小专题(十)运用分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题
类型1针对腰长和底边长进行分类
方法归纳：在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目中的条件没有指明已知的这条边是腰长还是底边长时，就要分类讨论，按腰和底边两种情况分类．若涉及边的长度，应运用三角形的三边关系进行辨别取舍．
1．(武汉中考)平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(A)
A．5 B．6 C．7 D．8
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有(B)
A．7个
B．6个
C．5个
D．4个
3．若实数x，y满足|x－5|＋y－10＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为25．
类型2针对顶角和底角进行分类
方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．
4．等腰三角形有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？
解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°；
②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°.
故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.
5．如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，求该等腰三角形各内角的度数．
解：设∠A ，∠B ，∠C 是该等腰三角形的三个内角，且∠A ＝12
∠B. 设∠A ＝x °，则∠B ＝2x °.
①若∠B 是顶角，则∠A ，∠C 是底角，于是有∠C ＝∠A ＝x °.
∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴x ＋2x ＋x ＝180.
解得x ＝45，故∠A ＝∠C ＝45°，∠B ＝90°；
②若∠B 是底角，∵∠A ≠∠B ，
∴∠A 是顶角，∠C ＝∠B ＝2x °.
∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴x ＋2x ＋2x ＝180.
解得x ＝36，故∠A ＝36°，∠B ＝∠C ＝72°.
综上所述，等腰三角形的各内角分别为45°、45°、90°或36°、72°、72°.
类型3 针对锐角、直角和钝角三角形进行分类
方法归纳：根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角或钝角三角形．不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同，比如锐角三角形腰上的高的交点在这个三角形的内部；
直角三角形腰上的高的交点为两直角边的交点；钝角三角形腰上的高的交点在这个三角形的外部，因此在解答时需要分类讨论．
6．已知△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交成50°的角，求底角的度数．
解：由题意可判断该三角形不可能是直角三角形，可能是锐角三角形或钝角三角形，故分两种情况讨论：
①如图1，垂直平分线DE 与腰AC 相交，且∠AED ＝50°，则∠A ＝40°，所以∠B ＝∠C ＝70°； ②如图2，垂直平分线DE 与腰AC 的反向延长线相交，且∠AED ＝50°，则∠EAD ＝40°，∠BAC ＝140°，所以∠B ＝∠C ＝20°.
综上可知，等腰三角形的底角为70°或20°.
7．一个等腰三角形一边上的高等于另一边的一半，则等腰三角形底角的度数是多少？
解：设∠A 为顶角，则∠ABC 、∠ACB 为底角．
(1)若∠A 为锐角，如图1，作BD ⊥AC 于点D ，
根据题意有BD ＝12
AB ，∠BDA ＝90°， ∴∠A ＝30°，∠ABC ＝∠ACB ＝75°；
(2)若∠A 为直角，根据题意“等腰三角形一边上的高等于另一边的一半”，这种情况无解；
(3)若∠A 为钝角，有三种情况：
①如图2，作AD ⊥BC 于点D ，
根据题意有AD ＝12
AB ，∠ADB ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°；
②如图3，作BD ⊥CA 的延长线于点D ，
根据题意有BD ＝12
BC ，∠ADB ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°；
③如图4，作BD ⊥CA 的延长线于点D ，
根据题意有BD ＝12
AB ，∠ADB ＝90°， ∴∠BAD ＝30°，∠ABC ＝∠ACB ＝15°.
综上所述，等腰三角形底角的度数是75°、30°或15°.
8．AC 为等腰△ABD 的腰BD 上的高，且∠CAB ＝60°.求这个三角形各内角的度数．
解：①如图1，高AC 在△ABD 的内部，
因为∠CAB ＝60°，∠ACB ＝90°，
所以∠B ＝30°.
因为BA ＝BD ，所以∠BAD ＝∠D ＝75°；
②如图2，高AC 在△ABD 的外部，
因为∠CAB ＝60°，∠ACB ＝90°，
所以∠ABC ＝30°.
