第六章习题课
一、利用特征值定义及性质的求矩阵的特征值
(1) λ1+λ２+…+λn = tr(A )， λ1λ２…λn = |A |,
(2)λ→ A 的特征值，则g (λ) g (A )＝a →t A t +a t-1A t-1 +…+a 1A +a 0I
(3) A 可逆iff A 的特征值均不为零. (|A|=0 iff 零是A 的一个特征值)
（4）A 与A T 有相同的特征值，但特征向量一般不同；可逆矩阵A 与A -1之间的特征值成倒数关系，且对应的特征向量相同。
（5）相似矩阵的特征值相同
例1 填空题
（1）设矩阵A 满足等式A 2-3A +2E =0, 则A 的特征值取值范围为 。
（2）设A 是三阶矩阵，0)(,0||,0||==+=A tr E A A ，则A 的特征值为 。
（3）设P 是n 阶可逆矩阵，B=P -1AP- P AP -1, 则B 的特征值之和 。
（4）已知|A |=E A B b a 2,01
1121
3
3=+=????, 则B 的一个特征值是 。 例2 选择题
（5）设C=, 则C 的特征值是（ ）
????
??????110101011 (A) 1，0，1； (B) 1，1，2；
（C ） -1，1，2； （D ）-1，1，1.
（6）设A 是n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征值，则A 的伴随矩阵A *的特征值之一是（ ）
(A) λ-1|A |; (B) λ|A |-1
; (C) λ|A | ; (D) λn A ||.
二、相似对角化
（1） n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.（即A 的k 重特征根有k 个线性无关的特征向量）
（2） （充分条件）如果n 阶方阵A 有n 个不同的特征值，则A 相似于对角矩阵。
例3 填空题
（1）设A 是三阶奇异矩阵，|E +A |=|2E -A |=0, 则A 相似于 。
（2）若n 阶矩阵A 有n 个属于特征值λ的线性无关特征向量，则A = .
（3）已知A 相似于对角阵, 则r (A -E )+r (2E +A )= ?????????
??211. 例4 n 阶矩阵A 相似于对角阵的充要条件是
(A) A 有n 个不同的特征值;
(B) A 有n 个不同的特征向量 ;
(C) A 的每个r i 重特征值λi , 有r (λi E -A )=n -r i ;
(D) A 是实对称矩阵.
例5 设均为n 阶矩阵，且C B A ,,0,0=+=C AC AB ，如果， n B r r =+)()C (例6 证明A 相似于对角阵，并求ΛΛ。设阶矩阵n A 满足A 2-3A +2 E =0，证明A 相似于对角阵。
三、实对称矩阵的相似对角化
(1) 实对称矩阵的特征值都是实数
(2) 实对称矩阵的不同特征值的特征向量必正交。
(3) n 阶实对称矩阵A 正交相似于对角矩阵，即存在正交阵Q ，使
??????
????????=?n AQ Q λλλO 211, 其中λ1，λ2，… ，λn 是A 的特征值.
例7 填空、选择题
（1）设A 是三阶实对称矩阵，λ1是二重特征值，对应有两个线性无关的特征向量 (1，2，3)T 和(-2，1，-1) T ，则另一特征值的特征向量是 。
（2）设A 是n 阶实对称矩阵，λ1,λ2, ..., λn 是A 的n 个互不相同的特征值，ξ1是A 的对应于λ1的一个单位特征向量，则矩阵B =A -λ1ξ1ξ1T 的特征值是 。
（3）设A 是n 阶可逆对称矩阵，B 是n 阶非零反对称矩阵，则下列不能通过正交变换化为对角阵的是
(A) AB -BA ; (B ) A T (B +B T )A ; (C) BAB ; (D) ABA .
例8设A 是三阶实对称矩阵，特征值为1，2，-1，矩阵A 的属于特征值1，2的特 征向量分别为，试用矩阵T T )1,0,1(,)1,1,1(21?==ααA 的特征向量表示向量，并求。
T )1,8,1(??=ββ100A 解 设1?=λ所对应的特征向量为()T
321,,x x x ，因实对称矩阵A 的属于不同特征值的特征向量相互正交，故有
???=?=++0
031321x x x x x ，
解得基础解系，它是属于T )1,2,1(3?=α1?=λ的特征向量。
作初等行变换
[]????
