高中数学必修2立体几何专题线面垂直典型例题的判定与性质

教学过程在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.规律方法证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.【训练1】(2013·江西卷改编)教学效果分析教学过程如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.证明：BE⊥平面BB1C1C.考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2014·深圳一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．证明：平面ABC1⊥平面B1CD.规律方法证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也教学效果分析教学过程可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．【训练2】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.考点三平行、垂直关系的综合问题教学效果分析教学过程【例3】(2013·山东卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.规律方法线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．【训练3】(2013·辽宁卷)如图，AB是圆O的直径，P A垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q为P A的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.教学效果分析1．转化思想：垂直关系的转化2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．创新突破6——求解立体几何中的探索性问题【典例】(2012·北京卷)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[反思感悟] (1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误．【自主体验】(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝12AB＝2，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2.(1)求证：DA⊥BC；(2)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b 在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．2．(2014·绍兴调研)设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列正确命题的序号是________．①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α；②若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α；③若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β.3.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任一点，则图形中有________对线面垂直．4．若M是线段AB的中点，A，B到平面α的距离分别是4 cm，6 cm，则M到平面α的距离为________．5．(2014·郑州模拟)已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.其中正确的是________．6.如图，在四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)7．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．8.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．二、解答题9．(2013·北京卷)如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.10．(2013·泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．2.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为________．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.3．(2013·南通二模)如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．二、解答题4．(2014·北京西城一模)。

∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC， ∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC， 又AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC．
[点评]
已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直
线垂直，应将两条直线中的一条放入一平面中，使另一条直线 与该平面垂直，即由线面垂直得到线线垂直．在空间图形中， 高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看 到：面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．
求证：平面ABC⊥平面SBC．
[ 解析]
解法一：取 BC 的中点 D，连接 AD、SD.
由题意知△ASB 与△ASC 是等边三角 形，则 AB＝AC． ∴AD⊥BC，SD⊥BC． 2 令 SA＝a，在△SBC 中，SD＝ 2 a， 2 又∵AD＝ AC －CD ＝ 2 a，
2 2
∴AD2＋SD2＝SA2. 即 AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面 SBC． ∵AD⊂平面 ABC， ∴平面 ABC⊥平面 SBC．
[解析]
∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC． 又∵CC1⊥底面ABC，AD⊂平面ABC， ∴CC1⊥AD. 又BC∩CC1＝C， ∴AD⊥平面BCC1B1. 又AD⊂平面AC1D，
∴平面AC1D⊥平面BCC1B1.
三棱锥 S －ABC 中，∠ BSC ＝ 90°，∠ ASB＝ 60°，∠ ASC ＝60°，SA＝SB＝SC．
当 F 为 PC 的中点时，满
足平面 DEF⊥平面 ABCD. 取 AD 的中点 G，PC 的中点 F，连 接 PG、BG、DE、EF、DF，则 PG⊥ AD，而平面 PAD⊥面 ABCD， 所以 PG⊥平面 ABCD.在△PBC 中， EF∥PB； 在菱形 ABCD 中，GB∥DE，而 EF⊂平面 DEF，DE⊂平面 DEF，EF∩DE ＝E，∴平面 DEF∥平面 PGB.又 PG⊥平面 ABCD，PG⊂平面 PGB， ∴平面 PGB⊥平面 ABCD，∴平面 DEF⊥平面 ABCD.

