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函数一致连续证明的方法和技巧总结

编号 2013110254研究类型理论研究分类号O17

学士学位论文

Bachelor’s Thesis

论文题目关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法

作者姓名胡辉

学号2009111010254

所在院系数学与统计学院

学科专业名称数学与应用数学

导师及职称许绍元教授

论文答辩时间2013年5月25日

湖北师范学院学士学位论文诚信承诺书

中文题目：关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法

外文题目：Uniformly Continuous Function Proof of Certain Skills and Methods

学生姓名胡辉学生学号20091111010254

数学与统计学院

学生班级0902班

院系专业

数学与应用数学

学生承诺

我承诺在学士学位论文活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人学士学位论文内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。

学生（签名）：

年月日

指导教师承诺

我承诺在指导学生学士学位论文活动中遵守学校有关规定，恪守学术道德规范，经过本人核查，该生学士学位论文内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。

指导教师（签名）：

年月日

1.前言 (1)

2.函数一致连续 (2)

2.1函数一致连续的定义 (2)

2.2 证明函数一致连续的相关真命题 (2)

2.3 函数一致连续相关定理 (3)

2.3.1函数)

f在区间上一致连续的充分条件 (3)

2.3.2函数)

f在区间上一致连续的充要条件 (6)

2.4 应用举例 (8)

3.函数非一致连续 (12)

3.1函数非一致连续的定义 (13)

3.3 应用举例 (14)

4.参考文献 (16)

5.致谢 (17)

关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法

胡辉（指导老师，许绍元教授）

（湖北师范学院数学与统计学院中国黄石435002）

摘要：本文综述了关于函数一致连续性证明的几个结论和定理，而且针对函数一致连续证明的问题，给出了证明方法的流程图，该流程图对函数一致连续性证

给出了很清晰的思路，通过例题解释流程图使用方法。事实表明该流程图对

函数一致连续证明是非常有效的。相信这篇文章对大家证明函数一致连续性

具很大的指导作用。

关键词：函数；一致连续性；命题和定理；流程图；例题

中图分类号:O17

Uniformly Continuous Function Proof of Certain Skills and Methods

HuHui (Tutor：Xu Shaoyuan)

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Norma University, Huangshi , Hubei,435002) Abstract: In this paper, several conclusions on the proof of the Uniform Continuity Function Theorem, and a continuous function proof given flow chart of the method of proof, with the flowchart the Uniform Continuity Function card gives a very clearideas, through examples explain the flow chart to use. The fact that this flowchart is very efficient on the number of uniformly continuous proof. I believe this article we prove that the function continuity with the great guide.

Keywords：Function; consistent continuity; propositions and theorems; flowchart; example

关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法

胡辉（指导老师，许绍元教授）

（湖北师范学院数学与统计学院中国黄石435002）

1.前言

本文综述了关于函数一致连续性证明的几个结论，并举例说明其应用。这对证明函数的一直连续性具有一定的指导作用，函数的一致连续性是数学分析中的重要概念和难点之一，大多数学分析教材对这方面的讨论较少，学生对一直连续性证明的掌握往往不够，单从定义出发证明函数的一直连续性又较困难，因此本文给出了几个证明函数一致连续的方法，并举例说明其应用，以供读者参考。

本文综合了很多网上的资料以及很多相关有关函数一致连续的书籍，首先是给出

ε,语言阐述了我们在大学数学分析中所学到的函数一致了函数一致连续的定义，用δ

连续的概念，并给出了有关函数一致连续证明的命题和定理，总结了函数一致连续的充分条件和充要条件，并给出了函数非一致连续证明的充要条件，然后是给出了证明函数一致连续的程序流程图，仔细地分析了各类函数是否一致连续，并给出了相关证明的技巧。

在给出证明技巧以后，我又总结了各种证明技巧的典型例题，给出例题的同时，给出了证明的各种思路和技巧，分不同的方法和思路给出了证明，在证明过程中先给出证明思路，然后给出了证明过程，为读者可以提供很清晰的函数一致连续的证明技巧。最后，我觉得函数一致连续的证明，一切都是源自于一致连续的定义，在理解函数一致连续性的定义的过程中我们才能很清晰明了的得出其是否符合一致连续性的性质。

2.函数一致连续

2.1函数一致连续的定义

设)(x f 为定义在区间I 上的函数，若对任给的0>ε，存在0)(>=εδδ，使得对任何',"x x I ∈，只要δ<-"'x x ，就有(')(")f x f x -ε<，则称函数)(x f 在区间I 上一致连续.