???????→??????????????=310000102001111182011111,,321M M M M M M M βααα， 故3132ααβ?=，因此
β100A =?=??=?=31310013100110032)1(3232ααααααA A T )1,8,1(??。
四、特征向量
例9 填空、选择题
1. 若n 阶矩阵A 的每行元素之和为a , 求证：
（1） a 为A 的一个特征值；
（2） 是A 对应于λ=a 的特征向量； ??????
????????111M （3） 对于任意自然数m ， A m 的每行之和为a m .
2. 设βα,为矩阵A 的属于不同特征值的特征向量，则（ ）
(A) βα,线性相关； (B ) βαA A ,线性无关；
（C ） βαA A ,线性相关；（D ）不存在,0,021≠≠k k 使βα21k k +是A 的特征向量。
3. 已知 ξ1，ξ2是（λE -A ）X =0的两个不同的解向量，则下列必是A 的特征向量的是
(A) ξ1; （B ）ξ2; （C ）ξ1+ξ2; （D ）ξ1-ξ2.
例10 设三阶矩阵A 有三个不同的特征值λ1，λ2，λ3，对应特征向量ξ1，ξ2，ξ3。证明：当A 可逆时，向量组A ξ1，A (ξ1+ξ2 )，A (ξ1+ξ2 +ξ3)线性无关。
五、二次型的矩阵、惯性指数、矩阵的合同
例11 填空、选择题
1．二次型f(x 1,x 2,x 3)=2x 12+x 22+x 32+2x 1x 2+λx 2x 3 的矩阵为 ，当λ 时，二次型正定。这时，它的正惯性指数是 。
2．二次型f(x 1,x 2,x 3)=x 12+4x 22-x 32+4x 1x 2+3x 1x 3+6x 2x 3的秩为 ，它的正惯性指数是 ，负惯性指数是 。
3．设A 为可逆的实对称矩阵，则将化为的线性变换为 AX X f T =Y A Y f T 1
?=。
4. 矩阵（ ）合同于 ????
???????211 (A) ; （B ）;
???????????111????
????????321（C ） ; （D ）.
??????????112????
????????121 5．实对称矩阵A ,B =, 则A 与B ( ) ????????=21???
??????11 (A) 等价; （B ）相似;
（C ）合同; （D ）正交相似.
6．设A 是一个n 阶矩阵，交换A 的第i 列和第j 列后再交换第i 行和第j 行得到矩阵B , 则A , B 之间的关系是（ ）
(A) 等价但不相似;
(B) 相似但不合同;
(C) 相似、合同但不等价;
(D) 等价、相似、合同.
六、化二次型为标准形
例12 已知二次型f(x 1,x 2, x 3)=2a x 12 +3 x 22+3 x 32+2x 2x 2通过正交变换化为标准形f(x 1,x 2,
x 3)= 求的值及所用的正交变换。
,232221by ay y ++b a ,
二、正定二次型和正定矩阵
例13 填空、选择题
1．设阶实对称矩阵A 的特征值为1，2，n , 则当 n ,L t 时，为正定矩阵。
A tE ?2．设是n 阶正定矩阵，则（ ）是正定矩阵。
B A , (A) **B A +； （B ）*
*B A ?；
（C ）**B A ； （D ）。
**lB kA +３．设f=X T AX ，g= X T BX 是n 元正定二次型，则下列（ ）不一定是正定二次型。
(A)X T （A+B ）X ; （B ）X T （AB ）X ;
（C ）X T A -1X ; （D ）X T （A -1+B -1）X.
