与子空间直和证明相关的一系列问题
数学系 01数本 2001141117 郭君默 指导老师：晏瑜敏
摘要：与线性空间直和分解有关的问题，特别是一些证明题，一直是学生解题中的难题，有时候不知道该如何下手。本文利用直和分解的几个等价条件，从不同角度总结了一些问题的常规解法以及解题技巧。
关键词：子空间直和；线性变换；维数公式
1 线性空间直和分解的等价刻划
定义 设12,,,s V V V 都是数域F 上线性空间V 的子空间，如果和12s V V V +++ 中的每个向量α的分解式，()12,1,2,,s i i V i s ααααα=+++∈= 是唯一的，这个和就称为直和，记为：
12s V V V ⊕⊕⊕ .[1]
线性空间直和分解的等价刻划：
设12,,,s V V V 都是线性空间V 的子空间，则
（1）12s V V V V =⊕⊕⊕ 当且仅当12s V V V V =+++ 且零向量的表示法是唯一. （2）12s V V V V =⊕⊕⊕ 当且仅当12s V V V V =+++ 且{} =0(1,2,,)i j j i
V V i s ≠=∑ .
（3）12s V V V V =⊕⊕⊕ 当且仅当12s V V V V =+++ 且
12dim dim dim dim s V V V V =+++ .
（4）12s V V V V =⊕⊕⊕ 当且仅当12s V V V V =+++ 且{}
1
1
=0(1,2,,)i i j j V V i s -==∑ .
与直和分解有关的结论还有：
（5）若12,,,n ααα 是线性空间V 的一组基，则
1212(,,,)(,,,),1r r r n V L L r n αααααα++=⊕≤< ，
其中12(,,,)r L ααα 表示由12,,,r ααα 生成的子空间.
(6) 12,,,s V V V 为欧氏空间V 的子空间， 若12s V V V V =+++ 且12,,,s V V V 两两正交，则
12s V V V V =⊕⊕⊕ .
2 零向量表法唯一与子空间直和的证明
例1 设12,,,s V V V 都是欧几里德空间V 的子空间，12s W V V V =+++ ，如果12,V V ， ，s V 两两正交.求证12s W V V V =⊕⊕⊕ . [1]
证明：设()120,1,2,,s i i V i s αααα+++=∈= ，则
()()()12,,,0i i i s αααααα+++= .
()(),0,.,0,i j i i i j αααα=≠∴= 从而0,1,2,,i i s α== ，即零元素的表示法唯一.
故12s W V V V =⊕⊕⊕ .
例2 如果12V V V =⊕，11112V V V =⊕，则11122V V V V =⊕⊕.
证明： 由12V V V =⊕，11112V V V =⊕，得11122
V V V V =++，设111220a a a =++， 其中1111a V ∈，
1212a V ∈，22a V ∈， 则111220,0a a a +== .又111121112,0V V V a a =⊕+= . 11120a a ∴==.
从而 111220a a a ===，即11122V V V V =⊕⊕ .
评注：，习惯上用（1）12s V V V V =⊕⊕⊕ 当且仅当12s V V V V =+++ 且零向量的表示法是唯一.
3 解空间与子空间直和的证明
例3 设12,V V 分别是齐次线性方程组11220n n k x k x k x +++= 与12n x x x === 的解空间，其中
12,,,n k k k 是数域F 中的一组给定满足120n k k k +++≠ 的数，求证：12n F V V =⊕.[2]
证明：给定()1,,n
n a a F α=∈ ，令112212n n n
k a k a k a b k k k +++=+++ ，则
()()12,,,,,,n a b a b a b b b b α=---+ ，取()12,,,n a b a b a b β=--- ，(),,,b b b γ= .
()()()1122n n k a b k a b k a b -+-++- =()1122120n n n k a k a k a k k k b +++-+++= 1212,,.n V V F V V βγ∴∈∈=+从而
如果()12,a a V V α=∈ ，
，则120n k a k a k a +++= ，120n k k k +++≠ ，
0a ∴=，
从而0α=，{}120V V = ，故12n F V V =⊕. 评注：证明一个线性空间可分解为两个子空间的直和，其困难之处往往在第一步，我们以本题为例，
要使n
F 中的向量α写成βγ+，使12,V V βγ∈∈，找到b 是关键.
我们可以用下面的代定系数法解出b ：设有112(),(,)n b b V r b b V β=∈=∈ ，
，，，使αβγ=+，
则由于1V β∈，所以110n n k b k b ++= ，于是我们自然就想到来计算11n n k a k a ++ ： 11n n k a k a ++ =11()()n n k b b k b b ++++ =11221n n n k b k b k b k b k b ++++++
=0+1()n k k b ++ ,又因为10n k k ++≠ ，所以解得b 就不难.
i i b a b =-，1,2i n = .
许多空间分解的题目均可用这一方法来证明.