那么另一条也垂直于这个平 a 的无数条直线”是“ I 丄a B.必要不充分条件线面垂直与面面垂直专题复习【知识点】一.线面垂直(1) 直线与平面垂直的定义：如果直线l 和平面a 的 __________________ 一条直线都垂直，我们就说直线 I 与平面a 垂直,记作 _____________ .重要性质： ____________________________________________________________________________(2) 直线与平面垂直的判定方法：①判定定理：一条直线与一个平面的两条 ___________________ 都垂直，那么这条直线就垂直于这 个平面.用符号表示为：②常用结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 面.用符号可表示为：(3)直线与平面垂直的性质：① 由直线和平面垂直的定义知：直线与平面垂直，则直线垂直于平面的 ________ 直线.② 性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行.用符号可表示为： 二、面面垂直(1) 平面与平面垂直的定义：两平面相交，如果它们所成的二面角是 _____________________ ，就说这两个平面互相垂直.(2) 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条 _____________________ ，那么这两个平面互相垂直.简述为 "线面垂直，则面面垂直”，用符号可表示为：(3)平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 用符号可表示为：【题型总结】 题型一小题：判断正误1. “直线I 垂直于平面 A.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2. 已知如图，六棱锥 P — ABCDE 的底面是正六边形， 下列结论不正确的是( ).A.CD// 平面 PAFB. DF 丄平面 PAFC. CF//平面 PAB 2.设m n, I 是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，判断命题正误:理科数学复习专题立体几何①m,m ,则//⑥m n, m// ,则n②m,// ,则m⑦m n,n 1,则m//l③m,m//n,则n⑧, ,则〃④m,n ,则m//n⑨m n,n//I,则m 1⑤m,m n,则n//⑩,//，则题型「二证明线面垂直P归纳：①证明异面直线垂直的常用方法：_________________________________________②找垂线（线线垂直）的方法一：______________________________________________ 2.四棱锥P ABCD中，底面ABCD的边长PD PB 4, BAD 600, E 为PA 中点•1如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形,/ DAB = 60° AB= 2AD, PD 丄底面ABCD .（1）证明：BD丄面PAD （2）证明：PA丄BD;求证：BD 平面PAC ；4的菱形,归纳：找垂线（线线垂直）的方法找垂线（线线垂直）的方法三：3、如图，AB是圆0的直径，C是圆0上不同于A, B的一点，PA 平面ABC , E是PC 的中点，AB 3 , PA AC 1.求证：AE PB•Z归纳：找垂线（线线垂直）的方法四：____________________________________4.如图，在三棱锥P ABC中，PA 底面ABC, BCA 900,AP=AC,点D , E分别为棱PB、PC的中点，且BC〃平面ADE求证：DE丄平面PAC ;归纳：_____________________________________________________________________________________ 题型三面面垂直的证明（关键：找线面垂直）1、如图所示，四边形ABCD是菱形，O是AC与BD 的交点，SA 平面ABCD.求证：平面SAC 平面SBD ;2. （2016理数）如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中面ABEF 为正方形,AF=2FD, AFD 90：,证明：平面ABEF 平面EFDC ;题型四面面垂直的性质（注意：交线）1、如图所示，平面EAD 平面ABCD , ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点, 求证：EG 平面ABCD ；2、如图，平行四边形ABCD中，CD 1, BCD 600, BD CD，正方形ADEF，且面ADEF 面ABCD •求证：BD 平面ECD ;综合运用如图所示，PA丄矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1) 求证：MN //平面PAD.(2) 求证：MN丄CD.⑶若/ PDA = 45 °求证：面BMN丄平面PCD.【练习】1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题:金a〃b a M a M a//M① b M ②a//b ③b/ M ④b± Ma Mb M a b a b其中正确的命题是( )A.①②B.①②③C.②③④D.①②④2.给出以下四个命题：CD如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

2.3.1 直线与平面垂直的判定
【例1】三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，PO⊥平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的垂心.
【例2】如图，ABCD是正方形，SA垂直于平面ABCD，过A且垂直于SC的平面交SB、SC、SD分别于点E，F，G，求证：AE⊥SB，AG⊥S D.
参考答案
例1
【分析】可证O为三角形ABC的两条高线的交点.
【证明】连接OA、OB、OC，∵PO⊥平面ABC，
∴.
又∵，
∴，得
,
∴O为底面△ABC的垂心.
【点拨】此例可以变式为“已知，求证”，其思路是接着利用射影是垂心的结论得到后进行证明. 三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思路证出.
例2:
【分析】本题考查线面垂直的判定与性质定理，
以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想．由于
图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可．
欲证，可证平面，为此须
证，，进而转化证明平面，平面．
【证明】∵SA⊥平面ABCD，平面ABCD，
∴．
又∵ABCD为正方形，
∴．
∴平面．
∵平面，
∴．
又∵平面，
∴．
∴平面．
又∵平面，
∴，同理可证．
【点拨】(1)证明线线垂直，常用的方法有：同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理，三垂线定理与它的逆定理，以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直．(2)本题的证明过程中反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系，充分体现了数学化思想的优越性．。

