求不定方程整数解的常用方法
摘要：不定方程,是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解，是相当困难的，有时甚至是不可能或不现实的.本文利用变量替换、未知数之间的关系、韦达定理、整除性、求根公式、判别式、因式分解等有关理论，求得一类不定方程的正整数解.通过一些具体的例子，给出了常用的不定方程的解法，分别为分离整数法、辗转相除法、不等式估值法、逐渐减小系数法、分离常数项的方法、奇偶性分析法、换元法、构造法、配方法、韦达定理、整除性分析法、利用求根公式、判别式、因式分解法等等.
关键字：不定方程;整数解;整除性
1引言
不定方程是数论的一个分支，有悠久的历史与丰富的内容，与其他数学领域有密切联系，是数论中的重要的、活跃的研究课题之一，我国对不定方程的研究以延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理，学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学的解题技能.
中学阶段是学生的思维能力迅猛发展的关键阶段.在此阶段要注重培养学生的思维能力，开发学生智力，因此对于初等数论的一般方法、理论有一定的了解是必不可少的.让学生做题讲究思想、方法与技巧、创造性的解决问题，就要有一定的方法与技巧的积累与总结.
不定方程的重要性在中学中得到了充分的体现，无论在中高考还是在每年世界各地的数学竞赛中，不定方程都占有一席之地，而且它还是培养学生思维能力、观察能力、运算能力、解决问题能力的好材料.
2不定方程的定义
所谓不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些（如要求是有理数，整数或正整数等等)限制的方程或方程组.不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一，不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论都有较为密切的联系.
下面对中学阶段常用的求不定方程整数解的方法做以总结：
3一般常用的求不定方程整数解的方法
(1)分离整数法
此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.
例1 求不定方程02
5=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 2
31232223225++=++++=+++=++=x x x x x x x x y 因为y 是整数，所以2
3+x 也是整数. 由此
5,1,3,1,3,3,1,12---=--=+x x 即
相应的.0,2,0,4=y
所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).
(2)辗转相除法
此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：
第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;
第三步，用辗转相除法解不定方程.
例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解.
解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解.
用辗转相除法求特解:
18433,413337,33237107+?=+?=+?=
从最后一个式子向上逆推得到
19107)26(37=?+-?
所以
25)259(107)2526(37=??+?-?
则特解为
???=?=-=?-=22525965025260
0y x 通解为
Z t t t y t t x ∈???++=+=+--=--=,)
6(37337225)6(1078107650
或改写为
.,3731078Z t t y t x ∈?
??+=--= (3)不等式估值法
先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.
例3 求方程1111=++z
y x 适合z y x ≥≥的正整数解. 解 因为
z y x ≥≥
所以
z
y x 111≤≤ 所以
z
z z z y x z 1111111++≤++? 即 z
z 311≤? 所以
31≤?z
所以.32==z z 或
当2=z 时有
2111=+y x 所以
y y y x y 11111+≤+? 所以
y y 2211≤? 所以42≤?y
所以;46,43或相应地或===x y y
当3=z 时有
3211=+y x 所以
y
y y x y 11111+≤+? 所以 y y 2321≤? 所以.3;3,3==≤x y y 相应地
所以).3,3,3(),2,4,4(),2,3,6(),,(=z y x
(4)逐渐减小系数法
此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为1±的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.
例4 求不定方程2510737=+y x 的整数解.
解 因为251)107,37(=，所以原方程有整数解.
有10737?，用y 来表示x ，得 37
412313710725y y y x +-+-=-=
则令 12374,37
412=-∈=+-m y Z m y 即 由4<37,用m 来表示y ,得 49343712m m m y ++=+=
令.4,4
t m Z t m =∈=得将上述结果一一带回，得原方程的通解为 Z t t y t x ∈?
??=+--=,3731078 注①解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.若有解,可先求c by ax =+的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止.
②对于二元一次不定方程c by ax =+来说有整数解的充要条件是c b a ),(.
?
?????∈-=+=∈+=-=)(,)(,0000Z t at y y bt x x Z t at y y bt x x 或 (5)分离常数项的方法
对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.
例5 求不定方程14353=+y x 的整数解.
解 原方程等价于
0)28(5)1(331405314353=-+-?+=+?=+y x y x y x
因为
()15,3=
所以
?
??∈=-=-Z t t y t x ,32851 所以原方程的通解为.,32851Z t t y t x ∈?
??+=-= (6)奇偶性分析法
从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用n 2或)(12Z n n ∈+代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.
例6 求方程32822=+y x 的正整数解.
解 显然y x ≠,不妨设
0??y x
因为328是偶数，所以x 、y 的奇偶性相同，从而y x ±是偶数.
令
112,2v y x u y x =-=+
则1u 、.0,111??∈v u Z v 且
所以
1111,v u y v u x -=+=
代入原方程得
1642121=+v u
同理，令
2211211(2,2u v v u u v u =-=+、)0,222??∈v u Z v 且
于是，有
822222=+v u
再令
3223222,2v v u u v u =-=+
得
412323=+v u
此时，3u 、3v 必有一奇一偶，且 []
641033=≤??u v
取,5,4,3,2,13=v 得相应的
16,25,32,37,4023=u
所以，只能是.4,533==v u
从而
2,18==y x
结合方程的对称性知方程有两组解()().18,2,2,18
(7)换元法
利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解的目的.