所以∠ABD ＝150°.
因为BA ＝BD ，所以∠BAD ＝∠D ＝15°；
③如图3，高AC 在△ABD 的外部，
因为∠CAB ＝60°，∠ACB ＝90°，
所以∠B ＝30°.
因为DA＝DB，所以∠BAD＝∠B＝30°.
所以∠ADB＝120°.
综上所述，这个三角形各内角的度数分别为30°，75°，75°或150°，15°，15°或120°，30°，30°.
易错专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题 ◆类型一求长度时忽略三边关系【易错1】 1．一个等腰三角形的两边长分别是4，8，则它的周长为() A．12 B．16 C．20 D．16或20 2．学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手说：“另两条边长为3，6或4.5，4.5.”你认为小明回答是否正确：________，理由是________________________． 3．(2017·薛城区期末)若等腰三角形的三边长分别为x＋1，2x＋3，9，则x＝________． 4．已知等腰三角形ABC中，腰AC上的中线BD将三角形的周长分成9cm和15cm两部分，求这个三角形的腰长和底边长． ◆类型二当腰或底不明求角度时没有分类讨论 5．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为() A．100°B．40° C．40°或100°D．60° 6．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为______________． 7．(2017·普陀区模拟)我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的“内角正度值”为45°，那么该等腰三角形的顶角度数为________． 8．有一三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是____________________． 9．★一个大等腰三角形能被分割成两个小等腰三角形，试求这个大等腰三角形顶角的度数． ◆类型三三角形的形状不明与高结合时没有分类讨论 10．(2017·绥化中考)在等腰△ABC中，AD⊥BC交BC于点D.若AD＝1 2BC，则△ABC的顶角度数为 ______________． 11．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，求顶角的度数．【易错3】 ◆类型四一边确定，另两边不定，确定三角形的个数时漏解【易错4】 12．如图，点A的坐标为(2，2)，若点P在坐标轴上，且△APO为等腰三角形，则满足条件的点P有() A．4个B．6个C．7个D．8个
关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨 所谓分类讨论思想，就是在解答数学题时有时无法用同一种形式去解决，而需要选定一个标准，根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想。 对于分类讨论问题，初中教学阶段虽然没有对此方面的教学要求，但是需要用分类讨论的思想去解决的问题却经常遇见，华东师大版七年级下册教材中典型的分类讨论问题是在“等腰三角形” 一节中，主要有由于几何图形性质不明确而需分类讨论的问题和几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题。下面举例简要论述这两类问题： 、当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论 例1、（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm,求周长。 （2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm,求周长。 分析：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。 解（1）因为8+8>10，10+10>8，则在这两种情况下都能构成三角形； 当腰长为8 时，周长为8+8+10=26； 当腰长为10 时，周长为10+10+8=28； 故这个三角形的周长为26cm或28cn。 解（2）当腰长为3 时，因为3+3<7，所以此时不能构成三角形； 当腰长为7 时，因为7+7>3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周 长为：7+7+3=17； 故这个三角形的周长为17cm。 注意：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形。 二、当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论例2、等腰三角形的一个角是另一个角的4 倍，求它的各个内角的度数；分析：题目没有指明“顶角是底角的4 倍”，还是“底角是顶角的4 倍”因此必须进行分类讨论。
各类等腰三角形难题 例1. 在⊿ABC中,AB=AC,且∠A=20°,在为AB上 一点,AD=BC,连接CD. 试求:∠BDC的度数. 分析:题中出现相等的线段,以此为突破口,构造 全等三角形. 解:作∠DAE=∠B=80°,使AE=BA,(点D,E在AC两侧) 连接DE,CE. ∵AE=BA;AD=BC;∠DAE=∠B. ∴⊿DAE≌⊿CBA(SAS),DE=AE;∠DEA=∠BAC=20°. ∠CAE=∠BAE-∠BAC=60°,又AE=AB=AC. ∴⊿AEC为等边三角形,DE=CE;∠DEC=∠AEC-∠DEA=40°. 则:∠CDE=70°;又∠ADE=80°.故∠ADC=150°,∠BDC=30°. 例2.已知,如图:⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°. 点D和E分别在AB,AC上,且∠BCD=50°,∠CBE=60°. 试求∠DEB的度数.