掌握平面与平面垂直的性质定理.
核心素养
逻辑推理
逻辑推理
学习目标
课程目标
1.理解直线和平面、平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.
2.通过对性质定理的理解和应用,培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．
数学学科素养
1.逻辑推理:探究归纳直线和平面、平面和平面垂直的性质定理,线线垂直、线面垂直、
变式训练
3.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB＝60°,G为AD边
的中点,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.
证明
(1)因为在菱形ABCD中,G为AD的中点, ∠DAB＝60° ,所以BG⊥AD.
复习引入
直线与平面垂直的定义:
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直
线与平面互相垂直,记作 ⊥ .
直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平
面垂直.
复习引入
平面与平面垂直的定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.
求证:(1)DE＝DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.
证明
(1)如图,取EC的中点F,连接DF.
因为EC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以EC⊥BC.
易知DF//BC,所以DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中

因为EF= EC,EC=2BD,所以EF=BD.

又FD=BC=AB所以Rt△EFD≌Rt△DBA ,故DE=DA.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,所以BG⊥平面PAD.

结论：a⊥OA
P
线斜垂直
线射垂直
逆定理
O α
定理
线射垂直
线斜垂直
逆定理
a
A
例1：如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，直线D1O与AC
垂直吗？说明你的理由。
D1
C1
D1O在平面ABCD内的射影是DO
AC与BD垂直
A1
B1
D1O与AC垂直（三垂线定理 ）
你知道吗？ D1B⊥AC
D
C
线射垂直
线斜垂直 A
射影OA和a直线之间的垂直关系
α
O
2、直线a可以移动，但只能在平面内移
动。因此，直线a和斜线PA可以相交也
可以异面。
P
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜 线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
O α
a
A
a
A
新知探究 • 逆定理
思考：
如果将定理中的条件a⊥OA改成a⊥PA，你会得到
怎样的结果？命题一定成立吗?
P
定理
即:线射垂直
线斜垂直
O α
a
A
定理中包括三种垂直关系：
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P PO
P
a OA
P
a PA
O Aa
O Aa
O Aa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
对定理的几点说明
P
1、三垂线定理描述的是斜线PA、
如图：请说出下列图形中的垂线、斜线和射影。
P
直线PO是垂线 直线PA是斜线

文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
高中数学必修2立体几何专题-线面垂 直方法总结精编版
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
1
0
、
倚
南
窗
以Leabharlann 寄傲，审
容
膝
之
易
安
。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特

