第1章数值分析中的误差
一、重点内容
误差设精确值x* 的近似值x，差e＝x－x* 称为近似值x 的误差(绝对误差)。
误差限近似值x 的误差限 是误差e 的一个上界，即|e|＝|x－x*|≤ε。
相对误差e r是误差e 与精确值x* 的比值，。常用计算。
相对误差限是相对误差的最大限度，，常用计算相对误差限。
绝对误差的运算：
ε(x1±x2)＝ε(x1)＋ε(x2)
ε(x1x2)≈|x1|ε(x2)＋|x2|ε(x1)
有效数字如果近似值x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位。从这一位起到前面第一个非0 数字为止的所有数字称为x 的有效数字。
关于有效数字：
(1) 设精确值x* 的近似值x，
x＝±0.a1a2…a n×10m
a1，a2，…，a n是0～9 之中的自然数，且a1≠0，
|x－x*|≤ε＝0.5×10m－l，1≤l≤n
则x 有l位有效数字.
(2) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m有n 位有效数字，则其相对误差限
(3) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m的相对误差限不大于
则它至少有n 位有效数字。
(4) 要求精确到10－3，取该数的近似值应保留4 位小数。
一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对误差e＝0.0926 的数x＝20.7426 只有三位准确数字2，0，7。
一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为10% 的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为1% 的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为0.1% 的量级。
二、实例
例1 设x*＝ ＝3.1415926…
近似值x＝3.14＝0.314×101，即m＝1，它的误差是0.001526…，有
|x－x*|＝0.001526…≤0.5×101－3
即l＝3，故x＝3.14 有 3 位有效数字。x＝3.14 准确到小数点后第2 位。
又近似值x＝3.1416，它的误差是0.0000074…，有
|x－x*|＝0.0000074…≤0.5×101－5
即m＝1，l＝5，x＝3.1416 有 5 位有效数字。
而近似值x＝3.1415，它的误差是0.0000926…，有
|x－x*|＝0.0000926…≤0.5×101－4
即m＝1，l＝4，x＝3.1415 有 4 位有效数字。
这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字；若末位数字不是四舍五入得到的，那么该数有s 位或s－1 位有效数字。
例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：
2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00
解因为x1＝2.000 4＝0.200 04×101，它的误差限0.000 05＝0.5×10 1―5，即m＝1，l＝5，故x1
＝2.000 4 有 5 位有效数字。相对误差限。
x2＝－0.002 00，误差限0.000 005，因为m＝－2，l＝3，x2＝－0.002 00 有3 位有效数字。相对
误差限εr＝0.000 005/0.002 00＝0.25%。
x3＝9 000，绝对误差限为0.5，因为m＝4，l＝4，x3＝9 000 有4 位有效数字，相对误差限εr ＝0.5/9 000＝0.005 6%。
x4＝9 000.00，绝对误差限0.005，因为m＝4，l＝6，x4＝9 000.00 有6 位有效数字，相对误差限为εr＝0.005/9 000.00＝0.000 056%。
由x3 与x4 可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的。
例3ln2＝0.69314718…，精确到10－3 的近似值是多少？
解精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.05％，故至少要保留小数点后三位才可以。
ln2≈0.693。
三、练习题
1. 设某数x*，它的保留三位有效数字的近似值的绝对误差是。
2. 设某数x*，它的精确到10－4 的近似值应取小数点后位。
3. ( )的3 位有效数字是0.236×102。
(A) 235.54×10－1(B) 235.418
(C) 2354.82×10－2(D) 0.0023549×103
4. 设a*＝2.718181828…，取a＝2.718，则有( )，称 a 有四位有效数字。
(A) |a－a*|≤0.5×10－4(B) |a－a*|≤0.5×101－4
(C) |a－a*|≤10－4(D) |a－a*|≤0.0003
5. 设某数x*，对其进行四舍五入的近似值是( )，则它有 3 位有效数字，绝对误差限是0.5×10－4。
(A) 0.315 (B) 0.03150 (C) 0.0315 (D) 0.00315
6. 以下近似值中，保留四位有效数字，相对误差限为0.25×10－3。
(A) 0.01234 (B) –12.34 (C) –2.20 (D) 0.2200
7. 将下列各数舍入成三位有效数字，并确定近似值的绝对误差和相对误差。
(1) 2.1514 (2) －392.85 (3) 0.003922
8. 已知各近似值的相对误差，试确定其绝对误差：
(1) 13267 e r＝0.1% (2) 0.896 e r＝10%
9. 已知各近似值及其绝对误差，试确定各数的有效位数。
(1) 0.3941 e＝0.25×10－2(2)293.481 e＝0.1
(3) 0.00381 e＝0.1×10－4
10. 已知各近似值及其相对误差，试确定各数的有效位数。
(1) 1.8921 e r＝0.1×10－2(2) 22.351 e r＝0.15
(3) 48361 e r＝1%
四、练习题答案
1．该数有效数字第四位的一半。
2 . 五 3. (A) 4. (B) 5. (C) 6. (D)
7. (1)2.15, e＝－0.14×10－2，e r＝0.65×10－3；(2) －393，
e＝－0.15，e r＝0.38×10－3；(3)0.00392，e＝－0.2×10－5，e r＝
0.51×10－3
8. (1) e＝0.13×10 2；(2) 0.9×10－1
9. (1) 2；(2)3；(3)2
10.(1) 3；(2)1；(3)2
第15章线性方程组的数值解法
一、重点内容
1. 高斯顺序消去法
解线性方程组AX＝b，对增广矩阵
顺序作初等行变换，使矩阵A化为上三角形矩阵，再回代，从而得到线性方程组的解。要求作初等行变换消元过程中，。
注意：本章讨论线性方程组的解的方法，不讨论解的存在性。
2. 高斯列主元消去法
在高斯顺序消去法中，每次消元之前，要确定主元，
( k＝1，2，3，…，n－1)
把第r行作为主方程，做第k次消元。
把系数矩阵化为上三角形矩阵，从而得到线性方程组的解。
