插值与逼近
一、考核知识点
拉格朗日插值法及其余项、差商定义及性质、牛顿插值法及其余项、最小二乘法、矛盾方程组。
二、考核要求：
1．熟练掌握拉格朗日插值法及其余项。
2．了解差商定义及性质，熟练掌握牛顿插值法及其余项。
3．了解最小二乘法的基本思想，熟练掌握求最小二乘多项式与矛盾方程组最小二乘解的
三、重、难点分析
例1 已知,3)9(,2)4(==f f 用线性插值计算)5(f ，并估计误差。
解 取插值节点x 0= 4,x 1= 9，两个插值基函数分别为
)9(5
1
)(1010--=--=
x x x x x x l )4(51)(0101-=--=
x x x x x x l 故有 5
65)4(53)9(52
)()()(11001+=-+--=+=x x x y x l y x l x L 2.25
6
55)5()5(1=+=≈L f 误差为 )(2)95)(45(!
2)
()5(2ξξf f R ''-=--''=
例2已知函数)(x f 数值表为
解 作差商表：
代入牛顿插值多项式得：
1)2)(1()1(21)(2
2+-=--+-+=x x x x x X N 故 44.218.1)8.1()8.1()8.1(2
2=+-=≈N f
例3已知的函数表
求在[0，2]
解 因为y i 关于x 严格单调减少，用反插值法求f(x) 零点的近似值比较简单， 具体作法如下：
先作反函数表
将节点x 0=8,x 1=-7.5，x 2=-18及对应函数值y 0=0,y 1=1,y 2=2代入二次拉格朗日插值多项式（2.2），再令x=0,得
445
.02
)
5.718)(818()
35.70)(80(1)185.7)(85.7()180)(80(0)188)(5.78()180)(5.70()0(2≈?+----+-+?+---+-+?++++=
L 于是得f(x)在[0，2]内零点445.0)0()0(21
*
≈≈=-L f
x
值得注意的是，只有所给函数（或函数表）在[a,b]上严格单调情况下，才能使用反插值方法，否则可能得出错误结果。
例4 已知数表：
解 设最小一次式为x a a x g 101)(+=，由系数公式得： 310=+=n s ∑===
2
16i i
x
s 142
23==∑=i i x s
∑===
2
021i i
y
f 2.482
1==∑=i i i x y f
于是有法方程组 ??
?=+=+2.4814621
6310
10a a a a
解法方程组得 1.3*
1=a 8.0*0=a
所以最小二乘一次式 x x g 1.38.0)(1+= 例5 求下列矛盾方程组的最小二乘解。
???
??=-=+=+2724212121x x x x x x
解 令 ???
??--=-+=-+=2
724213
212211x x u x x u x x u
23222121u u u x x ++=）（?
2
21221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x
由 ???????=-+=??=-+=??0)1662(20)1323(2212
211x x x x x x
??
得法方程组 ???=+=+166213
2321
21x x x x
解得 7231=
x 7
11
2=x 所以最小二乘解为 7231=
x 7
11
2=x 例6 已知插值基函数n k x l k ,,1,0),( =，证明 ：当n m <时，m n
k m
k k
x x x l
=∑=0
)(
证明：令 m
x x f =)( ，
则有 )()!1()
()()1(0
x n f x x l x n n
k m
k
k m
ωξ++
=+=∑
因为0)(,)
1(=<+ξn f n m 则，所以m n
k m
k k x x x l =∑=0
)(。
《计算方法》课内实验报告 学生姓名:张学阳1009300132 及学号： 学院: 理学院 班级: 数学101 课程名称：计算方法 实验题目:插值法与函数逼近 指导教师 宋云飞讲师 姓名及职称： 朱秀丽讲师 尚宝欣讲师 2012年10月15日
目录 一、实验题目.......................................................... 错误！未定义书签。 二、实验目的.......................................................... 错误！未定义书签。 三、实验内容.......................................................... 错误！未定义书签。 四、实现结果.......................................................... 错误！未定义书签。 五、实验体会或遇到问题 (6)
