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内蒙古赤峰2021高三模拟考试数学(理)试题

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赤峰市高三1·30模拟考试试题

理科数学

2021.1

本试卷共23题，共150分，共8页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数z 满足(1)2i z i -=，i 是虚数单位，则z z ?=（）

A ．2

B ．2

C ．

D ．

2 2．已知集合{(2)(5)0}A x

x x =-+<∣，{31,}B x x k k ==-∈Z ∣，则A B ?=（） A ．{1,2}-

B ．{1,2,5}-

C ．{4,1}--

D ．{5,4,2}--

3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“120S >，130S <”是“n S 的最大值为6S ”的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

4．已知,a b ∈R ，且0a b <<，则下列结论正确的是（） A ．

a b

< B ．sin sin a b < C ．22a b > D ．22ln ln b a <

5．下图是某统计部门网站发布的《某市202年国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI ）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）

2020年居民消费价格月度涨跌幅度

下列说法错误的是（）

①2020年6月CPI 环比下降0.1%，同比上涨2.0% ②2020年6月CPI 环比上升0.1%，同比无变化 ③2020年3月CPI 环比下降1.1%，同比上涨0.2% ④2020年3月CPI 环比下降0.2%，同比上涨1.7% A ．①③

B ．①④

C ．②④

D ．②③

6．设双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，若经过F 和(0,2)M 两点的直线垂直于双

曲线的一条渐近线，则该双曲线的方程为（）

A ．22

122x y -= B ．22

144x y -= C ．22

124x y -= D ．22

142

x y -= 7．一只昆虫在边长为6的等边三角形区域内随机爬行，则其到三角形任意一个顶点的距离不小于1的概率为（）

A ．

B ．

C ．

5427

- D ．

5454

8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，12n

n n a a +?=，则2020S =（）

A ．202021-

B ．1010323?-

C ．1010321?-

D ．1010322?-

9．已知函数()sin()f x x ω?=+，具有以下性质：

（1）对任意的x ∈R ，都有()()12()f x f x f x ≤≤，且12x x -的最小值为2

π；（2）6f x π?

为奇函数；（3）任取12,0,

4x x π??

∈????

，当12x x ≠时，都有()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+．同时满足上述性质的一个函数可以是（） A ．4sin 23y x π??

? B ．sin 23y x π?

?=-

? C ．2sin 23

y x π??=+

D ．sin 26y x π?

?=+

10．设函数()f x 满足对x ?∈R ，都有(1)(3)f x f x +=-，且在(2,)+∞上单调递增，(4)0f =，2

()g x x =，

则函数(2)()y f x g x =+的大致图象是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

11．（chuhong ），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍甍者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面意思为茅草屋顶”，如图为一“刍甍”的五面体，其中ABCD 为矩形，ADE △和BCF △都是等腰三角形，

2AE ED BF CF AD ====，EF //AB ，若3AB EF =，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的

大小为（）

A ．

B ．

π C ．

π D ．

π 12．已知函数()22sin x m f x e x +=

-在30,4π??

????

上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（）

A ．3,44ππ?

-???? B ．3,44ππ??

???

C ．,42ππ??

???

D ．,24ππ?

- ???

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．边长为1的等边ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则AB EB ?= ． 14．已知椭圆C 的两个焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，离心率为1

e 2

=，点P 在椭圆C 上，且1230F PF ∠=?，则12F PF △的面积为．

15．如图是为了提高小朋友智力的游戏画板，现提供5种不同的颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域不同色，则使B 、E 区域同色的涂法有种．

16．在如图棱长为2的正方体中，点M 、N 在棱AB 、BC 上，且1AM BN ==，P 在棱1AA 上，α为过M 、

N 、P 三点的平面，则下列说法正确的是．

①存在无数个点P ，使面α与正方体的截面为五边形； ②当11A P =时，面α与正方体的截面面积为33 ③只有一个点P ，使面α与正方体的截面为四边形；

④当面α交棱1CC 于点H ，则PM 、HN 、1BB 三条直线交于一点．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17．锐角ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222sin sin sin sin sin A B C B C =+-．（1）求角A ；

（2）求cos cos cos A B C ++的取值范围．

18．如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AB BC ⊥，CD//AB ，面ABE ⊥面ABCD ，且224AB AE BE BC CD =====，点M 在棱AE 上．

（1）证明：当2MA EM =时，直线CE//平面BDM ；（2）当AE ⊥平面MBC 时，求二面角E BD M --的余弦值．

19．疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知识测试（百分制）活动，活动结束后随机抽取了200名学生的成绩，并计算得知这200个学生的平均成绩为65，其中5个低分成绩分别是30，33，

35，38，38；而产生的10个高分成绩分别是90，91，91，92，92，93，95，98，100，100．

（1）为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测试得分近似满足正态分布()2

μσ（μ和2

分别为样本平均数和方差），则认为防控有效，否则视为效果不佳．经过计算得知样本

方差为210，请判断该校的疫情防控是否有效，并说明理由．21014.5≈）

规定：若(22)0.9544P X μσμσ-<<+>，(33)0.9974P X μσμσ-<<+>，则称变量X “近似满足正态分布()2

μσ的概率分布”

．（2）学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对90分及以上的同学通过抽奖的方式进行奖励，得分低于94分的同学只有一次抽奖机会，不低于94分的同学有两次抽奖机会．每次抽奖获得50元奖金的概率是3

，获得100元的概率是

．现在从这10个高分学生中随机选一名，记其获奖金额为Y ，求Y 的分布列和数学期望． 20．已知函数21

()ln 2

x f x x x -=-．（1）求()f x 的单调区间；

（2）设()*

ln 1,1,2,k k a n k n n ??