例7 求方程7
111=+y x 的正整数解. 解 显见，.7,7??y x 为此，可设,7,7n y m x +=+=其中m 、n 为正整数. 所以原方程7
111=+y x 可化为
717171=+++n m 整理得
()()()().49,777777=++=+++mn n m n m 即
所以
49,1;7,7;1,49332211======n m n m n m
相应地
56,8;14,14;8,56332211======y x y x y x
所以方程正整数解为()()().56,8,14,14,8,56
(8)构造法
构造法是一种有效的解题方法，并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要的意义，成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种体现，也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映.构造体现的是一种转化策略，在处理不定方程问题时可根据题设的特点，构造出符合要求的特解或者构造一个求解的递推式等.
例8 已知三整数a 、b 、c 之和为13且b
c a b =，求a 的最大值和最小值，并求出此
时相应的b 与c 的值.
解 由题意得???==++ac
b c b a 213，消去b 得()ac c a =--213 整理得到关于c 的一元二次方程
()().013262
2=-+-+a c a c 因为
()().3520,01342622≤≤≥---=?a a a 解得
因,0≠a
若,916,014425,12===+-=c c c c a 或解得则有符合题意，此时
;9311641?????===?????=-==c b a c b a 或
若17=a 时，则有,01692=+-c c 无实数解，故;17≠a
若16=a 时，则有,09102=+-c c 解得,91==c c 或符合题意，此时
;912161416??
???=-==?????=-==c b a c b a 或
综上所述，a 的最大值和最小值分别为16和1，相应的b 与c 的值分别为
.9
316491214???==???=-=???=-=???=-=c b c b c b c b 或和或 (9)配方法
把一个式子写成完全平方或完全平方之和的形式，这种方法叫做配方法.配方法是式子恒等变形的重要手段之一，是解决不少数学问题的一个重要方法.在初中阶段，我们已经学过用配方法解一元二次方程，用配方法推到一元二次方程的求根公式，用配方法把二次函数化为标准形式等等，是数学中很常用的方法.
例9 若.,24
522的值求x y y x y x y x ++=++ 解 由题意 04
5222=+-+-y y x x 即
()02112
2=??? ??-+-y x 所以
2
1,1=
=y x 所以23211=+=+x y y x (10)韦达定理
韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，广泛应用于初等代数、三角函数及解析几何中，应用此法解题时，先根据已知条件或结论，再通过恒等变形或换元等方法，构造出形如b a +、b a ?形式的式子，最后用韦达定理.
例10 已知p 、q 都是质数，且使得关于x 的二次方程()051082=+--pq x q p x 至少有一个正整数根，求所有的质数对().,q p
解 设方程的两根分别为1x 、(),212x x x ≤
由根与系数关系得
???=?-=+pq x x q p x x 51082
121 因为p 、q 都是质数，且方程的一根为正整数，可知方程的另一根也是正整数. 所以
???==p q p q pq pq x q p q p x ,,5,5,,55,5,,,5,12
1 所以.5,5,5,1521q p p q pq pq x x ++++=+
①当1521+=+pq x x 时，即,10815q p pq -=+因为p 、q 均是质数，所以
,1081015q p p pq -??+故此时无解.
②当5521+=+pq x x 时，即,1085q p pq -=+所以()(),85810-=-?+q p 因为p 、q 都是质数，且,810-?+q p 所以
,1,5885,1710?
??--=-=+q p 解得符合条件的质数对为()().3,7,=q p
③当p q x x +=+521时，即,1085q p p q -=+所以,157q p =满足条件的质数对. ④当q p x x +=+521时，即,1085q p q p -=+所以,113q p =于是
()()()().3,11,3,7,==q p q p 或
综上所述，满足条件的质数对为()()()().3,11,3,7,==q p q p 或
(11)整除性分析法
用整除性解决问题，要求学生对数的整除性有比较到位的把握.
例11 在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线
k kx y x y +=-=或3的交点为整数时，k 的值可以取()
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
解 当1=k 时，直线13+=-=x y x y 与平行，所以两直线没有交点;
当0=k 时，直线()轴即与x y x y 03=-=交点为整数;
当1≠k 、0≠k 时，直线k kx y x y +=-=与3的交点为方程组???+=-=k
kx y x y 3的解，解得 ??
???--=---=1413k k y k k x 因为x 、y 均为整数,
所以1-k 只能取4,2,1±±±
解得
.3,5,1,3,0,2-=k
综上，答案为C.
(12)利用求根公式
在解不定方程时，若因数分解法、约数分析均不能奏效，我们不妨将其中一个未知数看成参数，然后利用一元二次方程的求根公式去讨论.
例12 已知k 为整数，若关于x 的二次方程()01322=+++x k kx 有有理根，求k 值. 解 因为0≠k ，所以()01322=+++x k kx 的根为
()()(),2522322984322
2k k k k k k k x ++±+-=++±+-= 由原方程的根是有理根，所以()5222
++k 必是完全平方式. 可设(),52222m k =++则(),5222
2=+-k m 即 ()(),512222?=--++k m k m
因为m 、k 均是整数,所以
???=--=++522122k m k m , ?
??=--=++122522k m k m ???-=---=++112522k m k m , ?
??-=---=++522122k m k m 解得,02或-=k 因为,0≠k 所以k 的值是-2.
(13)判别式法
一元二次方程根的判别式是中学阶段重要的基础知识，也是一种广泛应用的数学解题方法.该法根据一元二次方程的判别式ac b 42-=?的值来判定方程是否有实数根，再结合根与系数的关系判定根的正负.熟练掌握该法，不仅可以巩固基础知识，还可以提高解题能力和基础知识的综合运用能力.
例13 求方程4
31112=++xy y x 的整数解. 解 已知方程可化为
()044342=-+-xy y x
因为x 、y 均为整数，所以
,06448162≥+-=?x x 且为完全平方数.
