八年级数学竞赛讲座分式 Revised by Jack on December 14,2020
八年级数学竞赛讲座 分式
一、知识结构：
1、分式的有关概念；
2、分式的基本性质；
3、分式的乘除与乘方；
4、分式的加减；
二、典型例题：
例1、x 为何值时，下列分式有意义 ①122+-x x ②x
111+ ③222--+x x ax x ④3||62---x x x
例2、x 为何值时，下列分式的值为0 ①62322-++-x x x x ②2
22--+x x ax x
例3、已知x 为非零实数，那么|
|||||33
22x x x x x x ++的值
例4、若x+2是多项式b ax x x +++23的一个因式，03222≠++b ab a ,求分式 2223323244b
ab a b a b a ab ++-+-的值
例5、化简下列分式：
（1）
)
2)(2()2)(2()2)(2(a x c x a c c x b x c b b x a x b a ++-+++-+++-
（2）
1814121111842+-+-+-+--x x x x x
（3）87
4261)1)(1)(1(x
x x x x x -++++
（4）[])(11[])2(11][)1(11222n x x x +-+-+-
例6、(1)已知
211=-b a ，求b ab a b ab a ---+322的值
(2) 已知：)0(0132≠=+-x x x ，求441x
x +
的值
（3）已知712=+-x x x ，则求1242++x x x 的值
（4）已知012=++a a ，求20022002)1(a
a +的值
（5）已知0132,02=-+=--z y x z y x ，求2222
2272322z y x z y x --+-的值
（6）若y
x z x z y z y x +=+=+＝k ，求k 的值
（7）已知
k a a a a a a a a a a a a a a a a =++=++=++=++4
321342124311432，求k 的值
（8）已知：05442222=+--++y x y x y x ， 求22
2222244)(22y y x y
xy xy x y xy x y x +÷--?-+-的值
例7、已知,0,1=++=++z c y b x a c z b y a x 求证：1222222=++c
z b y a x ；
例8、已知abc=1，求证：
11
11=++++++++c ca c b bc b a ab a ；
作业题：
1、计算：
（1）158137)43542132(22++++÷++-+++++-++x x x x x x x x x x x x ；
（2）
)
)(())(())((a x a b c b b x b a c b b x a x c x ---+---+--- （3）442
2222232233223311y x y x y x y x y xy y x x y y xy y x x x -+-+--+-+-++++
（4）2
33
311111222231111222223++
2、已知使分式
11
7++bx ax 有意义的一切x 的值，都使这个分式的值为一个定值，求a 、b 应满足的条件；
3、把a b b a -写成两个因式的积，使这两个因式的和为a b b a +，求出这两个因式；
4、已知),3,2,1(11,11 =-
==+n a a x a n n ，求20005432,,,,a a a a a ；
5、不等于零的三个数a 、b 、c 满足
c
b a
c b a ++=++1111， （1）求证：a ，b ，c 中至少有两个互为相反数； （2）求abc
c b a b a a c c b 3)()()(3333
33-+++++++的值；
6、设by ax z ax cz y cz by x +=+=+=,,，求
111+++++c c b b a a 的值；
时刻、时间与钟表 同学们，你一定知道钟表是用来记时的，爸爸妈妈当你很小时就会教你如何看钟表、报时间，可钟表里有许多有趣的数学问题。 什么叫“时间”它有两层意思： 1.表示某一种特定时候。 如：北京时间八点整。每天早上六点起床等等，为了区别别一种含义，我们把表示某一种特定的时候，叫时刻。（也叫点） 2.表示两个不同时刻的间隔。 如：从早上8时到10时，花了2个小时的时间写作业，从杭州到上海火车运行的时间是2小时30分。这叫做时间。 我们可以从单位名称上来区分时刻与时间的差异。 时刻，一般用“时”如：飞机上午8时起航，指飞机离开机场时刻。时间一般用“小时”共飞行了8小时，指飞机从上午8时起飞到下午4时降落，在空中飞行了8个小时。 同学们不仅要会读钟面上显示的时刻，还要学会观察钟面所表示的不同的时刻之间的时间关系。找出规律。 如：长短针位置的判断时刻，确定长，短针互换位置后的时刻，反射到镜面上的钟面的时刻等等。有利于培养自己观察能力。 例1根据前3个钟面的规律，画出第4个钟面的长、短针。 3 分析：前面三个钟表所表示的时刻分别是1时，3时30分，6时，相邻两个钟的时间差都是2小时30分。因此第4个钟也应是在第3个钟6点的基础上增加2小时30分，应显示出的时刻是8点30分
例2按次序观察图中各钟面所表示的时刻，找出各种钟面所表示的时间规律，请在第5只钟面上标出符合规律的时刻 分析：把各钟面表示的时刻依次排列起来 11点30分→12点5分→12点40分→1点15分→（）→2点25分 发现它们相邻两钟的间隔时间都是35分钟，因此第5个钟面的时刻应是1点50分。 例3见图：是反射在镜面上的两只钟面的长针和短针的位置，请说出各钟面的时刻？ 分析：同学们我们只要用镜子实践一下，就会发现任何物体经过镜面反射，它的位置发生了