∈=??? ??

?N ，在（1）的条件下，求证：123214

n n a a a a ++++???+<()

*n ∈N ． 21．已知点M 是圆222

:(2)(2)C x y r r -+=>与x 轴负半轴的交点，过点M 作圆C 的弦MN ，并使弦MN 的

中点恰好落在y 轴上．（1）求点N 的轨迹方程；

（2）设点N 的轨迹为曲线E ，延长NO 交直线2x =-于点A ，延长NC 交曲线E 于点B ，曲线E 在点B 处的切线交y 轴于点D ，求证：AD BD ⊥．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，直线l

的参数方程为112

x y t ?=-+????=??（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立坐标系，曲线C 极坐标方程为2cos (0)a a ρθ=>，且曲线C 与直线l 有且只有一个交点．（1）求a ；

（2）过点O 且倾斜角为β的直线交直线l 于点A ，交曲线C 异于原点的一点B ，,43ππβ?

?∈????，求||

||OB OA 的取

值范围．

23．选修4-5：不等式选讲设函数()|1|f x x =-．

（1）求(2)(1)f x f x ++的最小值m ；

（2）在（1）的件下，证明(

)

1cos sin 2f f m αα?

≤ ??

．赤峰市高三1·30模拟考试试题

理科数学参考答案

一、选择题

二、填空题

13．

14．24- 15．180 16．①②④ 三、解答题

17．解：（1）由题设及正弦定理得222a b c bc =+-

由余弦定理得，2221

cos 22

b c a A bc +-=

= 0,2A π?

?∈ ???

，3A π∴=

（2）2cos cos cos cos

cos cos 33A B C B B π

??++=++- ???

122cos cos cos sin sin 233

B B B ππ

+++

1311sin cos sin 22226B B B π??=

++=++ ??? ABC △为锐角三角形，02

B π

∴<<

，02

C π

232C B ππ=

-<，62B ππ∴<<，2363

B πππ

∴<+<

3sin 16B π??

∴

<+≤ ??

?，1313sin 262B π+??

∴

<++≤ ??

? cos cos cos A B C ∴++的取值范围为13322??

+ ??

? 18．（1）证明：连结BD 与AC 交于点N ，连结MN ，

AB//CD ，24AB CD ==

CND ANB ∴△∽△，1

CD CN AB AN ∴

== 12EM MA =，EM CN

MA AN

∴=

，MN //EC ∴ 又MN ?面BDM ，CE ?/面BDM ，CE//∴平面BDM （2）解：

AE ⊥平面MBC ，AE BM ∴⊥，M ∴是AE 的中点，取AB 的中点为O ，

OE ∴⊥平面ABCD

以OD ，OA ，OE 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则

(0,2,0)B -，(0,0,23)E ，(2,0,0)D ，(0,2,0)A ，3)M

设平面EBD 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111112200

22300x y n BD y z n BE ?+=??=??

?+=?=???

? 令11z =，则13y =-13x =1(3,3,1)n ∴=-

设平面BDM 的法向量为()2222,,n x y z =，则22222222003300x y n BD y z n BM ?+=??=?????+=?=?

???

令23z =21y =-，21x =，1(1,13)n ∴=-

121212

3333105

cos ,75

||n n n n n n ?++∴<>=

=??∴二面角E BD M --的余弦值为

310535

19．解：（1）据该校的疫情防控是有效的，理由如下：

21014.5≈，265214.536μσ∴-=-?=，265214.594μσ+=+?=，

365314.521.5μσ-=-?=，365314.5108.5μσ+=+?=，

得分小于36分的学生有3个，得分大于94分的有4个

(22)10.9650.9544200

P X μσμσ∴-<<+=-

=>，学生的得分都在[30,100]间，(33)10.9974P X μσμσ∴-<<+=>．

∴学生得分近似满足正态分布(65,210)N 的概率分布，

因此该校的疫情防控是有效的．

（2）设这名同学获得的奖金为Y ，则Y 的可能值为50，100，150，200

639

(50)10420P Y ==?=，2

61433(100)1041048P Y ??==?+?= ???，

24313(150)104420P Y C ==???=，2

411(200)10440

P Y ??==?=

??? 故Y 的分布列为：

Y 50

100

150 200

920

320 140

()5010015020087.52082040

E Y ∴=?+?+?+?=．

20．（1）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞

由21

()ln 2

x f x x x -=-，得()ln 1f x x x '=-- 令1()ln 1()1g x x x g x x

'=--?=-

()0(1,)()0(0,1)g x x g x x ''>?∈+∞

即()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，

故()(1)0f x f '

''≥=，于是()f x 单调递增区间为(0,)+∞，无递减区

（2）证明：由（1）可知()f x 在(0,)+∞上单调递增函数，又(1)0f =，

∴当1x >时，()0f x >，11ln 2x x x ??∴<

- ???

