【例1】 如图，在Rt ABC ?中，AB AC AD BC =⊥，，垂足为D ．E F 、分别是CD AD 、上
的点，且CE AF =．如果62AED ∠=?，那么DBF ∠=__________．
F
C
B
A
【答案】28?
【例2】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．
P
F
E
D
C
B
A
【答案】在ABE ?和BCF ?中
AB BC
ABE BCF BE CF =??
∠=∠??=?
∴ABE BCF ??≌ ∴BAE CBF ∠=∠ ∵90BAE AEB ∠+∠=? ∴90CBF AEB ∠+∠=? ∴AE BF ⊥
【例3】 E 、F 、
G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．
G
A B
C D
E
F
【例4】 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE EF ⊥交AB 于F 点，若2DE =，矩
形周长为16，且CE EF =，求AE 的长．
E
D
C
B
F A
【答案】∵FE EC ⊥，∴90AEF DEC ∠+∠=?．
∵90AEF AFE ∠+∠=?， ∴AFE DEC ∠=∠．
在三角形AFE 与DEC ?中，FE CE =，90A D ∠=∠=?，
AFE DEC ∠=∠，
∴AFE DEC ??≌． ∴AE DC =．
∵矩形周长为16， ∴8AD DC +=． ∵AD AE DE =+，
∴且2DE =．∴28AE DE =-．
即3AE =
【例5】 如图，已知ABC ?中，90ABC AB BC ∠=?=，，三角形的顶点在相互平行的三条直
线123l l l ，，上，且12l l ，之间的距离为2，23l l ，之间的距离为3，则AC 的长是______．
C
B
A
l 3
l 2
l 1
【答案】
【例6】 两个全等的30?、60?的三角板ADE 、BAC ，如右下图所示摆放，E 、A 、C 在
一条直线上，连结BD ．取BD 的中点M ，连结ME 、MC ，试判断EMC ?的形状，并说明理由．
M
E D
C
B
A
【解析】判断EMC ?是等腰直角三角形．理由：
如图，连结AM ．
D
M
B
C
A E
∵30DAE ∠=?，60BAC ∠=?，∴90DAB ∠=? ∵ADE BAC ??≌，∴AD AB =
又∵M 是BD 的中点，∴AM DM BM == ∴45ADM MAB ∠=∠=?
∴6045105EDM EDA ADM ∠=∠+∠=?+?=? ∴4560105MAC MAB BAC ∠=∠+∠=?+?=? ∴EDM MAC ∠=∠
∵ED CA =，∴EDM CAM ??≌ ∴EM CM =，DME AMC ∠=∠
而90DME EMA ∠+∠=?，∴90AMC EMA ∠+∠=? 即90EMC ∠=?，∴EMC ?是等腰直角三角形．
【例7】 已知等腰直角三角形ABC ，C ∠为直角，M 为BC 的中点．CD AM ⊥．求证：
AMC DMB ∠=∠．求证：AMC DMB ∠=∠．
M
D
C
B
A
【例8】 如图所示，已知在等腰直角三角形ABC 中，BAC ∠是直角，D 是AC 上一点，
AE BD ⊥，AE 的延长线交BC 于F ，若A D B F D C ∠=∠，求证：D 是AC 的中点．
F E
D
C
B
A
【答案】过C 作CH 垂直于AC 交AF 延长线于H 点；
易证ABD AHC ??≌，HC AD =；进而证明FHC FDC ??≌，得到HC CD =，则D 为AC 中点．
H F E
D
C
B
A
【例9】 如图所示，在等边ABC ?中，DE BC ∥，O 为ADE ?的中心，M 为BE 的中点，
求证OM CM ⊥．
【答案】如图所示，延长OM 至点N ，使OM MN =，连接OA 、OE 、OC 、BN 、CN ．
M C
B
A
E
D O
N M
C
B A
E
D O
因为OM NM =，BM M E =，OME NMB ∠=∠， 故BMN ?≌EMO ?，则BN EO =，OEM NBM ∠=∠． 因为DE BC ∥，则DEB CBE ∠=∠，OED CBN ∠=∠．
因为O 为ADE ?的中心，则OA OE BN ==，30OAE OED CBN ∠=∠=?=∠． 因为AC BC =，故AOC ?≌BNC ?，从而OC CN =． 因为OM MN =，故OM CM ⊥．
【点评】如果具备三角形相似的知识，我们就可以采取下面的解法． 如图所示，取AE 的中点N ，连接MN 、OA 、ON 、OC ．
因为O 为ADE ?的中心，故30OAN ∠=?，2OA ON =． 因为AN NE =，BM EM =，故2AB MN AC ==． 因为ON AC ⊥，MN AB ∥，故60MNE ∠=?，
因为30ONM ∠=?，故O A C ?∽ONM ?，OMN OCN ∠=∠，则O 、M 、C 、N 四点共圆．
因为ON AC ⊥，故OM CM ⊥．
【例10】 已知P 为等腰直角ABC ?的斜边AB 上任意一点，PE 、PF 分别为AC 、BC 之垂
线，垂足为E 、F ．M 为AB 之中点．则E 、M 、F 组成等腰直角三角形．
M
P F E
C B
A
【答案】解法一：
如图，连接CM ，则CM 为AB 之中线，亦为AB 之高．
P
M
B
A F E
C
∴90CMA ∠=?．
∵90PEC PFC ECF ∠=∠=∠=?， ∴ECFP 为矩形，故PE CF =． 又∵45A ∠=?，
∴AEP ?为等腰直角三角形，∴AE PE =．∴AE CF =． 又∵CM AM =，45MCF A ∠=∠=?， ∴AEM CFM ??≌，
∴AME CMF ∠=∠，EM FM =． ∵90CME AME ∠+∠=?，
∴90CME CMF ∠+∠=?，即90EMF ∠=?． ∴EM F ?为等腰直角三角形． 解法二：
如图，由M 作ME AC '⊥，MF BC '⊥，则显然由于M 为AB 之中点，AC BC =，
AC BC ⊥，
P
M
B
A F E C F'E'
Q
∴ME CF ''为正方形，故M E M F ''=． 又设M E '交PF 于Q ， 则∵PE AC ⊥，PF BC ⊥，
∴90EPF C ∠=∠=?．而90PEE EE Q ''∠=∠=?． ∴EE QP '为矩形，故EE PQ '=． 同理FF QM '=．
又∵PF AC ∥，∴45QPM A ∠=∠=?． ∴PQM ?为等腰直角三角形， ∴PQ QM =，故EE FF ''=．
又M E M F ''=，90EE M FF M ''∠=∠=?．
∴EEM
FFM ''??≌， ∴EM E FM F ''∠=∠，EM FM =． 又90E MF FMF ''∠+∠=?， ∴90E MF EME ''∠+∠=?．
即90EMF ∠=?，故M EF ?为等腰直角三角形．
解法三：如图，延长FM 到Q ，使MQ FM =，连接AQ ．
P
M
B
A F E
C Q
∵AM BM =，
∴A 、F 、B 、Q 4点组成平行四边形． ∴AQ FB =，AQ FB ∥． 又∵BC AC ⊥，∴AQ AC ⊥， ∴90QAE FCE ∠=∠=?．
又∵PF BC ⊥，45B ∠=?，∴FP FB =．同理EP AE =． ∵ECFP 为矩形，
∴FP CE =，EP CF =，故AB ．而CM AB ⊥， ∴AQ CE =，AE CF =． ∴Rt Rt AEQ CFE ??≌．
∴EQ FE =，AQE CEF ∠=∠，QEA EFC ∠=∠． ∵90AQE QEA ∠+∠=?， ∴90CEF QEA ∠+∠=?
