识面，补充了最优化、多元统计分析、组合数学与图论等部分理论知识。 [3] 以介绍数学建模方法为主线，同时介绍不同数学分支的经典数学模型。 [4] 将理论教学与实验实践环节相结合，统筹安排理论教学与建模实验设置内容。 [5] 教学内容由浅入深，循序渐进，并配有对应的不同层次实践型练习题目。 [6] 设置足量的数学建模案例供教师课堂组织讨论或作案例分析用，供学生练习用。 二、课程内容体系结构 [1] 掌握量纲分析建模法、机理分析建模法等基本建模方法，重点掌握建模创新思维方法。 [2] 掌握数学建模的一般流程：模型的整体设计、模型假设、变量的数学描述、数学模型求解、模型解的分析与检验。 [3] 掌握各类基于数据的经验模型建立方法：拟合法、回归法、层次分析法，以及数据的识别与整理，数据的误差分析。 [4] 模拟模型的应用以及动态（静态）系统的模拟技术。
[5] 掌握线性规划、非线性规划、组合数学与图论的部分基本概念以及相应模型的建立方法。 三、课程重点与难点 1. 重点与难点 本课程教学中的重点是培养学生应用数学知识建立数学模型的意识及能力，难点是培养学生独立解决实际问题的实际动手能力。
数学建模排课系统
监制: 数学建模协会 计算机上机课安排 摘要 本模型用于较为方便的排课，其步骤主要分三个部分。 第一部分主要解决那些学生空课特别少的特殊班级，由于此种班级可供选择的空课时间不多，故而最为优先的进行考虑。这一部主要靠人工完成。 第二部分也就是本模型的核心部分，用于初步解决余下班级的排课问题。首先将老师和学生的课表转化成相应的0-1分布的形式，然后利用所确定的优先级别，对课表中学生空课状态（记为X1），老师在原任课天内空课情况（记为X2）根据不同时段的空课情况赋予不同的值，以及实验室每个时段的上机占有情况（X3），即可通过参数的大小反应各个空课处优先被安排的程度，然后将老师的课表矩阵与其所教班级的课表矩阵相加，使得学生上午优先、教师指导自己班学生最大化及实验室占有情况同时考虑，找出Y（Y= （X1+ X2 +X3）*e）最大值处的坐标，即为该班级上机实践应该安排在课表中的位置。而将0-1分布的矩阵转化为带有优先级别的矩阵通过Matlab很容易的实现，两个矩阵的相加也可以通过Matlab实现。 这一模块将在智能化排课的过程中用到两次。第一次，把老师任课天内可以指导自己所教班级最大限度的排满。然后通过C程序选出需要加天的老师，及具体哪天，使得被选择的那天为所有可选天中，最大化指导学生的那天。关键代码将在附录二中给出。而后再对于还没有排课的班级进行下一轮的排课，这时只需可虑老师所附加来校的那一天。这样就保证老师尽可能多的指导自己所教班级，教师来学校的意义最大化。 以上的两轮排序，较为简便并且智能的实现了课表的基本确定。 第三部分主要依靠人工完成。此部分主要考虑因第二部分机械排序以后还存在没有排到课的班级，这些班级是那些在老师加天后还无法在这几天中被自己老师指导到的班级，对于这样的班级，只能交给管理员指导。由于这只是极少的一部分，不会给人工排课人员带来很大的工作量。 我们优先级别的确定原则： 1.通过首次全部用人工进行课表的实际抄做安排所出现的现象，发现学生的空课时间主要集中在下午（见附录一表1），若不考虑上午优先的话，则所有班级很难安排下去并且会出现下午一定面积的溢出。 2.教师优先：如果老师可以带自己所教的班级，那么这种情况也是应该优先考虑的，这来源于问题中提出的硬性要求和实际的教学效果的统计。 3.此模型须要人工的地方，虽有两处，但所做工作量都不大；通过此模型建
