八年级数学12.3.1等腰三角形（第一课时）
编写教师：辛月敏班级：学生姓名：使用日期：学习目标：1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质。
2、运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。
学习重点：等腰三角形的概念及性质。
学习难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用。
一、知识回顾
1、下列图形不一定是轴对称图形的是（）A.圆 B.长方形 C.线段D.三角形
2、怎样的三角形是轴对称图形？答：
3、有两边相等的三角形叫，相等的两边叫，另一边叫
两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫
4、如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称
二、学习新知
探究三角形的性质
1、探究：教材P49
把活动中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表2、归纳等腰三角形的性质：
性质1 等腰三角形的两个相等（简写成“”）
性质2 等腰三角形、、互相重合。
3、证明以上性质：
在△ABC中，AB＝AC，作底边BC边上的中线AD。
在△ACD和△ABD中
∵
?
?
?
?
?
=
=
=
______
_____
______
_____
_____
_____
∴≌（）
∴＝
由△ACD≌△ABD，可得∠BAD＝∠CAD从而AD平分；∠BDA=∠CDA,
从而A D BC；CD＝BD；从而AD为BC边上的。
例1、在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．
三、巩固提高
1、（1）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角的度数是
（2）等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角的度数是
2、练习：教材51页练习第1题，第2题，第3题。
3、作业：教材56页习题第2题。
重合的线段重合的角
D
C B
A
D C
A
B
2、如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和∠C 的度数．
3、如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ，求证BD ＝CE
小结：性质1 等腰三角形的两个 相等（简写成“ ”）
性质 2 等腰三角形 、 、
互相重合。
作业：教材56习题第2题。
12.3.1 等腰三角形 学习目标:1.理解并掌握等腰三角形的概念、性质、及判定。 2.运用性质及判定进行证明和计算。 重点:等腰三角形性质和判定的运用。 难点:等腰三角形性质、判定的证明和灵活运用。 学习过程： 一、知识频道（交流与发现） 1、 想一想： ①重合图形的边是什么关系？ ②如图：把一张长方形的纸对折，沿虚线剪开，再把它展开，得到的ΔABC 有 什么特点？ 2、 总一总： 上述过程中，剪过的两边是相等的，即AB=AC 。像这样有_______的三角形，叫等腰三角形。相等的两边叫____，如上图中的边___和____,另一边叫____,如边____,两腰所夹的角叫______,如_____,底边与腰所夹的角叫_____,如____和_____. 3、思考？ 上面剪出的等腰ΔABC 是轴对称图形吗？图形中重合的线段和重合的角分别是哪些？ 3、 等腰三角形的性质： 性质1 _________________________可以简写成______________. 性质2 __________________________________________________. 可以理解为“三线合一”。 4、验证一下吧！ ①如图：在ΔABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD. 在ΔABD 和ΔACD 中 ∵ AB=_____ BD=_____ AD=_____ ∴_____≌_______(_____) ∴ ∠B=∠C 如果把作中线该为作底边的高线可以吗？作顶角的平分线呢？ ②自己证明性质2 （相信你一定行） 6、ΔABC 中 ∠B=∠C,作AD ⊥BC ∵AD ⊥BC ∴_____=_____=90o 在ΔABD 和ΔACD 中 ____=_____ ____=_____ ____=_____ ∴_____≌______ (_____) ∴AB=AC 7、新发现！ 经过上面的推证，我们得到等腰三角形的判定方法_____________________可以简写为________. 二、知识频道：（由解题理解知识） 1、例题在ΔABC 中AB=AC, ∠B=80°，∠C=____. （根据等边对等角得∠C= 80°） 试一试： 在ΔABC 中，AB=AC ∠A=50°则∠B=____,∠C=____. 2、例题 在ΔABC 中，AB=AC ，周长为30，AB=12，求BC 的长。 解：∵AB=AC AB=12∴AC=12 ∵周长为30∴BC=30-12-12=6 试一试： 等腰三角形的周长为30，一边长是12，求另两边的长。 A C D C D C D
1.1.4 等腰三角形（4） 本课时学习要点：等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质 本课时学习目标： 【知识与技能】等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质。 【过程与方法】将探索、发现、猜想、证明有机结合起来，使数学思维的创造性和严谨性协调发展。 【情感、态度与价值观】培养学生深入思考能力和质疑精神。 本课时学习安排： 课前准备： 1、已知△ABC中，AB=AC=5cm，请增加一个条件使它变为等边三角形。 2、利用刻度尺两测量一下含300角的三角板的斜边和较短的直角边，与同伴比较结果，交 流其关系。 课中学习： 活动一：等边三角形的判定 等边三角形的定义：三边都是等边三角形。 定理1：三个角都相等的三角形是三角形。 定理2：有一个角的等腰三角形是等边三角形。 例1、如图，在△ABC中，D为AC边上的一点，DE⊥AB于点E，ED的延长线交BC的延长线于点F，CD＝CF，且∠F＝30°.求证：△ABC是等边三角形. 活动二：含30°角的直角三角形的性质 做一做：用两个含300角的全等三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由。 定理：在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的。 已知： 求证： 例2、已知：如图，△ABC中，BC⊥AC,DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A=300，DE=1.8，