例14设实对称矩阵A 的特征值全大于，实对称矩阵Ｂ的特征值全大于，证明a b B A +
的特征值全大于。
b a + 例15设A 是一个阶实对称矩阵，证明：n n A r =)(的充分必要条件为存在一个n 阶实矩阵B ，使A B AB T +是正定矩阵。
第六章 线性空间与线性变换 §1 线性空间的定义与性质 一. 线性空间. 在第四章中, 我们介绍过向量空间的概念, 第四章中介绍的向量空间中的向量是n 维有序数组 . 在这一节中, 我们要引入抽象的向量空间的概念, 抽象的向量空间里的向量就有可能不再是n 维有序数组. 我们先来看抽象的向量空间的定义. 定义. 设V 是一个非空集合, 为实数域, 对V 中任意两个元素α, β, 在V 中总有唯一确定的一个元素γ与它们对应, 称为α与β的和, 记为γ=α+β. 对于任意实数k 与V 中任意一个元素α, 在V 中都有唯一确定的一个元素δ与它们对应, 称为k 与α的数量乘积, 记为k δα=. 而且这两种运算满足下面规律: 对任意的,,V αβγ∈, ,k l ∈. (1) α+β=β+α; (2) (α+β)+γ=α+(β+γ); (3) 存在0V ∈, 使对任何的V α∈, 都有α+0=α; (具有这个性质的元素0称为V 的零元素.) (4) 对任何α∈V , 都有V 中的元素β, 使得α+β=0; (β称为α的负元素.) (5) 1α=α; (6) k (l α)=(kl )α; (7) (k +l )α=k α+l α; (8) k (α+β)=k α+k β. 则称V 是实数域上的线性空间(或向量空间), V 中的元素称为向量. 加法和数乘这两种运算统称为线性运算. 很容易验证第四章定义的向量空间满足上面八条性质, 所以以前的向量空间的定义只是现在定义的特殊情况. 例1. []P x ={所有的实数域上的一元多项式}关于多项式的加法和数乘是线性空间. 1110[]{ +|, 0}n n n n n i P x a x a x a x a a i n --=+ ++∈≤≤, 对于通常的多项式加法、数乘多项式 的乘法构成向量空间. ([]n P x 就是次数不超过n 的一元多项式的全体,) 例2. (){|m n M A ?=A m n 是行列的矩阵}关于通常的矩阵的加法和数乘构成一个线性空间. 例3. n 次多项式的全体Q [x ]n =1110{ +|, 0,0}n n n n i n a x a x a x a a i n a --+ ++∈≤≤≠对于通常 的多项式加法、数乘运算不构成线性空间. 这是因为0[]n Q x ? 例4.记{|}n V αα=∈.对1n a a α?? ?= ? ???, 1n b b β?? ?= ? ???, k ∈, 定义11n n a b a b αβ+?? ?+= ? ? +??, 00k α?? ? = ? ???. 则V 不是向量空间. 这是因为10α?=对任何V α∈. 不满足运算规律(5). 比较V 和n , 作为集合, 它们是一样的, 但是因为定义的运算不一样, 使得n 构成线性空间, 而V 不是线性空间. 所以, 线性空间的概念是集合与运算二者的结合. 例5. 在正实数的全体+中定义加法及数乘运算为 a b ab ⊕=, *a a λλ=, (,a b +∈, λ∈). 验证+对上述加法与乘数运算构成线性空间. 证: (i) a b ab ba b a ⊕===⊕; (ii) ()()()()()a b c ab c ab c a bc a b c ⊕⊕=⊕===⊕⊕; (iii)+中存在零元素1, 对任何a + ∈, 有11a a a ⊕=?=; (iv) 对任何a +∈, 有负元素1a -+ ∈ , 使111a a a a --⊕=?=; (v) 11*a a a ==; (vi) () *(*)*()*a a a a a μμ λμλ λμλλμ====;
《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，
（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：
《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式
第六章 二次型 1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明1 2A ?? ?? ?A 与12?? ???B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T 1111=B C A C ， 因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T 2222=B C A C . 令 12?? = ??? C C C ，则C 可逆，于是有 T T 1111111 T 2222222??????????== ? ? ? ?????????????B C A C C AC B C A C C A C 1T 2?? = ??? A C C A 即 12A ?? ???A 与12?? ??? B B 合同. 2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称 证：由A 对称，故T =A A . 因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T =B C AC ，于是 T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B 即B 为对称矩阵. 3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使 BP P AP P T T 与均为对角阵. 证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使 E AM M =T 记T 1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使 T 11diag(,,)n D μμ==Q B Q L T 11,,. n μμ=B M BM L 其中为的特征值 令P=MQ ，则有 D BP P E AP P ==T T , ,A B 同时合同对角阵. 4．设二次型211 1 ()m i in n i f a x a x == ++∑L ，令()ij m n a ?=A ，则二次型f 的秩等于()r A . 证：方法一 将二次型f 写成如下形式： 2111 ()m i ij j in n i f a x a x a x ==++++∑L L 设A i = 1(,,,,)i ij in a a a L L ),,1(m i Λ=
