2．1已知x 是一平稳随机信号，取1、0、-1三个值的概率相等。用x 对载波)(n c 进行调制后在噪声信道中传输。接受信号为
M n n v n xc n y ,,1,0 ),()()( =+=
式中)(n v 是方差为
σ
2v
的零均值白色高斯噪声，与x 相互独立。上式用矢量表示为
v c x y
+=
（1） 求条件概率函数)/()/(x y f y x f
和。 （2） 由y 求x 的四种估计：最大后验概率估计
x
MAP
?，最大似然估计
x
ML
?，最小均方误
差估计
x
MS
?，最小线性均方误差估计
x
LMS
?。并用图形对它们进行比较。
解：
（1） 先求)/(x y f
，显然在这种情况下，
y
是一个1+M 的正态随机矢量，
,][/c x v c x E m
x
y
=+=
I m m M v T T T
x
y x y x
y v v E c x v c x c x v c x E y y E 1
2
///][ ]))([(
]))([(+==-+-+=--=∑
σ
)]()(1
exp[)2( )]
(1)(21exp[]
[)
2(1
)/(22
2/)1(2
122
1)
1(22
1c x y c x y c x y c x y v
x y f T v
M v M v
T M M I
---
=---=
+-+++σ
σσ
σ
ππ
求)/(y x f
。
)/(y x P =)
()()/()(),(y f x P x y f y f y x f
= 已知)1(31
)(31)1(31)(-+++=
x x x x P δδδ 简记)/()/(a y f a x y f
==
根据全概率公式，得：
)]
1/()0/()1/([3
1
)
1()1/( )
0()0/()1()1/()()(=≤+=≤+-=≤===≤+==≤+-=-=≤=≤=∴x y Y P x y Y P x y Y P x P x y Y P x P x y Y P x P x y Y P y Y P y F
)]1/()0/()1/([3
1)()(-++==y f y f y f y d y dF y f
记)1/()0/()1/(?-++=y f y f y f A
，则
A
y f y x P A y f y x P A y f A y f y x P )1/()/1(,)0/()/0()1/(31)1/(31)/1(
=
===-=
-=-=同理： 由)/(y x P 的分布律，我们可以容易得到)/(y x f
A x y f x y f x y f y x f /)]1()1/()()0/()1()1/([)/(-+++-=δδδ
（2） 求最大似然估计
x
ML
?
已知：0?)/(ln(=??=x x x y f M L
x
y c
c y
c c c x y c c c x y c x y c x
c x y c x y x
c x y c x y T T ML T T v
T T v T v
T v
M v
x ===-=-----=?---?=
?---
?∴
+-?0)(1
])()([21)]()(21[)]}()(21
exp[)2ln{(?2
2
2
2
212
解得：σ
σσσσπ
求最小均方误差估计
x
MS
?
)
2(2)
2(2]
2exp[]2exp[]exp[]
2exp[]2exp[2,2, ]
exp[]exp[]exp[]
exp[]exp[ ]21exp[ )]2(21exp[)]2(21exp[)]2(21exp[)]2(21
exp[ )]2(21exp[1 )]2(21exp[1)]1/()1/([1 )]1()1/()()0/()1()1/([)/(22
222222
222
222
y a ch y a sh y a y a a y a y a y a y
c c c a c c y c y c c y c y c y c y c y y y c c c y y y c c c y y y c c c y y y c c c y y A y c c c y y A y c c c y y A y f y f A A x y f x y f x y f x dx y x xf e
x
a
v T v
T T T v
T v
T v
T v
T v
T T v T
T T v T T T v T
T T v
T T T v T T T v
T
T T v
ML +=
-++--=
===++-=
-+++-+-+-++---+-
++--
-+-=--=-+++-==??∞∞=∞
∞=则原式则令代入
将σσσ
σ
σ
σ
σ
σσσσσσ
σ
δδδ
求线性均方误差最小估计x
LMS
?
已知
)]([)])[var(,cov()(1?y E y y y x x E x
LMS
-+=-
① 0)(=x E ， ②
T
x T T T T T c
v x c x x E y E x E y x E y E y x E x E y x σ2)]([ )
()()(]))())(([(),cov(=+=-=--= ③
I M v T x T T T T c c v c x v c x E y y E y E y y E y E y 1
2
2)])([( )(]))())(([()var(++=++==--=σσ 将
I I
M =+?1
σ
σσσ
σσσ
σσσσ
2
1
222
1121][ ])1[()][var(v
T x x v
T x x v
v
T x x v
I c I c I c c I
I
c I c I y
----+-=+=利用矩阵反演公式
④ y y E y
=-)(
∴
y
c c c
c c c y c c c c y c c c c c c y c c c c c c y c c c
c c y E y y y x x E x
v
T T T
v
T
x
v v
x
T
v
T
x
v
T
x
v
T
x x
T
T
v
T
x
v
v
x
v
T
x
v
T x v
T
v
x v
T x LMS
x
σ
σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ
σσσσ2
2
2
22
2222242
2
22
222
2222
2
242
22
1 )
( )
(][ ][ ]1[ )]
([)])[var(,cov()(?+=
+=+-+=+-=+-=-+=-
题2。2
解：以知).()()(,)(4
sin
)(2
n v n s n x n v n n s v +==的白噪声是方程差为，σπ 设)]3(),2(),1(),([)()],3(),2(),1(),0([)(---==n x n x n x n x n h h h h n x h
I s s v v s s x x R σ2
)]()([)]()([)]()([)]()([v T T T T n n E n n E n n E n n E +=+==
T T n s n s n s n s n s n s n s n s E n n s E )]3()(),2()(),1()(),()([)]()([---==s P
]4
sin 4)3(sin ,2sin 21,4sin 4)1(sin ),4([sin 21
)(22
1
π
πππππσn n n n n n n v
R ---+=
=-P h 取]0,2
1,21,21[21
)(32
σv n n +==h ，则 题2．3
T
T T R R R n s n s n s n s n s n s E n v n s n v n s n v n s n s E n n s E )]2(),1(),0([ )]2()(),1()(),()([ ])]2()2(),1()1(),()()[([)]()([=--=-+--+-+==x P
?