于是，令
(),46448162
2n x x =+-其中n 为正整数 所以
()04322=-+-n x x
因为x 、n 均为整数
所以
(),04492≥--=?n 且为完全平方数，
即有，742-n 为完全平方数.
于是，再令
,7422m n =-其中m 为正整数
所以
()()722=-+m n m n
因为m n m n -+22与奇偶性相同，且m n m n -?+22
所以
12,72=-=+m n m n
由上.2=n
相应的,032=-x x 解得()303===x x x ，所以舍去或
把3=x 代入已知方程中得(),522舍去或=
=y y 所以2=y 所以()()2,3,=y x
(14)因式分解法
因式分解也是中学阶段重要的基础知识之一.它应用广泛,在多项式简化、计算、方程求根等问题中都有涉及.因式分解比较复杂，再解题时，根据所给题目的特点，灵活运用，将方程分解成若干个方程组来求解.这种方法的目的是增加方程的个数，这样就有可能消去某些未知数，或确定未知数的质因数，进而求出其解.利用因式分解法求不定方程()0≠=+abc cxy by ax 整数解的基本思路:将()0≠=+abc cxy by ax 转化为()()ab b cy a x =--后,若ab 可分解为,11Z b a b a ab i i ∈=== 则解的一般形式为
,??
???+=+=c b b y c a a x i
i 再取舍得其整数解. 例14 方程a b a ,4
132=-、b 都是正整数，求该方程的正整数解. 解 已知方程可化为
ab a b =-128
所以
()()9696812-=+-+b a ab
即
()()96128-=+-b a
因为a 、b 都是正整数
所以
1212,0?+?b b
这样
964832241612或或或或=+b
所以
4=b 或12或20或36或84
相应地
2=a 或4或5或6或7
所以方程的正整数解为:()()()()().84,7,36,6,20,5,12,4,4,2
4小结
本文只针对不定方程整数解问题做一个初步的探索，归纳提炼出一些解这类题的常规方法和技巧，对解不定方程具有一定的指导意义;并且，还根据自己的积累，总结，发掘出一些新的方法，技巧，具有创新和学习的意义.
不定方程（组）在人们的实际生活中有一定的现实意义和应用价值.正确解决这类问题的关键,是在把实际问题转化为数学问题后,依据问题中的条件，特别注意挖掘隐含的条件，使理论化与实际化相结合，灵活运用所学的数学知识，从而讨论出符合题意的解.本文对解决这类问题的方法做以总结，在解决实际问题时，应具体问题具体分析，灵活选用方法技巧，这对于学生的思维能力、分析问题、解决问题的能力的提高有很大的帮助.
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谢辞
经过一点时间的查找资料、整理资料、写作论文，今天，我的论文已接近尾声，这也意味着我的大学生活即将拉上帷幕，此时此刻真的让我感慨万分.
论文撰写过程的每一个细节都影响着整篇论文的质量，稍一疏忽变出差错，这使我联想到我们的做人处事又何尝不是如此，每一个标点符号对我的考验是千真万确的事,标点符号竟然有着如此重要的地位，我想标点符号大概与我们在日常生活中的每一个细节的决定、每一次不经意的言谈举止一样吧！虽然非常细微却同样举足轻重.
当然，在这将要完结的时刻，我将送上我真诚的感谢.
首先，我要感谢我的论文指导老师—高丽老师.从初稿的批阅到最后的完成自然都离不开高老师的悉心指导，大体上论文撰写过程中高老师的指导模式是这样的：学生写好—高老师逐一批改—高老师进行当面指导—学生改写一次高老师再批注、再指导，如此不厌其烦的进行指导.在这里我要感谢高老师的随和、平易近人带给我很多心灵上的启迪，我想这是我大学里最后的有意义的一课.我想多少年之后我依然会清晰地记着高老师的和蔼可亲.
其次，我要感谢我的同学，你们不但给了我很多宝贵的意见，有时候会亲自帮我修改论文.尤其是在大家时间都这么紧的情况下，竟然有同学花费整天的时间帮助我，在这里，我想表达我的感谢.谢谢！非常感谢！
除过这些良师益友，最后我要感谢那些学识渊博并愿意把他所拥有的知识发表于书刊、网站的编写者们，让我有机会了解那么多知识，让我在论文中有了自己的想法和研究，谢谢你们的启迪.
再次送上我诚挚的感谢!
实用标准文档 求不定方程整数解的常用方法 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括： (1)分离整数法 此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解. 例1 求不定方程02 5=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 2 31232223225++=++++=+++=++=x x x x x x x x y 因为y 是整数，所以2 3+x 也是整数. 由此 x+2=1，-1，3，-3，即 x=-1，-3，1，-5， 相应的.0,2,0,4=y 所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0). (2)辗转相除法 此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下： 第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论; 第三步，用辗转相除法解不定方程. 例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解. 解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解. 用辗转相除法求特解: 18433,413337,33237107+?=+?=+?= 从最后一个式子向上逆推得到 19107)26(37=?+-?
一次不定方程及方程的整数解问题-1
一次不定方程（组）及方程的整数解问题 【写在前面】 不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决. 【本讲重点】 求一次不定方程（组）的整数解 【知识梳理】 不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定. 重要定理： 设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有： 定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解； 定理2 若),(0 y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为 特解），则?? ?-=+=at y y bt x x 00 ,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）. 定理3 若),(0 y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解， 则),(0 cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.
