北师大版九年级数学上册课程纲要
平陌镇初级中学
?课程类型：国家课程，必修课
?设计教师：九年级数学组
?适用年级：九年级
?授课时间：48—53课时
【课程目标】
第一章证明（二）
1.了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式；
2.结合实例体会反证法的含义；
3.能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论；
4.能够用综合法证明等腰三角形的判定定理；
5.会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明问题；
6.掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理；
7.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立；
8.能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理既解决实际问题；
9.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论；
10.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形；
11.能够证明角平分线的性质定理、判定定理及相关结论；
12.能够利用尺规作已知角的平分线；
13.根据中垂线判定定理证明三角形三边中垂线共一点；根据角平分线判定定理证明三角形三内角角平分线共一点；
第二章一元二次方程
14.会用开平方法解形如(x+m)2=n (n≥0)的方程；
15.理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程；
16.体会转化的数学思想，用配方法解一元二次方程的过程；
17.利用配方法解数字系数的一般一元二次方程；
18.经历到方程解决实际，问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关
系的一个有效数学模型，培养学生数学应用的意识和能力；
19.进一步掌握用配方法解题的技能；
20.通过推导求根公式，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；
21.会用公式法解一元二次方程；
22.会用分解因式法解系数简单的一元二次方程；
23.掌握黄金分割中黄金比的来历；
24.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力；
第三章证明（三）
25.体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法；
26.能运用综合法证明平行四边形的性质定理，及其它相关结论；
27.能运用综合法证明平行四边形的判定定理；
28.能运用综合法证明矩形性质定理和判定定理；
29.能运用综合法证明菱形的性质定理和判定定理；
30.能运用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论；
第四章视图与投影
31.通过具体活动，积累数学活动经验，进一步增强学生的动手实践能力和数学思维能力，发展学生的空间观念；
32.通过学习和实践活动，激发学生对视图与投影学习的好奇心，体会数学与生活的联系；
33.通过实例能够判断简单物体的三视图，能根据三种视图描述基本几何体或实物原型，实现简单物体与其三种视图之间的相互转化；
34.会画圆柱、三棱柱、四棱柱、圆锥、球的三视图；
35.通过实例了解中心投影和平行投影的含义及其简单应用，初步进行物体与其投影之间的相互转化；
36.通过实例了解视点、视线、盲区的含义及其在生活中的应用；
第五章反比例函数
37.经历在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程，抽象出反比例函数的概念，并结合具体情境领会反比例函数作为一种数学模型的意义；
38.能画出反比例函数的图象，根据图像和解析表达式探索并理解反比例函数的主要性质；
39.逐步提高观察和归纳分析能力，体验数形结合的数学思想方法；
40.能依据已知条件确定反比例函数，领悟用函数观点解决某些实际问题的基本思路；
第六章频率与概率
41.经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力；
42.通过实验等活动，理解事件发生的频率与概率之间的关系，加深学会对概率的理解，进一步体会概率是描述随机现象的数学模型；
43.能运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率，能用试验或模拟试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率；
44.结合具体情境，初步感受统计推断的合理性，进一步体会概率与统计之间的关系。【课程内容】
第一章证明（二）
你能证明他们吗 3课时
直角三角形 2课时
线段的垂直平分线 2课时
角平分线 2课时
回顾与思考 2课时
第二章一元二次方程
花边有多宽 2课时
配方法 3课时
公式法 1课时
分解因式法 1课时
为什么是0.618 2课时
回顾与思考 1课时
第三章证明（三）
平行四边形 3课时
特殊的平行四边形 3课时
回顾与思考 2课时
第四章视图与投影
视图 2课时
太阳光与影子 1课时
灯光与影子 2课时
回顾与思考 1课时
第五章反比例函数
反比例函数 1课时
反比例函数的图象与性质 2课时
反比例函数的应用 1课时
回顾与思考 1课时
第六章频率与概率
频率与概率 3课时
投针试验 1课时
生日相同的概率 2课时
池塘里有多少条鱼 1课时
回顾与思考 1课时
【课程实施】
（一）教学方式
1.充分利用班班通资源，采用直观演示、启发讲解、师生互动交流、讲练结合等方式进行教学。
2.在教学中注重学科之间的渗透和中考考点的渗透，突出重点，重视积累、感悟、熏陶，培养数感，致力于学生数学素养的提高。
3.认真编写和利用好导学案，优化教学过程，提高课堂效率，把减负增效落到实处。
4.采用分层教学，课堂上尽可能地关注到每一个学生，多进行个别辅导，使优生提升能力，扎实打牢基础知识，对差生，一些关键知识，辅导差生过关，为差生以后的发展铺平道路。