?????
?
?
?
+????? ??=-+--+-+-+--+-+==v v
v R R R R R R R R R n v n s n v n s n v n s n v n s n v n s n v n s E n n E T T
x σσσ22
2
00
)0()1()2()1()0()1()2()1()0( ])]2()2(),1()1(),()([ )]]2()2(),1()1(),()([[)]()([x R
T opt m
R h v
m R ]0914.0,2057.0,5358.0[45.0)( 1
2
8.0====-P ，所以、已知σ
２．４答案： ()()[]()∑+∞
-∞
=---++===m m ss ss ss z z z m R m R z
z S 11
5.05.01
()()15.05.01-++==z z z S z S ss sx
()()()15.05.045.1-++=+=z z z S z S z S w ss xx 设)1)(1()(12---=fz fz z S i xx σ
?????-==+5
.045
.1)1(22
2i i f f σσ ? ???=-=25.14.02i f σ
14.01)(-+=z z B z z B 4.01)(1
+=-
z
z z z z z z B z S sx 4.0118.05.08.04.015.05.01)()(1
11++
+=+++=--- 115.08.0)()(-+
-+=?
??
?
??z z B z S sx 4
.064.04.0)4.01(25.15.08.0)()()(1)(1112++=++=??????=--+-z z
z z z B z S z B z H sx i l σ ２．５ 解：由信号模型可得系统传输函数：
)(z H =
1
6.011
--z
∴ S ss )(z =()()())
6.01)(6.01(82
.01
1z z z H z H z S ww --=
-- )
()()()
(z z S S S
ss v s s z sx ==+S
1)
6.01)(6.01(82
.0)()()()(1
))((+--=
+==-++z z z z z z S S S S w ss v s v s xx 对
()z S xx
进行谱分解:
由)
6.01)(6.01()1)(1(1)6.01)(6.01(82
.0)(1
12
1z z fz fz z z z S xx ----=+--=---εσ 得??
???=+=+18.26.0118
.2)1(222f f f εσ
解得可行解???
?
?==21032ε
σf )6.011031)(6.011031(
2)(11z
z z z z S xx ----
=∴-- 1
1
6.013.01)(----=∴z
z z B 对
)()(1
-z B z S sx
进行因果和逆因果分解：
=--?--=
--z z z z z B z S
sx
3.016.01)6.01)(6.01(82.0)
()
(11z z
3.013
.06.0111
-+-- 因果部分()()
1
16.011
-+--=??????
??z
z B z S sx []
()()()()[]
?--=-----+---==??
????-=∴-=-?--?
=????????=∴..110n m i n 1111111221
|)()(3.05.03.05.0)(3.05.06.0116.013.0121)()()(1
)(c u sx c ss n c sx c dz
z z z z j n n z z Z z Z z z
z z z z B z z B z S H S H S H πεξσε =
()()()()
?----??
????--?----..1
111
6.016.0182
.03.015.06.016.0182.021c u dz z z z z z
z j π =
()()?-??
????--?..13.06.015
.082.021c u dz z z z j π
=
5.0|
6.015
.082.03.0=-?=z z
若用()n x 作()n s 的估计，则估计误差为
()()()()
()()[]dB n e E n n u n x n s n e 35
.01
lg
101
2==?∴==-=-=ξ
２．６ 解:已知卡尔曼滤波标准形式为：
??
?
???---+--=)1|1()()1|1()|(^
^
^
n n S ac n x G n n S a n n S
由模型可知： a=0.6 c=1
G 与f 的关系为： f=a(1-cG)=0.3 5.0=∴G
将数值代入得：
???
???---+--=)1|1(6.0)(5.0)1|1(6.0)|(^
^
^
n n S n x n n S n n S
物理解释：
(1) 式中第一部分 )1|1(6.0^
--n n S 是对)|(^
n n S 的预测
(2) 式中第二部分??
?
???---)1|1(6.0)(^
n n S n x 是在取得第n 时刻的观测值，计算观
测值和预测值的误差。
(3) 系数0.5是对预测误差的修正，以期滤波误差能在最小均方差意义下最小。 ２．７ 解：由题意得： a=0.95 c=1 0975.0=Q 1=R
二次方程为 Q=P P
c R PRa 2
2
+-（P 取正解） 解得： P =0.31225 235.031225
.31225
.2
≈=+=
∴i o P c R cP G ??
?
???---+--=∴)1|1()()1|1()|(^
^
^
n n S a n x G n n S a n n S
??
?
???---+--=)1|1(95.0)(235.0)1|1(95.0^
^
n n S n x n n S ：
２．１０答案 ????
??=1101
)(n A ??
?
??
?=1000)(n Q
[]01)(=n C α=)(m R
??
?
???+?????
?-??????=+-=100
01011)1(1001)()()1()()(n S n Q n A n S n A n p T
[]
[]1
1
01)(01
01)()
()()()()()()(--??
