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线代第6章

第6章二次型

在解析几何中，为了便于研究二次曲线

221ax bxy cy ++=

的几何性质，可以作适当的左边旋转变换

cos sin sin cos x x y y x y θθ

θθ

''=-??

''=+? 代入上式，则化为标准形式

221mx ny ''+=

显然化简后的方程的形式更简单，且其性质更明了．

这类二次齐次多项式的化简问题具有普遍性，在许多理论问题与实际问题中常会遇到．现在我们把这类问题一般化，讨论n 个变量的二次齐次多项式的化简问题．

第1节二次型及其矩阵

定义6．1 含有n 个变量12,,n x x x ???的二次齐次函数 2

11122212(),,n n n n f f a x a x x x x a x ==++??????

12121313,11222n n n n a x x a x x a x x --+++???+

称为n 元二次型（其中2

ii i a x 称为平方项，()ij i j a x x i j ≠称为混乘项）．

若取ij ji a a =，则2ij i j ij i j ji j i a x x a x x a x x =+，于是上式可以写成

21111212131311n n f a x a x x a x x a x x =+++???+ 221212222323222

112233n n

n n n n n n nn n a x x a x a x x a x x a x x a x x a x x a x ++++???++???

++++???+

1111122133122112222332()

()()

n n

ij i j i j n n n n a x x x a x a x a x a x x a x a x a x a x ==?=+++???+++++???+∑∑ 112233()

n n n n nn n x a x a x a x a x +???

++++???+

111122133121121122223321122

331112112122221

22()(,,,,)n n n n n n n nn n n n n n n nn n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a a a x a a a x x x x a a a x x x x +++???+?? ?+++???+ ?= ????????? ?+++???+???????? ????? ??= ????????????? ????????????? .T x Ax ???? ? ??

其中，12n x x x x ?? ?

?= ? ?

?? ，1112

12122212n n n n nn a a a a a a A a a a ?????

??? ?= ?

??????

?????? ?

?????

．称()T

f f x x Ax ==为二次型的矩阵形式．

由ij ji a a =，故A 为对称矩阵，即T A A =．称对称矩阵A 为该二次型的矩阵．二次型

f 称为实对称矩阵A 的二次型．实对称阵A 的秩()R A 称为二次型的秩．在这种情况下，

二次型f 与实对称矩阵A 之间通过()T

f x x Ax =就建立起一一对应关系，故往往用对称矩阵A 的性质来讨论二次型f 的性质．

例6.1 设2

1121323223f x x x x x x x =+++-，求f 的矩阵，并求f 的秩．解由()T f x x Ax =对应的对称矩阵是

111111111111130021012012101012021005r A ???????? ? ? ? ?=→-→--→-- ? ? ? ? ? ? ? ?-----????????

故()3R A =，所以二次型f 的秩为3．

对于二次型1

()n n

ij i

i j f x Ax a x x ====

∑∑，我们讨论的主要问题是：寻求可逆线性变换

x Cy = 即

11111221221122221122n n

n n

n n n nn n

x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =++???+??=++???+??

??????????

?=++???+? 使二次型()T

f x x Ax =化简为只含有平方项，不含有混乘项的形式，即

2221122n n f k y k y k y =+???．

这种只含有平方项的二次型，称为标准二次型，或称为二次型的标准形式（法式）．

再若标准形的系数12,,n k k k ???只在0,1,1-中选取，则将这种二次型称为规范二次型，即

22222121p p r f y y y y y -=++???--???-，（其中r n ≤为二次型的秩）

当ij a 为复数时, f 称为复二次型；当ij a 为实数时，f 称为实二次型．若不作说明，我们只讨论实二次型．

下面讨论一下合同矩阵．

对于二次型T

f x Ax =而言，经可逆线性变换x Cy =，将其化为

()()()T T T T f x Ax Cy A Cy y C AC y ===．

若记T B C AC = 则T

f y By =．

由于()()T T T T T T T T B C AC C A C C AC B ====，故B 为对称矩阵，故T

f y By =为关于12,,n y y y ???的二次型．

关于A 与T

B C AC =的关系，我们给出以下矩阵合同的定义．

定义6.2 设A ，B 为两个n 阶方阵，如果存在可逆矩阵C ，使得T

C AC B =，则称矩阵A 合同于矩阵B ，或称为A 与B 为合同矩阵．

据以上定义可以看出，二次型12,,()T

n f f x x A x x x ?=??=的矩阵A 与经过可逆线性变换x Cy =得到的二次型的矩阵T

B C AC =是合同矩阵．

矩阵合同的基本性质：

① 自反性任意方阵A 与其自身合同；因为T

E AE A =．

② 对称性若A 与B 合同，则B 与A 合同；

因为若A 与B 合同，则存在可逆阵C 使得T

C AC B =则1

()()T C B C A --=即

11()()T C B C A --=即B 与A 合同．

③ 传递性若A 与B 合同，B 与C 合同，则A 合同于C ；

因为1122,T

B C AC C C BC == 得 21121212()()()T

C C C AC C C C A C C == ，故A 与C 合同．

（红色部分关于性质的证明是否可以省略）

在本节最后给出矩阵的等价、相似、合同三种关系的逻辑关系：

①A 经过若干次行列变换得到B ，则A 与B 等价，即A 与B 等价?存在可逆阵,P Q 使PAQ B =成立．

②A 与B 相似?存在可逆阵P 使1P AP B -=． ③A 与B 合同?存在可逆阵P 使T P AP B =．

通过以上三个定义可以看出，相似矩阵一定是等价矩阵，合同矩阵一定是等价矩阵．但等价矩阵不一定是相似矩阵，也不一定是合同矩阵．（实对称矩阵与其相似的对角阵既相似又合同是否应该给出，这算是相似关系与合同关系的交叉点）