5.教学中应注意以下几点：
（1）关注数学知识之间的联系，提高思维能力和解决问题的能力；
（2）设置丰富的问题情境，体会知识的发生与发展；
（3）恰当把握打牢基础与培养能力的关系；
（4）保证基本运算能力，避免复杂的题型训练；
（5）将观察、动手操作等实践活动贯穿于教学过程始终；
（6）注意体现研究图形问题的多种方法，关注学生处理图形问题的思维发展水平，加强相关数学内容之间的联系和综合运用。
（二）学习方式
1.利用导学案，通过自主预习、小组交流探究、班级展示、练习运用等学习方式进行学习，避免繁琐的分析、机械地练习；
2.采用多媒体（电子白板），以调动学生感观的学习方式；
3.多鼓励学生将数学知识运用到实际生活中去，学以致用；
4.关注学生尤其是后进生的学习情况和他们的学习方法。
5.引导学生归纳解题规律，进行一题多解，多解归一练习，培养学生透过现象看本质的能力及发散思维能力，提高学生举一反三的能力。
（三）实施对策
1．关注对数学知识的理解
（1）在学习求解一元二次方程方法（包括求近似解）的过程中，应使学生感受到由简到繁进行思考和处置问题的思路，领会推导过程的原理和依据，不宜只进行程序性运算训练。第2节中的“读一读”表明不排斥对其他思想方法的探索。在处理应用问题时，要留有审题和独立思考的时间，不要急于代替学生对数量关系做出分析。鼓励不同的解题思路，必要时进行交流。
（2）研究反比例函数性质时，注意提高学生从图象中获取信息和清晰表达的能力。本章后面的课题学习有一定挑战性，体现了“做数学”的活动。
（3）学习几何证明，一是形成证明思路；二是书面表达。前者应充分利用背景经验，体察其中几何证明的基本策略，必要时进行思想策略的交流和评议。“证明”是基于对问题自身和图形的分析，发现不同知识之间的内在逻辑关系，有助于形成知识结构。不是对“解题术”中所罗列的各类方法的检索和匹配。对于后者，证明的表述要严谨、縝密、简洁、规范，要经得起推敲和质问，对此，需要做相应的训练。
学习命题的拓展、引申、推广，意图是养成主动思考的习惯（如，逆命题成立吗？图形变化时结论能保持吗？极端情形呢？变换某些条件后情形怎样？考虑更一般的情形，……）。突出体现了数学思维方式。
2．教学中要准确定位，提高有效性
（1）《证明（二）》与《证明（三）》的差别不仅仅是对象的变化，由研究三角形到平行四边形。四边形中很多问题可以通过作辅助线或三角剖分（类似于拼、摆的活动），通过发现全等三角形获得解决的。要训练识别复杂图形中基本图形（或要素）之间的结构关系（如三角型中位线定理的证明）。《证明（三）》开始时不妨讨论问题：以前的探索已经知道了很多有关平行四边形的命题，其中哪些可以直接进行证明，哪些命题还需要先“补证”相关的定理，做出一个清理。有两种选择：其一是由教师按证明的逻辑顺序排列出来交给学生；另一种是让学生分析思考充分讨论，整理出证明的逻辑顺序，形成对知识体系的一种认识，这是一个知识重组的过程。不妨作为“试一试”由学生自己去完成，利于对公理化方法的解释。
（2）《频率与概率》中，有些比较复杂的问题可以计算出理论概率，当超过学生接受能力时（如“生日问题”），可以采用实物进行操作试验或用模拟试验的方法得出概率的估计值。在进行试验前一定要求每位学生明确要解决问题的数学意义，清楚解决方法的思路和原理，甚至允许对试验结果猜测其大致范围，做出预期，增强对活动全过程的关切程度，避免部分学生参与试验的盲目性。试验完成后进行反思和交流。
（四）练习（活动）安排
1. 课内练习紧紧围绕当节所学知识点，以导学案上所选练习题为主，以达到能基本运用的目的；作业采用“基本作业+弹性作业”的模式分层布置，基本作业以教材中的练习题和习题为主，要求所有学生都做。弹性作业则由备课组精选适合中上等生和尖子生的能力性题目为主。
2.数学兴趣小组活动课题：
（1）猜想、证明与拓广；（2）等积变形；（3）收集数学家的故事；
（4）切出来的双曲线；（5）小孔成像中的双曲线；（6）随机性问题
【课程评价】
（一）评价指标
1.课堂状态；
2.参与数学活动程度；
3.学习的自信心；
4.合作交流的意识；
5.数学思考的发展水平；
6.学生提问的能力；
7.解决问题的能力；；
8.分析问题的能力；
9.学生对问题实质的认识理解程度。
（二）评价方式及结果处理
在教学实施过程中，应关注以上九点内容，采用个人自评、小组评价、教师评价、家长评价相结合的方式客观公正地对学生进行评价。
1.指标按A/B/C/D四个等级评定；
2.课程测试分单元测试、期中和期末测试，按2∶3∶5以百分制纳入学期综合评价；
3.作业评定按甲/乙/丙/丁等级评定及附加文字批注。
第一章证明（二）课程纲要
平陌镇第二初级中学
?课程类型：国家课程，必修课
?设计教师：九年级数学组
?适用年级：九年级
?授课时间：11—12课时
【课程目标】
1.了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式；
2.结合实例体会反证法的含义；
3.能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论；
4.能够用综合法证明等腰三角形的判定定理；
5.会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明问题；
6.掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理；
7.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立；
8.能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理既解决实际问题；
9.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论；
10.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形；
11.能够证明角平分线的性质定理、判定定理及相关结论；
12.能够利用尺规作已知角的平分线；
13.根据中垂线判定定理证明三角形三边中垂线共一点；根据角平分线判定定理证明三角形三内角角平分线共一点；
【课程内容】
1.1 你能证明他们吗 3课时
1.2 直角三角形 2课时
1.3 线段的垂直平分线 2课时
1.4 角平分线 2课时
