2.3.1 直线与平面垂直的判定说课稿
新洲二中黄丽花
课程标准：
通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理；能运用判定定理证明一些空间位置关系的
简单命题。
教材分析：
1.教材中的地位和作用：
《直线与平面垂直的判定》是高中新教材人教A版必修2第2章2.3.1的内容，本节课主要学习线面垂直的定义、判定定理及定理的初步运用。其中，线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质，它是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！（如图）学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃，是非常重要的。
2. 教学目标：
根据大纲要求，考虑到学生的接受能力和课容量，确定了本次课的教学目标：
A、知识与技能：通过直观感知、操作确认，理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理；并能
运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。
B、过程与方法：通过线面垂直定义及定理的探究过程，培养学生感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。
C、情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，培养学生
勤于思考、勤于动手的良好品质。
3、教学重点和难点：
根据《课程标准》，线面垂直判定定理的严格证明在本节课中不做要求，这样降低了难度。因而，我将本节课的教学重点确立为：
重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
由于学生的抽象概括能力、空间想象力还有待提高，而线面垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性，学生不易想到，因此我把操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用作为本节课的难点。
学情分析：
在初中学生已经掌握了平面内证明线线垂直的方法，学习本课前，学生又通过直观感知、操作确认的方法，学习了直线平与面平行的判定定理，对空间概念建立有一定基础，因而，可以采用类比的方法来学习本课。但是，学生的抽象概括能力、空间想象力还有待提高。线面垂直的定义比较抽象，平面内看不
到直线，要让学生去体会“与平面内所有直线垂直”就有一定困难；同时，线面垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性，学生不易想到。因而，我将本节课的教学难点确立为：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
学法分析：
由于高中的学生已经具备一定的自主探究和合作能力。
（1）教学中，让学生在回顾线面平行的基础上，安排学生以小组为单位讨论交流，引导学生对线面垂直定义和定理进行抽象概括。
（2）指导学生动手操作手中的三角板和笔加深概念的本质理解，操作折纸实验完成定理的探究。
从中体现出学生活跃的思维、浓厚的兴趣、强烈的参与意识和自主探究能力。
教法分析：
学习本课前，学生通过直观感知、操作确认的方法，学习了直线与平面平行的判定定理，对空间概
念建立有一定基础，因而，可以采用类比的方法来学习本课。
(1)“引导—探究式”教学方法 :在线面垂直定义的建构中，先引导学生观察实例和图片直观感知概念，再通过动画演示形成概念，然后引导学生对概念进行抽象概括；而在判定定理的探究过程中，先借助学生熟悉的长方体模型和生活中简单的经验引导学生对定理进行猜想，再引导学生通过动手操作折纸实验和动画演示来确认定理，最后引导学生对定理进行归纳总结。整个教学过程遵循“直观感知—操作确认—归纳总结”的认知规律，注重发展学生的合情推理能力，同时，加强空间观念的培养，注重知识产生的过程性。
(2)采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法: 在定义和定理的探究过程中，从具体图片和
实物模型出发引导学生直观感知，再到定义定理的抽象概括。这有助于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点、解决难点；也有利于发挥学生的创造性。
教学过程：
1.直线与平面垂直定义
（1）创设情境——感知概念：
①观察实例：引导学生将书打开直立于桌面，观察书脊与桌面的位置关系，由此引出课题。
②展示图片：观察图片，引导学生寻找出其中线面垂直的位置关系。（旗杆与地面、桥墩与地面）
③师生活动：引导学生举出身边更多类似的例子。（如教室内直立的墙角线和地面的位置关系，
桌子的四只脚与地面的位置关系等）
从实例到图片再到实际生活，直观感知直线和平面垂直的位置关系，从而建立初步印象，为下一
步的数学抽象做准备
（2）观察归纳——形成概念：
①学生画图：引导学生画出直线l与平面 垂直的几何图形。
（师生活动：学生练习本上画图，教师针对学生出现的问题，如不直观、不标字母等加以强调。
②思考：从直线与直线垂直、直线与平面平行的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于
一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？
③结合问题(1)和(2)观察动画演示：在阳光下直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC的
位置变化。
问题(1)：旗杆所在的直线AB与影子所在的直线BC的位置关系是什么？
问题(2)：旗杆AB与地面内任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置关系又是什么？由此可以得到什么结论？（师生活动：在多媒体演示时，先展示动画1使学生感受到旗杆AB所在直线与过点B 的直线都垂直。再展示动画2引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直。）
④引导学生归纳直线与平面垂直的定义、介绍相关概念，并引导学生用符号语言表示。
定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相
垂直，记作： l⊥α. 直线 l叫平面的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。直线与平
面垂直时，
. 它们唯一的公共点P叫垂足。
（3）辨析讨论——深化概念：
下列命题是否正确，为什么？
（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直。
（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线。
通过问题辨析与讨论，加深概念的理解，掌握概念的本质属性。由（1）使学生明确定义中的“任意”和“无数”的不同。由（2）使学生明确，线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，“直线与直线
垂直”和“直线与平面垂直”可以相互转化。
2.直线与平面垂直的判定定理
（1）分析实例——猜想定理
问题①在长方体ABCD－A1B1C1D1模型中，棱BB1与底面ABCD垂直，观察BB1与底面ABCD内直线AB、BC有怎样的位置关系？由此你认为保证BB1⊥底面ABCD的条件是什么？
问题②如何一本书直立于桌面？
由上述两个实例，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？
学生提出猜想:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 借助学生最熟悉的长方体模型和生活中最简单的经验，感知判定直线与平面垂直时只需平面内有限条直线（两条相交直线），从中体验有限与无限之间的辩证关系，从而提出猜想，为进一步的探究做准备
(2)动手操作——确认定理
A.折纸实验：如图，让学生拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，做一个实验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD 、DC 与桌面接触），进行观察并思考：
问题③ 折痕AD 与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？
（师生活动：在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导这两类学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。学生再次折纸，经过讨论交流，发现当且仅当折痕AD 是BC 边上的高，即 AD ⊥BC ，翻折后折痕AD 与桌面垂直。）
问题④ 由折痕AD ⊥BC ，翻折之后垂直关系发生变化吗？（即AD ⊥CD ，AD ⊥BD 发生变化吗？）由此你能得到什么结论？
B. 多媒体演示翻折过程。
C.归纳出线面垂直的判断定理; 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂
直。
（3）质疑反思——深化定理
下面命题是否正确，为什么？
如果一条直线与一个梯形的两条边垂直，那么这条直线垂直于这个梯形所在的平面？
3.举例应用：
课本66页例题1
分析：要证明b α⊥ ，根据判定定理，只要证明在平面α内有两条相交直线.m n 与b 垂直即可。 总结：根据线面垂直的判定定理解决问题。同时本题还可以作为一个结论：如果两条平行线中的一条
直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。 课本66页“探究”
通过探究可以发现，要证线线垂直，就得转化为证线面垂直，因此就得利用线面垂直的判断定理，构
造一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线。所以底面ABCD 需要满足的条件是AC ⊥BD.