???
?
+???
?????????=+=αn p n p n R n C n p n C n C n p n G T T
[][])()(01
)(n P n G I n S -=
??
?
?
??=1000
10
)0(S
题２．１１
由于在实际中常需对非随机信号进行滤波，故采用互补型维纳滤波，其中有两个滤波器，一个为高通，另一个为低通。但这时由于输入的信号是非平稳的，故不能直接进行维纳滤波，这样就需对滤波模型进行改进。采用图中的模型后，维纳滤波器的输入就为平稳的随机信号，符合维纳滤波理论。
填空题(每空2分，共20分) 信号与系统的时域分析与处理 1.序列x(n)的能量定义为__________。 2.线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是__________。 3.设两个有限长序列的长度分别为N 和M ，则它们线性卷积的结果序列长度为__________。 4.线性系统同时满足_____和_____两个性质。 5.某线性移不变系统当输入x(n) =δ(n-1)时输出y(n) =δ(n -2) + δ(n -3)，则该系统的单位冲激响应h(n) =__________。 6.序列x(n) = cos (3πn)的周期等于__________。 7.线性移不变系统的性质有______、______和分配律。 8. 已知系统的单位抽样响应为h(n)，则系统稳定的充要条件是__________。 9.线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是________。 10．序列x(n) = nR 4(n -1)，则其能量等于 _______ 。 11.两序列间的卷积运算满足_______，_______与分配率。 12信号处理有两种形式;其中一种是（ASP 模拟信号处理）;另一种是（DSP ：数字信号处理）。 13数字信号处理可以分为两类：信号(分析)和信号 (过滤) . 14数字信号是指 (时间) 和 (幅度)都离散的信号. 15．一个离散LTI 系统稳定的充要条件是系统的脉冲响应 h(n)满足关系式: ( ()h n ∞-∞<∞∑).LTI 离散系 统因果的充要条件是当且仅当 (h(n)=0,n<0). 16．互相关 ryx(l) 可以用卷积运算表示为（ryx(l)=y(l)*x(-l)）, 自相关 rxx(l)可写为 (rxx(l)=x(l)*x(-l) ) 17．若 LTI 系统的脉冲响应是有限长的,则该系统可称为(FIR:有限长脉冲响应) 滤波器, 否则称为 (IIR ：无 限长脉冲响应) 滤波器. 18．2n u(n)*δ(n-1)=( ). 0.8 n u(n)* 0.8 n u(n)=( ) 离散时间傅里叶变换（DTFT ） 1. 输入x(n)=cos(ω0n)中仅包含频率为ω0的信号，输出y(n)=x(n)cos(4 πn)中包含的频率为__________。 2．输入x(n)=cos(ω0n)中仅包含频率为ω0的信号，输出y(n)=x 2(n)中包含的频率为__________。 3．系统差分方程为y(n)=x(n)-x(n-1) 的系统被称为 (数字微分器). 4．实序列的DTFT 有两个重要属性:(周期性)和 (对称性), 根据这两个性质,我们只需要考虑[0,π]频率范围上的X(ejw) . 5．若DTFT[x(n)]= X(ejw), 则 DTFT[x*(n)]=(X*(e-jw)), DTFT[x(-n)]=( X(e-jw)); DTFT[x(n-k)]=( X(ejw) e-jwk). 6．DTFT[ (0.5)n u(n)]=（1 10.5jw e --）; 7．x(n)={ 1,2,3,4},DTFT[x(n)]=(1+2 e-jw+3 e-j2w+4 e-j3w ) .
第一章数字信号处理概述 简答题： 1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？ 答：在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。 在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。 判断说明题： 2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。 （） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。 3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（） 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处
理的理论基础。 第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理 计算题： 1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。 （a ） 如果kHz T rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频 率。 （b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。 采样（T） () n h () n x () t x () n y D/A 理想低通T c πω=() t y 解 （a ）因为当0)(8=≥ω πωj e H rad 时，在数 — 模变换中 )(1)(1)(T j X T j X T e Y a a j ωω=Ω= 所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为 8 π = ΩT c 因此 Hz T f c c 625161 2==Ω= π
现代数字信号处理复习题 一、填空题 1、平稳随机信号是指：概率分布不随时间推移而变化的随机信号，也就是说，平稳随机信号的统计特性与起始 时间无关，只与时间间隔有关。 判断随机信号是否广义平稳的三个条件是： （1）x(t)的均值为与时间无关的常数：C t m x =)( （C 为常数） ； （2）x(t)的自相关函数与起始时间无关，即：)(),(),(ττx i i x j i x R t t R t t R =+=； （3）信号的瞬时功率有限，即：∞<=)0(x x R D 。 高斯白噪声信号是指：噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时其功率谱密度函数是常数的一类噪 声信号。 信号的遍历性是指：从随机过程中得到的任一样本函数,好象经历了随机过程的所有可能状态,因此,用一个 样本函数的时间平均就可以代替它的集合平均 。 广义遍历信号x(n)的时间均值的定义为： ，其时间自相关函数的定义为： 。 2、连续随机信号f(t)在区间上的能量E 定义为： 其功率P 定义为： 离散随机信号f(n)在区间 上的能量E 定义为： 其功率P 定义为： 注意:(1)如果信号的能量0 1-1画出下列序列的示意图 (1) (2) (3) (1) (2) (3) 1-2已知序列x(n)的图形如图1.41，试画出下列序列的示意图。 