求AB的长。 课后巩固： ☆1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900, ∠A =300, CD⊥AB,BD=1,则AB= 。 ☆2、在△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200,D是BC的中点，DE⊥AC,则AE:EC= 。 ☆☆3、已知如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC上， 且CD=BE，则∠AFD= ． ☆☆4、如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作 EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数；（2）若CD=2，求DF的长． ☆☆☆5、如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，求OM的长。
三角形与等腰三角形复习案 【复习目标】 1.掌握三角形边、角关系和等腰三角形的性质、判定，并会用等腰三角形的性质和判定解决问题。 2.通过等腰三角形的性质和判定的综合，体会数形结合和转化的思想。 3.体会几何语言的严密性，形成“用数学”的意识。 【重点】等腰三角形的性质和判定的综合。 【难点】等腰三角形的性质和判定的综合。 【使用说明与学法指导】 先用5分钟左右的时间复习，然后35分钟独立完成复习案，有疑惑的做好标记。 【考点链接】 一、三角形的分类： 1．三角形按角分为______________，______________，_____________． 2．三角形按边分为_______________,__________________. 二、三角形的性质： 1．三角形中任意两边之和____第三边，两边之差_____第三边 2．三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：___ _______________． 三、三角形中的主要线段： 1．___________________________________叫三角形的中位线． 2．中位线的性质：_________________________________________． 3．三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线) 四、等腰三角形的性质与判定： 1.等腰三角形的两底角__________； 2.等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一； 3.有两个角相等的三角形是_________． 五．等边三角形的性质与判定： 1. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质； 2. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角 导 学 案 装 订 线
“等腰三角形” 判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是：从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等， 实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有： 1．“角平分线+平行线”构造等腰三角形； 2．“角平分线+垂线”构造等腰三角形； 3．用“垂直平分线”构造等腰三角形； 4．用“三角形中角一个外角是不相邻内角的2倍关系”构造等腰三角形． 【例1】如图AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管根．通过角度的计算，确定添加钢管数的最大值． 思路点拨 【例2】如图，若AB=AC，BG＝BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（ ) A．30° D．32° C 36° D．40° 思路点拨图中有很多相关的角，用∠BAC的代 数式表示这些角，建立关于∠BAC的方程． 【例3】如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，D为AC上一点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，问：当点D满足什么条件时，∠ADB＝∠CDF，请说明理由． 思路点拨本例是探索条件的问题，可先假定结论成立，逐步逆推过去，找到相应的条件，若∠ADB＝∠CDF，这一结论如何用?因∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，故需构造全等三角形，而作顶角的平分线或底边上的高(中线)是等腰三角形中一条常用辅助线． 【例4】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB=90°， D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE= BD．求证：BD是∠ABC的角平分线． 思路点拨 AE边上的高与∠ABC的平分线重合，联想到 等腰三角形，通过作辅助线构造全等三角形、等腰三角形． 注：若巳知图形中不存在证题所需的全等三角形，我们需要添加辅助战，构造全等三角形，使欲证的线段或角转移位置，最终使问题得以解决． 结论探索型、条件探索型、存在性判断是探索型问题的基本形式，相应的解题策略是：
