( )2
x i X
2
?元二次方程归纳总结
注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。备注：公式法解方程的步骤：
③代公式：X,,2 —一b一4ac(要注意符号) 3、一元二次方程的根与系数的关系
2
法1 :一元二次方程ax bX c 0 (a
X i b 后4ac
----------- ,X2
2a
所以：X i X2
2a
b 4ac
2a b 4ac b
2a
b 4b4a
c b J b2 4ac ( b)2
2a (2a)2 2a 4ac 4a2
2
1、一元二次方程的一般式：ax bX c
0 (a 0)，a为二次项系数，b为一次项系数, c为常数项。
2、一元二次方程的解法
(1)直接开平方法
2
①X
a(a 0) 解为：X
②(X a)2b(b 0) 解为：X a
③(ax b)2c(c 0) 解为：ax b
④(ax b)2(cx 2
d) (a c) 解为: ax b
(c
x
d)
(3)公式法: 一元二次方程
2
ax2 bX c 0 (a 0)，用配方法将其变形为: (X
2a)2b2 4ac
4a2
①当4ac
②当b24ac
③当b24ac 0时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实根:
0时，右端是零.因此，方程有两个相等的实根:
0时，右端是负数.因此，方程没有实根。
X l,2
v b4ac
2a
2a
①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式:
2
ax bx c 0 ( a 0)，并确定出a、b、
②求出
2
b 4ac，并判断方程解的情况。
2a
0)的两个根为:
(也可以使用因式分解法)
(2)因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法
2
4、应用题
定理：如果一元二次方程 ax
bx c 0 (a 0)定的两个根为X 1, X 2，那么:
法2:如果一元二次方程 2 ax X i bx 2
ax bx c 0 a(x X i )(X X 2 X 2 法3: 如果一元二次方程 ax 2 b
c
X 2 -, X 1X 2 -
a a c 0 (a 0)定的两个根为X i ,X 2；那么 X 2) 0 两边同时除于a ，展开后可得: (X i X 2)X X i gX 2 0 X 1 X 2
b
c -；X 1 ?X 2
a bX 0
(a 0)定的两个根为 X 1,X 2 ;那么 ax-,2
bx 1 c ax 22
bx 2 c 0L 常用变形: 2
X 1 2 X 2 (X 1 0L |X 1 X 2 | ②得：X , x 2 (余下略) X 2)2 2X I X 2， X
2
(X
1
X 2)2 (X 1 X 2)2 4X 1X 2，
X i X 2 XX 2
A /C X X 2p 4X 1X 2，
2
X 1X 2
X 12
X 2 x 1 x 2(x 1
X 2)
，
X 2 X 1 X 1
X 2 2 2/ \2
X 1 X 2 (X 1 X 2)
4X 1X 2 练习: 【练习 11 2
(1) X 1 【练习
21
X 1X 2 X 1X 2 若X 1, X 2是方程X 2 2
X 2
；
1
⑵—
X 1 已知关于X 的方程x
2x X 2
2
(k
2007
1)X 0的两个根，试求下列各式的值: (X 1 5)(X 2
5)；
⑷|X 1
^k 2
1 0，根据下列条件，分别求出 k 的值.
4
(1)方程两实根的积为5 ；
(2)方程的两实根X 1, X 2满足| X 1
|
X 2
.
2
【练习31已知X 1, X 2是一元二次方程4kx 4kx k
0的两个实数
根.
(1)
是否存在实数k ，使(2为 x 2)(x-i 2X 2 )
成立？若存在，求出 k 的值；若不存在,
请您说明理由.
(2)求使 生 生 2的值为整数的实数 k 的整数值.
X 2 X 1
(1)平均增长率的问题：a(1 x)
n
b 其中：a 为基数,
X 为增长率，n 表示连续增长的次数,
b 表示增长后的数量。
(2)面积问题：注意平移思想的使用
2
3 4x y
4 0 ，则 4x+y 的值为
⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次
针对练习：下列方程无解的是(
※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“
- 2
2 ax a
例2、若4x y
5、换元法 2 2 2
例: (x x) 5(x x) 6
解：令y 2
x 则原方程可化为：y 5y 6 0 解得：y 1
2
y 2
①当x 2
2时，求得: X i
1,X 2 2
②当x 2
3时，求得:
X 3,4 1
y (原方程共有4个解)
练习:
2x 2
类型一、直接开方法:
x 2
J m
※※对于 x
ax m 2 bx
等形式均适用直接开方法
例1、解方程:
1 2x 2
0；
2 25 16x 2
=0；
9 0;
例2、解关于x 的方程: ax 2
例3、若9 x
2
1
16 x
的值为
A. x
2
3 2x 2
1
B.