回顾与思考 2课时
【课程实施】
（一）教学方式
1.充分利用班班通资源，采用直观演示、启发讲解、师生互动交流、讲练结合等方式进行教学。
2.在教学中注重学科之间的渗透和中考考点的渗透，突出重点，重视积累、感悟、熏陶，培养数感，致力于学生数学素养的提高。
3.认真编写和利用好导学案，优化教学过程，提高课堂效率，把减负增效落到实处。
4.采用分层教学，课堂上尽可能地关注到每一个学生，多进行个别辅导，使优生提升能力，扎实打牢基础知识，对差生，一些关键知识，辅导差生过关，为差生以后的发展铺平道路。
5.教学中应注意以下几点：
（1）关注数学知识之间的联系，提高思维能力和解决问题的能力；
（2）设置丰富的问题情境，体会知识的发生与发展；
（3）恰当把握打牢基础与培养能力的关系；
（4）保证基本运算能力，避免复杂的题型训练；
（5）将观察、动手操作等实践活动贯穿于教学过程始终；
（6）注意体现研究图形问题的多种方法，关注学生处理图形问题的思维发展水平，加强相关数学内容之间的联系和综合运用。
（二）学习方式
1.利用导学案，通过自主预习、小组交流探究、班级展示、练习运用等学习方式进行学习，避免繁琐的分析、机械地练习；
2.采用多媒体（电子白板），以调动学生感观的学习方式；
3.多鼓励学生将数学知识运用到实际生活中去，学以致用；
4.关注学生尤其是后进生的学习情况和他们的学习方法。
5.引导学生归纳解题规律，进行一题多解，多解归一练习，培养学生透过现象看本质的能力及发散思维能力，提高学生举一反三的能力。
（三）实施对策
1．关注对数学知识的理解
学习几何证明，一是形成证明思路；二是书面表达。前者应充分利用背景经验，体察其中几何证明的基本策略，必要时进行思想策略的交流和评议。“证明”是基于对问题自身和图形的分析，发现不同知识之间的内在逻辑关系，有助于形成知识结构。不是对“解题术”中所罗列的各类方法的检索和匹配。对于后者，证明的表述要严谨、縝密、简洁、规范，要经得起推敲和质问，对此，需要做相应的训练。
学习命题的拓展、引申、推广，意图是养成主动思考的习惯（如，逆命题成立吗？图
形变化时结论能保持吗？极端情形呢？变换某些条件后情形怎样？考虑更一般的情形，……）。突出体现了数学思维方式。
2．教学中要准确定位，提高有效性
（四）练习（活动）安排
1. 课内练习紧紧围绕当节所学知识点，以导学案上所选练习题为主，以达到能基本运用的目的；作业采用“基本作业+弹性作业”的模式分层布置，基本作业以教材中的练习题和习题为主，要求所有学生都做。弹性作业则由备课组精选适合中上等生和尖子生的能力性题目为主。
2.数学兴趣小组活动课题：等积变形
【课程评价】
（一）评价指标
1.课堂状态；
2.参与数学活动程度；
3.学习的自信心；
4.合作交流的意识；
5.数学思考的发展水平；
6.学生提问的能力；
7.解决问题的能力；；
8.分析问题的能力；
9.学生对问题实质的认识理解程度。
（二）评价方式及结果处理
在教学实施过程中，应关注以上九点内容，采用个人自评、小组评价、教师评价、家长评价相结合的方式客观公正地对学生进行评价。
1.指标按A/B/C/D四个等级评定；
2.课程测试分单元测试、期中和期末测试，按2∶3∶5以百分制纳入学期综合评价；
3.作业评定按甲/乙/丙/丁等级评定及附加文字批注。
1.1你能证明它们吗（一）
编写人：钱文杰审核组长：魏艮鹏
【学习目标】
1、了解证明的基本步骤和书写格式及思路
2、掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论能够用数学的符号语言正确表达。
3、在交流探索中发现证明方法的多样性，提高自己的逻辑思维水平。
【学习重点】
了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
【学习难点】
探索等腰三角形性质定理的思路和方法，能用综合法证明等腰三角形的性质定理。【学法指导】
自主探究，合作交流
【学习过程】
1、认真阅读教材第2页，补全作为证明基础的几条公里的内容，并认真体会。
（1）公理：同位角，两直线平行。
（2）公理：两直线，同位角。
（3）公理：的两个三角形全等。（简称，字母表示）
（4）公理：的两个三角形全等。（简称，字母表示）
（5）公理：的两个三角形全等。（简称，字母表示）
（6）公理：全等三角形的对应边，对应角。
注：等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理。
2、判定一般的三角形全等还有一种方法是什么？推论
: （简写为）你能证明吗？
已知：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF，求证：△ABC≌△DEF
3、等腰三角形性质：等腰三角形的两个相等（简称：等对等）
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C Array
证明一：取BC的中点D，连接AD
A
图1
D
C
B
A
4、认真阅读教材第3至4页的内容，用不同于教材中运用的方法对“等边对等角”这一性质惊醒证明，并思考线段AD 具有的性质和特征，由此你得到什么结论？
【应用扩展】
1、在△ABC 和△'''C B A 中，①AB=''B A ②BC=''C B ③AC=''C A ④∠A=∠'A ⑤∠B=∠'B ⑥∠C=∠'C ，下列条件中，不能保证△ABC ≌△'''C B A 的是（ ）
A ①②③
B ①②⑤
C ②④⑤
D ①③⑤
2、（1）某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为 。 （2）等腰三角形的周长为13cm ，其中一边长为3cm ，则该等腰三角形的腰长为 。
3、已知等腰三角形的两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的顶角度数为
4、如图，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE=CF ，判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？ 说明你的理由。
【达标检测】
1．在等腰三角形中顶角为40°时底角等于_________，一个底角为50°，则顶角等于_________；