．故
PF
QF
= ∴FEQ ?为等腰直角三角形．而M 为底边之中点，所以EM F ?亦为等腰直角三角形．
解法四：如图，连接CM ，则因为M 为AB 之中点，所以CM AB ⊥，CM 平分
ACB ∠，即45MCB ∠=?．由F 向MB 引垂线FQ ，向CM 引垂线FF '，显然F FQM
'为矩形．则FF MQ '=．
P
M B
A F
E
C
F'Q
又∵CF F '?
为等腰直角三角形，CF '． 又∵PE AC ⊥，PF BC ⊥，AC BC ⊥， ∴ECFP
为矩形，故EP CF ==．
于是在Rt EPF ?和Rt MQF ?
中，PF FB ==
，PF QF =
EP
MQ
= ∴
PF EP
QF MQ
=，
∴EPF MQF ??∽，故EFP MFQ ∠=∠． 又∵45PFM MFQ ∠+∠=?，
∵45PFM EFP ∠+∠=?，即PF BF =． 同理45FEM ∠=?，EM F ?为等腰直角三角形． 解法五：如图，连接CP 、CM ．
P
M
B
A F E
C
∵PF BF =，ABC ?为等腰直角三角形， ∴45BPF BCM ∠=∠=?．
∴P 、C 、F 、M 4点共圆．∴CMF CPF ∠=∠．
又∵CPF CEF ∠=∠，∴CEF CMF ∠=∠，∴E 、C 、F 、M 4点共圆． ∴45MEF MCF ∠=∠=?，45MFE MCE ∠=∠=?，∴iEMF 是等腰直角三角形．
【例11】 长方形ABCD 中，4AB =，7BC =，BAD ∠的角平分线交BC 于点E ，EF ED
⊥交AB 于F ，则EF =_________．
F
E
D
C
B A
【解析】由4AB =，AE 平分BAD ∠可知4BE AB CD ===． 由基本图可知BEF CDE ??≌，故EF DE =又7BC =，4BE =，故3CE =．由勾股定理可知，5DE =． 从而可知5EF =． 【答案】5
【例12】 如图，设ABC ?和CDE ?都是正三角形，且62EBD ∠=?，则AEB ∠ 的度数是( )
A ．124?
B ．122?
C ．120?
D ．118?
图1
A
D
B
C
E
【答案】分析 既然题目这样问，说明这两个角之间必然能找到一定的联系．
解 易知ACE BCD ∠=∠，AEC BDC ??≌，
于是EAC DBC ∠=∠,从而EBD CBD CBE EAC CBE ∠=∠+∠=∠+∠, 在考虑到360EAC AEC ACE CEB ECB EBD ∠+∠+∠+∠+∠+∠= ,有：
3606062360BEC AEC AEB ∠+∠=--=-∠ 从而122AEB ∠= ，选B 。
【例13】 已知：BD CE 、
是ABC ?的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．
P
D
Q
C
B
E
A
【答案】如图，设CE 交BD 于F ．
⑴ 由BD CA ⊥，CE AB ⊥，知
90BEF CDF ∠=?=∠．
而BFE CFD ∠=∠， 故ABD QCA ∠=∠．
由已知，有AB QC =，BP CA =，从而ABP QCA ??≌， 即有AP AQ =．
⑵ 由⑴可得AQC PAB ∠=∠，而 90AQC QEA QAE QAE ∠=∠+∠=?+∠． PAB PAQ QAE ∠=∠+∠．
从而可得90PAQ ∠=?，即AP AQ ⊥．
【例14】 如图，ABC ?的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且AC BC =；EFP ?的边FP 也在
直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．
⑴ 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；
⑵ 将EFP ?沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； ⑶ 将EFP ?沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为⑵中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
图⑴
l
P
C (F )
B A (E )
图⑵
Q ←
l
P
F
E C B A
图⑶
←
Q
A
E
B C
F P
l
43
21A B C E
F
P
l
Q
N l
P
F
C
B
E
A
Q
【答案】（1）AB AP =；AB AP ⊥．
（2）BQ AP =；BQ AP ⊥．
①由已知，得EF EP EF FP =⊥，，∴45EPF ∠=?． 又∵AC BC ⊥，∴45CQP CPQ ∠=∠=?．∴CQ CP =． 在Rt BCQ ?和Rt ACP ?中，
90BC AC BCQ ACP CQ CP =∠=∠=?=，，，
∴Rt Rt BCQ ACP ??≌，∴BQ AP =． ②如图，延长BQ 交AP 于点M ． ∵Rt Rt BCQ ACP ??≌，∴12∠=∠． 在Rt BCP △中，1390∠+∠=?，又34∠=∠，
∴241390∠+∠=∠+∠=?．∴90QMA ∠=?．∴BQ AP ⊥． （3）成立．
①∵45EPF ∠=?，∴45CPQ ∠=?．
又∵AC BC ⊥，∴45CQP CPQ ∠=∠=?．∴CQ CP =． 在Rt BCQ ?和Rt ACP ?中，
90BC AC BCQ ACP CQ CP =∠=∠=?=，，，
∴Rt Rt BCQ ACP ??≌．∴BQ AP =．
②如图，延长QB 交AP 于点N ，则PBN CBQ ∠=∠． ∵Rt Rt BCQ ACP ??≌，∴BQC APC ∠=∠． 在Rt BCQ ?中，90BQC CBQ ∠+∠=?， ∴90APC PBN ∠+∠=?．∴90PNB ∠=?． ∴BQ AP ⊥．
【例15】
ABC ?中，D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于F EG AC ⊥于G ．求证：BF CG =．
E
G
F D
C B
A
DE 垂直平分BC ，∴BE CE =，
AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，EG AC ⊥，∴EF EG =，
又90BFE CGE ∠=∠=?，∴Rt BEF ?≌Rt CEG ?(HL )，∴BF CG =，
【例16】 如图，在正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，,MN MD BN CBE ⊥∠平分，E 为AB
的延长线上一点．求证：MD MN =．
N
M E
D
C
B A
【答案】取AD 的中点P ，连接MP ，证明PMD BNM ??≌，于是MD MN =.
【例17】 如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的
平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？
N C
D
E B M A N
C
D
E
B M A
【答案】猜测DM MN =.在AD 上截取AG AM =，
∴DG MB =，∴45AGM = ∠
∴135DGM MBN ==?∠∠，∴ADM NMB =∠∠， ∴DGM MBN ??≌，∴DM MN =．
【例18】 如图，点M 为正方形ABCD 的边AB (或BA )延长线上任意一点，MN DM ⊥且与
ABC ∠外角的平分线交于点N ，此时MD 与MN 有何数量关系?并加以证明．
C
D N
E
M B A
【答案】猜测MD MN =，延长AD 至点P ，使DP BM =，连结PM ．
P C
D
N
E
M B A
∵DC AM ∥， ∴CDM DMA =∠∠， ∴PDM BMN =∠∠， 而45APM NBM ==?∠∠， ∴PDM BMN ??≌， ∴MD MN =
【例19】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作
60DMN ∠=?，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?
