第6章几个典型的代数系统

第六章 几个典型的代数系统

本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简

单的半群．

6.1 半群

6.1.1半群的概念

定义6.1.1 设是代数结构，若?是可结合的二元运算，即：

?a ，b ，c ∈S ，(a ?b)?c=a ?(b ?c)

则称为半群;

定义6.1.2 设是半群。若关于运算?有单位元e ，则称为含么半群，有单

位元半群或独异点，记为。

定义6.1.3 若半群的运算?满足交换律，则称是可交换半群。

［例6.1.1］

(1)，都是含么半群；不是半群；

(2)设A 为任一集合，则<ρ(A)，?，Φ>，<ρ(A)，?，A >都是可交换的含么半群；

(2)设∑是个字母表， 是∑*上的连接运算，则空串ε就是∑*中关于连接运算 的单位元

且该运算满足结合律，故<∑*， ，ε>是一个独异点。

6．1．2子半群

定义6.1.4 半群的了代数叫子半群 ，即设是半群，T 为S 的非空子集。若T 关于运

算?封闭，则称是的子半群。

定义6.1.5 设是独异点，T 为S 的非空子集。若T 关于运算?封闭，且e ∈T ，

则称是的子独异点。

［例6.1.2］ 和都是的子半群；是的子独异点，但

不是的子独异点,因为0不在N +中。

定义6.1.6设V 1=, V 2=是两个半群，V 1与V 2的积代数V 1?V 2

= 其中S=S 1?S 2，,,,,2211><>

>*>=<<21212211,,,y y x x y x y x

也是半群，叫，V 1与V 2的积半群。

6．1．3半群的同态

定义6.1.6 设和是半群，函数f ：S 1→S 2。若?a ，b ∈S 1，有 f (a *b)=

f (a) ?h (b)，则称f 是到

，?>的半群同态。若f 是双射，则称f 为半群同构。 ［例6.1.2］ ???? ??=???? ??>?=

?????∈???? ??=000)00(,,,00a b a S V R b a b a S ? 证明：?是V 上的自同态，但不是独异点的自同态。

定义6.1.7 设和是群，函数f ：S 1→S 2时同态映射，f(S 1)={f(x)|x ∈S 1

}叫f 的同态像，Ker(f)={x| x ∈S 1且f(x)=e '} 叫同态映射f 的核。像

6.2 群

6.2.1群的定义

定义6.2.1 设是半群点。若G 含有幺元且G 中每一个元素都是可逆的，则称

是群。

注： 是群： (1) ?满足结合律；(2) 存在么元；(3) G 上每个元素有逆元;

定义6.2.2 若群中的二元运算?是可交换的，则称为可交换群或Abel 群。

［例6.2.1］ (1)，，是群;

<2>，，不是群。

<3>是群。

<4>Klein 四元群G={e,a,b,c}。

①②e是单位元；②是可交换的；③a,b,c任意两个的运算结果等于第三个.

说明：（1）交换群（Abel群），有限群，无限群

（2）设为群，a∈G，则a的整数次幂可定义如下：

①a0=e；②a n+1=a n a，n∈N；③a-n=(a-1)n，n∈N+。

6.2.2群的性质和元素的阶

定理6.2.1设为群，则

(1)?a∈G，(a－1)－1=a；

(2)?a，b∈G，(ab)－1=b-1a-1；

(3)?a，b∈G，方程ax＝b，ya＝b在G中都有惟一解；

(4)G中消去律成立。即

若ab=ac，则b=c;

若ba=ca，则b=c.