3. 雅可比迭代法(简单迭代法)
解线性方程组AX＝b的雅可比迭代法公式为
( k＝0，1，2，…)
4. 高斯――赛德尔迭代法
解线性方程组AX＝b的高斯――赛德尔迭代法公式为
(i＝1，2，…，n；k＝0，1，2，…) 5．解的收敛性定理
【定理1】高斯消去法消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵A的各阶顺序主子式不为0；AX＝b能用高斯消去法求解的充分必要条件是A的各阶顺序主子式不为0。
【定理4】(迭代法基本定理)
设线性方程组X＝BX＋f对于任意初始向量X(0)及任意f，对应此方程组的迭代公式X(k＋1)＝B (k)X ＋f收敛的充分必要条件是,其中λi (i＝1，2，…，n)为迭代矩阵B的特征根。当λi为复数时，|λi|表示λi的模。
【定理6】(迭代法收敛的充分条件)设线性方程组AX＝b
，
(1) 若A是严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法和高斯――赛德尔迭代法收敛；
(2)
若
A为对称正定矩阵，则高斯――赛德尔迭代法收敛。
注：设矩阵A＝[
a ij ]n，若
则称矩阵A是严格对角占优矩阵。
二、实例
例1用顺序消去法解线性方程组
解顺序消元
于是有同解方程组
回代得解
x3＝－1，x2＝1，x1＝1，原线性方程组的解为X＝(1，1，－1)T。
例2取初始向量X(0)＝(0，0，0)T，用雅可比迭代法求解线性方程组
解建立迭代格式
(k＝1，2，3，…)
第1次迭代，k＝0
X
(0)＝0，得到X(1)＝(1，3，5)T
第2次迭代，k＝1
X(2)＝(5，－3，－3)T 第3次迭代，k＝2
X(3)＝(1，1，1)T 第4次迭代，k＝3
X(4)＝(1，1，1)T 例3 填空选择题：
1. 用高斯列主元消去法解线性方程组
作第1次消元后的第2，3个方程分别为。
解选a21＝2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1＋2x2＋3x3＝3，消元得到
是应填写的内容。
2. 用选主元的方法解线性方程组AX＝b，是为了( )
(A) 提高计算速度(B) 减少舍入误差
(C) 减少相对误差(D) 方便计算
答案：选择(B)
3. 用高斯――赛德尔迭代法解线性方程组
的迭代格式中＝(k＝0，1，2，…)
答案：
解答：高斯――赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用x1的新值。
4. 当a ( )时，线性方程组的迭代解一定收敛。
(A) ＞6 (B) ＝6 (C) ＜6 (D) ＞6或＜－6
答案：(D)
解答：当|a|＞6时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由教材第10章定理6，迭代解一定收敛。
三、练习题
1. 用高斯列主元消去法解线性方程组
2. 用高斯――赛德尔迭代法求解线性方程组
取初始值(4.67，7.62，9.05)T，求二次迭代值。
3. 证明线性方程组
的迭代解收敛。
4. 用高斯顺序消去法解线性方程组，消元能进行到底的充分必要条件是
5. 用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为( )
(A) 3 (B) 4 (C) －4 (D)－9
四、练习题答案
1. X＝(－4，1，2)T
2. (4.666 19，7.618 98，9.047 53)T
3. 提示：系数矩阵是严格对角占优矩阵。
4. 线性方程组的系数矩阵的各阶顺序主子式均不为0。
5. (C)
第2章函数插值与最小二乘拟合
一、重点内容
1. 函数插值
已知函数f(x)的n个函数值y k＝f(x k)，k＝0，1，2，…，n。构造一个多项式P(x)，使得P(x k)＝y k。P(x)就是插值多项式，f(x)就是被插函数，x k就是插值节点。误差R(x)＝f(x)－P(x)。
2. 拉格朗日多项式
称n次多项式P n (x)＝y0l0＋y1l1＋…＋y n l n＝为拉格朗日插值多项式，其中基函数
(i＝0，1，2，…，n)
当n＝1时，线性插值P1(x)＝y k l k(x)＋y k+1l k+1(x)
其中基函数。
当n＝2时，得到二次多项式，就是二次插值。
拉格朗日插值多项式的余项为:,其中ξ∈(a，b)
注意：过n＋1个互异点，所得的多项式应该是次数不超过n的多项式。
3. 均差与牛顿插值多项式
函数值与自变量的差商就是均差，
一阶均差(或记作f[x0，x1])；
二阶均差(或记作f[x0，x1，x2])
均差有两条常用性质：(1)均差用函数值的线性组合表示；(2)均差与插值节点顺序无关。
用均差为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式
N n(x)＝f(x0)＋f[x0，x1](x－x0)＋f[x0，x1，x2](x－x0)(x－x1)＋
…＋f[x0，x1，x2，…，x n](x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－x n-1)
牛顿插值多项式的余项为：R n(x)＝f(x)－N n(x)
＝f[x，x0，x1，x2，…，x n](x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－x n－1)(x－x n)
4. 分段线性插值
已知n＋1个互异节点x0，x1，…，x n构造一个分段一次的多项式P(x)，且满足：(1)P(x)在[a，b]上连续；(2) P(x k)＝y k (k＝0，1，2，…，n)；(3)P(x)在[x k，x k+1]上是线性函数。
分段线性插值函数
其中l k(x)(k＝0，1，2，…，n)是分段线性插值基函数。
(i＝1，2，…，n－1)
5. 三次样条插值函数
(k＝0，1，2，…，n－1) (x k≤x≤x k＋1)
其中S"(x k)＝m k (k＝0，1，2，…，n)，h k＝x k+1－x k (k＝0，1，2，…，n－1)，m0，m1，…，m n满足的方程组是
(*)
其中：，
(k＝1，2，…，n－1)
(1) 当已知S'(x0)＝y'0，S'(x n)＝y'n时，(*)式中μ0＝1，λn＝1，
(2) 当已知S"(x0)＝y"0＝m0，S"(x n)＝y"n＝m n时，(*)式化为
6. 最小二乘法
用?(x)拟合数据(x k ，y k) (k＝1，2，…，n)，使得误差的平方和
为最小，求?(x)的方法，称为最小二乘法。
(1) 直线拟合若，a0，a1满足法方程组
满足法方程组
(2) 二次多项式拟合若，a0，a1，a2
二、实例
例1 已知函数y＝f(x)的观察数据为
x k －2045
y k 51－31
试构造拉格朗日多项式P n(x)，并计算P(－1)。
[只给4对数据，求得的多项式不超过3次]
解先构造基函数
所求三次多项式为
P3(x)=
＝
P3(－1)＝
例2已知函数y＝f(x)的数据如表中第1，2列。计算它的各阶均差。
解依据均差计算公式，结果列表中。
k x k f(x k)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差
00.400.410 75
10.550.578 15 1.116 00
