八年级数学竞赛讲座 三角形的有关概念
一、知识结构：
1、三角形的定义；
2、三角形的角平分线、中线、高；
3、三角形的三边之间的关系；
4、三角形的内角和定理及其推论；
5、同一个三角形中边与角之间的关系；
6、三角形的分类；
二、典型例题：
1、△ABC 三边长分别为a,b,c,且)(2c b a bc a -=-,则这个三角形一定是
( )
A.三边不相等的三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.任意三角形
2、△ABC 三边长分别为a,b,c,且,222ca bc ab c b a ++=++则这个三角形一定是( )
A.不等边三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.任意三角形
3、已知等腰三角形的一边等于4，一边等于9，则它的周长是（ ）
A 、17
B 、22
C 、12或22
D 、20
4、下面四个命题中不正确的是（ ）
A ．在△ABC 中，设三个内角中最小的角为α，则0°＜α≤60°
B ．在△AB
C 中，三个内角α：β：γ=1：2：3，则这个三角形是直角三角形；
C ．在△ABC 中，β为三个内角中最大的角，则60°＜β＜180°
D ．在△ABC 的内角中，锐角的个数最多；
5、等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长；
6、如图：AF 、AD 分别是△ABC 的高和角平分线， 且∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF 的度数；
7、△ABC 中，AB=5，AC=3，则BC 边上的中线AD 的长l 的取值范围是多少？
8、已知斜三角形ABC 中，∠A=55°，三条高所在直线交点为H ，求∠BHC 的度数；
9、已知三角形的一边是另一边的3倍，求证：它的最小边在它的周长的81与6
1之间；
10、已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有多少个？
11、设△ABC 的三边a,b,c 的长度均为自然数，且a ≤b ≤c ，a+b+c=13, A
B D F C
则以a,b,c 为三边长且彼此不全等的三角形共有多少个？
12、有多少个边长为整数且周长为2000的等腰三角形？
13、三角形的三个内角分别为α，β，γ，且α≥β≥γ，α=2γ，求β的取值范围；
14、已知三角形中两角之和为n °，最大角比最小角大24°，求n 的取值范围；
15、不等边三角形中，如果有一条边长等于另外两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值k 的取值范围是（ ）
A ．143< B ．131< C ．1＜k ＜2 D ．12 1< 16、如图：O 为△ABC 内的一点，求证： （1） O A+OB+OC ＞2 1（AB+BC+AC ）； （2） O B+OC ＜AB+AC ； （3） O A+OB+OC ＜AB+AC+BC ； 作业题： 1、已知三角形两边的长的差是5，若此三角形的周长是偶数，则求第三边的最小值？ 2、将三边长为a 、b 、c 的三角形记作（a ，b ，c ），写出周长为20、各边长为正整数的所有不同的三角形； A O B 3、不等边三角形的三条边长都是自然数，其中两条边长是3、 4、5中的某两个数，求符合条件的三角形的周长的所有不同数值； 4、如图，△ABC 内有一点D ，AD 、BD 、CD 分别平分∠A 、∠B 、∠C ，E 为△ABD 内一点，AE 、BE 、DE 分别平分△ABD 的各内角；F 为△BDE 内一点，BF 、EF 、DF 分别平分△BDE 的各内角。若△BFE 的度数为整数，试求∠BFE 至少是多少度？ 5、如图，将任意△ABC 的三边四等分，BC 边上分点为321,,A A A ，AC 边上的分点为321,,B B B ，AB 边上的分点为321,,C C C ，记△ABC 的周长为p ， 111C B A ?的周长为1p ，求证：p p p 4 3211<<； 6、三条线段能构成三角形的条件是:任意两条线段长度的和大于第三条线段。现有长为144厘米的铁丝，要截成n 小段（n ＞2），每段的长度不小于1厘米，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值是多少？ 7、△ABC 面积为1，M 是AB 上任一点，N 是BC 上任一点，P 是MN 上任一点。 （1）将ABC AMP S S ??:表示成图中已经给出的线段之比的乘积形式； （2）求证：△AMP 和△CPN 的面积中至少有一个不大于8 1； B M P N 8、不等边△ABC的两条高的长度分别是4和12，若第三条高及三边均为整数，求当第三条高取得最大值时，△ABC周长的最小值； 第五讲三角形的五心 三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心、外心. 三角形外接圆的圆心，简称外心. 与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. 例1．过等腰△ ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB 于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN 的对称点P′.试证：P′点在△ ABC外接圆上. （杭州大学《中学数学竞赛习题》）分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′ =NP =NC，故点M 是△ P′BP 的外心，点 N 是△ P′PC的外心. 有11 ∠BP′P= 1 2∠ BMP= 1∠BAC， 22 11 ∠ PP′C= ∠ PNC= ∠BAC. 22 ∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC. 从而，P′点与 A，B，C共圆、即P′在△ ABC外接圆上. 由于P′P平分∠ BP′C，显然还有P′B:P′C=BP:PC. 例2．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△ APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ ABC 相似. （ B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》） 分析：设O1，O2，O3 是△APS，△BQP， △CSQ的外心，作出六边形 O1PO2QO3S后再由外心性质可知 ∠PO1S=2∠A， ∠QO2P=2∠B， QC ∠SO3Q=2∠C. ∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠ O1PO2+ ∠O2QO3+∠O3SO1=360° 将△ O2QO3绕着O3点旋转到△ KSO3，易判断△ KSO1≌△ O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△ O1KO3. 