第五节 直线、平面垂直的判定与性质一、基础知识1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直， 就说直线l 与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言 图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a ，b ⊂αa ∩b ＝Ol ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直. 2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言 图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线❷，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l ⊂βl ⊥α⇒α⊥β 性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊂βα∩β＝a l ⊥a ⇒l ⊥α[❷要求一平面只需过另一平面的垂线．]二、常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．考点一直线与平面垂直的判定与性质[典例]如图，在四棱锥P­ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P­ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴P A⊥CD，又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.∵AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.∵PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[解题技法]证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理：l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝P ⇒l ⊥α. (2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. (3)性质：①a ∥b ，b ⊥α⇒a ⊥α，②α∥β，a ⊥β⇒a ⊥α. (4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ⇒l ⊥γ.(客观题可用) [口诀归纳]线面垂直的关键，定义来证最常见， 判定定理也常用，它的意义要记清. 平面之内两直线，两线相交于一点， 面外还有一直线，垂直两线是条件. [题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝BB 1，AB 1∩A 1B ＝E ，D 为AC 上的点，B 1C ∥平面A 1BD .(1)求证：BD ⊥平面A 1ACC 1；(2)若AB ＝1，且AC ·AD ＝1，求三棱锥A ­BCB 1的体积． 解： (1)证明：如图，连接ED ，∵平面AB 1C ∩平面A 1BD ＝ED ，B 1C ∥平面A 1BD ， ∴B 1C ∥ED ， ∵E 为AB 1的中点， ∴D 为AC 的中点， ∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC .∵A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥BD . 又∵A 1A ，AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.(2)由AB ＝1，得BC ＝BB 1＝1，由(1)知AD ＝12AC ，又AC ·AD ＝1，∴AC 2＝2，∴AC 2＝2＝AB 2＋BC 2，∴AB ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，∴V A ­BCB 1＝V B 1­ABC ＝13S △ABC ·BB 1＝13×12×1＝16.2.如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，∴BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.考点二面面垂直的判定与性质[典例](2018·江苏高考)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.[证明](1)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.[解题技法] 证明面面垂直的2种方法 定义法利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题定理法 利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决[题组训练]1．(2019·武汉调研)如图，三棱锥P ­ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，P A ⊥PC ，PB ＝2.求证：平面P AC ⊥平面ABC .证明：取AC 的中点O ，连接BO ，PO . 因为△ABC 是边长为2的正三角形， 所以BO ⊥AC ，BO ＝ 3.因为P A ⊥PC ，所以PO ＝12AC ＝1.因为PB ＝2，所以OP 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 因为AC ∩OP ＝O ， 所以BO ⊥平面P AC . 又OB ⊂平面ABC ， 所以平面P AC ⊥平面ABC .2.(2018·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥P ­ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且P A ＝AD .求证：(1)AF ∥平面PEC ； (2)平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)取PC 的中点G ，连接FG ，EG ， ∵F 为PD 的中点，G 为PC 的中点， ∴FG 为△CDP 的中位线， ∴FG ∥CD ，FG ＝12CD .∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， ∴AE ∥CD ，AE ＝12CD .∴FG ＝AE ，FG ∥AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形，∴AF ∥EG ，又EG ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，∴AF∥平面PEC.(2)∵P A＝AD，F为PD中点，∴AF⊥PD，∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，又∵CD⊥AD，AD∩P A＝A，∴CD⊥平面P AD，∵AF⊂平面P AD，∴CD⊥AF.又PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD.由(1)知EG∥AF，∴EG⊥平面PCD，又EG⊂平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.[课时跟踪检测]A级1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：选C对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.2．(2019·湘东五校联考)已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④B．③④C．①②D．①③解析：选A对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确，排除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选A.3．已知P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：选C由P A⊥平面ACB⇒P A⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥P A，BC⊥AC，P A∩AC＝A，可得BC⊥平面P AC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意．4.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．5.如图，在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面P AE，又DF∥BC，则DF⊥平面P AE，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B、C均正确．6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________个；与AP垂直的直线有________个．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，又∵AP⊂平面P AC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：317．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．解析：①正确；②正确；满足③的α与β不一定垂直，所以③错误；直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．故所有的真命题的序号是①②.答案：①②8．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC­A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．答案：①③9．(2019·太原模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，P A＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．(1)求证：AD⊥平面PNB；(2)若平面P AD⊥平面ABCD，求三棱锥P­NBM的体积．解：(1)证明：连接BD.∵P A＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BN⊥AD，又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.(2)∵P A＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝ 3.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥NB，∴S△PNB＝12×3×3＝32.∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC ⊥平面PNB .又PM ＝2MC ， ∴V P ­NBM ＝V M ­PNB ＝23V C ­PNB ＝23×13×32×2＝23.10.如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .证明：(1)在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1， 在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点． 所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1，又因为DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ， 所以直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1， 因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥A 1C 1，又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩AA 1＝A 1，AA 1⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1， 因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥B 1D ，又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ， 所以B 1D ⊥平面A 1C 1F ， 因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ， 所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .B 级1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P ­ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离． 解：(1)证明：因为P A ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以PO ⊥AC ，且PO ＝2 3. 连接OB ， 因为AB ＝BC ＝22AC ， 所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.所以PO 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 又因为AC ∩OB ＝O ，所以PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ，垂足为H ， 又由(1)可得OP ⊥CH ， 所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.2．(2019·河南中原名校质量考评)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E ，F 分别是CD ，PC 的中点．求证：(1)BE ∥平面P AD ； (2)平面BEF ⊥平面PCD .证明：(1)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 是CD 的中点， ∴AB ∥DE 且AB ＝DE ， ∴四边形ABED 为平行四边形，∴AD ∥BE ，又BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， ∴BE ∥平面P AD .(2)∵AB ⊥AD ，∴四边形ABED 为矩形， ∴BE ⊥CD ，AD ⊥CD ，∵平面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，P A ⊥AD ， ∴P A ⊥底面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，又P A ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD ， ∵E ，F 分别是CD ，PC 的中点， ∴PD ∥EF ，∴CD ⊥EF ，又EF ∩BE ＝E ， ∴CD ⊥平面BEF ，∵CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD .。