(5)对?m，n∈N，a m?a n=a m+n，(a m)n=a mn。

定义6.2.3 设是群，a∈G，则使a n=e成立的最小正整数n称为a的阶(周期)，记为|a|，且称a的阶是有限的，否则称a的阶是无穷的。

单位元是群中阶为1的惟一元素。

［例6.2.2］(1)在群中，任一非零整数的阶是无限的；(2)在群中，｜0｜＝1，｜1｜＝｜5｜＝6，｜2｜＝3。

定理6.2.2 设是有限群，｜G｜＝n，则?a∈G，｜a｜≤n。

6.2.3子群

定义6.2.4 设是群，H是G的非空子集。若也是群，则称是的子群，记作H≤G。若H是G的非空真子集，则称是的真子群，记作H ≤ ≤ 。

定理6.2.3(子群判别法1)设H是群的非空子集，则H≤G当且仅当

(1)?a，b∈H， a?b∈H；

(2)?a∈H，a－1∈H。

定理6.2.4(子群判别法2) 设H 是群的非空子集，则H ≤G 当且仅当

?a ，b ∈H ， a ?b －1

∈H 。 定理6.2.6 (子群判别法3)设H 是群的非空有限子集。若H 关于?封闭，则H ≤G 。

［例6.2.4］ 设是可交换群，H={a ∈G ｜?k ∈I ，使a k

=e}，则H ≤G 。 6.2.4循环群

定义6.2.6设是群，a ∈G ，记(a)={a i

|i ∈Z}。(a)称为由a 生成的子群; 设是群。若?a ∈G ，使得(a)=G ，则称G 是循环群，又并称G 是由a 生成的，a 称为G 的生成

元。

［例6.2.5］

(1)1是m 阶循环群的生成元；

(2)是无限阶循环群，其生成元只有1和－1。

说明: 每个循环群是可交换群。

定理6.2.8 设G ＝(a)，

(1)若|a|无限，则G ≌；

(2)若|a|为n ，则G ≌。

推论6.2.1 设G ＝(a)，

(1)若G 为无限群，则|a|无限，且G={…,a -1,a -1,e,a,a 2,…}；

(2)若|G|＝n ∈N ，则|a|＝n ，且G={e,a,a 2,…,a n －1 }。

推论6.2.2 设G 为n 阶循环群，a ∈G ，则G=(a)当且仅当|a|=n 。

6.2.5置换群

定义6.2.7有限集合S 到其自身的双射称为S 上的置换，｜S ｜称为置换的阶。

定义6.2.8一个有n 个元素的集合上的所有置换在函数的合成运算下构成的群称为n 次对称

群，记为S n 。S n 的子群称为n 阶置换群。

注：｜S n ｜＝n ！。

设S ＝｛1,2，…，n ｝，则∈πS n 可记为

???

?

??=)(...)2()1(...21n n ππππ 置换的轮换表示法：

［例6.2.8］令S＝｛1,2，3｝，求S3。

6.2.6群同态

定义6.1.9设和是群，函数f：S1→S2。若?a，b∈S1，有 f (a*b)= f (a) ?f (b)，则称f是到的群同态。若f是双射，则称f为群同构。定义6.1.7 设和是群，函数f：S1→S2时同态映射，f(S1)={f(x)|x∈S1}叫f的同态像，Ker(f)={x| x∈S1且f(x)=e'} 叫同态映射f的核。

推论6.2.3任一个有限群都与某个置换群同构。

6.3 环和域

这一节我们要讨论含有两个二元运算的代数结构，环和域.

6.3.1 环

下文中符号＋，·表示一般二元运算，分别称为加、乘运算（未必是数加和数乘），并对它们沿用数加、数乘的术语及运算约定，例如,a，b的积表示为ab，n个a的和a+…+a 表示为na, n个a的积表示为a n等．

定义6.3.1 称代数结构为环（ring），如果

（1）是阿贝尔群（或加群）．

（2）是半群．

（5）乘运算对加运算可分配，即对任意元素a,b,c ∈R，

a（b＋c）＝ ab+ac , （b＋c）a = ba+ca

［例6.3.1］

（1）(I为整数集，+,·为数加与数乘运算)为一环．

（2）为环，因为我们已知为加群，为半群，此外，

a?(b⊕c)= a? ((b+c)mod k)

=（a(b+c）（mod k））（mod k）

=（a（b+c））（mod k）

=（ab+ac）（mod k）

= ab（mod k）⊕ac（mod k）

= (a?b)⊕(a?c)

（3）所有整数分量的n?n方阵集合M n与矩阵加运算（+）及矩阵乘运算（?）构成一环，即，< M n ，+ ,?> 为环．

（4）所有实系数多项式（以x为变元）的集合R[x]与多项式加，乘运算构成环，即

< R[x],+,·>为环．

（5）<{0},+，·>(其中0为加法么元、乘法零元)为一环，称为零环。（其它环至少有两个元素．）

（6）<{0,e},+，·>(其中0为加法么元、乘法零元，e 为乘法么元)为一环．

6.3.2环有下列基本性质．

定理6.3.1 设< R,+,·>为环，0为加法么元,那么对任意a,b,c ∈R

（1）0a = a0 = 0 (加法么元必为乘法零元)

（2）（-a ）b = a （-b ）= -ab （-a 表示a 的加法逆元,下同）

（3）（-a ）（-b ）= ab

（4）若用a –b 表示a+(-b),则

（a-b ）c ＝ac –bc , c （a-b ）＝ca-cb

定义6.3.2

(1)环< R,+,·>中,·运算满足交换律时，称 R 为交换环，

(2) 环< R,+,·>中,·当·运算有么元时，称R 为含么环

(3)设< R,+,·>为环，若有非零元素 a ，b 满足 ab = 0，则称a,b 为R 的零因子，并称

R 为含零因子环，否则称R 为无零因子环．

［例6.3.2］在环中, 0是零元,[2],[3]为零因子，因为[2] ?[3]＝0．在环< M 2 ，+ , ? >中有零因子

???? ?