求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤： （1） 判断有无整数解； （2） 求出一个特解； （3） 写出通解； （4） 有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入 命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解. 解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法： （1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法； （5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式. 【学法指导】 【例1】求下列不定方程的整数解（1）862=+y x ； （2）13 105=+y x . 【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解. 【解答】（1）原方程变形为：43=+y x ， 观察得到? ? ?==1 , 1y x 是4 3=+y x 的一组整数解（特解），
.. . … 求不定方程整数解的常用方法 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括： (1)分离整数法 此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解. 例1 求不定方程02 5=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 2 31232223225++=++++=+++=++= x x x x x x x x y 因为y 是整数，所以23+x 也是整数. 由此 x+2=1，-1，3，-3，即 x=-1，-3，1，-5， 相应的.0,2,0,4=y 所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).
(2)辗转相除法 此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下： 第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的围，就是利用限定条件将未知数限定在某一围，便于下一步讨论; 第三步，用辗转相除法解不定方程. 例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解. 解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解. 用辗转相除法求特解: 18433,413337,33237107+?=+?=+?= 从最后一个式子向上逆推得到 19107)26(37=?+-? 所以 25)259(107)2526(37=??+?-? 则特解为 ???=?=-=?-=225 259650252600y x 通解为 Z t t t y t t x ∈? ??++=+=+--=--=,)6(37337225)6(1078107650 或改写为 .,3731078Z t t y t x ∈? ??+=--=
不定方程及不定方程组集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
第二十七讲 不定方程、方程组 不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组)，其特点是解往往有无穷多个，不能惟一确定． 对于不定方程(组)，我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定． 二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有： 设d c b a 、、、为整数，则不定方程c by ax =+有如下两个重要命题： (1)若(a ，b)=d ，且d 卜c ，则不定方程c by ax =+没有整数解； (2)若00y x ，是方程c by ax =+且(a ，b)=1的一组整数解(称特解)，则为整数） t at y y bt x x (00???-=+=是方程的全部整数解(称通解)． 解不定方程(组)，没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程(组)的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法；奇数偶数，整数的整除性、分离整系数、因数分解。配方利用非负数性质、穷举，乘法公式，不等式分析等． 举例 【例1】 正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6，则m 的最大值为 ． (新加坡数学竞赛题) 思路点拔 把m 用含n 的代数式表示，并分离其整数部分(简称分离整系数法)．再结合整除的知识，求出m 的最大值． 注：求整系数不定方程c by ax =+的整数解。通常有以下几个步骤： （1）判断有无整数解；(2)求一个特解；(3)写出通解；(4)由整数t 同时要满足的条件(不等式组)，代入(2)中的表达式，写出不定方程的正整数解． 分离整系数法解题的关键是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示，结合整除的知识讨论． 【例2】 如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( )． A ．32千米 B ．37千米 C ．55千米 D ．90千米 (河南省竞赛题) 思路点拨 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为3+4x 、10十9y(x ，y 为自然数)，问题转化为求不定方程3+4x=0+9y 的正整数解． 【例3】 (1)求方程15x+52y=6的所有整数解． (2)求方程x+y ＝x 2一xy+y 2的整数解． (莫斯科数学奥林匹克试题) (3)求方程 6 5 111=++z y x 的正整数解． (“希望杯”邀请赛试题)
求不定方程整数解 有三对夫妻一同上商店买东西.男的分别姓孙、姓陈、姓金，女的分别姓李、?姓赵、姓尹。他们每人只买一种商品，并且每人所买商品的件数正好等于那种商品的单价(元数).现在知道每一个丈夫都比他的妻子多花63元,并且孙先生所买的商品比赵女士多23件,金先生所买的商品比李女士多11件,问孙先生、陈先生、金先生的爱人各是谁？ 例1．若b a ,都是正整数，且2001500143=+b a ，求b a +的值．(2001年北京市初中数学竞赛) 例２ 设m 为正整数，且方程组? ??-==+17001113mx y y x ()()21 有整数解，求m 的值。（“希望杯”数学竞赛试题） 例３ 已知自然数y x ,满足789=+y x ，求y x +的值．（五羊杯数学竞赛试题） 【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有 个． 思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确． 注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论． 【例2】 已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么 b a a b +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨 由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、 c 的值． 【例4】 当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由． 思路点拨 整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数． 设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性． 注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件． 【例5】 若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．