2.2 证明函数一致连续的相关真命题

命题2.2.1 设)(x f 在区间I 上有有界导数，则)(x f 在区间I 上一致连续. 命题2.2.2 设)(x f 为连续的周期函数，则)(x f 一致连续.

命题2.2.3 设)(x f 在有限开区间),(b a 上连续，则)(x f 在),(b a 上一致连续的充要条件是)(lim x f a

x +→及)(lim x f b

x -

→存在.对于区间),[b a 和区间],(b a 也有类似的结果. 证明：充分性：由)(x f 在有限开区间),(b a 上连续，有对任给的0>ε，存在正数

0>δ，δ<-∈?"'),,(",'x x b a x x ，有(')(")f x f x -ε<.特别的，当),(",'δ+∈a a x x 时，

有(')(")f x f x -ε<.根据柯西收敛准则知，)(lim x f a

x +→存在.同理可证)(lim x f b

x -

→存在. 必要性：因为)(lim x f a

x +→与)(lim x f b

x -

→存在，令 lim (),()(),(,)lim (),x a x b f x x a

F x f x x a b f x x b +-

→→=???

=∈??=??

)(x F 在],[b a 上连续，从而)(x F 在],[b a 上一致连续，因此)(x f 在),(b a 上一致连续.

推论 1 函数)(x f 在],(b a 内一致连续的充要条件是)(x f 在],(b a 上连续且

)(lim x f a x +

→存在.

推论 2 函数)(x f 在 ),[b a 由一致连续的充要条件：)(x f 在),[b a 内连续，且

)(lim x f b x -

→存在.

命题2.2.4 若)(x f 在),[+∞a 上连续，且A x f x =+∞

→)(lim （有限），则在),[+∞a 上

一致连续.

证明因为A x f x =+∞

→)(lim ，则对任给的0>ε，存在正数a M >，只要',"x x M >，

就有(')(")f x f x -ε<.又因为)(x f 在]1,[+M a 上连续，则)(x f 在]1,[+M a 上一致连续，即对上述0>ε，存在0>δ，对任何',"[,1],'"x x a M x x δ∈+-<，有

(')(")f x f x -ε<.于是对任何',"[,)x x a ∈+∞，只要'"x x δ-<或',"x x M >，就有

(')(")f x f x -ε<，所以)(x f 在),[+∞a 上一致连续.

对于区间],(a -∞和),(+∞-∞也有类似的结果，对于区间),(a -∞和),(+∞a 可以用命题3和命题4判别一致连续性.

命题2.2.5 设区间1I 的右端点为1I c ∈，区间2I 左端点也为2I c ∈，若)(x f 分别在区间1I 和2I 上一致连续，则)(x f 在21I I ?上也一致连续.

命题2.2.6 设)(x f 在),[+∞a 上可导，且A x f x =+∞

→)(lim ，则)(x f 在),[+∞a 上一

致连续的充要条件A 为有限数。对于],(a -∞和),(+∞-∞也有类似的结果.

2.3 函数一致连续相关定理

2.3.1函数)(x f 在区间上一致连续的充分条件

定理2.3.1.1 若)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上一致连续. 定理2.3.1.2 设)(x f 在),[+∞a 上连续，)(x g 在),[+∞a 上一致连续，且

lim[()()]0x g x f x →∞

-=，则)(x f 在),[+∞a 上一致连续.