1 ∴∠ O2O1O3=∠KO1O3= ∠O2O1K 2 1( ∠ O2O1S+∠ SO1K) 2 1 = ( ∠ O2O1S+∠ PO1O2) 1 = 1∠ PO1S=∠ A； 2 同理有∠ O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ ABC. 第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，2 c b a p ++=为半周长。 1．正弦定理：C c B b A a sin sin sin ===2R （R 为△ABC 外接圆半径）。 推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2 1sin 21sin 21B ca A bc C ab == 推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足) sin(sin a b a a -=θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 2 1；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理B b A a sin sin =，所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 2 1-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA bc a c b A 2cos 2 22-+=?，下面用余弦定理证明几个常用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq q p q c p b -++ （1） 【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2 -2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π， 所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得 qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)，即AD 2=.22pq q p q c p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.2 222 22a c b AD -+= 八年级数学竞赛讲座 三角形的有关概念 一、知识结构： 1、三角形的定义； 2、三角形的角平分线、中线、高； 3、三角形的三边之间的关系； 4、三角形的内角和定理及其推论； 5、同一个三角形中边与角之间的关系； 6、三角形的分类； 二、典型例题： 1、△ABC 三边长分别为a,b,c,且)(2 c b a bc a -=-,则这个三角形一定是( ) A.三边不相等的三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.任意三角形 2、△ABC 三边长分别为a,b,c,且,2 2 2 ca bc ab c b a ++=++则这个三角形一定是( ) A.不等边三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.任意三角形 3、已知等腰三角形的一边等于4，一边等于9，则它的周长是（ ） A 、17 B 、22 C 、12或22 D 、20 4、下面四个命题中不正确的是（ ） A ．在△ABC 中，设三个内角中最小的角为α，则0°＜α≤60° B ．在△AB C 中，三个内角α：β：γ=1：2：3，则这个三角形是直角三角形； C ．在△ABC 中，β为三个内角中最大的角，则60°＜β＜180° D ．在△ABC 的内角中，锐角的个数最多； 5、等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长； 6、如图：AF 、AD 分别是△ABC 的高和角平分线， 且∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF 的度数； 7、△ABC 中，AB=5，AC=3，则BC 边上的中线AD 的长l 的取值范围是多少？ 8、已知斜三角形ABC 中，∠A=55°，三条高所在直线交点为H ，求∠BHC 的度数； A B D F C 第二十一讲 从三角形的内切圆谈起 和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质： 1．三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等； 2．圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有外切圆的主要方法． 当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时，就得到隐含丰富结论的下列图形： 注：设Rt △ABC 的各边长分别为a 、b 、c (斜边)，运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式： (1)2 c b a r -+=； (2)c b a ab r ++= ． 请读者给出证 【例题求解】 【例1】 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°°，BC=5，⊙O 与Rt △ABC 的三边AB 、 BC、AC分相切于点D、E、F，若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为．思路点拨AF=AD，BE=BD，连OE、OF，则OECF为正方形，只需求出AF(或AD)即可． 【例2】如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点(异于A、B)，过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连结ON，NP，下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP：③DP·P C为定值； ④FA为∠NPD的平分线，其中一定成立的是( ) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④ 思路点拨本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形，判定性质等重要几何知识，注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换，推导出NP∥AD∥BC是解本例的关键． 【例3】如图，已知∠ACP=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，过A、C、D 三点的圆交AB于F，求证：F为△CDE的内心． 