4.直线与平面所成的角
（1）概念 一条直线PA 和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的
斜线，斜线和平面的交点A 叫斜足。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO ，过垂足O 和斜足A 的直线AO 叫做斜线PO 在这个平面上的射影。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫
做这条直线和平面所成的角。 线面角的取值范围：0
00
,90???
?
注意：1.教师强调定义并画图说明。 2.强调直线除了与平面斜交以外还有两种特殊情况，并解释
直线与平面所成角的范围。 （2）简单应用 课本66页 例题2
1. 分析：找到斜线111A B A B CD 在平面 内的射影，要找到斜线的射影，先找到斜线
111A B A B CD 上一点向面引得垂线。
2. 明确综合法解决线面角的步骤：“找——证——求”。
5.巩固练习： P67 1.
让学生做定时训练，并巡视发现问题。点学生回答结果，并根据学生回答的情况进行点评。
6.反思小结：
（1） 通过本节的学习，你学会了哪些判定线面垂直的方法？ （2） 证明线面垂直要注意哪些问题？ (3) 本节课涉及到了哪些数学思想和方法？ （4） 本节课你还有那些问题？
教学评价设计
根据本节课的特点，我从以下三个方面进行教学评价：
1.关注学生在整个探究过程中的表现，包括学生的投入程度、思维水平的发展.具体体现在： （1）线面垂直定义的建构中，着重观察学生思维发展，通过动态演示能否顺利得到结论，若出现“卡壳”现象，教师可再多举实例，放慢节奏。
（2）在线面垂直的判定定理的探究中，着重关注学生的合情推理，通过与学生的问答交流，发现其思维过程，进行恰当引导。对于个别有困难的学生，教师及时帮助与鼓励，调动学生的积极性。若出现意想不到的表现和独特想法，教师先给予鼓励，再根据学生的认知规律采取恰当的启发方式，使其认知活动顺利进展，激发学生的创新思维。 2.通过练习检测学生对知识的掌握情况
练习中可能出现的问题有：几何作图不够直观、符号语言表述不清、推理论证不够严密等。教师及时纠正，并作为下节课的学习重点。
3.根据学生在课堂小结中的表现和课后作业情况，查缺补漏，以便调控教学。 以上是我对本节课的一些说明，不妥之处，敬请各位专家、老师批评指正，谢谢！
只脚与地面的位置关系等）
①生画图：引导学生将地面看成平面 ，旗杆看
做直线l画出旗杆与地面位置关系的几何图形。
（师生活动：学生练习本上画图，教师针对学生出现的问题，如不直观、不标字母等加以强调。）
②思考：从直线与直线垂直、直线与平面平行的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？
③结合问题(1)和(2)观察动画演示：在阳光下直立
于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC的位置变化。
问题(1)：旗杆所在的直线AB与影子所在的直线
BC的位置关系是什么？
问题(2)：旗杆AB与地面内任意一条不过旗杆底
部B的直线B1C1的位置关系又是什么？由此可以得到什么结论？（师生活动：在多媒体演示时，先展示动画1使学生感受到旗杆AB所在直线与过点B的直线都垂直。再展示动画2引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆AB所在直线与
地面内任意一条不过点B 的直线B 1C 1也垂直。）
④引导学生归纳直线与平面垂直的定义、介绍相关概念，并引导学生用符号语言表示。
定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作： l ⊥α.
.