插值法与函数逼近 二、实验目的 1．熟悉matlab 编写及运行数值计算程序的方法。 2．进一步理解插值法及函数逼近方法的理论基础。 3．进一步掌握给定数据后应用插值法及函数逼近方法进行数据处理并给出图示结果的实际操作过程。 三、实验内容 1．已知函数在下列各点的值为 试用4次牛顿插值多项式)(4x P 及三次样条函数)(x S （自然边界条件）对数据进行插值。给出求解过程，并用图给出 (){},10,1,0),()(,08.02.0,,4 ===+=i x S y x P y i x y x i i i i i 及。 2．下列数据点的插值 可以得到平方根函数的近似。 （1）用这9个点作8次多项式插值)(8x L 。 （2）用三次样条（第一类边界条件）插值给出)(x S 。 给出求解过程，在区间[0,64]上作图，从得到的结果看，在区间[0,64]上哪种插值结果更精确？在区间[0,1]上两种插值哪个更精确？ 3．由实验给出数据表 试求3次、4次多项式的曲线拟合，再根据数据曲线形状，求一个另外函数的拟合曲线。给出求解过程，用图表示实验数据曲线及三种拟合曲线。
数据插值和函数逼近 1 数据插值 由已知样本点，以数据更为平滑为目标，求出其他点处的函数 值。在信号处理与图像处理上应用广泛。 求解方法： y1=interp1(x,y,x1,'方法') z1=interp2(x,y,z,x1,y1,'方法') 1.1 一维数据的插值 例：假设样本点来自x e x x x f x sin )53()(52-+-=，进行插值处理，得到平 例：草图样条曲线功能。 function sketch() x=[]; y=[]; gca; hold on; axis([0 1,0 1]); while 1 [x0,y0,button]=ginput(1);
if(isempty(button)) break; end; x=[x x0]; y=[y y0]; plot(x,y,'*'); end; xx=[x(1):(x(end)-x(1))/100:x(end)]; yy=interp1(x,y,xx,'spline'); plot(xx,yy,x,y,'*'); end 1.2 二维网格数据的插值 例3：假设样本点来自xy y x e x x z ----=2 2)2(2，进行插值处理，得到平滑的曲
1.3 二维一般分布数据的插值 例4：假设样本点来自xy y x e x x z ----=22)2(2，进行插值处理，得到平滑的曲 2 样条插值函数逼近 由已知样本点，求能对其较好拟合的函数表达式。 求解方法： S=csapi(x,y); % 定义一个三次样条函数类 S=spapi(k,x,y); % 定义一个k 次B 样条函数类 ys=fnval(S,xs); % 计算插值结果 fnplt(S); % 绘制插值结果 例：从)sin(x y =中取样本点，计算三次样条函数。
3.1构造Lagrange 插值多项式p(x)逼近f(x)=3 x ,要求 （1） 取节点1,110=-=x x 作线性插值； （2） 取节点10,1210==-=x x x ，作抛物插值； （3） 取节点2,10,13210===-=x x x x ，作三次插值； 解：(1)将节点代入f(x)=3 x 得1y ,100-=-=x ，1,111==y x p(x)=)(00 10 10x x x x y y y ---+ 代入1y ,100-=-=x ，1,111==y x p(x)=x (2)将节点代入f(x)=3 x 得1y ,100-=-=x ，0,011==y x ,1,122==y x 2120210121012002010212) )(())(())(())(())(() )(()(y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x p ----+----+----= 代入1y ,100-=-=x ，0,011==y x ,1,122==y x 得： p 2(x)=x （3）将节点代入f(x)=3 x 得1y ,100-=-=x ，0,011==y x ,1,122==y x ，8,233==y x 323130331023212123101 31210132003020103213) )()(())()(())()(())()(() )()(() )()(())()(())()(()(y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x p ------+------+------+------= 代入1y ,100-=-=x ，0,011==y x ,1,122==y x ，8,233==y x 得： p 3(x)= 3 x 3.2给定三个数据点（0,1），（1,2），（2,4），求过这些点的插值多项式p(x)。 解：由已知点数据有：1y ,000==x ，2,111==y x ,4,222==y x 2120210121012002010212) )(())(())(())(())(() )(()(y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x p ----+----+----=
