221340;x kt
x y xy y y k t
=+?+--=?
=+?与二次曲线交于一点{}{}()()
00,,1,,1,v X Y k x y k ===第五章 二次曲线的一般理论
§5.1 二次曲线与直线的相关位置
1.求直线x-y-1=0与二次曲线222210x xy y x y -----=的交点. 解: 将y=x-1代入曲线方程,得
()()()2
22112110,00
x x x x x x --------==即
故直线在二次曲线上.
2.试决定k 的值,使得
(1) 直线50x y -+=与二次曲线230x x y k -++=交于两不同实点;
(2) 直线
(3) 直线10x ky --=与二次曲线22(1)10y xy k y ----=交于两个相互重合的实点;
(4) 已知直线11x t
y t =+??=-? 与二次曲线222420x xy ky x y ++--=有两个共轭虚点，求k
的值
解: (1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得
()
()22
250
2450
4160
4,x x k k k k -++>--+>-->∴<-时直线与二次曲线有两个不同的实交点.
(2). 二次曲线的矩阵为1
2
231/201/20
----
且 .
()()1,,1120,k X Y k k φφ===-≠时，()()5,,,1120,
k X Y k k φφ===-≠时1,5k ∴=当()()()2
210,11210,650,4
k k k k ?=+---=-+=即
即{}{}()()00,,1,,1,0,
v X Y k x y ==121,5,
k k ==()2
2
21
1
,2011
01
1
X Y X XY Y X Y I φ=++==-==时，：：，同时，
()()()()()21211002002100200430,1,3,
11).1,,10,213
2).3,,,150,
2
1,3,k k k k k F x y X F x y Y k F x y X F x y Y k φ=-+====+=-+
≠=+=-+≠∴=k,1则当时当时时原直线与二次曲线交于一个实点. (3). 二次曲线的矩阵为1
1
1
1(1)/20(1)/21
k k ----- 且
令
解之，得 1） 当 2） 当 时，直线与二次曲线有二重合实交点.
(4). 二次曲线的系数矩阵为
2
21/2
211/21
k ----且:1:(1)X Y =-
取00(,)(1,1),0,x y =<令即27
[(1)(1)](2)(3)02
k k k ++---+<
解得 49
24
k >
，且此时1(1,1)24(1)2024k k Φ-=+-+=->≠， 49
24
k ∴>
时, 直线与二次曲线有两个共轭虚交点。 §5.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线
1. 求下列二次曲线的渐进方向,并指出曲线是属于何种类型的.
()()()22221230;
23426250;324230.x xy y x y x xy y x y xy x y ++++=++--+=--+=
解:(1) ∴曲线有一个实渐进方向，是抛物型的.
201;0:11:0,1010
X Y I ==
=-或且〈，()(
)(
)()
2222,3420,:2:32:3,
32
20,2
2
X Y X XY Y X Y I φ=++==-±
--=
=>时或且
∴ 曲线有两个共轭的虚渐进方向,是椭圆型的.
(3)
∴曲线有两个渐进方向,是双曲型的.
2. 判断下列二次曲线是中心曲线,无心曲线还是线心曲线.
()()()222222
1224630;2442210;
396620.x xy y x y x xy y x y x xy y x y -+--+=-++--=-+-+=
解：(1)
211
1012
I -=
=≠-，故为中心曲线; ()
13111221222231
2122
41,11
1120,,2
4A a a a
I a a a -????=--????--??
-=
==≠-有且
∴ 曲线为无心曲线;
()
13
11121222239
3333
1
1,3,3
1
0a a a A a a a --??
??=-===-????-??且有
∴曲线为线心曲线. 3. 求下列二次曲线的中心.
()()()()2222222215232360;
22526350;3930258150;444420.x xy y x y x xy y x y x xy y x y x xy y x y -+-+-=++--+=-++-=-++-=
()510
3131,3
2828302x y x y x y --=??
==-?-++=??解由解得
()1,2;
-()3
132
29,932a b b
a
=≠=≠当即时， ∴中心为313(
,)2828
()52302
21,2,532022x y x y x y ?+-=??=-=?
?+-=??由解得
∴中心为 ()
131112122223
34
3,,
1552a a a a a a ==-=-
∴ 曲线没有中心.
()
13
1112122223
42,a a a a a a ===-
∴ 曲线为线心曲线,中心直线方程为2x-y+1=0.