用符号语言表示为：
（师生活动：学生以小组为单位讨论交流，互相补充，并派代表作答，教师补充完善，指出定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同意词，同时给出直线与平面垂直的记法，并引导学生用符号语言表示。）
辨析1：下列命题是否正确，为什么？
（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直。
（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线。
（师生活动：命题（1）判断中引导学生利用手中的笔和三角板，笔表示直线，三角板两直角边表示两垂直直线，桌面表平面，将三角板的一条直角边AC 放在桌面上，这时另一条直角边BC 就和桌面内的一条直线（即三角板与桌面的交线AC ）垂直，在此基础上在桌面内放一只和AC 平行的笔EF 并平行移动，那么BC 始终和EF 垂直，但BC 不一定和桌面垂直，最后教师给出反例的直观图1。）
由（2）给出下列常用命题：
指出它是判断直线与直线垂直的常用方法，它将直线与直线垂直的问题转化为判定一条直线垂直于另一条直线所在的平面。
直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足。
图1
问题①在长方体ABCD－A1B1C1D1模型中，棱BB1与底面ABCD垂直，观察BB1与底面ABCD内直线AB、BC有怎样的位置关系？由此你认为保证BB1⊥底面ABCD的条件是什么？
问题②如何将一张长方形贺卡直立于桌面？
（师生活动：引导学生观察思考，师生共同分析长方体侧棱垂直底面、贺卡能直立于桌面的原因：侧棱或书脊固定在两相交直线上且与两直线垂直。）
由上述两个实例，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？
学生提出猜想:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
A.折纸实验：如图，让学生拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），进行观察并思考：问题③折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
（师生活动：在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导这两类学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。学生再次折纸，经过讨论交流，发现当且仅当折痕AD是BC边上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD与桌面垂直。）
问题④由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系发生变化吗？（即AD⊥CD，AD⊥BD发生变化吗？）由此你能得到什么结论？
（师生活动：在归纳直线与平面垂直的判定定理时，先让学生以小组为单位交流讨论，派代表叙述结论，不完善的地方教师引导、补充完整，归纳出线面垂直的判定定理。然后要求学生试用图形语言与符号语言来表示定理，指出定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。）
辨析2：下列命题是否正确，为什么？
（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？
（2）在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？ （3）本节课涉及到哪些数学思想和方法？ （4）本节课你还有哪些问题？
（师生活动：学生发言，互相补充，教师点评完善，以知识结构图归纳出判断直线与平面垂直的方法（如图）即可用定义，判定定理或例3的结论，说明本课蕴含着转化、类比、归纳、猜想等数学思想方法，强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路。）
必做题：课本P67练习1：如图，在三棱锥V-ABC 中，
如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。指出：命题体现了平行关系与垂直关系的联系，其结果可以作为直线和平面垂直的又
A
B
C
D
α a
b
\
作者：空青山 作品编号：89964445889663Gd53022257782215002 时间：2020.12.13 《直线与平面垂直的判定》说课稿 李凯帆 本节课是人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2第三节“2.3.1直线与平面垂直的判定”的第一课时。下面，我将分别从教材分析、学情分析、教法与学法分析、教学过程设计、教学反思五个方面对本节课进行说明。 一、教材分析 1．内容、地位与作用 直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时又是直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一． 本节课是在学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线与平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用。 其中，线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质，它是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！ 学好这部分内容，对于学生建立空间观念、实现从认识平面图形到认识立体 图形的飞跃， 是非常重要的． 2．教学目标 《数学课程标准》指出本节课学习目标是：通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理；能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题．考
虑到本校学生的接受能力和课容量，本节课只要求学生在构建线面垂直定义的基础上探究线面垂直的判定定理，并进行定理的初步运用．故而确立以下教学目标： （1）知识与技能 通过直观感知、操作确认，理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理，并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。 （2）过程与方法 通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。 （3）情感、态度与价值观 通过线面垂直定义及定理的探究，让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。 3．教学重点和难点 根据教学大纲的要求以及学生的实际情况，确定如下： 重点：通过操作概括直线与平面垂直的定义和判定定理 难点：操作确认直线与平面垂直的判定定理 二、学情分析 学习本课前，学生已经通过直观感知、操作确认的方法，学习了直线与平面平行的判定定理，对空间概念建立有一定基础。但是，学生的抽象概括能力、空间想象力还有待提高。线面垂直的定义比较抽象，平面内看不到直线，要让学生去体会“与平面内所有直线垂直”就有一定困难；同时，线面垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性，学生不易想到。 高二年级的学生，已具有一定的想象能力和分析问题、解决问题的能力，但尽管思维活跃，敏捷，但却缺乏冷静、思考，因而片面，不够严谨。仍需依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。 三、教法与学法分析 本节课内容是学生空间观念形成的关键时期，课堂上充分利用现实情境，学生通过感知、观察，提炼直线与平面垂直的定义；进一步，在一个具体的数学问题情景中设想，并在教师指导下，动手操作，观察分析，自主探索等活动，切实感受直线与平面垂直判定定理的形成过程，体会蕴含在其中的思想方法。 采用启发式、引导式、参与式的教学方法，引导学生进行自主尝试和探究；引导学生采用自主探索与互相协作相结合的学习方式。 四、教学过程设计