?--1111 和 ???? ??1111 因为

???? ??--1111????? ??11

11= ???? ??0000 它是矩阵加的么元．

(4) 环< R,+,·>中,当·运算满足交换律、有单位元、无零因子，则称R 为整环

(5) 环< R,+,·>中,当·运算满足交换律、有单位元、R-{0}中每元有逆元，则称R 为除环

6.3.2域

定义6.3.4若< F,+,·>既是整环，又是除环，则称它为域,

［例6.3.3］

（1）为域，但不是域，因为在整数集中整数没有乘法逆元．

（2）为域，1和4的逆元是4和1,2和3互为逆元.

（3）但不是域，它甚至不是整环，同为它有零因子，例如2，3，它们没有乘法

逆元．

域有以下基本性质．

定理6.3.2为域当且仅当 p为质数．

定理6.3.3有限整环都是域．

6.4格与布尔代数

6.4.1 格的定义和性质

定义6.4.1 设是偏序集，若L的任两个元素组成的集合均有上确界(最小上界)和下确界(最大下界)，则称为一个格 (偏序格)。

通常记a∧b＝最大下界，a∨b＝最小上界。这是集合L上的两个二元运算。

［例6.4.1］

(1)设n∈I＋，定义S n＝{x|x∈ I＋且x|n}，则是格。

(2)有的偏序集不是格。见例6.8

［例6.4.2］设A是任意集合，则<ρ(A)，?>是格。

定理6.4.1 设是格，a,b,c∈L，则

(1)交换律：a∨b＝b∨a，a∧b＝b∧a；

(2)结合律：a∨ (b∨c)=(a∨b) ∨c，(a∧b)c=a∧ (b∧c)；

(3)幂等律：a∨a=a, a∧a=a

(4)吸收律：a∨ (a∧b)=a ，a∧ (a∨b)=a。

说明：各有一条重要原理：对偶原理。

6.4.2格的代数定义和子格

定义6.4.2 设代数系统中的两个二元运算*和⊕满足交换律、结合律和吸收律，则称是格(代数格)。

说明：幂等律可由吸收率导出

a*a=a*(a⊕(a*a))=a

定理6.4.2 偏序格必是代数格，代数格必是偏序格。

定义6.4.3 设是格，S是L的非空子集。若S关于*和⊕是封闭的，则称

是的子格。

［例6.4.3］设A＝{a,b,c}，求<ρ(A)，?>的子格。

6.4.3 特殊格

定义6.4.4设是格。如果满族分配律，即?a,b,c∈L，都有

a∧ (b∨c)=(a∧b) ∨ (a∧c)，

a∨ (b∧c)=(a∨b) ∧ (a∨c)

则称是分配格。

定义6.4.5 有最大元和最小元的格称为有界格，最小元和最大元分别记为0和1，并称它们为该有界格的界。有界格常记为。

［例6.4.4］<ρ(A)，?>是有界格，Φ和A是它的界。

［例6.4.5］令L={x∈R|-1≤x≤1}，则是有界格，

定义6.4.6 设是有界格，a∈L。若?b∈L，使得

a∧b＝0，a∨b＝1，则称b为a的补元，记为b＝ a'。

若L中任意元素都有补元，则称是有补格。

［例6.4.6］<ρ(A)，?>是有补格，?S∈ρ(A)，S的补元为A－S。

6.4.5 布尔代数

定义6.4.7有补分配格称为布尔代数。通常用表示布尔代数。［例6.4.7］设B={0，1}，B上的运算*、⊕和'定义如下：

1⊕1=1⊕0=0⊕1=1，0⊕0=0，1'=0′；

1*1=1，1*0=0*1=0*0=0，0'=1′；

则是布尔代数(称为电路代数)。

［例6.4.8］设A是任意非空集合，集合代数<ρ(A)，∩，∪，，Φ，A>是布尔代数。

定理6.4.6 设是代数系统，*和⊕是B上的二元运算，'是B上的一元运算，0和1是B中两个不同元素。若?a,b,c∈B，有

a*b＝b*a，a⊕b＝b⊕a；(交换律)

a*(b⊕c)=(a*b)⊕(a*c)，a⊕(b*c)=(a⊕b)*(a⊕c)；(分配律)

a*1＝a，a⊕0＝a；(同一律)

a*a'＝0，a⊕a'＝1；(零律)

