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高中立体几何典型500题及解析(一)(1-50题)

高中立体几何典型500题及解析(一)

1、二面角βα--l 是直二面角，βα∈∈B A ，，设直线AB 与βα、所成的角分别为∠1和∠2，则

（A ）∠1+∠2=900 （B ）∠1+∠2≥900 （C ）∠1+∠2≤900 （D ）∠1+∠2＜900 解析：C

分别作两条与二面角的交线垂直的线，则

∠1和∠2分别为直线AB 与平面,αβ所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角

2ABO ∴∠>∠1902190ABO ∠+∠=∴∠+∠≤

2. 下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共．．面．

的一个图是

R R

P P

Q R R

S S

S P

P Q Q

R R

（A ）（B ）（C ）（D ） D

解析： A 项：PS 底面对应的中线，中线平行QS ，PQRS 是个梯形

B 项：

如图

C 项：是个平行四边形

D 项：是异面直线。

3. 有三个平面α，β，γ，下列命题中正确的是

（A ）若α，β，γ两两相交，则有三条交线（B ）若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ

（C ）若α⊥γ，β∩α=a ，β∩γ=b ，则a ⊥b （D ）若α∥β，β∩γ=?，则α∩γ=? D

解析：A 项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。 B 项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。

C 项：如图

4. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P

到直线AB 与直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为

解析：11

BC ⊥平面AB 111,B C PB ∴⊥，如图：

点到定点B 的距离与到定

直线AB 的距离相等，建立坐标系画图时可以以点B 1B 的中点为原点建立坐标系。

5. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与AD 1成600角的面对角线的条数是

（A ）4条（B ）6条（C ）8条（D ）

10条C

解析：如图

这样的直线有4条，另外，这样的

直线也

有4条，共8条。

6.设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0

?，0

?，则△BCD是

（A）钝角三角形（B）直角三角形（C）锐角三角形（D）不确定

解析：假设AB为a

，AD为b，AC为c，且a

b c >>则，

，，

则BD为最长边，根据余弦定理

222

cos0

DCB

∠=>DCB

∴∠最大角为锐角。所以△BCD是锐角三角形。

7.设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题（）

①若α

α//

a则

⊥

⊥②若β

α⊥

⊥a

a则

③α

β//

a则

⊥

⊥④β

α⊥

⊥

⊥则

若,

其中正确的命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个

B 解析：注意①中b 可能在α上；③中a 可能在α上；④中b//α，或α∈b 均有βα⊥，

故只有一个正确命题

8.如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底

面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为（） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°

B 解析：平移S

C 到B S '，运用余弦定理可算得.2=

'='=B S E S BE

9. 对于平面M 与平面N, 有下列条件: ①M 、N 都垂直于平面Q; ②M 、N 都平行于平

面Q; ③ M 内不共线的三点到N 的距离相等; ④ l , M 内的两条直线, 且l // M, m // N; ⑤ l , m 是异面直线,且l // M, m // M; l // N, m // N, 则可判定平面M 与平面N 平行的条件的个数是（）

A ．1

B ．2

C ．3

只有②、⑤能判定M//N ，选B

10. 已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1B ⊥CB 1，则A 1B 与AC 1 所成的角为

A 1

（A ）450 （B ）600 （C ）900 （D ）1200

C 解析：作C

D ⊥AB 于D ，作C 1D 1⊥A 1B 1于D 1，连B 1D 、AD 1，易知ADB 1D 1是平行四边形，由三垂线定理得A 1B ⊥AC 1，选C 。

11. 正四面体棱长为1，其外接球的表面积为 A.3π

23π C.2

5π D.3π

解析：正四面体的中心到底面的距离为高的1/4。（可连成四个小棱锥得证

12. 设有如下三个命题：甲：相交直线l 、m 都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直

线l 、m 中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时，

A ．乙是丙的充分而不必要条件

B ．乙是丙的必要而不充分条件

C ．乙是丙的充分且必要条件

D ．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件解析：当甲成立，即“相交直线l 、m 都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l 、m 中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交．”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l 、m 中至少有一条与平面β相交”也成立．选（C ）．