N
E
B M A D
【答案】猜测DM MN =.过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，
G
N
E
B M A D
∴GD MB =
又∵120ADM DMA +∠= ∠，120DMA NMB += ∠∠ ∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN == ∠∠，
∴DGM MBN ??≌，∴DM MN =．
【例20】 已知，ABC ?中，3AB =，120BAC ∠=?，1AC =，D 为AB 延长线上一点，1BD =，
点P 在BAC ∠的平分线上，且满足PAD ?是等边三角形． ⑴ 求证：BC BP =； ⑵ 求点C 到BP 的距离．
C
B P D
A
E
D
C B
A
【答案】⑴ 解法一：连结PC
∵11AC BD ==，
，∴AC BD =， ∵120BAC ∠=?，AP 平分BAC ∠， ∴1
602
CAB BAC ∠=∠=?，
∵PAD ?是等边三角形，∴60PA PD D =∠=?，， ∴CAB D ∠=∠，∴PAC PDB ??≌， ∴PC PB APC DPB =∠=∠，
， ∴60APC APB DPB APB BPC DPA ∠+∠=∠+∠∠=∠=?，
， ∴PBC ?是等边三角形，BC BP =．
解法二：作BM PA ∥交PD 于M ，证明PBM BCA ??≌， 证明过程略．
M
A
D
P B C
N
F
E
A
D P
B
C
⑵ 解法一：作CE PB ⊥于E ，PF AB ⊥于F ． ∵31AB BD ==，
，∴4AD =， ∵PAD ?是等边三角形，PF AB ⊥，
∴1
2sin602
DF AD PF PD ===??=，
∴1BF DF BD BP =-=，
∴sin 60sin 60CE BC BP =??=??， 即点C 到BP
． 解法二：作BN DP ⊥于N ， ∴12DN =
，7
2
NP DP DN =-=
，BN =，
∴BP =
以下同解法一．
【例21】 如图，已知ABC ?和ADE ?都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE
与AC CD +相等的理由．
E
D
C
B
A
【答案】∵AC AB =，CAE BAD ∠=∠，AE AD =
∴AEC ADB ??≌ ∴CE BD =
又∵BD BC CD AC CD =+=+ ∴CE AC CD =+
【例22】 如图，在四边形ABCD 中， AD BC ∥，点E 是AB 上一个动点；若60B ∠=?，
AB BC =，且60DEC ∠=?，判断AD AE +与BC 的关系并证明你的结论．
E
D
C
B A
【答案】过点E 作EF BC ∥交AC 于F ．
F A
B
C D
E
∵60AB BC B =∠=?，
，∴ABC ?是等边三角形， 由EF BC ∥易知，AEF ?也是等边三角形， ∴60AE FE AEF AFE BE CF =∠=∠=?=，
，， ∵AD BC ∥，∴180120EAD B ∠=?-∠=?，且120EFC ∠=?， ∵60DEC AEF ∠=∠=?，∴AED FEC ∠=∠， ∴()ASA AED FEC ??≌，∴AD FC BE ==， ∴AB AE BE AE AD =+=+，∴BC AD AE =+．
【例23】 已知，在ABC ?中，ACB ∠为锐角，D 是射线BC 上一动点(D 与C 不重合)，以AD
为一边向右侧作等边ADE ?(C 与E 不重合)，连接CE ．
⑴ 若ABC ?为等边三角形，当点D 在线段BC 上时(如图1所示)，则直线BD 与直线CE 所夹锐角为 度；
⑵ 若ABC ?为等边三角形，当点D 在线段BC 的延长线上时(如图2所示)，你在⑴中得到的结论是否仍然成立？请说明理由； ⑶ 若ABC ?不是等边三角形，且BC AC >(如图3所示)．试探究当点D 在线段BC
上时，你在⑴中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当ACB ∠满足什么条件时，能使⑴中的结论成立，并说明理由．
图1
F
E
D C B A
图2
B C D F A
E
图3
B C
F
A
G
E
D
F C
B
A
【答案】⑴ 60?；
⑵ 成立．
∵ABC ?是等边三角形，∴60AB AC BAC =∠=?，
， ∵ADE ?是等边三角形，∴60AD AE DAE =∠=?，
， ∴BAD CAE ∠=∠，∴()SAS BAD CAE ??≌， ∴60ACE ABD ∠=∠=?， ∵120ACD ∠=?，∴60ECF ∠=?， 即直线BD 与直线CE 所夹锐角为60?．
⑶ 原结论不成立．当60ACB ∠=?时，才能使⑴中的结论成立． 当60ACB ∠=?时，在BC 上取一点G ，使得CG AC =， 则AGC ?是等边三角形，∴60AG AC GAC =∠=?，
， ∵ADE ?是等边三角形，∴60AD AE DAE =∠=?，
， ∴GAD CAE ∠=∠，∴()SAS GAD CAE ??≌， ∴60ACE AGD ∠=∠=?，
∴180180606060ECF ACG ACE ∠=?-∠-∠=?-?-?=?． ∴当60ACB ∠=?时，能使⑴中的结论成立．
【例24】 如图，等边三角形ABC ?与等边DEC ?共顶点于C 点．求证：AE BD =．
D
E
C
B
A
【答案】∵ABC ?是等边三角形，∴60ACB ∠=?，AC BC =．
∴60BCD DCA ∠+∠=?，同理60ACE DCA ∠+∠=?，DC EC =．∴BCD ACE ∠=∠ 在BCD ?与ACE ? 中，
BC AC BCD ACE DC EC =??
∠=∠??=?
∴BCD ACE ??≌，∴BD AE =．
【例25】 如图，ABD ?和CED ?均为等边三角形，AC BC =，AC BC ⊥
．若BE =CD = ．
图6
D
E
C
B A
【解析】易知CDB ?≌CDA ?≌EDB ?
，从而BC AC BE ==2AB =，
由CDA CDB ∠=∠知CD 是ABD ?一条高的一部分，
1．
1．
【例26】 如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ?与DCE ?是等边三角形，连结BD ，AE 分
别交AC ，DC 于M ，N 点．求证：CM CN =．
N
M
E
D
C
B
A
【答案】∵ABC ?与DCE ?都是等边三角形
∴BC AC =，CD CE =及60ACB DCE ∠=∠=? ∵B ，C ，E 三点共线
∴180BCD DCE ∠+∠=?，180BCA ACE ∠+∠=? ∴120BCD ACE ∠=∠=? 在BCD ?与ACE ?中
BC AC BCD ACE DC EC =??
∠=∠??=?
∴BCD ACE ??≌， ∴CAN CBM ∠=∠
∵120BCD ACE ∠=∠=?，60BCM NCE ∠=∠=? ∴60ACD ∠=? 在BCM ?与ACN ?中
60BC AC BCM ACN CBM CAN =??
∠==???∠=∠?