棱
柱
A
B
C
D－
A1
B1C
1
D
中
1
，
侧
棱
A
A1＝
6，
底 面 A B C D 是 菱 形 ， A B＝ 2， A B C＝ 60， P为 侧 棱
B B1上 的 动 点 ．
1求 证 ： D1P AC；
2 设 AC BD＝ O，
求 当 B1P 等 于 多 少 时 ， PB
PO 平 面 D1AC ?
【 解 析 】1 证 明 ：
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C， 所以AE⊥平面PCD. 而PD 平面PCD，所以AE⊥PD. 又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB. 由已知得AB⊥AD，且PA∩AD＝A，所以AB⊥ 平面PAD. 又PD 平面PAD，所以AB⊥PD. 因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.
【证明】(1)连结AC，取其 中点O，连结NO、MO，并 延长MO交CD于R. 因为N为PC的中点， 所以NO为△PAC的中位线，所以NO∥PA. 而PA⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD，所 以NO⊥CD. 又四边形ABCD是矩形，M为AB的中点，O为 AC的中点，所以MO⊥CD. 而MO∩NO＝O， 所以CD⊥平面MNO，所 以 CD⊥MN.
BB1C1C.
【
证
明
】
直
棱
柱
A
B
C
D－
A1 B 1C
1
D
中
1
，
BB1 平 面 ABC D， 所 以 BB1 AC .
又 因 为 B A D＝ A D C ＝ 9 0 ， A B
＝ 2AD＝ 2C D＝ 2，