图1.41信号x(n)的波形 (1)(2) (3) (4) (5)(6) (修正：n=4处的值为0，不是3）（修正：应该再向右移4个采样点）1-3判断下列序列是否满足周期性，若满足求其基本周期 (1) 解：非周期序列; (2) 解：为周期序列，基本周期N=5; (3) 解：，，取 为周期序列，基本周期。 (4) 解： 其中，为常数 ，取，，取 则为周期序列，基本周期N=40。 1-4判断下列系统是否为线性的？是否为移不变的？ (1)非线性移不变系统 (2) 非线性移变系统（修正：线性移变系统） (3) 非线性移不变系统 (4) 线性移不变系统 (5) 线性移不变系统（修正：线性移变系统）1-5判断下列系统是否为因果的？是否为稳定的？ (1) ，其中因果非稳定系统 (2) 非因果稳定系统 (3) 非因果稳定系统 (4) 非因果非稳定系统 (5) 因果稳定系统 1-6已知线性移不变系统的输入为x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，试求系统的输出y(n)及其示意图 (1) (2) (3) 解：（1） （2） （3） 1-7若采样信号m(t)的采样频率fs=1500Hz，下列信号经m(t)采样后哪些信号不失真？ (1) (2) (3) 解： (1)采样不失真 (2)采样不失真 (3) ，采样失真 1-8已知,采样信号的采样周期为。 (1) 的截止模拟角频率是多少？ (2)将进行A/D采样后，的数字角频率与的模拟角频率的关系如何？ (3)若，求的数字截止角频率。 解： (1) (2) (3) 1. 有一个线性移不变的系统，其系统函数为： 2z 2 1 )21)(2 11(2 3)(11 1<<-- - = ---z z z z H 1）用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(n h 4．试用冲激响应不变法与双线性变换法将以下模拟滤波器系统函数变换为数字滤波器系统函数： H(s)= 3) 1)(s (s 2 ++其中抽样周期T=1s 。 三、有一个线性移不变的因果系统，其系统函数为： ) 21)(2 1 1(2 3)(111------= z z z z H 1用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(n h 七、用双线性变换设计一个三阶巴特沃思数字低通虑波器，采样频率为kHz f s 4=（即采样周期为s T μ250=）,其3dB 截止频率为kHz f c 1=。三阶模拟巴特沃思滤波器为： 3 2 ) ()(2)(211)(c c c a s s s s H Ω+Ω+Ω+= 解1)2 111112 5 12 3) 21)(2 1 1(2 3)(------+-- = --- = z z z z z z z H …………………………….. 2分 当2 1 2> >z 时： 收敛域包括单位圆……………………………6分 系统稳定系统。……………………………….10分 1111 1211 2 111)21)(2 11(2 3)(------- -= -- - = z z z z z z H ………………………………..12分 )1(2)()2 1 ()(--+=n u n u n h n n ………………………………….15分 4.（10分）解： 3 1 11)3)(1(1)(+- +=++= s s s s s H ………………1分 1 311)(------ -= Z e s T Z e T z H T T ……………………3分 1、一线性时不变系统，输入为x (n)时，输出为y (n);则输入为2x (n)时，输出为2y(n) ;输入为x (n-3)时，输出为y(n-3) ________________________________ 。 2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最咼频率f max关系为：fS> = 2f max 。 3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X(e jw)，它的N点 离散傅立叶变换X ( K是关于X (e jw)的_N ________ 点等间隔采样。 4、有限长序列x(n)的8点DFT为X ( K),则X (K) = _________ 。 5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠 所产生的混叠_________ 现象。 6、若数字滤波器的单位脉冲响应h(n)是奇对称的，长度为N,贝陀的对称中心是(N-1)/2_______ 。 7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波 器的过渡带比较窄，阻带衰减比较小。 8、无限长单位冲激响应(IIR )滤波器的结构上有反馈环路，因此是递归型结构。 9、若正弦序列x(n)=sin(30n n /120)是周期的，则周期是N二8 。 10、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的类型有关，还与窗的采样点数有关 11、DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间截断，而周期序列可以看成有限长序列的周期延拓。 12、对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用Xn(n)表示，其数学表达式为x m(n)= x((n-m)) N R(n)。 13、对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，并将输入变输出，输出变输入即可得到按频率抽取的基 2-FFT流图。 14、线性移不变系统的性质有交换率、结合率和分配律。 数字信号处理习题及答案1 一、填空题（每空1分, 共10分） 1．序列()sin(3/5)x n n π=的周期为 。 2．线性时不变系统的性质有 律、 律、 律。 3．对4()()x n R n =的Z 变换为 ，其收敛域为 。 4．抽样序列的Z 变换与离散傅里叶变换DFT 的关系为 。 5．序列x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为 。 6．设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出 y(n)= 。 7．因果序列x(n)，在Z →∞时，X(Z)= 。 二、单项选择题（每题2分, 共20分） 1．δ(n)的Z 变换是 （ ）A.1 B.δ(ω) C.2πδ(ω) D.2π 2．序列x 1（n ）的长度为4，序列x 2（n ） 的长度为3，则它们线性卷积的长度是 （ ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 3．LTI 系统，输入x （n ）时，输出y （n ）；输入为3x （n-2），输出为 （ ） A. y （n-2） B.3y （n-2） C.3y （n ） D.y （n ） 4．