∴BCM ACN ??≌，∴CM CN =．
【例27】 如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．
请你证明：
（1）AN BM =； （2）DE AB ∥；
（3）CF 平分AFB ∠．
M D N
E
C B
F
A
【答案】此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．
60MCN ∠= 与三角形各内角相等，
及平行线所形成的内错角及同位角相等； 全等三角形推导出来的对应角相等… 推到而得的：AFC BFC ∠=∠；
AN BM =，CD CE =，AD ME =，ND BE =； AM CN ∥，CM BN ∥；DE AB ∥
ACN MCB ??≌，ADC MCE ??≌，NDC BEC ??≌； DEC ?为等边三角形．
（1）∵ACM ?、CBN ?是等边三角形， ∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB ??≌，∴AN BM =
（2）由ACN MCB ??≌易推得NDC BEC ??≌，所以CD CE =，又60MCN ∠= ， 进而可得DEC ?为等边三角形．易得DE AB ∥． （3）过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，
G M H D
N
E
C B
F A
由ACN MCB ??≌，
利用AAS 进而再证BCH NCD ??≌，可得AFC BFC ∠=∠，故CF 平分AFB ∠．
【例28】 如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形，D 是AN 中点，E
是BM 中点，求证：CDE ?是等边三角形．
M D
N
E
C
B
A
【答案】∵ACN MCB ??≌，∴AN BM =，ABM ANC ∠=∠
又∵D 、E 分别是AN 、BM 的中点，
∴BCE NCD ??≌，∴CE CD =，BCE NCD ∠=∠ ∴60DCE NCD NCE BCE NCE NCB ∠=∠+∠=∠+∠=∠= ∴CDE ?是等边三角形
【例29】 如下图，在线段AE 同侧作两个等边三角形ABC ?和CDE ?(120ACE ∠<°)，点P
与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，则CPM ?是( )
P
M
B
C D
E
A
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．非等腰三角形
【答案】易得ACD BCE ??≌．所以BCE ?可以看成是ACD ?绕着点C 顺时针旋转60?而得到的．又M 为线段AD 中点，P 为线段BE 中点，故CP 就是CM 绕着点C 顺时针旋转60°而得．所以CP CM =且，60PCM ∠=°，故CPM ?是等边三角形，选C ．
【例30】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．CG 、CH
分别是ACN ?、MCB ? 的高．求证：CG CH =．
H
G N
M C
B
A
【答案】由ACN MCB ??≌，利用AAS 进而再证BCH NCD ??≌，可得到CG CH =．
【例31】 平面上三个正三角形ACF ，ABD ，BCE 两两共只有一个顶点，求证：EF 与CD
平分．
F
E D
C
B
A
【答案】连接DE 与DF
F
E D
C
B
A
∵DBA EBC ∠=∠，BAD CAF ∠=∠ ∴DBE ABC ∠=∠，BAC DAF ∠=∠ ∴在DBE ?与ABC ?中 DB AB DBE ABC BE BC =??
∠=∠??=?
∴(SAS)DBE ABC ??≌ ∴DE CA FC == 在D FA ?与BCA ?中 DA BA DAF BAC AF AC =??
∠=∠??=?
∴(SAS)DFA BCA ??≌ ∴DF BC EC == ∴DECF 为平行四边形， ∴EF ，CD 互相平分．
【例32】 已知：如图，ABC ?、CDE ?、EHK ?都是等边三角形，且A 、D 、K 共线，
AD DK =．求证：HBD ?也是等边三角形．
E
K
H
C
D
B
A
【答案】连接CH 交AD 于点M ，连接BE BM ，
， H
E
由CDE HEK ??，
均为等边三角形，可证得EDK ECH ??≌ ∴DK CH =，CHE DKE ∠=∠ ∴60HME HEK ∠=∠=?
于是A M B C ，
，，四点共圆，B M H D ，，，四点共圆， ∴HCB DAB BDA BHC ∠=∠∠=∠，
∴BDA BHC ??≌
∴BH BD =，60HBD ∠=? ∴BHD ?为等边三角形
【例33】 如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：AE CG =．
G F
E D
C
B
A
【关键词】2008年怀化市中考 【解析】
【答案】∵ADC EDG ∠=∠
∴CDG ADE ∠=∠ 在CDG ?和ADE ?中
CD AD CDG ADE DG DE =??
∠=∠??=?
∴CDG ADE ??≌ ∴AE CG =
【例34】 以ABC ?的两边AB AC ，
为边向外作正方形ABDE ACFG ，，求证：CE BG =，且CE BG ⊥．
G
O
F
E
D
C
B A
【答案】易证AEC ABG ??≌，故ACE AGB ∠=∠，又A C A G ⊥，AOG BOC ∠=∠，故C E BG ⊥．
【例35】 如图，在△ABC 外面作正方形ABEF 与ACGH ，AD 为△ABC 的高，其反向延长
线交FH 于M ，求证：(1)BH CF =；(2)M F M H =
G
H
M F
E
D C
B
A
【答案】证明△ABH ≌△AFC ；
（1）作FP MD P ⊥于，HQ MD Q ⊥于， 先证△AFP ≌△BAD ，△ACD ≌△HAQ ， 再证△FPM ≌△HQM
【例36】 如图1，若ABC ?和ADE ?为等边三角形，M N ，分别EB CD ，
的中点，易证：CD BE =，AMN ?是等边三角形．
（1）当把ADE ?绕A 点旋转到图2的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
（2）当AD E ?绕A 点旋转到图3的位置时，AMN ?是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当2AB AD =时，ADE ?与ABC ?及AMN ?的面积之比；若不是，请说明理由．
旋转类几何变换 一几何变换——旋转 旋转中的基本图形 利用旋转思想构造辅助线 ? ? ? （一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”) 等边三角形共顶点 共顶点等腰直角三角形 共顶点等腰三角形 共顶点等腰三角形 以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化 自检自查必考点
二 利用旋转思想构造辅助线 （1）根据相等的边先找出被旋转的三角形 （2）根据对应边找出旋转角度 （3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形 三 旋转变换前后具有以下性质： （1）对应线段相等，对应角相等 （2）对应点位置的排列次序相同 （3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角θ． 考点一 旋转与最短路程 ?考点说明：旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题，涉及费马点问题，视学生程度进行选择性讲解。 【例1】 如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ?是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60?得到BN ，连接AM 、CM 、EN ． ⑴求证：AMB ENB ??≌ ⑵①当M 点在何处时，AM CM +的值最小； ②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶当AM BM CM ++的最小值为31+时，求正方形的边长． 中考满分必做题 E N M D C B A
【例2】 阅读下列材料 对于任意的ABC ?，若三角形内或三角形上有一点P ，若PA PB PC ++有最小值，则取到最小值时，点P 为该三角形的费马点。 ①若三角形内有一个内角大于或等于120?，这个内角的顶点就是费马点 ②若三角形内角均小于120?，则满足条件120APB BPC APC ∠=∠=∠=?时，点P 既为费马点 解决问题： ⑴如图，ABC ?中，三个内角均小于120?，分别以AB 、AC 为边向外作等边ABD ?、ACE ?，连接CD 、BE 交于点P ， 证明：点P 为ABC ?的费马点。(即证明120APB BPC APC ∠=∠=∠=?)且PA PB PC CD ++= P E D C B A Q A B C D E P ⑵如图，点Q 为三角形内部异于点P 的一点，证明：QA QC QB PA PB PC ++>++ ⑶若30ABC ∠=?，3AB =，4BC =，直接写出PA PB PC ++的最小值 考点二 利用旋转求点的坐标 ?考点说明：利用全等三角形的性质进行边与角的转化。 【例3】 正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕D 点顺时针方向旋转90?后，B 点 的坐标为（ ） A.(22)-， B.(41)， C.(31)， D.(40)， 【例4】 如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB ?的顶点A 的坐标为(31)，， 若将OAB ?绕点O 逆时针旋转60?后，B 点到达'B 点，则'B 点的坐标是________ D C B A O y x y x B A O