线性代数考试练习题带答案 说明：本卷中，A -1 表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.设行列式33 32 31 2322 21131211a a a a a a a a a =4，则行列式33 3231232221 13 1211 333222a a a a a a a a a =（ ） A.12 B.24 C.36 D.48 2.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（ ） A.A -1 CB -1 B.CA -1B -1 C.B -1A -1C D.CB -1A -1 3.已知A 2 +A -E =0，则矩阵A -1 =（ ） A.A -E B.-A -E C.A +E D.-A +E 4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（ ） A.54321,,,,ααααα一定线性无关 B.54321,,,,ααααα一定线性相关 C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示 D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（ ） A.A =0 B.A =E C.r (A )=n D.0 第六章练习题 一、 填空题 1. 设110100100000110,011,010,020003013000003A B C D ????????????????====???????????????????????? ， 在,,B C D 中， 与A 等价的有 ； 与A 相似的有 ；与A 合同的有 . 2. 二次型123113(,,)361139T f x x x X X ?? ?= ? ??? ，它的矩阵是 ，它是 定二次型. 3. 设112 3 32000000,000000a a A a B a a a ????????==???????????? , 则当C = 时, .T C AC B = 4. 参数a 的取值范围是 时，二次型 222123123121323(,,)23224f x x x x ax x x x x x x x =++-+-是正定的二次型. 二、计算与证明题 1. 设二次型123121323(,,),f x x x x x x x x x =+- 1) 写出二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =+-的矩阵; 2) 二次型123(,,)f x x x 是不是正定二次型? 3) 用非退化线性替换X CY =化二次型123(,,)f x x x 为标准形, 并写出所用的线性替换. 2. 已知二次型2212313121323(,,)33484f x x x x x x x x x x x =++++, (1) 写出二次型的矩阵A ; (2)用正交线性替换X QY =, 化二次型123(,,)f x x x 为标准形; (3) 求实对称矩阵B , 使得3 .A B = 3. 实二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x ax x x x x x x =++-+-的秩是2， 1）写出二次型123(,,)f x x x 的矩阵表示； 2）求参数a 及二次型123(,,)f x x x 的矩阵特征值； 第六章 二次型 一、基本概念 n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为 f(x 1,x 2, …,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+ …+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2 =21 2n ii i ij i j i i j a x a x x =≠+∑∑. 它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A ???? ?? ? ????????? ??==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f M ΛM M M Λ Λ ΛΛ212 122221112112111 21),,(),,( 记[]T x x x X Λ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X T AX 称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩. 注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T =，此时二次 型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此， 也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。 实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定 为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型. 标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2 222211n n x d x d x d f +++=Λ 称为二次型的标准型。 规范二次型 形如2 21221q p p p x x x x ++--+ΛΛ的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规范型。 二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系 对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数 ?? ???? ?+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x ΛM ΛΛ22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵 c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … … c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可 逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X = 线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512312 123122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解： 设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素 的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ； (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314)4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式. 第四章 线性方程组 §4-1 克拉默法则 一、选择题 1．下列说法正确的是（ C ） A.n 元齐次线性方程组必有n 组解； B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解； C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解； D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ） A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解； B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解； C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =； D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题 1．