C. 2x
D. x
2
9
类型二、因式分解法:x
x 1 x x 2
X i ,或 x X 2
0 ”,
, ------------ 2
※方程形式：女如ax m
bx
例1、 2x x
5x3
的根为(
X 1
5
2,x2
b表示增长后的数量。(2)面积问题：注意平移思想的使用例3、方程x2 6 0的解为(
2
3 4x y
4 0 ，则 4x+y 的值为
X 1
2 2
例 5、已知 2x 3xy 2y 0
___________________ I 2
类型三、配方法 ax bx c 0 a 0
※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。
例1、选择适当方法解下列方程:
bx c 的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首
先令ax
2
bx c =0,求出两根，再写成ax 2 bx c = a(x x 1)(x x 2).②分解结果是否把二次项系数乘进括号内,
取决于能否把括号内的分母化去
2
X 1 3 X 2
1
例1、已知 X 3x 2 0，求代数式 ------------------------- 的值。
A. X 1 3，X 2
2 B. X 1 3,X2
2 C. X 1
3,X2
D. X i
2，x 2
例4、解方程：X 2
2J 3
1
X
2Q3 4 0
2a
b 2
4ac
4a 2
o
例1、试用配方法说明X 2x 3的值恒大于0。 例2、已知X 、y 为实数，求代数式
X 2
2x 4y 7的最小值
2
例3、已知X y 2 4x 6y 13 0, X 、y 为实数，求x y 的值。
例4、分解因式:
4x 2
12x 3
I ⑴条件：］
0,且 b 2 4ac I ⑵公式：］
b v b 2 4ac
2a
0,且b 4ac
⑴ 31 X
2
6. 8. ⑶X
2
4X 1
2
⑷ 3X 4X 1
⑸ 3 X 1 3x
2x
说明：解一元二次方程时, 法；一般不选择配方法。
首选方法是因式分解法和直接开方法、 其次选用求根公式
说明：①对于二次三项式 ax ⑴求代数式的值; ⑵解二元二次方程组。
1 0的-根，求a3 2a 2
2 5a 1的值。
a 2 1
例4、用两种不同的方法解方程组
2x y 6,
2 2
x 5xy 6y 0.
根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它
1、 五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯
990次，问晚宴共有多少人出席?
2、 北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放
市场，根据计划，第一年投入资金 600万元，第二年比第一年减少 1
，第三年比第二
3
1
年减少一，该产品第一年收入资金约
400万兀，公司计划二年内不仅要将投入的总资
2
金全部收回，还要盈利 1
，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结
3
果精确到0.1，J 13
3.61）
3、 某商店经销一种销售成本为每千克
40元的水产品，据市场分析，若按每千克
50元销售，一个月能售出 500千克，销
售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1 ）当销售价定为每千克 55元时，计算月销售量和月销售利润。 （2）商店想在月销售成本不超过 10000元的情况下，使得月销售利润达到
8000元，销售单价应定为多少？
2
例3、已知a 是一元二次方程 x 3x
(1)
例1、若关于
x 的方程x 2
2J kx 1 0有两个不相等的实数根，则
k 的取值范围是
例2、关于x 的方程m
x 2 2mx m 0有实数根，则m 的取值范围是（
）
A. m
B. m
C. m 1
D.
2
例3、已知关于x 的方程x
2k 0
（1）求证：无论k 取何值时， ⑵若等腰 ABC 的一边长为
方程总有实数根; 1，另两边长恰好是方程的两个根，求 ABC 的周长。
2
例4、已知二次三项式9x
(m 6)x m 2是一个完全平方式，试求 m 的值.
例5、m 为何值时，方程组
x 2 2y 2 mx
6,
有两个不同的实数解？有两个相同的实数解?
3.
问题; ⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题
4、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（ 2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的
长度；若不能，请说明理由。（3 ）两个正方形的面积之和最小为多少?
才能用韦达定理。
⑶应用：整体代入求值。
典型例题：I
角形的斜边是（
例2、解方程组:
（1 ）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由。
例4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为常数
项，而得到解为 8和2，小红因看错了一次项系数，原来
的方程是什么吗？其正确解应该是多少？
一元二次方程的应用题
1、学校举行拔河友谊赛，采用单循环赛形式（即每两个队要比赛一场），计算下来共要比赛赛？
2、为了美化环境，某市加大对绿化的投资. 2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率.设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据题意所列方程为（
2
20(1 x) 20(1 x)225
3、2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机。受金融危机的影响，某商品原价为
200元，连续两次降价a%后售价为148元，下面所列方程正确的是
⑴前提：对于ax bx c 0而言，当满足①a 0、②0时,
I⑵主要内容：x1
X2 b -,X1X2 a
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2 8x 7 0的两根，则这个直角三A』 B.3 C.6
x (1)
xy y
24
10, y2 10,
y 2.
2 2
例3、已知关于x的方程k x
2k 1 x 1 0有两个不相等的实数根x1, x2，
1 ）时，小明因看
错
而得到解为
2
例5、已知a b，a
2a 1 0，b2 2b 1
例6、已知是方程
2
x x 1 0的两个根，那么
10场，问共有多少个队报名参
2
A、20x 25
B、
20(1 X) 25 C、20(1 x)225
2
A 200(1 a%) 148
2
B 200(1 a%) 148 C
200(1 2a%) 148
&如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD求
该矩形草坪BC边的长.
9、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出 8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出 4台，商场要想在这种冰箱销售中
每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
一元二次方程解法复习练习题
（1）直接开方和配方法；（2）求根公式法法；
1、(x 2)225 2.