第一章三角形的证明 1. 等腰三角形（二） 一、学生知识状况分析 在八年级上册第七章《平行线的证明》，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题；而前一课时，学生刚刚证明了等腰三角形的性质，这为本课时拓展等腰三角形的性质、研究等要三角形的判定定理都做了很好的铺垫。 二、教学任务分析 本节将利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理，进一步研究等腰三角形的一些特殊性质，探索等边三角形的性质。为此，确定本节课的教学目标如下： 1．知识目标： ①探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性； 2．能力目标： ①经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力； ②在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性； ③在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉； 3．情感与价值观要求 ①鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲． ②体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性． 4．教学重、难点 重点：经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论． 三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：第一环节：提出问题，引入新课；第二环节：自主探究；第三环节：经典例题变式练习；第四环节：拓展延伸、探索等边三角形性质；第五环节：随堂练习及时巩固；第六环节：探讨收获课时小结。 第一环节：提出问题，引入新课 活动内容：在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题： 在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗? 活动目的：回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问题的能力。 第二环节：自主探究 活动内容：在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。 活动目的：让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性。 活动效果与注意事项：活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：你可能得到哪些相等的线段？ 你如何验证你的猜测？ 你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程； 还可以有哪些证明方法？ 通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出： 等腰三角形两个底角的平分线相等； 等腰三角形腰上的高相等； 等腰三角形腰上的中线相等． 并对这些命题给予多样的证明。 如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线． 求证：BD=CE．
等腰三角形 学习目标： 1. 能证明等腰三角形的性质定理和判定定理，并会运用其进行简单的证明. 2. 经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力. 3.通过实例体会反证法的含义. 学习重点： 性质： 1.等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等.简述为:等边对等角 2.性质定理的推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的 高线互相重合.简称：三线合一 判定： 1.定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形 2.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 简述为:等角对等边 学习难点：证明等腰三角形的性质定理，见微课等腰三角形的性质讲解.等腰三角形重难点讲解.mp4 学法指导： 1.准备七上、七下、八上课本，遇到相关的旧知识遗忘时及时翻书查找整理. 2.认真仔细阅读课本P2-6到想一想上面部分，P7.1.2.4题的内容，P8-10到问题解决，标记出新的知识点，记出不懂的问题. 3.在折纸过程中思考辅助线的添加方法，一题多证，优化思路.
4.学会用符号语言表达定理，并应用其进行相关题目的证明. 学习准备： 一、8条基本事实 1.两点确定 . 2.两点之间最短. 3.同一平面内，过一点与已知直线垂直. 4.同位角，两直线平行. 5.过有且只有一条直线与这条直线平行. 6.分别相等的两个三角形全等.（SAS） 7.分别相等的两个三角形全等.(ASA) 8.分别相等的两个三角形全等.（SSS） 二、三角形全等的判定方法 在?ABC和?DEF中在?ABC和?DEF中 ∴?ABC≌?DEF（) ∴?ABC≌?DEF（) 在?ABC和?DEF中在?BCE和?DCF中 ∵AB=DE ∵∠A=∠D BC=EF ∠B=∠E AC=DF BC=EF ∴?ABC≌?DEF（SSS) ∴?ABC≌?DEF（AAS)
九 年级数学学案课题 等腰三角形 主备人 课时 时间 学习 目标 理解并能灵活应用等腰三角形性质解决问题。 重点 等腰三角形的性质和判定的理解和应用。 导学 过程 师生活动 一、知识回顾： 1. 的三角形叫做等腰三角形. 2.等腰三角形是轴对称图形，顶角 是它的对称轴. 3.等腰三角形的两个 相等.也就是说，在同一个三角形中， .等腰三角形的 、 和 互相重合,简称“三线合一” 4.如果三角形有 角相等，那么这个三角形是等腰三角形.简单地说，在同一个三角形中， . 二．例题精析： 1 。 如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD ?将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长． 2. 如图：△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，过B 点作直线分别交AD ，AC 于点E 、F ，且有F A=FE ，试说明BE=AC. 3.如图，已知AB=AC ，E 、D 分别在AB 、AC 上，BD 与CE 交于点F ，? 且∠ABD=?∠ACE ， 求证：BF=CF ． E D C A B F E D C A B F