20.650.696 75 1.168 000.280 00
30.800.888 11 1.275 730.358 930.197 33
40.90 1.201 52 1.384 100.433 480.213 000.031 34
计算公式为
一阶均差(k＝0，1，2，3)
二阶均差(k＝0，1，2)
三阶均差(k＝0，1)
四阶均差
例3设x0，x1，x2，…，x n是n＋1个互异的插值节点，l k(x) (k＝0，1，2，…，n)是拉格朗日插值基函数，证明：
(1) ；(2) (m＝0，1，2，…，n)
证明(1) P n(x)＝y0l0＋y1l1＋…＋y n l n＝
∴
当f(x)≡1时，
1＝
由于，故有
(2) 对于f(x)＝x m，m＝0，1，2，…，n，对固定x m (0≤m≤n)，作拉格朗日插值多项式，有
当n＞m－1时，f(n+1) (x)＝0，R n(x)＝0，所以
注意：对于次数不超过n的多项式，
利用上结果，有
=
=
可见，Q n(x)的拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n的多项式在n＋1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。
例4已知函数e－x的下列数据，用分段线性插值法求x＝0.2的近似值。
x 0.100.150.250.30
e－x0.904 8370.860 7080.778 8010.740 818
解用分段线性插值，先求基函数。
所求分段线性插值函数为
所以，e－0.2＝P(0.2)＝－0.819 07×0.2＋0.983 569＝0.819 755
例5 已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。
解计算列入表中。
k x k y k x k y k
11414
22 4.549
336918
4481632
558.52542.5
153155105.5
n＝5。a0，a1满足的法方程组是
解得a0＝2.45，a1＝1.25。所求拟合直线方程为y＝2.45＋1.25x
例6 选择填空题
1. 设y＝f(x)，只要x0，x1，x2是互不相同的3个值，那么满足P(x k)＝y k(k＝0，1，2)的f(x)的插值
多项式P(x)是(就唯一性回答问题)
答案：唯一的
解答：因为过3个互异节点，插值多项式是不超过2次的。设P(x)＝a2x2＋a1x＋a0，其中a2，a1，a0是待定数。P(x k)＝y k，即
这是关于a2，a1，a0的线性方程组，它的解唯一，因为系数行列式
所以，不超过2次的多项式是唯一的。
2. 通过四个互异节点的插值多项式P(x)，只要满足( ), 则P(x)是不超过一次多项式。
(A) 初始值y0＝0 (B) 一阶均差为0
(C) 二阶均差为0 (D)三阶均差为0
答案：(C)
解答：因为二阶均差为0，那么牛顿插值多项式为N(x)＝f(x0)＋f[x0，x1](x－x0)
它是不超过一次的多项式。
3. 拉格朗日插值多项式的余项是( )，牛顿插值多项式的余项是( )
(A)
(B) f[x，x0，x1，x2，…，x n](x－x1)(x－x2)…(x－x n－1)(x－x n)
(C)
(D) f[x，x0，x1，x2，…，x n](x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－x n－1)(x－x n)
答案：(A)，(D)。见教材有关公式。
4. 数据拟合的直线方程为y＝a0＋a 1x，如果记
那么系数a0，a1满足的方程组是( )
(A) (B)
(C)
(D)
答案：(B)
解答：因为法方程组为
由第1个方程得到，将其代入第2个方程得到
整理得
故(B)正确。
三、练习题
1. 已知函数y＝f(x)，过点(2，5)，(5，9)，那么f(x)的线性插值多项式的基函数为。
2. 过6个插值节点的拉格朗日插值多项式的基函数l4(x)＝。
3. 已知多项式P(x)，过点(0，0)，(2，8)，(4，64)，(11，1331)，(15，3375)，它的3阶均差为常数1，一阶，二阶均差均不为0，那么P(x)是( )
(A)二次多项式(B)不超过二次的多项式(C) 三次多项式(D) 四次多项式
4. 已知y＝f(x)的均差，，，
。那么f[x4，x2，x0]＝( )
(A) 5 (B) 9 (C)14 (D) 8
5. 求数据拟合的直线方程y＝a0＋a1x的系数a0，a1是使最小。
6. 求过这三个点(0，1)，(1，2)，(2，3)的拉格朗日插值多项式。
7. 构造例2的函数f(x)的牛顿插值多项式，并求f(0.596)的近似值。
8. 设l0(x)是以n＋1个互异点x0，x1，x2，…，x n为节点的格朗日插值基函数
试证明：
9. 已知插值条件如表所示，试求三次样条插值函数。
x 123
y 2412
y 1－1
数值分析期末复习 题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明 第一章 误差与有效数字 一、有效数字 1、 定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说 x*有n 位有效数字。 2、 两点理解： （1） 四舍五入的一定是有效数字 （2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. 3、 定理1（P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差限为 4、 考点： （1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题3） 二、避免误差危害原则 1、 原则： （1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：x1*x2= c / a ） （2） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. 或 （3） 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14 *(1)1 1 102n r a ε--≤ ?; x εx ε x εx ++=-+();1ln ln ln ???? ? ?+=-+x εx εx x cos 1-2sin 22x =
三、数值运算的误差估计 1、 公式： （1） 一元函数：|ε*( f (x *))| ≈ | f ’(x *)|·|ε*(x )|或其变形公式求相对误差（两边同时除以f (x *)） eg.P19习题1、2、5 （2） 多元函数（P8）eg. P8例4，P19习题4 第二章 插值法 一、 插值条件 1、 定义：在区间[a,b]上，给定n+1个点，a ≤x 0＜x 1＜…＜x n ≤b 的函数值 yi=f(xi)，求次数不超过n 的多项式P(x)，使 2、 定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n 的P(x)存在且唯一 n i y x P i i n ,,2,1,0)(Λ==