、
2
x2 4x 5 0
2
3、(x 2)210(x 2) 25 0
2
4、2x 7x 3 0
5、x22(血1)x 3 2 应
6、(x-1)+2x(x-
1)=0
D 200(1 a2%) 148
4、某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元.从2006年到2008年,
如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？（ 2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元?
5、中国内地部分养鸡场突发禽流感疫情，某养鸡场中、一只带病毒的小鸡经过两天的传染
后、患病，在每一天的传染中平均一只鸡传染了几只小鸡？
鸡场共有169只小鸡遭感染
6、在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面
积是原矩形面积的80 %，求所截去小正方形的边长。
7、要在长32m，宽20m的长方形绿地上修建宽度相同的3条道路，剩下六块绿地面积共 570^，问道路宽应为
一元二次方程解法归纳: （3）提取因式法；（4）公式法；（5）因式分解法;
7、2X2-4X-5=0 8、一3X2-4X + 4=0 9、2 ( X - 3) 2+ X2=9
2 . _ 10、X12X
2
11、(5X1) 3(5X 1) 12、
X 6X 3 0
13、2X( X 4)
2
14、(X 4) 5(X4)
15
、
(X 1)24X
2 16、X 3X 4 17、3X2+5(2X+1)=0 18
、
7X 5X 2 6 5X
1、关于X的方程ax2(3a 1)X2(a 1
)
2、
A.
3、
4、
( 1
的值是
A. 1
B. — 1
关于X的一元二次方程
B. 8
若一元二次方程式
A. 2
B.
已知关于X的方程
一元二次方程专题练习题
0有两个不相等的实根X1> X2，且有X1X1X2 X2 1 a，则a
A. —
1
C. 1
已知关于
4)
6、已知关于X
的值.
c
.
X2
1或一1
(m 2)X
D.
1 0有两个相等的实数根，则m的值是(
D. 0 或
8
ax(x+1)+ (X+1)(X + 2) + bx (x + 2)=2 的两根为 0、
2,则
X的方程
3a + 4b之值为
何?
C. 7
2+ bx+ a=0有一个根是一a( a工0)，贝U a—b的
值为
B . 0
匚2的值。
a
的方程X2— 2
2
2(a 1)X a 7a 4 0 的两根为X,、X2，且满足X1X23为3X2 2 0.求
(k — 1) x+k2=0有两个实数根X1，X2. (1)求k的取值范围; (2)若X1 X2 X1X21，求 k
5
7、先化简，再求值：5 ，其中X 3.
4
11、2008年10月29日，央行宣布，从10月30日起下调金融机构人民币存款基准利率
3.87%下调至3.60%.11月26日，央行宣布，从11月27日,一年期存款基准利率由现行的连续两次降息.设平均每次存款基准利率下调的百分率为X ,根据以上信息可列方程.其中一年期存款基准利率由现行的
3.60%下调至2.52%.短短一个月，
13、对于-元二次方程a X 2
+bx+c=O(a 工0)，下列说法：①当b=0时，方程
2
当b 工0且c=0时，方程a x +bx+c=O 一定有两个实数根且有一根为
0；
相等的实数根； ④当a>0，c>0且a-b+c<0时，方程a x 2
+bx+c=O 一定有两个不相等的实数根.
r r ■ 1 2 2
①若b=2a+—c,则一兀二次方程 a x +bx+c=O 必有一根为-2 ;②若ac<0,则方程c x +bx+a=O 有两个不 2
A.O 个
B.l 个
15、利用公式法解下列方程
16、用配方法解下列方程: (1) 3x 2-5x=2 .
17、十字交叉法解方程
A. 3.87% 2.52% 2x
B.
2
3.87 1 x
2.52
c.3.87% 1 x% 2
1.52% D.
2.52% 1 x 2
3.87% 升空的骄傲，中央电视台在神七发射期间与“问问”网站联合举办“神七我问问”的活动，网 解答问题，对问题的解答发表评论。小红提了一个问题，几天后她发现有 73人次， &为了让国人分享“神七” 友可以自由地提出问题， 一个解答又恰好有 x 人次作出评论，已知包括小红在内，参与该问题讨论的共有 x 人次作出解答，每 9、新年里，一个有若干人的小组，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺年卡共 x= _____________ 72次，此小组的人数是 (A ) 7
( B) 8 ( C) 9 ( D ) 10 10、某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场 赛？设有x 个队参赛，则列方程为 . .赛程计划安排7天，每天安排 4场比赛,共有多少个队参 2
11、对于一元二次方程ax bx c 0,下列说话：①若a b
c ,那么方程没有实数根；②若 b a C ,则方程必有 一根为-1 :③若方程有两个不等的实数根，则方程 x 2
bx C 0也有两个不等的实数根.其中正确的是 A.① B. ①② C. ①③ D.②③
12、已知一元二次方程 x 2+b x +c =0的一根为X 1=1,另一根为1< X 2V 2,给出下列结论: ①1< c < 2 ;②—3< b <- 2 :③b+c =- 1.其中正确结论的个数是
(A)3
(B)2
(C)1
(D)0
其中正确的是()
A.①②③
B. ①②④
C.②③④
D.②④、
等实数根；③若
b 2
-
4ac=0, 则方程 2
c x 2
+bx+a=O 有两个相等实数根；其中正确的个数是(
(1)x
2
572X 2
2
(2) 3x 6x
12 0
(1) a 2
- 7a+6=0; (2)8x
2
+6x - 35=0; (3)18x
2
-21x+5=0;
⑷ 20 - 9y- 20y =0;
(5)2x
2
+3X +1=0;
(6)2y
2
+y- 6=0;
2
a x 2
+bx+c=O 一定有两个互为相反数的实数根；
②
2
③当a+b+c=0时，方程a x +bx+c=O 一定有两个不
14、下列命题:
C.2
(2) X 2+8X =9
18、用合适方法解题
(1) (x 2)225 (2) x2 4x 5 0 (3)(x 2)210(x 2) 25 0
(4) (2x 5)2 (x 4)2(5) (x-1)+2x(x-
1)=0
19、已知a是一元二次方程x23x 1
3 2
a3 2a2 5a 1
0的一根，求--------- 2------- 的值。
a2 1
20、解方程组:
(1) X y 10, xy
24;
10 , 2.