本题貌似简单,其实不然. 解:过点E作BC的平行线,交AB于F,连接CF交BE于点 G,连接DG.易知⊿GEF,⊿GBC均为等边三角形. ∴∠FEG=∠EFG=60°;∠AFG=140°,∠DFG=40°; ∵∠BCG=50°;∠CBD=60°. ∴∠BDC=50°=∠BCD,则BD=BC=BG;又∠ABE=20°. 故∠BGD=80°,∠DGF=180°-∠BGD-∠FGE=40°. 即∠DGF=∠DFG,DF=DG;又EG=EF;DE=DE. ∴⊿DGE≌⊿DFE(SSS),得:∠DEG=∠DEF=30°. 所以,∠DEB=30°. 例3.已知,等腰⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°,D和E分 别为 AB和AC上的点,且∠ABE=10°,∠ACD=20°. 试求:∠DEB的度数. 本题相对于上面两道来说,难度又增加了许多.且看我下面的解答.
等腰三角形存在性问题（两圆一线） 类型一、格点中的等腰三角形 1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（） 2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C， 使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个． 3、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于． 4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？
类型二、定边几何法讨论：两圆一线 5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来 6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P） （2）若∠DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果） （3）若改变（2）中∠DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后∠DOB=． 7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个．
8、线段AB 和直线l 在同一平面上．则下列判断可能成立的有 个 直线l 上恰好只有个1点P ，使△ABP 为等腰三角形 直线l 上恰好只有个2点P ，使△ABP 为等腰三角形 直线l 上恰好只有个3点P ，使△ABP 为等腰三角形 直线l 上恰好只有个4点P ，使△ABP 为等腰三角形 直线l 上恰好只有个5点P ，使△ABP 为等腰三角形 直线l 上恰好只有个6点P ，使△ABP 为等腰三角形． 9、如图AOB ∠,当 30为AOB ∠， 60， 120时，请在射线OA 上找点P ，使POB ?为等腰三角形，并分析出当AOB ∠发生变化时，点P 个数的情况； 类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形 10、如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=10，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，若△BPQ 是腰长为5的等腰三角形，则满足题意的点P 有( )个
专题三：等腰三角形多解问题 1、已知一个等腰三角形两内角的度数比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为。 2、等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是。 3、已知等腰三角形的一个内角为75°，则它的顶角是。 4、若等腰三角形的一个内角是72°。,则它的底角度数是。 5、若等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°。,则三内角度数分别为。 6、等腰三角形两边长分别为5和7,则此等腰三角形的周长为。 7、等腰三角形的周长为14,其一边长为4,那么它的底边为。 8、等腰三角形周长为20cm,—腰上的中线将其周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm,则腰长为。 9、若等腰三角形一腰上的高等于腰的一半,则底角度数为。 10、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°。,则这个等腰三角形的顶角度数为。 11、等腰三角形的腰长为2,面积为1,则顶角度数为。 12、在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得锐角为50°，则底角为。 13、在等腰三角形ABC中，AB=BC，∠BAC=20°，点D在直线BC上，且CD=AC，则∠ADC的度数为。 14、在等腰?ABC中，AB=BC，点B与点B’关于AC所在直线对称，且∠BAB’=100°，则∠ABC=。
15、已知AD和BE是?ABC的高，H是直线AD与直线BE的交点，BH=AC，则∠ABC=。 16、过等腰三角形ABC顶角的顶点A的一条直线，把等腰三角形ABC分成两个等腰三角形,则∠ABC=。 17、在?ABC中，∠B=30°，∠C=50°，点D是BC边上一点，点F是射线BA上一点,DF与射线CA相交于点E,点G是EF的中点，若∠DEC=∠C,则∠CAG= 。 18、在?ABC中, ∠ACB=90° ,AC=BC,以AC为一边，在同一平面内作等边?ACD,连接BD,则 ∠ADB=。 19、在?ABC中，点D在射线CA上,且AB=AD，∠ABC=∠C+30°，则∠CBD= 。 20、已知等腰三角形?ABC,AB=AC,现将?ABC=40°,P为直线BC上一点,BP=AB，则∠PAC的度数为。 21、已知等腰?ABC,AB=AC,现将?ABC折叠，使点A、B两点重合，折痕所在的直线与直线AC的夹角为40°,则∠ABC的度数为。 22、在等腰?ABC中,AD为底边BC上的高,E为射线AD上一点，若满足?ABE、?AEC、?BDE、 ?CDE均为等腰三角形，则∠BAC的度数为。 23、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于。 24、在?ABC中,AB=AC=4cm,BD为AC边上的高，∠ABD =30°。,则线段CD的长为。 25、在?ABC中,AB、AC边的垂直平分线交BC边于点D、E，若AD=5，AE=7 ,DE=3,则