13. 已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集．其中正确的是．

解析：（1）成立，如m 、n 都在平面内，则其对称轴符合条件；（2）成立，m 、n 在平面α的同一侧，且它们到α的距离相等，则平面α为所求，（4）成立，当m 、n 所在的平面与平面α垂直时，平面α内不存在到m 、n 距离相等的点

14.空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（）

A ．3

B ．1或2

C ．1或3

D ．2或3

解析：C 如三棱柱的三个侧面。

15．若b a 、为异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是

（）

A ．相交

B ．异面

C ．平行

D ．异面或相交

解析：D 如正方体的棱长。

16．在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，AC 与B 1D 所成的角的大小为（） A ．

B ．

4π

C ．

π D ．

π 解析：D B 1D 在平面AC 上的射影BD 与AC 垂直，根据三垂线定理可得。

17．如图，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是（）

解析：C A ，B 选项中的图形是平行四边形，而D 选项中可见图：

18．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B 、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC 等于（

） A ．45° B ．60°

C ．90°

D ．120°

解析：B 如图

★右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题： ①AB 与CD 所在直线垂直；

②CD 与EF 所在直线平

行 ③AB 与MN 所在直线成60°角； ④MN 与EF 所在直线异

面其中正确命题的序号是

（） A ．①③

B ．①④

C ．②③

D ．③④

解析：D

19．线段OA ，OB ，OC 不共面，∠AOB =∠BOC =∠COA =60

，OA =1，OB =2，OC =3，则△ABC 是

（）

A ．等边三角形

B 非等边的等腰三角形

C ．锐角三角形

D ．钝角三角形

解析：B ．设 AC =x ，AB =y ，BC =z ，由余弦定理知：x 2

=12

+32

-3=7，y 2

=12

+22

-2=3，z 2

=22

+32

-6=7。 ∴ △ABC 是不等边的等腰三角形，选（B ）．

20．若a ，b ，l 是两两异面的直线，a 与b 所成的角是3

，l 与a 、l 与b 所成的角都是α，

则α的取值范围是

（）

A ．[

5,6π

π] B ．[

,3π

π] C ．[

5,3π

π] D ．[

,6ππ] 解析：D

解当l 与异面直线a ，b 所成角的平分线平行或重合时，a 取得最小值6

，当l 与a 、b 的公垂线平行时，a 取得最大值

，故选（D ）． 21.小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.9m ，但当他马上测树高时, 因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所示.他测得留在地面部分的影子长2.7m, 留在墙壁部分的影高1.2m, 求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线） _______. 4．2米

解析：树高为AB ，影长为BE ，CD 为树留在墙上的影高，

1.21

,0.9

CD CE CE ∴==CE=1.08米，树影长BE=2.7 1.08 3.78+=米，树高AB=

0.9

BE=4.2米。 22．如图,正四面体

A BCD -（空间四边形的

四条边长及两对角线的长都相等）中,,E F 分别是棱

,AD BC 的中点, 则

EF 和AC 所成的角的大小是________.

解析：设各棱长为2，则

AB 的中点为M

，cos 2

MFE ∠=

即.4πθ=

23．OX ，OY ，OZ 是空间交于同一点O 的互相垂直的三条直线，点P 到这三条直线的距离分别为3，4，7，则OP 长为_______.

解析：在长方体OXAY —ZBP C 中，OX 、OY 、OZ 是相交的三条互相垂直的三条直线。

又PZ ⊥OZ ，PY ⊥OY ，PX ⊥OX ，有 OX 2+OZ 2=49，OY 2=OX 2=9， OY 2+OZ 2=16，得 OX 2

+OY 2

+OZ 2

=37，OP =37．

24．设直线a 上有6个点，直线b 上有9个点，则这15个点，能确定_____个不同的平面.

解析：当直线a ，b 共面时，可确定一个平面；当直线a ，b 异面时，直线a 与b 上9个点可确定9个不同平面，直线b 与a 上6个点可确定6个不同平面，所以一点可以确定15个不同的平面．

25. 在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点．求证：EF 和AD 为异面直线.

