八年级数学（下）教学案第1课时
班级姓名
课题：17.1勾股定理（1）课型新授
【学习目标】：1 . 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
学习重点：勾股定理的内容及证明，
学习难点：勾股定理的证明。
学习过程
一、自学导航（课前预习）
1、直角AABC的主要性质是：乙C=90。
（用几何语言表示）
（1）两锐
角之间的关系：
（2）若D为斜边中点，则斜边中线—
（3）若匕B=30。，则乙B的对边和斜边：
2、勾股定理证明：
方法一；
如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用而
积证明’
S正方形= 方
法二；
已知：在AABC中，乙890°,厶A、乙B、乙C的对边为
a、求证:a~ + b~=c~o
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的
面积相等。
左边S二
右边S= ___________
左边和右边面积相等，
即化简可得。
二、合作交流（小组互助）思考：
（1）观察图l-lo A的面积是个单
位面积；
B的面积是个单位面积；
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（2）你能发现图1-1中三个正方形A, B, C的面积之间有什么关系吗？图1-2中的呢？
由此我们可以得出什么结论？可猜想:
如果直角三角形的两直角边分别为a、b,斜边为c,那么
（三）展示提升（质疑点拨）
1.在RtAABC 中，ZC = 90°
(1)如果*3, b=4.则c=
(2)如果a=6, b=8.则c=,（3）如果a二5, b二12,则c二；
（4）如果a二15, b二20,则c二?
2、下列说法正确的是（）
A.若“、b、c,是△ABC 的三边，则＜r +b2 =c2
B.若〃、b w c 是RtAABC 的三边，则?:+/r =c2
第4題图
C.若“、b s c,是RtAABC 的三边，匕4 = 90。则a2+b2=c2
D.若b . c是RtAABC的三边, ZC = 90° ,则a2+b2=c2
3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是（）
A .斜边长为25
B .三角形周长为25
C .斜边长为5
D .三角形面积为20
4、如图,三个正方形中的两个的面积Sl=25, S2 = 144,则另一个的面积S3为
5、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的长为3（四）达标检测
1.在RtAABC 中.ZC 二90。，
①若aW, b=12,则c= __________ ；〔2：若定15, c=25,则b= ________ ；
③若c=61, b二60：则a=；④若a ： b=3 ：4, c=10 则S*,?好c.
2、
一直角三角形的一直角边长为6,斜边长比另一直角边长大2,则斜边的长为
3、一个直
角三角形的两边长分别为3cm和4cm,则第三边的为
4、已知，如图在AABC中，AB二BC二CA二2on, AD是边BC上的高.
求①AD的长；②SBC的面积.
八年级数学（下）教学案第2课时
班级姓名
课题：17.1勾股定理（2）课型:新授
学习目标：1.会用勾股定理进行简单的计算。
2.勾股定理的实际应用，树立数形结合的思想、分类讨论思想。学习重点：勾股定理的简单计算。
学习难点：勾股定理的灵活运用。
学习过程
一、自学导航（课前预习）
1、直角三角形性质有：如图，直角AABC 的主要性质是：ZC=90° ,
（用几何语言表示）
（1）
两锐角之间的关
系： ;
（2）
若
ZB=30° ,则匕B 的対边和斜边：
；
（3）
直角三角形斜边上的 等于斜边的 0
（4） 三边之间的关系： 0 （5） 己知在 RtAABC 中，ZB=90° , a. b 、c 是△ABC 的三边,
C=
? （已知 a 、b,求 c ）
例2、如图，一个3米长的梯子乂8斜靠在一竖直的墙上，这时的距离为2.5米.如 果梯子的顶端4沿墙下滑0.5米，那么梯子底端6也外移0.5米吗？（计算结果保留两位小 数） 分析：要求出梯子的底端&是否也外移05米，实际就是求8。的长，而8EO 末OB
a=
? (已知 b 、c,求 a)
。（已知a 、c.
2、(1)在 RtAABC.
△ 090°, a 二3. b 二4,则 c 二 ⑵在 RtAABC,
^C=90c
, a=6. c=8,则 b 二
(3)在 RtAABC. ZC 二90°, b 二 12, c=13.则 a 二
二、合作交流（小组互助）例1：一个门框的尺寸如图所示 若薄木板长3米，宽2.2米呢？
O B D O
D
（三）展示提升（质疑点拨）1、一个高L5米、宽0.8米的长方形门框，需要在其相对的顶点间用一条木条加固，则需木条长为O
2、从电杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆.则地面钢缆A到电线杆
底部B的距离为o
3、有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口, 圆的直径
至少为（结果保留根号）
4、一旗杆离地面6m处折断其顶部落在离旗杆底部8m处，
则旗杆折断前高o
如下图.池塘边有两点A. &点C是与BA方
向成直角的AC方向上一点.测得CB = 60m,AC = 20m. 你能
求出A、B两点间的距离吗少
5、如图，滑杆在机械槽内运动，ZACB为直角，已知滑杆AB长100cm.顶端A在AC ± 运动，是得滑杆下端B距C点的距离为60cm,当端点B向右移动20cm时，滑杆顶端A下滑多长？
（四）达标检测
1、若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16cm,那么第三边上的高为（
Ax 12 cm B, 10 cm C、8 cm D, 6 cm
2、若等腰直角三角形的斜边长为2,则它的直角边的长为斜边上的高的长
为
3、如图，在zJABC 中，匕ACB=90： AB二5cm, BC二3cm, CD丄AB 与D.
求:（L） AC的长；（2） JABC的面积；（3） CD的长。
八年级数学（下）教学案第3课时
班级姓名
课题：17.1勾股定理（3）课型:新授
学习目标：
1 -能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步领会数形结合的思想:
2.会用勾股定理解决简单的实际问题。
学习重点：运用勾股定理解决数学和实际问题
学习难点：勾股定理的综合应用。
学习过程
一、自学导航（课前预习）
1、（1）在RtAABC,匕C=90°, a=3, b=4,则c=。
（2）在RtAABC, Z.C=90c, a=5, c=13,则b=。
2、如图.已知正方形ABCD的边长为1,则它的对角线AC二
二、合作交流
例：用圆规与尺子在数轴上作出表示序的点，并补充完整作图方法。
步骤如下：1 .在数轴上找到点A,使。A= ；
2.作直线I垂直于0A,在丨上取一点B,使AB= ；
3.以原点。为圆心，以0B为半径作強，弧与数轴交于点C,则点C即为表示腴的点.