六、课后作业： 1．如图，已知OC 平分∠AOB ，CD ∥OB ，若OD=3cm ，则CD 等于（ ） A ．3cm B ．4cm C ．1.5cm D ．2cm 2. 如图，点P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AC 于点E ．已知PE=3，则点P 到AB 的距离是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3.三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的（ ） A ． 中线上 B . 角平分线上 C . 高线上 D . 不能确定 4.已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（ ） A ． 17 B . 22 C .17或22 D . 13 5．一个等腰三角形的一个外角等于110°。 ，则这个三角形的三个角应该为 . 6．如图，⊿ABC 中，DE 垂直平分AC,AE=3,⊿ABD 的周长为13，那么⊿ABC 的周长为__________ 7．有一个角等于50°，另一个角等于__________的三角形是等腰三角形． 8．等腰三角形的一个外角是100°，则它的底角是_______. 9. 如图，三角形纸片ABC ，10cm 7cm 6cm AB BC AC ===，，，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使顶点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则AED △的周长为 。 选做题： 如图，AB 是直线l 上方的一条固定线段，现在要在直线l 上找一点P 使得 △P AB 是一个等腰三角形，请在图中画出所有符合题意的点P 的位置. D C A B 第1题图 第2题图 第6题图 l B A
1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 13.3.1 等腰三角形 (第一课时) 学习目标： 1、理解并掌握“等边对等角”定理，能够运用“等边对等角”定理解决实际问题； 2、理解并掌握“三线合一”定理，能够运用“三线合一”定理解决实际问题； 重点：“等边对等角”的探究过程。 难点：“等边对等角”和“三线合一”在实际中的应用。 一、导入 1、什么是等腰三角形？三角形的三边关系？ ____________________________________ 2、等腰三角形中，相等的两边都叫做 ，另一边叫做 ，两腰的夹角叫做 ， 腰和底边的夹角叫做 . 3. （1）等腰三角形一腰为3cm,底为4cm, （2）等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm, （3）等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,二、探究 1、思考75页探究 想一想 （1）、探究中剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？ （2）、把剪出的等腰三角形ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. （3）由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的哪些性质呢？ 4）大胆猜想 等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗? （5）猜想与论证：等腰三角形的两个底角相等。 已知：△ABC 中，AB=AC 求证：∠B=∠C 方法一： 证明: 作顶角的平分线AD 则有∠1＝∠2 在△ABD 和△ACD 中 AB=AC ∴ △ABD ≌ △ACD （SAS ） ∴ ∠B ＝∠C （全等三角形对应角相等） 方法二（作中线，如图）： 方法三（作高）： 几何语言 结论： （6）性质2： 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一） 《1》 ∵AB=AC ，BD=CD （已知） ∴∠BAD=∠CAD ，AD ⊥BC （三线合一） 《2》∵AB=AC ，∠BAD=∠CAD （已知） ∴ BD=CD ，AD ⊥BC （三线合一） 《3》∵AB=AC ， AD ⊥BC （已知） ∴ BD=CD ，∠BAD=∠CAD （三线合一） B C 1 2 D B C D
八年级数学下册等腰三角形导学案 年级八班级学科数学课题等腰三角形1 第 1 课时 总1 课时 编制人审核人使用时间第1 周 星期一 使用者 课堂流程具体内容 学习目标1、探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法。 2、掌握证明的基本要求和方法。 学习重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法。 学习难点：掌握证明的基本要求和方法。 学法指导 温故知新1、全等三角形的判定： 2、全等三角形的性质： 教学一、明确学习的目标（让一位学生宣读）。 二、温故知新，链接知识（让学生回顾全等三角形相关知识）。 三、新知探究 与三角形全等有关的知识：SAS、ASA、SSS、AAS。 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 用学过的相关知识证明以上结论： 已知：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF。求 证：△ABC≌△DEF。 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠D+∠E+∠F=180°。 ∴∠C=180°-(∠A+∠B)， ∠F=180°-(∠D+∠E) 。 ∵∠A=∠D，∠B=∠E ∴∠C=∠F。 ∵ BC=EF，∴△ABC≌△DEF 认真阅读 课本第2— 3页： ①记住 课本上的两 个定理。 ②看懂 例题的解题 过程。 ③尝试 完成随堂练 习的相关习 题。