初一数学竞赛系列讲座(9) 应用题（一） 一、一、知识要点 1、 1、 应用题是中学数学的重要内容之一，它着重培养学生理解问题、分析问题和解决问 题的能力，解应用题最主要的方法是列方程或方程组。 2、 2、 列方程(组)解应用题的一般步骤是： (1) (1) 弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知数； (2) (2) 找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系； (3) (3) 根据这个相等关系列出方程； (4) (4) 解这个方程，求出未知数的值； (5) (5) 写出答案(包括单位名称)。 3、行程类问题 行程类问题讨论速度、时间和路程之间的相互关系。它们满足如下基本关系式： 速度?时间=路程 4、数字类问题 数字类问题常用十进制来表示数，然后通过相等关系列出方程。 解数字类问题应注意数字间固有的关系，如：连续整数，一般设中间数为x ，则相邻两 数分别为x-1、x+1；连续奇(偶)数，一般设中间数为x ，则相邻两数分别为x-2、x+2。 二、二、例题精讲 例1 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶 20千米，下坡时每小时行驶35千米，。车从甲地开往乙地需9小时，乙地开往甲地需21 7小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(第五届华杯赛复赛题) 分析 本题用方程来解简单自然。 解 设从甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为y 千米，根据题意得方程组 ?????=+=+(2) 2172035(1) 93520y x y x 解这个方程组有很多种方法。例如代入消元法、加减消元法等。由于方程组系数比较特殊(第 一个方程中x 的系数201恰好是第二个方程中y 的系数，而y 的系数351 也恰好是第二个方程中x 的系数)，也可以采用如下的解法： (1)+(2)得 (x+y)( 201+351)=9+217
八年级数学竞赛讲座 三角形的有关概念 一、知识结构： 1、三角形的定义； 2、三角形的角平分线、中线、高； 3、三角形的三边之间的关系； 4、三角形的内角和定理及其推论； 5、同一个三角形中边与角之间的关系； 6、三角形的分类； 二、典型例题： 1、△ABC 三边长分别为a,b,c,且)(2 c b a bc a -=-,则这个三角形一定是( ) A.三边不相等的三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.任意三角形 2、△ABC 三边长分别为a,b,c,且,2 2 2 ca bc ab c b a ++=++则这个三角形一定是( ) A.不等边三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.任意三角形 3、已知等腰三角形的一边等于4，一边等于9，则它的周长是（ ） A 、17 B 、22 C 、12或22 D 、20 4、下面四个命题中不正确的是（ ） A ．在△ABC 中，设三个内角中最小的角为α，则0°＜α≤60° B ．在△AB C 中，三个内角α：β：γ=1：2：3，则这个三角形是直角三角形； C ．在△ABC 中，β为三个内角中最大的角，则60°＜β＜180° D ．在△ABC 的内角中，锐角的个数最多； 5、等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长； 6、如图：AF 、AD 分别是△ABC 的高和角平分线， 且∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF 的度数； 7、△ABC 中，AB=5，AC=3，则BC 边上的中线AD 的长l 的取值范围是多少？ 8、已知斜三角形ABC 中，∠A=55°，三条高所在直线交点为H ，求∠BHC 的度数； A B D F C
第五讲 计算——工具与算法的变迁 研究数学、学习数学总离不开计算，随着时代的变迁，计算工具在不断地改变，从中国古老的算盘、 纸笔运算发展到利用计算器、计算机运算． 初中代数中运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的理解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上，这要求我们要善于观察问题的结构特点，灵活选用算法和技巧，有理数的计算常用的方法与技巧有： 1．巧用运算律； 2．用字母代数； 3．分解相约； 4．裂项相消； 5．利用公式； 6．加强估算等． “当今科学活动可以分成理论、实验和计算三大类，科学计算已经与理论研究、科学实验一起，成为第三种科学方法．——威尔逊 注：威尔逊，著名计算物理学家，20世纪80年代诺贝尔奖获得者． 【例1】 现有四个有理数3，4，6-，l0，将这4个数(每个数用且只用一次)进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，其三种本质不同的运算式有： (1) ；(2) ；(3) ． (浙江省杭州市中考题) 思路点拨 从24最简单的不同表达式人手，逆推，拼凑． 链接： 今天，计算机泛应用于社会生活各个方面，计算机技术在数学上的应用，不但使许多繁难计算 变得简单程序化，而且还日益改变着我们的观念与思维． 著名的计算机专家沃斯说过：“程序=算法十数据结构”． 有理数的计算与算术的计算有很大的不同，主要体现在： (1)有理数的计算每一步要确定符号； （2）有理数计算常常是符号演算； (3)运算的观念得以改变，如两个有理数相加，其和不一定大于任一加数；两个有理数相减，其差不一定小于被减数． 