1ln 112k k k n k k a n n n k +-????∴=+<+- ? ?+????1(1,2,)2k

k k n n n k ??=+=??? ?+??

123112122111n n n a a a a n n n n n n ?

?∴+++???+<++???++++???+ ?+++??

1121221n n n n ++???+++???+??=+ ?+??(1)(1)12122214n n n n n n n ++?

?? +=+=?

于是()*12321

n n a a a a n ++++???+<∈N 得证 21．（1）解法一：由题意知(2,0)C ，(2,0)M r -

设(,)N x y 是222

:(2)(2)C x y r r -+=>上的任意点，

弦MN 的中点2,22r x y -+?

?恰好落在y 轴上， 202

r x

-+∴

=，2r x ∴=+，222(2)(2)x y x ∴-+=+ 整理得2

8y x =，2r >，0x ∴>，

∴点N 的轨迹方程为28(0)y x x =>

解法二：设(,)N x y ，弦MN 的中点为0,2y Q ?

? ??

，(,0)M x -，由垂径定理得CQ MN ⊥

202,(2,)08(0)2y CQ MN x y y x x ??

∴?=?-?=?=> ??

（2）证法一：设直线NB 的方程为2x my =+，则

由282

y x x my ?=?=+?，消去x ，整理得28160y my --=，264640m ?=+> 设()11,N x y ，()22,B x y ，则128y y m +=，1216y y =-

11ON y k x ∴=

，∴直线ON 的方程为11

y y x x = ∴令2x =，则1

12y y x -=

，1122,y A x ??-∴-? ?

? 设点B 的处的切线方程为()22y y k x x -=-，与2

8y x =相切

由()

222

8y y k x x y x

-=-??

=?，消去x ，整理得 ()222880ky y y kx -+-=，22220k x ky ∴?=-+=

()22

222220408

y k ky y k -+=?-=，24BD k y ∴=

∴直线()222

:BD y y x x y -=

-，令0x =，则 2

22222244x x y y y y y --+=+=222

22484x x x y y -+==，2240,x D y ??∴? ??

2121221211

1422824AD x y x y y k y x y x y ??∴=+=+=+? ??1211324

4y y y y +==

1212

4416

1AD BD k k y y y y ∴?=

?==-，AD BD ∴⊥ 证法二：设()()000,0N x y x ≠，则直线ON 的方程为0

0y y x x =，0022,y A x ??∴--? ?

?，设直线NB 的方程为2x my =+，则

由282

y x x my ?=?=+?，消去x ，整理得28160y my --=，2

64640m ?=+>

设()11,B x y ，则101200016

321616,y y y B y y y ??=-?=-

?-? ??

由曲线2

8y x =

，得y y '=-=-=

切线的斜率为04y k ===-

切线方程为020016324y y x y y ?

=--? ??，则080,D y ??? ??

020

000283282,,y AD BD x y y y ??

???=-?-?? ????

22000000

641664641664

088AD BD y x y x x x =-

+-=-+-=?⊥ 22．解：（1）直线l

的普通方程为10x +=，

曲线C 的普通方程为222

()x a y a -+=

因为曲线C 与直线l 有且只有一个交点，所以直线l 与曲线C 相切，所以圆心(,0)C a 到直线l 的距离为a 到直线，所以

a =，解得1a =或1

a =-解得（舍去）

（2）直线l

的极坐标方程为cos sin 10ρθθ-+= 曲线C 极坐标方程为2cos (0)a a ρθ=>

则设点A 的极坐标为()1,ρβ，点B 的极坐标为()2,ρβ，1||OA ρ=，2||OB ρ=

1ρ∴=

，22cos ρβ=

)

2||

cos )2cos 2cos cos ||

OB OA ββββββ∴

=-?=-

1cos2222cos212sin 21226βπββββ??+??

=--=--? ?????

,43ππβ?

?∈????

，2,632πππβ??

∴-∈????，

2sin 211,1)6πβ??

∴--

∈ ??

?，

1,1)||

OB OA ∴

∈ 23．（1）解：

131,21(2)(1)|21|||1,0213,0x x f x f x x x x x x x ?

-≥??

++=-+=-<

-≤???

∴当12x =

时，(2)(1)f x f x ++的最小值为1

m = （2）证明：(

)

1cos sin 2f f αα??

221sin sin 2αα=--

221sin sin 2

αα=--

．当21sin 02α-

≤时，原式222111sin sin 2sin 222ααα=+-=-≤ 当21sin 2α>时，原式2211

sin sin 22αα=-+=

m =

，()2

21cos sin 2f f m αα??

∴-+≤ ??

或用如下方法：

()221cos sin 2f f αα??

-+ ???2222111sin sin sin sin 222αααα??=--≤-+= ??

2018年高三数学模拟试题理科

黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

2020-2021高考理科数学模拟试题

高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<