一次函数与等腰三角形的多解问题 【例1】 点P 为正方形ABCD 所在平面上一点，使得PAB △、PBC △、PCD △、PDA △都是等腰三角形。请问：这样的点 P 共有多少个？ 【例2】 点P 为等边三角形ABC 所在平面上一点，使得PAB △、PBC △、PCA △都是等腰三角形。请问：这样的点P 共有 多少个？ 【例3】 如图所示，长方形ABCD 中，4AB = ，BC =，点E 是折线段A D C --上的一个动点（点E 与点A 不重合）， 点P 是点A 关于BE 的对称点，在点E 运动的过程中，能使PCB △为等腰三角形．．．．． 的点E 的位置共有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 【例4】 直线1y x =-与坐标轴交于A B 、两点，点C 在坐标轴上，若ABC △为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有_______个。 【例5】 在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()12，，点B 的坐标是()21，，在坐标轴上找点C ，使得ABC △是等腰三角形， 求点P 的坐标。 【例6】 在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()22， ，若点P 在x 轴上，且APO △是等腰三角形，则点P 的坐标是__________________________________。 【例7】 已知一次函数1y =+与x 轴、y 轴分别交于A B 、两点，点P 在坐标轴上，若ABP △是等腰三角形，则满足条件的点P 共有_____个，坐标分别是_____________________________________________。 【例8】 如图，点A B C 、、的坐标分别是) 0、()01，、()41，，点P 在线段BC 上运动，当OAP △为等腰三角形时，点P 的坐标为__________________________________。
中考数学压轴题解题策略（1） 等腰三角形的存在性问题解题策略 《挑战中考数学压轴题》的作者 上海 马学斌 专题攻略 如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况． 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 例题解析 例? 如图1-1，在平面直角坐标系xOy 中，已知点D 的坐标为(3, 4)，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，如果△DOP 是等腰三角形，求点P 的坐标． 图1-1 【解析】分三种情况讨论等腰三角形△DOP ：①DO ＝DP ，②OD ＝OP ，③PO ＝PD ． ①当DO ＝DP 时，以D 为圆心、DO 为半径画圆，与x 轴的正半轴交于点P ，此时点D 在OP 的垂直平分线上，所以点P 的坐标为(6, 0)（如图1-2）． ②当OD ＝OP ＝5时，以O 为圆心、OD 为半径画圆，与x 轴的正半轴交于点P (5, 0) （如图1-3）． ③当PO ＝PD 时，画OD 的垂直平分线与x 轴的正半轴交于点P ，设垂足为E （如图1-4）． 在Rt △OPE 中，3cos 5OE DOP OP ∠= =，52OE =，所以256OP =． 此时点P 的坐标为25( ,0) 6． 图1-2 图1-3 图 1-4
上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P，其中①和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算． 代数法先设点P的坐标为(x, 0)，其中x＞0，然后罗列△DOP的三边长（的平方）．DO2＝52，OP2＝x2，PD2＝(x－3)2+42． ①当DO＝DP时，52＝(x－3)2+42．解得x＝6，或x＝0． 当x＝0时既不符合点P在x轴的正半轴上，也不存在△DOP． ②当OD＝OP时，52＝x2．解得x＝±5．当x＝－5时等腰三角形DOP是存在的，但是点P此时不在x轴的正半轴上（如图1-5）． ③当PO＝PD时，x2＝(x－3)2+42．这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（x轴和OD的垂直平分线）有且只有一个交点． 代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验． 图1-5 例?如图2-1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B 移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动的过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值． 图2-1 【解析】在P、Q两点移动的过程中，△PQC的6个元素（3个角和3条边）中，唯一不变的就是∠PCQ的大小，夹∠PCQ的两条边CQ＝t，CP＝10－2t.因此△PQC符合“边角边”的解题条件，我们只需要三个∠C就可以了，在∠C的边上取点P或Q画圆． 图2-2 图2-3 图2-4 ①如图2-2，当CP＝CQ时，t＝10－2t，解得 10 3 t (秒 ).