插值与多项式逼近的数组计算方法实验 郑发进 2012042020022 【摘要】计算机软件中经常要用到库函数，如） cos，x e，它们 （x （x sin，） 是用多项式逼近来计算的。虽然目前最先进的逼近方法是有理函数（即多项式的商），但多项式逼近理论更适于作为数值分析的入门课程。在已知数据具有高精度的情况下，通常用组合多项式来构造过给定数据点的多项式。构造组合多项式的方法有许多种，如线性方程求解、拉格朗日系数多项式以及构造牛顿多项式的方分和系数表。 关键字泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近 一、实验目的 1.通过具体实验，掌握泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近的编程技巧。 2.比较各插值方法的优劣并掌握。 二、实验原理 1.泰勒级数 在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。 如果在点x=x 具有任意阶导数，则幂级数 称为在点x 处的泰勒级数。 =0，得到的级数 在泰勒公式中，取x 称为麦克劳林级数。函数的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开
是唯一的，且必然与的麦克劳林级数一致。 2.拉格朗日插值法 如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。 在平面上有(x 1,y 1)(x 2,y 2)...(x n ,y n )共n 个点，现作一条函数f （x ）使其图像经过这n 个点。 作n 个多项式p i (x),i=1,2,3...,n,使得 最后可得 3.牛顿插值法 插值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化， 这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。 牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： 10121()()()()()()N N N N P x P x a x x x x x x x x --=+---- 牛顿插值与拉格朗日插值具有唯一性。 4.帕德逼近 它不仅与逼近论中其他许多方法有着密切的关系，而且在实际问题特别是许多物理问题中有着广泛的应用。设是在原点某邻域内收敛的、具有复系数的麦克劳林级数。欲确定一个有理函数，式中,使得前次方的系数为0，即使得 此处约定qk ＝0（k>n ）。虽然所求得的Pm(z)和Qn(z)不惟一，但是比式却总是惟一的。有理函数称为F(z)的(m,n)级帕德逼近,记为(m/n)。由(m/n)所形成的阵列称为帕德表。
第六章 函数逼近与函数插值 本章介绍函数逼近与插值的有关理论和算法. 函数逼近问题与插值问题两者既有联系又有区别，它们都是用较简单的函数来近似未知的、或表达式较复杂的函数. 一般来说，函数逼近是要在整个区间、或一系列离散点上整体逼近被近似函数，而在进行插值时，则须保证在若干自变量点上的函数值与被近似函数相等. 6.1 函数逼近的基本概念 进行函数逼近一般是在较简单的函数类Φ中找一个函数p(x)来近似给定的函数f(x)，以使得在某种度量意义下误差函数p (x )?f(x)最小. 被逼近函数f(x)可能是较复杂的连续函数，也可能是只在一些离散点上定义的表格函数，而函数类Φ可以是多项式、分段多项式、三角函数、有理函数，等等. 函数逼近问题中度量误差的手段主要是函数空间的范数，下面先介绍函数空间的范数、内积等有关概念，然后讨论函数逼近问题的不同类型. 6.1.1 函数空间 线性空间的概念大家都很熟悉，其定义中包括一个元素集合和一个数域，以及满足一定运算规则的“加法”和“数乘”运算. 简单说，若这个元素集合对于“加法”和“数乘”运算封闭，则为一线性空间. 线性空间的元素之间存在线性相关和线性无关两种关系，进而又有空间的基和维数的概念. 在这里我们先考虑连续函数形成的线性空间. 例如C [a,b ]按函数加法、以及函数与实数乘法，构成一个线性空间. 对于[a,b]区间上所有k 阶导数连续的函数全体C k [a,b ]，也类似地构成一个线性空间. 我们一般讨论实数函数，因此对应的是实数域?，若讨论复数函数，则相应的是复数域?. 另外，与线性代数中讨论的向量空间?n 不同，连续函数空间是无限维的. 对线性空间可以定义范数的概念（见3.1.2节）. 针对实连续函数空间C [a,b ]，与向量空间类似，可定义如下三种函数的范数(function norm)： 1) ∞-范数 设f (x )∈C [a,b ]，则‖f (x )‖∞=max x∈[a,b ]|f (x )| . 其几何意义如图6-1所示，即函数值绝 对值的最大值. 2) 1-范数 ‖f (x )‖1=∫|f (x )|dx b a . 其几何意义如图6-2所示，即函数曲线 与横轴之间的面积总和. 3) 2-范数 ‖f (x )‖2=[∫f 2(x )dx b a ]1/2. 2-范数也常称为平方范数，其几何意义 与1-范数类似. 线性空间还有一个重要概念是内积，它 定义了空间中两个元素的一种运算. 下面给出一般的复数域上线性空间内积的定义.