第2节化二次型为标准形

在第一节中我们讨论了，若二次型12,,()n x x f f x ???=经过可逆线性变换x Cy =化为只含有平方项的形式：

()()()()T T T T f f x x Ax Cy A Cy y C AC y ====

1122n n k y k y k y =++???+ 称上式为二次型f 的标准形．

可以证明任一二次型f 都可以标准化，即对于任意二次型()T

f x x Ax =．一定存在可逆变化x Cy =，使得f 化为标准形2

1122n n f k y k y k y =++???+．

下面我们从三个方面分别来讨论二次型的标准化问题：①对称变换法，②拉格朗日配方法，③正交变换法．

首先介绍对称变换法化二次型为标准形．

设有可逆线性变换x Cy =,它把二次型()T f x x Ax =化为标准形()T

f x x Ax = =()()()T

Cy A Cy y C AC y =T y y =Λ，其中T

C AC Λ=．

由于为C 一个可逆矩阵，故C 可以写成若干个初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵

12,,,s P P P ，使12s C PP

P = ，于是有 T

C AC Λ=2112T

s s P P P APP P = ．

与12s C PP P = 12s EPP P = 比较可以看出，对由A 与E 竖排而写的2n n ?型矩阵

2n n

A E ???

???施以相当于右乘矩阵12,,,s P P P 的初等列变换，再对A 施以相当于左乘矩阵12,,,T T P P T s P

的初等行变换，则矩阵A 变为对角矩阵Λ，而单位矩阵E 就相应的变为所求的可逆矩阵C .

例6.2 设111122121A ??

?= ? ???

，利用对称变换法求可逆矩阵C ，使T

C A C =Λ为对角矩阵.

解由

2131

11001221

1112111010

11010010001001c c c c A E --????

? ? ? ? ? ???=???

→

? ? ?--?? ? ? ?

? ? ? ? ????? 3221

1001000110

100100011111

1001001100100

1c c r r r r r r ----????

? ? ? ? ? ?-???→???→

? ?--- ? ? ?

?- ? ? ? ????

，因此，所求可逆矩阵110011001C -?? ?=- ? ???，对角阵111T

C AC ??

?Λ== ? ?-??

．

例6.3求一个可逆线性变换将二次型121323224f x x x x x x =+-化为标准形．解由于二次型f 所对应的二次型矩阵为

1102120A ?? ?=- ? ?-??

．

故利用对称变换对A 进行合同对角化．

即 211011111102102120120100100010110001001c c A E ?+???? ? ?-- ? ? ? ?---??=???→ ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ????? 21

1211102120100110001r r ?+-?? ?- ?

?--???→ ? ?

? ? ???

121213

1311()()2

211

()()22

2002

001123201232132120321211212112121121211212001001c c r r c c r r --?+?+?+?+???? ? ?---- ? ? ? ?-----????→????→ ? ?-- ? ? ? ? ? ? ? ?????

2323

(3)(3)2002000120012003240041122112211211121001001c c r r ?-+?-+???? ? ?-- ? ? ? ?-????→????→ ? ?-- ? ? ? ?-- ? ? ? ?????．

所以11221121001C -??

=- ? ???

，0C ≠．令x Cy =，即

123212333122

12x y y y x y y y x y ?

=-+??

=+-??

=???

，

将该可逆变换代入原二次型可得标准形

222

123

1242

f y y y =-

+．通过以上讨论可以看出，对称变换法化二次型为标准形就相当于利用对称变换把二次型

f 所对应的对称型矩阵A 合同对角化．在此过程中一定要注意对2n n

A E ???

???进行一次列变换,

必须立刻对它进行一次对应的行变换．这是对称变换的根本所在．

下面介绍配方法化二次型为标准形．拉格朗日配方法的规则：

① 按平方项的顺序配方，即若二次型含有i x 的平方项，则先将所有含有i x 项集中在一

起配成完全平方，再对其余的变量重复上述过程直到所有变量配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形．

② 若二次型中不含有平方项，只含有混乘项．若0()ij a i j ≠≠，则可以先作一个可逆变换

(0,1,,,)i i j j i j k

k x y y x y y k n k i j x y

=-??