分析：利用尺规作图和勾股定理画岀数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。如图，已知OA=OB
(1)说出数轴上点A所表示的数
(2)在数轴上作出、甬对应的点
B
I I ?
?4 -3 -2 ?1 0 1 2
三、展示提升(质疑点拨)1、你能在数轴上找出表示、庞的点吗？请作图说明°
2、已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边。
3、已知：如图，等边AABC的边长是6cm°
(1)求等边AABC的高。
(2)求S△ABC。
四、达标检测
1、已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm..则第三边长为
2、已知等边三角形的边长为2cm,则它的高为,面积为o
3、已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积。
4、在数轴上作出表示JF7的点。
5、已知：在RtAABC 中，zLC=90°, CD 丄AB 于D,厶A=60°,
求线段AB的长。
八年级数学(下)教学案第4课时
班级姓名
课题：17.2勾股定理逆定理(1) 课型:新授学习目标：1、了解勾股定理的逆定理的证明方法和过程；
2、理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系；
3、能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形一学习重点：勾股定理的逆定理及其应用。
学习难点：勾股定理的逆定理的证明。
学习过程
一、自学导航
1、勾股定理：直角三角形的两条的平方—等于的即
2、填空题
(1)在RtAABC, ZC=90°, 。=8,人=15,则。=
(2)在RtAABC. ZB=90°, a =3t /?=4,则c=.
3、直角三角形的性质-
(1)有一个角是；(2)两个锐角
(3)两直角边的平方和等于斜边的平方：
(4)在含30。角的直角三角形中，30。的角所对的边是边的一半
二、合作交流
1、怎样判定一个三角形是直角三角形？
2、下面的三组数分别是一个三角形的三边长a.b.c
5、12、13 7、24、25 8、15、17
(1)这三组数满足a2+b2=c2吗？
(2)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
猜想命题2：如果三角形的三边长〃、/，、c,满足a2+h2=c2,那么这个三角形是三角形
问题二：命题1 ：
命题2 ：
命题1和命题2的枝______________ 正好相反，把像这样的两个命题叫做
命题，如果把其中一个叫做,那么另一个叫做
由此得到
勾股定理逆定理:
命题2：如果三角形的三边长〃、b、c满足”+bU,那么这个三角形是直角三角形已知：在△/48C中，A&C,此*, 8》，且a1 +b2 =c?
“貞求证：Z 090°
思路：构造法一一构造一个直角三角形，使它与原三角形全等.
利用对应角相等来证明?
证明：
三、展示提升
1、判断由线段L b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) “ = 15M = 8.c = 17 ; (2) 〃= 13.b = 14.c = 15
2、说出下列命题的逆命题这些命题的逆命题成立吗，
(1)两条直线平行，内错角相等.
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等?
(3)全等三角形的对应角相等.
(4)在角的平分线上的点到角的两边的距离相等. fl
R Q C
四、达标检测
1、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是能构成直角三角形的是，(填序号)
1 3, 4, 5 ② 1, 3, 4 ③ 4, 4. 6 ④ 6. 8, 10 ⑤ 5, 7.
2 ⑥ 13, 5. 12 ⑦ 7. 25, 24
2、在下列长度的各蛆线段中，能组成直角三角形的是( )
A . 5. 6. 7
B . 1, 4, 9
C . 5, 12, 13
D . 5. 11. 12
3、在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中.不能构成直角三角形的是( )
A、a二9, b=41. c二40
B、a二b二5, c二5扼
C、a ：b ：c二
3 ：
4 ：
5 Da二11, b二12.
c 二15
4、若一个三角形三边长的平方分别为：3； 4； x：则此三角形是直角三角形的x=的值是
()
A . 4’
B . 52
C . 7
D ?5’ 或7
5、命题”全等三角形的对应角相等?
(1)它的逆命题是:
(2)这个逆命题正确吗？
(3)如果这个逆命题正确，请说明理由，如果它不正确，请举出反例二
八年级数学(下)教学案第5课时
班级姓名
课题：17.2勾股定理逆定理(2) 课型新授
学习目标：1、勾股定理的逆定理的实际应用；
2、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合. 学习重点：勾股定理的逆定理及其实际应用。
学习难点：勾股定理逆定理的灵活应用。
学习过程
一、自学导航
1、判断由线段Q、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1)a = l,b = 2,c = $ ; (2) a = \.5,b = 2.c = 2.5 (3) a = 5.b = 5,c = 6
2、写出下列真命题的逆命题，并判断这些逆命题是否为真命题。
(1)同旁内角互补
.
两直线平行；
解：逆命题是：；它是命题：
(2)如果两个角是直角，那么它们相等；
解：逆命题是：；它是命题：
(3)全等三角形的对应边相等；
解：逆命题是：；它是命题＜
(4)如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
解：逆命题是：；它是命题：
二、合作交流
1、勾股定理是直角三角形的定理；它的逆定理是直角三角形的定理.
2、请写出三组不同的勾股数：、、?
3、借助三角板画出如下方位角所确定的射线：
1南偏东30° ； 2西南方向；③北偏西60°.
例1：??远航”号、?海天.号轮船同时
离开港口，各自沿一固定方向航行，?远
航?号每小时航行
16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道?远航■?号沿东北方向航行，能知道?海天■■号沿哪个方向航行吗？
三、展示提升
1、已知在中，Z?是8(7边上的一点，若另8=10, 80=6,成？=8, AC=17,求S EBC.