则是布尔代数。

定理6.4.7（有限布尔代数表示定理）p149

第五章习题几个典型的代数系统

第五章习题几个典型的代数系统 .设A={0,1},试给出半群的运算表,其中为函数的复合运算。 .设G={a+bi|a,b∈Z},i为虚数单位,即i2=-1.验证G关于复数加法构成群。 .设Z为整数集合,在Z上定义二元运算如下： x,y∈Z,x y=x+y-2 问Z关于运算能否构成群为什么 .设A={x|x∈R∧x≠0,1}.在A上定义六个函数如下： f 1(x)=x,f 2 (x)=x-1,f 3 (x)=1-x, f 4(x)=(1-x)-1,f 5 (x)=(x-1)x-1, f 6 (x)=x(x-1)-1 令F为这六个函数构成的集合,运算为函数的复合运算。 (1) 给出运算的运算表。 (2) 验证是一个群。 .设G为群,且存在a∈G,使得 G={a k|k∈Z}, 证明G是交换群。.证明群中运算满足消去律.

.设G为群,若x∈G有x2=e,证明G为交换群。 .设G为群,证明e为G中唯一的幂等元。 .证明4阶群必含2阶元。 设A={a+bi|a,b∈Z,i2=-1},证明A关于复数的加法和乘法构成环,称为高斯整数环。 .(1) 设R 1,R 2 是环,证明R 1 与R 2 的直积R 1 ×R 2 也是环。 (2) 若R 1和R 2 为交换环和含幺环,证明R 1 ×R 2 也是交换环和含幺环。 . 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不能构成,说明理由。 (1) A={a+bi|a,b∈Z},其中i2=-1,运算为复数的加法和乘法。 (2) A={-1,0,1},运算为普通加法和乘法。 (3) A=M 2 (Z),2阶整数矩阵的集合，运算为矩阵加法和乘法。 (4) A是非零有理数集合Q*,运算为普通加法和乘法。 .设G是非阿贝尔群,证明G中存在元素a和b,a≠b,且ab=ba. .设H是群G的子群,x∈G,令 xHx-1={xhx-1|h∈H}, 证明xHx-1是G的子群,称为H的共轭子群。 .设

离散数学 代数系统

第三部分：代数系统 1.在代数系统,S *中，若一个元素的逆元是唯一的，其运算*必定可结合。( ) 2.每一个有限整环一定是域，反之也对。( ) 3.任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。( ) 4.设(),A ∧∨是布尔代数，则(),A ∧∨一定为有补分配格。( ) 5.设Q 为有理数集，Q 上运算*定义为max(,)a b a b *=，则 ,Q * 是半群。( ) 6.阶数为偶数的有限群中，周期为2的元素的个数一定为偶数。( ) 7.群中可以有零元（对阶数大于一的群）。( ) 8.循环群一定是阿贝尔群。( ) 9.每一个链都是分配格。( ) 1. 对自然数集合N ，哪种运算不是可结合的，运算定义为任,a b N ∈ ( ) A. min(,)a b a b *= B. 2a b a b *=+ C. 3a b a b *=+- D. a b a b *=+ (mod 3) 2. 任意具有多个等幂元的半群，它 ( ) A. 不能构成群 B. 不一定能构成群 C. 不能构成交换群 D. 能构成交换群 3. 循环群33,Z +的生成元为[][]1,2，它们的周期为 ( ) A. 5 B. 6 C. 3 D. 9 4. 设是环，则下列正确的是 ( ) A. 是交换群 B. 是加法群 C. 对*是可分配的 D. *对 是可分配的 5. 下面集合哪个关于减法运算是封闭的 ( ) A. N B. {2|}x x I ∈ C. {21|}x x I +∈ D. {x |x 是质数} 6. 具有如下定义的代数系统,G ?*?，哪个不构成群 ( ) A. G={1,10}，*是模11乘 B. G={1,3,4,5,9}，*是模11乘 C. G ＝Q(有理数集)，*是普通加法 D. G ＝Q(有理数集)，*是普通乘法 7. 设G ＝{23|,m n m n I *∈}，*为普通乘法．则代数系统,G ?*?的么元为 ( ) A.不存在 B. e ＝0023? C. e ＝2×3 D. e ＝1123--? 8. 任意具有多个等幂元的半群，它( A ) A. 不能构成群 B. 不一定能构成群 C. 必能构成群 D. 能构成交换群 9. 在自然数集N 上，下面哪个运算是可结合的，对任意a ,b N ∈ ( ) A. a b a b *=- B. max(,)a b a b *= C. 5a b a b *=+ D. ||a b a b *=-