已知齐次线性方程组1231231 230020 x x x x x x x x x λμμ++=?? ++=??++=?有非零解， 则λ= 1 ，μ= 0 . 2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x = i D D . 三、用克拉默法则求解下列方程组 1．832623x y x y +=??+=? 解： 8320 62 D = =-≠ 1235 32 D = =-， 28212 63 D = =- 所以，125,62D D x y D D = ===- 2．123123123 222310x x x x x x x x x -+=-?? +-=??-+-=? 解： 2131 12112122 130 3550111 01 r r D r r ---=--=-≠+--- 11222 10051 1321135 011011D r r ---=-+-=---， 2121215 052 1322 1310 10 1 101 D r r --=-+-=-----， 3121225 002 1122 115 1 1 110 D r r --=+=--- 所以， 3121231,2,1D D D x x x D D D = ===== 3．21 241832x z x y z x y z -=?? +-=??-++=? 解： 13201 0012 412041200 183 583 D c c --=-+-=≠- 13110110014114020 283285D c c -=-+=， 2322 11 2 102 112100 123 125 D c c -=-+=--， 313201 01 2 4120 4120 182 582 D c c =-=-- 所以， 3121,0,1D D D x y z D D D = ===== 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 《线性代数(经济数学2）》课程习 题集 西南科技大学成人、网络教育学院 版权所有 习题 【说明】：本课程《线性代数(经济数学2）》（编号为01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有[计算题5]等试题类型未进入。 一、计算题1 1. 设三阶行列式为2 310211 01--=D 求余子式M 11，M 12，M 13及代数余子式A 11，A 12，A 13． 2. 用范德蒙行列式计算4阶行列式 125 34327641549916 573 4 1111 4--=D 3. 求解下列线性方程组： ???????=++++=++++=++++---11113221 12132222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ΛΛΛΛΛΛ 其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i Λ=≠≠ 4. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组1231231 230020x x x x x x x x x λμμ++=??++=??++=?有非零解？ 5. 问λ取何值时, 齐次线性方程组12312312 3(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=??+-+=??++-=?有非零解？ 二、计算题2 6. 计算61 4230 21510 3212 1----=D 的值。 7. 计算行列式5241 421 3183 2052 1------=D 的值。 8. 计算01111 0111 1011 110=D 的值。 9. 计算行列式199119921993 199419951996199719981999 的值。 10. 计算4124 1202 10520 0117的值。 11. 求满足下列等式的矩阵X 。 2114332X 311113---????-= ? ?----???? 教学基本要求： 1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念. 2.了解合同变换和合同矩阵的概念. 3.了解实二次型的标准形和规范形，掌握化二次型为标准形的方法. 4.了解惯性定理. 5.了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别方法. 第六章二次型 本章所研究的二次型是一类函数，因为它可以用矩阵表示，且与对称矩阵一一对应，所以就通过研究对称矩阵来研究二次型. “研究”包括：二次型是“什么形状”的函数？如何通过研究对称矩阵来研究二次型？ 二次型是“什么形状”的函数涉及二次型的分类. 通过对称矩阵研究二次型将涉及矩阵的“合同变换”、二次型的“标准形”、通过正交变换化二次型为标准形、惯性定理、正定二次型等. 一、二次型与合同变换 1. 二次型 n个变量x1,x2,…,x n的二次齐次函数 f(x1,x2,…,x n)=a11x12+a22x22+…+a nn x n2 +2a12x1x2+…+2a1n x1x n+…+…+2a n-1 n x n-1x n (6.1) 称为一个n元二次型.当系数a ij均为实数时，称为n元实二次型. (P131定义6.1) 以下仅考虑n元实二次型. 设 11121n1 12222n2 1n2n nn n a a a x a a a x A,x a a a x ???? ? ? ? ? == ? ? ? ? ???? L L v M M M M L ，那么 f(x1,x2,…,x n)=x T A x. (6.2) 式(6.2)称为n元二次型的矩阵表示. 例6.1(例6.1 P 132) 二次型f 与对称矩阵A 一一对应，故称A 是二次型f 的矩阵，f 是对称矩阵A 的二次型，且称A 的秩R(A)为二次型f 的秩. (定义6.2 P 132) 由于二次型与对称矩阵是一一对应的，所以从某种意义上讲，研究二次型就是研究对称矩阵. 定义6.2 仅含平方项的二次型 f(x 1,x 2,…,x n )=a 11x 12+a 22x 22+…+a nn x n 2 (6.3) 称为标准形.系数a 11,a 22,…,a nn 仅取-1,0,1的标准形称为规范形. (定义6.3 P 132) 标准形的矩阵是对角矩阵. 二次型有下面的结论： 定理6.1 线性变换下，二次型仍变为二次型.可逆线性变换下，二次型的秩不变. (定理6.1 P 133) 这是因为 T T x Cy B C AC T T A B C AC C 0 R (A)R (B) f x Ax f y By ==?=≠=?== ? v v v v v v . 2. 合同变换 在可逆线性变换下，研究前后的二次型就是研究它们的矩阵的关系. 定义6.3 设A,B 是同阶方阵，如果存在可逆矩阵C ，使B=C T AC ，则称A 与B 是合同的，或称矩阵B 是A 的合同矩阵.