求曲线方程的几种常用方法 求曲线的方程，是学习解析几何的基础，求曲线的方程常用的方法主要有： 1．直接法：就是课本中主要介绍的方法。若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为（,x y ）后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y 的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。 例1：在直角△ABC 中，斜边是定长2a (0)a >，求直角顶点C 的轨迹方程。 解法一：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB 所在的直线为x 轴，AB 的有中点O 为坐标原点，过O 与AB 垂直的直线为y 轴(如图)．则A (,0)a -，B (,0)a 。 设动点C 为(,)x y ， ∵222||||||AC BC AB +=， ∴2 224a +=， 即222x y a +=． 由于C 点到达A 、B 位置时直角三角形ABC 不存在，轨迹中应除去A 、B 两点， 故所求方程为222x y a +=（x a ≠±）。 解法二：如解法一建立直角坐标系，设A (,0)a -，B (,0)a ，C (,)x y ∵1AC BC k k =-， （1） ∴1y y x a x a =-+- ， （2） 化简得：222 x y a += ， （3） 由于在x a ≠±时方程（2）与（3）不等价，故所求轨迹方程为222x y a +=（x a ≠±）。 解法三：如解法一建立直角坐标系，设A (,0)a -，B (,0)a ，且设动点C (,)x y 。 ∵1||||2 CO AB =， a =，即222x y a +=。 轨迹中应除去A 、B 两点(理由同解法一)，故所求轨迹方程为222x y a +=（x a ≠±）。 说明：利用这种方法求曲线方程的一般方法步骤：
丢番图方程 丢番图方程又名不定方程、整系数多项式方程，是变量仅容许是整数的多项式等式；即形式如，其中所有的a j、b j和c 均是整数，若其中能找到一组整数解m1,m2...m n者则称之有整数解。 丢番图问题有数条等式，其数目比未知数的数目少；丢番图问题要求找出对所有等式都成立的整数组合。对丢番图问题的数学研究称为丢番图分析。 3世纪希腊数学家亚历山大城的丢番图曾对这些方程进行研究。 丢番图方程的例子有贝祖等式、勾股定理的整数解、四平方和定理和费马最后定理等。 一次不定方程 一次不定方程是形式如a1x1 + a2x2 + ... + a n x n = c的方程，一次不定方程有整数解的充要条件为： (a1,...,a n)须是c的因子，其中(a1,...,a n)表示a1,...,a n 的最大公因子。 若有二元一次不定方程ax+ by= c，且(a,b) | c，则其必有一组整数解x1,y1，并且还有以下关系式： ?x = x1 + [b / (a,b)]t ?y = y1? [a / (a,b)]t t为任意整数，故此一次不定方程有无限多解。请参见贝祖等式。 丢番图分析 经典问题 ?有解答吗？ ?除了一些显然易见的解答外，还有哪些解答？ ?解答的数目是有限还是无限？ ?理论上，所有解答是否都能找到？ ?实际上能否计算出所有解答？ 希尔伯特第十问题
1900年，希尔伯特提出丢番图问题的可解答性为他的23个问题中的第10题。1970年，一个数理逻辑的结果马蒂雅谢维奇定理（Matiyasevich's theorem）说明：一般来说，丢番图问题都是不可解的。更精确的说法是，不可能存在一个算法能够判定任何丢番图方程式否有解，甚至，在任何兼容于 Peano 算数的系统当中，都能具体构造出一个丢番图方程，使得没有任何办法可以判断它是否有解。 现代研究 ?丢番图集是递归可枚举集。 ?常用的方法有无穷递降法和哈赛原理。 ?丢番图逼近研究了变量为整数，但系数可为无理数的不等式。
基本介绍编辑本段 不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。 古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。 2发展历史编辑本段 不定方程是数论中最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。 研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，
公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。 3常见类型编辑本段 ⑴求不定方程的解； ⑵判定不定方程是否有解； ⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。 4方程相关编辑本段 4.1一次不定方程 二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。其中 a，b，c 是整数，ab ≠ 0。此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c。若a、b互质，即它们的最大公约数为1，（x0，y0）是所给方程的一个解，则此方程的解可表为{(x=x0-bt，y=y0+at）|t为任意整数}。 S（?2）元一次不定方程的一般形式为a1x1+a2x2+…+asxs=n0a1，…，as，n为整数，且a1…as≠0。此方程有整数解的充分必要条件是a1，…，as的最大公约数整除n。 埃拉托塞尼筛法产生的素数普遍公式是一次不定方程公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法： 一“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。 二后来人们将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1 求曲线方程的常用方法 1． 直接法——若动点的运动规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确易于表 达，则可根据已知（或可求）的等量关系直接列出方程的方法。 2． 定义法——利用二次曲线的定义求轨迹方程。 （1） 若平面上的动点P(x,y)满足条件：11||||PF PF +=定长2a ，且122||a F F >(F 1F 2 为定点)，那么P 点的轨迹为以F 1、F 2为焦点的椭圆。故只须选择恰当的坐标系， 就可直接写出椭圆的方程。 （2） 若平面上的动点P(x,y)满足条件：11||||||PF PF -=定长2a ，且122||a F F <(F 1F 2 为定点)，那么P 点的轨迹为以F 1、F 2为焦点的双曲线。当122||a F F =时，P 点的轨迹为射线；如果不含绝对值，那么轨迹是一支双曲线或一条射线。故只 须选择恰当的坐标系，依双曲线的定义，就可直接写出椭圆的方程。 3． 代入法（或称相关点法）——有时动点P 所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点 P ’的运动而运动，称之为相关点，若相关点P ’满足的条件简单、明确（或P ’的轨迹方程已知），就可以用动点P 的坐标表示出相关点P ’的坐标，再用条件把相关满足的轨迹方程表示出来（或将相关点坐标代入已知轨迹方程）就可得所求动点的轨迹方程的方法。 4． 几何法——利用平面几何的有关知识找出所求动点满足的几何条件，并写出其方程的方 法。 5． 参数法——有时很难直接找出动点的横纵坐标间的关系，可选择一个（有时已给出）与 所求动点的坐标x,y 都相关的参数，并用这个参数把x,y 表示出来，然后再消去参数的方法。 