(:
1
2、如图，南北向MX为我国领域，即MN以西为我国领海、以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇測得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？分析:为减小思考问题的?跨度二可将原问题分解成下述?子问题”：
(1)^ABC是什么类型的三角形？
(2)走私艇C进入我领海的最近距离是多少？
(3)走私艇C最早会在什么时间进入？
四、达标检测
1、一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为, 此三角形的形状为O B
2、已知：如图，四边形ABCD中，AB=3, BC=4, CD=5, AD=5盘, \
NB=90。，求四边形ABCD的面积. / 1
7
I)
3、如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截.六分钟后同时到达C地将其拦截二已知甲巡逻
E
艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西苛，问：甲巡逻艇的航向？
八年级数学（下）教学案第6、7课时
班级姓名
课题：勾股定理全章复习课型:复习
学习目标：复习勾股定理及其逆定理.能利用它们求三角形的边长或证明三角形是直角三角形. 学习重点：勾股定理及其逆定理的应用。
学习难点：利用定理解决实际问题。
学习过程
一、知识要点1:直角三角形中，已知两边求第三边
L勾股定理：若直角三角形的三边分别为b"ZC=90°,则
c
公式变形①：若知道C b,则。=
公式变形2 ：若知道c c,则人=
公式变形③：若知道A C,则。=
例1:求图中的直角三角形中未知边的长度：
b=_________ , c = ___________ .
(1)在RtMBC中，若ZC = 90°, a = 4, b = 3、则。= .
(2)在RtMBC中，若ZS = 90°,。= 9, b = 4l,则。= ______________ .
⑶在RtMBC中，若匕4=90°, ? = 7, h = 5.贝次= .
二、知识要点2:利用勾股定理在数轴找无理数。
例2 ：在数轴上画出表示y/5的点.
在数轴上作出表示而的点一
三、知识要点3 :判别一个三角形是否是直角三角形.
例3：分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1) 3、4、5 (2) 5、12、13 (3) 8、15、17 (4) 4、5、6.试找出哪些能够成直角三角形。
1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是( )
A ?12, 15, 17
B . 9, 16. 25
C . 5a. 12a, 13a (a>0)
D . 2, 3, 4
2、判断由下列各组线段"，b. c的长，能组成的三角形是不是直角三角形，说明理由.
(1) a = 6.5, b = 7.5, c = 4 ; (2) r/ = 11, /? = 60, c = 61 ;
(3)" = 3 = 2, 〃=?；(4) 〃= 3：?b = 2, c = 4：；
四、知识要点4:利用列方程求线段的长
例4：如图.铁路上A, B两点相距25km, C. D为两村庄.DA丄AB于A. CB丄AB于B, 已知DA=15km, CB = 10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C, D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
如图，某学校(A点)与公路(直线L)的距离为300米，又与公路车站(D点)的距离为500米，现要在公路上建一个小商店(C点)，使之与该校A及车站D的距离相等.求商店与车站之间的距离.
五、知识要点5 :构造直角三角形解决实际问题
例5：如图小明想知道学校旗杆AB的高.他发现固定在旗杆顶端的绳子垂下到地面时还多I 米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能求出旗杆的高度吗，
—透明的玻璃杯.从内部测得底部半径为6CQ杯深16cm,今有一根长为放入
杯中，露在杯口外的长度为2cm,则这玻璃杯的形状是
体.
六、课后巩固练习
（-）填空选择
1、写出一组全是偶数的勾股数是.
2、直角三角形一直角边为12 cm.斜边长为13 cm,则它的面积为.
3、斜边长为17 cm, —条直角边长为15 cm的直角三角形的面积是（）
A . 60 cm'
B . 30 cm2
C . 90 cm2
D . 120 cm2
4、已知直角三角形的三边长分别为6、8. X,则以】为边的正方形的面积为.
5、若一三角形三边长分别为5、12、13,则这个三角形长是13的边上的高是.
6、若一三角形铁皮余料的三边长为12cm, 16cm, 20cm,则这块三角形铁皮余料的面积为
-------- cm'
7、如图一个圆柱，底圆周长6cm,高4cm, 一只蚂蚁沿外
壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm .
（二）解答题 _ K一?丿
1、在数轴上作出表示Jii的点?
2、已知，如图在AABC中，AB二BC二CA二2cm, AD是边BC ±的高
求? IAD的长；2 MBC的面积.
C
D
3
3、如图，已知在△ABC 中，CD 丄AB 于 D, AC = 20. BC = 15, DB = 9 （1） 求DC 的长； （2） 求AB 的长;
（3） 求证：^ABC 是直角三角形
4、如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米.顶角
ZBACF20。，E 、F 分别为BD 、 CD 中点，试求B 、C 两点之间的距离，钢索AB 和AE 的长度。（结果保留根号）
5、（如图，ZUe 和都是等腰直角三角形，3C8=￡ECD=90。, Z?为边上一点, 求证：（1） /\ACE ^/\BCD ; （2） AD 2 + DB 2 = DE 2 .
6、 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m ，8m .现在要将绿地扩充成等腰 三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.