=+=???≠??=?且化二次型f 为含有平方项的二次型，然后再按①中方法配方．

注：

① 在二次型f 中不含有平方项时可以先作一个任意的可逆线性替换使f 出现平方项，再按平方项的顺序配方；

② 配方法是一种可逆线性变换，其标准形中平方项的系数与A 的特征值无关．

由于二次型f 与对称矩阵A 一一对应，与任二次型f 经配方法一定可以标准化．即存在可逆线性变换x Cy =使得()()()()T

f f x x Ax Cy A Cy y C AC y ====为标准形．即

n k k C AC k ??

?=Λ= ? ??

为对角阵．故我们有以下定理：

定理6.1 对于任一实对称矩阵A ，存在可逆矩阵C ，使T

C AC =Λ为对角阵，即任一实对称矩阵都与一个对角矩阵合同．

注：在该定理中，A 的合同对角阵12

n k k k ??

?Λ= ? ??

的对角线元素12,,n

k k k ???不一

定是A 的n 个特征值．

例6.4 设2

1121322332224f x x x x x x x x x =+++++，试将二次型f 标准化，并写出所需的可逆线性变换．

解由

222112132233(22)24f x x x x x x x x x =+++++

2222112132233223222212322333222

123233(222)2()(2)()()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++=+++++-=++++-

令

1123223

3y x x x y x x y x

=++??

=+??=?，即

112

2233

3x y y x y y x y

=-??

=-??=?．则f 的标准形为2

123y y y +-．此时也为f 的规范形．其中所需的可逆线性变换为

112

2233

3x y y x y y x y

=-??

=-??=?．即

x Cy =，110011001C -?? ?

=- ? ???

．

在上例中，由于()T

f x x Ax =的对称矩阵111122121A ??

?= ? ???，且将f 化为标准形所需的

可逆线性变换系数矩阵110011001C -?? ?=- ? ???，则必有111T C AC ??

=Λ= ? ?-??．即A 与对角阵111??

Λ= ? ?-??

合同．由此可见，要把二次型f 化为标准形，关键在于求出一个可逆线性变换系数矩阵C ，使得T

C AC =Λ为对角矩阵．

例6.5 化二次型2

11222332322f x x x x x x x =++++为标准形．解方法① 由2

1122223323(2)(2)f x x x x x x x x x x =+++++++

2222122323()()x x x x x x =+++++．

由于原二次型为三元二次型，配方完后出现了四个平方项，即平方项的项数大于二次型的元数，这是错误的．即二次型标准化的过程中，标准形中的平方项数小于等于二次型的元数．怎样才能避免以上错误呢？方法就是按平方项的顺序完全配方，即遵循拉格朗日配方法的第①准则．

方法② 2

11222233(2)(22)2f x x x x x x x x =+++++

2221222333222

12233222

12313()2()4213

()2()223

22x x x x x x x x x x x x y y y =++++

+=++++?++ 其中，令

11222

333

13y x x y x x y x =+???=+??

=??，即

1232233312

12x y y y x y y x y ?=-+??

=-??

=???

为所需要的可逆线性变换．

同时可逆线性变换系数矩阵11121

012001C ?

?- ? ?

?=- ? ? ? ???

．例6.6 化二次型121323226f x x x x x x =+-为标准形，并求所需要的可逆线性变换矩阵

C ．

解由f 中不含有平方项．可以令

1122233

3x y y x y y x y

=+??

=-??=?，1y C y = 其中

11100

10001C ??

?=- ? ??

代入f ，则

221213232248f y y y y y y =--+．

再配方

22113223(24)28f y y y y y y =--+

2222113322332(2)282y y y y y y y y =-+-+-

222213223332

13233

2()2(44)62()2()6y y y y y y y y y y y y =---++=---+．

令

113

2233

32z y y z y y z y

=-??

=-??=?，即

113

2233

32y z z y z z y z

=+??

=+??=? 亦即2y C z =，其中2101012001C ??

= ? ???

．

则元二次型f 化为标准形2

123226f z z z =-+．所用的可逆线性变换矩阵为

121

10101113010012111001001001C C C ?????? ??? ?

==-=-- ??? ? ??? ???????

．即所需可逆线性变换为x Cz =，C

表达式如上．

上面介绍了利用拉格朗日配方法化二次型为标准形，此方法与二次型矩阵A 的特征值及特征向量无关．

最后介绍正交变换法化二次型为标准形．此方法与f 的二次型矩阵A 的特征值及特征向量密切相关．

定理6.2 若A 为对称矩阵，C 为可逆矩阵，则T

B C AC =仍为对称矩阵，且

()()R A R B =．

证明（请读者自己证明）．注：

① 二次型()T

f x x Ax =经可逆变换x Cy =后，其秩不变，但f 的二次型矩阵A 变为

T B C AC =；

② 要使二次型f 经可逆变换x Cy =变成标准形，即要使T

B C AC =为对角矩阵．亦即

()()()T T T T T f x Ax Cy A Cy y C AC y y By ====

2221122n n b y b y b y =+???；

③ 由于任一对称矩阵A 都可以正交相似对角化，即存在正交矩阵P 使得

T P AP P AP -==Λ为对角阵．从而任一实对称矩阵都可以合同对称化．

定理6.3 任给二次型()T

f x x Ax =，总存在正交变换x Py =，使

f x A x ==()()T

P y A P y =()T T y P AP y 为标准形：2221122n n f y y y λλλ=+???．其中12,,n λλλ???恰好为f 的二次型矩阵A 的n 个特征值．