2 21、若a 2a b22b 1 -的值为
a
22、已知x1, x2
2
元二次方程4kx
4kx k 1 0的两个实数根.（1）是否存在实数k，使
(2 X1 X2)( X1 2x2) 3成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由. （2）求使匹2的值为整
2 x
2
数的实数k的整数值.
元二次方程练习题 1、已知关于X 的方程X 2 —2(k —1)x + k 2 =0有两个实数根 ⑴、求k 的取值范围; ⑵、若x 1 + X 2 = X i " X 2 —1，求 k 的值。 2.、已知关于X 的一元二次方程 亠 2(擀+5 +存+5=0 有两个实数根X 1与X 2 (1)求实数m 的取值范围; ⑵若(X i -1)(x 2 -1)=7，求 m 的值。 2 3.已知A(X 1 , yj , B(X 2 , y 2)是反比例函数y =-一图象上的两点，且x^ x^ -2 X (1)求5 72的值及点A 的坐标; (2)若一4V y < —1,直接写出X 的取值范围. k 2 4.(本小题 8分)已知关于X 的方程x 2-(k+1)x + +1=0的两根是一个矩形的两邻边的长。 4 (2)当矩形的对角线长为亦时，求k 的值。 (1) k 为何值时，方程有两个实数根; x 1、x 2
5已知关于x 的一兀二次方程F-(2上+1)才+4^■- 3- 0 . (1) 求证：方程总有两个不相等的实数根； (2) 当Rt △ ABC 的斜边长□二后，且两直角边i 和C 是方程的两根时，求△ ABC 的周长和面 积. 那么称这个方程有邻近根” (1)判断方程X 2 -(J 3+i)x + 73 =0是否有 邻近根”并说明理由; (2)已知关于x 的一元二次方程mx 2-(m-1)x-1 = 0有 邻近根”求m 的取值范围. 7设关于x 的一元二次方程X 2+2px+1=0有两个实数根，一根大于1,另一根小于1,试求实数P 的范围. 8已知方程X 2 -mx +m + 5=0有两实数根P ，方程x 2-(8 m + 1)x + 15m + 7 = 0有两实数根 Y ，求a 2 PY 的值。6如果一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根X 1、x ?均为正数，且满足1< x X 2 <2 （其中 X 1 > X 2），
一元二次方程解法及其经典练习题 方法一：直接开平方法（依据平方根的定义） 平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根 即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22 =--x 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x
方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0） 解：二次项系数化为1，得 ， 移项 ，得 ， 配方, 得 ， 方程左边写成平方式 ， ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况： （1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x （2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。 （3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。 3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因 （1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。 （2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c = 0，当ac b 42-≥0时，?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 4.公式法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） （4） （5） 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以 3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动． (1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？ (2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？ (3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？ 【答案】（1）PQ=62cm；（2）8 5 s或 24 5 s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2． 【解析】 试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可； （2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值； （3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E． 则根据题意，得 EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm； 在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得 PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，
∴ cm； ∴经过2s时P、Q两点之间的距离是 ；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm． （16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64， ∴16-5x=±8， ∴x1=8 5 ，x2= 24 5 ； ∴经过8 5 s或 24 5 sP、Q两点之间的距离是10cm； （3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2． ①当0≤y≤16 3 时，则PB=16-3y， ∴1 2PB?BC=12，即 1 2 ×（16-3y）×6=12， 解得y=4； ②当16 3 ＜x≤ 22 3 时， BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则 1 2BP?CQ= 1 2 （3y-16）×2y=12， 解得y1=6，y2=-2 3 （舍去）； ③22 3 ＜x≤8时， QP=CQ-PQ=22-y，则 1 2QP?CB= 1 2 （22-y）×6=12， 解得y=18（舍去）． 综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2． 考点：一元二次方程的应用． 2．已知关于x的方程230 x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程 2 (1)320 k x x a -+-=②有实数根，又k为正整数，求代数式 2 2 1 6 k k k - +- 的值． 【答案】0. 【解析】 【分析】 由于关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程（k-1）x2+3x-2a=0有实数根，分两种情况讨