重心 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 证明方法： 设三角形三个顶点为(x 1,y 1 ),(x 2 ,y 2 ),(x 3 ,y 3 ) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平 方和为： (x 1-x)2+(y 1 -y)2+(x 2 -x)2+(y 2 -y)2+(x 3 -x)2+(y 3 -y)2 =3x2-2x(x 1+x 2 +x 3 )+3y2-2y(y 1 +y 2 +y 3 )+x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2 =3[x-1/3*(x 1+x 2 +x 3 )]2+3[y-1/3*(y 1 +y 2 +y 3 )]2+x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2-1/3(x 1 +x 2 +x 3 )2-1/3(y 1 +y 2 +y 3 )2 显然当x=(x 1+x 2 +x 3 )/3,y=(y 1 +y 2 +y 3 )/3（重心坐标）时 上式取得最小值x 12+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2-1/3(x 1 +x 2 +x 3 )2-1/3(y 1 +y 2 +y 3 )2 。 最终得出结论。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数， 即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]； 空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，纵坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。 7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+ 向量OC） — 八年级数学竞赛讲座四 边形 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8- 八年级数学竞赛讲座 四边形（2） 一、 知识要点： 1、梯形的定义、判定； 2、等腰梯形的定义、性质、判定； 3、三角形、梯形的中位线定理； 二、 例题： 1、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，求其中面积最小的那个梯形的两条对角线的长度之和； 2、已知：如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＞CD ，两对角线AC 、BD 相互垂直，若BC=213，AB+CD=34，求AB ，CD 的长； 3、如图：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAC=90°，AB=AC ，BD=BC ，AC 与BD 相交于点E ，求∠DCE 的度数； 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 分别 是BC 、AD 的中点，BA 、CD 的延长线分别与EF 的延长线交于点M 、N 求证：∠AMF=∠CNE 5、已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是 两底AD 、BC 的中点，且EF=2 1（BC －AD ）， 求证：∠B+∠C=90°； 6、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中点， G 为AD 的中点，CG 的延长线交AB 于点E ，EF ∥AC 交AD 于 点F ，求证：BE=2CF ； 7、已知：如图，M 是AB 的中点，C 是AB 上任意一点，N 、P 分别是DC 、DB 的中点，Q 是MN 的中点，PQ 的延长线交AC 于点E ， 求证：E 是AC 的中点； 8、如图：四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD ，∠ABC ≠∠ADC ， ∠ABC ，∠BCD ，∠CDA ，∠DAB 的平分线两两相交于E 、F 、G 、H ， 求证：四边形EFGH 为等腰梯形； 9、已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，E 为AB 的中点，DE ⊥CE ，求证：AD+BC=DC ； 10、已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 中点， EF ⊥AB 于F ， 求证：AB EF S ABCD ?=梯形 11、在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，将BC 按逆时针方向绕点B 旋转90°，得到线段BE ，连接AE 、CE ，（如图（1））。 ①若AB=2厘米，DC=3厘米，求证：1=?ABE S 平方厘米； A D F E B C 初二竞赛专题：相似三角形 1.如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F ．证明： 111 AB CD EF += ． 2.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长． 3.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，396AD BC AB ===，，，4CD =，若EF BC ∥，且 梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，求EF 的长． 两个常见模型：如图，已知直线EF BC ∥，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点， 则 BD EG DC FG = ． O F E D C B A F E D C B A F E D C B A G F E D C B A B D A E G F C 4.一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)．求证： 5.如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 6.如图，边长为1的等边ABC △，BC边上有一点D，1 3 BD=，AC上有一点E ，60 ADE ∠=o，求EC的长．7.已知，B是AC中点，D、E在AC的同侧，且ADB EBC ∠=∠，DAB BCE ∠=∠，证明：BDE ADB ∠=∠． E D C B A D E B C A 8.如图，在ABC △中，60BAC ∠=o ，点P 是ABC △内一点，且APB BPC CPA ∠=∠=∠，若8PA =，6PC =，求PB 的长． 9.如图，在锐角ABC △中，AD 、CE 分别为BC 、AB 边上的高，ABC △和BDE △的面积分别等于18和2， 22DE =，求点B 到AC 的距离． 10.