最新初中数学几何专题讲解训练----几何旋转题型 一．半角模型 “半角”旋转模型，经常会出现在等腰直角三角形、正方形中，在一般的等腰三角形中也会有涉 及． 二．等腰三角形旋转模型 等腰三角形的旋转模型比较多，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化，证明的基本思想“SAS”． 1．一般等腰三角形的旋转 共顶点等腰三角形的旋转 2．等边三角形的旋转
共顶点等边三角形的旋转3．等腰直角三角形的旋转 共顶点等腰直角三角形的旋转 三．对角互补模型 四边形对角互补模型 多数题目给出的条件会以四边形或三角形等旋转为载体． 四．旋转相似模型 共顶点相似的一般三角形模型：
如图，图中ABD ACE ∽，得到AB AD BD AC AE CE ，ABD ACE ，ADB AEC ，BAD CAE ，则有ABC ADE ∽． 一．考点： 1．旋转全等模型； 2．旋转相似模型； 3．旋转中的轨迹与最值问题； 二．重难点： 1．这类题的关键是找到题目中所给的特殊条件，结合问题所要证明或者求解的边长角度问题，再 去选择是要构造旋转全等还是通过已经得到的旋转全等的性质进一步证明． 2．观察图形发现旋转得到的相似； 3．通过添加辅助线构造旋转相似或者去挖掘隐含的相似图形． 三．易错点： 1．在利用旋转构造全等的时候注意辅助线的做法问题； 2．构造旋转全等时候一定要有相等边长的条件． 3．全等是相似的一个特例，旋转有时候也会出现全等，注意和旋转全等的区别和联系． 题模一：旋转与全等 例1.1.1已知四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD ，DC （或它们的延长线）于E ，F ．
【例1】 如图，在Rt ABC ?中，AB AC AD BC =⊥，，垂足为D ．E F 、分别是CD AD 、上 的点，且CE AF =．如果62AED ∠=?，那么DBF ∠=__________． F C B A 【答案】28? 【例2】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥． P F E D C B A 【答案】在ABE ?和BCF ?中 AB BC ABE BCF BE CF =?? ∠=∠??=? ∴ABE BCF ??≌ ∴BAE CBF ∠=∠ ∵90BAE AEB ∠+∠=? ∴90CBF AEB ∠+∠=? ∴AE BF ⊥ 【例3】 E 、F 、 G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=． G A B C D E F 【例4】 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE EF ⊥交AB 于F 点，若2DE =，矩 形周长为16，且CE EF =，求AE 的长． E D C B F A 【答案】∵FE EC ⊥，∴90AEF DEC ∠+∠=?． ∵90AEF AFE ∠+∠=?， ∴AFE DEC ∠=∠． 在三角形AFE 与DEC ?中，FE CE =，90A D ∠=∠=?， AFE DEC ∠=∠， ∴AFE DEC ??≌． ∴AE DC =．
∵矩形周长为16， ∴8AD DC +=． ∵AD AE DE =+， ∴且2DE =．∴28AE DE =-． 即3AE = 【例5】 如图，已知ABC ?中，90ABC AB BC ∠=?=，，三角形的顶点在相互平行的三条直 线123l l l ，，上，且12l l ，之间的距离为2，23l l ，之间的距离为3，则AC 的长是______． C B A l 3 l 2 l 1 【答案】 【例6】 两个全等的30?、60?的三角板ADE 、BAC ，如右下图所示摆放，E 、A 、C 在 一条直线上，连结BD ．取BD 的中点M ，连结ME 、MC ，试判断EMC ?的形状，并说明理由． M E D C B A 【解析】判断EMC ?是等腰直角三角形．理由： 如图，连结AM ． D M B C A E ∵30DAE ∠=?，60BAC ∠=?，∴90DAB ∠=? ∵ADE BAC ??≌，∴AD AB = 又∵M 是BD 的中点，∴AM DM BM == ∴45ADM MAB ∠=∠=? ∴6045105EDM EDA ADM ∠=∠+∠=?+?=? ∴4560105MAC MAB BAC ∠=∠+∠=?+?=? ∴EDM MAC ∠=∠ ∵ED CA =，∴EDM CAM ??≌ ∴EM CM =，DME AMC ∠=∠ 而90DME EMA ∠+∠=?，∴90AMC EMA ∠+∠=? 即90EMC ∠=?，∴EMC ?是等腰直角三角形．
几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? 等腰三角形 手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形） 等边三角形（包含费马点） 特殊角 旋转变换对角互补模型 一般角 特殊角 角含半角模型 一般角 等线段变换（与圆相关） 【练1】（2013北京中考）在ABC △中，AB AC =，BACα ∠=（060 α ?<
【练2】 （2012年北京中考）在ABC △中，BA BC BAC α=∠=， ，M 是AC 的中点，P 是线段上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ． （1）若α=60?且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数； （2）在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜 想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．
考点1：手拉手模型：全等和相似 包含： 等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种 位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来 （1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等） （2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等） （3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等） （4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似） 例题精讲
第2讲几何变换——旋转 典型例题 【例1】C是线段AE上的点，以AC、CE为边在线段AE的同侧作等边三角形ABC、CDE， △是等设AD的中点是M，BE的中点是N，连结MN、MC、NC，求证：CMN 边三角形．Array【例2】如图，两个正方形ABCD和AKLM有一个公共点A．求证：这两个正方形的中心以 及线段BM，DK的中点是某正方形的顶点． L
【例3】 已知：如图，ABC △、CDE △、EHK △都在等边三角形，且A 、D 、K 共线， AD DK =．求证：HBD △也是等边三角形． 【例4】 ABC △是等边三角形，P 是AB 边的中点，Q 是AC 边的中点，R 为BC 边的中点， M 为RC 上任意一点，且PMS △是等边三角形，S 与Q 在PM 的同侧，求证： RM QS =． E C H D B A Q ? S M P C B A R
【例5】 ABCD 是正方形，P 是ABCD 内一点，1PA =，3PB = ，PD =求正方形ABCD 的面积． 【例6】 P 是等边三角形ABC 内的一点，6PA =，8PB =，10PC =．求ABC △的边长． D
【例7】 设O 是等边ABC △内一点，已知115AOB ?∠=，125BOC ?∠=，求以线段OA 、OB 、 OC 为边所构成的三角形的各内角大小． 【例8】 如图，在ABC △中，90ACB ?∠=，AC BC =，P 是ABC △内一点，3PA =，1PB =， 2PC =，求BPC ∠． A P C
如图，已知ABC △中，90A =，AB AC =，D 为BC 上一点，求证：2222BD DC AD +=． 【例9】 如图，在等腰直角ABC △中，90ACB ?∠=，CA CB =，P 、Q 在斜边AB 上，且 45PCQ ?∠=，求证：222PQ AP BQ =+． A D C B A Q B C P
九年级数学旋转几何综合专题练习（解析版） 一、初三数学旋转易错题压轴题（难） 1．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD 上，∠EAF=45°． （1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把ABE △绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程； （2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有 EF=BE+DF； （3）拓展：如图③，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长． 【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）5 3 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案； （2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即 180 ADG ADF ∠+∠=?，即180 B D ∠+∠=?； （3）先作辅助线，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明△FAD≌△EAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再Rt BDF中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长． 【详解】 （1）解：如图， ∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠DAG+∠DAF=45°， 即∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中 AF AF EAF GAF AE AG = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； （2）解：∠B+∠D=180°， 理由是： 如图，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠ADG=180°， ∴F、D、G在一条直线上， 和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中 AF AF EAF GAF AE AG = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； 故答案为：∠B+∠D=180°； （3）解：∵△ABC中，2BAC=90°， ∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：22 AB AC +，