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当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由. 5、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，﹣3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C ，那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积． 课堂 检测 1、阅读下列材料：求函数的最大值． 解：将原函数转化成x 的一元二次方程，得 ． ∵x 为实数，∴△= =﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y 的最大值为4． 根据材料给你的启示，求函数的最小值． 2、铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x 月的利润的月平均值w （万元）满足w=10x+90． （1）设使用回收净化设备后的1至x 月的利润和为y ，请写出y 与x 的函数关系式． （2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？ 3、某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元． （1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为 万元； （2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利） 4、已知：?ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2﹣mx+﹣=0的两个实数根． （1）当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若AB 的长为2，那么?ABCD 的周长是多少？ 5、如果方程02=++q px x 的两个根是1x 、2x ，那么p x x -=+21，q x x =?21。请根据以上 结论，解决下列问题： （1）已知方程02)2(2=--+k x k x 的两根1x 、2x 之和121=+x x ，求1x 、2x ； （2）如果a 、b 满足0222=-+a a 、0222=-+b b ，求a b b a +的值。 6、某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，?以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营． （1）如果第一年的年获利率为p ，那么第一年年终的总资金是多少万元?（? O x A M N B P C
z一元二次方程应用题经典题型汇总 一、增长率问题 例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）. 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n. 二、商品定价 例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？ 解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0， 解这个方程，得a1＝25，a2＝31. 因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去. 所以350－10a＝350－10×25＝100（件）. 答需要进货100件，每件商品应定价25元. 说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.
例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） 解设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0. 解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去. 答第一次存款的年利率约是2.04%. 说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？ 解设渠道的深度为x m，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m. 则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0. 解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1. 所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5. 答渠道的上口宽2.5m，渠深1m. 说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.
一元二次方程 已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．()032132 =-+--m x m mx 求证：m 取任何实数时，方程总有实数根；
2．(2009年广东中山)已知：关于x 的方程2210x kx +-= （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1-，求另一个根及k 值． 3.（2009年重庆江津区）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC 的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x 的方程042=+-b x x 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状. 例1.当a 为何值时,关于x 的一元二次方程01)12(2 2=+-+x a x a 有两个实数根. 例 3.已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 例4.关于x 的方程0132=-+x kx 有实数根,则k 的取值范围是( ) (A)49-≤k (B)04 9≠-≥k k 且
(C)49- ≥k (D)049≠->k k 且 例：222()5()60x x x x ---+=，求x 的值 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 ★★3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 ★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） .m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242 ++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()0422 2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根， m 的值为 。 ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
一元二次方程 已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．()032132 =-+--m x m mx 求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； （2010年广东省广州市）已知关于x 的一元二次方程)0(012 ≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4 )2(222 -+-b a ab 的值。 2．(2009年广东中山)已知：关于x 的方程2210x kx +-= （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1-，求另一个根及k 值．
3.（2009年重庆江津区）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC 的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x 的方程042=+-b x x 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状. 例1.当a 为何值时,关于x 的一元二次方程01)12(2 2=+-+x a x a 有两个实数根. 例3.已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根, 求k 的取值范围. 例4.关于x 的方程0132=-+x kx 有实数根,则k 的取值范围是( ) (A)49- ≤k (B)04 9≠-≥k k 且 (C)49-≥k (D)049≠->k k 且 例：222 ()5()60x x x x ---+=，求x 的值 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 ★★3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 ★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242 ++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()0422 2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582 =+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。 ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 ★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程31 1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。