程序框图是一种用规定、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形，能清晰地展现算法的逻辑结构，常见的逻辑结构有：顺序结构、条件结构和循环结构． 【例2】 如果4个不同的正整数q p n m 、、、满足4)7)(7)(7)(7(=----q p n m ，那么，q p n m +++等于( )． A ．10 B ．2l C ．24 D ．26 E ．28 (新加坡数学竞赛题) 思路点拨 解题的关键是把4表示成4个不同整数的形式． 【例3】 计算： (1)100 321132112111+++++++++++ ； (“祖冲之杯”邀请赛试题) (2)19492 —19502 +19512 —19522 +…+19972 —19982 +19992 (北京市竞赛题) (3)5+52+53+…十52002 ． 思路点拨 对于(1)，首先计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形人手；(2)式使人易联想到平方差公式，对于(3)，由于相邻的后一项与前一项的比都是5，可从用字母表示和式着手．
初一数学竞赛系列讲座 解一次方程（组）与一次不等式（组） 一、知识要点 1．一次方程组 解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法” 2．不定方程 不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解或正整数解。 定理：若整系数不定方程ax+by=c (a 、b 互质)有一组整数解为x 0，y 0，则此方程的全部整数 解可表示为：???-=+=)k ( 00为任意整数这里ka y y kb x x 3.一元一次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。 它的标准形式：ax+b ＜0或ax+b ＞0（a ≠0） 解不等式的根据是不等式的同解原理。 4．不等式的基本性质和同解原理 不等式的基本性质 (1)反身性 如果a ＞b ，那么b ＜a (2)传递性 如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c (3)平移性 如果a ＞b ，那么a+c ＞b+c (4)伸缩性 如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc 不等式的同解原理1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式。 不等式的同解原理2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。 不等式的同解原理3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式。 5．解一元一次不等式的步骤 （1）去分母（根据不等式性质2或3）； （2）去括号（根据整式运算法则）； （3）移项（根据不等式基本性质1）； （4）合并同类项（根据整式的运算法则）； （5）将x 项系数化为1（根据不等式性质2或3）； 6．不等式组及其解集 几个一元一次不等式合在一起，就成了一元一次不等式组；几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。 7．解一元一次不等式组的方法和步骤：
八年级数学竞赛讲座四 边形 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-
八年级数学竞赛讲座 四边形（2） 一、 知识要点： 1、梯形的定义、判定； 2、等腰梯形的定义、性质、判定； 3、三角形、梯形的中位线定理； 二、 例题： 1、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，求其中面积最小的那个梯形的两条对角线的长度之和； 2、已知：如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＞CD ，两对角线AC 、BD 相互垂直，若BC=213，AB+CD=34，求AB ，CD 的长； 3、如图：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAC=90°，AB=AC ，BD=BC ，AC 与BD 相交于点E ，求∠DCE 的度数； 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 分别 是BC 、AD 的中点，BA 、CD 的延长线分别与EF 的延长线交于点M 、N 求证：∠AMF=∠CNE 5、已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是 两底AD 、BC 的中点，且EF=2 1（BC －AD ）， 求证：∠B+∠C=90°；
6、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中点， G 为AD 的中点，CG 的延长线交AB 于点E ，EF ∥AC 交AD 于 点F ，求证：BE=2CF ； 7、已知：如图，M 是AB 的中点，C 是AB 上任意一点，N 、P 分别是DC 、DB 的中点，Q 是MN 的中点，PQ 的延长线交AC 于点E ， 求证：E 是AC 的中点； 8、如图：四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD ，∠ABC ≠∠ADC ， ∠ABC ，∠BCD ，∠CDA ，∠DAB 的平分线两两相交于E 、F 、G 、H ， 求证：四边形EFGH 为等腰梯形； 9、已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，E 为AB 的中点，DE ⊥CE ，求证：AD+BC=DC ； 10、已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 中点， EF ⊥AB 于F ， 求证：AB EF S ABCD ?=梯形 11、在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，将BC 按逆时针方向绕点B 旋转90°，得到线段BE ，连接AE 、CE ，（如图（1））。 ①若AB=2厘米，DC=3厘米，求证：1=?ABE S 平方厘米； A D F E B C