几何旋转综合题练习 1、如图，已知 ABC 是等边三角形. （1）如图（1），点E 在线段 A B 上，点 D 在射线 C B 上，且 ED=EC.将 BCE 绕点 C 顺时针旋转60° 至 ACF , 连接 E F.猜想线段 A B,DB,AF 之间的数量关系; （2）点 E 在线段 BA 的延长线上，其它条件与（1）中一致，请在图（2）的基础上将图形补充完整， 并猜想线段 AB,DB,AF 之间的数量关系; （3）请选择（1）或（2）中的一个猜想进行证明. 第 1 题图(1) 第 1 题图(2) 2、如图 1 △，△ ACB △、△ AED 都为等腰直角三角形，∠ AED ＝∠ ACB ＝90°，点 D 在 AB 上，连CE ，M 、N 分 别为
BD、CE 的中点 (1)求证：MN⊥CE (2)如图2将△AED 绕A点逆时针旋转30°，求证：CE＝2MN
3、在等腰R t△ABC和等腰R△t△A1B 1 C1中,斜边B1C1中点O也是BC的中点。 (1)如图1，则AA1与C C1的数量关系是；位置关系是。 (2)如图2，△将△ A1B1C1 绕点O顺时针旋转一定角度，上述结论是否仍然成立，请证明你的结论。 (3)如图3，在（2）的基础上，直线AA1、CC1交于点P，设AB=4，则PB长的最小值是。 A A A P B B A O 图1 1 C C B B 1 O 图2C A 1C B A 图3 1 C 1 O C 1 B 4、已知，正方形A BCD的边长为4，点E是对角线B D延长线上一点，AE＝BD．△将△ABE绕点A顺时针旋转α度 （0°＜α＜360°）得△到△AB′E′，点B、E的对应点分别为B′、E′ (1) (1) (2)如图1，当α＝30°时，求证：B′C＝DE 连接B′E、DE′，当B′E＝DE′时，请用图2求α的值 如图3，点P为AB的中点，点Q为线段B′E′上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段PQ长度的1 1 1
初中数学几何专题——旋转 一．选择题（共5小题） 1．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则等于（） A．B．2 C．D． 2．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（）A．菱形B．矩形C．等腰梯形D．正五边形 3．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（） A．4 B．8 C．16 D．8 4．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=（） A．1： B．1：2 C．：2 D．1： 5．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（） A．1﹣ B．1﹣ C．D． 二．填空题（共5小题） 6．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ=3，当CQ= 时，四边形APQE的周长最小． 7．如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是．
8．如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A 1B 1 C 1 ．若BC=3，，则BB 1 = ． 9．已知一个直角三角板PMN，∠MPN=30°，MN=2，使它的一边PN与正方形ABCD 的一边AD重合（如图放置在正方形内）把三角板绕点P旋转，使点M落在直线BC上一点F处，则CF的长为． 10．如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3，E为对角线BD上一点，且DE=2BE，过E作FG⊥BD，分别交AB、CD于F、G．将四边形BCGF绕点B旋转180°，在此过程中，设直线GF分别与直线CD、BD交于点M、N，当△DMN是以∠MDN为底角的等腰三角形时，则DN的长是． 三．解答题（共6小题） 14．已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6．（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP= 时，四边形BCDP是矩形； （2）将点B绕点E逆时针旋转． ①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF．设∠BEF=α°，求证：△ABF是直角三角形； ②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG．已知∠BEG=90°，求△DEG的面积． 15．问题发现：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D 作DE∥AC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系 拓展探究：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立如果成立，请就图中给出的情况加以证明． 问题解决：如果△ABC的边长等于2，AD=2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC 所在的直线垂直时BD的长． 16．如图，正方形ABCD的面积为4，对角线交于点O，点O是正方形A 1B 1 C 1 O的
第4课 几何变换(2)：旋转与中心对称 一、例题选讲 例1、如图，如果四边形CDEF 绕某点P 旋转以后与正方形ABCD 重合，则这样的点P 有几个？ B A 例2、如图，△ABC 中，D 是AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，比较DEF S ?与（B D F A D E S S ??+）的大小并说明理由。 B C F 例3、如图，P 是等边△ ABC 内一点，P A =2，PB =PC =4，则△ABC 的边长是多少？ A B 例4、如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上两点，且BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数。 F D A C
例5、如图，Rt △ABC 中，O 是斜边AB 的中点，P 、Q 分别是AC 、BC 上的点，且OP ⊥OQ ，证明：AP 2+BQ 2=PQ 2. Q B A P 例6、定点P 到等边△ABC 的定点距离A P=2,BP =3,当此三角形的边长、位置都可以改变时，求PC 的最大值，并证明你的结论。 C 例7、△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，∠BAC =1200，△ADE 是等边三角形，点D 在BC 边上，且BD :DC =2:3,若△ABC 的面积是50，求△ADE 的面积。 C B B
二、巩固练习 1、两家共有一块平行四边形田地 ，中间有一用于灌溉的圆形池塘，现在两家需要把这块地均分，并且中间的池塘也要均分，你能为他们想个办法吗？ 2、7个相同的圆按照图示的位置排列，把这个图形分成面积相等的两块 . 3、设P 是边长为1的等边△ABC 内的任意一点，记l =P A+PB+PC ,求证：23≤≤l . B 4、如图,正方形ABCD 中,∠MAN =45°,求证:MN=BM+DN . C N 5、已知△ABC 中,AB =5,AC =13,边BC 上的中线AD =6,则BD 的长是多少 ? C
初中数学几何专题一一旋转 一?选择题（共5小题） 1 ?如图，ABCD是矩形纸片，翻折/ B,Z D,使AD, BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点0上，折痕分别是CE AF,则尘等于（） D F C 「V A E2 A. . -； B. 2 C. D. 2. 下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（） A.菱形B?矩形C?等腰梯形 D.正五边形 3. 如图，把Rt△ ABC放在直角坐标系内，其中/ CAB=90，BC=5点A、B的坐 标分别为（1, 0）、（4, 0）.将厶ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x-6 4. 如图，P是等腰直角△ ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°至U BP ,已 知/ AP B=135 , P' A: P' C=1: 3」P' A: PB=( A. 1：： B. 1: 2 C. . 2 D. 1:: )
5. 如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB C D ,