郸城二高高二年级集体备课教学案 直线和平面垂直的判定与性质（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．直线和平面垂直的定义及相关概念． 2．直线和平面垂直的判定定理． 3．线线平行的性质定理（即例题1）． （二）能力训练点 1．要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的添加．2．讲直线和平面垂直时，应注意引导学生把直线和平面关系转化为直线和直线的关系．如直线和平面垂直，只须这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线，向学生渗透转化思想的应用．二、教学重点、难点、疑点 1．教学重点 （1）掌握直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直． （2）掌握直线和平面垂直的判定定理： （3）掌握线线平行的性质定理： 若a∥b，a⊥α则b⊥α． 2．教学难点：在于线、面垂直定义的理解和判定定理的证明；同时还要解决好定理证明过程中，辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过B点的两条直线说明“任意”直线的问题．3．教学疑点：判定定理的条件中，“相交”是关键，“两条”也是一个重要条件，对于初学立体几何的学生来讲，是不好理解的，教师应该用实例说明这两个条件缺一不可． 三、课时安排本课题共安排2课时，本节课为第一课时． 四、学生活动设计（略） 五、教学步骤 （一）温故知新，引入课题 1．空间两条直线有哪几种位置关系？ （三种：相交直线、平行直线、异面直线） 2．经过一点和一条直线垂直的直线有几条？ （从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和已知直线垂直） 3．空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？ （直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行．） 4．怎样判定直线和平面平行？ 我们已经知道，判定直线和平面平行的问题可以转化为考察直线和直线平行的关系．今天我们转入学习直线和平面相交的一种特殊情形——直线和平面垂直，这个问题同样可以从两条直线垂直的关系入手． （板书课题：§1．9直线和平面垂直） 郸城二高杨雅莉- 1 -
《直线与平面垂直的判定（一）》 尊敬的各位评委，老师们： 大家好！今天我说课的题目是《直线与平面垂直的判定》，我将从以下五个板块进行说明（分析）： 板块一：教材分析 1、地位和作用：本节是人教版高中数学第二册下第九章第四节的第一课时，介绍 线面垂直的定义、判定及其应用。 学好本节，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到立体（空间）图形的飞跃有（着）非常重要的作用。 2 1 数学语言表述； 2 3 的乐趣，增强学习数学的兴趣。 3、重点与难点：本课中，重点， 而教学的难点 板块二学情分析 学生在初中几何中已学过线线垂直，并对线面垂直有直观的认识。我班学生思维活跃，动手能力强，能根据实物与模型的演示，积极地思考，归纳与概括，并能类比线线垂直积极的探索线面垂直的判定定理。但是学
生的抽象概括能力、空间想象力还有待提高，力求通过本节教学让学生有一个新的飞跃。 板块三教法和学法分析 板块四教学过程设计 我们知道，“所谓求知是过程，不是结果”。求知的过程必须在教学中得以实现，（正是）在这一理念支撑下，我设计的教学过程如下： （1）利用多媒体课件展示生活中一组图片：（火箭、电视塔、摩天大厦、博雅塔），让学生直观感知线面垂直。之后，设置学生活动：请举出校园生活中的线面垂直的例子。学生踊跃发言，举出很多例子，（打开的书脊，教室内两墙的交线，大厅里的柱子，校园彩灯的灯柱，操场的旗杆等）学生的兴趣被调动起来，老师及时提出问题,怎么用数学语言抽象表述线面垂直这种位置关系呢？让我们先看一个演示实验：】 （2）多媒体演示：旗杆与它在地面上影子的位置关系。 【动画1AB所在直线与过点B的直线都垂直，动画 2AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线g也垂
两条直线平行与垂直作业 一、选择题（每小题8分） 1.下列命题 ①如果两条不重合的直线斜率相等,则它们平行; ②如果两直线平行,则它们的斜率相等; ③如果两直线的斜率之积为-1,则它们垂直; ④如果两直线垂直,则它们斜率之积为-1. 其中正确的为( ) A.①②③④ B.①③ C.②④ D.以上全错 2.已知点A(1,2),B(m,1),直线AB 与直线y=0垂直,则m 的值为( ) A.2 B.1 C.0 D.-1 3.以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)为顶点的三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.以A 为直角顶点的直角三角形 D.以B 为直角顶点的直角三角形 4.已知12l l ⊥,直线2l 的倾斜角为45°,则直线1l 的倾斜角为( ) A.45° B.135° C.-45° D.120° 5.满足下列条件的1l 与2l ,其中12l l ⊥的是( ) (1) 1l 的斜率为- , 2l 经过点A(1,1),B(0,- ); (2) 1l 的倾斜角为45°, 2l 经过点P(-2,-1),Q(3,-5); (3) 1l 经过点M(1,0),N(4,-5), 2l 经过点R(-6,0),S(-1,3). A.(1)(2) B. (1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3) 6.若A （-4，2）,B(6,-4),C(12，6)，D(2,12)，则下列四个结论： ① AB ∥CD ② AB ⊥AD ③ AC ∥BD ④ AC ⊥BD 中正确的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知直线l 与过点M(2,3-),N(3,2-)的直线垂直,则直线l 的 倾斜角（ ） A.60° B.180° C. 45° D.153° 8.若P （a,b ）与Q （b-1，a+1）关于直线l 对称，则l 的倾斜角为（ ） A ．135° B.45° C. 30° D.60° 二、填空题（每小题8分） 9、经过点P(-2?-1)?Q(3,a)的直线与倾斜角为45°的直线垂直.则a= _____ 10、如果下列三点:A(a,2)，B(5,1),C(-4,2a)在同一直线上, 则a= _____ 11、 1l 过点A(m,1),B(-3,4), 2l 过点C(0,2),D(1,1),且1l ∥2l ,则m=_______. 2312
两条直线的平行与垂直(2) 分层训练 1 . .若直线ax y 1 0和直线2x by 1 0垂直，则a,b满足() (A)2a b 0 (B)2a b 0 (C)ab 2 0 (D)ab 2 0 2 ..已知两点A( 2,0), B(0,4) ，则与 直 线AB垂直的直线方程可写成( ) (A)2x y m 0 (B)2x y m 0 (C) x 2 y m 0 (D) x 2y m 0 3?已知两点A( 1,3), B(3,1)，点C在坐标轴上.若ACB -,则这样的点C有 ( ) (A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个 4.原点在直线I上的射影是P( 2,1)，则|的方程为( ) (A)x 2y 0 (B) x 2y 4 0 (C)2x y 5 0 (D) 2x y 3 0 5.已知直线mx 4y 2 0 和2x 5y n 0互相垂直，且垂足为(1,p)，则m n p的 值是() (A)24 (B)20 (C) 0 (D) 4 6?根据条件，判断直线l i与I2是否垂直： (1)l i的倾斜角为45°, I2的方程是x y 1 : _______________________ ; (2)I1 经过点M (1,0), N(4,5) , J过点R( 6,0), S( 1,3): ________________________ . 7?直线I在y轴上的截距为2,且与直线l': x 3y 2 0垂直，则I的方程是__________ 8.已知直线Ax 4y 2 0和直线2x y C 0垂直且垂足的坐标为(1,m),则 A ______ , C ________ ,m ________ . 9?求经过点(2,1)，且与直线2x y 10 0垂直的直线I的方程.