2．由在同一三角形中“等角对等边”“等边对等角”两个定理我们可以联想到大边对_________，大角对_________；
3．等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为_________；
4．一个等边三角形的角平分线、高、中线“三线”_________，也是等边三角形的 轴； 5．等腰三角形的一边长为23，周长为43+7，则此等腰三角形的腰长为_________； 6．等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为_________； 7．如图1，D 在AC 上，且AB =BD =DC ，∠C =40°， 则∠A =_________，∠ABD =_________；
A
B
F
D
E
C
图3
图2D
C
B
A
8．如图2，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 在AB 上， 且AD = AC ，若∠A = 40°，
则∠ACD =_________，∠DCB =_________，
若∠A = ，则∠BCD =_________，由此我们可得出 ∠BCD 与∠A 的关系是∠BCD =_________；
9、如图3，A 、B 、F 、D 在同一直线上，AB=DF ，AE=BC ，且AE ∥BC 。
求证：⑴△AEF ≌△BCD ， ⑵EF ∥CD
10、（中考真题）：已知：如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE, DG ⊥CE,G 是垂足，
求证：（1）G 是CE 中点（2）∠B=2∠BCE
【总体评价】
通过本节课的学习你有哪些疑惑？你收获了什么？记录在学案上。
1.1你能证明它们吗（二）
编写人：钱文杰审核组长：魏艮鹏
【学习目标】
1、探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的要求和步骤，体会证明的必要性。
2、体会和清推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系，进一步体会证明的必要性。
3、领会归纳的思想方法，类比的思想方法，反正法的思想方法并运用在问题的解决过程中。
【学习重点】
经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论。
【学习难点】
探索证明思路，特别是反证法的证明思路。
【学法指导】
自主探究，合作交流
【学习过程】
1、（1）等腰三角形的性质是什么？
（2）等腰三角形的一个内角为700，则顶角为。
（3）等腰三角形的一个外角为1000，则其顶角顶角为。
2、在等腰三角形中作出一些相等的线段（角平分线、中线、高），你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？试着证明。
3、认真阅读第7页“想一想”体会其中的证明过程用了什么方法？这种方法的一般步骤：（1）、假设不成立；
（2）、由假设推出；
（3）、 错误，原命题正确。
注意：先自主学习，然后小组合作交流并展示。 【应用扩展】
1、如图，△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，BD 与CE 相交于O ，给出下列四个条件： ⑴∠EBO=∠DCO ， ⑵∠BEO=∠CDO ， ⑶BE=CD ， ⑷OB=OC 。
上述四个条件，那两个条件可判定△ABC 是等腰三角形？请你写出一种情形，并加以证明。
2、证明:如果54321,,,,a a a a a 都是正数,且154321=++++a a a a a ，那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.（用反证法证明）
3、如图：下午14：00时，一条船从处出发，以28海里/小时的速度，向正北航行，16：00时，轮船到达B 处,从A 处测得灯塔C 在北偏西280,从B 处测得灯塔C 在北偏西560,求B 处到灯塔C 的距离.
【达标检测】 A ：教材第9页1、2题 B ：教材数学理解3、4题
1．Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠CAB = 60°，AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离是3.8 cm ，则BC =_________ cm ；
2．△ABC 中，∠BAC =90°，∠B =60°，AD ⊥BC 于D ，AE 是斜边上的中线，若DB = 4，则
AB =_________，BC =_________；
C ：1、已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，A
D ∥BC ，且∠1=∠2。求证：AB=AC
2、已知：△ABC.求证：∠A 、∠B 、∠C 中不能有两个角是直角.
【总体评价】
通过本节课的学习你有哪些疑惑？你收获了什么？记录在学案上。
E A
D
1 2
B
C
1.1你能证明它们吗（三）
编写人：钱文杰审核组长：魏艮鹏
【学习目标】
1、探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程。
2、探索含有30度角的直角三角形性质及其推理证明过程。
3、发展和清推理能力和初步的演绎推理的能力能有条理地，清晰地阐述自己的观点。【学习重点】
含30度角的直角三角形性质定理的探索与证明。
【学习难点】
1、等边三角形判定定理的发现与证明。
2、含有30度角的指教三角形的性质定理与证明。
【学法指导】
自主探究，合作交流
【学习过程】
自主学习：1、一个等腰三角形满足什么条件是便成为等边三角形？
2、你认为有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同班进行交流。
3、认真阅读教材“做一做”。思考：在直角三角形中，300角所对直角边与斜边有什么关系？并试着用多种方法证明。
小组合作并展示：
证明：三个角都相等的三角形是等边三角形。
【应用扩展】
1、如图，在Rt △ABC 中，∠C=900,沿B 点的一条直线BE 折叠△ABC ，使点C 恰好落在AB 的中点D 处， ∠A= .