条件分式求值的方法与技巧 求条件分式的值是分式化简、计算的重要内容，解题主要有以下三个方面： 一、将条件式变形后代入求值 例1已知432z y x ==，z y x z y x +--+22求的值． 解：设4 32z y x ==＝k ， 则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ． ∴ 原式＝5 45443224322==+-?-?+k k k k k k k k ． 说明：已知连比，常设比值k 为参数，这种解题方法叫参数法． 例2已知的值求 b a b a b ab a +-=-+,0622． 解：由0622=-+b ab a 有（a ＋3b ）（a －2b ）＝0， ∴ a ＋3b ＝0或a －2b ＝0， 解得a ＝－3b 或a ＝2b ． 当a ＝－3b 时，原式＝ 233=+---b b b b ； 当a ＝2b 时，原式＝3122=+--b b b b ． 二、将求值变形代入求值． 例3已知)1 1()11()11(,0c b a a c b b a c c b a +++++=++求的值． 解：原式＝1)111(1)111(1)111(-+++-+++-++a c b a b a c b c b a c ＝3))(111(-++++a b c c b a ∵ a ＋b ＋c ＝0， ∴ 原式＝－3． 例4已知31=+x x ，的值求1 242 ++x x x ． 分析：∵ 1)1(111222224-+=++=++x x x x x x x ， ∴ 可先求值式的倒数，再求求值式的值．
解：∵ 1)1(12224-+=++x x x x x 8132=-=， ∴ 8 11242=++x x x ． 三、将条件式和求值式分别变形后代入求值． 例5 已知y xy x y xy x y x ---+=-2232,311则分式的值为__________． 解法一：∵ 311=-y x ， ∴ y －x ＝3xy ?x －y ＝－3xy ． ∵ 原式＝xy y x xy y x 2)(3)(2--+- 5 3233)3(2=--+-=xy xy xy xy ． 解法二：将分子、分母同除以xy （≠0）． ∴原式＝x y x y 121232---+ 5 332323)11(2)11(23=--?-=-----=y x y x 分析：∵ 填空题不需要写出解题过程，故可取满足已知等式的特殊值求解． 解法三：取x ＝2 1，y ＝－1，
第四讲一元一次方程 方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧． 用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的． 如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集． 只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解． 一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定： (2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解； (3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解． 例1解方程 解法1从里到外逐级去括号．去小括号得 去中括号得
去大括号得 解法2按照分配律由外及里去括号．去大括号得 化简为 去中括号得 去小括号得 例2已知下面两个方程 3(x+2)=5x，① 4x－3(a－x)=6x－7(a－x) ② 有相同的解，试求a的值． 分析本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值． 解由方程①可求得3x－5x=－6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有
初一数学竞赛讲座(三) 数字、数位及数谜问题 一、 知识要点 1、整数的十进位数码表示 一般地，任何一个n 位的自然数都可以表示成： 122321*********a a a a a n n n n +?+?++?+?---Λ 其中，a i (i=1，2，…，n)表示数码，且0≤a i ≤9，a n ≠0. 对于确定的自然数N ，它的表示是唯一的，常将这个数记为N=121a a a a n n Λ- 2、正整数指数幂的末两位数字 (1) (1) 设m 、n 都是正整数，a 是m 的末位数字，则m n 的末 位数字就是a n 的末位数字。 (2) (2) 设p 、q 都是正整数，m 是任意正整数，则m 4p+q 的末 位数字与m q 的末位数字相同。 3、在与整数有关的数学问题中，有不少问题涉及到求符合一定条 件的整数是多少的问题，这类问题称为数迷问题。这类问题不需 要过多的计算，只需要认真细致地分析，有时可以用“凑”、“猜” 的方法求解，是一种有趣的数学游戏。 二、 例题精讲 例1、有一个四位数，已知其十位数字减去2等于个位数字，其 个位数字加上2等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着 次序排列所成的数与原数之和等于9988，求这个四位数。