第六章 代数系统

第六章代数系统 1. 填空题：f是X上的n元运算的定义是（）。 2. 判断正误，并说明原因：自然数集合N上的减法运算“－”是个封闭的运算。 3. 判断正误，并说明原因：实数集合R上的除法运算“?”是个封闭的运算。 4.填空题：代数系统的定义是：（）。 5. 填空题：*是X上的二元运算，*具有交换性，则它的运算表的特征是（）。 6.填空题：*是X上的二元运算，*具有幂等性，则它的运算表的特征是（）。 7. 简答题：*是X上的二元运算，*具有幺元，如何在它的运算表上判定哪个元素是幺元？ 8. 简答题：*是X上的二元运算，*具有零元，如何在它的运算表上判定哪个元素是零元？ 9. 简答题：*是X上的二元运算，*具有幺元，如何判定哪个元素是元素x的逆元？ 10 令N4={0,1,2,3}，N4上定义运算+4： 任何x,y∈N4 , x+4 y=(x+y)(mod 4) 。例如2+43=(2+3)(mod 4) =5(mod 4)＝1 请列出的运算表。然后判断+4运算是否有交换性、有幺元、有零元、各个元素是否有逆元？如果有上述这些元素，请指出这些元素都是什么。 11. 判断正误，并说明原因：对于整集合I上的减法运算“－”来说，0是幺元。 12. 填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的交运算?的幺元是（）。零元是（）。有逆元的元素是（），它们的逆元分别是（）。 13. 填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的并运算è的幺元是（）。零元是（）。有逆元的元素是（），它们的逆元分别是（）。

14. 填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的对称差运算?的幺元是（）。零元是（）。有逆元的元素是（）。它们的逆元分别是（）。 15. 填空题：对于自然数集合N上的加法运算“＋”，13＝（）。 16. 填空题：你所知道的满足吸收律的运算有（）。 17. 填空题：你所知道的具有零元的运算有（），其零元是（）。 18. 设?是X上的二元运算，如果有左幺元e L∈X，也有右幺元e R∈X，则e L= e R =e ，且幺元e 是唯一的。 19. 设?是X上的二元运算，如果有左零元θL∈X，也有右零元θR∈X，则θL=θR =θ,且零元θ是唯一的。 20. 设?是X上有幺元e且可结合的二元运算，如果x∈X，x的左、右逆元都存在，则x的左、右逆元必相等。且x的逆元是唯一的。 21. 设?是X上且可结合的二元运算，如a∈X，且a-1∈X，则a是可消去的，即任取x,y∈X，设有a?x=a?y 则x=y。 22. 对于实数集合R，给出运算如下：＋是加法、—是减法、·是乘法、max是两个数中取最大的、min是两个数中取最小的、|x-y|是x与y差的绝对值。判 N”。 23. 设R是实数集合，在R上定义二元运算* 如下：任取x,y∈R， x*y=xy－2x－2y＋6

离散数学代数系统练习

一、填空 1.下列集合中， 对普通加法和普通乘法都封闭。 （ ） （A ）{}1,0 （B ）{}2,1 （C ）{}N n n ∈2 （D ）{} N n n ∈2 2、在自然数集N 上，下面哪种运算是可结合的？ （ ） （A ）b a - （B ）),max(b a （C ）b a 2+ （D ）b a - 3、有理数集Q 关于下列哪个运算能构成代数系统？ （ ） （A ）b a b a =* （B ）()1ln 22++=*b a b a （C ）()b a b a +=*sin （D ）ab b a b a -+=* 4、下列运算中，哪种运算关于整数集I 不能构成半群？ （ ） （A ）()b a b a ,max =* （B ）b b a =* （C ）ab b a 2=* （D ）b a b a -=* 5．设代数系统?A ，·?，则（ ）成立. A ．如果?A ，·?是群，则?A ，·?是阿贝尔群 B ．如果?A ，·?是阿贝尔群，则?A ，·?是循环群 C ．如果?A ，·?是循环群，则?A ，·?是阿贝尔群 D ．如果?A ，·?是阿贝尔群，则?A ，·?必不是循环群 6．设?L ,∧∨,?是格，?L ，≤?是由这个格诱导的偏序集，则（ ）不成立. A ．对任意a L b a ,,∈≤b b a b =∨? B ．∧∨对是可分配 C ．∧∨,都满足幂等律 D ．?L,≤?的每对元素都有最小上界与最大下界 7．在下列四个哈斯图表示的偏序集中（ ）是格.