证明：因为lim[()()]0x g x f x →∞

-=，则对任给的0>ε，存在正数a M ≥，当M

x >时，有3

)()(ε

-x f x g .又因为)(x g 在),[+∞a 上一致连续，则对上述0>ε，存在

01>δ，只要1'"x x δ-<，就有(')(")3

g x g x ε

-<，因此对任何',"[,)x x a ∈+∞，

',"x x M >，'"x x δ-<，有:

)"()'(x f x f -≤ε<-+-+-)"()"()"()'()'()'(x f x g x g x g x g x f ，

而)(x f 在闭区间]1,[+M a 上一致连续.即对上述02>δ，只要',"[,1]x x a M ∈+，

2'"x x δ-<，就有(')(")f x f x ε-<，取δ=},,1max{

21δδ，则当',"[,)x x a ∈+∞，'"x x δ-<时，有(')(")f x f x -ε<，所以)(x f 在),[+∞a 上一致连续.

定理2.3.1.3 设函数)(x f 在区间I 上可导，其导数'()f x 在区间I 上有界，则

)(x f 在区间I 上一致连续.

证明：因为)('x f 在区间I 上有界，则存在正数M ，对任意I x ∈，有M x f ≤)('.对任给的0>ε，取0>=

n ε

δ，对任何',".x x I ∈只要'"x x δ-<，则

(')(")f x f x -='()'"f c x x -M M

≤ ε=，

其中c 在'"x x 与之间，所以)(x f 在区间I 上一致连续.

定理2.3.1.4 设函数在),(+∞-∞内一致连续的充分条件：)(x f 在),(+∞-∞内连续，且)(lim )(lim x f x f x x +∞

→-∞

→和存在且有限.

证明：（1）先证)(x f 在),[+∞a 上一致连续.

因为A x f x =+∞

→)(lim （有限），则对任给的0>ε，存在正数a N >，使得对任意的

',"x x N >，就有(')(")f x f x -ε<.又因为)(x f 在]1,[+N a 上连续，则)(x f 在]

1,[+N a 上一致连续，即对上述0>ε，存在0>δ，对任何',"[,1],'"x x a N x x δ∈+-<，有

(')(")f x f x -ε<.于是对任何',"[,)x x a ∈+∞，只要'"x x δ-<或',"x x N >，就有(')(")f x f x -ε<，所以)(x f 在),[+∞a 上一致连续. 同理可证明)(x f 在],(a -∞上一致连续.

推论1 )(x f 在),(+∞a 内一致连续的充分条件：)(x f 在),(+∞a 内连续，且

)(lim x f a x +

→与)(lim x f b

x -

→存在且有限.

推论2 )(x f 在),[+∞a 内一致连续的充分条件：)(x f 在),(+∞a 内连续，且

)(lim x f x +∞

→存在且有限.

推论3 函数)(x f 在],(b -∞上一致连续的充分条件是)(x f 在],(b -∞上连续且

)(-∞f 都存在.

推论4 函数)(x f 在),(b -∞上一致连续的充分条件)(x f 是在),(b -∞上连续且

()f b o -和)(-∞f 都存在.

定理2.3.1.5 若对于定义在区间I 上的函数)(x f 和)(x g ,0>?L ,,x x I '''?∈, 有)()(x f x f ''-'≤L )()(x g x g ''-'成立,而)(x g 在I 上一致连续,则)(x f 在I 上也一致连续.

证明对于任给0ε>，由于()g x 在I 上一致连续，所以0>?δ,使得对于,x x I '''?∈,只要x x δ''-<,就有)()(x g x g ''-'L

成立.故对于上述0ε>，结合已知条件有 )()(x f x f ''-'≤L )()(x g x g ''-'

L ε

=ε成立，从而可知)(x f 在I 上一致连续.

推论6 若函数)(x f 在区间I 上满足下述Lipschitz 条件,即L ?0>,x '?,x ''∈I ,有)()(x f x f ''-'≤L x x ''-'成立,则)(x f 在X 上一致连续.

定理2.3.1.6 设)(x f 在),[+∞a 上连续，且当∞→x 时，)(x f 以d cx y +=为渐近线，即)0(0)]()([lim ≠=+-+∞

→c d cx x f x ，则)(x f 在),[+∞a 上一致连续.