分析：将这个四位数用十进位数码表示，以便利用它和它的反序 数的关系列式来解决问题。 解：设所求的四位数为a ?103+b ?102+c ?10+d ，依题意得： (a ?103+b ?102+c ?10+d)+( d ?103+c ?102+b ?10+a)=9988 ∴ (a+d) ?103+(b+c) ?102+(b+c) ?10+ (a+d)=9988 比较等式两边首、末两位数字，得 a+d=8，于是b+c18 又∵c-2=d ，d+2=b ，∴b-c=0 从而解得：a=1，b=9，c=9，d=7 故所求的四位数为1997 评注：将整数用十进位数码表示，有助于将已知条件转化为等式， 从而解决问题。 例2 一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新 排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正 好等于原来的数N ，则称N 为“新生数”，试求所有的三位“新生数”。 分析：将所有的三位“新生数”写出来，然后设出最大、最小数，求差 后分析求出所有三位“新生数”的可能值，再进行筛选确定。 解：设N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c(a 、b 、c 不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：cba cab bca bac acb abc ,,,,,，不妨设其中的最大数为abc ，则最小数为 cba 。由“新生数”的定义，得 N=()()()c a a b c c b a cba abc -=++-++=-991010010100
第七讲 二次根式的运算 式子a (a ≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础． (1)c b a c b c a )(±=± (≥0)； (2)ab b a =? (0,0≥≥b a )； (3) b a b a = (0,0>≥b a )； (4)22)(a a =(≥a 0)． 同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念． 二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等． 例题求解 【例1】 已知2542 4 52 22+-----= x x x x y ，则22y x += ． (重庆市竞赛题) 思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手． 注： 二次根式有如下重要性质： (1)0≥a ，说明了a 与a 、n a 2一样都是非负数； (2) a a =2)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化； (3) a a =2)(，揭示了与绝对值的内在一致性． 著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题． 【例2】 化简2 2 ) 1(111++ + n n ，所得的结果为（ ） A ．1111++ + n n B ．1111++-n n C ．1111+-+n n D ．1 1 11+--n n (武汉市选拔赛试题) 思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式． 注 特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律．
分式方程（组） 本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用． 【知识拓展】 分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程组的基本思想是：化为整式方程．通常有两种做法：一是去分母；二是换元． 解分式方程一定要验根． 解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等． 列分式方程解应用题，关键是找到相等关系列出方程．如果方程中含有字母表示的已知数，需根据题竞变换条件，实现转化．设未知数而不求解是常见的技巧之一． 例题求解 一、分式方程(组)的解法举例 1．拆项重组解分式方程 【例1】解方程6 4534275--+--=--+--x x x x x x x x ． 解析 直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子．考虑将每一项分拆：如 7 2175-+=--x x x ，这样可降低计算难度．经检验211=x 为原方程的解． 注 本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x ．这样大大降低了运算量．本讲趣题引路中的问题也属于这种思路． 2．用换元法解分式方程 【例2】解方程08131 821 8111 222=--+-++-+x x x x x x ． 解析 若考虑去分母，运算量过大；分拆也不行，但各分母都是二次三项式，试一试换元法． 解 令x 2+2x —8=y ，原方程可化为0151191=-+++x y y x y 解这个关于y 的分式方程得y=9x 或y=－5x ． 故当y=9x 时，x 2+2x —8=9x ，解得x 1=8，x 2=—1． 当y=－5x 时，x 2+2x —8=－5x ，解得x 3=—8，x 4=1． 经检验，上述四解均为原方程的解． 注 当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化． 3．形如a a x x 11+=+ 结构的分式方程的解法 形如a a x x 11+=+的分式方程的解是：a x =1，a x 12=．