证明由上注③再结合二次型易证明定理6.3．(请读者自己证明)

通过以上讨论可得利用正交变换法化二次型为标准形的基本步骤： ① 将二次型f 写成矩阵形式()T

f x x Ax =，求出对称矩阵A ； ② 求出A 的所有特征值12,,n λλλ???；

③ 求出A 的不同特征值对应的线性无关的特征向量12,,n ξξξ???；

④ 将特征向量12,,n ξξξ???正交化，再单位化．得：123,,p p p ???，记123(,,)P p p p =； ⑤ 作正交变换x Py =，则

T f x Ax ==()()T Py A Py =2221122()T T T n n y P AP y y y y y y λλλ=Λ=+???．

例6.7 将二次型222

123121323171414448f x x x x x x x x x =++---利用正交变换

x C y =化成标准形．

解 ① 由于f 对应的二次型矩阵172221442414A --?? ?

=-- ? ?--??

② 求其特征

由

22214

(8)(9)02

E A λλλλλλ--=

-=--=-

得

1239,18λλλ===；

③ 求特征向量

当19λλ==时，由()0E A x λ-=的系数矩阵为8

22()25

42205E A λ-?? ?

-=- ? ???

解得基础解系

11211ξ??

? ?= ? ???

，

当2318λλλ===时，由()0E A x λ-=解得基础解系为：

2210ξ-?? ?= ? ??? ，3201ξ-??

= ? ???

④ 正交化

由1ξ与23,ξξ正交，故只需将23,ξξ正交化．令

111211αξ??

? ?== ? ???，22210αξ-?? ?== ? ???，[][]233322225,45,1αξαξααα??- ? ?=-=- ? ? ???

再单位化，令

111132323p αα?? ? ?

== ? ? ???，22225150p αα-?? ? ?== ? ? ???，333245445545p αα??- ? ?- ?== ? ? ??

?．令123(,,)P p p p =，即为所求的正交变换矩阵，所求的正交变换为x Py =．且在正交变换x Py =下原二次型的标准形化为

22212391818f y y y =++．

在本节最后再讨论一下二次型的规范形．

在以上的讨论过程中我们可以看出任意二次型都可以标准化，虽然标准形的形式并不唯一，但是在标准形中，正，负平方项的项数及0项的项数是唯一确定的，即正平方项的项数等于f 对应的对称矩阵A 的正特征值的个数，负平方项的项数等于A 的负特征值的个数，0项的项数等于A 的特征为0的个数（其中重根按重数计算）．在此基础上，如有必要我们可以重新安排变量的次序，使平方项的顺序分别为正平方项，负平方项和0项．则秩为r 的二次型f 的标准形可以化为：

2222211221100p p p p r r f d x d x d x d x d x ++=++???--???-++???+

其中0i d >，1,2,,i r =???，()r R A =为f 的秩．进而化为：

22222112211()()()()()p p p p r r f d x d x d x d x d x ++=++???--???-，

若再作可逆线性变换：

111222111r r r r r r n n n

y d x y d x y d x y d x y d x +++?=?

=???????

=??

=???????=? 则

22222121p p r f y y y y y +=++???--???，

即二次型f 最终可化为以上形式的标准形（此种标准形是一种特殊的规范形）．因此我们有

以下定理．

定理6.4 任何二次型都可以通过可逆线性变换化为规范形且规范形是由二次型本身唯一确定，与所作的可逆线性变换无关．

通常将二次型规范形的正项个数p 称为f 的正惯性指数，负项个数r p q -?（表达式觉得有问题）称为负惯性指数，p q -称为f 的符号差，p q r +=正好为f 的秩，也为f 的二次型矩阵A 的秩()R A ．同时也可以看出：二次型f 的正惯性指数等于f 对应的矩阵A 的正特征值的个数，负惯性指数q r p =-为A 的负特征值的个数（其中重根按重数计算）．

例6.8 化二次型2

112232443f x x x x x =+++为规范形，并求其正、负惯性指数．解由

22221122232(2)3f x x x x x x =++-+

222

12232

12232()32()(3)

x x x x x x x x =+-+??=+-+??

令

11223

2()

3y x x y x y x

?=+??

=??=??，则2

123f y y y =+-为规范形，且正惯性指数2p =，负惯性指数 1q =．

第3节正定二次型

二次型的标准形显然不是唯一的，只是标准形中所含正负平方项的项数是确定的，即正，负惯性指数是确定的．故对于任意二次型，若不考虑前后顺序则其规范形是唯一，故我们有以下定理．