如：遇求两动直线的交点的轨迹方程问题，可适当引进参数（如斜率、截距等），写出两动直线的方程，然后消去参数就得到所求的两动直线的交点的轨迹方程，这种方法又称交轨法，其关键有二：一是选参，要容易写出动直线的方程；二是消参，消参的途径灵活多变，有时分别从两个方程中解出参数，再消参；有时分别解出x,y ，再消参；有时直接或适当变形后，通过加、减、乘、除，求平方和，求平方差等方法整体消参。 5．定义法—— 注意点：求动点轨迹方程在掌握一般步骤的基础上还要注意以下两点，一选建适当的坐标系，以简化运算；二是要注意曲线图形的范围，即根据条件限定方程中变量x,y 的取值范围，将方程中不适合题意的解去掉。 思路方法技巧： 1．“直接法”求动点的轨迹方程 例1． 在正三角形ABC 内有一动点P ，已知P 到三个顶点的距离分别为|PA|、|PB|、|PC| 且满足22||||||P A P B P C =+，求动点P 的轨迹方程。 222()4(0(2)x y a y +=<≤ 例2． 互相垂直的两条直线1l 、2l 的交点为P(a,b)，长为2r 的线段MN 的两端点分别在1l 、 2l 上滑动，求线段MN 的中点Q 的轨迹。 （|PQ|=1/2|MN|222()()x a y b r -+-=） 例3． 已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一个点到A(0,2) 的距离减去它到x 轴的 求不定方程整数解的常用方法 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括： (1)分离整数法 此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解. 例1求不定方程02 5=-++y x x 的整数解 解已知方程可化为 因为y 是整数，所以2 3+x 也是整数. 由此 x+2=1，-1，3，-3，即 x=-1，-3，1，-5， 相应的.0,2,0,4=y 所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0). (2)辗转相除法 此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下： 第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论; 第三步，用辗转相除法解不定方程. 例2求不定方程2510737=+y x 的整数解. 解因为251)107,37(=,所以原方程有整数解. 用辗转相除法求特解: 从最后一个式子向上逆推得到 所以 则特解为 通解为 或改写为 (3)不等式估值法 先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围. 小学奥数五年级下册数学专项训练：不定方程的整数解小学奥数五年级下册数学专项训练：不定方程的整数解 小学奥数五年级下册数学专项训练：不定方程的整数解 第七讲从不定方程1/n = 1/x + 1/y的整数解谈起 求不定方程的整数解.这里n是取定的一个自然数.对于方程 显见x=y=12是一个整数解.还有没有别的解？如何求解？有人凭直觉能看出一些解来，但数学要求我们有一个成熟的方法去处理同一类问题。 式更简明，我们不妨把x-6看成一个整体，即令t=x-6，那么x=t＋6.因此 必须是整数，这样我们推知：t是62的因数（约数）。 个未知数x、y的困难问题，转换成找简单的62的因子t的问题了. 一个完全平方数的因子必然是奇数个，如62有因子6、1和36，2和18，3和12，4和9.6称为自补的因子.后面的2和18等都称为互补因子，这样，不妨记为： t0=6，t1＝1，t1′=36；t2=2，t2′=18；t3=3，t3′=12；t4=4， 这里t和t′是62=36的互补因子（当t＝t′＝6时自补因子也包括在内），所以 成一种了。 以上情况推广到一般情况：求不定方程 的整数解，只要找出n2的全部成组互补因子t和t′，则 就可得到全部解。 例如，求不定方程： （即n＝12）的整数解，首先分解122＝（22·3）2＝24·32，它的因子根据分解式的结构特点可以排成一个表。 按照互补或自补因子配对有：（1，144），（2，72），（3，48），（4，36），（6，24），（8，18），（16，9），（12，12）。 “单位分数”（分子为1分母为整数）的和，那么我们相当于求： 的整数解，例如求解 在这些基本训练基础上，我们很容易把整数1分拆为若干个单位分数之和。 求不定方程整数解的常用方法 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括： (1)分离整数法 此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解. 例1 求不定方程02 5=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 2 31232223225++=++++=+++=++=x x x x x x x x y 因为y 是整数，所以2 3+x 也是整数. 由此 x+2=1，-1，3，-3，即 x=-1，-3，1，-5， 相应的.0,2,0,4=y 所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0). (2)辗转相除法 此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下： 第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论; 第三步，用辗转相除法解不定方程. 例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解. 解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解. 用辗转相除法求特解: 18433,413337,33237107+?=+?=+?= 从最后一个式子向上逆推得到 19107)26(37=?+-? 一次不定方程（组）及方程的整数解问题 【写在前面】 不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决. 【本讲重点】 求一次不定方程（组）的整数解 【知识梳理】 不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定. 重要定理： 设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有： 定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解； 定理2 若),(00y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则?? ?-=+=at y y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）. 定理3 若),(00y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，则),(00cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）. 求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤： （1） 判断有无整数解； （2） 求出一个特解； （3） 写出通解； （4） 有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解. 解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法： （1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法； （5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式. 