例4 12,V V 分别是齐次线性方程组120n x x x +++= 与12n x x x === 的解空间，证明：
12n F V V =⊕. (江苏大学 2004年研究生试题). [3]
证明方法 1 空间
n
F 的任一向量
12(,,,)n X x x x = 可分解成
12(,,)(1,1,,1)n X x t x t x t t =---+
其中121
()n t x x x n
=++ ，得12()()()n x t x t x t -+-++- =0，121(,,,)n x t x t x t V ---∈ 且
2(1,1,,1)t V ∈ ，从而12n F V V =+.由方程组120n x x x +++= 与12n x x x === 解得120n x x x ==== ，即{}120V V = . 所以12n F V V =⊕.
证明方法2 解空间11V n -是维子空间，其基为
1(1,1,0,0,,0)α=- , 2(1,0,1,0,,0)α=- , ,1(1,0,0,0,,1)n α-=- ，即
1121(,,,)n V L ααα-= .
对于2V ，由于12n x x x === ，即得方程组
1223
1000
n n x x x x x x --=??-=????-=?
它的基础解系为(1,1,,1) ，即解空间2V 基为(1,1,,1),β= 即2()V L β=.
又因为以121,,,n αααβ- 为行的行列式11001010
1001---
1111
=1
(1)
0n +-≠，
故121,,,,n αααβ- 为n
F 的一组基，所以12n
F V V =⊕.
证明方法3 由方法1得12n
F V V =+，因为1V 是n-1维子空间，又由于12n x x x === ，
即得方程组1223
1000
n n x x x x x x --=??-=????-=? ，它的系数矩阵的秩为n-1.
因此其解空间2V 的维数为1，则12dim dim dim n
F V V =+，从而12n
F V V =⊕.
评注：当121n k k k ==== 时，例4就是例3的特例，这三种方法来证明分别利用了直和分解的下面三个等价条件：
（1）12s V V V V =⊕⊕⊕ 当且仅当12s V V V V =+++ 且{} =0(1,2,,)i j j i
V V i s ≠=∑ .
（2）若12,,,n ααα 是线性空间V 的一组基，则
1212(,,,)(,,,),1r r r n V L L r n αααααα++=⊕≤< ，
其中12(,,,)r L ααα 表示由12,,,r ααα 生成的子空间. （3）12s V V V V =⊕⊕⊕ 当且仅当12s V V V V =+++ 且
12dim dim dim dim s V V V V =+++ .
4 线性变换与子空间直和的证明
例5设A 是数域F 上的n 维线性变换，12,W W 是V 的子空间，并且12V W W =⊕， 则A 有逆变换()()12V A W A W ?=⊕ (兰州大学2004年研究生考试试题). [4]
证明： A 是满射，(),A V V V η∴=∴?∈必有V ξ∈使()A ξη=.
12V W W =⊕，从而12ξξξ=+，其中1122,W W ξξ∈∈.()()()12A A A ηξξξ∴==+，其中
()()()()1122,A A W A A W ξξ∈∈()()12V A W A W ∴?+.又()()12A W A W V +?，所以
()()12V A W A W =+.
()()12A W A W η?∈ ，因为A 是单射，故仅有唯一的V ξ∈，使()()()12A A W A W ηξ=∈ ，
其中()()()()12,A A W A A W ξξ∈∈，
{}1212,0,W W W W ξξξ∴∈∈∴∈= ()()00A A ηξ∴===. 0ξ∴=，故()()12V A W A W =⊕.
例6 数域F 上的n 维向量空间V 的一个线性变换A 叫做对合变换，如果2
A ε=，ε是单位变换.设A 是V 的一个对合变换. 求证：
()1A 的特征根只能是1±.
()211V V V -=⊕，其中1V 是A 的属于特征根1的特征子空间， 1V -是A 的属于特征根-1的特征子
空间. [4]
证明：()1设λ是A 的特征根，α是属于λ的特征向量，则()()2
2
,A A αλααλα==.
另一方面，由题设()22
,A ααλαα=∴=,()()
22
10,0.10λααλ-=≠∴-=.即A 的特征根只能
是1±.
()2任给,V α∈()()
2
2
A A ααααα+-=
+
，则()()()
1,222A A A A V αααααα+++??=
∈
???
， 同理
()
12
A V αα--∈，因此，11V V V -=+.
任取11V V β-∈ ，其中11,V V ββ-∈∈,()(),,0A A βββββ==-∴=. 所以 {}110V V -= 即11V V V -=⊕.
例7 设()f x 为数域F 上的多项式，且有()()()12f x f x f x =?，
()()()1
2
,1f x f x =，
又设V 为F 上的n 维线性空间，A 为V 的一个线性变换，12,,V W W 分别为()()()12,,f A f A f A 的核，求证：V=12W W ⊕ (华东师范大学考研题2004年苏州大学考研题). [4]
证明：因为()()()
12,1f x f x =，存在多项式()()[],U x V x P x ∈, 使
()()()()121f x U x f x V x +=，()()()()12f A U A f A V A ε+=，
,V α?∈()()()()1212f A U A f A V A ααααα=+=+，则
()()()()()()12120f A f A f A V A f A V A ααα===，21V α∈
()()()()()()21210f A f A f A U A f A U A ααα===，21V α∈，
12V W W ∴?+.