北京大学2014--2015学年第一学期 研究生期末考试试题A (闭卷考试) 课程名称：数值分析 注：计算题取小数点后四位 一、填空题(每空3分，共24分) (1) 设1 2A ?-=-?? ，则A 的奇异值为 。 (2) 设0.00013753x =为真值0.00013759T x =的近似值，则x 有 位有效数字。 (3) 设数据123,,x x x 的绝对误差为0.002，那么123x x x -+的绝对误差约为 ____ _。 (4) )x (l ,),x (l ),x (l n 10是以01,, ,,(2)n x x x n ≥为节点的拉格朗日插值基函数， 则 20 (2)()n k k k x l x =+=∑ 。 (5) 插值型求积公式 2 2 =≈∑? ()()n k k k x f x dx A f x 的求积系数之和0 n k k A ==∑ 。 其中2x 为权函数，1≥n 。 （6）已知(3,4),(0,1)T T x y ==，求Householder 阵H 使Hx ky =，其中k R ∈。 H= 。 (7) 数值求积公式 1 1 2()((0)3f x dx f f f -?? ≈ ++???? ? 的代数精度为___。 (8) 下面Matlab 程序所求解的数学问题是 。 （输入向量x , 输出S ） x =input('输入x ：x ='); n=length(x ); S=x (1); for i=2:n if x (i)数值分析实验报告1
实验一误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 其中ε（1.1）和（1.221,,,a a 的输出b ”和“poly ε。 （1（2 （3）写成展 关于α solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验过程： 程序： a=poly(1:20); rr=roots(a); forn=2:21 n form=1:9 ess=10^(-6-m);
ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数：（思考题一）a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) n
很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动，对其多项式的根会有一定的扰动的，所以对于这类病态问题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。 学号：06450210 姓名：万轩 实验二插值法
第一章绪论 误差的基本概念：了解误差的来源，理解绝对误差、相对误差和有效数的概念，熟练掌握数据误差对函数值影响的估计式。 机器数系：了解数的浮点表示法和机器数系的运算规则。 数值稳定性：理解算法数值稳定性的概念，掌握分析简单算例数值稳定性的方法，了解病态问题的定义，学习使用秦九韶算法。 第二章非线性方程解法 简单迭代法：熟练掌握迭代格式、几何表示以及收敛定理的内容，理解迭代格式收敛的定义、局部收敛的定义和局部收敛定理的内容。 牛顿迭代法：熟练掌握Newton迭代格式及其应用，掌握局部收敛性的证明和大范围收敛定理的内容，了解Newton法的变形和重根的处理方法。 第三章线性方程组数值解法 （1）Guass消去法：会应用高斯消去法和列主元Guass消去法求解线性方程组，掌握求解三对角方程组的追赶法。 （2）方程组的性态及条件数：理解向量范数和矩阵范数的定义、性质，会计算三种常用范数，掌握谱半径与2- 范数的关系，会计算条件数，掌握实用误差分析法。 （3）迭代法：熟练掌握Jacobi迭代法、Guass-Seidel迭代法及SOR方法，能够判断迭代格式的收敛性。 （4）幂法：掌握求矩阵按模最大和按模最小特征值的幂法。 第四章插值与逼近 （1）Lagrange插值：熟练掌握插值条件、Lagrange插值多项式的表达形式和插值余项。（2）Newton插值：理解差商的定义、性质，会应用差商表计算差商，熟练掌握Newton插值多项式的表达形式，了解Newton型插值余项的表达式。 （3）Hermite插值：掌握Newton型Hermite插值多项式的求法。 （4）高次插值的缺点和分段低次插值：了解高次插值的缺点和Runge现象，掌握分段线性插值的表达形式及误差分析过程。 （5）三次样条插值：理解三次样条插值的求解思路，会计算第一、二类边界条件下的三次样条插值函数，了解收敛定理的内容。 （6）最佳一致逼近：掌握赋范线性空间的定义和连续函数的范数，理解最佳一致逼近多项式的概念和特征定理，掌握最佳一致逼近多项式的求法。 （7）最佳平方逼近：理解内积空间的概念，掌握求离散数据的最佳平方逼近的方法，会求超定方程组的最小二乘解，掌握连续函数的最佳平方逼近的求法。
数值分析典型习题
特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ数值计算实验报告
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 2012级6班###(学号)计算机数值方法 实验报告成绩册 姓名:宋元台 学号： 成绩：
数值计算方法与算法实验报告 学期： 2014 至 2015 第 1 学期 2014年 12月1日课程名称: 数值计算方法与算法专业:信息与计算科学班级 12级5班 实验编号： 1实验项目Neton插值多项式指导教师：孙峪怀 姓名：宋元台学号：实验成绩： 一、实验目的及要求 实验目的： 掌握Newton插值多项式的算法，理解Newton插值多项式构造过程中基函数的继承特点，掌握差商表的计算特点。 实验要求： 1. 给出Newton插值算法 2. 用C语言实现算法 二、实验内容 三、实验步骤(该部分不够填写.请填写附页)
1.算法分析： 下面用伪码描述Newton插值多项式的算法： Step1 输入插值节点数n，插值点序列{x(i),f(i)},i=1,2,……,n,要计算的插值点x. Step2 形成差商表 for i=0 to n for j=n to i f(j)=((f(j)-f(j-1)(x(j)-x(j-1-i)); Step3 置初始值temp=1,newton=f(0) Step4 for i=1 to n temp=(x-x(i-1))*temp*由temp(k)=(x-x(k-1))*temp(k-1)形成 (x-x(0).....(x-x(i-1)* Newton=newton+temp*f(i); Step5 输出f（x）的近似数值newton(x)=newton. 2.用C语言实现算法的程序代码 #include
数值分析期末复习资料