回归、插值、逼近、拟合的区别 1、回归：一般指线性回归，是求最小二乘解的过程。在求回归前，已经假设所有型值点同时满足某一曲线方程，计算只要求出该方程的系数 2、多项式插值：用一个多项式来近似代替数据列表函数，并要求多项式通过列表函数中给定的数据点。（插值曲线要经过型值点。）离散的点 3、多项式逼近：为复杂函数寻找近似替代多项式函数，其误差在某种度量意义下最小。（逼近只要求曲线接近型值点，符合型值点趋势。）连续的函数 4、多项式拟合：在插值问题中考虑给定数据点的误差，只要求在用多项式近似代替列表函数时，其误差在某种度量意义下最小。离散的点 注意： 表列函数：给定n+1个不同的数据点（x0,y0）,(x1,y1)...,(xn,yn)，称由这组数据表示的函数为表列函数。 逼近函数：求一函数，使得按某一标准，这一函数y=f（x）能最好地反映这一组数据即逼近这一表列函数，这一函数y=f（x）称为逼近函数 插值函数：根据不同的标准，可以给出各种各样的函数，如使要求的函数y=f（x）在以上的n+1个数据点出的函数值与相应数据点的纵坐标相等，即yi=f（x1）（i=0，1，2....n）这种函数逼近问题称为插值问题，称函数y=f（x）为数据点的插值函数，xi称为插值点。 插值和拟合都是函数逼近或者数值逼近的重要组成部分 他们的共同点都是通过已知一些离散点集M上的约束，求取一个定义在连续集合S(M包含于S)的未知连续函数，从而达到获取整体规律的 目的，即通过"窥几斑"来达到"知全豹"。 简单的讲，所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}，通过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λ3), 使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者线性回归(主要在统计中)，否则叫作非线性拟合或者非线性回归。表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合。 而插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息，通过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数，使得该函数在给定离散点上满足约束。插值函数又叫作基函数，如果该基函数定义在整个定义域上，叫作全域基，否则叫作分域基。如果约束条件中只有函数值的约束，叫作Lagrange插值，否则叫作Hermite插值。 从几何意义上将，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式未知参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点；而插值是找到一个(或几个分片光滑的)连续曲面来穿过这些点。
插值和拟合区别 运输1203黎文皓通过这个学期的《科学计算与数学建模》课程的学习，使我掌握了不少数学模型解决实际问题的方法，其中我对于插值与拟合算法这一章，谈一谈自己的看法可能不是很到位，讲得不好的地方也请老师见谅。 首先，举一个简单的例子说明一下这个问题。 如果有100个平面点，要求一条曲线近似经过这些点，可有两种方法：插值和拟合。 我们可能倾向于用一条（或者分段的多条）2次、3次或者说“低次”的多项式曲线而不是99次的曲线去做插值。也就是说这条插值曲线只经过其中的3个、4个（或者一组稀疏的数据点）点，这就涉及到“滤波”或者其他数学方法，也就是把不需要90多个点筛选掉。如果用拟合，以最小二乘拟合为例，可以求出一条（或者分段的多条）低次的曲线（次数自己规定），逼近这些数据点。具体方法参见《数值分析》中的“线性方程组的解法”中的“超定方程的求解法”。经过上面例子的分析，我们可以大致的得到这样一个结论。插值就是精确经过，拟合就是逼近。 插值和拟合都是函数逼近或者数值逼近的重要组成部分。他们的共同点都是通过已知一些离散点集M上的约束，求取一个定义在连续集合S(M包含于S)的未知连续函数，从而达到获取整体规律目的，即通过"窥几斑"来达到"知全豹"。 所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}，通过调
整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λ3), 使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者线性回归(主要在统计中)，否则叫作非线性拟合或者非线性回归。表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合。 而插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息，通过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数，使得该函数在给定离散点上满足约束。 从几何意义上将，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式未知参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点；而插值是找到一个(或几个分片光滑的)连续曲面来穿过这些点。 不过是插值还是拟合都是建立在一定的数学模型的基础上进行的。多项式插值虽然在一定程度上解决了由函数表求函数的近似表达式的问题，但是在逼近曲线上有明显的缺陷，很可能不能很好的表示函数的走向，存在偏差，在实际问题中我们往往通过函数近似表达式的拟合法来得到一个较为准却的表达式。