第四节直线、平面垂直的判定及其性质【知识点15】直线与平面垂直的判定1.直线与平面垂直的定义画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直2.直线和平面垂直的判定定理典型例题：【例1】（概念的理解）下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．【反思】(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．【变式1】(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________．(填序号)【变式2】已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥β C．m⊥n，且n⊂βD．m⊥n，且n∥β【变式3】下列说法中，正确的有()①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个B．3个C．4个D．5个例2(线面垂直的判定)如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.【反思】(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤①在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.【变式1】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.求证：AC⊥B1D；【变式2】如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点．求证：(1)CD⊥AA1；(2)AB1⊥平面CED.【练习3】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.知识点【能力提升思考】已知∠BAC在平面α内，P∠α，∠PAB＝∠PAC.求证：点P在平面α内的射影在∠BAC的平分线上.【变式1】如图所示，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，C1H⊥AB，证明：点H是C1在平面ABC内的射影.【反思】(1)求直线和平面所成角的步骤①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.(2)在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口.【知识点16】直线与平面所成的角典例讲解：【例1】（直线与平面所成的角）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角．【反思】求直线与平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角．(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．【变式1】如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求直线BD与平面ACD所成角的大小．【变式2】如图，已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝1，BC＝2，求OA与平面α所成的角的大小．【思考1】把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A．90° B．60° C．45° D．30°【变式1】如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【例4】（综合应用）如图，P A⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN∥平面P AD；(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.【方法小结】1．直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义．(2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2．线线垂直的判定方法：(1)异面直线所成的角是90°.(2)线面垂直，则线线垂直．3．求线面角的常用方法：(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)．(2)转移法(找过点与面平行的线或面)．(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法).【知识点17】距离问题典型例题：【例1】如图，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，P为∠O所在平面外一点，且PA垂直于圆O所在平面，PB与平面ABC所成的角为45°.(1)求证：BC∠平面PAC；(2)求点A到平面PBC的距离．【变式1】已知△ABC 的三条边长分别是5,12,13，点P 到A ，B ，C 三点的距离都等于7，则点P 到平面ABC 的距离为____【例2】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：PB //平面AEC ； （2）设1AP =，3AD =，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.【反思】 求点到平面距离的方法总结：PA BCD E（1）过已知点作出平面的垂线段是关键. 作垂线段通常要借助于垂面，然后利用面面垂直性质定理作出平面的垂线.（2）作出垂线段后，通常利用等面积法求得距离.【变式1】如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AD AB ⊥，2AB =，2AD =，1=3AA ，E 为CD 上一点，1DE =，3EC =.（1）证明：BE ⊥平面11BB C C ； （2）求点1B 到平面11EA C 的距离.【反思】 求点到平面距离的方法总结：（1）当直接作出垂线段比较困难时，可以考虑利用等体积法求距离. （2）用等体积法求距离，一般用三棱锥体积相等来求解.（3）可以用线面平行关系，转化到一个更容易求解的三棱锥去求距离；也可以利用比例关系，化为其他点到平面的距离来求解.【例题3】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11A A =.ABCD EA 1B 1C 1D 1（1）证明：直线1BC 平行于平面1D AC ； （2）求直线1BC 到平面1D AC 的距离.【反思】 求直线到平面距离的方法总结：（1）求线面距离，根据直线上的点到平面距离相等，所以可以转化为点面距离来求解. （2）在转化为点面距的时候，选择合适的点会对解题有促进作用.【变式1】在直三棱柱111ABC -A B C 中,90 ABC =∠︒，11,2AB =BC =BB =，求： （1）异面直线11B C 与1A C 所成角的余弦值； （2）直线11B C 到平面BC A 1的距离．【思考】已知在直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，3AC BC ==，D 为AB 的中点.求异面直线1CC 和AB 的距离；ABCD A 1B 1C 1D 1ACBA 1B 1C 1C1A1B1CA BD【感悟】求两条异面直线距离的方法总结：（1）利用图形关系作出两条异面直线的公垂线，是求两异面直线距离的基本方法，但难度较大.（2）过两条异面直线中的一条直线作另一条直线的平行线，构造线面平行，将异面直线距离化为线面距离，进而转化为点面距离，是求异面直线距离的常用方法.（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离，再化为点面距离．【知识点18】二面角的概念【例1】（概念的理解）有下列结论：①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是()A．①③B．②④C．③④D．①②【例2】如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小．【反思】(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线．(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角．(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法．(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．(3)画法：(4)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.(5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l －β的平面角是∠AOB.【变式1】如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上的一点，且P A ＝AC ，求二面角P －BC －A 的大小．【变式2】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值为( ) A.32 B.22C. 2D.3【思考1】已知在直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，3AC BC ==，D 为AB 的中点.（1）求异面直线1CC 和AB 的距离；（2）若11AB A C ⊥，求二面角11A CD B --的平面角的余弦值.C1A1B1CA BD【变式1】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．(1)证明：D1E⊥A1D；(2)求AE为何值时，二面角D1－EC－D的大小为45°？【方法小结】1．求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．【知识点19】平面与平面垂直(1)平面与平面垂直①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．②画法：③记作：α⊥β.(2)判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥β【例1】（概念理解）下列不能确定两个平面垂直的是()A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C．一个平面经过另一个平面的一条垂线D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b【例2】已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中正确结论的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3【变式1】过两点与一个已知平面垂直的平面()A．有且只有一个B．有无数个C ．有且只有一个或无数个D ．可能不存在【变式2】α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_____．【例2】（证明面面垂直）如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由． (2)证明：平面P AB ⊥平面PBD .【延申变式1】如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A 垂直于矩形ABCD 所在的平面，试证明：平面PCD ⊥平面P AD .【延申变式2】如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，PB ＝BC ，M 是PC 中点，试证明：平面MBD ⊥平面PCD .【反思】证明面面垂直常用的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角．(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直．(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面． 【变式1】 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ACB ＝90°，AC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．证明：平面BDC 1⊥平面BDC .【变式2】如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，AC ，BD 交于点E，F是PB的中点．求证：(1)EF∥平面PCD；(2)平面PBD⊥平面P AC.【思考3】如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.【方法小结】平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．【能力提升】垂直问题难点突破专题【例1】（空间位置关系相关定理）如图，PA⊥平面ABCD,AD//BC,AD=2BC,AB⊥BC，点E为PD中点．（1）求证：AB⊥PD；（2）求证：CE//平面PAB．【变式1】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ， AB =BC =2,∠ACB =30°AA 1=3, 11,BC A C E ⊥为AC 的中点.求证： 1A C ⊥平面1C EB ；求二面角1A AB C --的余弦值.【例2】（数量关系）如图，三棱锥P ABC -中,PB ⊥底面ABC ,2PB BC ==,1AC =，AB = E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且2PF FA =.（1）求证：平面PAC ⊥平面BEF ；【变式2】已知多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形， EF CE ⊥，且AC =， 1AE EC ==， 2BC EF =， //AD EF . （1）求证：平面ACE ⊥平面ADEF ；【例3】在三棱柱111ABC A B C -中，已知侧棱1CC ⊥底面,ABC M 为BC 的中点，13,2,AC AB BC CC ===.（1）证明: 1B C ⊥平面1AMC ；（2）求点1A 到平面1AMC 的距离.【变式3】．如图，直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）ABC ﹣A 1B 1C 1中，点G 是AC 的中点．（1）求证：B 1C ∥平面 A 1BG ；（2）若AB=BC ， 1AC ，求证：AC 1⊥A 1B ．【例4】(几何图形的特征)．如图，在多面体ABCDFE中，四边形ADFE是正方形，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，BC=2，G为BC中点，平面ADFE⊥平面ADCB.(1)证明：AC⊥BE；(2)求三棱锥A−GFC的体积.-中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，【变式4】已知四棱锥P ABCD=∠=，E为AB的中点.AD DAB2,60（1）证明：平面PAB⊥平面PED；（2）若PD=，求E到平面PBC的距离.-中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面【例5】（存在性问题）. 如图，四棱锥P ABCDABCD，PA=AD=1，AB=√3，点E为PD的中点，点F在棱DC上移动.（1）当点F为DC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；⊥.（2）求证：无论点F在DC的何处，都有PF AE。