数值分析期末复习 题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明 第一章 误差与有效数字 一、 有效数字 1、 定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说 x*有n 位有效数字。 2、 两点理解： （1） 四舍五入的一定是有效数字 （2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. 3、 定理1（P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差限为 4、 考点： （1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题3） 二、 避免误差危害原则 1、 原则： （1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：x1*x2= c / a ） （2） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. 或 （3） 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14 三、 数值运算的误差估计 1、 公式： （1） 一元函数：|ε*( f (x *))| ≈ | f ’(x *)|·|ε*(x )|或其变形公式求相对误差（两边同时 除以f (x *)） eg.P19习题1、2、5 （2） 多元函数（P8）eg. P8例4，P19习题4 *(1) 11 102n r a ε--≤?;x εx εx εx ++=-+();1ln ln ln ??? ? ??+=-+x εx εx x cos 1-2sin 22x =
第二章 插值法 一、 插值条件 1、 定义：在区间[a,b]上，给定n+1个点，a ≤x 0＜x 1＜…＜x n ≤b 的函数值 yi=f(xi)，求次数不超过n 的多项式P(x)，使 2、 定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n 的P(x)存在且唯一 二、 拉格朗日插值及其余项 1、 n 次插值基函数表达式（P26（2.8）） 2、 插值多项式表达式（P26（2.9）） 3、 插值余项（P26（2.12））：用于误差估计 4、 插值基函数性质（P27（2.17及2.18））eg.P28例1 三、 差商（均差）及牛顿插值多项式 1、 差商性质（P30）： （1） 可表示为函数值的线性组合 （2） 差商的对称性：差商与节点的排列次序无关 （3） 均差与导数的关系（P31（3.5）） 2、 均差表计算及牛顿插值多项式 四、埃尔米特插值（书P36） 两种解法： （1） 用定义做：设P 3(x)=ax 3+bx 2+cx+d ，将已知条件代入求解（4个条件：节点函数值、导数值相 等各2个） （2） 牛顿法（借助差商）：重节点eg.P49习题14 五、三次样条插值定义 n i y x P i i n ,,2,1,0)( ==
实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。
Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式 产生逼近解x*的迭代数列{x k}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x); y=-x*x-sin(x); 写成如上形式即可，下面给出主程序。 二分法源程序： clear %%%给定求解区间 b=1.5; a=0;
%%%误差 R=1; k=0;%迭代次数初值 while (R>5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12(c)>0; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差 k=k+1; end x=c%给出解 Newton法及改进的Newton法源程序：clear %%%% 输入函数 f=input('请输入需要求解函数>>','s') %%%求解f(x)的导数 df=diff(f);
华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷C （2015年1月9日） 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请按要求填写在本试卷上； 课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生； 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。 一、（12分）解答下列问题： 1）设近似值0x >，x 的相对误差为δ，试证明ln x 的绝对误差近似为δ。 2）利用秦九韶算法求多项式 542()681p x x x x x =-+-+ 在3x =时的值（须写出计算形式），并统计乘法次数。 （12分）解答下列问题： 1）设()235f x x =+，求[]0,1,2f 和[]0,1,2,3f 。 2）利用插值方法推导出恒等式： 33220,0[]j j i i x j i x i j =≠=-=-∑∏ 。
（1）设{}∞ =0)(k k x q 是区间[]1,0上带权1=ρ而最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，求1()q x 和2()q x 。 （2）求形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合： 四、（14分）对积分()10I f x dx = ?，试 （1）构造一个以012113,,424 x x x ===为节点的插值型求积公式； （2）指出所构造公式的代数精度； （3）用所得数值求积公式计算积分1 203x dx ?的精确值； （4）指出所得公式与一般的Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。
（1）设?? ????=4321A ,计算1A 、()Cond A ∞和()A ρ。 （2）用列主元Gauss 消去法解方程组： 12312315410030.112x x x ????????????=????????????-?????? 六、（13分）对2阶线性方程组 11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? （11220a a ≠ ） （1）证明求解此方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散； （2）当同时收敛时，试比较它们的收敛速度。
用N-C积分公式计算sin(x)在区间[0,∏]上的积分值。 #include"stdio.h" #include"math.h" void main() { int n,k; double sum=0.0,a=0.0,b=3.2415926; double Cotes[8][9]={{0.5,0.5},{1.0/6,4.0/6,1.0/6},{1.0/8,3.0/8,3.0/8,1.0/8}, {7.0/90,32.0/90,12.0/90,32.0/90,7.0/90},{19.0/288,75.0/288,50.0/288,50.0/288,75.0/288, 19.0/288}, {41.0/840,216.0/840,27.0/840,272.0/840,27.0/840,216.0/840,41.0/840}, {751.0/17280,3577.0/17280,1323.0/17280,2989.0/17280,2989.0/17280,1323.0/17280,35 77.0/17280,751.0/17280}, {989.0/28350,5888.0/28350,-928.0/28350,10496.0/28350,-4540.0/28350,10496.0/28350, -928.0/28350,5888.0/28350,989.0/28350}}; //printf("请输入积分区间a和b："); //scanf("%lf,%lf",&a,&b); printf("请输入积分节点n(1<=n<=8):"); scanf("%d",&n); printf("\n"); for(k=0;k<=n;k++) sum+=Cotes[n-1][k]*(sin(a+k*(b-a)/n)); sum=sum*(b-a); printf("%lf\n",sum); printf("误差值为：%lf\n",2.0-sum); }