如图所示，已知3个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠． 11.如图，在ABC △中，AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证： 2FD FB FC =?． E D C A B P C B A H G B A 有关三角形五心的经典试题 三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心. 三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. 例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于 MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP =NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点 N 是△P ′PC 的外心.有 ∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ， ∠PP ′C =21∠PNC =2 1 ∠BAC . ∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC . 从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC . 例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为 顶点的三角形与△ABC 相似. (B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》) 分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ， △CSQ 的外心，作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外 心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C . ∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+ ∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360° 将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=2 1 ∠O 2O 1K = 21 (∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21 (∠O 2O 1S +∠PO 1O 2) =2 1 ∠PO 1S =∠A ； 同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC . 二、重心 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 A B C P P M N 'A B C Q K P O O O ....S 123 三角形 一．选择题（共8小题） 1．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB＝3，BC＝4，CD＝5，则AD的长为（） A．3B．4 C．2D．4 2．如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P 与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（） A．钝角三角形B．直角三角形 C．等边三角形D．非等腰三角形 3．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10，BC＝15，MN＝3，则△ABC的周长是（） A．38 B．39 C．40 D．41 （1）（2）（3） 4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°， AB ＝，AD＝1+，CD＝2，则BC边的长为（） A．2﹣B ．C ．D ． 5．已知某等腰三角形的腰和底分别是一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根，则此三角形的周长是（） A．11 B．7 C．8 D．11或7 6．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为（） A ．B．4 C ．D． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝m，P为BC上任意一点，则PA2+PB?PC的值为（）A．m2B．m2+1 C．2m2D．（m+1）28．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BF⊥AD，AD的延长线交BF于E，且E为垂足，则结论①AD＝BF，②CF＝CD，③AC+CD＝AB，④BE＝CF，⑤BF＝2BE，其中正确的结论的个数是（） A．4 B．3 C．2 D．1 （6）（7）（8） 二．填空题（共12小题） 9．如图所示△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论： ①AE＝CF；②△EPF为等腰直角三角形；③S四边形AEPF ＝；④EF＝AP； 当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论始终正确的有（填序号）． 10．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10，则CE的长为． 11．如图所示，点E、F分别是正△ABC的边AC、AB上的点，AE＝BF，BE，CF相交于点P，CQ⊥BE于Q，若PF＝1，PQ＝3，则BE＝． （9）（10）（11） 12．如图，已知△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，且AD＝DB，DC＝CA，则∠BAC 第七讲 二次根式的运算 式子a (a ≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础． (1)c b a c b c a )(±=± (≥0)； (2)ab b a =? (0,0≥≥b a )； (3) b a b a = (0,0>≥b a )； (4)22)(a a =(≥a 0)． 同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念． 二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等． 例题求解 【例1】 已知2542 4 52 22+-----= x x x x y ，则22y x += ． (重庆市竞赛题) 思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手． 