第一讲跨越——从算术到代数 “加里宁曾经说过：数学是锻炼思维的体操，体操能使你身体健康，动作敏捷；数学能使你的思想正确敏捷，有了正确的思想，你们才有可能爬上科学的大山．” _______华罗庚。 华罗庚，我国现代有世界声誉的数学家，初中毕业后，靠自学成才，在数论、矩阵几何等许多领域中做出过卓越贡献． 纵观历史，数学的发展创造了数学符号，新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展．历史是这样一步一步走过来的，并将这样一步一步地继续走下去，数学的每一个进步都必须伴随着新的数学符号的产生．在文明和科学的发展过程中，人类创造用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性．“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．” 用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别． 字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用． 例题讲解 【例1】观察下列等式9—l=8，16—4＝12，25—9＝16，36—16＝20，…… 这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来： ．(河南省中考题) 思路点拨在观察给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特征，发现一般规律．链接：从个别事物中发现一般性规律．这种研究问题的方法叫“归纳法”，是由特殊到一般的思维过程，是发明创造的基础． 【例2】某商品2002年比2001年涨价5％，2003年又比2002年涨价10％，2004年比2003年降价12％，则2004年比2001年( )． A．涨价3％B．涨价1．64％C涨价1．2％D．降价1．2％ 思路点拨设此商品2001年的价格为a元，把相应年份的价格用a的代数式表示，由计算作出判断．
初一数学竞赛讲座特殊 的正整数 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#
初一数学竞赛讲座(二) 特殊的正整数 一、 知识要点 1、完全平方数及其性质 定义1 如果一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数。如：1、4、9、…等都是完全平方数，完全平方数有下列性质： 性质1 任何完全平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9中的一个。 性质2 奇完全平方数的十位数一定是偶数。 性质3 偶完全平方数是4的倍数。 性质4 完全平方数有奇数个不同的正约数。 性质5 完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数，完全平方数与非完全平方数的积是非完全平方数。 2、质数与合数 定义2 一个大于1的整数a,如果只有1和a 这两个约数，那么a 叫做质数。 定义3 一个大于1的整数a,如果只有1和a 这两个约数外，还有其他正约数，那么a 叫做合 数。 1既不是质数也不是合数。 3、质数与合数的有关性质 (1) 质数有无数多个 (2) 2是唯一的既是质数，又是偶数的整数，即是唯一的偶质数。大于2的质数必为奇数。 (3) 若质数p ?a ?b ，则必有p ?a 或p ?b 。 (4) 若正整数a 、b 的积是质数p ，则必有a=p 或b=p. (5) 唯一分解定理：任何整数n(n>1)可以唯一地分解为：k a k a a p p p n 2121=,
其中p 1
第十八讲由中点想到什么 线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么?常见的联想路径是： 1．中线倍长； 2．作直角三角形斜边中线； 3．构造中位线； 4．构造中心对称全等三角形等． 熟悉以下基本图形，基本结论： 例题求解 【例1】如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点， AB=10cm，则MD的长为．(“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨取AB中点N，为直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理的运用创造条件． 注证明线段倍分关系是几何问题中一种常见题型，利用中点是一个有效途径，基本方法有： (1)利用直角三角斜边中线定理； (2)运用中位线定理； (3)倍长(或折半)法． 【例2】如图，在四边形ABCD中，一组对边AB=CD，另一组对边AD≠BC，分别取AD、BC的中点M、N，连结MN．则AB与MN的关系是( ) A．AB=MN B．AB>MN C．AB 思路点拨 中点M 、N 不能直接运用，需增设中点，常见的方法是作对角线的中点． 【例3】如图，在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 中点，连结CE 、CD ，求证：C D=2EC ． (浙江省宁波市中考题) 思路点拨 联想到与中位线相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，解题的关键是恰当添辅助线． 