实验一、误差分析 一、实验目的 1．通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言及上机操作指令； 2．通过上机计算，了解误差、绝对误差、误差界、相对误差界的有关概念； 3．通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性。 二．实验原理 误差问题是数值分析的基础，又是数值分析中一个困难的课题。在实际计算中，如果选用了不同的算法，由于舍入误差的影响，将会得到截然不同的结果。因此，选取算法时注重分析舍入误差的影响，在实际计算中是十分重要的。同时，由于在数值求解过程中用有限的过程代替无限的过程会产生截断误差，因此算法的好坏会影响到数值结果的精度。 三．实验内容 对20,,2,1,0 =n ，计算定积分 ?+=10 5dx x x y n n . 算法1：利用递推公式 151--=n n y n y , 20,,2,1 =n , 取 ?≈-=+=1 00182322.05ln 6ln 51dx x y . 算法2：利用递推公式 n n y n y 51511-= - 1,,19,20 =n . 注意到 ???=≤+≤=10 10202010201051515611261dx x dx x x dx x , 取 008730.0)12611051(20120≈+≈y .: 四.实验程序及运行结果 程序一： t=log(6)-log(5);
n=1; y(1)=t; for k=2:1:20 y(k)=1/k-5*y(k-1); n=n+1; end y y =0.0884 y =0.0581 y =0.0431 y =0.0346 y =0.0271 y =0.0313 y =-0.0134 y =0.1920 y =-0.8487 y =4.3436 y =-21.6268 y =108.2176 y =-541.0110 y =2.7051e+003 y =-1.3526e+004 y =6.7628e+004 y =-3.3814e+005 y =1.6907e+006 y =-8.4535e+006 y =4.2267e+007 程序2： y=zeros(20,1); n=1; y1=(1/105+1/126)/2;y(20)=y1; for k=20:-1:2 y(k-1)=1/(5*k)-(1/5)*y(k); n=n+1; end 运行结果：y = 0.0884 0.0580 0.0431 0.0343 0.0285 0.0212 0.0188 0.0169
序言 数值分析是计算数学的范畴，有时也称它为计算数学、计算方法、数值方法等，其研究对象是各种数学问题的数值方法的设计、分析及其有关的数学理论和具体实现的一门学科，它是一个数学分支。是科学与工程计算（科学计算）的理论支持。许多科学与工程实际问题（核武器的研制、导弹的发射、气象预报）的解决都离不开科学计算。目前，试验、理论、计算已成为人类进行科学活动的三大方法。 数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。现在面向数值分析问题的计算机软件有：C,C++,MATLAB,Python,Fortran等。 MATLAB是matrix laboratory的英文缩写，它是由美国Mathwork公司于1967年推出的适合用于不同规格计算机和各种操纵系统的数学软件包，现已发展成为一种功能强大的计算机语言，特别适合用于科学和工程计算。目前，MATLAB应用非常广泛，主要用于算法开发、数据可视化、数值计算和数据分析等，除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。 本实验报告使用了MATLAB软件。对不动点迭代，函数逼近（lagrange插值，三次样条插值，最小二乘拟合），追赶法求解矩阵的解，4RungeKutta方法求解，欧拉法及改进欧拉法等算法做了简单的计算模拟实践。并比较了各种算法的优劣性，得到了对数值分析这们学科良好的理解，对以后的科研数值分析能力有了极大的提高。
目录 序言 (1) 问题一非线性方程数值解法 (3) 1.1 计算题目 (3) 1.2 迭代法分析 (3) 1.3计算结果分析及结论 (4) 问题二追赶法解三对角矩阵 (5) 2.1 问题 (5) 2.2 问题分析（追赶法） (6) 2.3 计算结果 (7) 问题三函数拟合 (7) 3.1 计算题目 (7) 3.2 题目分析 (7) 3.3 结果比较 (12) 问题四欧拉法解微分方程 (14) 4.1 计算题目 (14) 4.2.1 方程的准确解 (14) 4.2.2 Euler方法求解 (14) 4.2.3改进欧拉方法 (16) 问题五四阶龙格-库塔计算常微分方程初值问题 (17) 5.1 计算题目 (17) 5.2 四阶龙格-库塔方法分析 (18) 5.3 程序流程图 (18) 5.4 标准四阶Runge-Kutta法Matlab实现 (19) 5.5 计算结果及比较 (20) 问题六舍入误差观察 (22) 6.1 计算题目 (22) 6.2 计算结果 (22) 6.3 结论 (23) 7 总结 (24) 附录
机电工程学院 机械工程 陈星星 6720150109 《数值分析》课程设计实验报告 实验一 函数插值方法 一、问题提出 对于给定的一元函数)(x f y =的n+1个节点值(),0,1,,j j y f x j n ==。试用Lagrange 公式求其插值多项式或分段二次Lagrange 插值多项式。 数据如下： （1 求五次Lagrange 多项式5L ()x ，计算(0.596)f ,(0.99)f 的值。（提示：结果为(0.596)0.625732f ≈, (0.99) 1.05423f ≈） 实验步骤： 第一步：先在matlab 中定义lagran 的M 文件为拉格朗日函数 代码为： function[c,l]=lagran(x,y) w=length(x); n=w-1; l=zeros(w,w); for k=1:n+1 v=1; for j=1:n+1 if(k~=j) v=conv(v,poly(x(j)))/(x(k)-x(j)); end end l(k,:)=v; end c=y*l; end