解析：假设EF 和AD 在同一平面α内，…（2分），则A ，B ，E ，F α∈；……（4分）又A ，E ∈AB ，∴AB ?α，∴B α∈，……（6分）同理C α∈……（8分）故A ，B ，C ，D α∈，这与ABCD 是空间四边形矛盾。∴EF 和AD 为异面直线．

26. 在空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别是CB ，CD 的中点，

若AC + BD = a ，AC ?BD =b ，求22

EG FH +.

解析：四边形EFGH 是平行四边形，…………（4分）

22EG FH +=222()EF FG +=

22211

()(2)22

AC BD a b +=-

27. 如图，在三角形⊿ABC 中，∠ACB=90o，

AC=b,BC=a,P 是⊿A BC 所在平面外一点，PB ⊥AB ，M 是PA 的中点，AB ⊥MC ，求异面直MC 与PB 间的距离.

解析：作MN//AB 交PB 于点N ．（2分）∵PB ⊥AB ，∴PB ⊥MN 。（4分）又AB ⊥MC ，∴MN ⊥MC ．（8分）MN 即为异面直线MC 与PB 的公垂线段，（10分）其长度就是MC 与PB 之间的距离，则得MN=

28. 已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, A 1A=AB ， E 、F 分别是BD 1和AD 中点. （1）求异面直线CD 1、EF 所成的角；

（2）证明EF 是异面直线AD 和BD 1的公垂线.

（1）解析：∵在平行四边形11BAD C 中，E 也是1AC 的中点，∴1//EF C D ，（2分）

∴两相交直线D 1C 与CD 1所成的角即异面直线CD 1与EF

A 1A=A

B ，长方体的侧面1111,ABB A CDD

C 都是正方形，∴

D 1C ⊥CD 1

∴异面直线CD 1、EF 所成的角为90°.（7分）

（2）证：设AB=AA 1=

a , ∵D 1F=,4

2BF AD a =+∴EF ⊥BD 1.（9

分）

由平行四边形11BAD C ，知E 也是1AC 的中点，且点E 是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对称中心，（12分）∴EA=ED ，∴EF ⊥AD ，又EF ⊥BD 1，∴EF 是异面直线BD 1与AD 的公垂线.（14分）

29. ⊿ABC 是边长为2的正三角形，在⊿ABC 所在平面外有一点P ，PA=32，延长BP 至D ，使

E是BC的中点，求AE和CD所成角的大小和这两条直线间的距离.

解析：分别连接PE和CD，可证PE//CD，（2分）则∠PEA即是AE和CD所成角．（4分）在R t⊿PBE中，

PB=

2，BE=1，∴

PE=

。在⊿AEP中，

cos AEP

∠

3+-

．

∴∠AEP=60o，即AE和CD所成角是60o．（7分）

∵AE⊥BC，PE⊥BC，PE//DC，∴CD⊥BC，∴CE为异面直线AE和CD的公垂线段，（12分）它们之间的距离为1．（14分）

30.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体的棱

A A AB，

BC，

11,

C D

D A的中点，试证：E，F，G，H，M，N六点共面．

解析：∵EN//MF，∴E N与MF 共面α，（2分）又∵EF//MH，∴EF和MH共面β．（4分）∵不共线的三点E，F，M确定一个平面，（6分）∴平面α与β重合，∴点Hα

∈。（8分）同理点Gα

∈．（10分）故E，F，G，H，M，N六点共面．

31.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有（）

A．1条B．2条C．3条D．1条或2条

解析：分类：1）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线；2）当三个平面交于一条

直线时，有一条交线，故选D

32．两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是（）

A．4个B．5个C．6个D．8个

解析：C 如四棱锥的四个侧面，2

C=个。

33.．在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点如果EF 与HG 交于点M ，则（） A ．M 一定在直线AC 上

B ．M 一定在直线BD 上

C ．M 可能在AC 上，也可能在B

D 上

D ．M 不在AC 上，也不在BD 上

解析：∵平面ABC ∩平面ACD=AC ，先证M ∈平面ABC ，M ∈平面ACD ，从而M ∈AC

34. ．用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是 . 解析：6条

35. 已知：.//,,,,a PQ b P A b a b a ∈=???αα

)12..(:分求证α?PQ

本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.