高中数学《平面与平面垂直的性质》说课稿 尊敬的各位考官大家好，我是今天的X号考生，今天我说课的题目是《平面与平面垂直的性质》。虽然我个人的教学经验并不丰富，但是为了能过够成为一名合格的人民教师，我对于本节课也有了一些自己的思考，接下来我就从几方面简单的谈一谈我对本节课的理解。 一、说教材 我认为要真正的教好一节课，首先就是要对教材熟悉，那么我就先来说一说我对本节课教材的理解。《平面与平面垂直的性质》在人教A版高中数学必修二第二章第三节第四小节，本节课的内容是平面与平面垂直的性质定理及其推导和应用。到本小节，学生已经学了直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，教学中可以引导学生思考这些定理之间相互联系的同时也对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。同时本节课的内容也是之后解决空间几何位置关系问题的必要基础。 二、说学情 教材是我们教学的工具，是载体。但我们的教学是要面向学生的，高中学生本身身心已经趋于成熟，管理与教学难度较大，那么为了能够成为一个合格的高中教师，深入了解所面对的学生可以说是必修课。本阶段的学生思维能力已经非常成熟，能够有自己独立的思考，所以应该积极发挥这种优势，让学生独立思考探索。 三、说教学目标 根据以上对教材的分析以及对学情的把握，结合本节课的知识内容以及课标要求，我指定了如下的三维教学目标： (一)知识与技能 掌握平面与平面垂直的性质，会根据面面垂直证明线面垂直。 (二)过程与方法
在探索证明平面与平面垂直的性质时，提升逻辑推理能力以及空间观念。 (三)情感态度价值观 在自主探索中感受到成功的喜悦，激发学习数学的兴趣。 四、说教学重难点 并且我认为一节好的数学课，从教学内容上说一定要突出重点、突破难点。而教学重点的确立与我本节课的内容肯定是密不可分的。那么根据授课内容可以确定本节课的教学重点是：掌握平面与平面垂直的性质。而本节课作为本章的最后一节，那么就要求学生不光掌握面面垂直，还要能够理解与之前知识的联系，所以本节课的教学难点是：会根据面面垂直证明线面垂直。 五、说教法和学法 那么想要很好的呈现以上的想法，就需要教师合理设计教法和学法。根据本节课的内容特点，我认为应该选择讲授法，练习法，学生自主思考探索等教学方法。 六、说教学过程 而教学方法的具象化就是教学过程，基于新课标提出的教学过程是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。我试图通过我的教学过程，打造一个充满生命力的课堂。 (一)新课导入 教学过程的第一步是新课导入环节，那么我先抛出提出问题：
第 页（共4页） 1 直线与平面垂直的判定 【教学目标】 1．通过观察图片和折纸试验，使学生理解直线与平面垂直的定义，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理，并能简单应用定义和判定定理； 2．通过对判定定理的探究和运用，初步培养学生的几何直观能力和抽象概括能力； 3．通过对探索过程的引导，努力提高学生学习数学的热情，培养学生主动探究的习惯． 【教学重点】 对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解及其简单应用． 【教学重点】 探究、归纳直线与平面垂直的判定定理，体会定义和定理中所包含的转化思想． 【教学方式】探究式 【教学手段】 计算机、实物模型 【教学过程】 一、实例引入，理解概念 1．通过复习空间直线与平面的位置关系，让学生举例感知生活中直线与平面相交的位置关系，其中最特殊、最常见的一种就是线面的垂直关系，从而引出课题． 设计意图：希望通过学生的生活经验，提高学生学习数学的兴趣和自觉性． 2．给出学生非常熟悉的校园图片，引导他们观察直立于操场上篮球架的立柱与它在地面影子的关系，然后将其抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确描述，引出直线与平面垂直的定义．即：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直． 设计意图：通过从“具体形象——几何图形——数学语言”的过程，让学生体会定义的合理性． 3．简单介绍线面垂直在我国古代的重要应用——“日晷”． 设计意图：通过我国古代用来计时的一种仪器——日晷，让学生感受数学的应用价值，提高学生学习数学的热情．同时，引出探究判定定理的必要性． 二、通过试验，探究定理 准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A ，B ，C ．如图，过△ABC 的顶点A 折叠纸片，得到折痕AD ，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使BD 、DC 边与桌面接触） D C A B D B A C
复习引入： 直线名称 已知条件 直线方程 使用范围 示意图 点斜式 k y x P ),,(111 )(11x x k y y -=- 存在k 斜截式 b k ， b kx y += 存在k 两点式 ) ,(11y x （),22y x 1 21 121x x x x y y y y --= -- 2121,y y x x ≠≠ 截距式 b a , 1=+b y a x 0,0≠≠ b a 一般式 A 、 B 、 C R ∈ 0=++C By Ax 022≠+B A 1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直王新敞 2．斜率存在时两直线的平行与垂直． 设直线1l 和2l 的斜率为1k 和2k ，它们的方程分别是： 1l ：11b x k y +=； 2l ：22b x k y +=． 两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特 征王新敞 ⑴两条直线平行(不重合)的情形． 如图，从位置关系、倾斜角、斜率的定义、正切函数的性质分析，得以下结论： 两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如 果它们的斜率相等，则它们平行，即21//l l ?1k =2k 且21b b ≠ 王新敞 要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立． 例1 两条直线1l ：0742=+-y x ， 2l ：052=+-y x ．求证：1l ∥2l 例2 求过点)4,1(-A 且与直线0532=++y x 平行的直线方程．（两种方法） 注意： ①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握； ②解法二是常常采用的解题技巧。一般地，直线0=++C By Ax 中系数A 、B l 2l 1 α2 α1 x O y