对A 做运算C T AC 称为对A 进行合同变换，并称C 是把A 变为B 的合同变换矩阵. (定义6.4 P 133) 矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性. 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n (C) k n 2 ! (D)k n n 2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1122a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2 n (C) )!2( n (D) )!1( n 4． 001001001001 000( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2 5. 0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2 6．在函数10 3 23211112)(x x x x x f 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211 a a a a a a a a a D ，则 32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 8．若 a a a a a 22 2112 11，则 21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka (C)a k 2 (D)a k 2 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4 , 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2 , 则 x ( ). (A) 0 (B)3 (C) 3 (D) 2 10. 若5 7 3 4 111113263478 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 11. 若2 23 5 1 011110403 D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 二、填空题 1. n 2阶排列)12(13)2(24 n n 的逆序数是. 2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是. 3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是 . 4．若一个n 阶行列式中至少有12 n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于 . 线性代数知识点总结（第6章） （一）二次型及其标准形 1、二次型： （1）一般形式 （2）矩阵形式（常用） 2、标准形： 如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，x n）=d1x12+d2x22+…+d n x n2 这样的二次型称为标准形（对角线） 3、二次型化为标准形的方法： （1）配方法： 通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。 ★（2）正交变换法： 通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2 其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵 注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。 （二）惯性定理及规范形 4、定义： 正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p； 负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q； 规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形。 5、惯性定理： 二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。 注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。 （2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵 6、定义： A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C T AC，称A与B合同 △7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系 （1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值 （2）A、B合同（B=C T AC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数 （3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B） 注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价 （四）正定二次型与正定矩阵 8、正定的定义 二次型x T Ax，如果任意x≠0，恒有x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。 9、n元二次型x T Ax正定充要条件： （1）A的正惯性指数为n （2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=C T C或C T AC=E （3）A的特征值均大于0 （4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型x T Ax正定必要条件： （1）a ii＞0 （2）|A|＞0 11、总结：二次型x T Ax正定判定（大题） （1）A为数字：顺序主子式均大于0 （2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定 12、重要结论： （1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），A k，A T，A-1，A*正定 （2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定 线性代数练习题 一 选择题 1B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则必有:（ ） (A) 0A =或0=B . (B) 0A B == . (C) 0=A 或.0=B (D) 0A B == 2设1011,1101a b c d -??????= ??? ?-?????? 则a b c d ?? = ???（ ） (A)01. 11?? ?-?? (B)11. 10-?? ??? (C)11. 11-?? ??? (D)11. 01?? ?-?? 3若 A 为n m ?