顶角是20度的等腰三角形有关问题的解法比较 在解顶角是20度的等腰三角形有关问题时不难发现，它们有共同之处，就是构造适当的等边三角形进行转化。举例如下： 1、（09年压轴题）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=20゜，在AB、AC上分别取点E、D，使∠CBD=60゜，∠BCE=50゜.求∠AED的度数 解法（一） 解：如图2，作∠CBM=20°,点M在AC上，在AB上取点N，使BN=BM，在 AM上取点P，使PM=MN， ∵∠A=20゜, AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=80° , ∴∠NBM=60° ∴△BMN为等边三角形， ∵∠CBM=20° ∴∠BMC=∠BCM=80° ∴BC=BM=BN=MN=PM ∴∠BNM=60°, ∠NMP=180°-∠BMN-∠BMC=40°∠MNP=∠MPN=70° ∴∠ANP=180°-∠MNP-∠BNM=50° 连接CN， 在△BMN中，∵BC=BN，∠NBC=80° ∴∠BCN=50°，∴点N就是图1中的点E，连接PB，在△PBM中，∵BM=PM，∠PMB=100° ∴∠PBM=40°， ∵∠CBM=20° ∴∠CBP=60°， ∴点P就是图1中的点D， ∴∠AED=50° 解法二 解：如图3，作∠CBM=20°,交AC于点M，连接EM，∵∠A=20°, AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=80° ,BC=BM，∠NBE=60° ∵∠BCE=50° ∴∠BEC=180°–80°–50°= 50° ∴BE=BC=BM ∴△BMN为等边三角形， ∴∠BEM=60° ∵∠BMC =80° ∴∠BMD=100° ∵∠DBC =60°，∠CBM=20° ∴∠DBM=40° 在等腰△MDB中 ∴∠BDM=180°–100°–40°=40° A B C N M P (图2) A B C D E (图1) A B C E M D (图3)
易错易混专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题 ——易错归纳，各个击破 ◆类型一求长度时忽略三边关系 1．(2016·贺州中考)一个等腰三角形的两边长分别是4，8，则它的周长为（）A．12 B．16 C．20 D．16或20 2．学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手说：“另两条边长为3、6或4.5、4.5.”你认为小明的回答是否正确：_____，理由是_____________________．3．已知等腰三角形中，一腰上的中线将三角形的周长分成6cm和10cm两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．◆类型二当腰或底不明求角度时没有分类讨论 4.已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．100°B．40° C．40°或100°D．60° 5．等腰三角形的一个外角等于100°，则与这个外角不相邻的两个内角的度数分别为（） A．40°，40°B．80°，20°C．80°，80°D．50°，50°或80°，20°6．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为_____. ◆类型三三角形的形状不明时没有分类讨论 7．等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角是（）A．25°B．40° C．25°或40°D．不能确定 8．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B等于_____. 9．如果两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形．已知一对合同三角形的底角分别为x°和y°，则_________(用含x 的代数式表示)． 10．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，求顶角的度数．
等腰三角形处理策略-两圆一线 以函数为背景的等腰三角形存在性问题，是函数综合题的一大类，时常见于各类考卷的压轴题位置。若要在考场上脱颖而出，冲刺A线或者千分之一，这是必备知识之一。 首先，我们来解决第一个问题，等腰三角形的生成问题。 【引例1】在平面内有一线段AB，点C为平面内任意一点，若△ABC为等腰三角形，则这样的点C有几个？点C的轨迹又是什么？ 【解析】根据等腰三角形的性质，线段AB有可能为底边，也有可能为腰，故有两种基本情况。 情况（1）：线段AB为底边，则有AC=BC，即点C到线段AB两端点的距离相等，故点C在线段AB的中垂线上，此时点C有无数个，点C的轨迹为直线（不取与AB相交的点），如下图： 情况（2）：线段AB为腰，则有： ①AB=AC，即点C到点A的距离等于点B到点A的距离，则点C在以点A为圆心，AB 长为半径的圆上，此时点C有无数个，点C的轨迹为圆（不取点B和与A、B共线点），如下图： ②AB=BC，即点C到点B的距离等于点A到点B的距离，则点C在以点B为圆心，AB长为半径的圆上，此时点C有无数个，点C的轨迹为圆（不取点A和与A、B共线的点），如下图： 综上所述，这样的点C有无数个，点C的轨迹为两个圆和一条直线，为了方便记忆，我们简称“两圆一线”，这是等腰三角形存在性处理的基本定性策略。 请记住这两圆一线：一线，指的是线段的中垂线，两圆，指的是以线段长度为半径，