8. 已知偏序集的哈斯图，如图所示，是格的为( ) 9. 6阶有限群的任何子群一定不是（）。 (A) 2阶(B) 3 阶(C) 4 阶(D) 6 阶 10. 下列哪个偏序集构成有界格（） (1) （N,≤）(2) （Z,≥） (3) （{2,3,4,6,12},|（整除关系））(4) (P(A),?) 11. 下面代数系统中（G、＊）中（）不是群 A、G为整数集合＊为加法 B、G为偶数集合＊为加法 C、G为有理数集合＊为加法 D、G为有理数集合＊为乘法 12. 设 是阶大于1的群，则下列命题中（）不真。 A、存在零元 B、存在幺元 C、G中每个元素都有逆元 D、运算＊是可结合的 13. 若是的真子群，且｜H︳= n｜G︳= m, 则有 A、n整除m B、m整除n C、n整除m且m整除n D、n不整除m且m不整除n 14. 设?L,≤?是一条链，其中｜L︳≧3，则?L,≤?是（） A、不是格 B、有补格 C、分配格 D、布尔格

内蒙古大学离散习题代数系统部分答案

《离散数学》代数系统 1.以下集合和运算是否构成代数系统？如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律？求出该运算的幺元、零元和所有 可逆元素的逆元. 1)P(B)关于对称差运算⊕，其中P(B)为幂集. 构成代数系统；满足结合律、交换律；幺元φ；无零元；逆元为自身。 2)A={a,b,c}，*运算如下表所示：构成代数系统；满足结合律、交换律；无幺元；无逆元；零元b. 2.设集合A={a,b}，那么（1）在A上可以定义多少不同的二元运算？（2）在A上可以定义多少不同的具有交换律的二元 运算？24个不同的二元运算；23个不同的具有交换律的二元运算 3.设A={1,2},B是A上的等价关系的集合. 1)列出B的元素. 2元集合上只有2种划分，因此只有2个等价关系，即B={I A，E A} 2)给出代数系统V=的运算表. 3)求出V的幺元、零元和所有可逆元素的逆元. 幺元E A、零元I A；只有E A可逆，其逆元为E A. 4)说明V是否为半群、独异点和群？V是为半群、独异点，不是群 4.设A={a,b,c}，构造A上的二元运算*，使得a*b=c,c*b=b，且*运算满足幂等律、交换律. 1)给出关于*运算的一个运算表. 其中表中？位置可以是a、b、c。 2)*运算是否满足结合律，为什么？不满足结合律；a*（b*b）=c≠（a*b）*b=b 5.设是一个代数系统。 *是R上的一个二元运算，使得对于R(实数集合)中的任意元素a,b都有a*b=a+b+a·b(·和+为数集上的乘法和加法). 证明：: 是独异点. 6.如果是半群，且*是可交换的. 证明：如果S中有元素a,b,使得a*a=a和b*b=b，则(a*b)*(a*b)=a*b. (a*b)*(a*b) = a*(b*a)*b 结合律 = a*( a*b)*b 交换律 = (a* a)*(b*b) = a*b. 7.设是一个群,则?a,b,c∈S。试证明：群G中具有消去律,即成立: 如果a·b=a·c ,b·a=c·a 那么b=c. 8.求循环群的所有生成元和子群. 生成元有：1、3、5、7、9、11、13、15 子群有：<0>、<1>、<2>、<4>、<8>. 9.设是群，a∈G . 现定义一种新的二元运算⊙：x⊙y=x*a*y，?x,y∈G . 证明：也是群. 证明：显然⊙是G上的一个二元运算。 ?x,y,z∈G，(x⊙y)⊙z=(x⊙y)*a*z=(x*a*y)*a*z=x*a*(y*a*z)= x*a*(y⊙z)= x⊙(y⊙z).故运算⊙满足结合律.