一元二次方程经典考题难题 用适当的方法解下列方程 16)5(42=-x 0)12(532=++x x 04222=-+x x 22)3(4)12(+=-x x 9)32(4)32(122++=+x x 11.02.02=+x x 0)2(2)2)(1(3)1(222=---+++x x x x 6)53)(43(22=++++x x x x x x x 9)1(22=- 20)7)(5)(3)(1(=++++x x x x
1、若t 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac 4b 2 -=△和完全平方式2)2(b at M +=的关系式（） A △=M B △＞M C △＜M D 大小关系不能确定 2、若关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 中a,b,c 满足9a-3b+c=0，则该方程有一根是______ 3、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的两根为2,121=-=x x ，则c bx x ++2分解因式的结果是______ 4、在实数范围内因式分解：=--742x x __________________ 5、已知03442=+--x x ，则=-+31232x x __________________ 6、m mx x ++24是一个完全平方式，则m=________________________ 7、已知,)2 1(822m x a x ax ++=++则a 和m 的值分别是__________________ 8、当k=_________时，方程012)3(2=++--k x x k 是关于x 的一元二次方程？ 9、关于x 的方程032)4()16(2 2=++++-m x m x m 当m______时，是一元一次方程：当m______时，是一元一次方程。 10、已知012=--x x ，则2009223++-x x 的值为__________ 11、已知012)()(22222=-+++y x y x ，则22y x +=_______ 12、试证明关于x 的方程012)208(22=+++-ax x a a ，无论a 取何值，该方程都是一元二次方程
初中数学方程与不等式之一元二次方程难题汇编及解析 一、选择题 1．今年深圳的房价平均20000元/平方米，政府要控房价预计后年均价在16000元/平方米，若每年降价均为x%，则下列方程正确的是（ ） A ．220000(1x%)16000+= B ．220000(1x%)16000-= C ．220000(12x%)16000+= D ．()2200001x %16000-= 【答案】B 【解析】 【分析】 已知今年房价及每年降价率，可依次算出降价后明年及后年的房价. 【详解】 解：根据每年降价均为x%，则第一次降价后房价为20000(1-x%)元，第二次在20000(1-x%)元基础上又降低x%，变为20000(1-x%)(1-x%)元，即220000(1-x%)，进而可列出方程： 220000(1x%)16000-= 故选B 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率与下降率问题，关键是公式a(1x%)n b ±=的应用，理解公式是解决本题的关键. 2．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0没有实数根，则实数m 的取值是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞﹣1 C ．m ＞1 D ．m ＜﹣1 【答案】C 【解析】 试题解析：关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=没有实数根， ()2 24241440b ac m m ?=-=--??=-<， 解得： 1.m > 故选C ． 3．代数式2x -4x +5的最小值是（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．5 【答案】B 【解析】 2x -4x +5 =2x -4x +4-4+5 =2(2)x -+1
一元二次方程及解法经典习题及解析 知识技能： 一、填空题： 1．下列方程中是一元二次方程的序号是 ． 42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④ 5232=+x x ⑤ 412=+x x ⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。。。。⑧⑦ ◆答案：⑤④③①,,, ◆解析：判断一个方程是否是一元二次方程，要根据一元二次方程的定义，看是否同时符合条件 2．已知，关于2的方程12)5(2 =-+ax x a 是一元二次方程，则a ◆答案：5-=/ 3．当=k 时，方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程． ◆答案：2± 4．解一元二次方程的一般方法有 ， ， ， · ◆答案：直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法 5．一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为： ． ◆答案： ◆解析：此题不可漏掉042≥-ac b 的条件． 6．方程0322=--x x 的根是 ．◆答案：3.1- 7．不解方程，判断一元二次方程022632=+--x x x 的根的情况是 ． ◆答案：有两个不相等的实数根 8．若关于X 的方程052=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是 ． ◆答案：425≤ k ◆解析：‘．．方程有实根，?≤∴≥-=-∴4 25,045422k k ac b 9．已知：当m 时，方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根．◆答案：43≥ ◆解析：。．‘方程0)2()12(2 2=-+++m x m x 有实数根． ?≥ ∴≥-=-+-++=--+=-∴4 3,0152016164144)2(4)12(42.2222m m m m m m m m ac b 10．关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是 ． ◆答案：无实根 ∴<-∴>+∴≥,04,02,0222ac b k k Θ原方程无实根． 二、选择题：
1、已知关于x 的方程226250x x m m -+-+=的一个根为2，求另一个根及 的值。 2、已12x x 、知是方程22340x x +-=的两个根，利用根与系数的关系，求 42241212**x x x x +的值。 3、已知关于x 的方程22(1)10x m x m --++=的两根满足关系式121x x -=，求的值 及方程的两个根 4、已知关于的一元二次方程21(2)302 x m x m +-+ -= （1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。 （2）若这个方程的两个实数根12x x 、满足122+=m+1x x ，求 的值。 5、122+=m+1x x ，12+=m-2x x ， 211*32x x m = -，求m 6、已知方程222(2)40x m x m +-++=有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大 21，求的值。 7、已知关于的一元二次方程22(1)(1)10a x a x --++=两实根互为倒数，求a 8、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。 0、已知方程240x mx ++=和2(2)160x m x ---=一个相同的根，求 的值及这个相同的根。 10，求23610x x -+-的最值 11、已知a,b 是方程221140x x -+=的解， 求2 2920a a b -+=的值 12、关于x 的方程2(21)(1)0kx k x k -++-=，实数在什么范围取值时①有正的实数根？②同号？ 13、解不等式x 2+3x-10<0 14、已知关于的一元二次方程 01x 1()122=++--）（a x a 两实根互为倒数，求a 15、已知a 、b 是方程0522=-+x x 的两个实数根，求22a ab a ++的值。 16、已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