【例4】 已知：如图l ，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥ CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证FG= 21(AB+BC+AC)． 若(1)BD 、CF 分别是△ABC 的内角平分线(如图2)； (2)BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线(如图3)，则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明． (2003年黑龙江省中考题) 思路点拨 图1中FG 与△ABC 三边的数量关系的求法(关键是作辅助线)，对寻求后两个图形中线段FG 与△ABC 三边的数量关系起着重要作用，而由平分线、垂线发现中点，这是解题的基础． 注 三角形与梯形的中位线．在位置上涉及到平行，在数量上是上下底和的一半，它起着传递角的位置关系和线段长度的功能，在证明线段倍分关系、两直线位置关系、线段长度的计算等方面有着广泛的应用． 初中数学竞赛指导：《分式》竞赛专题训练 (含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 《分式》竞赛专题训练 1 分式的概念 分母中含有字母的有理式叫做分式.分式的分母不能为零;只有当分式的分母不为零，而分式的分子为零时，分式的值为零. 经典例题 (1)当x 为何值时，分式22211x x --有意义? (2)当x 为何值时，分式22211x x --的值为零? 解题策略 (1) 要使分式22211x x --有意义，应有分母不为零这个分式有两个分母x 和11x -，它们都不为零，即0x ≠且110x -≠，于是当0x ≠且1x ≠时，分式22211x x --有意义， (2) 要使分式22211x x --的值为零，应有2220x -=且110x -≠，即1x =±且1x ≠，于是当1x =-时，分式22211x x --的值为零 画龙点睛 1. 要使分式有意义，分式的分母不能为零. 2. 要使分式的值为零，应有分式的分母不为零，而分式的分子等于零，以上两条，缺一不可. 举一反三 1. (1)要使分式24 x x -有意义的x 的取值范围是( ) (A)2x = (B) 2x ≠ ( C)2x =- (D)2x ≠- (2)若分式的的值为零，则x 的值为( ) (A)3 (B)3或3- (C) 3- (D)0 2. (1)当x 时，分式 23(1)16x x -+-的值为零; (2) 当x 时，分式2101 x x +≥- 3. 已知当2x =-时，分式x b x a -+无意义;当4x =时，分式的值x b x a -+为零，求a b +. 融会贯通 4. 0≤，求a 值的范围. 2 分式的基本性质 分式的基本性质是:分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变.分式的基本运算，例如改变分子、分母或分式的符号以及通分、约分等，都要用到这个性质.本节主要讲解它在解答一些分式计算综合题时的应用. 经典例题 若2731x x x =-+，求2421x x x ++的值 解题策略 因为 2731 x x x =-+，所以0x ≠ 将等式2731x x x =-+的左边分子、分母同时除以x ，得1713x x =-+，所以有 七年级数学竞赛系列讲座(10) 应用题（二） 一、一、知识要点 1、工程类问题 工程类问题讨论工作效率、工作时间和工作总量之间的相互关系。它们满足如下基本关系式：工作效率?工作时间=工作总量 解工程问题时常将工作总量当作整体“1” 2、溶液类问题 溶质：能溶解到溶剂中的物质。如盐、糖、酒精等。 溶剂：能溶解溶质的物质。如水等。 溶液：溶质和溶剂的混合体。如盐水、糖水、酒精溶液等。 溶液的浓度：指一定量溶液中所含溶质的量，经常用百分数表示。浓度的基本算式是： %100?=溶液量溶质量浓度 二、二、例题精讲 例1江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机 台。(1999年全国初中数学联合竞赛试题) 解：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a 立方米，管涌每分钟涌出的水量为b 立方米，又设每台抽水机每分钟可抽水c 立方米，由条件可得： ????=+?=+c b a c b a 1641640240 解得?? ???==c b c a 323160 如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机的台数为： 6103203 1601010=+=+c c c c b a 评注：本题设了三个未知数a 、b 、c ，但只列出两个方程。实质上c 是个辅助未知数，在解方程时把c 视为常数，解出a ，b(用c 表示出来)，然后再代入求出所要求的结果。 例2 甲、乙、丙三队要完成A 、B 两项工程。B 工程的工作量比A 工程的工作量多25%，甲、乙、丙三队单独完成A 工程所需的时间分别是20天、24天、30天。为了共同完成这两项工程，先派甲队做A 工程，乙、丙二队做B 工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A 工程。问乙、丙二队合作了多少天？(第十四届迎春杯决赛试题) 解：设乙、丙二队合作了x 天，丙队与甲队合作了y 天。将工程A 视为1，则工程B 可视为1+25%=5/4，由题意得： 初一数学竞赛系列讲座 容斥原理 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN# 初一数学竞赛系列讲座(15) 容斥原理 一、 知识要点 1、容斥原理 在计数时，常常遇到这样的情况，作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，需要加上，这就是容斥原理。