解析：∵PQ ∥a ,∴PQ 与a 确定一个平面.,,βββ∈?∴P a 点直线

αα∈∴?∈p b b p ,,

αβαα

?∴∴?PQ a 重合

与又

36. 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线。（12分）

本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法解析：∵A 、B 、C 是不在同一直线上的三点 ∴过A 、B 、C 有一个平面β

又βα?=?AB P AB 且,

.,,l p l P ∈=?∴则设内内又在既在点βααβ

,,,:三点共线同理可证R Q P l R l Q ∴∈∈

37. 已知：平面,//,,,a c c A a b b a 且平面βαβα?=??=?

求证：b 、c 是异面直线

解析：反证法：若b 与c 不是异面直线，则b ∥c 或b 与c 相交 .

,,,,,,)2(//,//.//)1(是异面直线矛盾这与即又则相交于若矛盾这与若c b A b b AB A A b a B B c b A b a b a c a c b ∴=???∴∈∴=?∈=?∴βββββ 38. 在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF=3，求AD 与BC 所成角的大小

（本题考查中位线法求异面二直线所成角）

解析：取BD 中点M ，连结EM 、MF ，则

60,1202

123112cos ,3,,12

//,121,//222所成角的大小为异面直线由余弦定理得中在且且BC AD EMF MF EM EF MF EM EMF EF MEF BC MF BC MF AD EM AD EM ∴=∠∴-

=-+=??-+=∠=?====

39. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，求异

面直线CM 与D 1N 所成角的正弦值.(14分) （本题考查平移法，补形法等求异面二直线所成角）

解析：取DD 1中点G ，连结BG ，MG ，MB ，GC 得矩形MBCG ，记MC ∩BG=0 则BG 和MC 所成的角为异面直线CM 与D 1N 所成的角.

54sin 9

1cos )

()2

(2222=

∠∴=

∠∴==+=BOC BOC a BC a a AC MA MC 设正方体的棱长为

而CM 与D 1N 所成角的正弦值为9

40. 如图，P 是正角形ABC 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 和PC 的中点，且PA=PB=PC=AB=a 。

（1）求证：MN 是AB 和PC 的公垂线

（2）求异面二直线AB 和PC 之间的距离

解析：（1）连结AN ，BN ，∵△APC 与△BPC 是全等的正三角形，又N 是PC 的中点 ∴AN=BN

又∵M 是AB 的中点，∴MN ⊥AB 同理可证MN ⊥PC

又∵MN ∩AB=M ，MN ∩PC=N ∴MN 是AB 和PC 的公垂线。

（2）在等腰在角形ANB 中，a AB AN MN a AB a BN AN 2

2)2

1(,,2

322=-=∴===

即异面二直线AB 和PC 之间的距离为

a 2

2. 41空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面 [ ]

A ．可能有3个，也可能有2个

B ．可能有4个，也可能有3个

C ．可能有3个，也可能有1个

D ．可能有4个，也可能有1个

解析：分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点共线，则任何三点都确定一个平面，共有4个。. 42. 下列命题中正确的个数是 [ ]

①三角形是平面图形②四边形是平面图形

③四边相等的四边形是平面图形④矩形一定是平面图形

A．1个B．2个 C．3个 D．4个

解析：命题①是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。

命题②是错误，因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空间四边形。命题③也是错误，它是上一个命题中比较特殊的四边形。

命题④是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。

43.如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有____1个。

解析：如果有两个，则直线就在平面内，那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与已知有一个点不在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。

44.空间一条直线及不在这条直线上的两个点，如果连结这两点的直线与已知直线_______，则它们在同一平面内。答案：相交或平行

解析：根据推论2，推论3确定平面的条件。

45.三角形、四边形、正六边形、圆，其中一定是平面图形的有________3个。

解析：三角形的三个顶点不在一条直线上，故可确定一个平面，三角形在这个平面内；圆上任取三点一定不在一条直线上，这三点即确定一个平面，也确定了这个圆所在的平面，所以圆是平面图形；而正六边形内接于圆，故正六边形也是平面图形；而四边形就不一定是平面图形了，它的四个顶点可以不在同一平面内。