第二章插值法 一、内容分析与教学建议 本章内容统称为插值法，包括Lagrange插值、逐步线性插值、Newton 插值、Hermite 插值、分段多项式插值、有理函数插值等内容，既是教学的重点。 在教学上，注意由浅入深，由直观到抽象，多用实例和图形作解释，建立插值概念，注意讲解上述插值是如何根据实际问题要求的提高而先后发展起来的。培养学生分析问题和解决问题的能力。 （一）L agrange插值 1、回顾《高等数学》的Taylor公式，讲解Taylor公式是根据某一点的多个信息得到近似多项式的插值思想。 2、将上述思想应用到多点的信息，即根据所给的多点的数据，建立插值多项式。 3、讲解过程中，沿着“发现问题→提出解决方法→方法的存在性和惟一性→建立Lagrange插值公式→误差公式”这样一个思路去讲解Lagrange插值的思想和方法。 （二）逐步线性插值 1、讲解为什么要建立逐步线性插值？这是由于Lagrange插值没有承袭性，当需要增加一个插值节点时，以前所做的工作要全部重做。 2、逐步线性插值是一个将高次插值转化成逐步线性插值的迭代过程，正是这一点使得逐步线性插值具有了承袭性。 3、强调逐步线性插值是求一点处近似值的快速方法，不太适合建立插值解析式。 （三）N ewton插值 1、Newton 插值克服了上述两类插值的缺点，继承了它们的优点：即具有承袭性，又是一个完整的解吸式，便于理论研究和分析。 2、首先掌握差分和差商的概念以及它们的性质，在此基础上建立Newton 插值公式和误差公式。 3、Newton 插值公式实际上是Lagrange插值公式的另外一种表现形式，这揭示了一种
第六章函数逼近https://www.doczj.com/doc/bc15407894.html,/shuzhifenxi/index.htm 第一节曲线拟合的最小二乘法 问题的背景 通过观测、测量或试验得到某一函数在x1 ,x2,…,x n的函数值. 我们可以用插值的方法对这一函数进行近似,而插值方法要求所得到的插值多项式经过已知的这n个插值结点;在n比较大的情况下, 插值多项式往往是高次多项式, 这也就容易出现振荡现象:虽然在插值结点上没有误差,但在插值结点之外插值误差变得很,从“整体”上看,插值逼近效果将变得“很差”. 于是, 我们采用数据拟合的方法. 定义1 数据拟合就是求一个简单的函数φ(x), 例如是一个低次多项式,不要求通过已知的这n个点，而是要求在整体上“尽量好”的逼近原函数,这时在每个已知点上就会有误差y k -φ(x k),(k=1,2,…,n),数据拟合就是从整体上使误差 y k -φ(x k),(k=1,2,…,n), 尽量的小一些. 如果要求: 达到最小,因误差y k -φ(x k)可正可负 本来很大的误差可能会正负抵消,这样的提法不合理,为防止正负抵消,可以要求:达到最小,但是由于绝对值函数不可以求导,分析起来不方便,求解也很难. 为了既能防止正负抵消，又能便于我们分析、求解，提出如下问题： 求一个低次多项式φ(x) ,使得: 达到最小,此问题便是一个数据拟合的最小二乘问题.
一、直线拟合(一次函数) 通过观测、测量或试验得到某一函数在x1 ,x2,…,x n的函数值：y1 ,y2,…,y n ,即得到n组数据(x1 ,y1 ),(x2 ,y2),…,(x n ,y n ),如果这些数据在直角坐标系中近似地分布在一条直线上,我们可以用直线拟合的方法. 已知数据(x1 ,y1 ),(x2 ,y2),…,(x n ,y n ),求一次多项式φ(x)=a+bx(实际上，就是求a,b), 使得: （1） 达到最小. 注意到Q(a,b)中,x k ,y k均是已知的,而a,b是未知量,Q(a,b)是未知 量a,b的二元函数,利用高等数学求二元函数极 小值(最小值)的方法，上述问题转化为求解下 列方程组: 的解.
一、填空题： 1． 满足()a a f x x =，()b b f x x =，()c c f x x =的拉格朗日插值余项为 。 答：()() ()()()3! a b c f R x x x x x x x ξ'''= --- 2．已知函数()f x 的函数值()()()()()0,2,3,5,6f f f f f ，以及均差如下 ()()()()() 00,0,2 4,0,2,35,0,2,3,51,0,2,3,5,60 f f f f f ===== 那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数是 答： 1 二、选择题 1. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．()00l x ＝0，()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()110l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x = 答：D 2．. 已知等距节点的插值型求积公式 ()()35 2 k k k f x dx A f x =≈∑?，那么3 k k A ==∑（ ） A ．1 B. 2 C. 3 D. 4 答：C 3．过点(x 0,y 0), (x 1,y 1)，…，(x 5,y 5)的插值多项式P(x)是( )次的多项式。 (A). 6 (B).5 (C).4 (D).3． 答：B 三、证明题 1. 设 f (x) = (x-1) (x-2) .证明对任意的x 有： f [1, 2, x)]= 1 证明:f [1, 2] = [f (1) – f (2)]/ (1 – 2) = [0 – 0]/ (-1) = 0, 对任意的x 有 F[2, x] = [f (2) – f (x)]/ (2 – x) = [0 – (x-1) (x-2)]/ (2 – x) = (x-1), 所以 f [1, 2, x] = [f (1, 2) - f (2, x)]/ (1 – x) = [0 - (x-1)]/ (1 – x) = 1 2.设 在 上具有二阶连续导数，且 ，求证：