流程等腰三角形的性质（合作探究） ①腰三角形的两个底角相等。（简称为“等边对等角”） ②等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相 重合。（等腰三角形的“三线合一”）。 1、等腰三角形的两边长是3和5，它的周长是。 2、已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是。 1、折纸（实 验验证） 2、理论论证 （证明） 展示 课堂检测1、△ABC中，AB=BD=DC， ∠C=40°， 则∠ABD=________。 2、△ABD中，C是BD上的一 点， 且AC⊥BD，AC=BC=CD. ①求证：△ABD是等腰三角形。②求∠BAD的度数。 教后反思
12.3等腰三角形第一课时教学设计 学习目的：1. 了解概念2. 掌握性质3. 简单运用 要 点：1. 等腰三角形的相关概念（定义、腰、底边、底角、顶角）2. 等腰三角形的性质：① 对称性 ②“等边对等角” ③“三线合一”3. 等腰三角形的应用4. 涉及到的思想及方法 ① 转化 ② 方程 ③ 分类讨论 ④ 几何证明辅助线的添设方法重难点 重点：等腰三角形的性质 难点：等腰三角的性质的证明及灵活运用学 情： 学生在小学已学习了等腰三角形的形状、两边相等、简单画法；初中学习了一般三角形的相关知识及计算、三角形全等的证明、轴对称的性质及作图、一元一次方程及二元一次方程组的解法的基础上来学习的。等腰三角形的性质揭示了同一个三角形的边、角关系，与等腰三角形的判定定理互为逆定理，它为我们提供了证明两条线段相等、两角相等的新方法，为以后的学习提供了新的证明和计算依据，是解题论证的必备知识，因此，本节内容承上启下、至关重要，是全章的重点之一。而初二学生在这个阶段逐渐在各方面开始成熟，思维深刻性有了明显提高，有着自己独特内心世界，有着独特认识问题和解决问题的思维方式。需要用强烈的荣誉感、成功感来激发学习热情，目前已初步形成合作交流、勇于探索、敢于置疑的良好学风，学生间相互评价、相互学习、相互竞争的学习氛围较浓。学 具 长方形白纸（一张）、自制等腰三角形 教 程 活动一 构置悬念，创设情景 【问题一】翻看本书目录，本章是有关轴对称的知识内容的，而把等腰三角形列入其中学习，为什么？ 【问题1】一般三角形具有哪些性质？（对称性，边、角、线的关系，面积，周长等） 【问题2】等腰三角形除具一般三角形的性质之外，还具有哪些特殊的性质？ （说明：问题1提示学生怎样读书，看其所处的位置，且要敢于质疑、挑战，明确平面图形探究方面；又为下文埋下伏笔。问题2、3激趣，给学生留下悬念） 活动二 目标导向，自然引入 本节课我们一起研究——等腰三角形。 板书课题 12.3等腰三角形 首先明确目标 1. 了解概念2. 掌握性质3. 简单运用（说明：目的是让学生明确本节的要求，以便学有方向，增强学习的动力，教师引入不脱 节） 活动三 动手操作，形成概念【问题1】把准备好的长方形纸片如图12.1.1 沿虚线对折，并撕去一角，打开，
金塔县第三中学八年级（下）数学学教练案持案人： 课题：§1.1等腰三角形（三） 主备教师：陈万勤责任人：李春文审核人：勾设军课型：新授课 【学习目标】1．探索等腰三角形判定定理． 2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明． 3.了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。 【学习重点】等腰三角形的判定定理. 【学习难点】综合运用等腰三角形的性质和判定进行有关的计算和证明。 一、自主预习、认真准备： 1、等腰三角形是怎样定义的？ 有相等的三角形,叫做等腰三角形。 2、等腰三角形是对称图形；等腰三角形的相等(简写成“等边对等角”)；等腰三角形顶角的、底边上的、底边上的高重合 3、把“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如果------那么-----”形式。 如果,那么. 二、自主探究、合作交流： 活动一：等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗？ 1.证明: 有两个角相等的三角形是等腰三角形 已知:如图,△ABC中，∠B＝∠C. 求证：AB=AC. 归纳： 2.已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．求证：AB=AC． B A C 2 1 B A D
活动二：证明：一个三角形中不能有两个角是直角 已知：△ABC． 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角． 归纳：叫做反证法 三、当堂训练、检测固学： 1.已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F, 则∠AFE= . 2.如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，图中一共有几个等腰三角形？ 找出其中的一个等腰三角形给予证明． 3.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN 的周长. . 4.证明:如果a 1,a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 都是正数,且a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 =1,那么,这五个数中至少 有一个大于或等于1/5. 四、学教后记 N M C B A D D A B C
教案：等腰三角形和直角三角形 知识点一：等腰三角形 （一）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定 题型一：等腰三角形性质的应用 例1、等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（） A．100° B．100°或40° C．40° D．80