46.三条平行直线可以确定平面_________个。答案：1个或3个

解析：分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不共面，每两条确定一个，可确定3个。

47.画出满足下列条件的图形。

(1)α∩β=1，a α，b β，a∩b=A

(2)α∩β=a，b β，b∥a

解析：如图1-8-甲，1-8-乙

48.经过平面α外两点A ，B 和平面α垂直的平面有几个？解析：一个或无数多个。

当A ，B 不垂直于平面α时，只有一个。当A ，B 垂直于平面α时，有无数多个。

49. 设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB ＝122，CD ＝4 2，且四边形EFGH 的面积为12 3，求AB 和CD 所成的角.

解析：由三角形中位线的性质知，HG ∥AB ，HE ∥CD ，∴ ∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角.

∵ EFGH 是平行四边形，HG ＝

AB ＝62， HE ＝

，CD ＝23， ∴ S EFGH ＝HG ·HE ·sin ∠EHG ＝126 sin ∠EHG,∴ 12 6sin ∠EHG ＝123.

∴ sin ∠EHG ＝

,故∠EHG ＝45°. ∴ AB 和CD 所成的角为45°

注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。

G F

50. 点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=

AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角。（如图）

解析：设G 是AC 中点，连接DG 、FG 。因D 、F 分别是AB 、

CD 中点，故EG ∥BC 且EG=21 BC ，FG ∥AD ，且FG=2

AD ，由异

面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线

AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求。由BC=AD 知EG=GF=2

AD ，

又EF=AD ，由余弦定理可得cos ∠EGF=0，即∠EGF=90°。

注：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。

F E

高中数学立体几何测试题及答案一)

高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分） 1，三个平面可将空间分成n个部分，n的取值为（） A，4；B，4，6；C，4，6，7 ；D，4，6，7，8。 2，两条不相交的空间直线a、b，必存在平面α，使得（） A，a?α、b?α；B，a?α、b∥α；C，a⊥α、b⊥α；D，a?α、b⊥α。 3，若p是两条异面直线a、b外的任意一点，则（） A，过点p有且只有一条直线与a、b都平行；B，过点p有且只有一条直线与a、b都垂直；C，过点p有且只有一条直线与a、b都相交；D，过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4，与空间不共面四点距离相等的平面有（）个 A，3 ；B，5 ；C，7；D，4。 5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（） A，必有三点共线；B，至少有三点共线；C，必有三点不共线；D，不可能有三点共线。 6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（）个 A，0；B，1；C，无数；D，涵盖上三种情况。 7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形，则（） A，3≤n≤6 ；B，2≤n≤5 ；C，n=4；D，上三种情况都不对。 8，a、b为异面直线，那么（） A，必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b；B，过直线b 存在唯一的一个平面与a平行；C，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b；D，过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9，a、b为异面直线，p为空间不在a、b上的一点，下列命题正确的个数是（） ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直；②过点p总可以作一条直线与a、b都相交；③

过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ，1； B ，2； C ，3； D ，4。 10，异面直线a 、b 所成的角为80°，p 为空间中的一定点，过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有（）条 A ，2； B ，3； C ，4； D ，6。 11，P 是△ABC 外的一点，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA=1、PB=2、PC=3，则△ABC 的面积为（）平方单位 A ，25； B ，611； C ，27； D ，2 9。 12，空间四个排名两两相交，以其交线的个数为元素构成的集合是（） A ，{2，3，4}； B ，{1，2，3，}； C ，{1，3，5}； D ，{1，4，6}。 13，空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1，点P 在AB 上移动，点Q 在CD 上移动，点P 到点Q 的最短距离是（） A ，21； B ，22； C ，23； D ，4 3。 14，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是（） A ，45； B ，43； C ，25； D ，23。 15，已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（） ①若m 垂直于α内的无数条直线，则m ⊥α；②若m 垂直于梯形的两腰，则m 垂直于梯形所在的平面；③若n ∥α，m ?α，则n ∥m ；④若α∥β，m ?α，n ⊥β，则n ⊥m 。 A ，①②③； B ，②③④； C ，②④； D ，①③。 16，有一棱长为1的立方体，按任意方向正投影，其投影最大面积为（）