线段端点为圆心而产生的两个圆。 放另个类题练习。 【题1】在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()0,1，点B 的坐标是() 30，，点C 在坐标平面内。若以A 、B 、C 为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30度，则满足条件的点C 有_________个。 【题2】在正△ABC 所在平面上找点P ，使△PAB 、△PBC 、△PCA 同时为等腰三角形，则这样的点P 有 个。 其次，我们来解决第二个问题，等腰三角形的边长问题。 求等腰三角形的边长，我们通常将其转化为两点间的距离问题，所以，我们来推导一下平面内两点间的距离公式。 【引例2】已知平面内两点A （1,2）、B （6,4），求线段AB 的长度。 【解析】连接AB ，以AB 为斜边，构造直角边与坐标轴平行的直角三角形，利用勾股定理解题，如下图：224=-=-=C B y y BC ，516=-=-=C B x x AC ， 29522222=+=+= AC BC AB 若将A 、B 推广到平面内任意两点，则有：()()22B A B A y y x x AB -+-= 。 最后，我们来解决第三个问题，常用的分类处理策略-根据边长相等进行分类 【引例3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（2,1），点B 为y 轴上一点，若△OAB 为等腰三角形，求B 点的坐标。 【解析】对于基础一般的学生来说，可以先画“两圆一线”将点找出，然后根据等腰三角形的性质进行分类讨论。△OAB 的三条边分别为：OA 、AB 、OB ，根据两两相等，共有三种情况：①OA=AB ；②OA=OB ；③AB=OB 。 第一步：列出所有点的坐标。 设点B （0，y ），点A （2,1），点O （0,0）；
用分类讨论求解等腰三角形多解问题 类型1 对对顶角和底角的分类讨论 方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等． 例1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（） A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75° 简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。当75°是底角时，则顶角的度数为180°－75°×2=30°；当75°角是顶角时，则顶角的度数就等于75°。所以 这个等腰三角形的顶角为30°或75°。故应选D。 说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。 变式1:已知等腰三角形的一个外角为100°，则其顶角为______。 变式2:如果等腰三角形中一个角是另一个角的两倍，那么它的底角是__________度 类型2 对腰长和底长的分类讨论 方法归纳：在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”，哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论．还要依据：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边．来判定取舍。 例2、等腰三角形两边长为3 cm和5 cm，则它的周长是 解析：当3cm为腰长时，此时三边为3cm、3cm、5cm，周长为11cm；如果5cm为腰长时，此时三边为5cm、5cm、3cm，周长为13cm。 变式1、若一个等腰三角形的三边长均满足(x－2)(x－4)＝0，求此等腰三角形的周长．变式2、等腰三角形的一边长为6，周长为14，那么它的腰长为多少？ 变式3、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9 cm和12 cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长．
小专题(十)运用分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题 类型1针对腰长和底边长进行分类 方法归纳：在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目中的条件没有指明已知的这条边是腰长还是底边长时，就要分类讨论，按腰和底边两种情况分类．若涉及边的长度，应运用三角形的三边关系进行辨别取舍． 1．(武汉中考)平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(A) A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有(B) A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 3．若实数x，y满足|x－5|＋y－10＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为25． 类型2针对顶角和底角进行分类