定理6.5 设二次型()T

f x x Ax =，它的秩为r ．若有两个可逆变换x Cy =及x Pz =使

222

1122(0)r r i f k y k y k y k =+???≠ ，

及

2221122(0)r r i f z z z λλλλ=+???≠，

则12,,r k k k ???中正数的个数与12,,r λλλ???中正数的个数是相等的．从而其中负数个数也是相

同的．

这个定理称为惯性定理（证明略）．由以上惯性定理很容易推出以下结论：

推论6.1 设()T

f x x Ax =的秩为r ，则其规范形一定可以表示为

2222212100p p r f y y y y y +=++???--???++???+．

定义6.3 设有二次型()T

f x x Ax =，

① 如果对任何0x ≠都有()0T f x x Ax =>成立，则称()T

f x x Ax =为正定二次型，矩阵A 称为正定矩阵．记作0f >及0A >．（有这种表示吗?）

② 如果对于任何0x ≠都有()0T f x x Ax =<成立，则称()T

f x x Ax =为负定二次型，矩阵A 称为负定矩阵．记作0f <及0A <．（有这种表示吗?）

例6.9 设2

1122322f x x x x x =+++，判断f 的正定性．解由

2222221232123()f x x x x y y y =+++?++

得，对于任意1230x x x x ?? ?=≠ ? ???有11222330y x x y y x y x +????

? ?

==≠ ? ? ? ?????

故0f >，即f 为正定二次型．

定理6.6 n 元二次型()T

f x x Ax =为正定二次型的充分必要条件是：它的标准形的n 个系数全为正，即它的正惯性指数p n =，亦即它的规范形的n 个系数全为1．

证明设有可逆线性变换x Cy =使二次型()T

f x x Ax =化为标准形

2221122()()n n f f x f Cy k y k y k y ===+???．

充分性设0(1,2,,)i k i n >=???，任给0x ≠，则10y C x -=≠

故

22211220r r f k y k y k y =+???>

即f 正定．

必要性（利用反证法）假设有0s k ≤则令s y e =（单位坐标向量），

则()0s f f C e =?≤，再由0s C e ?≠，这与f 为正定二次型矛盾．

由以上定理马上可得以下推论：

推论6.2 二次型()T

f x x Ax =正定的充分必要条件为()T

f x x Ax -=-为负定二次型．（前面并没有给出负定的定义！）

推论6.3 n 元二次型()T f x x Ax =为负定二次型的充分必要条件是它的标准形的n 个系数全为负数，即它的负惯性指数q n =，亦即它的规范形中的n 个系数全为1-．推论6.4 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正数．

推论6.5 对称矩阵A 为负定的充分必要条件是：A 的特征值全为负数．

定理6.7 ① 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是：A 各阶（顺序）主子式都为正，（顺序主子式和主子式的概念不同，顺序二字不能省）

即 110a >，

111221

0a a a a >，???，11

110n n nn

a a a a ??????

???

???>???

② 对称矩阵A 为负定的充分必要条件是：A 的奇数阶（顺序）主子式都为正，（奇数

阶为负，偶数阶为正）

即 1111(1)0(1,2,,)n

r rr

a a r n a a ???-???

??????>=?????? ．

这个定理称为赫尔维茨定理（这里不予证明）．

例6.10 判断二次型2

56444f x y z xy xz =---++的正定性．

解由f 的二次型矩阵5

2226

0204A -?? ?

=- ? ?-??

，一阶主子式1150a =-<，二阶主子式

30426026

-=-=>-，

三阶主子式5

2608002

A -=

-=-<-．

根据赫尔维茨定理可知A 为负定矩阵．故f 为负定二次型．

注：若给出二次型f ，判断其正定性，一般是利用赫尔维茨定理来判断f 对应的二次型矩阵A 的正定性，进而判断f 的正定性，这是一种方便有效的方法，请同学们牢记．

例6.11 当λ何值时，二次型222

1121322332426f x x x x x x x x x λ=+++++为正定二次型．

解由于f 的二次型矩阵11212323A λ?? ?

= ? ???

，故由赫尔维茨定理可知，若f 正负，则

11110a ==>，

111221

111012

a a a a ==>，11

212

3023A λ

=>．

即50λ->即5λ>．故当5λ>时，f 为正定二次型．

最后再给出几个结论：

① 正定矩阵A 的逆矩阵1A -也是正定矩阵； ② 正定矩阵A 的伴随矩阵*A 也是正定矩阵；

③ 设A ,B 为正定矩阵，则00A B ??

???

也是正定矩阵；

④ 对称阵A 为正定矩阵充分必要条件是A 与单位矩阵E 合同．

（以上结论都不难证明，请读者自己证明）．

线性代数第六章二次型试的题目及问题详解

第六章二次型一、基本概念 n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为 f(x 1,x 2, …,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+ …+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2 =21 2n ii i ij i j i i j a x a x x =≠+∑∑. 它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A ???? ?? ? ????????? ??==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f M ΛM M M Λ Λ ΛΛ212 122221112112111 21),,(),,( 记[]T x x x X Λ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X T AX 称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩. 注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T =，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。实二次型如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型. 标准二次型只含平方项的二次型，即形如2 222211n n x d x d x d f +++=Λ 称为二次型的标准型。规范二次型形如2 21221q p p p x x x x ++--+ΛΛ的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规范型。二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数 ?? ???? ?+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x ΛM ΛΛ22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵 c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … … c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =

线性代数第六章练习题

第六章练习题一、填空题 1. 设110100100000110,011,010,020003013000003A B C D ????????????????====???????????????????????? ，在,,B C D 中，与A 等价的有；与A 相似的有；与A 合同的有 . 2. 二次型123113(,,)361139T f x x x X X ?? ?= ? ??? ，它的矩阵是，它是定二次型. 3. 设112 3 32000000,000000a a A a B a a a ????????==???????????? , 则当C = 时, .T C AC B = 4. 参数a 的取值范围是时，二次型 222123123121323(,,)23224f x x x x ax x x x x x x x =++-+-是正定的二次型. 二、计算与证明题 1. 设二次型123121323(,,),f x x x x x x x x x =+- 1) 写出二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =+-的矩阵; 2) 二次型123(,,)f x x x 是不是正定二次型? 3) 用非退化线性替换X CY =化二次型123(,,)f x x x 为标准形, 并写出所用的线性替换. 2. 已知二次型2212313121323(,,)33484f x x x x x x x x x x x =++++, (1) 写出二次型的矩阵A ; (2)用正交线性替换X QY =, 化二次型123(,,)f x x x 为标准形; (3) 求实对称矩阵B , 使得3 .A B = 3. 实二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x ax x x x x x x =++-+-的秩是2， 1）写出二次型123(,,)f x x x 的矩阵表示； 2）求参数a 及二次型123(,,)f x x x 的矩阵特征值；

线代答案

第六章线性空间与线性变换 1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基. (1) 2阶矩阵的全体S 1; 解设A , B 分别为二阶矩阵, 则A , B ∈S 1. 因为 (A +B )∈S 1, kA ∈S 1, 所以S 1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. ??? ??=00 011ε, ??? ??=00102ε, ??? ??=0100 3ε, ?? ? ??=1000 4ε 是S 1的一个基. (2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S 2; 解设??? ??-=a c b a A , ?? ? ??-=d f e d B , A , B ∈S 2 . 因为 2)(S d a a c b c d a B A ∈??? ??++++-=+, 2S ka kc kb ka kA ∈?? ? ??-=, 所以S 2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. ?? ? ? ?-=10011ε, ??? ??=00102ε, ?? ? ??=0100 3ε 是S 2的一个基. (3) 2阶对称矩阵的全体S 3. 解设A , B ∈S 3, 则A T =A , B T =B . 因为 (A +B )T =A T +B T =A +B , (A +B )∈S 3,

(kA )T =kA T =kA , kA ∈S 3, 所以S 3对于加法和乘数运算构成线性空间. ??? ??=00 011ε, ??? ??=01102ε, ?? ? ??=1000 3ε 是S 3的一个基. 2. 验证: 与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体3维数组向量, 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间. 解设V ={与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体三维向量}, 设r 1=(1, 1, 0)T , r 2=(-1, 0, 1)T , 则r 1, r 2∈V , 但r 1+r 2=(0, 0, 1)T ?V , 即V 不是线性空间. 3. 设U 是线性空间V 的一个子空间, 试证: 若U 与V 的维数相等, 则U =V . 证明设ε1, ε2, ???, εn 为U 的一组基, 它可扩充为整个空间V 的一个基, 由于dim(U )=dim(V ), 从而ε1, ε2, ???, εn 也为V 的一个基, 则: 对于x ∈V 可以表示为x =k 1ε1+k 2ε2+ ??? +k r εr . 显然, x ∈U , 故V ?U , 而由已知知U ?V , 有U =V . 4. 设V r 是n 维线性空间V n 的一个子空间, a 1, a 2, ???, a r 是V r 的一个基. 试证: V n 中存在元素a r +1, ???, a n , 使a 1, a 2, ???, a r , a r +1, ???, a n 成为V n 的一个基. 证明设r

线代第六章答案

习题6.1 1．解 (1) A = ????? ? ?--011102120 (2) A = ??? ????? ??---0000012310233 10111 (3) A = ???????? ? ?57674256251 (4) A = ? ??????? ?? ??0111110111110111110111110 2．解 (1) 3231212 3213218622),,(x x x x x x x x x x x f ++--= (2) 2 3222132153),,(x x x x x x f +-= 3．解二次型f 的矩阵 ?? ??? ??----=c A 33351315 因f 的秩为2 , 故R(A) = 2. 所以 A = 0, 由此解得c = 3. 4．证明设 ?? ??? ??=321x x x X 作变换 ??? ??===23 1231y x y x y x , 即 X=CY 其中 ?? ??? ??=????? ??=321,010001100y y y Y C , C 为非奇异矩阵. 则 Y AC C Y CY A CY y a y a y a x a x a x a AX X T T T T )() ()(22 3212231233222211==++=++=

又 BY Y y a y a y a AX X T T =++=2 3 1223212 于是有 B AC C T =, 故A 与B 合同. 习题6.2 1．解 23232232132232223213 1212 2213212)()( 2)( 222),,( )1(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f -++-+=+-+-+=-++= 令 ?????=+=-+=333223211 x y x x y x x x y 即?????=-=+-=33 3223211 2y x y y x y y y x 则 2 322212y y y f -+= 为标准形。 23223213 2232223213231212 221321)2 1 (4)( 44)( 6223),,( )2( x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f + -+-=---+-=-+--= 令 ? ????=+=+-=333223211 21 x y x x y x x x y 即????????? =-=-+=333223211 21 2 3y x y y x y y y x 则 2 2214y y f -= 为标准形。 ),,,().3(44332 122 114342324131214321?????? ?==-=+=+++++=y x y x y y x y y x x x x x x x x x x x x x x x x x f 令 4 342132142132121214321)()()()())((),,,(y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x f +-+-+++++-+=