一元二次方程练习题集 1)x^2-9x+8=0 (2)x^2+6x-27=0 (3)x^2-2x-80=0 (4)x^2+10x-200=0 (5)x^2-20x+96=0 (6)x^2+23x+76=0 (7)x^2-25x+154=0 (8)x^2-12x-108=0 (9)x^2+4x-252=0 (10)x^2-11x-102=0 (11)x^2+15x-54=0 (12)x^2+11x+18=0 (13)x^2-9x+20=0 (14)x^2+19x+90=0 (15)x^2-25x+156=0 (16)x^2-22x+57=0 (17)x^2-5x-176=0 (18)x^2-26x+133=0 (19)x^2+10x-11=0 (20)x^2-3x-304=0 (21)x^2+13x-140=0 (22)x^2+13x-48=0 (23)x^2+5x-176=0 (24)x^2+28x+171=0 (25)x^2+14x+45=0 (26)x^2-9x-136=0 (27)x^2-15x-76=0 (28)x^2+23x+126=0 (29)x^2+9x-70=0 (30)x^2-1x-56=0 (31)x^2+7x-60=0 (32)x^2+10x-39=0 (33)x^2+19x+34=0 (34)x^2-6x-160=0 (35)x^2-6x-55=0 (36)x^2-7x-144=0 (37)x^2+20x+51=0 (38)x^2-9x+14=0 (39)x^2-29x+208=0 (40)x^2+19x-20=0 (41)x^2-13x-48=0 (42)x^2+10x+24=0 (43)x^2+28x+180=0 (44)x^2-8x-209=0 (45)x^2+23x+90=0 (46)x^2+7x+6=0 (47)x^2+16x+28=0 (48)x^2+5x-50=0 (49)x^2+13x-14=0 (50)x^2-23x+102=0 (51)x^2+5x-176=0 (52)x^2-8x-20=0 (53)x^2-16x+39=0 (54)x^2+32x+240=0 (55)x^2+34x+288=0 (56)x^2+22x+105=0 (57)x^2+19x-20=0 (58)x^2-7x+6=0 (59)x^2+4x-221=0 (60)x^2+6x-91=0 1 x^2-6x+5=0 2 2、x^2+4x-5=0 3 3、4x^2-12x+5=0 4 x^2+4x+4=0 5 2x^2-5x+2=0 6 x^2+6x-7=0 7 x^2+3x-4=0 8 x^2+5x-6=0 9 a^2-5a+6=0 10 c^2+3c-4=0 11 2x^2+5x-3=0 12 x^2-6x+8=0 13 x^2-4x-5=0 14 x^2-8x+15=0 15 7x^2-8x+1=0 16 4x^2-4x-3=0 17 x^2-6x+8=0 18 x^2-2x-8=0 19 x^2+2x-8=0 20 4x^2-12x-7=0 3x2-1=0 X2+12X+36=24 X2-4X+1=8 4(6X-7)2-9=0 X2+X-1=0 X2+1/6X-1/3=0 3x2-5x=2 x2+8x=9 x2+12x-15=0 x2-9x+8=0 x2+6x-27=0 x2-2x-80=0 x2+10x-200=0 x2-20x+96=0 x2+23x+76=0 x2-25x+154=0 x2-12x-108=0 x2+4x-252=0 x2-11x-102=0 x2+15x-54=0 x2+11x+18=0 x2-9x+20=0 x2+19x+90=0 x2-25x+156=0 x2-22x+57=0 x2-5x-176=0 x2-26x+133=0 x2+10x-11=0 x2 -3x-304=0 x2+13x-140=0 x2+13x-48=0 x2+5x-176=0 x2+28x+171=0 x2+14x+45=0 x2-9x-136=0 x2-15x-76=0 x2+23x+126=0 x2+9x-70=0 x2-1x-56=0 x2+7x-60=0 x2+10x-39=0 x2+19x+34=0 x2-6x-160=0 x2-6x-55=0 x2-7x-144=0 x2+20x+51=0 x2-9x+14=0 x2-29x+208=0 x2+19x-20=0 x2-13x-48=0 x2+10x+24=0 x2+28x+180=0 x2-8x-209=0 x2+23x+90=0 x2+7x+6=0 x2+16x+28=0 x2+5x-50=0 x2-23x+102=0 x2+5x-176=0 x2-8x-20=0 x2-16x+39=0 x2+32x+240=0 x2+34x+288=0 x2+22x+105=0 x2+19x-20=0 x2-7x+6=0 x2+4x-221=0 x2+6x-91=0 x2+8x+12=0 x2+7x-120=0 x2-18x+17=0 x2+7x-170=0 x2+6x+8=0 x2+13x+12=0 x2+24x+119=0 x2+11x-42=0 x2+2x-289=0 x2+13x+30=0 x2-24x+140=0 x2+4x-60=0 x2+27x+170=0 x2+27x+152=0 x2-2x-99=0 x2+12x+11=0 x2+20x+19=0 x2-2x-168=0 x2-13x+30=0 x2-10x-119=0 1、方程x 2=16得根就是x 1=______,x 2=_______、 2、若x 2=225，则x 1=_____,x 2=_______、 3、若x 2－2x =0，则x 1=________,x 2=________、 4、若(x －2)2=0，则x 1=________,x 2=_______、 5、若9x 2－25=0，则x 1=________,x 2=_______、 6、若－2x 2+8=0，则x 1=________,x 2=________、 7、若x 2+4=0，则此方程解得情况就是________、 8、若2x 2－7=0，则此方程得解得情况就是_______、 9、若5x 2=0，则方程解为__________、 10、由7，9两题总结方程ax 2+c =0(a ≠0)得解得情况就是：当ac ＞0时_________；当ac =0时______________；当ac ＜0时__________________、
一元二次方程练习题及答案 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（） A.3，2，1 B. C. D. 2.用配方法解一元二次方程x2-4x=5时，此方程可变形为（） A.（x+2）2＝1 B.（x-2）2＝1 C.（x+2）2=9 D.（x-2）2＝9 3.若为方程的解，则的值为（） A.12 B.6 C.9 D.16 4.若的值为（） A.0 B.-6 C.6 D.以上都不对 5.某品牌服装原价为173元，连续两次降价后售价为127元，下面所列方程中正确的是（） A. B. C. D. 6.根据下列表格对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（） A.＜3.24 B.3.24＜＜3.25 C.3.25＜＜3.26 D.3.25＜＜3.28 7.以3，4为两边的三角形的第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为（）