第五章习题几个典型的代数系统

第五章习题几个典型的代数系统 5.1.设A={0,1},试给出半群的运算表,其中为函数的复合运算。 5.2.设G={a+bi|a,b ∈Z},i 为虚数单位,即i 2=-1.验证G 关于复数加法构成群。 5.3.设Z 为整数集合,在Z 上定义二元运算如下： x,y∈Z,x y=x+y-2 问Z 关于运算能否构成群？为什么？ 5.4.设A={x|x∈R∧x≠0,1}.在A 上定义六个函数如下： f 1(x)=x, f 2(x)=x -1 , f 3(x)=1-x, f 4(x)=(1-x)-1, f 5(x)=(x-1)x -1 , f 6(x)=x(x-1)-1 令F 为这六个函数构成的集合,运算为函数的复合运算。 (1) 给出运算的运算表。 (2) 验证是一个群。 5.5.设G 为群,且存在a∈G,使得 G={a k |k∈Z}, 证明G 是交换群。 5.6.证明群中运算满足消去律. 5.7.设G 为群,若 x∈G 有x 2=e,证明G 为交换群。 5.8.设G 为群,证明e 为G 中唯一的幂等元。 5.9.证明4阶群必含2阶元。 5.10设A={a+bi|a,b∈Z,i 2=-1},证明A 关于复数的加法和乘法构成环,称为高斯整数环。 5.12.(1) 设R 1,R 2是环,证明R 1与R 2的直积R 1×R 2也是环。 (2) 若R 1和R 2为交换环和含幺环,证明R 1×R 2也是交换环和含幺环。 5.13. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不能构成,说明理由。 (1) A={a+bi|a,b ∈Z},其中i 2 =-1,运算为复数的加法和乘法。 (2) A={-1,0,1},运算为普通加法和乘法。 (3) A=M 2(Z),2阶整数矩阵的集合，运算为矩阵加法和乘法。 (4) A 是非零有理数集合Q *,运算为普通加法和乘法。 5.14.设G 是非阿贝尔群,证明G 中存在元素a 和b,a≠b,且ab=ba. 5.15.设H 是群G 的子群,x∈G,令 xHx -1={xhx -1|h∈H},

几个典型的代数系统

本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群． 半群 定义称代数结构为半群（semigroups），如果运算满足结合律．当半群含有关于运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．例 ，，< ，并置>都是半群，后两个又是独异点． 半群及独异点的下列性质是明显的． 定理设为一半群,那么 （1）的任一子代数都是半群，称为的子半群． （2）若独异点的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为的子独异点． 证明简单，不赘述． 定理设,是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有 （1）同态象为一半群． （2）当为独异点时，则为一独异点. 定理设为一半群,那么 （1）为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．（2）存在S到S S的半群同态． 证（l）是显然的． 为证（2）定义函数h:S→S S：对任意a S h（a）= f a f a：S→S 定义如下: 对任意x S， f a（x）= a x 现证h为一同态．对任何元素a,b S． h(a b)＝f a b （l1－1） 而对任何x S， f a b（x）= a b x = f a（f b（x））= f a○f b （x） 故f a b = f a○f b ,由此及式（l1－1）即得 h（a b）= f a b = f a○f b ＝h（a）○ h（b） 本定理称半群表示定理。它表明，任一半群都可以表示为（同态于）一个由其载体上的函数的集合及函数合成运算所构成的半群。这里同构于 ---- 的一个子代数．

第6章几个典型的代数系统

第六章 几个典型的代数系统 本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简 单的半群． 6.1 半群 6.1.1半群的概念 定义6.1.1 设是代数结构，若?是可结合的二元运算，即： ?a ，b ，c ∈S ，(a ?b)?c=a ?(b ?c) 则称为半群; 定义6.1.2 设是半群。若关于运算?有单位元e ，则称为含么半群，有单 位元半群或独异点，记为。 定义6.1.3 若半群的运算?满足交换律，则称是可交换半群。 ［例6.1.1］ (1)，都是含么半群；不是半群； (2)设A 为任一集合，则<ρ(A)，?，Φ>，<ρ(A)，?，A >都是可交换的含么半群； (2)设∑是个字母表， 是∑*上的连接运算，则空串ε就是∑*中关于连接运算 的单位元 且该运算满足结合律，故<∑*， ，ε>是一个独异点。 6．1．2子半群 定义6.1.4 半群的了代数叫子半群 ，即设是半群，T 为S 的非空子集。若T 关于运 算?封闭，则称是的子半群。 定义6.1.5 设是独异点，T 为S 的非空子集。若T 关于运算?封闭，且e ∈T ， 则称是的子独异点。 ［例6.1.2］ 和都是的子半群；是的子独异点，但 不是的子独异点,因为0不在N +中。 定义6.1.6设V 1=, V 2=是两个半群，V 1与V 2的积代数V 1?V 2 = 其中S=S 1?S 2，,,,,2211><>*>=<<21212211,,,y y x x y x y x