4. 当a,b 满足什么条件时，二次曲线
226340x xy ay x by ++++-=
（1） 有唯一中心；（2） 没有中心； （3） 有一条中心直线。
解：因为133/2
3/23/2/24
A a b b =
-，21
3
93
I a a
=
=-， ∴ （1）当20I ≠即9,a b ≠为任意实数时，曲线有唯一中心；
二次曲线没有中心； （3）当a=b=9时，二次曲线有一条中心直线。
5、试证明如果二次曲线221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=， 有渐近线，则它的两渐近线方程是
22001101200220(,)()2()()()0x x y y a x x a x x y y a y y Φ--≡-+--+-= 式中00(,)x y 为二次曲线的中心。
证：设渐进方向为X:Y,在渐进线上任取一点(,)x y ,则
00x x X
y y Y
-=-.
由2
11122220X X a a a Y Y ????
++= ? ?????，即2
001112220020x x x x a a a y y y y ????--++= ?
?--????
化简，得渐进线方程为：221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=
6． 求下列二次曲线的渐进线。
()()()22222216310;232340;322240.x xy y x y x xy y x y x xy y x y --++-=-++-+=++++-=
解：（1）由
13601322
11550
22x y x y ?-+=????-?
????--+=??解得中心为，，
2
2
113360,
555521030.x x y y x y x y ?
???????+-+---= ? ??? ??
???????-+=+=故渐进线方程为即与
（2）由
()()()()()2
2
31022
53332022
35323,
21020.
x y x y x y y x y x y ?-+=??--?
?-+-=??-++++--=-+=解得中心为，，故得渐进线方程为x+5即与
（3） 原方程变形为2()2()40x y x y +++-=，即为两条平行直线。
其渐进线方程为中心直线：x+y+1=0.
7. 试证二次曲线成为线心曲线的充要条件是230I I ==成为无心曲线的充要条件是230,0I I ==.
证：（1）若二次曲线为线心曲线，则
13111223122223
,0a a a I I a a a ====此时有，
反之，
()()()2,14,2,12,12,
F --=----=-1
即点不在二次曲线上，且F ()()9
2510,910280.
2
x y x y -+-=+-=即()()()()29
2,10,,2,15,2
F F ===1即点2,1在二次曲线上,且F 2,1()222210,02.x xy y x y -----=经过点，()22430,x xy y x y +++++=经过点-2，-1；()22345783021;x xy y x y ++---=在点，()()1222
131112
231112122231222231222
13
23
33
13131312121223132213232322232223
0,,,,0,,,a a a a a I I a a a a I a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλ========--=====1112若则
有a 从而有
或都有a 即曲线为线心曲线。
（2）若曲线为无心曲线，则
()13
111223122223
,0,0a a a I I a a a =≠=≠从而否则由（1）知曲线为线心曲线，
13
111223122223
0,0,,a a a I I a a a =≠=≠反之，若则必有
即曲线为无心曲线。
8、求以点（0，1）为中心，且通过点（2，3），（4，2）与（-1，-3）的二次曲线方程。
解：设所求的二次曲线方程为220ax bxy cy dx ey f +++++=，
因为（0，1）是其中心，点（2，3），（4，2），（-1，-3）在曲线上，它们关于（0，1）的对称点（-2，-1），（-4，0），（1，5）也在曲线上，从而
469230,a b c d e f +++++= 4220,a b c d e f ++--+=1684420,a b c d e f +++++= 1640,-a b f += 930,-3a ab c d e f +--+= 52550,a b c d e f +++++=
由上六式解得 1,1,4,0.b d f a c e ==-=-===， ∴所求方程为40xy x --=.
§5.3 二次曲线的切线
1. 求以下曲线在所给点或经过所给点的切线方程. (1) 曲线 (2) 曲线 (3) 曲线
解 (1) ∴ 所求切线方程为 (2) ()22,10,F --=
()()()()2
2233222290,
2x y x x y y ??
??--------?-=???
???()()3301,1,10,220x F y +=??-=?
?-+=??
x=-1
由解得且y=1()()()123
0,29,0,2,0,23,
2
F F F =-=-=-且∴ 所求切线方程为(
)()()2
2110,1030.
x y y y x y ++++=+=+-=即与
(3)
∴ 所求切线方程为 即0.x =
2. 求以下曲线的切线方程,并求出且点的坐标.
(1) 曲线22435630x xy y x y ++--+=的切线平行于直线40x y +=。
(2) 曲线
223x xy y ++=的切线平行于x 轴.