下面描述中最适合离散傅立叶变换 DFT 的是 （ ） A.时域为离散序列，频域为连续信号 B.时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列 C.时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号 D.时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列 5．若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过 即 可完全不失真恢复原信号 （ ）A.理想低通滤波器 B.理想高通滤波器 C.理想带通滤波器 D.理 想带阻滤波器 6．下列哪一个系统是因果系统 （ ）A.y(n)=x (n+2) B. y(n)= cos(n+1)x (n) C. y(n)=x (2n) D.y(n)=x (- n) 一. 填空题 1、一线性时不变系统，输入为x（n）时，输出为y（n）；则输入为2x（n）时，输出为2y(n) ；输入为x（n-3）时，输出为y(n-3) 。 2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最高频率f max关系为：fs>=2f max。 3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X（e jw），它的N点离散傅立叶变换X（K）是关于X（e jw）的N 点等间隔采样。 4、有限长序列x(n)的8点DFT为X（K），则X（K）= 。 5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠所产生的现象。 6．若数字滤波器的单位脉冲响应h（n）是奇对称的，长度为N，则它的对称中心是(N-1)/2 。 7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较窄，阻带衰减比较小。 8、无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构上有反馈环路，因此是递归型结构。 9、若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= 8 。 10、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的类型有关，还与窗的采样点数有关 11．DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间截断，而周期序列可以看成有限长序列的周期延拓。 12．对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用x m (n)表示，其数学表达式为 x m (n)= x((n-m)) N R N (n)。 13．对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，并将输入变输出，输出变输入即可得到按频率抽取的基2-FFT流图。 14.线性移不变系统的性质有交换率、结合率和分配律。 15.用DFT近似分析模拟信号的频谱时，可能出现的问题有混叠失真、泄漏、栅栏效应和频率分辨率。 第1章选择题 1．信号通常是时间的函数，数字信号的主要特征是：信号幅度取 ；时间取 B 。 A.离散值；连续值 B.离散值；离散值 C.连续值；离散值 D.连续值；连续值 2．数字信号的特征是（ B ） A ．时间离散、幅值连续 B ．时间离散、幅值量化 C ．时间连续、幅值量化 D ．时间连续、幅值连续 3．下列序列中属周期序列的为（ D ） A ．x(n) = δ(n) B ．x(n) = u(n) C ．x(n) = R 4(n) D ．x(n) = 1 4．序列x(n)=sin ??? ??n 311的周期为（ D ） A ．3 B ．6 C ．11 D ．∞ 5. 离散时间序列x (n )=cos(n 73π-8π )的周期是 ( C ) A. 7 B. 14/3 C. 14 D. 非周期 6．以下序列中（ D ）的周期为5。 A ．)853cos( )(ππ+=n n x B. )853sin()(ππ+=n n x C. )852()(π+=n j e n x D. )852()(ππ+=n j e n x 7．下列四个离散信号中，是周期信号的是（ C ）。 A ．sin100n B. n j e 2 C. n n ππ30sin cos + D. n j n j e e 5431 π - 8．以下序列中 D 的周期为5。 A.)853cos( )(π+=n n x B.)853sin()(π+=n n x C.)852 ()(π +=n j e n x D.)852 ()(ππ+ =n j e n x 9．离散时间序列x (n )=cos ??? ??+353ππ n 的周期是( C ) A.5 B.10/3 C.10 D.非周期 10.离散时间序列x(n)=sin （ 5n 31π+）的周期是( D ) A.3 B.6 C.6π D.非周期 11.序列x (n )=cos ? ?? ??n 5π3的周期为( C ) A.3 B.5 C.10 D.∞ 12．下列关系正确的为（ C ） A ．u(n)=∑=n k 0 δ (n) B ．u(n)=∑∞=0k δ (n) C ．u(n)=∑-∞=n k δ (n) D ．u(n)=∞-∞=k δ (n) ==============================绪论============================== 1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV ==================第一章 时域离散时间信号与系统================== 1. ①写出图示序列的表达式 答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15} 2. ①求下列周期 ②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 （1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)??? ? ??-= （2）)8 1 (j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω= 73π, 所以314 π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。 （2） 因为ω= 81, 所以ω π2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 ③序列)Acos(nw x(n)0?+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。 3.加法 乘法 序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。 