证明：已知)0(0)]()([lim ≠=+-+∞

→c d cx x f x ，则由柯西收敛准则给的0>ε，存在正

数0>A ，使得对任意的',"[,]x x a A ∈，就有

(')(')(")(")f x cx d f x cx d -+-++2

ε<

, 2

)"'()"()'("')"()'(ε

<---<-?--x x c x f x f x x c x f x f ,

所以2

"')"()'(ε

+-?<-x x c x f x f ，

不妨设2

"'ε

-?x x c ，则'"2x x c

取c

21ε

δ=

，于是0>ε，存在正数0>δ，',"(,)x x a A ∈，当'"x x δ-<时有

1(')(")2

f x f x c ε

δε-

=，

又已知：)(x f 在闭区间]1,[+A a 上连续，则)(x f 在]1,[+A a 上一致连续，对上述

0>ε，存在02>δ，',"[,1]x x a A ∈+，当2'"x x δ-<时，有(')(")f x f x ε-<，取

δ=},,1max{

21δδ，则当',"(,)x x a ∈+∞且'"x x δ-<时，则可同属于),[]1,[+∞+A a a 或无论哪部分都有 (')(")f x f x -ε<，所以)(x f 在),[+∞a 上一致连续.

2.3.2函数)(x f 在区间上一致连续的充要条件

定理2.3.2.1 若)(x f 在区间I 上有定义,则)(x f 在I 上一致连续的充要条件是

'"0',"lim sup (')(")0x x x x I

f x f x δ

δ+-<→∈-=.

证明 (1)必要性:因)(x f 在I 区间上一致连续,则对任给的0>ε,存在00>δ,对任何',"x x I ∈,只要'"x x δ-<，就有(')(")2

f x f x ε

，从而',"'"(')(")2x x I x x sup f x f x δ

∈-<-≤，故当

00δδ<<时，'"',"sup (')(")2

x x x x I

f x f x δ

ε-<∈-≤

<.所以'"0',"lim sup (')(")0x x x x I

f x f x δ

δ+

-<→∈-=. (2）充分性：由'"0',"lim sup (')(")0x x x x I

f x f x δ

δ+

-<→∈-=知，对任给的0>ε,存在00>δ,对任何',"x x I ∈，只要0'"x x δ-<，就有'"',"sup (')(")x x x x I

f x f x δ

ε-<∈-<，取整数0δδ≤，当',"x x I ∈，

'"x x δ-<时，(')(")f x f x -≤'"',"sup (')(")x x x x I

f x f x δ

ε-<∈-<，所以函数)(x f 在区间I 上一致

连续.

定理3.2.2 函数)(x f 在区间I 上一致连续的充要条件为对任给的0>ε，对

',"x x I ∈存在0>N ，当(')(")

lim

n f x f x N x x →∞

->-，有ε<-)"()'(x f x f .

定理3.2.3 函数)(x f 在区间I 上一致连续的充要条件是：)(x f 在区间I 上满足0)(lim =-∞

→n n n y x 的两个数列}{},{n n y x 必有0)]()([lim =-+∞

→n n n y f x f

连续函数f 的一致连续性判断

结束

用定义是否易证

是

否

导函数是否有界

是否是周期函数由命题2.2.2证

明一致连续

否

用命题2.2.5证明一致连续

I 是否能看作12I I ?

由命题2.2.1证

明一致连续是是

否

是 I 是否是有限区间

否

是

否

端点处极限是否存在

I 是否闭区间

有限端点处极限是否

存在

不一致连续

lim ()x f x →∞

是否存在

否

由命题2.2.4证明

由定理2.3.1.1

证明

是由命题2.2.4知

不一致连续

否 'lim

()x f x A →∞

否

由命题2.2.4

A 是否有限

是

2.4 应用举例

例 2.4.1：证明：=)(x f x cos 在[)+∞,0上一致连续. 证明：[)+∞,0=?]1,0[[)+∞,1，在[)+∞,1上成立不等式 |cos

'x －cos

"x |≤|'x －"x |≤"'x x -|，

在)(x f [)上满足+∞,1Lipthitz 条件，从而在[)+∞,1上一致连续。又x cos 在[]上1,0连

续，由Cantor 定理x cos 在[]上1,0一致连续。综上所述，x cos 在[)+∞,0上一致连续。

应用：我们利用Cantor 定理还可以得到较为实用的判定方法。

设I =[)+∞,a ,)(x f 在I 上连续，)(x f )(+∞→→x A ，则)(x f 在I 上一致连续。证：因为)(x f )(+∞→→x A ，由Cauthy 准则知，对