则它们的公共部分的面积等于( ) ?填空题(共5小题) 7. 如图，在平面直角坐标系中有一矩形 ABC D 其中A( 0,0), B ( 8,0),D (0， 4)，若将△ ABC 沿 AC 所在直线翻折，点B 落在点E 处.则E 点的坐标是 8. 如图，将等边厶ABC 沿BC 方向平移得到△ A i B i C i . 若 BC=3 S ApE 几何结构之折叠、旋转（讲义） ? 知识点睛 1. 折叠（轴对称）的思考层次 （1）全等变换：对应边相等、对应角相等． （2）对应点与对称轴：对称轴所在直线是对应点连线的垂直平分线．（对应点所连线段被对称轴垂直平分，对称轴上的点到对应点的距离相等） （3）常见组合搭配 ①矩形背景下的折叠常出现等腰三角形； B A 1 F E D (B ) C A ②两次折叠往往会出现特殊角：45°，60°，90°等． G F E D C B A O N M F E C B A D B O A C P Q B' C' （4）应用，作图（构造） 核心是确定对称轴和对应点，一般先确定对应点和对称轴，然后再补全图形． 特征举例： ①折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上； ②对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线． 2. 旋转思考层次 （1）全等变换：对应边相等、对应角相等． （2）对应点与旋转中心 旋转会出现等线段共端点（对应点到旋转中心的距离相等）； 对应点与旋转中心的连线所夹的角等于旋转角； 对应点所连线段的垂直平分线都经过旋转中心； 旋转会产生圆（圆弧）． （3）常见组合搭配 旋转会出现相似的等腰三角形； 旋转60°会出现等边三角形；旋转90°会出现等腰直角三角形； 60°C' B' C B A C' B'C B A 相似三角形对应点重合时会出现旋转放缩模型． （4）应用，作图（构造） 当题目（背景）中出现等线段共端点时，会考虑补全旋转构造全等．（常见背景有正方形、等边三角形、等腰三角形） 注：读题标注时，往往要弄清楚旋转三要素； 旋转方向不确定需要分类讨论； 常将图形的旋转转化为点、线段的旋转进行操作．（有时 只需保留研究目标即可） 深圳龙岗建文中学数学旋转几何综合专题练习（解析版） 一、初三数学旋转易错题压轴题（难） 1．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上， AP＝1 3 AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E， 连接PC，且ABE为等边三角形． （1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是，AP 与EC的数量关系是． （2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为 93，求线段AC的长． 【答案】（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3） 7 7 【解析】 【分析】 （1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论； （3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论． 【详解】 解：（1）∵△ABE是等边三角形， ∴∠ABE＝60°，AB＝BE， ∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC， ∴∠CBP＝60°，BC＝BP， ∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE， 即∠ABP＝∠EBC， ∴△ABP≌△EBC（SAS）， 中考专题复习——几何题用旋转构造“手拉手”模型 一、教学目标： 1.了解并熟悉“手拉手模型”，归纳掌握其基本特征． 2.借助“手拉手模型”，利用旋转构造全等解决相关问题． 3.举一反三，解决求定值，定角，最值等一类问题． 二、教学重难点： 1.挖掘和构造“手拉手模型”，学会用旋转构造全等． 2.用旋转构造全等的解题方法最优化选择． 三、教学过程： 1.复习旧知 师：如图，△ABD ，△BCE 为等边三角形，从中你能得出哪些结论？ 生：（1）△ABE ≌△DBC （2）△ABG ≌△DBF （3）△CFB ≌△EGB （4）△BFG 为等边三角形 （5）△AGB ∽△DGH （6）∠DHA ＝60°（7）H ，G ，F ，B 四点共圆 （8）BH 平分∠AHC …… 师：我们再来重点研究△ABE 与△DBC ，这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外，还有什么共同特征呢？ 生：它们有同一个字母B ，即同一个顶点B ． 师：我们也可以把△DBC 看作由△ABE 经过怎样的图形运动得到？ 生：绕点B 逆时针旋转60°得到． 2.引入新课 师：其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型，叫“手拉手模型”，谁可以将这个模型的特征再做进一步的简化归纳呢？ 生：对应边相等． 师：我们可以称之为“等线段”． 生：有同一个顶点． 师：我们可以称之为“共顶点”． 师：等线段，共顶点的两个全等三角形，我们一般可以考虑哪一种图形运动？ 生：旋转． H G F E D C B A 师：“手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转． 3.小题热身 图1 图2 图3 1．如图1，△BAD中，∠BAD＝45°，AB＝AD，AE⊥BD于E，BC⊥AD于C，则AF＝____BE．2．如图2，△ABC和△BED均为等边三角形，ADE三点共线，若BE＝2，CE＝4，则AE＝______．3．如图3，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，BE＝3，DF＝5，则EF＝_______． 师：我们来看第1，第2题，这里面有“手拉手模型”吗？请你找出其中的“等线段，共顶点”．生：题1中，等线段是AC，BC，共顶点是C，△ACF绕点C逆时针旋转90°得△BCD．题2中，等线段是AB，BC，共顶点是B，△ABD绕点D顺时针旋转60°得△CBE． 师：我们再来看第3题，这里有“手拉手模型”吗？ 生：没有． 师：那其中有没有“等线段，共顶点”呢？ 生：等线段是AD，AB，共顶点是A． 师：我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢？ 生：将AE旋转，绕点A逆时针旋转90°． 师：为什么是逆时针旋转90°，你是如何思考的？ 生：我准备构造一个和△ABE全等的三角形，AB绕点A逆时针旋转90°即为AD，那么将AE逆时针旋转90°可得AG，连接GD，证明全等． 师：说的不错，谁能再来归纳一下，借助“手拉手模型”，用旋转构造全等的方法吗？ 生：先找有没有“等线段，共顶点”，再找其中一条“共顶点”的线段，将其旋转． 师：旋转角度如何确定，方向怎么选择？ 生：选择其中一个三角形，将“共顶点”的线段旋转．旋转角为两条“等线段”间的夹角．方向应与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致． 师：非常棒，可以说，你已经掌握了这节课的精髓．但是，很多题目中只是隐含了“手拉手模型”的一些条件，剩余的需要我们自己去构造，可以如何构造呢？ 步骤1：先找有没有“等线段，共顶点”． 几何图形旋转变换 1.已知：在ABC ?中，AC BC >，动点D 绕ABC ?的顶点A 逆时针旋转，且BC AD =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ． （1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论BNE AMF ∠=∠（不需证明） ． （2）当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明． 图2 图3 图1 A D 2、已知：在四边形ABCD中，A D∥BC，∠BAC=∠D，点E、F分别在BC、CD上， 且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的数量关系。 （1）如图1，若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系为______________; （2）如图2，若AB=BC，你在（1）中的得到的结论是否发生变化？写出你的猜想，并加以证明； （3）如图3，若AB=KBC，你在（1）中的得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明. L 3．如图1，ABC △的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且A C B C =；EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =． （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系； （2）将EFP △沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交 AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足 图1 的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP △沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长 线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所 猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立， 图2 给出证明；若不成立，请说明理由． L 几何变换的类型? 2012 菁优网 一、选择题（共20小题） 1、（2011?钦州）如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（） A、把△ABC向右平移6格 B、把△ABC向右平移4格，再向上平移1格 C、把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格 D、把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格 2、（2011?