求轨迹方程的常用方法： 题型一 直接法 此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件)}(|{M P M 直接翻译成y x ,的形式0),(=y x f ，然后进行等价变换，化简0),(=y x f ，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外（纯粹性）；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。 例1 过点)3,2(A 任作互相垂直的两直线AM 和AN ，分别交y x ,轴于点N M ,，求线段MN 中点P 的轨迹方程。 解：设P 点坐标为),(y x P ，由中点坐标公式及N M ,在轴上得)2,0(y M ，)0,2(x N ),(R y x ∈ ∴12 0322230-=--?--y x )1(≠x ，化简得01364=-+y x )1(≠x 当1=x 时，)3,0(M ，)0,2(N ，此时MN 的中点)2 3,1(P 它也满足方程01364=-+y x ，所以中点P 的轨迹方程为01364=-+y x 。 变式1 已知动点(,)M x y 到直线:4l x =的距离是它到点(1,0)N 的距离的2倍。 （1） 求动点M 的轨迹C 的方程； （2） 过点(0,3)P 的直线m 与轨迹C 交于,A B 两点。若A 是PB 的中点，求直线m 的斜 率。 题型二 定义法 圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。 例2 动圆M 过定点)0,4(-P ，且与圆08:2 2=-+x y x C 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。 解：根据题意4||||||=-MP MC ，说明点M 到定点P C 、的距离之差的绝对值为定值，故点M 的轨迹是双曲线。 ∴2=a ，4=c 故动圆圆心M 的轨迹方程为112 42 2=-y x 变式2 在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39， 求ABC △的重心的轨迹方程． 求不定方程整数解的方法浅析 摘要： 第一章：引言 所谓不定方程，是指未知数的个数多于独立方程式的个数的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解抑或是其全部整数解都是相当困难的，有时甚至是不可能的或不现实的.然而，在现实生活中，特别是一些具体的生活实例中，它的应用又是非常的广泛的；另外，不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分体现，每年世界各地的数学竞赛中，不定方程问题都占有一席之地；它也是培养和考查学生数学思维的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求选手对初等数论的一般理论、方法要有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决相关问题.数千年来，不定方程问题一直是一些数学家甚至草根阶级的数学爱好者研究的热点问题，仿佛它是一块资源丰富的土地，每个人都能有希望在这占有自己的一席之地.也正是由于它具有这样一个特点，不定方程的类型，以及解各类不定方程的各种方法层出不穷，求解各类不定方程也几乎毫无固定章法可循，而本文，只针对于不定方程整数解问题做一个初步的探索，归纳提炼出一些解这类题的常规方法和技巧，对解不定方程具有一定的指导意义；并且着重针对中学数学竞赛中的不定方程整数解问题进行分析，研究其方法，思想，具有一定的教学意义；另外，还根据自己的积累，总结，发掘出一些新的方法，技巧，具有创新和学习的意义. 第二章：解决某些不规则类不定方程的常规思想方法 1、不等式分析法 其一般操作步骤： ①想办法通过构造不等式求出其中某个（某些）变量的范围； ②根据该变量的范围求出该变量的整数解； ③分情况讨论该变量分别取某个整数解时其他变量的取值. 常见的构造不等式的技巧： ①注意题中的隐含条件，常见的如： 1）若给出的是对称形式的不定方程，解题是可增加一个 “不妨设Λ≤≤≤z y x ”的条件. 2）若题目要求是正整数解，则有“Λ,1,1,1≥≥≥z y x ” 若要求是相异的正整数，则有“Λ,3,2,1≥≥≥z y x ” ②利用基本不等式求变元范围，常见的如“()xy y x 42≥+” ③分离变量：可将某个变量分离出来，并通过该变量的范围求 其他变量的范围. ④可利用二次方程有整数解的条件，即“0≥?”，或更强点的 “? 为完全平方数”. 常规应用： ①一般在某些对称式中能用到此方法进行放缩估值； ②在具体的限制某个（或某些）变量的范围时，可分离变量利 用此方法对其他变量进行估值； ③对于方程“02=++w vx ux （其中u,v,w 是常数或者是含其他变 圆的切点弦方程的解法探究 在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。 一、预备知识： 1、在标准方程 2 22)()r b y a x =-+-（下过圆上一点),00y x P （的切线方程为： 200))(())r b y b y a x a x =--+--（（ ； 在一般方程02 2 =++++F Ey Dx y x （042 2>-+F E D ） 下过圆上 一点),00y x P （的切线方程为： 02 20 000=++++++F y y E x x D yy xx 。 2、两相交圆01112 2=++++F y E x D y x （0412 12 1>-+F E D ）与 022222=++++F y E x D y x （0422 22 2>-+F E D ） 的公共弦所在的直线方程为：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 。 3、过圆02 2 =++++F Ey Dx y x （042 2>-+F E D ）外一点 ),11y x P （作圆的切线，其切线长公式为：F Ey Dx y x PA ++++=112121||。 4、过圆02 2 =++++F Ey Dx y x （042 2>-+F E D ）外一点 ),11y x P （作圆的切线，切点弦AB 所在直线的方程为：211))(())r b y b y a x a x =--+--（（（在圆的标准方程下的形式）； 02 21 111=++++++F y y E x x D yy xx （在圆的一般方程下的形式） 。 二、题目 已知圆04422 2=---+y x y x 外一点P （-4，-1），过点P 作圆 的切线PA 、PB ，求过切点A 、B 的直线方程。 三、解法 解法一：用判别式法求切线的斜率 如图示1，设要求的切线的斜率为k （当切线的斜率存在时），那么过点P （-4，-1）的切线方 程为：)]4([)1(--=--x k y 即 014=-+-k y kx 由 ? ??=---+=-+-04420 142 2y x y x k y kx 消去y 并整理得 0)12416()268()1(2222=+-+--++k k x k k x k ① 令 0)12416)(1(4)268(2 2 2 2 =+-+---=?k k k k k ② 解②得 0=k 或8 15 = k 上海市中学生数学业余学校讲义 第十二讲 不定方程的整数解 【例题】 例1、求方程5x －9y =18整数解的通解. 例2、求方程90226=+y x 非负整数解. 例3、求方程213197=+y x 的所有正整数解.（练习：求方程2510737=+y x 的整数解） 例4、将所有分母不大于99的最简分数从小到大排列，求与 7617相邻且排在76 17之前的一个数. 例5、求方程 162852100=++z y x 的整数解. 例6、某校举行数学竞赛，优胜者分一、二、三等奖三种，奖品为数学课外读物。如果一等奖每人奖5本，二等奖每人奖3本，三等奖每人奖2本，就共奖了34本。如果一等奖每人奖6本，二等奖每人奖4本，三等奖每人奖1本，就共奖了28本，求获得各奖的人数. 