矩阵,且n m r A R <<=)(则( )必成立. （A ）A 中每一个阶数大于r 的子式全为零。 （B ）A 是满秩矩阵。 （C ）A 经初等变换可化为??? ? ??000r E （D ）A 中r 阶子式不全为零。 4 向量组 s ααα ,,21,线性无关的充分条件是( ) （A ） s ααα ,,21均不是零向量. （B ） s ααα ,,21中任一部分组线性无关. （C ） s ααα ,,21中任意两个向量的对应分量都不成比例. （D ） s ααα ,,21中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示. 5 齐次线性方程组0AX =是非齐次线性方程组AX B =的导出组,则( )必定成立. （A ）0AX =只有零解时, AX B =有唯一解. （B ）0AX =有非零解时, AX B =有无穷多解. （C ）α是θ=AX 的任意解,0γ 是AX B =的特解时,0γα+是AX B =的全部解. （D ）12γγ，是AX B =的解时, 21γγ+ 是0AX =的解. 6若θ≠B ,方程组B AX =中, 方程个数少于未知量个数，则有( ) 第六章 二次型 将下列1-3题的二次型表示成矩阵形式。 1.2 2 (,)467f x y x xy y =-- 解：()2 2 43(,)46737x f x y x xy y x y y ????=--= ???-???? 2.2 2 2 (,,)346f x y z x xy y yz z =+--+ 解：()2 2 2 320(,,)346213031x f x y z x xy y yz z x y z y z ???? ???=+--+=-- ??? ???-???? 3.222 12341341214232434(,,,)242264f x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++--+ 解：()1212341 23 43412012013(,,,)01121322x x f x x x x x x x x x x ???? ? ?-- ? ?= ? ?- ? ?-???? 4.设n 元二次型12(,,,)n f x x x 的矩阵为n 阶三对角对称矩阵 1111111 111A -?? ?-- ? ?=- ? - ? ?-?? ， 试写出二次型（二次齐次多项式）的表示式。 解：2222 1211222311(,, ,)222n n n n n f x x x x x x x x x x x x x --=-+-+ +-+。 5.若二次型12(,, ,)T n f x x x x Ax =对一切12(,,,)T n x x x x =恒有12(,, ,)0n f x x x =， 证明A 为n 阶零矩阵。 证明：取(0, ,1, ,0)T i x =(其中第i 个分量为1，其余分量全为零)，则有 11 ()0,1,2, ,n n T i i i ij i j ii i j f x x Ax a x x a i n =======∑∑。 再取(0, ,1,,1, ,0)T ij x =(其中第i 和第j 个分量为1，其余分量全为零)，则有 ()20,,1,2, ,T ij ij ij ij f x x Ax a i j n ====。 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001000 ( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 1 10000 0100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 003232 1 1112)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若21 3332 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 222123 21 12 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若573411111 3263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23500101 1 110403--= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 一、判断题 （1）标准秩序是指n 个不同元素，各元素间按从小到大的顺序排列（ √） （2）在由 n 个元素构成的任一排列中，当某两个元素的先后秩序与标准秩序不同时，就说它们构成了一个逆序（ √ ） （3）一个排列中所有逆序的总和称作逆序数（ √ ） （4）逆序数为偶数的排列叫做偶排列，逆序数为奇数的排列叫做奇排列（ √ ） （5）一个排列中的任意两个元素对换，排列不改变奇偶性（ × ） （6）将行列式 nn n n n n a a a a a a a a a D 222211212111 = 的行与列互换，得到行列式 nn n n n n T a a a a a a a a a D 222212111211 = T D 叫作行列式D 的转置行列式（ √ ） （7）已知行列式D ，则T D D =（ √ ） （8）交换行列式的两行(或列)，行列式不改变符号（ × ） （9）如果行列式有两行或两列完全相同，该行列式可以不等于0（ √ ） （10）行列式中某一行（或列）的各元素有公因子，则可提到行列式符号外面（ √ ） （11）行列式所有行（或列）的元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘以该行列式（ × ） （12）行列式某行（或列）的元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘以该行列式（ √ ） （13）行列式的某一行元素全为零，行列式的值恒为零（ √ ） （14）若行列式中有两行（列）的元素对应成比列，行列式的值可能为零，也可能不为零 （ × ） （15）若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则该行列式可以表示成两行列式之和 （ × ） （16）把行列式的某一行（或列）各元素都乘以同一数k 后，加到另一行(或列)对应元素上去，行列式的值改变（ × ） （17）在n 阶行列式中，划去元素ij a 所在的行和列，余下的n-1阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，而其代数余子式表示为ij j i M +-)1(（ √ ） （18）行列式D 等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 ),2,1( 2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++= （19）范德蒙行列式∑≥>≥----= 1112112222121)( 1 1j i n j i n n n n n n x x x x x x x x x x x （ × ） （20）在行列式D 中任意选定k(1≤k ≤n-1)行（或列），则行列式D 等于由这k 行(或列）元线性代数第六章练习题
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