直线与平面垂直的判定 [新知初探] 1．直线与平面垂直的定义 (1)自然语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足． (2)图形语言：如图． 画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直． (3)符号语言：任意a?α，都有l⊥a?l⊥α. [点睛] (1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形． (2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”． 2．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α. [点睛]判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直． 3．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条 直线和这个平面所成的角． 如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角． (2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°. (3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°. (4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°. [点睛]把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．
[小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行() (2)若a∥b，a?α，l⊥α，则l⊥b() (3)若a⊥b，b⊥α，则a∥α() 答案：(1)×(2)√(3)× 2．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是() A．平行B．垂直 C．在平面α内D．无法确定 解析：选D 3.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中： (1)与PC垂直的直线有 ________________________________________________________________________； (2)与AP垂直的直线有 ________________________________________________________________________．答案：(1)AB，AC，BC(2)BC 对直线与平面垂直的判定定理的理解 [典例]下列说法正确的有________(填序号)． ①垂直于同一条直线的两条直线平行； ②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直； ③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直； ④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直． [答案]② (1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交． (2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．
《直线与平面垂直的判定》——第一课时(说课稿)《直线与平面垂直的判定》——第一课时(说课稿) 教材分析 1、教材的地位和作用： 《直线与平面垂直的判定》是高中新教材人教A版必修2第2章2.3.1的内容，本节 课主要学习线面垂直的定义、判定定理及定理的初步运用。其中，线面垂直的定义是线面 垂直最基本的判定方法和性质，它是探究线面垂直判定定理的基础;线面垂直的判定定理 充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接 线线垂直和面面垂直的纽带!学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现从认识平面 图形到认识立体图形的飞跃，是非常重要的。 【学生情况分析】 在初中学生已经掌握了平面内证明线线垂直的方法，学习本课前，学生又通过直观感知、操作确认的方法，学习了直线、平面平行的判定定理，对空间概念建立有一定基础， 因而，可以采用类比的方法来学习本课。 但是，学生的抽象概括能力、空间想象力还有待提高。线面垂直的定义比较抽象，平 面内看不到直线，要让学生去体会“与平面内所有直线垂直”就有一定困难;同时，线面 垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性，学生不易想到。因而，我将本节课的教学难点确 立为：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。 【教学目标】 知识与技能：通过直观感知、操作确认，理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定 定理;并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。 着眼于理解数学，真正理解问题的来龙去脉，而不是靠题海战术取胜，通过分析典型 问题解题过程，熟练解题，提高解题能力。 过程与方法：通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。 情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。 【教学重点和难点】 操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。 【教学过程设计】
2.1.3 两条直线的平行与垂直（2） 教学目标: 1. 掌握利用斜率判定两条直线垂直的方法，感受用代数方法研究几何问题的思想； 2. 通过分类讨论、数形结合等数学思想的渗透，培养学生严谨、辩证的思维习惯. 教材分析及教材内容的定位： 本节课和上节课研究的内容有类似之处，都是通过方程研究几何性质的. 教学重点： 用斜率判断两直线垂直的方法. 教学难点： 理解直线垂直的解析刻画. 教学方法： 探究合作. 教学过程： 一、问题情境 1?复习回顾：（1）利用直线的斜率关系判断两条直线平行； （2）利用直线的一般式方程判断两条直线的平行. 2 ?本节课研究的问题是：一一两条直线垂直， 两条直线垂直，那么他们的斜率之间有什么关系，体现在方程有何特征？ 二、学生活动 探究：两条直线垂直，即倾斜角的差为直角，那么他们的斜率如何？ 不妨设直线丨1,丨2（斜率存在）所对应的倾斜角分别为a 1, a 2,对应的斜率分别为k1, k2. 因为两条直线相互垂直，不妨设 a 1 — a 2= 90 .根据倾斜角与斜率的关系，我们知道 当倾斜角不是直角时，斜率存在，从而有k1=tan a 1, k2= tan a 2，于是根据诱导公式有 1 k1 tan 1 tan （90° 2） tan 2
