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单元质量评估(一)
(第一章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列语句中是命题的是( )
A.周期函数的和是周期函数吗?
B.sin45°=1
C.x2+2x-1>0
D.梯形是不是平面图形呢?
2.若命题p的逆命题是q,命题q的否命题是x,则x是p的( )
A.原命题
B.逆命题
C.否命题
D.逆否命题
3.(2013·武汉高二检测)下列命题正确的是( )
A.?x 0∈R,+2x0+3=0
B.?x∈N,x3>x2
C.x>1是x2>1的充分不必要条件
D.若a>b,则a2>b2
4.(2013·山东高考)给定两个命题p,q,若p是q的必要而不充分条件,则p是q 的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.(2013·石家庄高二检测)设α,β为两个不同的平面,m,n为两条不同的直线,且m?α,n?β,有两个命题:p:若m∥n,则α∥β;q:若m⊥β,则α⊥β;那么
( )
A.“p或q”是假命题
B.“p且q”是真命题
C.“非p或q”是假命题
D.“非p且q”是真命题
6.(2013·海口高二检测)若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=0,则称a与b互补,记φ(a,b)=-a-b,那么φ(a,b)=0是a与b互补的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.与命题“若a∈M,则b?M”等价的命题是( )
A.若a?M,则b?M
B.若b?M,则a∈M
C.若a?M,则b∈M
D.若b∈M,则a?M
8.(2012·湖北高考)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是
( )
A.任意一个有理数,它的平方是有理数
B.任意一个无理数,它的平方不是有理数
C.存在一个有理数,它的平方是有理数
D.存在一个无理数,它的平方不是有理数
9.下列各组命题中,满足“‘p∨q’为真、‘p∧q’为假、‘p’为真”的是
( )
A.p:0=?;q:0∈?
B.p:在△ABC中,若cos2A=cos2B,则A=B;q:y=sinx在第一象限是增函数
C.p:a+b≥2(a,b∈R);q:不等式|x|>x的解集是(-∞,0)
D.p:圆(x-1)2+(y-2)2=1的面积被直线x=1平分;q:?x∈{1,-1,0},2x+1>0
10.若存在负实数使得方程2x-a=成立,则实数a的取值范围是( )
A.(2,+∞)
B.(0,+∞)
C.(0,2)
D.(0,1)
11.在下列结论中,正确的是( )
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件
②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件
③“p∨q”为真是“p”为假的必要不充分条件
④“p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
12.已知命题p:“任意x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“存在x 0∈R,+2ax0+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.a≤-1或a=1
B.a≤-1或1≤a≤2
C.a≥1
D.a>1
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)
13.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x的取值范围是.
14.(2013·北京高二检测)已知函数f(x)=x+bcosx,其中b为常数,那么“b=0”是“f(x)为奇函数”的条件.
15.原命题:“a,b,c∈R,若a>b,则ac2>bc2”以及它的逆命题,否命题和逆否命题中,真命题的个数是.
16.设p:|4x-3|≤1;q:(x-a)(x-a-1)≤0,若p是q的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知关于x的一元二次方程(m∈Z).
①mx2-4x+4=0;②x2-4mx+4m2-4m-5=0,求方程①和②都有整数解的充要条件.
18.(12分)用符号“?”与“?”表示下面含有量词的命题,并判断真假.
(1)所有的实数a,b,方程ax+b=0恰有惟一解.
(2)存在实数x0,使得=.
19.(12分)对于下述命题p,写出“p”形式的命题,并判断“p”与“p”的真假: (1)p:91∈(A∩B)(其中全集U=N*,A={x|x是质数},B={x|x是正奇数}).
(2)p:有一个素数是偶数.
(3)p:任意正整数都是质数或合数.
(4)p:三角形有且仅有一个外接圆.
20.(12分)已知命题p:?x∈R,cos2x+sinx+a≥0,命题q:?x 0∈R,a-2x0+a<0,命题p∨q为真,命题p∧q为假.求实数a的取值范围.
21.(12分)(能力挑战题)设命题p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0;命题q:实数x满足
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围.
(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
22.(12分)(能力挑战题)已知命题p:在x∈[1,2]内,不等式x2-ax+2<0恒成立;命题q:函数f(x)=x2-2ax+3a是区间(-∞,1]上的减函数.若命题“p或q”是真命题,“p且q”是假命题,求实数a的取值范围.
答案解析
1.【解析】选B.只有B是可以判断真假的陈述句.
2.【解析】选D.根据四种命题的关系知,命题x是p的逆否命题.
3.【解析】选C.对于A,Δ=4-12<0,方程无解,故错误;
对于B,当x=1时,不等式不成立,故错;
对于C,x>1时有x2>1,但x2>1时,有x>1或x<-1,故是充分不必要条件;
对于D,只有当a>b>0时,才有a2>b2,所以选C.
4.【解析】选A.因为p是q的必要而不充分条件,所以q是p的必要而不充分
条件,即p是q的充分而不必要条件.
5.【解析】选D.p是假命题,q是真命题,所以D正确.
【变式训练】(2013〃威海高二检测)已知命题p:函数y=2-a x+1恒过(1,2)点;命题q:若函数f(x-1)为偶函数,则f(x)的图象关于直线x=1对称,则下列命题为真命题的是( )
A.p∧q
B.p∧q
C.p∧q
D.p∧q
【解析】选B.函数y=2-a x+1恒过定点(-1,1),所以命题p为假命题;若函数f(x-1)为偶函数,所以有f(-x-1)=f(x-1),关于直线x=-1对称,所以命题q为假命题;所以p为真,q为真,故选B.