移位 翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。 ② 尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。 卷积和：①h(n)*求x(n)，其他0 2 n 0n 3，h(n)其他03n 0n/2设x(n) 例、???≤≤-=???≤≤= ②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n ) x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转) 研究生“现代信号处理”课程大型作业 （以下四个题目任选三题做） 1. 请用多层感知器（MLP ）神经网络误差反向传播（BP ）算法实现异或问题（输入为[00;01;10;11]X T =，要求可以判别输出为0或1），并画出学习曲线。其中，非线性函数采用S 型Logistic 函数。 2. 试用奇阶互补法设计两带滤波器组(高、低通互补)，进而实现四带滤波器组；并画出其频响。滤波器设计参数为：F p ＝1.7KHz , F r ＝2.3KHz , F s ＝8KHz , A rmin ≥70dB 。 3. 根据《现代数字信号处理》（姚天任等，华中理工大学出版社，2001）第四章附录提供的数据(pp.352-353)，试用如下方法估计其功率谱，并画出不同参数情况下的功率谱曲线： 1） Levinson 算法 2） Burg 算法 3） ARMA 模型法 4） MUSIC 算法 4. 图1为均衡带限信号所引起失真的横向或格型自适应均衡器(其中横向FIR 系统长M =11), 系统输入是取值为±1的随机序列)(n x ，其均值为零；参考信号)7()(-=n x n d ；信道具有脉冲响应： 1 2(2)[1cos( )]1,2,3()20 n n h n W π-?+=?=???其它 式中W 用来控制信道的幅度失真(W = 2～4, 如取W = 2.9,3.1,3.3,3.5等)，且信道受到均 值为零、方差001.02 =v σ(相当于信噪比为30dB)的高斯白噪声)(n v 的干扰。试比较基 于下列几种算法的自适应均衡器在不同信道失真、不同噪声干扰下的收敛情况(对应于每一种情况,在同一坐标下画出其学习曲线): 1） 横向/格-梯型结构LMS 算法 2） 横向/格-梯型结构RLS 算法 并分析其结果。 数字信号处理复习题 一、选择题 1、某系统)(),()()(n g n x n g n y =有界，则该系统（ A ）。 A.因果稳定 B.非因果稳定 C.因果不稳定 D. 非因果不稳定 2、一个离散系统（ D ）。 A.若因果必稳定 B.若稳定必因果 C.因果与稳定有关 D.因果与稳定无关 3、某系统),()(n nx n y =则该系统（ A ）。 A.线性时变 B. 线性非时变 C. 非线性非时变 D. 非线性时变 4.因果稳定系统的系统函数)(z H 的收敛域是（ D ）。 A.9.0 三、计算题 1、已知10),()(<<=a n u a n x n ,求)(n x 的Z 变换及收敛域。 （10分） 解：∑∑∞ =-∞ -∞=-= = )()(n n n n n n z a z n u a z X 1 111 )(-∞=--== ∑ az z a n n ||||a z > 2、设)()(n u a n x n = )1()()(1--=-n u ab n u b n h n n 求 )()()(n h n x n y *=。（10分） 解：[]a z z n x z X -=? =)()(， ||||a z > []b z a z b z a b z z n h z H --=---= ?=)()(， ||||b z > b z z z H z X z Y -= =)()()( ， |||| b z > 其z 反变换为 [])()()()()(1n u b z Y n h n x n y n =?=*=- 3、写出图中流图的系统函数。(10分) 解：2 1)(--++=cz bz a z H 2 1124132)(----++= z z z z H ４、利用共轭对称性，可以用一次DFT 运算来计算两个实数序列的DFT ，因而可以减少计算量。设都是N 点实数序列，试用一次DFT 来计算它们各自的DFT ： [])()(11k X n x DFT = []) ()(22k X n x DFT =（10分）。 解:先利用这两个序列构成一个复序列，即 )()()(21n jx n x n w += 即 [][])()()()(21n jx n x DFT k W n w DFT +== []()[]n x jDFT n x DFT 21)(+= )()(21k jX k X += 又[])(Re )(1n w n x = 得 [])(})({Re )(1k W n w DFT k X ep == [] )())(()(2 1*k R k N W k W N N -+= 同样 [])(1 })({Im )(2k W j n w DFT k X op == [] )())(()(21*k R k N W k W j N N --= 所以用DFT 求出)(k W 后，再按以上公式即可求得)(1k X 与)(2k X 。 5、已知滤波器的单位脉冲响应为)(9.0)(5n R n h n =求出系统函数，并画出其直接型 结构。（10分） 解： ｘ（ｎ） 1-z 1-z 1-z 1-z １ 9.0 2 9.0 3 9.0 4 9.0 ｙ（ｎ） ６、略。 ７、设模拟滤波器的系统函数为 31 11342)(2+-+=++=s s s s s H a 试利用冲激响应不变法，设计IIR 数字滤波器。（10分） 解 T T e z T e z T z H 31111)(-------= 1.设()u n 是离散时间平稳随机过程，证明其功率谱()w 0S ≥。 证明：将()u n 通过冲激响应为()h n 的LTI 离散时间系统，设其频率响应()w H 为 ()001,w -w w 0, w -w w H w ???? 输出随机过程()y n 的功率谱为()()()2y S w H w S w = 输出随机过程()y n 的平均功率为()()()00201 1r 022w w y y w w S w dw S w dw π π π+?-?= =?? 当频率宽度w 0???→时，上式可表示为()()()01 r 00y S w w π =?≥ 由于频率0w 是任意的，所以有()w 0 S ≥ 3、已知：状态方程 )()1,()1()1,()(1n n n n x n n F n x ν-Γ+--=观测方程 )()()()(2n n x n C n z ν+= )()]()([111n Q n n E H =νν )()]()([222n Q n n E H =νν 滤波初值 )]0([)|0(0x E x =ξ } )]]0([)0()]][0([)0({[)0(H x E x x E x E P --= 请简述在此已知条件下卡尔曼滤波算法的递推步骤。 解：步骤1 状态一步预测，即 1 *11)|1(?)1,()|(N n n C n x n n F n x ∈--=--∧ ξξ 步骤2 由观测信号z(n)计算新息过程，即 1*11)|(?)()()|(?)