八年级数学上册等腰三角形学案新人教版 一、学习目标 1、用定义、定理识别三角形是等腰三角形； 2、鼓励学生自主探索,寻求证明方法, 通过同学之间相互交流,获得各种不同的思路； 二、使用方法：先由学生自学课本，经历自主探索总结的过程，并独立完成学案，然后学习小组讨论交流，让同学们进行展示，小组间互相点评，补充之后由教师进行点拨。最后通过当堂检测，巩固知识。 三、自主学习合作探究（30分钟）一、复习旧知：等腰三角形的性质的是什么？ （二）、组织学习任务一（等腰三角形的识别） 1、等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”)、已知：如图，△ABC中，∠B=∠ C、求证：AB=A C、注意：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆、 （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形、
2、推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形、推论2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形、小结：证明三角形是等腰三角形的方法：①等腰三角形定义；②等腰三角形判定定理、 （三）、组织学习任务三（判定应用）例 1、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形、已知：求证：对应练习ABC D、已知：如图，AB=AD，∠B=∠ D、求证：CB=C D、拓展延伸: 如图，在△ABD中，C是BD上的一点，且 AC⊥BD，AC = BC = CD 求证：(1) △BAD是等腰三角形； (2) AB⊥AD小结：求线段相等一般在三角形中求解，添加适当的辅助线构造三角形，找出边角关系、达标测试：已知：在中，的平分线与的外角平分线交于D，过D作DE//BC交AC与F，交AB于E，求证：EF=BE-CF、
课题：等腰三角形的轴对称性（3） 2009.9.14 班级： 姓名： 学习目标：1、掌握等边三角形的性质及其判定 2、能用等边三角形的性质及判定进行有关的计算和说理。 学习重点：掌握等边三角形的性质及其判定 学习难点：利用等边三角形的性质及其判别方法解决实际问题 学习过程： 一、情境创设： 1、等腰三角形具有哪些性质： 2、当等腰三角形的底边与腰相等时，这个三角形的有哪些性质？（分别从边、角、对称性考虑） 二、探究活动： （1）3个角相等的三角形是等边三角形吗？为什么？ （2）有2个角是60°的三角形是等边三角形吗？为什么？ （3）有1个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？ 三、例题： 1、下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点外各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有 （ ） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③ D ．①②③④ 2、如图，△ABC 是等边三角形，在△ADE 中，AD=AE ，∠DAE=80°， ∠BAD=15°，则∠CAE= ，∠CDE= 。 3、如图，已知正方形ABCD 和等边△EAD ，则∠BEC= 。 A B C D E 第3题图 A B C D E 第2题图
4、如图，D、E、F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD=BE=CF， 判断△DEF的形状并说明理由。 变式一：如图，过等边三角形DEF各顶点，分别作三边的垂线交于A、B、C 三点，判断△ABC的形状并说明理由。 变式二、如图，D、E、F分别是等边三角形ABC各边上的点，且∠ADF=∠CFE=∠BED，判断△DEF的形状并说明理由。 5、等边三角形ABC中，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，画图回答下列问题（1）图中60°的角有，（2）图中30°的角有 (3)你能说明DB=DE吗？写出说理过程。 6、操作：请你用三种不同的分割方法把等边三角形分成4个等腰三角形。
等腰三角形培优导学案 知识导引 1、等腰三角形的性质：有两条边相等；在同一个三角形中，等边对等角；等腰三角形三线合一（顶角平分线、底边上的高线和底边上的中线互相重合）；是轴对称图形，有一条对称轴。等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三条边相等，三个角都是60°，三条边上都满 足三线合一，有三条对称轴。 2、等腰三角形的判定：在同一三角形中，等角对等边；等边三角形的判定定理有：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 3、解与等腰三角形相关的问题时，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是要思考运用等腰三角形的特殊性质。这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线限制关系的证明等问题的解决提供了新的理论依据。 4、寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键，判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是：从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等。实际解题中的一个常用技巧是构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务。常用的构造方法有：（1）角平分线＋平行线；（2）角平分线＋垂线；（3）垂直平分线；（4）三角形中的 2 倍关系。 典例精析 例1：如图，B D是等腰△ ABC底边AC上的高线， 三角形。 例1—1：如图，∠ ABC 的平分线BF与△ABC中∠ACB相邻的外角的平分线CF相交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，（1）图中有哪几个等腰三角形？请说明理由。 2）BD，CE，DE之间存在着什么关系？请证明。