解：(1) 设切点为00(,)x y ，则切线为：01000200()(,)()(,)0x x F x y y y F x y -+-=， 这切线与直线40x y +=平行，从而100200(,):(,)1:4F x y F x y =，
即00005
4(2)(23)02
x y x y -+-++=，所以002570x y +-= (1)
又因为00(,)x y 在二次曲线上，故有22000000435630x x y y x y ++--+= (2)
由（1）（2）得0011x y =??=?或004
3x y =-??=?。所以曲线的方程是480-x y +=或450-x y +=。
(2) 设切点为00(,)x y ,因为切线的方向数X:Y 为1:0或0:1,
()()0220
000101:02
3,
1212y X Y x x y y ?+=?=??++=?--0
x 当：时，由方程组解得切点为，
或，，
∴ 平行于ox 轴的切线方程为y=2与y=-2.
3． 求下列二次曲线的奇异点。
()()()222221326410;
22210;
322210.x y x y xy y x x xy y x y -+++=+--=-+-++=
解: ∴ 奇异点为（-1，1）.
()()101
2,1,10,01y x F x y y -==-??-=?
?+==??由解得且
∴ 奇异点为(-1,1).
()10
310,10
x y x y x y --=?--=?
-++=?由得且此直线在二次曲线上，
故x-y-1=0上的所有点都是二次曲线的奇异点.
4. 试求经过原点且切直线4x+3y+2=0于点（1,-2），切直线x-y-1=0于点（0，-1）的二次曲线方程.
解 ∵ 二次曲线过原点
∴ 可设其方程为22
11
122213232220a x a xy a y a x a y ++++=, 以其上一点()00,x y 为切点的切线方程为:
()()11012013120220231302300a x a y a x a x a y a y a x a y +++++++=,
故以(1,-2)为切点的切线方程为
()()11121312222313232220a a a x a a a y a a -++-++-=,
以点(0,- 1) 为切点的切线方程为
()()12132223230,a a x a a y a -++-+-=
此两直线方程分别与4x+3y+2=0和x-y-1=0同解，从而有
1112131222231323
1213222323
232211121322;
432,111
1,2,12,2,a a a a a a a a t a a a a a a a a a a -+-+-===-+-+-==--===-==-解得
故所求二次曲线方程为：
22
6320.x xy y x y +-+-= 5、设有共焦点的曲线族22
2
21x y a h b h
+=++这里h 是一个变动的参数，作曲线的平行于已知直线y mx =的切线，求这些切线切点的轨迹方程.
解：过曲线22
2
21x y a h b h
+=++上一点00(,)x y 的切线方程为:00221x x y y a h b h +=++ 按题设有
00
22:x y m a h b h
=++，
从而这些切线的切点的全体符合方程组
22
22
22
1 x y
m
a h
b h
x y
a h
b h
?
=-
??++?
?+=?++
?
消去参数h并整理，得所求轨迹方程为：22222
(1)()0
mx m xy my m a b
+----=.
第五章 二次曲线的一般理论 主要问题：（1）几何性质 （2）化简 （3）分类 5.1 二次曲线与直线的相关位置（x y y x y xy x 240256102222==+--+-与） 一、预备知识 1、在平面上由)1(0222),(33231322212211=+++++=a y a x a y a xy a x a y x F 所表示的曲线，叫做二次曲线（系数都为常数） 2、关于虚点???+==b kx y y x F 0),( ??? ????+-=+-+=+)222,222(2)222,222(12 2i i y x i i y x 平面上建立笛卡尔坐标系后，一对有序常数),(y x 表示平面上一个点，如果y x ,中至少有一个是虚数，我们仍认为),(y x 表示平面上一个点。 （一对共轭虚点的中点是实点） 3、记号 33231322212211222),(a y a x a y a xy a x a y x F +++++= '131211121),(x F a y a x a y x F =++= '232212221 ),(y F a y a x a y x F =++= 3323133),(a y a x a y x F ++= 222122112),(y a xy a x a y x ++=φ 容易验证：),(),(),(),(321y x F y x yF y x xF y x F ++= ??? ? ? ??=3323 13 232212 131211a a a a a a a a a A 二次曲线)(I 的矩阵 ??? ? ??=*22121211 a a a a A ),(y x φ的矩阵 A I a a a a I a a I == +=322 12 1211222111,, 33 2323 22 33131311 1a a a a a a a a k +=
第五章二次曲线的一般理论 § 5.1 二次曲线与直线的相关位置 1. 求直线x-y-1=0与二次曲线2x2 xy y2 x 2y 1 0的交点. 解：将y=x-1代入曲线方程,得 2 2 2x x x 1 x 1 x 2 x 1 1 0, 即0 0 故直线在二次曲线上? 2. 试决定k的值,使得 (1) 直线x y 5 0与二次曲线x23x y k 0交于两不同实点； ⑵直线x 1 kt 与二次曲线x23y24xy y 0交于一点； y k t ⑶直线x ky 1 0与二次曲线y22xy (k 1)y 1 0交于两个相互重合的实点 x 1 t ⑷已知直线与二次曲线2x2 4xy ky2 x 2y 0有两个共轭虚点，求k y 1 t 的值 解：(1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得 2 x 2x k 5 0 2 Q 2 4 k 5 0 4k 16 0 k 4时，直线与二次曲线有两个不同的实交点? 1 2 0 (2).二次曲线的矩阵为 2 3 1/2 0 1/2 0 且v X，丫k,1 ?, X o, y o 1,k