()(M n n C n x n C n z n z n z n ∈-=-=--ξξα 步骤3 一步预测误差自相关矩阵 N N H H C n n n Q n n n n F n P n n F n n P *1)1,()1()1,() 1,()1()1,()1,(∈-Γ--Γ+---=- 步骤4 新息过程自相关矩阵M M H C n Q n C n n P n C n A *2)()()1,()()(∈+-= 步骤5 卡尔曼增益M N H C n A n C n n P n K *1)()()1,()(∈-=- 或 )()()()(1 2n Q n C n P n K H -= 步骤6 状态估计 1*1)()()|(?)|(?N n n C n n K n x n x ∈+=-αξξ 步骤7 状态估计自相关矩阵 N N C n n P n C n K I n P *)1,()]()([)(∈--= 或 )()()()]()()[1,()]()([)(2n K n Q n K n C n K I n n P n C n K I n P H H +---= 步骤8 重复步骤1-7，进行递推滤波计算 4、经典谱估计方法： 、填空题 1．序列x(n) sin(3 n / 5)的周期为10 。2．线性时不变系统的性质有交换律律结合律分配律。 3．从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率 f 与信号最高频率fs 关系为：f>=2fs 4．若正弦序列x(n)=sin(30n π/120) 是周期的，则周期是N= 8 。 5．序列x(n) sin(3 n / 5)的周期为10 。 6．设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出y(n)= 7．因果序列x(n) ，在Z→∞时，X(Z)= x(0) 。二、单项选择题 1．δ (n)的傅里叶变换是( A ) A. 1 B.δ (ω ) C.2πδ (ω) D.2π 2．序列x1(n)的长度为4，序列x2( n)的长度为3，则它们线性卷积的长度是( C ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 3．LTI 系统，输入x(n)时，输出y( n)；输入为3x (n-2)，输出为( B ) A. y （n-2） B.3y （n-2） C.3y （n） D.y(n) 4．下面描述中最适合离散傅立叶变换DFT 的是(D ) A. 时域为离散序列，频域为连续信号 B. 时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列 C. 时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号 D. 时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列 5．设系统的单位抽样响应为h(n)，则系统因果的充要条件为( C ) A．当n>0 时，h(n)=0 B．当n>0时，h(n) ≠0 6．下列哪一个系统是因果系统( 5．所谓采样，就是利用采样脉冲序列 p(t) 从连续时间信号 x a (t)中抽取一系列的离散样值。 ( 6．数字信号处理只有硬件方式实现。 ( × ) 7．对正弦信号进行采样得到的正弦序列一定是周期序列。 ( × ) 8．数字信号处理仅仅指的是数字处理器。 ( × ) 9．信号处理的两种基本方法：一是放大信号，二是变换信号。 ( × 10．在时域对连续信号进行抽样，在频域中，所得频谱是原信号频谱的周期延拓。 ( × ) 四、简答题 1．用 DFT 对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些？ 答：混叠失真；截断效应(频谱泄漏) ；栅栏效应 2．画出模拟信号数字化处理框图，并简要说明框图中每一部分的功能作用。 1 2 3 部分：按照预制要 求对数字信号处理加工； 第 4部分：数字信号变为模拟信号； 第 5 部分：滤除高频部分， 平滑模拟信号。 A.N ≥M B.N ≤M C.N ≤ 2M D.N ≥ 2M 10 ．设因果稳定的 LTI 系统的单位抽样响应 h(n) ， 在 n<0 时， h(n)= ( A ) A.0 B.∞ C. - ∞ D.1 三、 判断题 1． 序列的傅立叶变换是频率ω的周期函数，周期是 2π。 ( √ ) 2 ． x(n)= sin (ω ( √ ) 0n) 所代表的序列不一定是周期 3． 卷积的计算过程包括翻转，移位，相乘，求和四个过程 ( √ ) 4． y(n)=cos[x(n)] 所代表的系统是非线性系统。 ( √ ) ) 则频域抽样点数 N 需满足的条件是 ( A C ．当 n<0 时， h(n)=0 D ．当 n<0 时， h(n) ≠0 A.y(n)=x (n+2) B. y(n)= cos(n+1)x (n) C. y(n)=x (2n) D.y(n)=x (- n) 7． A. x(n)= δ (n-3)的傅里叶变换为( A e 3jw B. e 3jw C.1 D.0 x(n) a n u(n),0 a 1 的傅里叶变换为 11 A. jw B. jw 1 ae 1-ae 8． C ) 1 C. -jw 1-ae 1 D.1 ae - jw 9．若序列的长度为 M ，要能够由频域抽样信号 X(k) 恢复原序列，而不发生时域混叠现象， √) 答案很详细，考试前或者平时作业的时候可以好好研究，祝各位考试 成功！！ 电子科技大学微电子与固体电子学钢教授著 数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答 1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。 解： ()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+- 2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-?? =≤≤??? 其它 （1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。 解： （1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。 （2） ()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+- （3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。 （4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。 （5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如 5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 （1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； （3）0()()y n x n n =-，0n 为整常数； （5）2()()y n x n =； （7）0()()n m y n x m ==∑。 