一次不定方程及方程的整数解问题-1
一次不定方程（组）及方程的整数解问题
【写在前面】
不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.
【本讲重点】
求一次不定方程（组）的整数解
【知识梳理】
不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定. 重要定理：
设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有： 定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；
定理2 若),(0
y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为
特解），则??
?-=+=at
y y bt x x 00
,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.
定理3 若),(0
y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，
则),(0
cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.
求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤：
（1） 判断有无整数解； （2） 求出一个特解； （3） 写出通解；
（4） 有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入
命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解. 解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：
（1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法； （5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式.
【学法指导】
【例1】求下列不定方程的整数解（1）862=+y x ； （2）13
105=+y x .
【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解.
【解答】（1）原方程变形为：43=+y x ， 观察得到?
?
?==1
,
1y x 是4
3=+y x 的一组整数解（特解），
根据定理2 ，)(1,
31是整数t t
y t x ?
?
?-=+=是原方程的所有整数解.
（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，
∴根据定理1，原方程的无整数解.
【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.
【实践】求下列不定方程的整数解（1）211147=+y x ； （2）
11
145=-y x .
答案：（1）无整数解；（2）)(51,145是整数t t
y t x ??
?-=-= 【例2】求方程213197=+y x 的所有正整数解.
【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y 来表示x ,再将含y 的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y 不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y 0，然后再求x 0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.
【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.
由原方程可得7
5323075314210719213y
y y y y x -+
-=-+-=-=， 由此可观察出一组特解为x 0=25，y 0=2.
∴方程的通解为)(72,
1925是整数t t
y t x ?
?
?-=+=.
其中
??
?>->+0
72,01925t t ∴
???????<->7
2,1925t t ∴7
2
1925<<-t ∴0,1-=t 代入通解可得原方程的正整数解为??
?==??
?==.
2,25.
9,
6y x y x 或
【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来.
【实践】求方程2654731=+y 的正整数解. 答案： x=4,y=3.
【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.
【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.
【解答】设需要大客车x 辆，小客车y 辆，根据题意可列方程 3783654=+y x ，即2123=+y x .
又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解. 易
知?
?
?==9
,1y x 是一个特解，通解为)(99,
21是整数t t y t x ?
??-=+= 由题意可知?
?
?≥-≥+0
99,
021t t 解得.3,2,1,0=t 相应地
??
?==???==???==???==.
0,7.3,5.6,3.9,1y x y x y x y x
答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客
车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车. 【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.
【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？ 答案：7
【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日.
【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].
【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y. 根据题意可列方程 31x+12y=347.
〈
方法一〉
〈方法二〉 特
解：
)(3116125165是整数通解：t t y t
x y x ?
??-=+=???== )
31347(|123134712x x
y -∴-=
16
55
0125121121)
(512)12(mod 711)12(mod 31347===∴=∴≤+≤∴≤≤+=∴≡∴≡∴y x x t t x t t x x x 代入原方程得：把是整数
答：此人的生日为5月16日.
【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识.
【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的31，求一切这样三位数的和. 答案：432
【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为 .
【分析】把m 用含有n 的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m 的最大值.
【解答】∵698+=+mn n m ，∴n mn m 968-=-，n m n 96)8(-=-
由题意可得，n ≠8，∴8
66
9866729869896-+
=-+-=--=--=n n n n n n n m ， ∵m,n 为正整数， ∴ 当n=9时，m 有最大值为
75.
.
1650
31
31161121251311121是符合题意解解得?
??==∴=∴?
??≤-≤≤+≤∴?
??≤≤≤≤y x t t t y x
【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.
【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 . 答案：28
【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？ 【分析】分析：用x,y,z 来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：
????
?
=++=++100
100
3135z y x z y x
如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.
【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.
??
?
?
?=++=++)
2(1003135)1(100z y x z y x (2)×3－(1)得：
14x +8y =200，即7x +4y =100.
〈方法一〉)(71844.
184是整数通解：，特解：t t y t x y x ?
?
?-=+=??
?==
.
2,1,0718
1
7180440
0=∴??
?
??<->??
?>->+∴??
?>>t t t t t y x 解得