课程时间安排的优化模型 摘要 排课是教务运作中的一项重要工作，同时排课问题也是一个复杂的组合优化问题，对此问题的建模和求解，难度都非常大。多数情况下我们只是满足于求解问题的一个可行解，而对此可行解的进一步优化往往通过手工完成，效率很低。目前有很多计算机专家和数学专家都致力于对大规模排课问题的研究，在此我们给出一个规模相对较少，约束相对较少的较为简单的排课问题。解决排课中的问题，既能满足老师授课上机的要求又能满足学生对上机时间的合理安排。让学校、老师和同学的满意。 让老师满意，就是安排尽量少出现像同一天同一位老师上1-2节，7-8节，最好是1-2节面授然后4-5节课上机；让同学们满意，可从以下几方面考虑，比如，同一班级同一门课程，至少应隔一天上一次，另外对学生感到比较难学的课程尽量安排在最好的时段，上机时间要安排在面授课之后；让学校满意，就是尽量减少因出现问题而不得不为老师调课的次数。根据实际情况在具体模型建立过程中采用了0-1矩阵法，矩阵的乘法等数学方法，建立优化类数学模型来求解有效矩阵，根据有效矩阵初排课表，结合多方面因素建立修正矩阵，对初排课表逐层修改，得出最优排课表。并通过matlab实现算法和给出模型的解。 先将123班级课表和20张老师课表转换为0-1变量，有课改为0，没课改为1，组成两个矩阵，然后可用VB编程得到一个新的矩阵，两矩阵中元素都为1时，新的矩阵对应的元素就为1，即老师和班级同时有空时为1。将多目标函数转换为单目标函数，其他的要求可直接在约束条件中满足。然后用lingo软件编程解决（其约束条件和目标函数都可用lingo的语句表示出来）
关键词：排课问题 0-1矩阵矩阵的乘法优化目标矩阵 lingo VB 1 问题重述 排课是教务运作中的一项重要工作，同时排课问题也是一个复杂的组合优化问题，对此问题的建模和求解，难度都非常大。多数情况下我们只是满足于求解问题的一个可行解，而对此可行解的进一步优化往往通过手工完成，效率很低。目前有很多计算机专家和数学专家都致力于对大规模排课问题的研究，在此我们给出一个规模相对较少，约束相对较少的较为简单的排课问题，请同学们加以解决。 目前，某校的计算机上机课大都安排在计算机学院，计算机学院有5个机房用于学生上机，每个机房大约容纳90人。安排上机的课程共有4门，指导上机的教师共有24人，其中20人为课程的授课教师，见附件1，其他四人为机房的管理人员，依次为陆老师，章老师，张老师和彭老师，其中陆老师负责2个机房。共有123个班级需要上机，详细名单见附件1。教师和学生的上机时间不能和他们的授课课程时间冲突，为此我们给出了各位教师和各个班级学生的课程表，见文件夹附件2。四名管理人员可全天进行上机指导，但只能在自己负责的机房进行. 要求： （1）为了保证授课效果，学院规定每个老师在同一个时间段只能为1个班级进行指导；而同一时段允许有两名教师在同一个机房分别指导一个班级； （2）上机指导老师尽可能指导自己授课班级的学生； （3）周末尽可能不安排上机；其次晚上尽可能不安排上机。 （4）为了减少教师到新校区的次数，上机时间尽可能与其授课时间安排在同一天。 （5）还有其它要求可根据高校教学的情况，酌情给出，给出时要充分考虑教学规律、教学效果和大部分老师、学生的要求。
Matlab在数学建模中的应用 数学建模是通过对实际问题的抽象和简化，引入一些数学符号、变量和参数，用数学语言和方法建立变量参数间的内在关系，得出一个可以近似刻画实际问题的数学模型，进而对其进行求解、模拟、分析检验的过程。它大致分为模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验及应用等步骤。这一过程往往需要对大量的数据进行分析、处理、加工，建立和求解复杂的数学模型，这些都是手工计算难以完成的，往往在计算机上实现。在目前用于数学建模的软件中，matlab 强大的数值计算、绘图以及多样化的工具箱功能，能够快捷、高效地解决数学建模所涉及的众多领域的问题，倍受数学建模者的青睐。 1 Matlab在数学建模中的应用 下面将联系数学建模的几个环节，结合部分实例，介绍matlab 在数学建模中的应用。 1.1 模型准备阶段 模型准备阶段往往需要对问题中的给出的大量数据或图表等进行分析，此时matlab的数据处理功能以及绘图功能都能得到很好的应用。 1.1.1 确定变量间关系 例1 已知某地连续20年的实际投资额、国民生产总值、物价指数的统计数据（见表），由这些数据建立一个投资额模型，根据对未来国民生产总值及物价指数的估计，预测未来的投资额。