教学过程一.课程导入：思考:如图我们可以发现相对于国旗杆和路灯都是一个单体,而路面就在我们数学中相当于一个平面,那么这个单体和路面是什么关系呢?他们又有什么样的定义和性质呢二、复习预习1．垂直是立体几何的必考题目，且几乎每年都有一个解答题出现，所以是高考的热点，是复习的重点．纵观历年来的高考题，立体几何中没有难度过大的题，所以复习要抓好三基：基础知识，基本方法，基本能力．2．要重视和研究数学思想、数学方法．在本讲中“化归”思想尤为重要，不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直”，观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口．三、知识讲解考点1、直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一直线的两平面平行．考点2、斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．考点3、平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．四、例题精析考点一线面位置关系的判定【例题1】【题干】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，m⊂α，则l⊥mC．若l∥α，l∥m，则m∥αD．若l∥α，m∥α，则l∥m【答案】B【解析】直线垂直于平面中两条相交直线，才能垂直于平面，故A错；C中m可能包含在平面α中；D中两条直线可能平行、相交或异面．考点二线面垂直的判定与性质【例题2】【题干】如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥ 平面PAC.(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正弦值．【答案】见解析【解析】(1)证明 ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC. 又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC.又AC∩PA＝A ， ∴BC ⊥平面PAC.(2)解 ∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴DE ＝12BC. 又由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E.∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB.又PA ＝AB ，∴△ABP 为等腰直角三角形． ∴AD ＝22AB.在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，∴BC ＝12AB.∴在Rt△ADE中，sin∠DAE＝DEAD＝BC2AD＝24.∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为2 4 .考点三面面垂直的判定与性质【例题3】【题干】如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，EC＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA.【答案】见解析【解析】(1)如图所示，取EC中点F，连接DF. ∵EC⊥平面ABC，BD∥EC，∴BD⊥平面ABC，∴BD⊥AB，∵BD∥EC，BD＝12EC＝FC，∴EC⊥BC.∴四边形FCBD是矩形，∴DF⊥EC. 又BA＝BC＝DF，∴Rt △DEF Rt △ADB ，∴DE ＝DA.(2)如图所示，取AC 中点N ，连接MN 、NB ，∵M 是EA 的中点，∴MN//12EC. 由BD//12EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN. ∵DE ＝DA ，M 是EA 的中点，∴DM ⊥EA.又EA∩MN＝M ，∴DM ⊥平面ECA ，而DM ⊂平面BDM ，∴平面ECA ⊥平面BDM.考点四射影、体积、点面距离问题【例题4】【题干】若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为( )A.33B．1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】依题可知∠B1AB＝60°，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴B1B即为所求距离，在△ABB1中得，B1B＝ 3.故选D.课后评价。