即k i k2=—1 .此时，若两直线平行，则两直线的斜率乘积为一1. 反之，如果两直线的斜率(斜率存在)互为负倒数，即k i k2=—1,根据倾斜角和斜率 的关系以及正切函数的单调性可知倾斜角的差等于直角，从而说明它们互相垂直. 三、建构数学 两直线垂直. 一般地，设直线l i,丨 2 (斜率存在)所对应的斜率分别为k i, k2，则 11 I2 k i k2 1 说明： (1)如果直线丨1,丨2的斜率有一个不存在，那么其中有一条直线(不妨设 为I 1 )与X轴垂直，此时两条直线垂直的等价条件为I 2的斜率为0； (2)在利用以上结论判定两直线的位置关系时，一定要注意前提条件，即 斜率存在，因此在讨论问题过程中一定要注意对斜率是否存在作分类讨论. (3)设直线I 1: Ax + By+ Ci= 0, 12：Ax+ By + C2= 0，那么两条直线垂直的等价条件 为：A1A2 B1 B20 . 四、数学运用 例1 (1 )已知四点A(5, 3), B (10, 6) , C(3, —4) , D(—6 , 11),求证：AB丄 CD 3 2 (2)已知直线I 1的斜率k1= ,直线12经过点A (3a, —2) , B( 0 , a +1),且I』 4 12 ,求实数a的值. 例2 已知三角形的顶点为A (2 , 4), B (1, —2), C (—2 , 3),求BC边上的高AD 所在的直线. 例3在路边安装路灯，路宽23m,灯杆长2. 5m且与灯柱成1200角.路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直. 当灯柱高h为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？ (精确到0. 01m) 练习： 1. 求过点A(0 , —3),且与直线2x+ y—5= 0垂直的直线的方程. 2. 已知直线I与直线I : 3x+4y —12= 0互相垂直，且与坐标轴围成的三角形面积为6,求直线I的方
苏教版高中数学必修二《直线与平面垂直的判定》说课稿各位评委大家好！我要说课的内容是《直线与平面垂直的判定》，选自现行苏教版数学教材必修2，第一章，第二节的第三个问题。下面我从教材分析、目的分析、教法分析、过程分析及评价分析等5个方面进行汇报我对这节课的教学设想。 一、教材分析 1．教材的地位和作用 这一节课的内容是高考中的热点问题，在整个立体几何体系起到承上启下的作用。本节教材是在学生学习了空间直线的垂直关系的基础上，研究空间直线与平面垂直关系的重要内容。判定定理既是线线垂直关系的应用之一，又是以后学习线面角、两个平面垂直以及研究空间距离等知识的奠基。这节教材对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力也具有重要的意义。 2．重点、难点和关键 （1）教学重点直线与平面垂直的定义和判定定理。 （2）教学难点操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。 （3）突破难点的关键学生操作感受线面垂直试验。 3．教材内容和教材处理 本节课的主要内容是直线与平面垂直的概念、判定定理及其应用。通过创设问题情景，让学生直观上感受线面垂直的概念，激发求知欲望。然后，让学生通过观察和演示明确线线、线面的垂直关系并归纳出线面垂直的概念与判定定理，弥补不对定理进行证明的不足。这样处理教材既体现了数学与社会生活及生产的关系，也可以在探索发现的过程中，使学生感受成功的喜悦，减轻了学生的负担。 二、目的分析 1．课标要求 《课程标准》指出本节课学习目标是：通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理；能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。 2．学情分析 本人从教于韶关市第一中学，学生素质相对来说比较高，能积极思考，动手能力比较强，但理科学生的文字组织能力及表达能力依然比较欠缺。 在学习本节课之前，学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象（学生的客观现实）和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构（学生的数学现实），这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定了基础。 学生学习的困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义，感悟直线与平面垂直的意义；以及如何探究和把握直线与平面垂直的判定定理。 3．目标设定 综合以上情况，本节课将目标设定为： 知识与技能 （1）经历对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义； （2）通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理
教学目标 1、掌握用斜率判定两条直线平行和垂直的方法，感受用代数方法研究几何图形性质的思想； 2、通过分类讨论、数形结合等数学思想的运用，培养学生思维的严谨性、辩证性. 教学重难点 重点：两条直线平行和垂直的条件 难点：把两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题 教学过程 (一)温故知新 1、回顾什么是倾斜角、斜率？斜率的公式？ 2、平面上两直线位置关系有哪几种？ (二)两条直线的平行 1、当两条直线都有斜率且不重合 思考： 如果L 1∥L 2，则α1 α2，k 1 k 2. 若两条直线的斜率相等: 即k 1=k 2，则α1 α2，它 们的位置关系 是 . 结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率 ；反之，如果它们的斜率相等，那么它们 ， 即 前提： . 2、当不重合的两直线L 1和L 2的斜率都不存在，那么它们的倾斜角都是 ，它们的位置关系是 . 例题解析 形。四点所得的四边形是梯，，），，（），，（、求证：顺次连接例)44(),32(27-53-21 D C B A
例2、求过点A(2,-3)且与直线2x+y-5=0平行的直线的方程. （三）两条直线垂直．- 思考：当两条直线的斜率都存在 1、如果L 1⊥L 2，这时α1与α2满足什么关系？斜率满足什么关系？ 2、若k 1·k 2 = -1，则α1与α2满足什么关系？两直线有什么位置关系？ 结论: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率 ； 反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们 ， 即?⊥21l l （前提： ） 3、思考：如果两直线L 1,L 2中的一条斜率不存在，那么这两条直线什么时候互相垂直？ .,),1,0(),2,3(,4 3)2(; ),116(4-36,103,5)1(3212211的值求实数且经过点直线的斜率已知直线求证：，），，（），（），（已知四点、例a l l a B a A l k l CD AB D C B A ⊥+-=⊥- 例4、如图，已知三角形的顶点为A(2，4),B(1，-2),C(-2，3), 求BC 边上的高AD 所在直线方程.