必修二_立体几何复习+经典例题

一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法 1、定义：如果一条直线和平面的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2、如果一条直线和一个平面的两条相交线垂直，则线面垂直 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5、如果两个平面垂直，那么在一个平面垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法 90角 1、定义：成? 2、直线和平面垂直，则该线与平面任一直线垂直 3、在平面的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4、在平面的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法 1、定义：两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质 90 1、二面角的平面角为?

高中立体几何典型题及解析

高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题) 51. 已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。求：AM 及CN 所成的角的余弦值；解析：(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 及CN 所成的角。 ∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=2 1AM 且E 为MD 的中点。设正四面体的棱长为1，则NC=21·23= 4 3且ME=2 1MD= 4 3 在Rt△MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2= 163+41=16 7 ∴cos ∠CNE= 324 3 432167)43()43( 2222 22-=??-+=??-+NE CN CE NE CN , 又∵∠CNE ∈(0, 2 π) ∴异面直线AM 及CN 所成角的余弦值为3 2. 注：1、本题的平移点是N ，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长，再回到△CEN 中求角。 2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。

52. .如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 3 1 ==EC BE FD AF 。求异面直线AB 及CD 所成的角。解析：在BD 上取一点G ，使得3 1 =GD BG ，连结EG 、FG 在ΔBCD 中，GD BG EC BE = ，故EG//CD ，并且4 1==BC BE CD EG ，所以，EG=5；类似地，可证FG//AB ，且 4 3 ==AD DF AB FG ，故FG=3，在ΔEFG 中，利用余弦定理可得 cos ∠ FGE= 2 1 5327532222222- =??-+=??-+GF EG EF GF EG ，故∠FGE=120°。另一方面，由前所得EG//CD ，FG//AB ，所以EG 及FG 所成的锐角等于AB 及CD 所成的角，于是AB 及CD 所成的角等于60°。 53. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1=c ，AB=a ，AD=b ，且a ＞b ．求AC 1及BD 所成的角的余弦． A B C D E F G E D 1 C 1 B 1 A 1 A B D C O

立体几何题经典例题

D E A F B C O O 1 M D C A S 15．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB =1，D 在棱BB 1上，且BD =1，则AD 与平面 AA 1C 1C 所成角的正弦值为 . 6．已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点. （1）在直线1CC 上求一点N ，使1AB MN ⊥；（2）当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离. （3）求出1AB 与侧面11A ACC 所成的角θ的正弦值． 7. 如图所示，AF 、DE 分别是1O O ⊙、 ⊙的直径．AD 与两圆所在的平面均垂直，8=AD ．BC 是O ⊙的直径，AD OE AC AB //,6==．（1）求二面角F AD B --的大小；（2）求直线BD 与EF 所成角的余弦值． 8．如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直．点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若 a BN CM ==)20(<

18.（本小题满分12分）已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直， M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点， 1=AB ,2=AD ， (1)证明：直线//AM 平面NEC ； (2)求二面角D CE N --的大小． 19．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形， 2 π = ∠=∠ABC DAB ，且22===AD BC AB ，侧面 ⊥PAB 底面ABCD ，PAB ?是等边三角形． (1)求证：PC BD ⊥； (2)求二面角D PC B --的大小． 15、(北京市东城区2008年高三综合练习一）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =BB 1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角. （I ）求证：平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1；（II ）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值；（III ）求二面角B —B 1C —A 的大小. 52、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)如图，在多面体ABCDE 中，AE ⊥面ABC ，BD ∥AE ，且AC ＝AB ＝BC ＝BD ＝2，AE ＝1，F 为CD 中点． (1)求证：EF ⊥面BCD ； (2)求面CDE 与面ABDE 所成的二面角的余弦值． A B C D M N 第18题图