注： 二次根式有如下重要性质： (1)0≥a ，说明了a 与a 、n a 2一样都是非负数； (2) a a =2)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化； (3) a a =2)(，揭示了与绝对值的内在一致性． 著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题． 【例2】 化简2 2 ) 1(111++ + n n ，所得的结果为（ ） A ．1111++ + n n B ．1111++-n n C ．1111+-+n n D ．1 1 11+--n n (武汉市选拔赛试题) 思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式． 注 特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律． A. B. 33 C. 39 D. 15 C A B C P 图 8-2 图 8-1 D A A. 4cm 10cm B. 5cm 10cm C. 4cm 2 3cm D. 5cm 2 3cm a C. D. 初中数学竞赛专项训练（8） （命题及三角形边角不等关系） 一、选择题： 1、如图 8-1，已知 AB ＝10，P 是线段 AB 上任意一点，在 AB 的同侧分别以 AP 和 PB 为边作两个等边三 角形 APC 和 BPD ，则线段 CD 的长度的最小值是 （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 5( 5 - 1) 2、如图 8-2，四边形 ABCD 中∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，AD ＝8，AB ＝7， 则 BC ＋CD 等于 （ ） A. 6 3 B. 5 3 C. 4 3 D. 3 3 3、如图 8-3，在梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，BC ＝9，AB ＝6，CD ＝4，若 EF ∥BC ，且梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的周长相等，则 EF 的长为 （ ） 45 7 5 5 2 C D A D D E F B 图 8-3 4、已知△ABC 的三个内角为 A 、B 、C 且α ＝A+B ，β ＝C+A ，γ ＝C+B ，则α 、β 、γ 中，锐角的个数 最多为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 5、如图 8-4，矩形 ABCD 的长 AD ＝9cm ，宽 AB ＝3cm ，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，那么折叠后 DE 的长和折痕 EF 的长分别为 （ ） E A D B F C B C C 图 8-4 6、一个三角形的三边长分别为 a ，a ，b ，另一个三角形的三边长分别为 a ，b ，b ，其中 a>b ，若两个三角 形的最小内角相等，则 的值等于 （ ） b A. 3 + 1 2 B. 5 + 1 2 3 + 2 2 5 + 2 2 7、在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是 （ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 8、若函数 y = kx (k > 0) 与函数 y = 1 x 的图象相交于 A ，C 两点，AB 垂直 x 轴于 B ，则△ABC 的面积为 （ ） A. 1 B. 2 C. k D. k 2 二、填空题 1、若四边形的一组对边中点的连线的长为 d ，另一组对边的长分别为 a ，b ，则 d 与 ＿＿＿＿＿＿ a + b 2 的大小关系是＿ 第十讲全等三角形 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点，运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题． 利用全等三角形证明问题，关键在于从复杂的图形中找到一对基础的三角形，这对基础的三角形从实质上来说，是由三角形全等判定定理中的一对三角形变位而来，也可能是由几对三角形组成，其间的关系互相传递，应熟悉涉及有公共边、公共角的以下两类基本图形： 例题求解 【例1】如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AC＝AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN，其中正确的结论是 (把你认为所有正确结论的序号填上)． (广州市中考题) 思路点拨对一个复杂的图形，先找出比较明显的一对全等三角形，并发现有用的条件，进而判断推出其他三角形全等． 注两个三角形的全等是指两个图形之间的一种‘对应”关系，“对应’两字，有“相当”、“相应”的含意，对应关系是按一定标准的一对一的关系，“互相重合”是判断其对应部分的标准．实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，但其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻拆、旋转等方法得到，这种改变位置，不改变形状大小的图形变动叫三角形的全等变换． 【例2】在△ABC中，AC＝5，中线AD＝4，则边AB的取值范围是( ) A．1 第十八讲由中点想到什么 线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么?常见的联想路径是： 1．中线倍长； 2．作直角三角形斜边中线； 3．构造中位线； 4．构造中心对称全等三角形等． 熟悉以下基本图形，基本结论： 例题求解 【例1】如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点， AB=10cm，则MD的长为．(“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨取AB中点N，为直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理的运用创造条件． 注证明线段倍分关系是几何问题中一种常见题型，利用中点是一个有效途径，基本方法有： (1)利用直角三角斜边中线定理； (2)运用中位线定理； (3)倍长(或折半)法． 【例2】如图，在四边形ABCD中，一组对边AB=CD，另一组对边AD≠BC，分别取AD、BC的中点M、N，连结MN．则AB与MN的关系是( ) A．AB=MN B．AB>MN C．AB 思路点拨 中点M 、N 不能直接运用，需增设中点，常见的方法是作对角线的中点． 