第二步：然后在matlab命令窗口输入： >>>> x=[0.4 0.55 0.65 0.80,0.95 1.05];y=[0.41075 0.57815 0.69675 0.90 1.00 1.25382]; >>p = lagran(x,y) 回车得到： P = 121.6264 -422.7503 572.5667 -377.2549 121.9718 -15.0845 由此得出所求拉格朗日多项式为 p（x）=121.6264x5-422.7503x4+572.5667x3-377.2549x2+121.9718x-15.0845 第三步：在编辑窗口输入如下命令： >> x=[0.4 0.55 0.65 0.80,0.95 1.05]; >> y=121.6264*x.^5-422.7503*x.^4+572.5667*x.^3-377.2549*x.^2+121.9718 *x-15.0845; >> plot(x,y) 命令执行后得到如下图所示图形，然后 >> x=0.596; >> y=121.6264*x.^5-422.7503*x.^4+572.5667*x.^3-377.2549*x.^2+121.9718 *x-15.084 y =0.6257 得到f（0.596）=0.6257 同理得到f（0.99）=1.0542
第1章 绪论 数值计算方法是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程，其特点如下: 第一，面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法，即算法只能包括加、减、 乘、除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的。 第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳 定性，还要对误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。 第三，要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量， 这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。 第四，要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验 证明是行之有效的。 1.1 误差的基本概念 除了极个别的情况外，数值计算总是近似计算，实际计算结果与理论结果之间存在着误差。 数值分析的任务之一是将误差控制在一定的容许范围内或者至少对误差有所估计。 一、误差的来源 1、模型误差 用计算机解决科学计算问题首先要建立数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽象，简化而得到的，因而是近似的，数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差。这种误差可忽略不计，在数值计算方法中不予讨论。 2、观测误差 在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度，长度，电压等等，测量的结果不可能绝对正确，由此产生的误差称为观测误差。观测误差在数值计算方法中也不予讨论。 3、截断误差（方法误差） 在数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差。 4、舍入误差 在计算过程中，由于计算机的字长有限，采用计算机数系中和实际数据比较接近的数来表示，由此产生的误差以及计算过程又可能产生新的误差，这些误差称为舍入误差。。 二、绝对误差和相对误差 1、绝对误差秘绝对误差限 设数x (精确值)有一个近似值为* x ，记 *)(x x x e -= 称e(x)为近似值* x 的绝对误差，简称误差。 当e(x)为正时，近似值* x 偏大，叫做强近似值 ；当它为负时，近似值* x 偏小，叫作弱近似值。 准确值x 一般是未知的，因而绝对误差 )(*x e 也是未知的，但往往可以估计出绝对误差的一个上界，即可以找出一个正数η， 使 η ≤*)(x e 称η为* x 的绝对误差限(或误差限)。 显然，误差限η总是正数，且η≤-||* x x ，在应用上常常采用如下写法： η±=*x x 例：用毫米刻度的米尺测量一长度x 时，如果该长度接近某一刻度* x ，则* x 作为x 的 近似值时 21 )(≤ -=**x x x e (毫米)=0.5(毫米)
西北工业大学数值分析习题集 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设 028,Y =按递推公式 1n n Y Y -= ( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 211N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =-
第1章数值分析中的误差 一、重点内容 误差设精确值 x* 的近似值x，差e＝x－x* 称为近似值x 的误差(绝对误差)。 误差限近似值 x 的误差限是误差 e 的一个上界，即 |e|＝|x－x*|≤ε。 相对误差er是误差e 与精确值x* 的比值，。常用计算。 相对误差限是相对误差的最大限度，，常用计算相对误差限。 绝对误差的运算： ε(x1±x2)＝ε(x1)＋ε(x2) ε(x1x2)≈|x1|ε(x2)＋|x2|ε(x1) 有效数字如果近似值 x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位。从这一位起到前面第一个非 0 数字为止的所有数字称为x 的有效数字。 关于有效数字： (1) 设精确值 x* 的近似值x， x＝±0.a1a2…an×10m a1，a2，…，an是 0～9 之中的自然数，且a1≠0， |x－x*|≤ε＝0.5×10m－l，1≤l≤n 则x 有l位有效数字. (2) 设近似值x＝±0.a1a2…an×10m有n 位有效数字，则其相对误差 限 (3) 设近似值x＝±0.a1a2…an×10m的相对误差限不大 于 则它至少有n 位有效数字。
(4) 要求精确到10－3，取该数的近似值应保留 4 位小数。 一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对误差e ＝0.0926 的数x＝20.7426 只有三位准确数字 2，0，7。 一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为 10% 的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为 1% 的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为 0.1% 的量级。 二、实例 例1 设 x*＝＝3.1415926… 近似值x＝3.14＝0.314×101，即m＝1，它的误差是0.001526…，有 |x－x*|＝0.001526…≤0.5×101－3 即l＝3，故x＝3.14 有 3 位有效数字。x＝3.14 准确到小数点后第 2 位。 又近似值x＝3.1416，它的误差是0.0000074…，有 |x－x*|＝0.0000074…≤0.5×101－5 即m＝1，l＝5，x＝3.1416 有 5 位有效数字。 