时，有当M x x M >>?>?21,,0,0ε

|)()(21x f x f -|ε< （1）

又由于)(x f 在[]上连续，1,+M a 有Cantor 定理知)(x f 在[]上一致连续，1,+M a 故对上述的∈>>431,,0,0x x 当存在δε[]1,+M a 且|43x x -|时1δ<，有

|)()(43x f x f -|ε< （2）

取{}1,min 1δδ=，则对[)且,,",'+∞∈a x x |"'x x -|(1)(2)δ<时，有，

两式均有|)"()'(x f x f -|ε<，有一致连续性定义，)(x f 在[)上一致连续+∞,a ，命题得证。

例2.4.2 函数

由定义证明

由命题2.2.6不一致

连续

否

由命题2.2.6知一致

连续

22112(),,,

2211()2(),

220,[0,)n n n n n n n x n x n n n n f x n x n x n n n n x ?????

?--∈-????????

????

?=-?-+∈+????????

?+∞??

为中的其他点.

问：()f x 在[0,)+∞上是否一致连续？

解: ()f x 在[0,)+∞上非一致连续.

显然,()f x 在[0,)+∞上连续，且()0,[0,)f x x ≥∈+∞.且

()1,2n

n f x dx ∞

+∞

===∑?

收敛.但lim ()lim ,n n f n n →+∞

→+∞

==+∞故lim ()0n f n →+∞

≠.从而可知()f x 在[0,)+∞上非一致连续.

例2.4.3 用定义证明x 在[)+∞,0上一致连续. 证明：令)(x f =x ，先证)(x f 在[)+∞,1上一致连续. 设[)+∞∈,1,21x x 且21x x <,

12121x x x x x x x x -<+-<

,0>?ε取εδ2=，当[)+∞∈,1,21x x 且δ<-21x x 时，有

ε<-<

-2

121x x x x .

即证)(x f 在[)+∞,1上一致连续.

例2.4.4 设x

x x x f 1

sin 12)(++=

，证明)(x f 在),1[+∞上一致连续. 解题思路一：若考虑到1

++x x 的有界性及结合三角函数性质此题可以用定义证明，但是证明过程比较繁琐.

证明:对任何的',"[1,),'",x x x x δ∈+∞-<

'21"21"21"21

(')(")sin sin sin sin

"1'"1""1'"1"

x x x x f x f x x x x x x x x x ++++-≤

-+-++++

≤1111'2"2"2'"'"2cos sin "1"1"122

x x x x x x x x x x +-

+++-++++ ≤11

"'1'"

(1)2

('1)("1)"12

x x x x x x x -

-+++++ 7

"'4

x x ≤

- 7.

4δ≤

则

'"'"'"

0,lim sup ()()0.x x x x I

f x f x δ

δ-<→∈-= 解题思路二：若考虑函数导函数的有界性，因为 '()f x =

≤++++x x x x x x x 1

cos 1111cos 11sin )1(12

2247)1(11)

1(1222≤++++x x x x , 则由命题2.2.1方法可证.

证明：由题意，因为)(x f 在),1[+∞上连续，所以对任意的),1[,21+∞∈x x ，有： 1212()()'()f x f x f x x x -=-214

x x -≤

. 又因为

'()f x =

222

1111111

sin cos cos (1)1x x x x x x x

++++ ≤222111

(1)(1)

x x x x ++++

≤

, 从而由函数一致连续的定义，对人给的0>ε，存在εδ7

=0>，使得对任何

),1[,21+∞∈x x ，只要δ<-21x x ，就有：

1212()()'()f x f x f x x x -=-214

7x x -≤

ε74

47?<ε=，

证毕.