例7、求不定方程2196313029=++c b a 正整数解的组数. 【练习】 1、下列方程中没有整数解的是哪几个？答： （填编号） ① 4x ＋2y =11, ②10x -5y =70, ③9x +3y =111, ④18x -9y =98, ⑤91x -13y =169, ⑥120x +121y =324. 2、求方程5x +6y =100的正整数解. 3、甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？ 4、一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小军同学得48分，他最多答对几道题？ （答案：最多答对12题） 5、第五世纪末，我国古代数学家张丘建在他编写的《算经》里提出了一个世界数学史上有名的“百鸡问题”. （答案：?? ???===75250z y x 或 ?????===78184z y x 或 ?????===81118z y x 或 ?? ???===84412z y x ） 圆的方程 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程. 2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 【要点梳理】 【高清课堂：圆的方程370891 知识要点】 要点一：圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径. 要点诠释： (1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是2 2 2 x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时： ||||a b r ==；过原点：222a b r += (2)圆的标准方程2 2 2 ()()x a y b r -+-=?圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 要点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为2 2 2 ()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有 (1)若点()00M x y ，在圆上()()2 2 200||CM r x a y b r ?=?-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()2 2 200||CM r x a y b r ?>?-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()2 2 200||CM r x a y b r ?时，方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ?? - - ?? ?为圆心， 为半径. 要点诠释： 由方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=得22 224224D E D E F x y +-? ???+++= ? ?? ??? (1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =- =-.它表示一个点(,)22 D E --. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 丢番图和不定方程 ——兼谈中国人在这方面的工作 丢番图的工作 埃及尼罗河的出海口有一个大港叫亚历山大城，它是以希腊大帝亚历山大的名字命名。在两千年前这里曾是地中海文化的一个中心。 亚历山大大帝在公元前330年建立这城市，在公元前323年他去世之后，托勒米（Ptalamy）成为埃及的统治者。他选择这里为他的帝国的国都，并且模仿雅典的吕克昂学院在这里建立了一个博物院（Museum），世界各国的学者被邀请到这里来研究教导。 英国科学史家法灵顿（B．Farrington 1891—1974）在他的书《希腊人的科书》这么描写：“在埃及首都形成这个科学和艺术新中人的心里，存在一种美国式的豪华。” 编写著名的《几何原本》的欧几里得（Euclid）是博物院的第一个希腊数学教授。 在公元250年前后有一位希腊数学家丢番图（Dioplantos公元214－218年）住在亚历山大城里，他作为一个数学教员编写了一部叫《算术》（Arithmetica）的教科书。 这书总共有13卷，可惜在10世纪时只剩下6卷，其余7卷遗失了。在15世纪这书的希腊文手抄本在意大利的威尼斯发现于是广被人注意，以后又有法国数学家巴歇的希腊—拉丁文对照本，以后还有英、德、俄等国的译本，这是一本如《几何原本》般在数学上影响很大的书。 这本书基本上是代数书，有人称他为“代数学之父”，他书中采用符号，研究了一次、二次、三次方程。他是第一个引进符号入希腊数学的人。 如第一卷第27题：“两数之和是20，乘积是96，求这两数。” 第一卷第28题：“两数之和是20，平方和是208，求这两数。” 第六卷第27题：“求直角三角形的三边，已知它的面积加上斜边是一个平方数，而周长是一个立方数。” 写成现代的式子，令a，b，c是直角三角形的三边，则有： a2＋b2＝c2 a＋ b＋ c＝N3 这里就要考虑到三次方程了。 我们曾经学过一元一次方程，例如个或更多个，就变成为二元一次方程或多元一次方程，0?0? 满足上式的整数解． 这表明，满足方程的整数解有无穷组，并且在0ab >时，可选择x 为正（负）数，此时y 为相应的为负（正）数．这个结论可以通过把这组解直接代入已知方程进行证明． 由这个定理，只要能够观察出二元一次方程的一组整数解，就可以得到它的全部整数解． 例如，方程4521x y +=的一组解为41x y =??=? ，则此方程的所有整数解可表示为：4514x k y k =+??=-?． 板块一 不定方程的整数解 中考要求 不定方程及整数解 【巩固】求3710725 x y +=的整数解． 【巩固】求方程的整数解：⑴721571 x y +=；⑵103905 x y -=．【例2】求719213 x y +=的所有正整数解． 【巩固】求方程5322 x y +=的所有正整数解． 【巩固】求62290 x y +=的非负整数解． 【例3】求23734 x y z ++=的整数解． 【巩固】求92451000 x y z +-=的整数解． 【例4】求方程组 57952 35736 x y z x y z ++= ? ? ++= ? 的正整数解． 【例5】求不定方程2()7 x y xy +=+的整数解. 【例6】求方程22 x y x xy y +=-+的整数解. 【例7】 第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程 44 23 ab bc ac bc +=?? +=? 的正整数(,,)a b c 的组数是（ ）. （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （E ）4 【例8】 （第33届美国数学竞赛题）满足方程223x y x +=的正整数对(,)x y 的个数是（ ）. （A ）0 （B ）1（C ）2（D ）无限个（E ）上述结论都不对 【例9】 求不定方程()2mn nr mr m n r ++=++的正整数解(),,m n r 的组数． 【例10】 求方程2245169x xy y -+=的整数解. 【例11】 (原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数b 和c 及素数a 满足方程222a b c +=.证明:这时有 a b <及1b c +=. 板块二 证明不定方程无整数解 【例12】 下列不定方程（组）中，没有整数解的是（ ） A.3150x y += B.9111x y -= C.23423x y y z -=??+=? D.231223x y z x y z ++=??-+=?求曲线方程的常用方法
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