第六章习题解答 2、利用梯形公式和Simpson 公式求积分2 1 ln xdx ? 的近似值，并估计两种方法计算值的最大 误差限。 解：①由梯形公式： 21ln 2 ()[()()][ln1ln 2]0.3466222 b a T f f a f b --= +=+=≈ 最大误差限 3''2 ()111 ()()0.0833******** T b a R f f ηη-=-=≤=≈ 其中，(1,2)η∈ ②由梯形公式： 13()[()4()()][ln14ln()ln 2]0.38586262 b a b a S f f a f f b -+= ++=++≈ 最大误差限 5(4)4()66 ()()0.0021288028802880 S b a R f f ηη-=-=≤≈， 其中，(1,2)η∈。 4、推导中点求积公式 3''()()()()() ()224 b a a b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+<
实验报告：函数逼近&插值多项式补充 问题1：对于给函数21()1+25f x x = ，取点21 cos 22 k k x n π+=+，k 取0，1，…，n 。n 取10或20。试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果进行比较。 问题2：对于给函数2 1 ()1+25f x x = 在区间[-1，1]上取x i =-1+0.2i （i=0,1,2,…,10），试求3次曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果进行比较。 实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和函数逼近，加深对多项式插值的理解。应用所编程序解决实际算例。 实验要求： 1． 认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用； 2． 编写相关程序并进行实验； 3． 调试程序，得到最终结果； 4． 分析解释实验结果； 5． 按照要求完成实验报告。 实验原理： 详见《数值分析 第5版》第二章、第三章相关内容。 实验内容： （1）问题1：
这里我们可以沿用实验报告一的代码，对其进行少量修改即可。 当n=10时，代码为： clear all clc k=0:10; n=length(k); x1=cos((2*k+1)/2/n*pi); y1=1./(1+25.*x1.^2); f=y1(:); for j=2:n for i=n:-1:j f(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end syms F x p; F(1)=1;p(1)=y1(1); for i=2:n F(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1)); p(i)=f(i)*F(i); end syms P P=sum(p);
第二章 插值法 1．已知5125,464,327333===，构造二次拉格朗日插值多项式， 1）计算3100； 2）估计误差。 ----4.68782, 0.618131 2.用插值点)25,5(),9,3(),4,2(构造牛顿插值多项式，并计算)5.3(N 。 ----12.25 3.设4)(x x f =，试利用插值余项定理写出以-1，0，1，2 为插值节点的三次插值多项式。 ----x x x 2223-+ 4．已知)())(()(10n x x x x x x x f ---= ，求差商],,,,[10x x x x f n 。 ----1 5．设],[)(2b a C x f ∈，由))(,(a f a 和))(,(b f b 构造的插值函数为)(1x L ，证明： M a b x L x f x R 211)(8 1|)()(||)(|-≤-= 其中，|)("|max x f M b x a ≤≤= 6．设],[)(2b a C x f ∈，且0)()(==b f a f ，证明： M a b x f 2)(81|)(|-≤ 其中，|)("|max x f M b x a ≤≤= 7．设n x x x ,,,10 为1+n 个互异的节点，)(x l i 为拉格朗日插值基函数，试证： n k x l t x n i i k i ,,2,1,0)()(0 ==-∑=
8．给出函数表： i x 1.05 1.10 1.15 1.20 )(i x f 2.13 2.20 2.17 2.32 构造分段线性插值函数，计算)065.1(f 的近似值。 ----02.151 9.给定)('),(),(010x f x f x f ，构造满足上述插值条件的二次插值多项式。 ----2020100101000)() ()(')()()()(')()()(x x x x x f x x x f x f x f x x x f x -----+ -+=? 10．给出x x f cos )(=的等距节点函数表，如用线性插值计算)(x f 的近似值，使 其截断误差为51021-?，则函数表的步长应取多大？ ----310102-?≤h