解题思路三：假设没有考虑到导数有界，从区间考虑，是无穷区间，且含有限端点1，考虑01

sin 12lim

=+++∞

→x

x x x ，则由命题2.2.4方法可证. 证明：因为x x x x f 1sin 12)(++=

在),1[+∞上连续，且01

sin 12lim =+++∞→x

x x x ，所以

x x x f 1

sin 12)(++=

在),1[+∞上一致连续. 例2.4.5 设x

e x x

f 1

)2()(+=，证明)(x f 在),1[+∞上一致连续。

分析解题思路一：由于x

e 1在),1[+∞上是有界的及2+x 这个函数的一致连续性，所以可以用定义证明；

解题思路二：假设没有考虑到用定义证明，由于)(x f 不是周期函数，考虑导数

122

'()(1)

x f x e x +=-

是否有界？由于对任意),1[+∞∈x ，有

)21()(21'

x x e x f x

=≤2

1x x e +-e 2≤，则由命题2.2.1可证.

证明:1

22'()(1)x

x f x e x +=-)1

11(21

x e x --=，在),1[+∞上，

221111

'()(1)(1)4x

x f x e e e x x x x

=--≤++≤，

即'()f x 在),1[+∞上有界，从而由定理2.3.1.5可证.

解题思路三：若考虑导数有界有一定的困难，可按照流程图往下考虑，又因为

lim '(),lim '()1x x f x f x →∞

→+∞

=+∞=而比较容易考虑，所以可以由命题2.2.6证明.

解题思路四：利用定理2.3.1.3,

设3)(+=x x g ，因为，'()g x 在),1[+∞上有界，所以在'()g x 上一致连续. 函数x

e x x

f 1)2()(+=在),1[+∞上连续，且有

])2()3[(lim )]()([lim 1x

n n e x x x f x g +-+=-∞

→∞

→

11lim[(1)(32)]x x

n x e e →∞

=-+-

0=. 则x

e x x

f 1

)2()(+=在),1[+∞上一致连续.

例2.4.6 设])1

1(arctan[)(2x

x x x f ++=，证明)(x f 在),0(+∞上一致连续.

解题思路：由于x x g =)(在),0(+∞上是一致连续的，故考虑]

1(arctan[)(2x

x x h ++=在),0(+∞上一致连续，显然)(x h 不是周期函数，但)('x h 也不容易求出，不妨考虑)(x h 在0→x 和+∞→x 时的极限，由于lim ()2

x h x π

→+∞

1ln(1)

lim ()lim arctan[]lim arctan 00x x

x x x h x xe

+→→→===

则由命题2.2.3和命题2.2.4可证.

例2.4.7 证明x x f sin )(=在),0[+∞∈x 上一致连续. 分析解题思路一：由于

''"'"

sin sin "2sin

cos '"22

x x x x x x x x x x x x -+--=≤-=+

可以考虑把区间分为[0,1]?),1[+∞，在[0,1]上1'()cos 2f x x x

=无界，但)(x f 连

续，由定理2.3.1.1可知)(x f 在[0,1]上一致连续，在),1[+∞上，

sin 'sin "'"2

x x x x -≤

-，可由定义证明)(x f 在),1[+∞上一致连续，由命题2.2.5可知)(x f 在),0[+∞上一致连续。

解题思路二：若考虑函数导数1'()cos 2f x x x

，因为'()f x 在(0,)+∞上无界，

可以考虑把区间分成[0,1]?),1[+∞，)(x f 在[0,1]上一致连续，'()f x 在),1[+∞上有界，由命题2.2.1可知，)(x f 在),1[+∞上一致连续，由命题2.2.5可知)(x f 在),0[+∞上一致连续。

3.函数非一致连续

3.1函数非一致连续的定义

设)(x f 为定义在区间I 上的函数，若对任给的0>ε，存在0)(>=εδδ，当

',"x x I ∈，δ<-"'x x 时，有(')(")f x f x ε-≥，则称函数)(x f 在I 上非一致连续.

