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人教A版选修2-2 1.4 生活中的优化问题举例学案

1.4 生活中的优化问题举例

[学习目标]

1．了解导数在解决实际问题中的作用．

2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． [知识链接]

设两正数之和为常数c ，能否借助导数求两数之积的最大值，并由此证明不等式

a ＋

b 2

≥ab (a ，b ＞0)?

答设一个正数为x ，则另一个正数为c －x ，两数之积为

f (x )＝x (c －x )＝cx －x 2(0＜x ＜c )，f ′(x )＝c －2x . 令f ′(x )＝0，即c －2x ＝0，得x ＝c

故当x ＝c

2时，f (x )有最大值f ? ????c 2＝c

，即两个正数的积不大于这两个正数的和的

平方的1

若设这两个正数分别为a ，b ，则有

a ＋

b 2

≥ab (a ＞0，b ＞0)，即

a ＋

b 2

≥ab (a ，

b ＞0)，当且仅当a ＝b 时等号成立． [预习导引]

1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．

2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． 3．解决优化问题的基本思路是优化问题→用函数表示的数学问题

优化问题的答案←用导数解决数学问题

上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．

要点一用料最省问题

例1 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

解

如图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点C距点D为x km，则BC＝BD2＋CD2＝x2＋402，又设总的水管费用为y元，依题意有y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0

∴y′＝－3a＋

5ax

x2＋402

.令y′＝0，解得x＝30，(x＝－30舍去)

在(0,50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30处取得最小值，此时AC＝50－x＝20 (km)．

∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．

规律方法用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．

跟踪演练1 一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？

解设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得p

＝k·v3，其中k为比例系数(k≠0)，它可以由v＝10，p＝6求得，即k＝

6 103

＝

0.006，于是有p＝0.006v3.

又设当船的速度为每小时v海里时，航行1海里所需的总费用为q元，那么每小

时所需的总费用是0.006v 3

＋96(元)，而航行1海里所需时间为1v

小时，所以，航

行1海里的总费用为：

q ＝1v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96

v . q ′＝0.012v －96

v 2＝0.012

v 2(v 3－8 000)，

令q ′＝0，解得v ＝20.∵当v <20时，q ′<0；当v >20时，q ′>0，

∴当v ＝20时，q 取得最小值，

即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小．要点二面积、容积的最值问题

例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？

解设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20 cm ，y －252

cm ，

其中x >20，y >25.

两栏面积之和为2(x －20)·y －252

＝18 000，

由此得y ＝

18 000

x －20

＋25. 广告的面积S ＝xy ＝x ? ????18 000x －20＋25＝18 000x

x －20＋25x ， ∴S ′＝

18 000[

x －20－x ]x －20

＋25＝

－360 000

x －202

＋25.

令S′>0得x>140，令S′<0得20

∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S(x)的最小值为S(140)．

当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小．

规律方法(1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．

(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤

①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实际问题的数学模型；③写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；④求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑥结论：根据比较值写出答案．

跟踪演练 2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

解

如图，设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积

S＝2πRh＋2πR2，

由V＝πR2h，得h＝

πR2

，

则S(R)＝2πR

πR2

＋2πR2＝

＋2πR2，

令S′(R)＝－2V

＋4πR＝0，解得R＝

2π

，

从而h ＝V

πR 2

＝

π ?

???

3V 2π2

＝ 34V π＝2 3V 2π，即h ＝2R .

因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值．所以，当罐的高与底面直径相等时，所用材料最省．要点三成本最省，利润最大问题

例3 甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v 千米/时的平方成正比，比例系数为b (b >0)；固定部分为a 元． (1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；

(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

解 (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为s

，全程运输成本为

y ＝a ·s v ＋bv 2·s v ＝s ? ??

??a v ＋bv ，

∴所求函数及其定义域为y ＝s ? ????

a v ＋bv ，v ∈(0，c ]

(2)由题意s 、a 、b 、v 均为正数．

y ′＝s ? ?

???b －a v 2＝0得v ＝

.但v ∈(0，c ]． ①若a

≤c ，则当v ＝ a

时，全程运输成本y 最小； ②若

>c ，则v ∈(0，c ]，此时y ′<0，即y 在(0，c ]上为减函数．所以当v ＝c 时，y 最小．

综上可知，为使全程运输成本y 最小，当

b ≤

c 时，行驶速度v ＝ a b

；

当

>c 时，行驶速度v ＝c . 规律方法正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路．另外需注意：

①合理选择变量，正确给出函数关系式． ②与实际问题相联系．

③必要时注意分类讨论思想的应用．

跟踪演练3 已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格

p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18

q .求产量q 为何值时，利润L 最大？解收入R ＝q ·p ＝q ?

???25－18q ＝25q －18q 2，利润L ＝R －C ＝? ?

???25q －18q 2－(100＋4q )

＝－18q 2

＋21q －100(0

L ′＝－1

q ＋21

令L ′＝0，即－1

4q ＋21＝0，求得唯一的极值点q ＝84.

所以产量为84时，利润L 最大．

1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3

－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变

化率的最小值是( ) A ．8 B ．

203

C ．－1

D ．－8

答案 C

解析原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.

2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为( )

A.3

V B．

C．3

4V D．2

答案 C

解析设底面边长为x，则表面积S＝

x2＋

V(x>0)．∴S′＝

(x3－4V)．令

S′＝0，得x＝3

4V.