离散数学习题解+代数系统

离散数学习题解 代数系统 习题四 第四章代数系统 1．设I 为整数集合。判断下面的二元关系是否是I 上的二元运算 a ）+={（x ，y ），z|x ，y ，zI 且z=x+y} b ）－={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=x －y} c ）3={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=x 3y} d ）/={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=x/y} e ）R={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=x y } f ） ={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=y x } g ）min = {（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=max （x ，y ）} h ）min = {（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=min （x ，y ）} i ）GCD = {（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z= GCD （x ，y ）} j ）LCM={（（x ，y ），z ）|x ，y ，z ∈I 且z= LCM （x ，y ）} [解] a ）是。由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一，故知+：I 2→I 是I 上的一个二元运算。 b ）是。由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一，故知一：I 2→I 是I 上的一个二元运算。 c ）是。由于两个整数这积仍为整数，且结果唯一，故知x ：I 2→I 是I 上的一个二元运算。 d ）不是：例如若x=5，y=6，则z=x/y=5/6?I ；当y=0时z=x|y=x/0无定义。 e ）不是。例如若x=2，y= -2，则z=x y =2 –2= 2 2 1=I 41 ?；若x=y=0，则z=x y =0，则z=I 2x ?= χ； g ）是。由于两个整数中最大者仍为整数，且结果唯一。故知max ：I 2→I 是I 上的一个二 元运算。 h ）是。由于两个整数中最小者仍为整数，且结果唯一。故知min ：I 2→I 是I 上的一个二 元运算。 i ）是。由于两个整数的最大公约数仍为整数，且结果唯一。故知GCD ：I 2→I 是I 上的一 个二元运算。 j ）是。由于两个整数的最小公倍数仍为整数，且结果唯一。故知LCD ：I 2→I 是I 上的一 个二元运算。 注：两个整数a 和b 的最大公约数GCD （a ，b ）定义为同时除尽a 和b 的正整数中最大

第六章 代数系统

第六章代数系统 1、填空题:f就是X上得n元运算得定义就是( )。 2、判断正误,并说明原因:自然数集合N上得减法运算“－”就是个封闭得运算。 3、判断正误,并说明原因:实数集合R上得除法运算“÷”就是个封闭得运算。 4、填空题:代数系统得定义就是:( )。 5、填空题:*就是X上得二元运算,*具有交换性,则它得运算表得特征就是( )。 6、填空题:*就是X上得二元运算,*具有幂等性,则它得运算表得特征就是( )。 7、简答题:*就是X上得二元运算,*具有幺元,如何在它得运算表上判定哪个元素就是幺元？ 8、简答题:*就是X上得二元运算,*具有零元,如何在它得运算表上判定哪个元素就是零元？ 9、简答题:*就是X上得二元运算,*具有幺元,如何判定哪个元素就是元素x得逆元？ 10 令N4={0,1,2,3},N4上定义运算+4: 任何x,y∈N4 , x+4 y=(x+y)(mod 4) 。例如2+43=(2+3)(mod 4) =5(mod 4)＝1 请列出得运算表。然后判断+4运算就是否有交换性、有幺元、有零元、各个元素就是否有逆元？如果有上述这些元素,请指出这些元素都就是什么。 11、判断正误,并说明原因:对于整集合I上得减法运算“－”来说, 0就是幺元。 12、填空题:E就是全集,E={a,b},E得幂集P(E)上得交运算?得幺元就是( )。零元就是( )。有逆元得元素就是( ),它们得逆元分别就是( )。 13、填空题:E就是全集,E={a,b},E得幂集P(E)上得并运算?得幺元就是( )。零元就是( )。有逆元得元素就是( ),它们得逆元分别就是( )。 14、填空题:E就是全集,E={a,b},E得幂集P(E)上得对称差运算⊕得幺元就是( )。零元就是( )。有逆元得元素就是( )。它们得逆元分别就是( )。 15、填空题:对于自然数集合N上得加法运算“＋”,13＝( )。 16、填空题:您所知道得满足吸收律得运算有( )。 17、填空题:您所知道得具有零元得运算有( ),其零元就是( )。 18、设★就是X上得二元运算,如果有左幺元e L∈X,也有右幺元e R∈X,则e L= e R =e ,且幺元e 就是唯一得。 19、设★就是X上得二元运算,如果有左零元θL∈X,也有右零元θR∈X,则θL=θR =θ,且零元θ就是唯一得。 20、设★就是X上有幺元e且可结合得二元运算,如果x∈X,x得左、右逆元都存在,则x得左、右逆元必相等。且x得逆元就是唯一得。 21、设★就是X上且可结合得二元运算,如a∈X,且a-1∈X,则a就是可消去得,即任取x,y∈X,设有a★x=a★y 则x=y。 22、对于实数集合R,给出运算如下:＋就是加法、—就是减法、?就是乘法、max 就是两个数中取最大得、min就是两个数中取最小得、|x-y|就是x与y差得绝对值。 N”。 x*y=xy－2x－2y＋6 1.验证运算* 就是否满足交换律与结合律。 2.求运算*就是否有幺元与零元,如果有请求出幺元与零元。 3.对任何实数x,就是否有逆元？如果有,求它得逆元,如果没有,说明原因。