7、 如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点夕处测得教学楼4位于北偏东60。方向， 办公楼8位于南偏东45。方向.小明沿正东方向前进60米到达C 处，此时测得教学楼芦恰 好位于正北方向.办公楼8正好位于正南方向.求教学楼乂与办公楼8之间的距离（结果 精确到0.1米）.（供选用的数据 侦 -1-414. V3 -1.732）
:
A
感谢您的阅读，祝您生活愉快， P
c
：
45
第十七章勾股定理单元备课 一、教材分析： 新版教材在原有教材的基础上进行了修订，“勾股定理”为独立的一章，其主要内容包括勾股定理（直角三角形三边的关系）；勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）；勾股定理及逆定理的应用。 本章所研究的勾股定理，是直角三角形的一条非常重要的性质，它也是几何学中重要的定理之一。勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。通过探索勾股定理的活动，体验由特殊到一般的探索数学问题的方法，尝试用数形结合来解决数学问题的思想。 1.本章的主要内容 （1）勾股定理（直角三角形的三边关系） （2）勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法之一） （3）勾股定理及勾股定理逆定理的应用。 2.重点与难点 本章内容的重点是勾股定理及勾股定理逆定理的应用。勾股定理是解几何题中有关线段计算问题的重要依据，也是以后学习解直角三角形的主要依据之一。本章的难点是勾股定理的证明。课本通过构造图形，利用面积相等来证明的，证明思路的获得学生感到困难，这涉及到了解决几何问题的方法之一：割补法。 二、教学目标：
（1）理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边。 （2）能验证勾股定理。 （3）会运用勾股定理的逆定理，判定直角三角形。 （4）通过介绍古今中外对勾股定理的研究，激发学生的爱国热情。 （5）能运用勾股定理及勾股定理的逆定理解决简单的实际问题。 三、教学中应注意的问题： 1.让学生获得更多与勾股定理有关的知识背景，注重介绍数学文化。 2.让学生体验勾股定理的探索和运用过程。 3.注意引导学生体会数形结合的思想方法，培养应用意识。 4.适当总结与定理、逆定理有关的内容 四、课时安排： 17.1勾股定理4课时 17.2 勾股定理的逆定理3课时 小结与复习1课时第十八章单元测试2课时
勾股定理全章复习 主备人: 审核人：初二数学组 课型:新授 学习目标：复习勾股定理及其逆定理，能利用它们求三角形的边长或证明三角形是直角 三角形. 学习重点：勾股定理及其逆定理的应用。 学习难点：利用定理解决实际问题。 学习过程 一、知识要点1：直角三角形中，已知两边求第三边 1.勾股定理：若直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，ο 90=∠C ，则 。 公式变形①：若知道a ，b ，则=c ； 公式变形②：若知道a ，c ，则=b ； 公式变形③：若知道b ，c ，则=a ； 例1：求图中的直角三角形中未知边的长度： =b ，=c . (1)在Rt ABC ?中，若ο 90=∠C ，4=a ，=b 3，则=c . (2)在Rt ABC ?中，若o B 90=∠，9=a ，41=b ，则=c . (3)在Rt AB C ?中，若ο 90=∠A ，7=a ，5=b ，则=c . 二、知识要点2：利用勾股定理在数轴找无理数。 例2：在数轴上画出表示5的点. 在数轴上作出表示10的点． 三、知识要点3：判别一个三角形是否是直角三角形。 例3：分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，试找出哪些能够成直角三角形。 1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A ．12，15，17 B ．9，16，25 C ．5a ，12a ，13a （a>0） D ．2，3，4 2、判断由下列各组线段a ，b ，c 的长，能组成的三角形是不是直角三角形，说明理由. （1）5.6=a ，5.7=b ，4=c ； （2）11=a ，60=b ，61=c ； 9 15 b 24 c
探索勾股定理-（1） （第1课时）学生姓名： 学习目标：会探索勾股定理，会初步利用勾股定理解决实际问题。 重难点：会用勾股定理求直角三角形的边长 学习过程： 一、课前预习： 1、三角形按角的大小可分为：、、。 2、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和；任意两边之差。 3、直角三角形的两个锐角；直角三角形中最长边是。 4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。 二、自主探究： 探究一：探索直角三角形三边的特殊关系： （1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表； （2）猜想：直角三角形的三边关系为。https://www.doczj.com/doc/bc18751105.html, 探究二：如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？
思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。 勾股定理： 直角三角形 等于 ； 几何语言表述：如图1.1-1，在Rt ΔABC 中， C ＝ 90°， 则： ； 若BC=a ，AC=b ，AB=c ，则上面的定理可以表示为： 。 三、课堂练习： 1、求下图中字母所代表的正方形的面积 12米处。旗4、如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一点，∠ACB=90°， AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是多少？ 四、课后反思 第4题 B C A
探索勾股定理-（2） （第2课时）学生姓名： 学习目标：掌握勾股定理，理解利用拼图验证勾股定理的方法。能运用勾股定理解决一些实际问题。 重难点：勾股定理的应用。 学习过程： 一、知识回顾： 1、直角三角形的勾股定理： 2、求下列直角三角形的未知边的长 二、自主探究：利用拼图验证勾股定理 活动一：用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考： 1．拼成的图1中有_______个正方形，___个直角三角形。 2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。 3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？ 分析：大正方形的面积＝ 边长的平方 ＝小正方形的面积＋ 个直角三角形的面积 得： ( ＋ )2＝ 2＋ ×1 2ab . 化简可得： 活动二：用四个全等的直角三角形拼出图2验证勾股定理。 用四个相同的直角三角形(直角边为a ，b ，斜边为c )构成如图所示的正方形． 图2 分析：大正方形的面积＝边长的平方= ＋4个直角三角形的面积 得 2＝( － )2＋4×1 2 ab . 化简可得： 12 B A C
课题名称：勾股定理 (1 ) 学习目标： 1 ?了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2. 培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。了解我国古代在勾股定 理研究方面所取得的成就。 学习目标：经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。学习重点：勾股定理的内容及证明。学习难点：勾股定理的证明。 自助探究 1. 1、2002年北京召开了被誉为数学界“奥运会”的国际数学家大会，这就是当 时采用的会徽.你知道这个图案的名字吗？你知道它的背景吗？你知道为什么会 用它作为会徽吗？ 量关系.请同学们也观察一 下， 2、相传2500年前，古希腊的数学家毕达哥/ 么？ 拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺' 成的地面中反映了直角三角形三边的某种数 (1) 引导学生观察三个正方形之间的面积的关系； (2) 引导学生把面积的关系转化为边的关系. 结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和 3、等腰直角三角形有上述性质， 其它直角三角形也有这个性质吗？ 4、____________________________________________________ 猜想：命题1 自助提升 1、定理证明 (1) 赵爽利用弦图证明。 显然4个_________ 的面积+中间小正方形的面积二该图案的面积. 1 22 即4 X X _______ +〔〕= c ,化简后得到___________ . ________ 2 (2) 其他证明方法：教材72页思考讨论完成 2、在Rt△ ABC中，/ C=90°,AB=17,BC=8,求AC 的长 3、Rt△ ABC和以AB为边的正方形ABEF,/ ACB=90° AC=12，BC=5,则正方形的面积是________ . 4、(1)已知Rt△ ABC 中，/ C=90 ° BC=6，AC=8，求AB. (2) 已知Rt△ ABC 中，/ A=90 ° AB=5，BC=6，求AC. (3) 已知Rt△ ABC 中，/ B=90 ° a，b，c 分别是/ A，/ B， / C的对 A F i片i C B