解： （1）令：输入为0()x n n -，输出为 '000' 0000()()2(1)3(2) ()()2(1)3(2)() y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--= 故该系统是时不变系统。 12121212()[()()] ()()2((1)(1))3((2)(2)) y n T ax n bx n ax n bx n ax n bx n ax n bx n =+=++-+-+-+- 1111[()]()2(1)3(2)T ax n ax n ax n ax n =+-+- 2222[()]()2(1)3(2)T bx n bx n bx n bx n =+-+- 1212[()()][()][()]T ax n bx n aT x n bT x n +=+ 故该系统是线性系统。 数字信号处理期末复习题 一、单项选择题（在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的号码写在题干后面的括号内，每小题1分，共20分） 1.要从抽样信号不失真恢复原连续信号，应满足下列条件的哪几条( ① )。 (Ⅰ)原信号为带限 (Ⅱ)抽样频率大于两倍信号谱的最高频率 (Ⅲ)抽样信号通过理想低通滤波器 ①.Ⅰ、Ⅱ②.Ⅱ、Ⅲ ③.Ⅰ、Ⅲ④.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 2.在对连续信号均匀采样时，若采样角频率为Ωs，信号最高截止频率为Ωc，则折叠频率为( ④ )。 ①Ωs ②.Ωc ③.Ωc/2 ④.Ωs/2 3.若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时输出为y(n)=R3(n)，则当输入为u(n)-u(n-2)时输出为( ② )。 ①.R3(n) ②.R2(n) ③.R3(n)+R3(n-1) ④.R2(n)-R2(n-1) 4.已知序列Z变换的收敛域为｜z｜>1，则该序列为( ② )。 ①.有限长序列②.右边序列 ③.左边序列④.双边序列 5.离散系统的差分方程为y(n)=x(n)+ay(n-1)，则系统的频率响应( ③ )。 ①当｜a｜<1时，系统呈低通特性 ②.当｜a｜>1时，系统呈低通特性 ③.当0 6.序列x(n)=R5(n)，其8点DFT记为X(k)，k=0,1,…,7，则X(0)为( ④ )。 ①.2 ②.3 ③.4 ④.5 7.下列关于FFT的说法中错误的是( ① )。 ①.FFT是一种新的变换 ②.FFT是DFT的快速算法 ③.FFT基本上可以分成时间抽取法和频率抽取法两类 ④.基2 FFT要求序列的点数为2L(其中L为整数) 8.下列结构中不属于FIR滤波器基本结构的是( ③ )。 ①.横截型②.级联型 ③.并联型④.频率抽样型 9.已知某FIR滤波器单位抽样响应h(n)的长度为(M+1)，则在下列不同特性的单位抽样响应中可以用来设计线性相位滤波器的是( ④ )。 ①.h［n］=-h［M-n］ ②.h［n］=h［M+n］ ③.h［n］=-h［M-n+1］ ④.h［n］=h［M-n+1］ 10.下列关于用冲激响应不变法设计IIR滤波器的说法中错误的是( ④ )。 ①.数字频率与模拟频率之间呈线性关系 ②.能将线性相位的模拟滤波器映射为一个线性相位的数字滤波器 ③.容易出现频率混叠效应 ④.可以用于设计高通和带阻滤波器 11.利用矩形窗函数法设计FIR滤波器时，在理想特性的不连续点附近形成的过滤带的宽度近似等于( ① )。 ①.窗函数幅度函数的主瓣宽度 ②.窗函数幅度函数的主瓣宽度的一半 第一章 第二章 11-=--m/2 m=-m -/2 12 m=--/2 -/21 2 m=-m=-()121.7DTFT[x(2n)]=(2n)e m=2n DTFT[x(2n)]=(m)e =[()(1) ()]e [()e e ()e ] [()()] j n n j m j m j m j m j m j j x x x m x m x m x m X e X e ωωωωπ ωωωπ∞ ∞∞ ∞∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞-+-=+ =+∑∑ ∑∑∑，为偶数 求下列序列的傅里叶变换（）x(2n) 令，于是 -n 1 1 121 z (1) 2u(n)()2 ()2 1,|(2)|11(2),||n n n n n n X z u n z z z z z z z +∞ --=-∞+∞ --=-∞ --=== <-=>-∑∑14.求出下列序列的变换及收敛域 3.3(1).()cos(),781() 8 (2).()5.25n 640() (5)()x n A n A j n x n e x n y n e πππω=--==判断下面的序列是否周期的是常数 试判断系统是否为线性时不变的（）y(n)=x (n)(7) y(n)=x(n)sin() .试判断系统是否为因果稳定系统（）y(n)=x(n-n ) -1 -1-2 -1 -1112 1-317.X(z)=,2-5+2105< | z | < 2x(n)(2) | z | > 2x(n) 11 X(z)= -1-z 1-2z 05< | z | < 2(n)=2(-n-1)+()(n) | z | > 2(n)=()(n)-2(n)n n n n z z z u u u u 已知分别求：（）收敛域.对应的原序列收敛域对应的原序列解：收敛域.时： x 收敛域时： x -1-1 -1 -1-1 -1 21.(n)=0.9y(n-1)+x(n)+0.9x(n-1)(1)h(n)(2)H(e )1+0.9(1)H(z)=,|z|>0.91-0.91+0.9F(z)=H(z)z =z 1-0.9n 1z=0.9(n j n n z z z z h ω≥已知线性因果网络用下面差分方程表示： y 求网络的系统函数及单位脉冲响应写出网络频率响应函数的表达式，并定性画出其幅频特性曲线解： 令当时，有极点-1-1=0.9-112-1-1-1-1=0=0.9-1-1)=Res[F(z),0.9]1+0.9=z (z-0.9)|1-0.9=20.9(n)=0,n<0 n=0z =0,=0.9(n)=Res[F(z),0]+Res[F(z),0.9]1+0.91+0.9=z z|+z (z-0.9)|1-0.91-0.9=-1+2=1 h(n)=n z n z z z z z h z z z z ?∴因为系统是因果系统，所以有h 当时，有极点00000000=0n-m =0n -m =0 n n 20.9(n-1)+(n)+0.9 (2)H(e )=-0.9 (3)y(n)=h(n)*x(n) =(m)x(n-m) =(m)e =(m)e e =e H(e )+0.9=e -0.9 n j j j m j m j j m j j j j j u e e h h h e e ωω ω ωωωωωωωωδ∞ ∞ ∞ ?∑∑∑（ ）数字信号处理答案解析
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