2、在Rt △ABC 中，∠C=300,AD ⊥BC,你能看出BD 与BC 的大小关系是 。
3、在直角三角形中，一条边长为a ，另一条边长为2a ，那么它的三个内角的比为多少？
4、在△ABC 中∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，CD ⊥AB 于D 点，AB =a ，则BD 的长为多少？
5、如图3，在AB =AC 的△ABC 中，D 点在AC 边上，使BD =BC ，E 点在AB 边上，使AD =DE =EB ，求∠ED B 的度数？
【达标检测】
A:教材第13页随堂练习1、2题及下面6小题。
1、判断：（1）在直角三角形中，直角边是斜边的一半。（ ）
（2）有一个角是600的三角形是等边三角形。（ ）
2、等腰三角形的底边等于150，腰长为20，则这个三角形腰上的高是 。
3、在Rt △ABC 中，∠ACB=900, ∠A =300,CD ⊥AB,BD=1,则AB= 。
4、在△ABC 中，AB=AC,∠BAC=1200,D 是BC 的中点， DE ⊥AC,则AE:EC= 。
若三角形的一边等于另一边的一半，那么这边所对的角度为 （ ） （A ） 30° （B ） 45° （C ） 60° （D ） 无法确定 5．如果三角形一边的中线和这边上的高重合，则这个三角形是 （ ） （A ） 等边三角形 （B ） 等腰三角形 （C ） 锐角三角形 （D ） 钝角三角形 6．△ABC 中， AB =AC ， CD 是△ABC 的角平分线， 延长BA 到E 使DE =DC ， 连结EC ， 若 ∠E =51°，则∠B 等于 （ ） （A ） 60° （B ） 52° （C ） 51° （D ） 78° B ：教材第14页1、2、3题。 C ：教材15页4、5题。
【总体评价】
通过本节课的学习你有哪些疑惑？你收获了什么？记录在学案上。
图3
E
D
C
B
A
1.2直角三角形（1） 4
编写人：钱文杰 审核组长：魏艮鹏
【学习目标】
1.能准确说出直角三角形的性质定理(勾股定理)和判定定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题.
2.知道逆命题.互逆命题及逆定理.互逆定理的含义，能结合自己的生活及学习体验举出逆命题.互逆命题及逆定理.互逆定理的例子.
3.进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力. 【学习重点】
了解直角三角形的性质定理以及判定定理。 【学习难点】
直角三角形的性质定理以及判定定理的运用。 【学法指导】
自主探究，合作交流
【学习过程】
本节课的情境采用复习问题引入，回答下列问题： 1．每个命题都是由 . 两部分组成.命题“对顶角相等”的条件是 ，结论是 . 2．“对顶角相等”是 （填“真”.“假”）命题；“我们是小学生” 是 命题. 3．把“等腰三角形两底角相等”改写成“如果……那么……”的形式： . 4．如图，△ABC 是Rt △，根据勾股定理可得： .
自学交流
1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理是在三角形为直角三角形的前提下描绘三边之间关系的，利用勾股定理，已知直角三角形的两边可求第三边.自主学习课本P19-21理解勾股定理的证明. 巩固小练习1：
直角三角形的两直角边为9.12，则斜边为 ；直角三角形的斜边为13，其中一条直角边为5，则另一条直角边为 .
2.勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
自学课本P16-17，小组交流疑难点. 3.互逆命题
勾股定理和勾股定理的逆定理中的条件和结论是互换的
.
A
B
C
通过几对数学和生活中的命题，观察这些成对命题的结论与条件之间的关系，归纳出它们的共性，以得到互逆命题的概念.
强调：互逆命题是相对两个命题而言的，单独一个命题称不上互逆命题.一个命题是真，它的逆命题可能是真，可能是假. 巩固小练习2：
说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假.
1.初三（6）班有62位同学；
2.等边对等角；
3.对顶角相等；
4.平行四边形的两组对边相等；
5.正方形的四条边都相等； 4.互逆定理
自学课本P18的想一想，明白什么叫互逆定理. 巩固小练习3：
找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它找出来.
1.矩形是平行四边形
2.内错角相等，两直线平行
3.如果y x >，则22y x >
4.全等三角形对应角相等
5.对顶角相等 【应用扩展】
1.在△ABC 中，若三边a ，b ，c 满足a 2+b 2=25，a 2—b 2=7和c=5，求最大边上的高.
2.下列命题的逆命题正确的是（ ）
A.直角都相等
B.直角三角形中没有钝角
C.如果a.b 都是正数，那么ab 是正数
D.如果a.b 都不能被3整除，那么ab 不能被3整除
3.在四边形ABCD 中，∠B=90°AB=32,BC=7,CD=12,DA=13,求点C 到AD 的距离.
【达标检测】
1.在△ABC 中, ∠C=90°,a ：b=3：4,c=10，则a=_____,b=_____
2.下列几组数是三角形的三边，其中能构成直角三角形的有______个. ①1，3，2 ②32,42,52
③31，41，51
④ n ，n+1，n+2 ⑤9,40，41 3.已知△ABC 三边长为BC=4cm ，AC=5cm ，AB=41cm ，则BC 边上的中线长为___. 4.直角三角形的一条直角边是另一条直角边的3倍，斜边长为10cm ，求它的面积.
A
5.若5，12，x是一组勾股数，则x=_____.
6.一直角三角形的两边长为6和8，则它的面积为_____.
7.△ABC三边长为a，b，c且a+b=7，ab=12，c=5，则这个三角形是________三角形.
8.如图，已知△ABC，AB=BC,∠ABC=90°.F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE,EF和CF.⑴求证：AE=CF ⑵若∠CAE=30°，求∠EFC的度数.