第十七章：《勾股定理》复习学案 一、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边为，那么。 直角三角形 b c a2+b2=c2 (数) （形） a a 变形为：a= ；b= 。 1、设直角三角形的斜边为c，两直角边为a和b，求： （1）已知a=6，b=8，则c= ; (2) 已知a=3，c=8，则b= ; (3)已知b=4，c=8，则a= ; 二、勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是．2（1）已知三条线段长分别是8，15，17，那么这三条线段能围成一个（） A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定 （2）下列各组数不是股数的是（） A、5、12、13 B、3、4、5 C、8、6、17 D、15、20、25 三、勾股定理与正方形面积 3、已知图中所有四边形都是正方形，且A与C、B与D所成的角都是直角，其最大正方形的边长为5，则A，B，C，D四个小正方形的面积之和为 4、是一株美丽勾股树，其四边形正方形，．若正方形A，B，C，D边长分别
是3，5，2，3，则最大正方形E 面积是 5、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如上图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______． 四、木板能否通过门框 6，如图，长4m ，宽3m 薄木板 （能或不能）从门内通过． 7、门高2米，宽1米，现有为3米，宽为2.2米薄木板能否从门框内通过？为什么？ 五、梯子移动问题 8、一个5米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时OB=3米，如果底端B 沿直线OB 向右滑动1米到点D ，同时顶端A 沿直线向下滑动到点C （如图所示）．求AC ． 9、如图，一个2.5米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时梯子顶端A 距离墙角O 的高度为2米． ①求底端B 距墙角O 多少米？ ②如果顶端A 沿角下滑0.5米至C ，底端也滑动0.5米吗？ l 3 2 1 S 4 S 3 S 2 S 1
勾股定理的逆定理（第5课时） 【 学习目标】：1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 【学习重点】：掌握勾股定理的逆定理及证明。 【学习难点】：勾股定理的逆定理的证明 【学习过程】 一、温故知新1、如何判定一个三角形是直角三角形？ 二、自学探究 1、在练习本上用尺规画以线段a ，b ， c . 为边的三角形，并判断分别以上述a 、b 、c 为边的三角形的形状. ⑴ a =3，b =4 c =5 ⑵ a ＝2.5，b ＝6，c ＝6.5， ⑶ a =4， b =7.5 , c =8.5 2、猜想：如果三角形的三边长a 、b 、c ，满足222c b a =+，那么这个三角形是 三角形 猜想的题设是： __________ 猜想的结论是： ____________________________________ 该猜想的题设和结论与勾股定理的题设和结论正好 . 3、如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这样的两个命题叫做 命题，若把其中一个叫做原命题．．．，那么另一个叫做它的 命题.譬如： ①原命题：若a ＝b ,则a 2＝b 2；逆命题： .（正确吗？答 ） ②原命题：对顶角相等；逆命题： . （正确吗？答 ） 由此可见：原命题正确，它的逆命可能 也可能 . 正确的命题叫真命题．．．，不正确的命题叫假命题．．． 4、验证猜想 已知：△ABC 中，BC 2＋AC 2＝AB 2 ； 求证：∠C ＝90°. 证明：作Rt △A ′B ′C ′,使∠C ′＝90°， B ′ C ′＝BC ＝a , A ′C ′＝AC ＝b . 通过证明，我发现勾股定理的逆命题是 的，它也是一个 ，我们把它叫做勾股定理的 . 三、回顾与归纳 1、勾股定理是直角三角形的 定理；勾股定理的逆定理是直角三角形的 定理. 2、已知三角形的三边长，判断该三角形是不是直角三角形的步骤是： ①先算两条短边的 再算最长边的 ；把 作比较；作出 . ②勾股数:我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k 、4k 、5k （k 是正整数）是一组勾股数吗？一般地，如果a 、b 、c 是一组勾股数，那么ak 、bk 、ck （k 是正整数）是一组勾股数吗？ 比一比看谁能说出的勾股数多？
A B 17.1.1 《勾股定理》第一课时导学案 学习目标：1、了解多种方法验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性。 2、通过实例进一步了解勾股定理，应用勾股定理进行简单的计算。 学习过程： 活动一 动手做一做 1、在右边空白处画出Rt△A B C 令∠C = 90°， 直角边A C = 3cm ，B C = 4cm ， （1）用刻度尺量出斜边A B = ________（2）计算：__________,_____,222===AB BC AC 2、探究：222,,AB BC AC 之间的关系： 活动二 毕达哥拉斯的发现 1、图中两个小正方形分别为A 、B ，大正方形为C ， 则三个正方形面积之间的关系：_______________ 2、设三个正方形围成的等腰直角三角形的直角边为a ， 斜边为c ，则图中等腰直角三角形三边长度 之间的关系：_____________________ 活动三 探索与猜想 观察下面两幅图：(每个小正方形的面积为单位1) （1）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流一下。 （2）猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_______________ 活动四 认识赵爽弦图 活动五 证明猜想 已知：如图，在边长为c 的正方形中，有四个两直角边分别为a 、b ， 斜边为c 全等的直角三角形， 求证： 222 a b c +=（提示：大正小正＝S S S Rt +?4） 证明：
勾股定理：直角三角形两条_______的平方和等于_____的平方 如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_________________ 归纳直角三角形的主要性质： 在Rt △A B C 中，∠C = 90°， （1）两锐角的关系：∠ A + ∠ B = _____° （2）斜边与直角边的关系：若∠A = 30°，则 ________________ （3）三边之间的关系：______________________ 活动六 活学活用 1、如右图，在直角三角形中， x ＝______，y ＝______ 2、下列各图中所示的正方形的面积为多少。 (注：下列各图中的三角形均为直角三角形) 3、在Rt △A B C 中，∠C = 90°, （1）若a = 2，b = 3, 则c = _______ （2）若a = 1，c = 2, 则b = _______ （3）若c = 5，b = 4, 则a = _______ 4、在一个直角三角形中, 两边长分别为3、4，则第三边的长为______________ 5、（1）在Rt △A B C 中，∠C = 90°，∠A = 30°，AB = 4， 则BC = _______, 则AC = _______ （2）在Rt △A B C 中，∠A = 90°，BC = 7，AC = 5，则 AB = _________ x 8 6 13 5 y A B C
《17.1勾股定理》导学案（1） 【学习目标】：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。学习重点：勾股定理的内容及证明。学习难点：勾股定理的证明。学习过程 一、自学导航（课前预习）1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： （ 2）若 D 为斜边中点，则斜边中线 （3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： 2、勾股定理证明：方法一； 如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。 S 正方形＝_______________＝____________________ 方法二； 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边为a 、b 、c 。求证：a 2＋b 2=c 2。分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。左边S=______________ 右边S=_______________左边和右边面积相等， 即： 化简可得 。 二、合作交流（小组互助）思考： A b