1W α?∈，则()10f A α=. 从而()()()210f A f A f A αα==.1W V ∴?，同理2W V ?，由此
得,12V W W =+.
12W W α?∈ ， ()()()()12000f A U A f A V A ααα=+=+=. 故12V W W =⊕.
5 其它方面与子空间直和的证明
例8设S 是n 阶对称矩阵的全体， (){}{}0,U A V
tr A V E F λλ=∈==∈.
求证：S U V =⊕.（2004年厦门大学考研辅导班习题)
证明： U ，V ?S ， 则 U V S +? . ()()11
,A S tr A E V A tr A E U n n ?∈∈-∈，. 且 ()()()''
'
111A tr A E A tr A E A tr A E n n n ????-=-=- ? ?????
为对称阵. 则
()()()()()110tr A tr A E tr A tr tr A E tr A tr A n n ????
-=-=-= ? ?????.
()()11
,A S A A tr A E tr A E U V n n
??∈=-+∈+ ???，S U V ∴?+ ，从而S U V =+.
,B U V B E λ?∈= ，()()0tr B tr E n λλ=== 则0,0B λ==，即{0}U V = .
故 S U V =⊕.
例9 设V 是有限维欧氏空间，内积记为(),αβ，又设A 是V 的一个正交变换，记
{}{}12,V A V A V αααααα===-∈.
求证： 12V V V =⊕ (1997年华东师范大学研究生试题，2003年浙江大学研究生试题) [2] 分析：我们知道11,V V V ⊥
=⊕ 若能证明12V V ⊥
=的话问题就解决了.
证明：21,,A V V ββα?-∈∈ ()()(),,,A A αββαβαβ-=-=()(),,A A αβαβ-=
()(),,0αβαβ-=. 故21V V ⊥?.
又因为()()121,(0)V A V V A εε-=-=-，故dim ()()()1
2dim 0V rank A n A εε-=-=--
11dim dim n V V ⊥=-=. 即 12V V ⊥=从而，12V V V =⊕.
评注：通过12V V ⊥
=的巧妙转化，非常简洁地解决了此题. 事实上，若此题从常规解法入手的话是有一定因难的，解题的步骤也要复杂得多.
参考文献
[1] 北京大学数学系编著. 高等代数[M]. 高等教育出版社.1988.3: 108~124.
[2] 陈志杰等编. 高等代数与解析几何习题精解[M]. 科学出版社, 2002.2: 226~235.
[3] 杨子胥.高等代数习题解(修订版) . 下册[M].山东科学技术出版社, 2001.6.12: 106~184
[4] 樊小军, 钱吉林主编. 代数学辞典[M].华中师范大学出版社, 1994.12.1: 687~706.
[5] 许甫华, 张贤科编著. 高等代数解题方法[M].清华大学出版社,2001.9.1.
[6] 王正文编著. 高等代数分析与研究[M]. 山东大学出版社, 1994.6.1: 137~153.
[7] 张均本主编. 高等代数习题课参考书[M]. 高等教育出版社1985.8.5: 180~213.
[8] 黎伯堂, 刘桂真编写. 高等代数解题技巧与方法[M]. 山东科学技术出版社, 1999.6.21: 111~133.
[9] 王德生编著. 高等代数与解析几何（上）习题解析[M]. 辽宁师范大学出版社, 2001.7.13: 466~475.
[10] 丘维声. 高等代数（第二版下册）[M]. 高等教育出版社.1989.6.9,86~89
[11] 高等代数研究生试题集锦[M]. 厦门大学图书馆.1980.10.2,190~201.
[12] 刘昌堃, 叶世源, 叶家琛编. 高等代数[M]. 高等代数厦门大学图书馆.1985.3.26,222~225.
[13] 姚慕生编著. 高等代数[M]. 复旦大学出版社.2002.4.17,108~124.
Abstract
Questions about direct sum decomposition of linear spaces are difficult to students,especially some proving problem,sometimes they have no idea about how to process.In this paper,using some equivalent conditions of direct sum decomposition,we summarize some normal solutions ,and skill from difficult angles .
Keywords: Direct sum decomposition of subspace,；Line transformation；Dimension formula.
致谢:
感谢我的老师——杨忠鹏教授，在我写这篇论文过程中，对我不倦的教导和热忱的帮助。同时要是没有晏瑜敏老师的支持，我想我的论文也不会写得如此顺畅；当然还要真诚的感谢她这一年来在代数学方面对我的帮助，没有晏瑜敏老师，今天我在这方面也不会有如此大的收获。杨忠鹏教授永远是我最尊敬的老师，也是我在数学方面真正的启蒙老师，我也永远祝他身体健康，工作顺利. 借此也感谢在这大学四年里支持过我、帮助过我的所有老师，同学，特别感谢晏瑜敏老师.