k 1,3时,原直线与二次曲线交于一个实点 k 49 时，直线与二次曲线有两个共轭虚交点。 24 § 5.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向，并指出曲线是属于何种类型的. 1 x 2 2xy y 2 3x y 0; 2 2 2 3x 4xy 2y 6x 2y 5 0; 3 2xy 4x 2y 3 0. 1 1 解:(1) Q X,Y X 2 2XY Y 2 0时，X : Y 1:1，同时 I ? 0, 1 1 曲线有一个实渐进方向，是抛物型的 k,1 k 2 4k 3 0,则 k 1 1,k 2 3, 1)当 k . 1 时,F , X o y o X F 2 X o ，y o Y 0, 2).当 k 2 3 时 ，F 1 X 0 , y 0 X F 2 X 0 , y 0 Y 15 13 0, 2 (3). 二次曲线的矩阵为 (1 1 1 (1 k)/2 0 k)/2 1 解之, v X,Y k,1 , X o ,y o 1 0,即― 4 k 1 1,k 2 5, 2k 0,即 k 2 6k 5 0, 1)当 1时, X,Y k,1 2k 0, 2)当 5时, 1,5 时, X,Y 直线与二次曲线有二重合实交点. k,1 2k 0, (4).二次曲线的系数矩阵为 2 2 1/2 1/ 2 1 0 1:( 1) 取(X 0,y 0)(“)，令V 0,即[ 2 (1 k)( 1)]2 (k 2)(3 k) 0 解得k 24，且此时(1 , 1) 2 4( 1) k
第八章 二次型 二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用. 本章主要介绍二次型的基本概念,讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题. §8.1 二次型及其矩阵表示 在解析几何中,我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类,以平面二次曲线为例,一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出： 2 2 0ax bxy cy dx ey f +++++= (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做:首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy 项, 再作坐标的平移以消去一次项. 这里的关键是消去 xy 项,通常的坐标变换公式为: cos sin sin cos x x y y x y θθθθ''=-??''=+? (1.2) 从线性空间与线性变换的角度看,(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关键是给出一个线性变换,使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现,类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到. 为了讨论问题的方便,只考虑二次齐次多项式. 定义8.1.1 设f 是数域P 上的n 元二次齐次多项式: 212111121211222223232222 1,111,1(,, ,)22222n n n n n n n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x -----=++ ++++++ +++ (1.3) 称为数域P 上的n 元二次型,简称二次型. 如果数域P 为实数域R ,则称f 为实二次型; 如果数域P 为复数域C ,则称f 为复二次型; 如果二次型中只含有平方项,即 222121122(,, ,)n n n f x x x d x d x d x =+++ 称为标准形式的二次型,简称为标准形. 说明: 在这个定义中,非平方项系数用2ij a 主要是为了以后矩阵表示的方便. 例8.1.2 下列多项式都是二次型: 22 2 2 2 (,)33(,,)22343f x y x xy y f x y z x xy xz y yz z =++=+-++- 下列多项式都不是二次型:
二次曲线的理论及其应用开题报告 开题报告 二次曲线的理论及其应用 一、选题的背景、意义 解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求.文艺复兴后的欧洲进入了一个生产迅速发展,思想普遍活跃的时代.机械的广泛使用,促使人们对机械性能进行研究,这需要运动学知识和相应的数学理论;建筑的兴盛、河道和堤坝的修建又提出了有关固体力学和流体力学的问题,这些问题的合理解决需要正确的数学计算;航海事业的发展向天文学,实际上也是向数学提出了如何精确测定经纬度、计算各种不同形状船体的面积、体积以及确定重心的方法,望远镜与显微镜的发明,提出了研究凹凸透镜的曲面形状问题.在数学上就需要研究求曲线的切线问题.所有这些都难以仅用初等几何或仅用初等代数在常量数学的范围内解决,于是,人们就试图创设变量数学.作为代数与几何相结合的产物――解析几何,也就在这种背景下问世了。 1637年,法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》,这本书的后面有三篇附录,一篇叫《折光学》,一篇叫《流星学》,一篇叫《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的是数学,就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。笛卡尔的《几何学》共分三卷,第一卷讨论尺规作图;第二卷是曲线的性质;第三卷是立体和“超立体”的作图,但他实际是代数问题,探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的