【例3】如图，在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 中点，连结CE 、CD ，求证：C D=2EC ． (浙江省宁波市中考题) 思路点拨 联想到与中位线相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，解题的关键是恰当添辅助线． 【例4】 已知：如图l ，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥ CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证FG= 21(AB+BC+AC)． 若(1)BD 、CF 分别是△ABC 的内角平分线(如图2)； (2)BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线(如图3)，则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明． (2003年黑龙江省中考题) 思路点拨 图1中FG 与△ABC 三边的数量关系的求法(关键是作辅助线)，对寻求后两个图形中线段FG 与△ABC 三边的数量关系起着重要作用，而由平分线、垂线发现中点，这是解题的基础． 注 三角形与梯形的中位线．在位置上涉及到平行，在数量上是上下底和的一半，它起着传递角的位置关系和线段长度的功能，在证明线段倍分关系、两直线位置关系、线段长度的计算等方面有着广泛的应用． 初中数学竞赛常用公式Last revision on 21 December 2020 初中数学常用公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理：三角形两边的和大于第三边 16 推论：三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 18 推论1：直角三角形的两个锐角互余 19 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS)：有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 三角形的五心 三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 一．三角形的外心 定理1：三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 定理2：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 定理3：锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 定理4：AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠= ∠2 1 ,21,21 1.如图所示，在锐角ABC ?中，BC AD ⊥于D ，AC DE ⊥于E ，AB DF ⊥于F ，O 为ABC ?的外心. 求证：（1）AEF ?∽ABC ? (2)EF AO ⊥ O F E D C B A 2.设O 为锐角ABC ?的外心，连接CO BO AO ,,并延长分别交对边于N M L ,,，则 CN BM AL 1 11++的值是_______________.(设R 为ABC ?外接圆半径) 二．三角形的内心 定理1：三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 定理2：三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 定理3：内切圆半径r 的计算： 设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =S p ． 特别的，在直角三角形中,有 r =1 2 (a +b －c )． A B C O I K H E F A B C M B C D A I B C E D A 定理4：I 为三角形的内心，A 、B 、C 分别为三角形的三个顶点，延长AO 交BC 边于N ，则有AI: IN=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 定理5：,2 1 90A BIC ∠+ =∠ B CIA ∠+=∠2190 ， C AIB ∠+=∠2190 。 3.如图所示，⊙1O 与⊙2O 相交于B A ,两点，且2O 在⊙1O 的圆周上，弦C O 2交⊙2O 于D 。证明：D 是ABC ?的内心. 4.如图，在ABC ?中，点D 、E 是ABC ∠，ACB ∠的三等分线的交点，当?=∠60A 时，求BDE ∠度数 5.如图，I 是ABC ?的内心，AI 的延长线交ABC ?的外接圆于D ，则，DC DB DI == 数学竞赛讲义第一节 一．高中数学竞赛介绍 一试 考试时间为上午8：00-9：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分120分。其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。 加试（二试） 考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学。 二．答题策略 保证1试所有知识点都练习过的基础上，2试选择平面几何+1题的方式去练习。 三．考试知识点 一试 全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。 二试 1、平面几何 基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。 几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理： 在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。 在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。 几何中的运动：反射、平移、旋转。 复数方法、向量方法。 平面凸集、凸包及应用。 2、代数 在一试大纲的基础上另外要求的内容： 周期函数及周期，带绝对值的函数的图像。 三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。 第二数学归纳法。 递归，一阶、二阶递归，特征方程法。 函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。 ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。 复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。 圆排列，有重复的排列及组合，简单的组合恒等式。 一元n次方程（多项式）根的个数，根及系数的关系，实系数方程虚根成对定理。 简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。 3、立体几何 多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。 