（图中每个小方格代表一个单位面积） （2）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？ 由此我们可以得出什么结论？可猜想： 如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么__________________ _____________________________________________________________________。 （3）展示提升（质疑点拨） 1.在Rt △ABC 中， ，90C ∠=?（1）如果a=3，b=4，则c=________；（2）如果a=6，b=8，则c=________； （3）如果a=5，b=12，则c=________； (4) 如果a=15，b=20，则c=________.2、下列说法正确的是（ ） A.若、、是△ABC 的三边，则a b c 222 a b c +=B.若、、是Rt △ABC 的三边，则a b c 222 a b c +=C.若、、是Rt △ABC 的三边，， 则a b c 90A ∠=?2 a +D.若、、是Rt △ABC 的三边， ，则a b c 90C ∠=?2a +3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为204、如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________． 5、一个直角三角形的两边长分别为5cm 和12cm,则第三边的长为 。 三、本节课我们学习了哪些知识？用了哪些方法？ 四、达标检测 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°， ①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则
勾股定理 1 勾股定理（一） 学习目标： 1. 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的容，会用面积法证明勾股定理。 2. 利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三条边的长。 学习重点：探索和验证勾股定理。 学习难点：证明勾股定理。 导学流程： 一、 自主学习 前置学习： 自学指导：阅读教材第64至66页，完成下列问题。 1. 教材第64至65页思考及探究。 2. 画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。（勾3，股4，弦5）。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。 你是否发现23+24与25的关系，25+212和2 13的关系，即23+24_____25，25+212_____213，那么就有____2+____2=____2。(用勾、股、弦填空) 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 要点感知：如果直角三角形的两直角边长分别是a 、b ， 斜边为c ，那么 ，即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的 。 二、展示成果 活动1 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。求证：222a b c +=。 证明：如爽弦图， 思考：除此之外，还有证明勾股定理的其他办法吗？ 活动2 如果将活动1中的图中的四个直角三角形按如图所拼，又该如何证明呢？ 知识点归纳： 上述问题可视为命题1的证明 命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ， 斜边为c ，那么 。 总结：经过证明被确认正确的命题叫 。 命题1在我国称为 ，而在西方称为 。 三、合作探究 活动3 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则 （1）a = 。（已知c 、b ，求a ） （2）b = 。（已知a 、c ，求b ） （3）c = 。（已知a 、b ，求c ） 活动4 △ABC 的三边a 、b 、c ， （1）若满足222a b c +=，则∠C 是 角； （2）若满足222a b c +>，则∠C 是 角； （3）若满足222a b c +<，则∠C 是 角。 四、当堂自测 基础训练： 1. 在直角三角形ABC 中，∠C=90°，若=5a ，=12b ，则=c 。 2. 在直角三角形ABC 中，若=3a ，=5b ，则=c 。 3. 若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2倍，则其斜边扩大到原来的 。 4. 在ABC ?中，90C ∠=?． b b
18.1 勾股定理（1） 学习目标： 1、了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2、培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3、介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。 重点：勾股定理的内容及证明。 难点：勾股定理的证明。 学习过程： 一、预习新知 1、正方形边长和面积有什么数量关系？ 2、以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系？ 归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系。 (1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？ (2)组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形，并以其三边为边长向外作三个正方形，并分别计算其面积。 (3)通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？ (4)对于更一般的情形将如何验证呢？ 二、课堂展示 方法一； 如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。 S正方形＝_______________＝____________________ 方法二； 已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证：a2＋b2=c2。 c b a D C A B
a b a b c c A B C D E 以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2 1 ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 2 1c 2. 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD ∥BC. ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于_________________ 归纳：勾股定理的具体内容是 。 三、随堂练习 1、如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） ⑴两锐角之间的关系： ； (2)若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ； (3)三边之间的关系： 四、课堂检测 1、在Rt △ABC 中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________； ④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt△ABC =________。 2、已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则 ⑴c= 。（已知a 、b ，求c ） ⑵a= 。（已知b 、c ，求a ） ⑶b= 。（已知a 、c ，求b ） 3、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。 4、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 5、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ） A C B D
第一章勾股定理 第1课时探索勾股定理（1） 一、三角形的边角关系： 边： 角： 引例： 二、探索直角三角形三边的特殊关系： （1）画一个直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；（2）猜想：直角三角形的三边满足什么关系? 勾股定理： 三、利用拼图验证勾股定理： 用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考： 1．拼成的图1中有_______个正方形，___个直角三角形。 2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。 3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？