怎样的结果？命题一定成立吗?
结论：a⊥OA
P
线斜垂直
线射垂直
逆定理
O α
定理
线射垂直
线斜垂直
逆定理
a
A
人教高中数学必修二直线、平面垂直 的判定 与性质 三垂线定理 课件
人教高中数学必修二直线、平面垂直 的判定 与性质 三垂线定理 课件
例1：如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，直线D1O与AC
垂直吗？说明你的理由。
射影OA和a直线之间的垂直关系
α
O
2、直线a可以移动，但只能在平面内移
动。因此，直线a和斜线PA可以相交也
可以异面。
P
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜 线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
O α
a
A
a
A
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新知探究 • 逆定理
思考：
如果将定理中的条件a⊥OA改成a⊥PA，你会得到
器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？
解：在道边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90°， 再在道边取一点D，使水平角CDB等于45°， 测得C、D的距离等于20m A
B
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90°
C
45°
D
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5. 这是一篇托物言志的铭文，本文言 简义丰 、讲究 修辞。 文章骈 散结合 ，以骈 句为主 ，句式 整齐， 节奏分 明，音 韵和谐 。
6.了解和名著有关的作家作品及相关 的诗句 、名言 、成语 和歇后 语等， 能按要 求向他 人推介 某部文 学名著 。

线面垂直证明专题1.直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直.2.直线与平面垂直的判定:线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理1：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。

判定定理2：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么就垂直另一个平面。

性质定理3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

专题一线面垂直的判定应用1 下列条件中，能使直线m⊥α的是（）A m⊥b,m⊥c,b⊥α,c⊥αB m⊥b,b∥αC m b=A,b⊥αD m∥b1 如图，在平面α内有ABCD，O是它的对角线的交点，点P在α外，且PA=PC，PB=PD，求证：PO⊥α。

2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD中心，求证：B1O⊥面PAC3 如图，已知空间四边形ABDC的边BC=AC,AD=BD,引BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH⊥面BCD4 如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥面ABCD， PAD是等腰三角形，M,N分别是AB,PC的中点，求证：MN⊥面PCD5 如图，在正方体AC1中，M,N,E,F分别是中点。

（1）求证A1E⊥面ABMN；（2）求异面直线A1E与MF所成角的大小。

专题二线面垂直性质的应用1 已知PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的异于A，B的任意一点，过A作AE⊥PC，垂足为E，如图，求证：AE⊥面PBC2 已知，如图矩形ABCD，过A作SA⊥面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F。

（1）求证：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG ⊥SD3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AB,A1C的中点，求证：MN⊥面A1DC4 如图，底面ABCD为正方形，SA⊥面ABCD，过A且垂直于SC的平面交SB,SC,SD分别于点E,F,G求证：AE⊥SB专题三直线与平面所成的角1 已知直线a是平面α的斜线，b⊂α，当a与b成60°角，且b与a在α内的射影成45°角时，求a与α所成角2 如图，在直三棱柱AB0-A1B1O1中OO1=4，OA=4，OB=3,AOB∠=90°，D是限度A1B1的中点，P是侧棱BB1上的一点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成的角3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AA1，A1D1的中点（1）求D1B与平面AC所成的角的余弦值（2）求EF与平面A1C1所成的角的大小4 如图，l1,l2是相互垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A,B 在L1上，C在l2上，AM=MB=MN。