2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 一、基础达标 1．下列说法中正确的个数是() ①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α. ②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α； ③若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α； ④若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α； ⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α. A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析对①②⑤，均不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．正确的是③④，故选B. 2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面() A．有且只有一个B．至多一个 C．有一个或无数个D．不存在 答案 B 解析若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．3．(2014·淮北高一检测)线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB 所在直线与平面α所成的角为() A．30°B．45° C．60°D．120° 答案 C 解析如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α
内的射影，则BC ＝1 2AB ，所以∠ABC ＝60°，它是AB 与平面α所成的角． 4．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A ．垂直且相交 B ．相交但不一定垂直 C ．垂直但不相交 D ．不垂直也不相交 答案 C 解析 取BD 中点O ， 连接AO ，CO ， 则BD ⊥AO ，BD ⊥CO ， ∴BD ⊥面AOC ，BD ⊥AC ， 又BD 、AC 异面，∴选C. 5．已知△ABC 所在平面外一点P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的________． 答案 外心 解析 P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影到△ABC 三顶点的距离都相等，所以是外心． 6．(2014·舟山高一检测)如图所示，P A ⊥平面ABC ，△ABC 中BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________． 答案 4 解析 ? ??? ?P A ⊥平面ABC BC ?平面ABC ?
直线与平面垂直的判定与性质 一、选择题 1．两异面直线在平面α内的射影（） A．相交直线 B．平行直线 C．一条直线—个点 D．以上三种情况均有可能 2．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（） A．有且只有—个 B．可能存在也可能不存在 C．有无数多个 D．—定不存在 3．在空间，下列哪些命题是正确的（） ①平行于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③平行于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同—个平面的两条直线互相平行． A．仅②不正确 B．仅①、④正确 C．仅①正确 D．四个命题都正确 4．若平面α的斜线l在α上的射影为l′，直线b∥α，且b⊥l′，则b与l（） A．必相交 B．必为异面直线 C．垂直 D．无法确定 5．下列命题 ①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线； ②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影； ③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等； ④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长． 其中，正确的命题有（） A．1个 B．2个 C．3个 n 4个 6．在下列四个命题中，假命题为（） A．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直 B．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 C．过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内 D．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面 7．已知P是四边形ABCD所在平面外一点且P在平面ABCD内的射影在四边形ABCD内，若P到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（） A．圆内接四边形 B．矩形 C．圆外切四边形 D．平行四边形 8．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离等于（）A． B． C．3 D．4 二、填空题 9．AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A_________． 10．如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l⊥α，mα和m⊥γ，现给出以下四个结论： ①α∥γ且l⊥m；②αγ且m∥β③αβ且l⊥m；④αγ且l⊥m；其中正确的为“________”．（写出序号即可） 11．在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有____________个． 12．如图，正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且PA⊥平面A BCD则在△PAB、△PBC、△PCD、△PAD、△PAC及△PBD中，为直角三角形有_________个． 13．给出以下四个命题 （1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线； （2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线； （3）两条异面直线在同一平面内的射影—定是两条相交直线； （4）一个锐角在平面内的射影一定是锐角． 其中假命题的共有_________个． 14．若一个直角在平面α内的射影是一个角，则该角最大为___________． 三、解答题 15．已知直线a∥平面α,直线b⊥平面α，求证：a⊥b． 16．如图，在长方体AC1中，已知AB＝BC＝a，BB1＝b（b＞a），连结BC1，过B l作B1⊥BC1交CC1于E，
两条直线的平行与垂直的判定教案 教学目标 (一)知识教学 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直. (二)能力训练 通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力． (三)学科渗透 通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣． 重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用． 难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题． 注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题． 教学过程 (一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直 上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直． 讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直． (二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直 设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系? 首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系) ∴tgα1=tgα2． 即 k1=k2． 反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2． 由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°， ∴α1=α2． 又∵两条直线不重合， ∴L1∥L2． 结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它
直线与平面垂直的判定与性质 典型例题 1、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ） A ．βαβα⊥?⊥?⊥n m n m ,, B ．n m n m ⊥?⊥βαβα//,,// C ．n m n m ⊥?⊥⊥βαβα//,, D ．ββαβα⊥?⊥=⊥n m n m ,, 解析：正确的命题是n m n m ⊥?⊥βαβα//,,//，选B. 2、如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、 BC 的中点,CA =CB =CD =BD =2 求证：AO ⊥平面BCD ； 本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所 成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象 能力、逻辑思维能力和运算能力。 ）证明：连结OC ,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥ 在AOC ?中，由已知可得1, 3.AO CO == 而2,AC = 2 2 2 ,AO CO AC ∴+= 90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥ ,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD 一、选择题 1．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1 的中点，则E 到平面AB C 1D 1的距离为（ ） A ． 2 3 B ．22 C ．2 1 D ． 3 3 2、在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（ ） （A ）BC //平面PDF （B ）DF ⊥平面P A E A B M D E O C
2.3.1 直线与平面垂直的判定 一、教学目标 （一）知识目标：理解直线和平面垂直的定义及判定定理；掌握判定直线和平面垂直的方法； （二）能力目标：培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。 （三）情感目标：引导学生体会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。 二、教学重难点 （一）重点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。 （二）难点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。 三、活动设计 四、教学过程 (一)创设情景，揭示课题 1、提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆 与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子 吗？然后让学生回忆、思考、讨论、对学生的活动给予评价。 2、指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在 地面上的射影的位置关系引出课题内容。 (二)研探新知 1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长 方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。然后引导学生用“平面化” 的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程 得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与 这个平面垂直呢？组织学生交流讨论，概括其定义。 定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫 做直线L的垂面。直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 2、提出问题，探索思考： （1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？ （2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起 放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕 AD与桌面所在平面垂直？ （3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂 直。 特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相