线性代数第六章二次型试题及答案解析

* * 第六章二次型一、基本概念 n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为 f(x 1,x 2, …,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+ …+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2 =21 2n ii i ij i j i i j a x a x x =≠+∑∑. 它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A ? ???? ?? ????????? ??==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 212 122221112112111 21),,(),,( 记[]T x x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X T AX 称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩. 注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T =，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。实二次型如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型. 标准二次型只含平方项的二次型，即形如2 222211n n x d x d x d f +++= 称为二次型的标准型。规范二次型形如2 21221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规范型。二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数 ?? ???? ?+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵 c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … … c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =

线性代数第六章

*第六章线性空间与线性变换在第三章中，我们把n 元有序数组叫做n 维向量，讨论了向量的许多性质，并介绍过向量空间的概念.在这里，我们把这些概念推广，使向量及向量的概念更具一般性、更加抽象化. §１线性空间的定义与性质定义1 设V 是一个非空集合，R 为实数域，如果对于任意两个元素,αβ∈V ，总有惟一的一个元素γ∈V 与之对应，称为αβ与的和，记作γαβ=+；对于任一数k ∈R 与任一元素α∈V ，总有惟一的一个元素δ∈V 与之对应，称为k 与α的积，记为δ＝k α；并且这两种运算满足以下八条运算规律(对任意,,αβγ∈V ;k ,λ∈R )： (1) αββα+=+; (2) ()()αβγαβγ++=++； (3) 在V 中有一个元素0(叫做零元素)，使对任何α∈V ，都有α+0＝α； (4) 对任何α∈V ，都有V 中的元素β，使αβ+=0(β称为α的负元素)； (5) 1α＝α； (6) k (λα)＝（k λ）α； (7) (k +λ)α＝k α＋λα； (8) k (αβ+)＝k α+k β. 那么，V 就称为R 上的向量空间(或线性空间)，V 中的元素称为(实)向量(上面的实数域R 也可为一般数域). 简言之，凡满足上面八条运算规律的加法及数量乘法称为线性运算；凡定义了线性运算的集合称为向量空间(或线性空间). 注意：向量不一定是有序数组；向量空间V 对加法与数量乘法(数乘)封闭；向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不一定是有序数组的加法及数乘运算. 例1 实数域R 上次数不超过n 的多项式的全体，我们记作P ［x ］n ，即 P ［x ］n ＝｛a n x n +…+a 1x ０＋a 0｜a n ,a n -1,…，a １，a ０∈R ｝. 对于通常的多项式加法、多项式数乘构成R 上的向量空间. 例2 实数域R 上n 次多项式的全体，记作W ，即 W ＝｛a n x n +a n -1x n -1+…+a 1x +a ０｜a n ,a n -1，…，a １，a ０∈R ，且a n ≠0｝. W 对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成R 上的向量空间. 因为0(a n x n +a n -1x n -1+…+a １x ０＋a ０)＝0?W ，即W 对数乘不封闭.

线性代数作业第六章

第六章二次型 1. 用矩阵记号表示下列二次型． 1) 32212322 21321643),,(x x x x x x x x x x f -++-= 2) 322322 213214332),,(x x x x x x x x f +++= 3) 43423241212423 214321462242),,,(x x x x x x x x x x x x x x x x x f +--++++= 2. 已知二次型312322 21321)2(22),,(x x b bx x bx x x x f -+++=的秩为2． 1) 求参数b ； 2) 用正交变换将),,(321x x x f 化为标准型；(要求写出正交变换的矩阵) 3) 求方程0),,(321=x x x f 的全体解向量．

3. 已知二次型Ax x T 321),,(=x x x f 在正交变换Qy x =下的标准型为2221y y +，且 Q 的第3列为T 22,0,22??? ? ??． 1) 求矩阵A ； 2) 证明E A +为正定矩阵．

4. 判别下列二次型的正定性． 1) 3231212322 213211022203),,(x x x x x x x x x x x x f ---++= 2) 32212322 213214252),,(x x x x x x x x x x f +----= 5. 若n 维非零列向量m x x x ,,,21 满足条件)(0T j i i ≠=Ax x ，其中A 是n 阶正定矩阵．证明向量组m x x x ,,,21 线性无关．