而近似值x＝3.1415，它的误差是0.0000926…，有 |x－x*|＝0.0000926…≤0.5×101－4 即m＝1，l＝4，x＝3.1415 有 4 位有效数字。 这就是说某数有 s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有 s 位有效数字；若末位数字不是四舍五入得到的，那么该数有 s 位或 s－1 位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00 解因为x1＝2.000 4＝0.200 04×101，它的误差限 0.000 05＝0.5×10 1―5，即m＝1，l＝5，故x1＝2.000 4 有 5 位有效数字。相对误差限 。 x2＝－0.002 00，误差限 0.000 005，因为 m＝－2，l＝3，x2＝－0.002 00 有 3 位有效数字。相对误差限r＝0.000 005/0.002 00＝0.25%。 x3＝9 000，绝对误差限为 0.5，因为m＝4，l＝4，x3＝9 000 有 4 位有效数字，相对误差限r＝0.5/9 000＝0.005 6%。 x4＝9 000.00，绝对误差限 0.005，因为m＝4，l＝6，x4＝9 000.00 有 6 位有效数字，相对误差限为r＝0.005/9 000.00＝0.000 056%。 由x3 与x4 可以看到小数点之后的 0，不是可有可无的，它是有实际意义的。 例3 ln2＝0.69314718…，精确到 10－3 的近似值是多少？
实验五 解线性方程组的直接方法 实验5.1 （主元的选取与算法的稳定性） 问题提出：Gauss 消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保Gauss 消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss 消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。主元的选择从数学理论上看起来平凡，它却是数值分析中十分典型的问题。 实验内容：考虑线性方程组 编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的Gauss 消去过程。 实验要求： （1）取矩阵?? ? ?? ?? ?????????=????????????????=1415157,6816816816 b A ，则方程有解T x )1,,1,1(* =。取n=10计算矩阵的 条件数。让程序自动选取主元，结果如何？ （2）现选择程序中手动选取主元的功能。每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元，观察并记录计算结果。若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。 （3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。 （4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成矩阵，计算其条件数。重复上述实验，观察记录并分析实验结果。 思考题一：（Vadermonde 矩阵）设 ?? ??????????????????????=? ? ? ?????????????=∑∑∑∑====n i i n n i i n i i n i i n n n n n n n x x x x b x x x x x x x x x x x x A 0020 10022222121102001111 ，， 其中，n k k x k ,,1,0,1.01 =+=， （1）对n=2,5,8，计算A 的条件数；随n 增大，矩阵性态如何变化？ （2）对n=5，解方程组Ax=b ；设A 的最后一个元素有扰动10-4，再求解Ax=b （3）计算（2）扰动相对误差与解的相对偏差，分析它们与条件数的关系。 （4）你能由此解释为什么不用插值函数存在定理直接求插值函数而要用拉格朗日或牛顿插值法的原因吗？ 相关MATLAB 函数提示： zeros(m,n) 生成m 行，n 列的零矩阵 ones(m,n) 生成m 行，n 列的元素全为1的矩阵 eye(n) 生成n 阶单位矩阵 rand(m,n) 生成m 行,n 列(0,1)上均匀分布的随机矩阵 diag(x) 返回由向量x 的元素构成的对角矩阵 tril(A) 提取矩阵A 的下三角部分生成下三角矩阵
数值分析讲义 第三章线性方程组的解法 §3.0 引言 §3.1 雅可比(Jacobi)迭代法 §3.2 高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法 §3.3 超松驰迭代法§3.7 三角分解法 §3.4 迭代法的收敛性§3.8 追赶法 §3.5 高斯消去法§3.9 其它应用 §3.6 高斯主元素消去法§3.10 误差分析 §3 作业讲评3 §3.11 总结
§3.0 引言 重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和科学计算中具有特殊的地位和作用.如弹性力学、电路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商业经济中的各种问题. 分类：线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法. (a) 直接法：对于给定的方程组，在没有舍入误差的假设下，能在预定的运算次数内求得精确解.最基本的直接法是Gauss消去法，重要的直接法全都受到Gauss消去法的启发.计算代价高. (b) 迭代法：基于一定的递推格式，产生逼近方程组精确解的近似序列.收敛性是其为迭代法的前提，此外，存在收敛速度与误差估计问题.简单实用,诱人.
§3.1 雅可比Jacobi 迭代法 (AX =b ) 1 基本思想: 与解f (x )=0 的不动点迭代相类似,将AX =b 改写为X =BX +f 的形式,建立雅可比方法的迭代格式：X k +1=BX (k )+f ,其中，B 称为迭代矩阵.其计算精度可控,特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparse matrices)的方程组. 2 问题: (a) 如何建立迭代格式？ (b) 向量序列{X k }是否收敛以及收敛条件? 3 例题分析: 考虑解方程组??? ??=+--=-+-=--2.453.82102 .72103 21321321x x x x x x x x x (1) 其准确解为X *={1, 1.2, 1.3}. 建立与式(1)相等价的形式： ??? ??++=++=++=84.02.01.083.02.01.072 .02.01.02 13312321x x x x x x x x x (2) 据此建立迭代公式： ?????++=++=++=+++84 .02.01.083.02.01.072.02.01.0)(2)(1)1(3 )(3 )(1)1(23)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (3) 取迭代初值0) 0(3 )0(2)0(1===x x x ,迭代结果如下表. JocabiMethodP31.cpp