3.2 函数在区间上非一致连续的判定方法

关于)(x f 在区间I 上非一致连续的判定方法，从函数的一致连续的充要条件中，可以得出其中的反问题，因此主要有以下三种方法来判定非一致连续：

（1）非一致连续的定义.

（2）)(x f 在区间),(b a 上非一致续的充要条件是)(lim x f a

x +→与)(lim x f b

x -

→至少有一个不存在.

（3）)(x f 在区间上非一致连续的充要条件:在区间I 上的两数列}{},{n n y x ，满足

()0lim =-∞

→n n n y x ，必有0)]()([lim =-∞

→n n n y f x f .

假设函数)(x f 在区间),[+∞a 上一致连续,则对于任意0ε>,存在0δ>,（不妨设

εδ≤）, 对于任意,[,)x x a '''∈+∞, 且当x x δ'''-≤时,)()(x f x f ''-'2

成立.又因为?+∞

dx x f )(收敛,故对上述的δ,必存在0>M ，当x ',x ''M >时,有|()|x x f t dt ''

δ<

x ?>M ，总存在x ',x ''使x x x M '''≥>>且x x δ'''-=,于是有:

)(x f ?δ=

()()()x x x x x x f x dt f t dt f t dt -+?

≤

()()()x x x x f x f t dt f t dt ''

δδε

即

)(x f <

22δε+≤2

2ε

ε+=ε, 于是, 0>?ε,0>?M ,当M x >时,有)(x f ε<,即)(lim x f x +∞

→0=与)(lim x f x +∞

→0≠矛盾,所以假设不成立, 从而()f x 在区间),[+∞a 上非一致连续.

定理3.2.1 函数)(x f 在区间I 上非一致连续的充要条件是在I 上存在两个数列

'",n n x x ，使'"lim()0n n n x x →∞

-=，但当∞→n 使，0)]()(["'不趋于n n x f x f -.

证明（1）必要性，因为)(x f 在区间I 上非一致连续，则存在00>ε，取

01>=

n n δ，存在数列.,"'I x x n n ∈当n

x x n n 1"'<-时，有0"

')()(ε≥-n n x f x f ，即当

0)(lim "

'=-∞

→n n n x x 时，0)]()(["'不趋于n n

x f x f -)(∞→n . （2）充分性：若)(x f 在区间I 上一致连续，则对任给的0>ε，存在0>δ,对任

意',".x x I ∈只要'"x x δ-<，就有(')(")f x f x -ε<.又因为0)(lim "

'=-∞

→n n n x x ，则对上述

0>δ，存在N ，对任何的N n >，有δ<-"'n n x x ，所以ε<-)()("'n n x f x f ，即

0)]()([lim "'=-∞

→n n n x f x f ，这与已知矛盾.所以)(x f 在区间I 上非一致连续. 3.3 应用举例

例 3.3.1 证明()2x x f =在区间[]M ,0上一致连续（M 为任意整数），在[)+∞,0上非一致连续.

分析利用定义. 证明 0>?ε，M

2ε

δ=

?，使得[]M x x ,0,∈'''?，δ<''-'x x ，有

()()()εδ<≤''-'''+'≤''-'''+'=''-'=''-'M x x x x x x x x x x x f x f 222.

()2x x f =在区间[]M ,0上一致连续（M 为任意整数）.

在[)+∞,0上取两个数列n x n x n n

=''+=',1,()0lim =''-'∞

→n n n x x 但是 ()()()01lim ≠=''-'∞

→n n

n x f x f . 所以()2x x f =在[)+∞,0上非一致连续.

例3.3.2 证明函数①2)(x x f =；②x e x f =)(在R 上非一致连续.

证明（1）在R 上取两个数列n x n x n n =+="

',1.

011

lim )1(lim ][lim "

'=++=-+=-∞

→∞

→n

n n n x x n n n n n ,

但

01])1[(lim )]()([lim "

'≠=-+=-∞

→∞

→n n x f x f n n n n . 由定理2.3.1.4知函数2)(x x f =在R 上非一致连续.