莱芜）观察如图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（） A、平移 B、轴对称 C、旋转 D、位似 3、（2011?贺州）如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（） A、把△ABC向右平移6格 B、把△ABC向右平移4格，再向上平移1格 C、把△ABC绕着点A顺时针方向90°旋转，再右平移7格 D、把△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转，再右平移7格 4、（2010?双流县）在如图的方格纸中，小树从位置A经过旋转平移后到位置B，那么下列说法正确的是（） A、绕A点逆时针旋转90°，再向右平移7格 B、绕A点逆时针旋转45°，再向右平移7格 C、绕A点顺时针旋转90°，再向右平移7格 D、绕A点顺时针旋转45°，再向右平移7格 5、（2010?佛山）如图，把其中的一个小正方形看作基本图形，这个图形中不含的变换是（） A、对称 B、平移 C、相似（相似比不为1） D、旋转 6、（2009?江西）在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是（） A、位似 B、旋转 C、轴对称 D、平移 7、（2007?双流县）在方格纸中，图（1）中的图形N经过旋转平移后的位置如图（2）所示，那么下列说法正确的是（） A、绕A点顺时针旋转90°，再向下平移3个单位 B、绕A点逆时针旋转90°，再向下平移3个单位 C、绕A点顺时针旋转90°，再向下平移5个单位 D、绕A点逆时针旋转90°，再向下平移4个单位 8、（2007?长春）一根单线从钮扣的4个孔中穿过（每个孔只穿过一次），其正面情形如图所示，下面4个图形中可能是其背面情形的是（） A、B、 C、D、 9、（2006?苏州）对如图的几何体变换位置或视角，则可以得到的几何体是（） A、B、 C、D、 10、（2006?嘉峪关）下列各物体中，是一样的为（） 内容 基本要求 略高要求 较高要求 旋转 了解图形的旋转，理解对应点到 旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形． 能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前后的图形，指出旋转中心和旋转角． 能运用旋转的知识解决简单的计算问题；能运用旋转的知识进行图案设计． 一、旋转有关概念 旋转：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转 角，如果图形上的点P 经过旋转变为点'P ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．(如图) P' Q' Q P O 注意：⑴研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角． ⑵每一组对应点所构成的旋转角相等． 旋转的性质： ①旋转后的图形与原图形是全等的；(进而得到相等的线段、相等的角) ②旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；(进而得到等腰三角形) ③对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；(若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形) 旋转作图的基本步骤： 由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件： ⑴旋转中心；⑵旋转方向及旋转角度． 具体步骤分以下几步： 连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心． 转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角) 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点． 连：即连接所得到的各点． 二、中心对称 中心对称的有关概念： 把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点(如图) 中考要求 例题精讲 几何变换之旋转 旋转专题 1. （2012广东佛山3分）如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转900到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】 A ．π B．3 C ．33+42π D ．113+124 π 2. （2012广东汕头4分）如图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若 ∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是【 】 A ．110° B．80° C．40° D．30° 3. （2012福建龙岩4分）如图，矩形ABCD 中，A B=1，BC=2，把矩形ABCD 绕AB 所在直线旋转一周 所得圆柱的侧面积为【 】 A ．10π B ．4π C ．2π D ．2 4. （2012湖北十堰3分）如图，O 是正△ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④AOBO S =6+33四形边；⑤AOC AOB 93S S 6++=．其中正确的结论是【 】 6题 7题 A ．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 5. （2012湖南娄底3分）如图，矩形绕它的一条边MN 所在的直线旋转一周形成的几何体是【 】 A ． B ． C ． D ． 6. （2012四川绵阳3分）如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=【 】。 几何变换之美----一类旋转图形中的动点最值问题 一、教材分析： 几何中的最值问题变幻无穷,教学中如何引导学生在复杂条件变化中发现解决问题的路径,核心问题是训练学生在题目中寻找不变的已知元素,从这些已知的不变元素,结合“两点间线段最短”、“垂线段最短”等知识源,运用旋转的方式实现问题的转化与解决，体会到数学问题解答中的“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”数学之美。 一、学习目标： 1、通过观察操作，利用旋转的基本性质，分析图形找出定点到旋转过程中的动点的最值的计算方法。 2、体会运用旋转的方法把最值问题转化成“两点之间的距离或垂线段最短”等问题的转化思想 三、教学重难点 在变化的图形中把变量的最值计算转化成找出不变量的进行计算的转化或化归方法的提炼四、教学过程： （一）复习引入： （1）两点之间的距离；（两点之间，线段最短） （2）点到直线的距离；（点到直线的所有连线中，垂线段最短） （3）旋转的性质：①旋转不改变__形状和大小；②经过旋转图形上的 _所有点都绕中心沿相同方向转动了相同的角；③任意一对对应点与旋转中心的连线 _长度相等__； （二）应用一、通过观察旋转图形中的动点运动轨迹，找出到定点的最值距离 例1、如图，若AB=5，BC=6，∠C=45°，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的任意一点， 在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P 1，则线段EP 1 长度的最小值 为，EP 1 最大值为。 C C1 解题分析：（如图） （1）先在AC 上找出动点P 所在位置，即当BP ⊥AC 时，P 点到B 点距离最小; (2）P 点的运动路线是在以B 点为圆心,BP 为半径的⊙B 的圆周上运动； (3）通过观察可以发现当P 点运动AB 上，与AB 交于P 1时，EP 1的长度最小； 当P 点运动到AB 的延长线上交于P 2时，EP 的长度值最大。 解题策略：（1）观察发现，应用“垂线段最短”找出P 点位置 （2）分析总结运动变化过程中的不变元素及内在联系， （3）画图转化，根据点P 的运动轨迹找出P 到E 的最值. 变式练习1：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90o，BC ＝6，AC ＝12，D 为AC 上一点，AD ＝8，将AD 绕点A 旋转到AD ’,连接BD ’， F 为BD ’的中点，则CF 长度的最大值为 。 解题分析：如图，取AB 中点P ，连接PC 、PF,可以用中位线 定理和斜边上的中线等于斜边的一半求出PC 、PF ，再利用两 点之间线段最短的知识，得到当F 点在CP 的延长线上时， CP 的长度最大。 解题分析：取AB 的中点E ，连接OD 、OE 、DE ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 可得OE=2 1 AB ，再利用勾股定理列出求出DE ；接下来然后根据三角形任意两边之和大于第三 边可得OD 过点E 时最大，并可求出最大值。从而解答此题。 A C 1 2 数学九年级上册 旋转几何综合专题练习（解析版） 一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．已知：如图①，在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AE BD ==⊥，垂足是E .点F 是点 E 关于AB 的对称点，连接A F 、BF ． （1）求AF 和BE 的长； （2）若将ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度)．当点F 分别平移到线段AB AD 、上时，直接写出相应的m 的值． （3）如图②，将ABF 绕点B 顺时针旋转一个角1(080)a a ?<
几何结构之折叠、旋转(讲义)
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