起点。从笛卡尔的《几何学》中可以看出,笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学,把算术、代数、几何统一起来。他设想,把任何数学问题化为一个代数问题,在把任何代数问题归结到去解一个方程式。为了实现上述的设想,笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发,指出平面上的点和实数对的对应关系。的不同数值可以确定平面上许多不同的点,这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。 解析几何的核心思想是通过坐标把几何问题表示成代数形式,然后通过代数方程来表示和研究曲线.要做到这一点,得有数学自身的条件:一是几何学已出现解决问题的乏力状态;二是代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程度。 解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写《几何学》以前,就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系;也有人在研究天文、地理的时候,提出了一点位置可由两个“坐标”(经度和纬度)来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。在数学史上,一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一,应该分享这门学科创建的荣誉。费尔马是一个业余从事数学研究的学者,对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。他性情谦和,好静成癖,对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道,他早在笛卡尔发表《几何学》以前,就已写了关于解析几何的小文,就已经有了解析几何的思想。只是直到1679年,费尔马死后,他的思想和著述才从给友人的通信中公开发表。笛卡尔的《几何学》,作为一本解析几何的书来看,是不完整的,但重要的是引入了新的思想,为开辟数学新园地做出了贡献。恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想。他说:“数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数,运动进入了
221340;x kt x y xy y y k t =+?+--=? =+?与二次曲线交于一点{}{}()() 00,,1,,1,v X Y k x y k ===第五章 二次曲线的一般理论 §5.1 二次曲线与直线的相关位置 1.求直线x-y-1=0与二次曲线222210x xy y x y -----=的交点. 解: 将y=x-1代入曲线方程,得 ()()()2 22112110,00 x x x x x x --------==即 故直线在二次曲线上. 2.试决定k 的值,使得 (1) 直线50x y -+=与二次曲线230x x y k -++=交于两不同实点; (2) 直线 (3) 直线10x ky --=与二次曲线22(1)10y xy k y ----=交于两个相互重合的实点; (4) 已知直线11x t y t =+??=-? 与二次曲线222420x xy ky x y ++--=有两个共轭虚点，求k 的值 解: (1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得 () ()22 250 2450 4160 4,x x k k k k -++>--+>-->∴<-时直线与二次曲线有两个不同的实交点. (2). 二次曲线的矩阵为1 2 231/201/20 ---- 且 .
()()1,,1120,k X Y k k φφ===-≠时，()()5,,,1120, k X Y k k φφ===-≠时1,5k ∴=当()()()2 210,11210,650,4 k k k k ?=+---=-+=即 即{}{}()()00,,1,,1,0, v X Y k x y ==121,5, k k ==()2 2 21 1 ,2011 01 1 X Y X XY Y X Y I φ=++==-==时，：：，同时， ()()()()()21211002002100200430,1,3, 11).1,,10,213 2).3,,,150, 2 1,3,k k k k k F x y X F x y Y k F x y X F x y Y k φ=-+====+=-+ ≠=+=-+≠∴=k,1则当时当时时原直线与二次曲线交于一个实点. (3). 二次曲线的矩阵为1 1 1 1(1)/20(1)/21 k k ----- 且 令 解之，得 1） 当 2） 当 时，直线与二次曲线有二重合实交点. (4). 二次曲线的系数矩阵为 2 21/2 211/21 k ----且:1:(1)X Y =- 取00(,)(1,1),0,x y =<令即27 [(1)(1)](2)(3)02 k k k ++---+< 解得 49 24 k > ，且此时1(1,1)24(1)2024k k Φ-=+-+=->≠， 49 24 k ∴> 时, 直线与二次曲线有两个共轭虚交点。 §5.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向,并指出曲线是属于何种类型的. ()()()22221230; 23426250;324230.x xy y x y x xy y x y xy x y ++++=++--+=--+= 解:(1) ∴曲线有一个实渐进方向，是抛物型的.