方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等． 4．等腰三角形有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？ 解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°； ②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°. 故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°. 5．如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，求该等腰三角形各内角的度数． 解：设∠A ，∠B ，∠C 是该等腰三角形的三个内角，且∠A ＝12 ∠B. 设∠A ＝x °，则∠B ＝2x °. ①若∠B 是顶角，则∠A ，∠C 是底角，于是有∠C ＝∠A ＝x °. ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴x ＋2x ＋x ＝180. 解得x ＝45，故∠A ＝∠C ＝45°，∠B ＝90°； ②若∠B 是底角，∵∠A ≠∠B ， ∴∠A 是顶角，∠C ＝∠B ＝2x °. ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴x ＋2x ＋2x ＝180. 解得x ＝36，故∠A ＝36°，∠B ＝∠C ＝72°. 综上所述，等腰三角形的各内角分别为45°、45°、90°或36°、72°、72°. 类型3 针对锐角、直角和钝角三角形进行分类 方法归纳：根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角或钝角三角形．不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同，比如锐角三角形腰上的高的交点在这个三角形的内部；
小专题(十) 运用分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题 类型1针对腰长和底边长进行分类 方法归纳：在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目中的条件没有指明已知的这条边是腰长还是底边长时，就要分类讨论，按腰和底边两种情况分类．若涉及边的长度，应运用三角形的三边关系进行辨别取舍． 1．(武汉中考)平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(A) A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有(B) A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 3．若实数x，y满足|x－5|＋y－10＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为25． 类型2针对顶角和底角进行分类 方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．
4．等腰三角形有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？ 解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°； ②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°. 故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°. 5．如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，求该等腰三角形各内角的度数． 解：设∠A，∠B ，∠C 是该等腰三角形的三个内角，且∠A＝12 ∠B. 设∠A＝x °，则∠B＝2x °. ①若∠B 是顶角，则∠A，∠C 是底角，于是有∠C＝∠A＝x °. ∵∠A ＋∠B＋∠C＝180°，∴x ＋2x ＋x ＝180. 解得x ＝45，故∠A＝∠C＝45°，∠B ＝90°； ②若∠B 是底角，∵∠A ≠∠B ， ∴∠A 是顶角，∠C ＝∠B＝2x °. ∵∠A ＋∠B＋∠C＝180°，∴x ＋2x ＋2x ＝180. 解得x ＝36，故∠A＝36°，∠B ＝∠C ＝72°. 综上所述，等腰三角形的各内角分别为45°、45°、90°或36°、72°、72°. 类型3 针对锐角、直角和钝角三角形进行分类 方法归纳：根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角或钝角三角形．不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同，比如锐角三角形腰上的高的交点在这个三角形的内部；直角三角形腰上的高的交点为两直角边的交点；钝角三角形腰上的高的交点在这个三角形的外部，因此在解答时需要分类讨论． 6．已知△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交成50°的角，求底角的度数．