A.15或12 B.12 C.15 D.以上都不对 8.已知是方程的两个根，则的值为（） A. B.2 C. D. 9.关于x的方程的根的情况描述正确的是（） A.k为任何实数，方程都没有实数根 B.k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根 C.k为任何实数，方程都有两个相等的实数根 D.根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种 10.某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（） A.19% B.20% C.21% D.22% 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.（2013·山东临沂中考）对于实数a，b，定义运算“*”:例如:4*2，因为4＞2，所以4*2=42-4×2=8.若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则 x1*x2= . 12.（2013·山东聊城中考）若x1=－1是关于x的方程x2+mx－5=0的一个根，则此方程的另一个根x2= . 13.若一元二次方程有一个根为1，则_________；若有一个根是，则与之间的关系为________；若有一个根为，则_________. 14．若关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，则m的值是. 15.如果关于x的一元二次方程x2-6x+c=0（c是常数）没有实数根，那么c的取值范围是. 16.设m、n是一元二次方程x2+3x-7＝0的两个根，则m2+4m+n= .
一元二次方程培优题 1.解方程3(25)2(25)x x x +=+ 2.已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰等腰三角形ABC 的两条 边长，求三角形ABC 的周长。 3.已知关于x 的方程2 (1)4120a x x a ---+=的一个根为3x =， （1）求a 的值及方程的另一个解 （2）如果一个三角形的三条边长都 是这个方程的根，求三角形ABC 的周长。 4.已知x 1, x 2是关于x 的一元二次方程x 2-2(m +1)x +m 2+5=0的两实数根，等腰三角形ABC 的一边长为7，若x 1, x 2恰好是?ABC 另外两边的长，求这个三角形的周长。 5.已知a,b,c ,是三角形的三条边长，且关于x 的方程23())()04 b c x a c x a c +---=有两个相等的实数根，试判断三角形的形状。
6.若k >1,关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=的根的情况是( 写出计算过程 ) A.根和一个负根 B.有两个正根 C.有两个负根 D.没有实数根 解: 7.已知m 是一元二次方程2910x x -+=的解,求221871 m m m -++的值. 8.已知关于x 的一元 二次方程2 (3)10.x m x m ++++= （1）求证:无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根。 （2）若12,x x 是原方程的两根，且12x x -=m 的值，并求出此时方程的两根。 9.如果方程20x px q ++=的两个根是1x ，2x ，那么12x x p +=-，12x x q =，请根据以上结论，解决下列 问题： （1）已知关于x 的方程20(0)x mx n x ++=≠，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程 两根的倒数。 （2）已知a 、b 满足21550a a --=，21550b b --=，求a b b a +的值。 （3）已知a 、b 、c 满足0a b c ++=，16abc =，求正数c 最小值。
二、一元二次方程 （一） 课前预习 1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次 方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法： （1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2 ≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项， ③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方， ④化原方程为2 ()x m n +=的形式， ⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解. （3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是 （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是： ①将方程的右边化为 ； ②将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。 （二） 课题讲解 1、基本概念 【考点讲解】 (1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．． (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax (3)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 【典型例题】 例1下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．解方程：（2x+1）2=2x+1． 【答案】x=0或x=12 - . 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可. 试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0， ∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0， 则x=0或2x+1=0， 解得：x=0或x=﹣ 12 ． 2．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0有两根α，β． （1）求m 的取值范围； （2）若 1 1 1α β + =-，则m 的值为多少？ 【答案】（1）1 4 m ≥；（2）m 的值为3． 【解析】 【分析】 （1）根据△≥0即可求解, （2）化简1 1 α β + ,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可. 【详解】 解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0， 解得：m≥- 34 ； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵1 1 1α β + =-，即 αβ αβ +=-1, ∴ 2m 3m2 +﹣（） =-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0 解得：m 1=﹣1，m 1=3， 由（1）知m≥- 34 ， ∴m 1=﹣1应舍去， ∴m 的值为3． 【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键. 3．用适当的方法解下列一元二次方程： （1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0. 【答案】（1）x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62 ；（2）y 1＝－14，y 2＝32. 【解析】 试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可. 试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1 ∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0 ∴x=2 4b b c a -±-=42461-±=-± ∴x 1＝－1＋ 6，x 2＝－1－6 （2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0 [(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0 即4y+1=0或-2y+3=0 解得y 1＝－ 14，y 2＝32 . 4．（问题）如图①，在a×b×c （长×宽×高，其中a ，b ，c 为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？ （探究） 探究一： （1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2=23 2 ?=3条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3． （2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+3=34 2 ?=6条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6．