10、（中考真题）：.已知：如图，△ABC中，CE是高，D是AB的中点，∠B=45°，求证：AC2=2(AD2+DE2)
E
【总体评价】
通过本节课的学习你有哪些疑惑？你收获了什么？记录在学案上。
北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名 第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3、等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 5、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
北师大版《数学》（九年级上册）知识点归纳 第一章 证明（二） 一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。 （2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。 （3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。 （4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。 推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。 二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。 等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2 b 最新北师大版九年级数学上册知识点总结 第一章证明（一） 1、你能证明它吗？ （1）三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 （2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形.或者三个角都相等的三角形是等边三角形. （4）含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. （2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理. （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线. 4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. （3）如何用尺规作图法作出角平分线 九年级上册数学知识点总结 第一章 证明（二） 一、全等三角形的判定：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL 二、等腰三角形 1、等腰三角形“三线合一”顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 2、等腰三角形：等边对等角，等角对等边。 三、等边三角形 （1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。 （2）“三线合一” 四、直角三角形 1、直角三角形的两个锐角互余 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 5、常用关系式： 由三角形面积公式可得：两直角边的积=斜边与斜边上的高的积 五、角的平分线及其性质与判定 1、角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 2、角的平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （如图1所示，AO=BO=CO ） 3、角的平分线的判定定理： 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 六、线段垂直平分线的性质与判定 1、线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。 2、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 3、定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 (如图2所示，OD=OE=OF) 线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 A C B O 图1 图2 O A C B D E F 九年级数学上册知识点归纳（北师大版） 第一章特殊平行四边形 第二章一元二次方程 第三章概率的进一步认识 第四章图形的相似 第五章投影与视图 第六章反比例函数 （八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 ．．．．．，平行四边形不相邻的 两顶点连成的线段叫做它的对角线 ．．．。 ※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ．．。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） ※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3正方形的性质与判定 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 ※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 ※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 一个内角为直角 菱形 一组邻边相等 九（上）数学知识点答案 第一章证明（一） 1、你能证明它吗？ （1）三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 （2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作出角平分线 最新北师大版九年级数学上册教案 设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题。一起看看最新北师大版九年级数学上册教案!欢迎查阅! 最新北师大版九年级数学上册教案1 学习目标 1.了解圆周角的概念. 2.理解圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3.理解圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用. 设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题学习过程 一、温故知新: (学生活动)同学们口答下面两个问题. 1.什么叫圆心角? 2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢? 二、自主学习: 自学教材P90---P93,思考下列问题: 1、什么叫圆周角?圆周角的两个特征: 。 2、在下面空里作一个圆,在同一弧上作一些圆心角及圆周角。通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题. (1)一个弧上所对的圆周角的个数有多少个? (2).同弧所对的圆周角的度数是否发生变化? (3).同弧上的圆周角与圆心角有什么关系? 3、默写圆周角定理及推论并证明。 4、能去掉"同圆或等圆"吗?若把"同弧或等弧"改成"同弦或等弦"性质成立吗? 5、教材92页思考?在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等吗?为什么? 课题 1、你能证明它们吗(一) 课型新授课教学目标 1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。 2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。 教学重点了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。 教学难点能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。 教学方法观察法教学后记教学内容及过程学生活动一、复习 1、什么是等腰三角形？ 2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。 3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？二、新课讲解 在《证明（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。 同学们和我一起来回忆上学期学过的公理 w 本套教材选用如下命题作为公理 : w 两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; w 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; w 两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS） w 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA） w 三边对应相等的两个三角形全等; （SSS） w 全等三角形的对应边相等,对应角相等. 由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论 推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）证明过程 已知∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF 求证△ABC≌△DEF 证明∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）∵∠A+∠B+∠C=18°，∠D+∠E+∠F=18°（三角形内角和等于18°）∠C=18°-(∠A+∠B) ∠F=18°-(∠D+∠E) ∠C=∠F（等量代换） BC=EF（已知）△ABC≌△DEF（ASA）这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。 三、议一议 （1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。 定理等腰三角形的两个底角相等。 这一定理可以简单叙述为等边对等角。 已知如图，在ABC中，AB＝AC。 2014年（新版）九年级数学上册知识点归纳（北师大版） （八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 ．．．．．，平行四边形不相邻的两顶点连成 的线段叫做它的对角线 ．．．。 ※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ．．。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） ※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3正方形的性质与判定 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 一、填空题 1.一个矩形的面积是48平方厘米，它的长比宽多8厘米，则矩形的宽x （厘米），应满足方程__________. 2.有一张长40厘米、宽30厘米的桌面，桌面正中间铺有一块垫布，垫布的面积是桌面的面积的21，而桌面四边露出部分宽度相同，如果设四周宽度为x 厘米，则所列一元二次方程是__________. 3.在一块长40 cm ，宽30cm 的矩形的四个角上各剪去一个完全相同的正方形，剩下部分的面积刚好是矩形面积的3 2，则剪下的每个小正方形的边长是__________厘米. 4.一个两位数，十位上的数字是a ，个位上的数字是b ，则这个两位数可以表示为__________. 5.