例3：如图，在△ ABC 中，AB＝AC，∠BAD＝20°，且AD＝AE，则∠ CDE＝ 例4：如图，在△ ABC 中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，则∠ DAE 的度数为。 例5：老师布置了一道思考题： 如图1，点M，N 分别在正三角形ABC的BC，AC边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q，求证：∠BQM＝60°。 （1）请你完成这道思考题； （2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如： ①若将题中“ BM＝CN”与“∠ BQM＝60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？ ②若将题中的点M，N 分别分别移动到BC，AC的延长线，是否仍能得到∠ BQM＝60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，AC边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上” ，是否仍能得到∠ BQM＝60°？ 例2：等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30°，则等腰三角形的顶角为 请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”： 对②，③的判断，选择一个给出证明。 ②
等腰三角形导学案第一课时 教学目标：1、理解等腰三角形的性质和判定定理 2、利用定理证明解决实际问题 任务一： 1、 自主学习：（独立完成，组内交流，课堂展示） 如图1，已知△ABC 中，AB =AC ，AD 是底边上的中线． （1） 求证：∠B =∠C ；（2） AD 平分∠A ，AD ⊥BC ． 图1 归纳：等腰三角形的性质有： ①性质1：等腰三角形的两底角 （简单叙述为： ） ∵ ∴ ②性质2：等腰三角形的 互相重合 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 2、课堂练习： ①、等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______. ②、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 。 ③如图3，在△ABC 中AB=AD=DC ，∠BAD=26°， 求∠B 和∠C 度数。 图3 ④如图4，∠BAD=1000，ADBC,垂足为点D ，AB=AC, 求：∠B, ∠1 图4
任务二 1、自主学习： 如图：△ABC 中，∠B=∠C ，求证；AB=AC 归纳：等腰三角形判定定理： （简单叙述为： ） ∵ ∴ 思考：要证明△ABC 是等腰三角形，你都有哪些方法？ 3、 巩固练习： 如图，已知：△ABC 中，AB=AC ，BD 和CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于O 点。 ⑴ 试说明△OBC 是等腰三角形； ⑵ 连接OA ，试判断直线OA 与线段BC 的关系？并说明理由。 课堂检测： 1、等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） A ．17cm B ．22cm C ．17cm 或22cm D ．18cm 2、等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 3.如图，已知∠1=∠2=∠3，∠B=∠C 则图中相等的线段有（ ） A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对 4、如图所示，∠CAB=∠DBA ，AC=BD,点O 是AD,BC 的交点，点E 是AB 的中点．试判断OE 和AB 的位置关系，并给出证明． C O E A B D
第1页（共3页） 第24课时 等腰三角形 一、选择题 1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( ) A.2 B.32 C.3 D.3 2.如图，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能．．．是（ ） A ．(4，0) B ．（1．0） C ．（-22，0） D ．（2，0） 3.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（ ） A B C ． D ．4.等腰三角形的顶角为o 120，腰长为2cm,则它的底边长为（ ） A. cm 3 B. cm 3 34 C. cm 2 D. cm 32 5. 如图，ABC △中，∠ACB=o 100，AC=AE,BC=BD,则∠DCE 的度数为（ ） A. o 20 B. o 25 C. o 30 D. o 40 二、填空题 6. 等腰ABC △两边的长分别是一元二次方程2560x x -+=的两个解，则这个等腰三角形 的周长是 ． 7. （2009襄樊市）在ABC △中，12cm 6cm AB AC BC D ===，，为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B A C →→的方向运动．设运动时间为t ，那么当t = 秒时，过D 、P 两点的直线将ABC △的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍． 8. 在ABC △中，5AB AC ==，3cos 5 B = ．如果圆O B C ，，那么线段AO 的长等于 ． E D B A 第2题图 第5题图
第2页（共3页） 9. 如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点1 P P ， 的横坐标为 ． 10. 如图， D 是AB 边上的中点，将ABC ?沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若 50B ∠=?，则BDF ∠= __________度． 三、解答题 11. 如图，在ABC △中，点E 在AB 上，D 在BC 上，BD BE =，BAD BCE =∠∠，AD 与CE 相交点F ，试判断AFC △的形状，并说明理由． 12. 在一次数学课上，王老师在黑板上画出图，并写下了四个等式： ①AB DC =，②BE CE =，③B C ∠=∠，④BAE CDE ∠=∠． 要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出AED △是等腰三角形． 请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可） 已知：___________________ 求证：AED △是等腰三角形． B D F A E C C B 第9题图 第10题 第11题图