3．在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

解设箱底边长为x cm，则箱高h＝60－x

cm，箱子容积V(x)＝x2h＝

60x2－x3

＜x＜60)．

V′(x)＝60x－3

x2令V′(x)＝60x－

x2＝0，

解得x＝0(舍去)或x＝40，并求得V(40)＝16 000.

由题意知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．

答当x＝40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm3.

4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速

度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝

128 000

x3－

x＋8(0

知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗

油最少？最少为多少升？

解当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100

小时，设耗油量为h (x )

升，

依题意得h (x )＝? ??

??1128 000x 3－380x ＋8×100

x ＝11 280x 2＋800x －154(0

h ′(x )＝x

640－800

x 2＝x 3－803

640x 2

令h ′(x )＝0，得x ＝80.

因为x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数；

x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数，

所以当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25(升)．因为h (x )在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．

答汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．

1．解有关函数最大值、最小值的实际问题，在分析问题中的各个变量之间的关系的基础上，列出合乎题意的函数关系式，并确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义．

2．利用导数解决生活中的优化问题时，有时会遇到在定义域内只有一个点使f ′(x )＝0，如果函数在该点取得极大(小)值，极值就是函数的最大(小)值，因此在求有关实际问题的最值时，一般不考虑端点．

一、基础达标

1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( ) A ．4 B ．6 C ．4.5 D ．8

答案 A

解析设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256

x 2

，

∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256

＝x 2＋

4×256

，

∴S ′(x )＝2x －

4×256

x 2

令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴h ＝

256

＝4. 2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则

x 的取值为( ) A ．0.016 2 B ．0.032 4 C ．0.024 3 D ．0.048 6

答案 B

解析依题意，得存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.048 6kx 2，其中x ∈(0,0.048 6)．

所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(00；当0.032 4

所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．

3．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( ) A.? ????

l 63π B ．? ????

l 33π C ．? ????

l 43π D ．14? ????l 43π 答案 A

解析设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则4r ＋2h ＝l ，∴h ＝

l －4r 2

，

V ＝πr 2h ＝l 2

πr 2－2πr 3?

??0

则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l

6，而r >0，

∴r ＝l

是其唯一的极值点．

∴当r ＝l

6时，V 取得最大值，最大值为? ??

??l 63

π.

4．用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( ) A ．120 000 cm 3 B ．128 000 cm 3 C ．150 000 cm 3 D ．158 000 cm 3

答案 B

解析设水箱底边长为x cm ，则水箱高h ＝60－x

2(cm)．

水箱容积V ＝V (x )＝x 2

h ＝60x 2

－x 3

V ′(x )＝120x －32

x 2.令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝80.可判断得x ＝80 cm 时，V 取最大值为128 000 cm 3.

5．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．答案 3

解析设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，∴L ＝

R 2

，要使

用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋2π·27

，

∴S ′(R )＝2πR －

54π

R 2

＝0，∴R ＝3，则当R ＝3时，S 表最小．

6．电动自行车的耗电量y 与速度x 之间的关系为y ＝13x 3－39

2x 2－40x (x ＞0)，为

使耗电量最小，则其速度应定为________．答案 40

解析由题设知y ′＝x 2－39x －40，令y ′＞0，解得x ＞40，或x ＜－1，

故函数y ＝13x 3－39

2x 2－40x (x ＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40]上递减．∴当x

＝40时，y 取得最小值．

由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.

7．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm 2，上、下两边各空2 dm ，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解

设版心的高为x dm ，则版心的宽为 128

dm ，此时四周空白面积为

S (x )＝(x ＋4)? ??

128x ＋2－128 ＝2x ＋

512

＋8，x >0.

求导数，得S ′(x )＝2－512x 2

令S ′(x )＝2－

512

x 2

＝0，解得x ＝16(x ＝－16舍去)．

于是宽为128x ＝128

16＝8.当x ∈(0,16)时，S ′(x )<0；

当x ∈(16，＋∞)时，S ′(x )>0.

因此，x ＝16是函数S (x )的极小值点，也是最小值点．

所以，当版心高为16 dm ，宽为8 dm 时，能使四周空白面积最小．二、能力提升

8．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三

角形的面积之和的最小值是( ) A.3

3 cm 2 B ．

4 cm 2 C ．3 2 cm 2 D ．2 3 cm 2

答案 D

解析设一个正三角形的边长为x cm ，则另一个正三角形的边长为(4－x )cm ，则这两个正三角形的面积之和为S ＝34x 2＋34(4－x )2

＝32[(x －2)2＋4]≥23

(cm 2)，故选D.

9．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝

???

－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090，x >390，

则当总利润最大时，每年生

产产品的单位数是( )

A ．150

B ．200

C ．250

D ．300

答案 D

解析由题意得，总利润

P (x )＝?

???

－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，

70 090－100x ，x >390，

令P ′(x )＝0，得x ＝300，故选D.

10．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长为a 米，高为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a ＝________，b ＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)．

答案 6 3

解析设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝

，其中k (k >0)为比例系数．依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小，根据题设，4b ＋2ab ＋2a ＝60(a >0，b >0)得b ＝

30－a 2＋a .于是y ＝k ab ＝k 30a －a 22＋a

＝k 2＋a

30a －a 2

.(0

30a －a 22＝0

得a ＝6或a ＝－10(舍去)．

∵只有一个极值点，∴此极值点即为最值点．

当a ＝6时，b ＝3，即当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．

11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；