两个连续整数，设其中一个数为n ，则另一个数为__________. 6.两个数之差为5，之积是84，设较小的数是x ，则所列方程为__________. 7.增长率问题经常用的基本关系式： 增长量=原量×__________ 新量=原量×（1+__________） 8.产量由a 千克增长20%，就达到_______千克. 二、选择题 1.用10米长的铁丝围成面积是3平方米的矩形，则其长和宽分别是 A.3米和1米 B.2米和1.5米 C.（5+3）米和（5－3）米 D.米米和21352135-+ 2.如果半径为R 的圆和边长为R +1的正方形的面积相等，则 A.11--=ππR B.1 1-+=ππR §2.5.1 一元二次方程 C.112--+=ππR D.1 12-++=ππR 3.一个两位数，个位上的数比十位上的数小4，且个位数与十位数的平方和比这个两位数小4，设个位数是x ，则所列方程为 A.x 2+(x +4)2=10(x －4)+x －4 B.x 2+(x +4)2=10x +x +4 C.x 2+(x +4)2=10(x +4)+x －4 D.x 2+(x －4)2=10x +(x －4)－4 4.三个连续偶数，其中两个数的平方和等于第三个数的平方，则这三个数是 A.－2，0，2或6，8，10 B.－2，0，2或－8，－8，－6 C.6，8，10或－8，－8，－6 D.－2，0，2或－8，－8，－6或6，8，10 5.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值175亿元，问二、三月份平均每月增长率是多少？设平均每月增长率为百分之x ，则 A.50（1+x ）2=175 B.50+50(1+x )2=175 C.50(1+x )+50(1+x )2=175 D.50+50(1+x )+50(1+x )2=175 6.一项工程，甲队做完需要m 天，乙队做完需要n 天，若甲乙两队合做，完成这项工程需要天数为 A.m +n B.21(m +n ) C.mn n m + D.n m mn + 三、请简要说出列方程解应用题的一般步骤。 四、列方程解应用题 如右图，某小区规划 在长32米，宽20米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的3 条小路，使其中两条与AD 平行，一条与AB 平行，其余部分 种草，若使草坪的面积为566米2，问小 路应为多宽？ 北师大版《数学》（九年级上册）知识点总结 第一章 证明（二） 一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。 （2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。 （3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。 （4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。 推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。 二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。 等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2 b 性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。 （2）三线合一 判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形 （2）三个角都相等的三角形是等边三角形 （3）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 四、直角三角形 （一）、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 22c b a =+ 其它性质： 1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。 2、常用关系式：由三角形面积公式可得： 两直角边的积=斜边与斜边上的高的积 （二）、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 （三）直角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜 最新新北师大版九年级数学(上册)知识点汇总 第一章特殊平行四边形 第二章一元二次方程 第三章概率的进一步认识 第四章图形的相似 第五章投影与视图 第六章反比例函数 第一章特殊平行四边形 1.1菱形的性质与判定 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. ※菱形的性质：具有平行四边形的性质，且四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角. 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴. ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四条边都相等的四边形是菱形. 1.2 矩形的性质与判定 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形 .矩形是特殊的平行四边形. ．． ※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角.（矩形是轴对称 图形，有两条对称轴） ※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义). 对角线相等的平行四边形是矩形. 四个角都相等的四边形是矩形. ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 1.3 正方形的性质与判定 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形. ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质.（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形. 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形. ※ ※ 鹏翔教图3 ※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等. 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形. ※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. ※夹在两条平行线间的平行线段相等. ※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程．．．．．． 2.2 ．．．用．配方法求解．．．．．一元二次方程．．．．．． 2.3 用公式法求解一元二次方程 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 2.5 一元二次方程的跟与系数的关系 2.6 应用一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为 常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．． . ※把02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项. ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= （注意在找abc 时须先把方程化为一般形式） ③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解. 北师大版数学九年级上册课本答案【篇一：北师版九年级数学上册第一章测试卷(含答案)】 卷满分120 分考试时间120 分钟） 一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，计30 分） 1、下列各组图形中，是全等三角形的一组是（） a.底边长都为15cm 的两个等腰三角形 b.腰长都为15cm 的两个等腰三角形 d.边长为12cm 的两个等边三角形 2、等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的 底边长为（） a.7 b.3 c.7 或3 d.5 3、一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这 个三角形是（） a.等腰三角形 b.等边三角形 c. 直角三角形 d.等腰直角三角形 4、用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（） a.有两个角是直角 b.有两个角是钝角 c. 有两个角是锐角 d.一个角是钝角，一个角是直角 6、如图1-2，在一次强台风中一棵大树在离地面5m 处折断倒下， 倒 a.10m b.15m c.25m d.30m c b a d 图1-1 图1-2 7、下列命题①对顶角相等②如果三角形中有一个角是钝角，那么另 外 两个角是锐角③若两直线平行，则内错角相等④三边都相等的三角 形 是等边三角形。其中逆命题正确的有（） a.①③ b. ②④ c.①② d.③④ 8、如图1-3（1）在△abc 中，d、e 分别是ab,ac 的中点，将△ ade 沿线段de 向下折叠，得到图形1-3（2），下列关于图（2）的 四个结论中，一定不成立的是（） c. △dba 是等腰三角形 d.de ∥bc e c 图1-3 b c （2）（1）a a.1 b.2 c.3 d.4 b e aa c 图1-4 图1-5 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，计18 分） 11、已知三条不同的直线a,b,c 在同一平面内，下列四个命题：①如果 ③如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c 其中属于 真命题的是（填写所有真命题的序号） 12、一个三角形三边之比为2:5:3 ，这个三角形的形状是 13、把“同角的余交相等”改写成“如果?? ，那么??”的形式为 cd=3 ，则ab 的长度为 15、如图1-7，p 是正方形abcd 内一点，将△abp 绕点b 顺时针方 向旋转能与△cbp? 重合，若pb=3 ，则pp? 的长度为 a p d b d b c c n c a b ? 图1-6 图1-7 图1-8 三、解答题（共 6 小题，计72 分，解答应写过程） a d 图1-9 18、（10 分）已知：如图1-10 ，de 为△abc 的边ab 的垂直平分 线， m d cd 为△abc 的外角平分线，与de 交于点d，dm ⊥bc 的延长 线于 点m，dn ⊥ac 于点n，求证：an=bm 。c b 图1-10 d a b 图1-11 20、（12 分）如图1-12 ，在矩形abcd 中，ab=6 ，bc=8 ，将矩形 abcd 沿ce 折叠后，使点 d 恰好落在对角线ac 上的点f 处。 【篇二：北师大版八年级上册数学课本课后练习题答案】lass=txt> 第一章勾股定理课后练习题答案 北 师 大 版 九 年 级 数 学 知 识 点 汇 总 第一章特殊平行四边形 一、平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、性质：（1）平行四边形的对边平行且相等。 （2）平行四边形的对角相等，邻角互补。 （3）平行四边形的对角线互相平分，两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形。 （4）平行四边形是中心对称图形。 3、判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4、面积：S平行四边形=底ⅹ高 二、菱形 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2、性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质。 （2）菱形的四条边都相等。 （3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。 （4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。 3、判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 （3）四条边都相等的四边形是菱形。 4、面积：S菱形=底ⅹ高；S菱形=对角线乘积的一半 三、矩形 1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2、性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质。 （2）矩形的四个角都是直角。 （3）矩形的对角线相等且互相平分，两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。 （4）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （5）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。 3、判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）有三个角是直角的四边形是矩形。 4、面积：S矩形=底ⅹ高 新北师大九年级数学上册第一章知识点归纳 ※平行四边形 ．．．．．， ．．．．．的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线 ．．．。 ※平行四边形的性质：对边相等,邻边之和等于周长的一半 对角相等,邻角互补 对角线互相平分，共有4对全等的三角形。 ※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 ※平行四边形的面积公式： 第一章特殊平行四边形-菱形矩形正方形 1菱形的性质与判定 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等, 两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 菱形被对角线分成了4个面积相等的直角三角形，所以菱形的面积=对角线乘积的一半 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ．．。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。 （矩形是轴对称图形，有两条对称轴，对称轴是对边中点的连线所在的直线 ※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。（对角线相等且平分的四边形是矩形） 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（利用对角线相等且平分） 3正方形的性质与判定 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 正方形是轴对称图形，有四条对称轴。既是轴对称图形又是中心对称图形。※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 鹏翔教图3 ※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 ※夹在两条平行线间的平行线段相等。 ※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 谢谢你的观赏 谢谢你的观赏 北师大版《数学》（九年级上册）知识点总结 第一章 证明（二） 一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。 （2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。 （3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。 （4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。 推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。 二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。 等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2 b 新北师大版九年级上册数学知识点 第一章特殊平行四边形 1.1菱形的性质与判定 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 1.2矩形的性质与判定 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） ※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1.3正方形的性质与判定 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 ※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 ※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 ※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 ※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 ※夹在两条平行线间的平行线段相等。 ※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 第二章一元二次方程 2.1认识一元二次方程 2.2用配方法求解一元二次方程 2.3用公式法求解一元二次方程 2.4用因式分解法求解一元二次方程 2.5一元二次方程的跟与系数的关系 北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结 第一章特殊的平行四边形 一、平行四边形 1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质 （1）平行四边形的对边平行且相等。（对边） （2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角） （3）平行四边形的对角线互相平分。（对角线） （4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 常用点： （1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。 （2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。 3.平行四边形的判定 （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（对边） （2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（对边） （3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（对边） （4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（对角） （5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。（对角线） 4.两条平行线的距离 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。注意：平行线间的距离处处相等。 5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah 二、菱形 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2.菱形的性质 （1）菱形的四条边相等，对边平行。（边） （2）菱形的相邻的角互补，对角相等。（对角） （3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。（对角线） （4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。 3.菱形的判定 （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。（边） （3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（对角线） （4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。（对角线） 4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 三、矩形 1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.矩形的性质 （1）矩形的对边平行且相等。（对边） （2）矩形的四个角都是直角。（内角） （3）矩形的对角线相等且互相平分。（对角线） （4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。 第一章 特殊平行四边形 1.1 菱形的性质与判定（一） 学习目标： ①通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质。 ②通过学生间的交流、计论、分析、类比、归纳、运用已学过的知识总结菱形的特征。 教学重点：菱形的概念和菱形的性质，菱形的面积公式的推导。 教学难点：菱形的性质的理解及菱形性质的灵活运用。 学习过程： 活动一： 自学课本例题以上的内容，完成下列问题： 1. 如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来？ 的四边形叫做菱形，生活中的菱形有 。 2. 按探究步骤剪下一个四边形。 ①所得四边形为什么一定是菱形？ ②菱形为什么是轴对称图形？ 有 对称轴。 图中相等的线段有： 图中相等的角有： ③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？自己完成证明。 平行四边形 菱形 ？ 性质： 证明： 活动二：对比菱形与平行四边形的对角线 菱形的对角线： 平行四边的对角线： 活动三：菱形性质的应用 1.菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。 2.如图，菱形花坛ABCD的边长为20cm，∠ABC=60° 沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和BD， 求两条小路的长和花坛的面积。 课效检测： 一、填空 （1）菱形的两条对角线长分别是12cm ，16cm ，它的周长等于 ，面积等于 。 （2）菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是3：2，菱形的四个内角是 。 （3）已知：菱形的周长是20cm ，两个相邻的角的度数比为1：2，则较短的对角线长是 。 （4）已知：菱形的周长是52 cm ，一条对角线长是24 cm ，则它的面积是 。 二、解答题 已知：如图，在菱形ABCD 中，周长为8cm ，∠BAD=1200 对角线AC ，BD 交于点O ，求这个菱形的对角线长和面积。 教学设计反思 本节课的主要教学内容为菱形的定义和性质。学生已经学习了平行四边形的性质，这是本节的知识基础。关于菱形的定义和性质，就是在平行四边形的基础上，进一步强化条件得到的。 A B C D O最新北师大版九年级数学上册知识点总结
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