6.【解析】选C.由φ(a,b)=0得φ(a,b)=-a-b=0,
即=a+b,两边平方,
得ab=0且a≥0,b≥0,
由a≥0,b≥0,且ab=0,
不妨设a>0,b=0,
得φ(a,b)=-a-b=a-a=0,
所以φ(a,b)=0是a与b互补的充要条件.
7.【解析】选D.因为命题的原命题与其逆否命题是等价命题,所以只需写出原命题的逆否命题即可.
8.【解题指南】解答本题的关键是理解特称命题和命题的否定的定义.
【解析】选B.由特称命题的否定是全称命题可知结果.
9.【解析】选C.A中,p,q为假命题,不满足“p∨q”为真;B中,p是真命题,则“p”为假,不满足题意;C中,p是假命题,q为真命题,“p∨q”为真,“p∧q”为假,“p”为真;故C正确;D中,p是真命题,不满足“p”为真.故选C.
10.【解析】选C.由已知,将a分离得出a=2x-.
令f(x)=2x-(x<0).
已知y=2x,y=-在(-≦,0)上均为增函数,所以f(x)在(-≦,0)上为增函数.
所以0 11.【解析】选B.由含有逻辑联结词的命题的真假规律可知①“p∧q”为真,则p,q都真,所以“p∨q”为真,反之不成立;③“p”为假,则p为真,所以“p∨q”,为真,反之不成立.可知①③正确,②④不正确. 12.【解析】选D.若命题“p且q”是真命题,则p和q都是真命题,若p是真命题,则a≤1,若q是真命题,则a≥1或a≤-2,所以p和q都是真命题得到a>1. 13.【解析】x∈[2,5]和x∈{x|x<1或x>4}都是假命题,则故x 的取值范围是[1,2). 答案:[1,2) 14.【解析】若b=0,则f(x)=x+bcosx=x为奇函数,若f(x)为奇函数,则有f(0)=0,即b=0,所以b=0是f(x)为奇函数的充要条件. 答案:充要 15.【解题指南】先写出相应的逆命题、否命题、逆否命题,然后判断命题的真假. 【解析】原命题中若c=0,则不成立. 逆命题:a,b,c∈R,若ac2>bc2,则a>b;是真命题; 否命题:a,b,c∈R,若a≤b,则ac2≤bc2;是真命题; 逆否命题:a,b,c∈R,若ac2≤bc2,则a≤b;是假命题. 答案:2 16.【解析】p:|4x-3|≤1?≤x≤1, q:(x-a)(x-a-1)≤0?a≤x≤a+1. 由p?q,p q,得 解得:0≤a≤. 答案:[0,] 17.【解析】方程①有实根的充要条件是 Δ=16-4×4×m≥0,解得m≤1. 方程②有实根的充要条件是Δ=16m2-4(4m2-4m-5)≥0,解得m≥-, 所以-≤m≤1.而m∈Z, 故m=-1或m=0或m=1. 当m=-1时,①方程无整数解; 当m=0时,②无整数解; 当m=1时,①②都有整数解. 从而①②都有整数解时m=1.反之,m=1,①②都有整数解. 所以①②都有整数解的充要条件是m=1. 18.【解析】(1)?a,b∈R,方程ax+b=0恰有惟一解. 当a=0,b=0时方程有无数解,故该命题为假命题. (2)?x0∈R,使得=. 因为x2-2x+3=(x-1)2+2≥2, 所以≤<,故该命题是假命题. 19.【解析】(1)p:91?A,或91?B;p真,p假. (2)p:每一个素数都不是偶数;p真,p假. (3)p:存在一个正整数不是质数且不是合数;p假,p真. (4)p:存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆p真,p假. 20.【解析】由命题p得a≥-cos2x-sinx=2sin2x-sinx-1=2(sinx-)2-, 因为sinx∈[-1,1], 所以当sinx=-1时,(2sin2x-sinx-1)max=2, 所以命题p:a≥2, 由命题q得:当a≤0时显然成立; 当a>0时,需满足Δ=4-4a2>0,解得0 所以命题q:a<1, 因为命题p∨q为真,命题p∧q为假,所以命题p和q一真一假, 若命题p真q假,则a≥2;若命题p假q真,则a<1, 综上,实数a的取值范围是(-≦,1)∪[2,+≦). 21.【解析】(1)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)(x-a)<0, 又a>0,所以a 当a=1时,1 由得2 (2)p是q的充分不必要条件, 即p?q,且q p, 设A={x|p},B={x|q},则AüB, 又A={x|p}={x|x≤a或x≥3a}, B={x|q}={x≤2或x>3}, 则0 22.【解析】因为x∈[1,2]时,不等式x2-ax+2<0恒成立, 所以a>=+x在x∈[1,2]上恒成立, 令g(x)=+x, 所以g(x)max=g(1)=3, 所以a>3,即若命题p真,则a>3. 因为函数f(x)=x2-2ax+3a是区间(-≦,1]上的减函数, 所以a≥1. 即若命题q真,则a≥1. 因为命题“p或q”是真命题,“p且q”是假命题, 所以命题p与q一真一假. 当p真q假时?a无解. 当p假q真时,?1≤a≤3. 综上所述:1≤a≤3. 【方法锦囊】恒成立问题的求解 以全称命题的真假为背景求参数的取值范围的题目可以分为两步求解:步骤①用等价转化的思想将问题转化为恒成立问题;步骤②解决恒成立问题. 恒成立问题的求解有两种基本的方法:一是分离参数,比如本题中对命题p的求解;二是利用函数的性质,比如本题中对命题q的求解. 关闭Word文档返回原板块。
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