C A B 等腰三角形 第一章 三角形的证明 第一节 等腰三角形（第三课时） 学习目标 1、能证明等腰三角形的判定定理。 2、借助实例了解反证法。 重点 1、证明等腰三角形的判定定理并能运用其解决实际问题。 2、了解实例中反证法的原理。 难点 反证法的原理的了解。 教学流程 学校年级组二备 教师课前备课 自主学 习，尝试 解决 1、阅读P8完成以下填空： （1）等腰三角形的 相等。反过来，有两个角相等的三角形是 。 定理： 是等腰三角形。 简称： 。 （2）在三角形中，若两个角不相等，则它们 所对的边 （填“相等”或“不相等”） 3、先假设命题的结论不成立，然后推导出与 定义、基本事实、已有定理或已知条件相 的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种 证明的方法叫 。 4、用反证法证明：一个三角形中不能有两个 角是直角。第一步是假 设： 。 （课前导读，由学生阅读书本后完成，大约 5分钟） 合作学习，信息交流 1、活动一：证明等腰三角形的判定定理 （1）证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形 已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C 求证：AB=AC 证明：过点A 作AD ⊥BC 交BC 于点D （请小组共同写出证明过程） 这一命题称为等腰三角形的判定定理： 等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形。 简述为：等角对 。 2、活动二：运用等腰三角形的判定定理进行 C A B D
2 C A B 证明 例2、已知：如图，AB=DC ，BD=CA ，BD 与AC 相交于点E 求证：△AED 是等腰三角形 证明：在△ABD 与△DCA 中 ∵AB=DC （ ） BD=CA （ ） AD=DA （ ） ∴△ABD ≌△DCA （ ） ∴∠ADB =∠ （ ） ∴AE=DE （ ） ∴△ADE 是等腰三角形。 3、活动三：实例探索反证法 已知：在△ABC 中，∠B ≠∠C 求证：AB ≠AC 证明：假设AB=AC ∴∠B=∠C （ ） 与已知条件“ ”相矛盾 ∴AB ≠AC 反证法原理：先假设命题的结论不成立，然后 推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条 件相 的结果，从而证明命题的结论一定 成立，这种证明的方法叫 。 4、活动四：再次感受反证法的应用 （同学们自行阅读P9例3，再次感受反证法 的原理） （学生同伴交流学习，教师适当点拨） 课堂达标 训练（5至 8分钟） （要求起 点低、分 层次达到 课标要 求）。 1.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 等于 ( ) A ．30° B ．40° C ．45°D ．36° 2、用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，第一步应假设 。 3、完成第9页随堂练习第1、2题. （学生练习巩固，教师对学生存在的问题进 行分析与点拨） 学习小 结,引导 学生整理 归纳 1、等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是 ，简述成 。 2、用反证法证明命题“三角形中至少有一 个角大于或等于60°”时，第一步应假 设 . D B C E A
八年级数学12.3.1等腰三角形（第一课时） 编写教师：辛月敏班级：学生姓名：使用日期：学习目标：1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质。 2、运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。 学习重点：等腰三角形的概念及性质。 学习难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用。 一、知识回顾 1、下列图形不一定是轴对称图形的是（）A.圆 B.长方形 C.线段D.三角形 2、怎样的三角形是轴对称图形？答： 3、有两边相等的三角形叫，相等的两边叫，另一边叫 两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫 4、如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称 二、学习新知 探究三角形的性质 1、探究：教材P49 把活动中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表2、归纳等腰三角形的性质： 性质1 等腰三角形的两个相等（简写成“”） 性质2 等腰三角形、、互相重合。 3、证明以上性质： 在△ABC中，AB＝AC，作底边BC边上的中线AD。 在△ACD和△ABD中 ∵ ? ? ? ? ? = = = ______ _____ ______ _____ _____ _____ ∴≌（） ∴＝ 由△ACD≌△ABD，可得∠BAD＝∠CAD从而AD平分；∠BDA=∠CDA, 从而A D BC；CD＝BD；从而AD为BC边上的。 例1、在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数． 三、巩固提高 1、（1）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角的度数是 （2）等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角的度数是 2、练习：教材51页练习第1题，第2题，第3题。 3、作业：教材56页习题第2题。 重合的线段重合的角 D C B A