正多面体，欧拉定理。 体积证法。 第三十讲 数形互助 数和形是数学研究的基本对象，是数学产生和发展的两块基石，在数学发展的过程中，数和形常常结合在一起，在方法上互相渗透，在内容上互相联系． 以数助形，即恰当地引参或设元，把一些几何量如角度的大小、线段的长度等用字母或代数式表示，利用图形的性质，寻找几何图形元素之间的关系，通过解方程、等式变形、等式运算等代数方法解证几何题． 用形辅数，即把一个代数问题转化为一个图形，问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，借助图形的直观性辅助解题，在代数的学习中，我们广泛地使用了用形辅数的方法，如用数轴赋予抽象的代数概念以直观的形象、乘法公式的几何表示、解应用题时常借助直线图、图表帮助分析等． 例题求解 【例1】 若a 、b 均为正数，且22b a +，242b a +，224b a +是一个三角形的三 条边的长，那么这个三角形的面积等于 ． ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 直接用三角形面积公式求面积较为复杂，利用22n m +的几何意义(表示直角边分别为m ，n 的直角三角形斜边长)，构造图形求面积． 注 古埃及，在长期土地测量、划分界限的过程中形成了最初的几何学．“Geometry(几何)”一词在希腊文中意为“测量”，我国宋元时期巳将某些几何问题代数化，把图形之间的几何关系，表示成代数式之间的代数关系． 17世纪笛卡尔的解析几何引进坐标，用“数”研究“形”，为18、19世纪数学的空前发展作了准备． 【例2】 如图，在△ABD 中，C 为AD 上一点，AB=CD=1，∠ABC=90°，∠CBD=30°，则AC=( ) A ．1 B ．32 C ．2 D ．3 (武汉市选拔赛试题) 思路点拨 过D 作DE ⊥AB 交AB 延长线于E ，设AC=x ，BE=y ，运用平行线分线段成比例、直角三角形边角关系、勾股定理等知识建立方程组，通过解方程组求AC 的值． 【例3】 如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，CE=1，CF=3 4，直线FC 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的动点H 作HM ⊥AG ，HN ⊥AD ，垂足分别为M ，N ，设HM=x ，矩形AMHN 的面 积为y ． (1)用x 的代数式表示y ； 垂心 三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 锐角三角形垂心在三角形内部。 直角三角形垂心在三角形直角顶点。 钝角三角形垂心在三角形外部。 垂心是高线的交点 垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线的交点。 三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 三角形上作三高，三高必于垂心交。 高线分割三角形，出现直角三对整， 直角三角有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清， 重心 重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。 重心的几条性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：（z1+z2+z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点 内心 内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。 内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。 内心定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。 注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定理其实极易证。 若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。 直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。 希望对你有帮助！三角形五心定律 三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定律指是三角形重心定律，外心定律，垂心定律，内心定律，旁心定律的总称。 一、三角形重心定律 三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做作三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 重心的性质： 初中数学竞赛专题分类解析：特殊三角形 一、基础知识： 1）等腰三角形：对称性；底边上的高、中线和角平分线三线合一。 2）正三角形：旋转中的不变性，60 度和120 度；重心、外心、内心、垂心四心合一；内部任何一点到三边的距离和为定值；…… 3）直角三角形：勾股定理；代数化与数形结合；射影定理；斜边中线；共圆； 4）特殊的直角三角形：等腰直角三角形—对称性，旋转不变性；含30 度角的直角三角形—30 度角所对直角边是斜边的一半，包含一个等边三角形和一个顶角为120 度的等腰三角形。 二、例题分析 例1、如下左图，在四边形ABCD 中，∠B=135 度，∠C=120 度，AB=2， BC=4-2，CD=4，求AD 的长度。 例2、如上右图，四边形ABCD，对角线AC、BD 交于点E，I 是△BEC 的内心，BD⊥AC，且BD=AC=BC，M 是BC 的中点，求证：IM⊥AD，AD=2IM. 例3、如下左图△ABC 中，AB=AC，在AB 边上有两点P 和Q，在AC 边上有两点R 和S，且PQ=RS，M 和N 分别是PR 和QS 的中点，求证：MN⊥BC。 例4、如上右图，等腰△ABC 中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，作∠C 的平分线交DF 于点G，DG=3，BC=16，若∠BED=2∠D FC，求BE 的长。 例5、如下左图，等边△ABC 的边长为4，D 是AC 边上的动点，连接BD，以BD 为斜边向上作等腰直角三角形BDE，连接AE，求AE 长的最小值。 例6、如上右图，△ABC 中，∠B AC=60 度，∠AT C=∠B TC=∠CT A=120 度，M 是BC 的中点，求证：2AM=TA+TB+TC。 例 7、如下图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，DF⊥AB 于点 F，A E⊥CF 于点 E 且交 DF 于点 M，求证，M 是 DF 的中点。(完整word版)高中数学竞赛平面几何讲座第5讲三角形的五心
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