四、典型例题 例1、求出下列各图中x 的值。 例2、如图所示，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？ 例3、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000米处，过了25秒，飞机距离女孩头顶5000米处，则飞机的飞行速度是多少？ 例4、求下图中字母所代表的正方形的面积。 x 15 17C B A
例6、直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 . 五、知识巩固： 1．在△ABC 中，∠C=90°， （1）若BC =5，AC =12，则AB = ； （2）若BC =3，AB =5，则AC = ； （3）若BC ∶AC =3∶4，AB =10，则BC = ，AC = . 2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木棒的长为 . 3．若直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20㎝，则斜边上的高为 。 4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ， 则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2 . 5．一个直角三角形的两直角边长为3cm 、4cm ，斜边长为 a cm ，则以斜边为半径的圆的面积是 。 6．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则其面积为 ．
17．1 勾股定理（2） 学习目标：1．会用勾股定理进行简单的计算。 2．勾股定理的实际应用，树立数形结合的思想、分类讨论思想。 学习重点：勾股定理的简单计算。 学习难点：勾股定理的灵活运用。 学习过程： 一、自主学习： 1、直角三角形性质有：如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） （1）三边之间的关系：。 （2）已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则 c= 。（已知a、b，求c） A a= 。（已知b、c，求a） c b= 。（已知a、c，求b）. b 2（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，则c= 。 C B （2）在Rt△ABC，∠C=90°，a=6，c=8，则b= 。 a （3）在Rt△ABC，∠C=90°，b=12，c=13，则a= 。 二、合作交流探究与展示： 例1：一个门框的尺寸如图所示． 若薄木板长3米，宽2.2米呢？ 例2、如图，一个2.6米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.4米．如果梯B C 1m 2m A 实际问题数学模型
子的顶端A 沿墙下滑 0.5米，那么梯子底端B 也外移0.5米吗？（计算结果保留两位小数） 三、当堂检测： 必做 1、一个高1.5米、宽0.8米的长方形门框，需要在其相对的顶点间用一条木条加固，则需木条长为 。 2、从电杆离地面5m 处向地面拉一条长为7m 的钢缆，则地面 钢缆A 到电线杆底部B 的距离为 。 3、有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口， 圆的直径至少为 （结果保留根号） 第2题 4、一旗杆离地面6m 处折断，其顶部落在离旗杆底部8m 处，则旗杆折断前高 。 5 如下图，池塘边有两点A ，B ，点C 是与BA 方 C A C A O B O B A C
C B A 勾股定理第1课时 【学习目标】1、能用在方格纸上计算面积的方法探索勾股定理。 2、通过用拼图的方法验证勾股定理，经历观察、猜想、归纳和验证的数学发现过程获得数学知识，发展数形结合的数学思想。 3、能对勾股定理和它的变形简单应用。 【学习重点】勾股定理的探索和证明 【学习难点】勾股定理的证明 预 习 案 知识链接 我们学过的直角三角形有哪些性质？（每个同学自制4个大小完全一样的直角三角形） 边： 角： 探 究 案 探究一：直角三角形的三边关系 1、如图，在正方形瓷砖拼成的地面中，观察图中用阴影画出的三个正方形，两个小正方形P 、 Q 的面积与大正方形R 的面积有什么关系？ 用图中的线段表示为： 即：在等腰直角三角形中，三边的长度之间存在关系： 。 2、如图，每一小方格表示1平方厘米，那么： 正方形P 的面积＝ 平方厘米； 正方形Q 的面积＝ 平方厘米； 正方形R 的面积＝ 平方厘米． 我们发现，正方形P 、 Q 、 R 的面积之间的关系是： ． 用图中的线段表示为： （每一小方格表示1平方厘米） 即：在一般直角三角形中，三边的长度之间存在关系： 。 由此，对于任意的直角三角形，若它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，则一定有： 勾股定理：直角三角形 的平方和等于 的平方。 探究二：勾股定理的证明 每个同学拿出自制的4个直角三角形拼图，能否拼出下列图形。（利用面积证明勾股定理） 如左图，∵ S 大正方形= ，S 小正方形= ， S 三角形= ，又∵S 大正方形-S 小正方形= ∴ ∴ 即： 勾股定理符号语言： ∵在ABC Rt ?中，090=∠C ∴ （勾股定理） 探究三：勾股定理的简单变形 对于勾股定理：2 2 2 c b a =+，可以有哪些变形？ 训 练 案 1.在?Rt ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为c b a ，，，∠C ＝90°.回答下列问题： ①若43 ==b a ，，则c ＝ ②若817==a c ，，则b ＝ ； ③若1312==c b ，，则a ＝ .（提示：根据题意先画出草图辅助分析。） 2．如图是美国总统Garfield 于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形） 3．如图所示，AC ＝10，BC ＝17，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝8，求△ABC 的面积． 4．设a ，b ，c ，d 都是正数．求证： + ＞
第一章勾股定理导学案 第1课时探索勾股定理（1） 一、学习目标：掌握勾股定理并能利用它来解决简单的实际问题。 二、预习设计： 1、三角形按角的大小可分为：、、。 2、三角形的三边关系： 三角形的任意两边之和；任意两边之差。 3、直角三角形的两个锐角； 4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。 5、自学感知：探索直角三角形三边的特殊关系： （1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表； （2）猜想：直角三角形的三边满足什么关系? （3）任画一直角三角形，量出三边长度，看得到的数据是否符合你的猜想。猜想： 三、课堂探究：：
如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是 怎样得到的？ 思考： 每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。 勾股定理： 直角三角形等于； 几何语言表述：如图1.1-1，在RtΔABC中， C＝ 90°， 则：； 若BC=a，AC=b，AB=c，则上面的定理可以表示为：。 图1.1-1 课堂练习： 1、求下图中字母所代表的正方形的面积
落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？ 三、师生互动： 例题.在△ABC 中,AB=AC=5cm ，BC=6cm,求△ABC 的面积. C B A
四、训练达标： 基础巩固： 1．在△ABC 中，∠C=90°， （1）若BC =5，AC =12，则AB = ； （2）若BC =3，AB =5，则AC = ； （3）若BC ∶AC =3∶4，AB =10，则BC = ，AC = . （4) 若AB=8.5，AC=7.5，则BC= 。 2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木棒的长为 . 3．在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则BC= ,该直角三角形的面积为 。 4．直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 . 5.若直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20㎝，则斜边上的高为 。 能力提升： 6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方 形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2 . 7.一个直角三角形的三边长为3、4和a ，则以a 的面积是 。 8.如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一点，∠ACB=90AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是 。9．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则其 面积为 ． 10．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，求△ABC 的周长。 课堂检测 1．在△ABC 中，∠C ＝90°，（l ）若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝ （2）若c ＝41，a ＝9，则b ＝ 2．等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm ，底BC 为16cm ，则底边上的高为 ，面积为 第4题