高等数学线性代数习题答案第六章

第六章习题6-1 1. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1,直线x =a ，x =b 及x 轴所围成的图形的面积. 解因y =x 2+1在[a,b ]上连续,所以x 2+1在[a,b ]上可积,从而可特殊地将[a,b ]n 等分,并取 2 ,,()()1Δi i i b a b a b a a i x f a i n n n ξξ---=+ ==++, 于是 21 1 22 2 21 222()[()1]1 ()[()2()1] 111(1)1 ()[()(1)(21)2()]62Δ n n i i i i n i b a b a f x a i n n i i b a a b a a b a n n n n n b a na b a n n n b a a n n n n ξ===--=+ +=-+-+-++=-+-??+++-??+? ∑ ∑∑ 故面积 2 22 11(1)l i m ()()[()()1]3d Δn b i i a n i S x x f x b a a b a a b a ξ→∞== +==-+-+-+∑? 331 ()()3 b a b a =-+- 2. 利用定积分的几何意义求定积分： (1) 1 2d x x ? ; (2) x ? （a ＞0）. 解 (1)根据定然积分的几何意义知, 1 2d x x ?表示由直线y =2x ,x =0,x =1及x 轴所围的三角形的面积,而此三角形面积为1,所以 1 2d x x ?=1. (2)根据定积分的几何意义知 ,0 x ? 表示由曲线0,y x x a ===及x 轴所围成的 14圆的面积,而此14圆面积为2 14 πa , 所以2014πx a =?. 3. 根据定积分的性质，比较积分值的大小： (1) 1 2 d x x ? 与1 3 d x x ?； (2) 1 e d x x ?与1 (1)d x x +?. 解 (1)∵当[0,1]x ∈时,232 (1)0x x x x -=-≥,即2 3 x x ≥, 又2 x 3x ,所以11 230 d d x x x x >??. (2)令()1,()1e e x x f x x f x '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>, 从而()(0)0f x f ≥=,说明1e x x ≥+,又e x 1+x .所以 1 1 (1)e d d x x x x >+??. 4. 估计下列各积分值的范围：

线代强化第六章题目

1、已知二次型222123123 1213(,,)5524f x x x x x x x x x x =+++- （1）写出二次型f 的矩阵表达式。（2）用正交变换把二次型f 化成标准型，并写出相应的正交矩阵. （3）当2T x x =时，求()123,.f x x x 的极大值。

2、已知二次型 222123123 121323(,,)222T f x x x x Ax ax ax ax x x x x x x ==++++- 的规范形是2 212y y + (1)求a 的值。 (2)利用正交变换将二次型f 化为标准型，并写出所用的正交变换。 (3)计算行列式||A E +的值。

3.（2011，3）设二次型123(,,)T f x x x x Ax =的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换x Qy =下的标准型为_______.

4、设三元二次型123(,,)T f x x x x Ax =的矩阵A 满足22A A O +=，且 1(0,1,1)T α=是其次方程组0Ax =的基础解系. (1)求二次型123(,,)f x x x 的表达式。 (2)若二次型()T x A kE x +的规范型是222 123y y y --，求 k 。

1、判断 111300 111,000 111000 A B ???? ???? == ???? ???? ???? 是否等价，相似，合同.

1、用配方法化二次型为标准型 2 22123123 121323(,,)564210f x x x x x x x x x x x x =++-+-

上海财经大学线性代数第六章习题

第六章习题课一、利用特征值定义及性质的求矩阵的特征值 (1) λ1+λ２+…+λn = tr(A )， λ1λ２…λn = |A |, (2)λ→ A 的特征值，则g (λ) g (A )＝a →t A t +a t-1A t-1 +…+a 1A +a 0I (3) A 可逆iff A 的特征值均不为零. (|A|=0 iff 零是A 的一个特征值) （4）A 与A T 有相同的特征值，但特征向量一般不同；可逆矩阵A 与A -1之间的特征值成倒数关系，且对应的特征向量相同。（5）相似矩阵的特征值相同例1 填空题（1）设矩阵A 满足等式A 2-3A +2E =0, 则A 的特征值取值范围为。（2）设A 是三阶矩阵，0)(,0||,0||==+=A tr E A A ，则A 的特征值为。（3）设P 是n 阶可逆矩阵，B=P -1AP- P AP -1, 则B 的特征值之和。（4）已知|A |=E A B b a 2,01 1121 3 3=+=????, 则B 的一个特征值是。例2 选择题（5）设C=, 则C 的特征值是（） ???? ??????110101011 (A) 1，0，1； (B) 1，1，2；（C ） -1，1，2；（D ）-1，1，1. （6）设A 是n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征值，则A 的伴随矩阵A *的特征值之一是（） (A) λ-1|A |; (B) λ|A |-1 ; (C) λ|A | ; (D) λn A ||. 二、相似对角化（1） n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.（即A 的k 重特征根有k 个线性无关的特征向量）（2）（充分条件）如果n 阶方阵A 有n 个不同的特征值，则A 相似于对角矩阵。例3 填空题（1）设A 是三阶奇异矩阵，|E +A |=|2E -A |=0, 则A 相似于。（2）若n 阶矩阵A 有n 个属于特征值λ的线性无关特征向量，则A = .

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线代第6章

线性代数第六章二次型试的题目及问题详解

线性代数第六章练习题

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线代第六章答案

线性代数第六章二次型试题及答案解析

线性代数 第六章

线性代数作业第六章

高等数学 线性代数 习题答案第六章

线代强化 第六章 题目

上海财经大学线性代数第六章习题

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