它的基本形式是： 记A 、B 是两个集合，属于集合A 的东西有A 个，属于集合B 的东西有B 个，既属于集合A 又属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个；属于集合A 或属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个，则有：B A =A +B -B A 容斥原理可以用一个直观的图形来解释。 如图， 左圆表示集合A ，右圆表示集合B ，两圆的公共部分表示B A ，两圆合起来的部分表示B A ， 由图可知：B A =A +B -B A 容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原则。 二、 例题精讲 例1 在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个 分析：根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数。 解：在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2?1，2?2，…，2?100，共100个； 在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3?1，3?2，…，3?66，共66个； 在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为： 6?1， 6?2，…，6?33，共33个； 所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为： 第三十讲 数形互助 数和形是数学研究的基本对象，是数学产生和发展的两块基石，在数学发展的过程中，数和形常常结合在一起，在方法上互相渗透，在内容上互相联系． 以数助形，即恰当地引参或设元，把一些几何量如角度的大小、线段的长度等用字母或代数式表示，利用图形的性质，寻找几何图形元素之间的关系，通过解方程、等式变形、等式运算等代数方法解证几何题． 用形辅数，即把一个代数问题转化为一个图形，问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，借助图形的直观性辅助解题，在代数的学习中，我们广泛地使用了用形辅数的方法，如用数轴赋予抽象的代数概念以直观的形象、乘法公式的几何表示、解应用题时常借助直线图、图表帮助分析等． 例题求解 【例1】 若a 、b 均为正数，且22b a +，242b a +，224b a +是一个三角形的三 条边的长，那么这个三角形的面积等于 ． ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 直接用三角形面积公式求面积较为复杂，利用22n m +的几何意义(表示直角边分别为m ，n 的直角三角形斜边长)，构造图形求面积． 注 古埃及，在长期土地测量、划分界限的过程中形成了最初的几何学．“Geometry(几何)”一词在希腊文中意为“测量”，我国宋元时期巳将某些几何问题代数化，把图形之间的几何关系，表示成代数式之间的代数关系． 17世纪笛卡尔的解析几何引进坐标，用“数”研究“形”，为18、19世纪数学的空前发展作了准备． 【例2】 如图，在△ABD 中，C 为AD 上一点，AB=CD=1，∠ABC=90°，∠CBD=30°，则AC=( ) A ．1 B ．32 C ．2 D ．3 (武汉市选拔赛试题) 思路点拨 过D 作DE ⊥AB 交AB 延长线于E ，设AC=x ，BE=y ，运用平行线分线段成比例、直角三角形边角关系、勾股定理等知识建立方程组，通过解方程组求AC 的值． 【例3】 如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，CE=1，CF=3 4，直线FC 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的动点H 作HM ⊥AG ，HN ⊥AD ，垂足分别为M ，N ，设HM=x ，矩形AMHN 的面 积为y ． (1)用x 的代数式表示y ； 数学竞赛讲座 数论的方法技巧(上) 数论是研究整数性质的一个数学分支,它历史悠久,而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明,“很多数论问题可以从经验中归纳出来,并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚,但要证明它却远非易事”。因而有人说:“用以发现天才,在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生,如能把当今任何一本数论教材中的习题做出,就应当受到鼓励,并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中,数论问题总是占有相当大的比重。 小学数学竞赛中的数论问题,常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有: 1.带余除法:若a,b是两个整数,b>0,则存在两个整数q,r,使得abq+r(0≤r 4.约数个数定理:设n的标准分解式为(1),则它的正约数个数为: d(n)(a1+1)(a2+1)…(ak+1)。 5.整数集的离散性:n与n+1之间不再有其他整数。因此,不等式x初中数学竞赛指导：《分式》竞赛专题训练(含答案)
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