(2)在R 上取两个数列n x n x n n ln ),1ln("

'=+=.

.01

ln lim ]ln )1[ln(lim )(lim "

'=+=-+=-∞

→∞

→n

n n n x x n n n n

n 但

.01])1[(lim ][lim )]()([lim ln )1ln("

'≠=-+=-=-∞

→+∞

→∞

→n n e le x f x f n n n n n n n 由定理3.3.4知，)(x f x e =在R 上非一致连续.

例3.3.3 设()x f 在[]b a ,上连续，且处处不为0，证明

()

x f

1在[]b a ,上一致连续.

分析利用闭区间连续函数的性质，同时掌握定理 2.3.1.5和一致连续定义的灵活应用.

证明 ()x f 在[]b a ,上连续，则()x f 在[]b a ,上一致连续.

故0,00>?>?δε，对任意的'x ，"x I ∈只要0'"x x δ-<，就有

()()'"2

f x f x ε

()x f 在[]b a ,上连续，所以m M ,?使()M x f m ≤≤

()

'"f x f x -

()()()()

2222"'"'f x f x f x f x -=

()()()()

'"'"f x f x f x f x m

+-≤

m ε<

, 因此，

()

x f

1在[]b a ,上一致连续.

【参考文献】

[1]欧阳光中,数学分析[M]．上海：复旦大学出版社 1992:153~167.

[2]王向东．数学分析的概念与方法[M]．上海：上海科技出版社 1994:84~86.

[3]华东师范大学数学系．数学分析( 上册第三版) 〔M〕．北京: 高等教育出版社，2006:82~84.

[4]舒斯会．数学分析选讲〔M〕．北京: 北京大学出版社，2007:102~104.

[5]杨传林．数学分析解题思想与方法〔M〕．杭州: 浙江大学出版社，2008 : 162~165.

[6]裴礼文．数学分析中的典型问题与方法〔M〕．北京: 高等教育出版社，2004:123~128.

[7]钱吉林．数学分析题解精粹〔M〕．武汉: 崇文书局，2003:84~88.

[8]刘玉链 ,傅沛仁.数学分析(第 3 版) [M] . 北京:高等教育出版社 ,1991: 54~56.

函数的一致连续性

哈尔滨师范大学学年论文题目关于函数一致连续的探究学生万鑫指导教师曾伟梁副教授年级 2008级专业信息与计算科学系别信息系学院数学学院哈尔滨师范大学 2011年 6 月

关于一致连续函数的判据万鑫摘要：连续与一致连续是数学分析中非常重要也非常基础的概念。这两个概念来自于实际问题，现实问题。我们经常观察的自然现象，如生物的连续生长，反映的是事物连续不断的变化的过程，如果用函数来刻画即是函数的连续性。数学分析研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数就是一致连续函数。我们通过给出一致连续函数与非一致连续函数的定义，从而对函数的一致连续性进行探讨。关键词：一致连续非一致连续判别依据比较判别法比值判别法。一函数)(x f 一致连续的概念定义1：设函数()x f 在()a u 上有定义，若函数()x f 在点a 上存在极限，且极限是()a f ，即()()a f x f a x =→lim ，则称函数()x f 在点a 上连续，也称a 是函数()x f 的连续点. 用“δε—”语言叙述：函数()x f 在a 上连续?0>?ε,0>?δ， x ?：,δ<-a x 时，有()()ε?ε,0>?δ，I x x ∈?21,, δ<-X X 2 1 时，有()()ε?ε,0>?δ ,I x x ∈?21, , δ<-X X 2 1 时有()()ε≥-x x f f 21，则称函数()x f 在I 上非一致连续。对于函数()x f 在区间I 上非一致连续，也就是说存在某个正数ε ，不论任何的正数δ，在区间I 内至少存在两点与 x 1 x 2 ,虽然 δ<-X X 2 1 ，但 ()()ε≥-x x f f 21。