表1 实际投资额、国民生产总值、物价指数的统计表 记该地区第t年的投资为z(t)，国民生产总值为x(t)，物价指数为y(t)。 赋值： z=[90.9 97.4 113.5 125.7 122.8 133.3 149.3 144.2 166.4 195 229.8 228.7 206.1 257.9 324.1 386.6 423 401.9 474.9 424.5]' x=[596.7 637.7 691.1 756 799 873.4 944 992.7 1077.6 1185.9 1326.4 1434.2 1549.2 1718 1918.3 2163.9 2417.8 2631.6 2954.7 3073]' y=[0.7167 0.7277 0.7436 0.7676 0.7906 0.8254 0.8679 0.9145 0.9601 1 1.0575 1.1508 1.2579 1.3234 1.4005 1.5042 1.6342 1.7842 1.9514 2.0688]' 先观察x与z之间，y与z之间的散点图 plot(x,z,'*') plot(y,z,'*') 由散点图可以看出，投资额和国民生产总值与物价指数都近似呈
宝鸡文理学院新校区课表安排问题 编号：J4004 摘要：每学期的开学初，总有许多老师对新校区的课程安排很有意见，本文选取宝鸡文理学院某系某专业的师生情况、课程、教室间数为研究对象，以课程与上课时间之间的关系矩阵为目标矩阵，通过用各影响矩阵优化目标矩阵的方法，对新校区各系各专业的课表进行了重排。在具体模型建立过程中采用了0-1矩阵法，矩阵的乘法等数学方法，建立优化类数学模型来求解有效矩阵，根据有效矩阵初排课表，结合多方面因素建立修正矩阵，对初排课表逐层修改，得出最优排课表，最后通过lingo软件加以实现。运用我们建立的数学模型，对宝鸡文理学院数学系08级信息与计算科学专业的课表进行重排，将所得新课表与现有的课表进行比较，显然新排的课表更加合理化、人性化。根据新课表中每节课对应的相关因素（课程名称、教室、老师、班级）进行分析整合，可衍生出新的安排表（如通过对不同时间段上课老师人数的研究安排校车的接送）。我们以学校、教师和学生对所排课表满意度作为衡量标准，以宝鸡文理学院数学系08级信息与计算科学专业的课表为例，可得学校、教师和学生对我们所排课表的满意度主因素分别为校车接送次数、在新区逗留时间、专业课排在早上，计算得评价指标分别为 0.88、1、1，可见对本模型使三方的满意度基本均衡且都超过80%，即做到了三者兼顾的满意最大化。最后，通过我们建立的模型，我们给教务处排课表问题给处了一些合理的、可行性的建议。 关键字：排课问题 0-1矩阵矩阵的乘法优化目标矩阵满意度
一． 问题重述 每学期的开学初，总有许多老师对对新校区的课程安排进行抱怨，还有许多老师要求调课，教务处对这一问题很是头疼。根据宝鸡文理学院院的实际情况，用数学建模的方法解决这一问题，既要让老师满意，又要让同学和学校满意。 让老师满意，就是要让每位老师在一周内前往新校区上课的乘车次数尽可能少，同时还要使每位老师在新校区逗留的时间尽可能少，比如安排尽量少出现像同一天同一位老师上1-2节，7-8节；让同学们满意，可从以下几方面考虑，比如，同一班级同一门课程，至少应隔一天上一次，另外对学生感到比较难学的课程尽量安排在最好的时段；同时为避免下课楼道拥挤，对于上午有四节课的班级，在教室功能允许的情况下，应尽量避免更换教室；让学校满意，就是要节约支出，每周派往新校区的车次尽可能的少。 从学院的实际情况出发，收集相关数据，用数学建模的方法解决以下问题： 1) 建立排课表的数学模型，并研制出排课表的软件包； 2) 利用建立模型及软件对本学期新校区的课表进行重排，并与现有的课表进行比较； 3) 给出评价指标评价你的模型，特别要指出模型的优点与不足之处； 4) 对学校教务处排课表问题给出你的建议 二． 问题分析 问题一：通过对多张课表的研究，发现排课表过程中的主要影响因素间关系如下图 分别以单箭头左边的为行右边的为列建立两关系间的有效矩阵A 、B 、D ，由A B 得矩