插值与逼近 一、考核知识点 拉格朗日插值法及其余项、差商定义及性质、牛顿插值法及其余项、最小二乘法、矛盾方程组。 二、考核要求： 1．熟练掌握拉格朗日插值法及其余项。 2．了解差商定义及性质，熟练掌握牛顿插值法及其余项。 3．了解最小二乘法的基本思想，熟练掌握求最小二乘多项式与矛盾方程组最小二乘解的 三、重、难点分析 例1 已知,3)9(,2)4(==f f 用线性插值计算)5(f ，并估计误差。 解 取插值节点x 0= 4,x 1= 9，两个插值基函数分别为 )9(5 1 )(1010--=--= x x x x x x l )4(51)(0101-=--= x x x x x x l 故有 5 65)4(53)9(52 )()()(11001+=-+--=+=x x x y x l y x l x L 2.25 6 55)5()5(1=+=≈L f 误差为 )(2)95)(45(! 2) ()5(2ξξf f R ''-=--''= 例2已知函数)(x f 数值表为 解 作差商表：
代入牛顿插值多项式得： 1)2)(1()1(21)(2 2+-=--+-+=x x x x x X N 故 44.218.1)8.1()8.1()8.1(2 2=+-=≈N f 例3已知的函数表 求在[0，2] 解 因为y i 关于x 严格单调减少，用反插值法求f(x) 零点的近似值比较简单， 具体作法如下： 先作反函数表 将节点x 0=8,x 1=-7.5，x 2=-18及对应函数值y 0=0,y 1=1,y 2=2代入二次拉格朗日插值多项式（2.2），再令x=0,得 445 .02 ) 5.718)(818() 35.70)(80(1)185.7)(85.7()180)(80(0)188)(5.78()180)(5.70()0(2≈?+----+-+?+---+-+?++++= L 于是得f(x)在[0，2]内零点445.0)0()0(21 * ≈≈=-L f x 值得注意的是，只有所给函数（或函数表）在[a,b]上严格单调情况下，才能使用反插值方法，否则可能得出错误结果。 例4 已知数表： 解 设最小一次式为x a a x g 101)(+=，由系数公式得： 310=+=n s ∑=== 2 16i i x s 142 23==∑=i i x s
习题6.1 1. 求三个一次多项式)(x g 、)(x h 和)(x f 的积)()()(x h x g x f ??.它们的零点分别为0.2,0.5,1.3. 2. 求多项式9425)(25-+-=x x x x g 被 736)(2+-=x x x f 相除后的结果. 习题6.2 1. 已知函数)(x f 在]7,1[上具有二阶连续导数， 5)("≤x f ，且满足条件12)7(,1)1(==f f .求线性插值多项式和函数值)5.3(f ，并估计其误差. 2. 求函数=)(x f e x 3-在]4,0[上线性插值多项式，并估计其误差. 3. 求将区间 [π/6, π/2] 分成n 等分)2,1(=n ，用x x f y sin )(==产生1+n 个节 点，然后根据（6.9）和（6.13）式分别作线性插值函数)(1x P 和抛物线插值函数)(2x P .用它们分别计算sin (π/5) (取四位有效数字)，并估计其误差. 4.给出节点数据00.27)00.3(=-f ，00.1)00.0(=f ，00.2)00.1(=f ，00.17)00.2(=f ，作三次拉格朗日插值多项式计算)4.1(f ，并估计其误差. 5. 给出节点数据03.37)15.3(=-f ，24.7)00.1(=-f ，05.1)01.0(=f ，03.2)02.1(=f ， 0 6.17)03.2(=f ，05.23)25.3(=f 作五次拉格朗日插值多项式和基函数，并写出估计其误差的公式. 6. 已知5.030sin =ο，7071.045sin =ο，190sin =ο，求ο40sin 的近似值，并估计 其误差. 习题6.3 1. 已知函数)(x f 在]7,1[上具有二阶连续导数， 5)("≤x f ，且满足条件12)7(,1)1(==f f .求一阶牛顿插值多项式和函数值)5.3(f ，并估计其误差. 2. 求函数=)(x f e x 3-在]4,0[上六阶牛顿插值多项式和估计误差的公式. 3. 将区间 [π/6, π/2] 分成n 等分)2,1(=n ，用x x f y sin )(==产生1+n 个节点，求二阶和三阶牛顿插值多项式)(2x P 和)(3x P .用它们分别计算sin (π/7) (取四位有效数字)，并估计其误差. 4.给出节点数据00.27)00.3(=-f ，00.1)00.0(=f ，00.2)00.1(=f ，00.17)00.2(=f 作三阶牛顿插值多项式计算)4.1(f ，并估计其误差. 5. 给出节点数据03.37)15.3(=-f ，24.7)00.1(=-f ，05.1)01.0(=f ，03.2)02.1(=f ， 0 6.17)03.2(=f ，05.23)25.3(=f 作五阶牛顿插值多项式和差商，并写出估计其误差的公式. 6. 已知5.030sin =ο，7071.045sin =ο，190sin =ο，用牛顿插值法求ο40sin 的近 似值，并估计其误差. 习题6.4 1. 给定函数)(x f 在点4/,6/10π=π=x x 处的函数值5.0)(0=x f ， 1707.0)(1=x f 和导数值0866.0)(0'=x f ，1707.0)(1'=x f ，且1)()4(≤x f ，求函数 )(x f 在点10,x x 处的3阶埃尔米特插值多项式)(3x H 和误差公式. 2. 求函数=)(x f e x 3-在]4,0[上五阶埃尔米特插值多项式，并估计其误差. 3. 将区间 [π/6, π/2] 分成n 等分)2,1(=n ，用x x f y sin )(==产生1+n 个节点，然后根据（6.42）和（6.44）式分别作埃尔米特插值多项式及其误差公式.用它们分别计算sin (π/5) (取四位有效数字)，并估计其误差.