17.1 勾股定理（1） 学习目标： 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。 重点：勾股定理的内容及证明。 难点：勾股定理的证明。 学习过程： 一.预习新知（阅读教材第64至66页，并完成预习内容。） 1正方形A、B 、C的面积有什么数量关系？ 2以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系？ 归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系。 A B C (1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？ (2)组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形，并以其三边为边长向外作三个正方形，并分别计算其面积。 (3)通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？ (4)对于更一般的情形将如何验证呢？
二.课堂展示 方法一； 如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。 S 正方形＝_______________＝____________________ 方法二； 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2＋b 2=c 2。 分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形 的面积相等。 左边S=______________ 右边S=_______________ 左边和右边面积相等， 即 化简可得。 方法三： 以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 c 2. 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD ∥BC. ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于_________________ 归纳：勾股定理的具体内容是 。 2 12 1 b b b
第十七章勾股定理
2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草. （1）求这条“径路”的长； （2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？ 探究点2：利用勾股定理求两点距离及验证“HL ” 思考:在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 证明:如图,在Rt △ABC 和Rt △A ’ B ’ C ’中,∠C =∠C ’=90°, AB =A ’ B ’,AC =A ’ C ’． 求证：△ABC ≌△A ’ B ’ C ’ ． 证明：在Rt △ABC 和Rt △A ’ B ’ C ’中，∠C=∠C ’=90°， 根据勾股定理得BC =_______________,B ’ C ’=_________________. ∵AB=A ’ B ’，AC=A ’ C ’，∴_______=________. ∴____________≌____________ (________)． 例 2 如图，在平面直角坐标系中有两点A (-3,5),B (1,2)求A ,B 两点间的距离. 探究点3：利用勾股定理求最短距离 想一想:1.在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下一点食物在B 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B 处，蚂蚁怎么走最近(在以下四条路线中选择一条)？
处放上了点儿火腿肠粒，你 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多 求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径. m
第十八章勾股定理 勾股定理（1） 主备人：初审人： 终审人： 【导学目标】 1.能用几何图形的性质和代数的计算方法探索勾股定理. 2.知道直角三角形中勾、股、弦的含义，能说出勾股定理，并用式子表示. 3.能运用勾股定理理解用关直角三角形的问题. 【导学重点】 知道直角三角形中勾、股、弦的含义，能说出勾股定理，并用式子表示. 【导学难点】 用拼图的方法验证勾股定理. 【学法指导】 探究、发现. 【课前准备】 查阅有关勾股定理的文化背景资料. 【导学流程】 一、呈现目标、明确任务 1.了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程. 2.了解利用拼图验证勾股定理的方法. 3.利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三边的长. 二、检查预习、自主学习 1.动手画画、动手算算、动脑想想. 在纸上作出边长分别为: （1）3、4、5 （2）6、8、10 的直角三角形，且动笔算一下，三条边长的平方有什么样的关系，你能猜想一下吗？ 2.借图说明 (1)观察课本P64页图，思考：等腰直角三角形有什么性质吗？你是怎样得到的？它们满足上面的结论吗？
(2)在P65页图中的三个直角三角形中，是否仍满足这样的关系？若能，试说明你是如何求出正方形的面积？ 3.有什么结论？ 三、问题导学、展示交流 阅读P65页用拼图法证明勾股定理的内容，弄懂面积关系. 四、点拨升华、当堂达标 1.探究P66页“探究1”. 在Rt△ABC中，根据勾股定理AC2 = 2+ 2因 为 AC=5≈2.236，因此AC木板宽，所以木板 从门框内通过. 2.讨论《配套练习》P24页选择填空题. 五、布置预习 预习“探究2”，完成P68页的练习. 【教后反思】 勾股定理（2） 主备人：初审人： 终审人： 【导学目标】 1.能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题. 2.通过例题的分析与解决，感受勾股定理在实际生活中的应用. 【导学重点】 运用勾股定理解决实际问题. 【导学难点】 勾股定理的灵活运用. 【学法指导】 观察、归纳、猜想. 【课前准备】 数轴的知识 【导学流程】 一、呈现目标、明确任务 1.能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题. 2.通过例题的分析与解决，感受勾股定理在实际生活中的应用.
直角三角形的三边关系（第2课时） 【学习目标】 能熟练应用勾股定理解决有关直角三角形的边的问题和相关的实际问题。 【学习重难点】勾股定理的应用 预 习 案 知识链接 勾股定理文字语言： 对于任意的直角三角形，若它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，则一定有： 即：直角三角形 的平方和等于 的平方。 勾股定理符号语言： ∵在ABC Rt ?中，090=∠C ∴ （勾股定理） 探 究 案 探究一：已知两边求第三边 对于勾股定理：2 2 2 c b a =+，可以有哪些变形？ 探究二：在实际问题中的应用 如图，为了求出位于湖两岸的两点A 、 B 之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ＡＢＣ恰好为直角三角形．通过测量，得到AC 长160米，ＢＣ长128米．问从点A 穿过湖到点B 有多远? 训 练 案 一、已知两边求第三边 1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为（ ） A ．4 B ．4或34 C ．16或34 D ．4或 2.如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ABCD 的面积与周长． 二、实际生活应用（请完善几何解题过程） 1、小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？ 2、做一个长，宽，高分别为50厘米，40厘米，30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明。 3．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（不需要写画法）． （1）在图1中，画一个正方形，使它的面积是10； （2）在图2中，画一个三角形ABC ，使它的三边长分别为：AB ＝、BC ＝ 、 AC ＝ ，并计算AC 边上的高为 ．（直接写出结果） 4．若x +y ＝12，求 的最小值 ．