课程名称计算方法 实验项目名称函数的数值逼近－插值 实验成绩指导老师（签名）日期2011-9-16 一. 实验目的和要求 1．掌握用Matlab计算Lagrange、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析。 2．通过实例学习如何用插值方法解决实际问题。 二. 实验内容和原理 1）编程题2-1要求写出Matlab源程序(m文件)，并对每一行语句加上适当的注释语句；2）分析应用题2-2，2-3，2-4，2-5要求将问题的分析过程、Matlab源程序、运行结果和结果的解释、算法的分析等写在实验报告上。 2-1分析应用题 用 1 2 y x =在0,1,4,9,16 x=产生5个节点 15 ,, P P 。用以下五种不同的节点构造Lagrange 插值公式来计算5 x=处的插值，与精确值比较并进行分析。function y=lagr(x0,y0,x) n=length(x0); m=length(x); L=zeros(1,n); y=zeros(1,m); for k=1:m s=0; for i=1:n L(i)=1; for j=1:n if j~=i L(i)=L(i)*(x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)); end end s=s+y0(i)*L(i); end y(k)=s; end
1） 用 34,P P 构造； >> x0=[4,9]; >> y0=[2,3]; >> lagr(x0,y0,5) ans = 2.2000 2） 用234,,P P P 构造； >> x0=[1,4,9]; >> y0=[1,2,3]; >> lagr(x0,y0,5) ans = 2.2667 3） 用2345,,,P P P P 构造；
第四章 插值法与函数逼近 A 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 证明 是n 次多项式,它的根是,且 . 2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式. 3. 4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字, 研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5. 设,k =0,1,2,3,求. 6. 设 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证: i) ii) 7. 设 且,求证 8. 在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截 断误差不超过,问使用函数表的步长应取多少? 9. 若,求 及. 10. 如果是次多项式,记,证明的阶差分 是次多项式,并且为正整数). 11. 证明. 12. 证明 13. 证明 14. 若 有个不同实根,证明 2000 0112111 21 ()(,, ,,)11 n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x x x x ----== ()n V x 01, ,n x x -101101()(,, ,)() ()n n n n V x V x x x x x x x ---=--0k x x kh =+032max ()x x x l x ≤≤j x 0()(0,1, ,); n k k j j j x l x x k n =≡=∑0 ()()1,2,,). n k j j j x x l x k n =-≡0(=∑[] 2(),f x C a b ∈()()0f a f b ==21 ()()(). 8max max a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤≤-"44x -≤≤()x f x e =x e 6 10-h 2n n y =4n y ?4 n y δ()f x m ()()()f x f x h f x ?=+-()f x k ()(0)k f x k m ?≤≤m k -()0(m l f x l +?=1()k k k k k k f g f g g f +?=?+?1 1 0010 . n n k k n n k k k k f g f g f g g f --+==?=--?∑∑1 2 00 . n j n j y y y -=? =?-?∑1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++n 12,,,n x x x
牛顿插值法 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)。插值函数 插值函数的概念及相关性质[1] 定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn 上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。 定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序 程序框图#include<> void main() { float x[11],y[11][11],xx,temp,newton; int i,j,n; printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x="); scanf("%f",&xx); printf("请输入插值的次数(n<11):n="); scanf("%d",&n); printf("请输入%d组值:\n",n+1); for(i=0;i 实验报告：函数逼近&插值多项式补充 问题1：对于给函数2 1()1+25f x x = ，取点21 cos 22k k x n π+=+，k 取0，1，…，n 。n 取10或20。试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果进行比较。 问题2：对于给函数2 1 ()1+25f x x = 在区间[-1，1]上取x i =-1+0.2i （i=0,1,2,…,10），试 求3次曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果进行比较。 实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和函数逼近，加深对多项式插值的理解。应用所编程序解决实际算例。 实验要求： 1． 认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用； 2． 编写相关程序并进行实验； 3． 调试程序，得到最终结果； 4． 分析解释实验结果； 5． 按照要求完成实验报告。 实验原理： 详见《数值分析 第5版》第二章、第三章相关容。 实验容： （1）问题1： 这里我们可以沿用实验报告一的代码，对其进行少量修改即可。 当n=10时，代码为： clear all clc k=0:10; n=length(k); x1=cos((2*k+1)/2/n*pi); y1=1./(1+25.*x1.^2); f=y1(:); for j=2:n for i=n:-1:j f(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end syms F x p ; F(1)=1;p(1)=y1(1); for i=2:n F(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1)); p(i)=f(i)*F(i);数值分析实验报告-插值、逼近
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