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y . （1）22221x y a b +=；（2）22 221x y a b -=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++= （5）2226740x xy y x y -+-+-=. 解：（1）2 2100100001a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ???；121(,)F x y x a =；221(,)F x y y b =；3(,)1F x y =-； （2）2 2100100001a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ???；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-. （3）0001000p A p -?? ?= ? ?-?? ；1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-； （4）51 20 305022A ?? ? ?=- ? ? ???；15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35(,)22F x y x =+； （5）1 232171227342A ??-- ? ? ?=- ? ? ?-- ?? ?；11(,)232F x y x y =--；217(,)22F x y x y =-++；37(,)342 F x y x y =-+-.
2. 求二次曲线22234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点. （1）550x y --=； （2）220x y ++=； （3）410x y +-=； （4）30x y -=； （5）2690x y --=. 解：提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略 （1）1 5(,),(1,0)22 -； （2）??，?? ； （3）二重点(1,0)； （4）11,26?? ??? ； （5）无交点. 3. 求直线10x y --=与二次曲线22 2210x xy y x y -----=的交点. 解：由直线方程得1x y =+代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点. 4 .试确定k 的值，使得（1）直线50x y -+=与二次曲线230x x y k -+-=交于两不同的实点； （2）直线1,{x kt y k t =+=+与二次曲线22430x xy y y -+-=交于一点； （3）10x ky --=与二次曲线22(1)10xy y k y -+---=交于两个相互重合的点； （4）1,{1x t y t =+=+与二次曲线222420x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点. 解：详解略.（1）4k <-；（2）1k =或3k =（3）1k =或5k =；（4）4924k > . §5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 6. 求下列二次曲线的渐进线.
第五章 二次曲线一般的理论§5.1二次曲线与直线的相关位置1.写出下列二次曲线的矩阵A 以及，及.1(,)F x y 2(,)F x y 3(,)F x y （1）；（2）；（3）；（4）22221x y a b +=22221x y a b -=22y px =223520;x y x -++=（5）.2 226740x xy y x y -+-+-=解：（1）；22100100001a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ???；；；121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =3(,)1F x y =-（2）；；.2210010000 1a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ???121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-3(,)1F x y =-（3）；；；；0001000p A p -?? ?= ? ?-??1(,)F x y p =-2(,)F x y y =3(,)F x y px =-（4）；；；；51 020 305022A ?? ? ?=- ? ? ???15(,)2F x y x =+2(,)3F x y y =-35(,)22F x y x =+
（5）；；；1232171227342A ??-- ? ? ?=- ? ? ?-- ??? 11(,)232F x y x y =--217(,)22F x y x y =-++.37(,)342F x y x y =-+- 2. 求二次曲线与下列直线的交点.22234630x xy y x y ----+=（1）；550x y --=（2）；220x y ++=（3）；410x y +-=（4）；30x y -=（5）.2690x y --=解：提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略（1）；15(,2 2-（2）， ； （3）二重点；(1,0)（4）；11,26?? ???（5）无交点. 3. 求直线与二次曲线的交点.10x y --=222210x xy y x y -----=解：由直线方程得代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点.1x y =+4 .试确定k 的值，使得（1）直线与二次曲线交于两50x y -+=2 30x x y k -+-=不同的实点；（2）直线与二次曲线交于一点；1,{x kt y k t =+=+22430x xy y y -+-=（3）与二次曲线交于两个相互重合的点；10x ky --=22(1)10xy y k y -+---=
山西师范大学 现代文理学院（数计系） 毕业论文 论文题目：二次曲线方程的化简与应用 学生姓名：刘彦雪 学号： 1290110415 专业：数学与应用数学 班级： 1204班 指导教师：范青龙 二零一四年十一月四号
目录 摘要 (2) （一）、二次曲线的相关定义 (2) （二）、平面直角坐标变换 (3) 2.1二次曲线方程的化简与分类 (3) 2.2 利用系数的影响规律化简方程 ............................................. 错误！未定义书签。（三）、应用举例.. (7) （四）、结束语 (10) 参考文献 (11)
二次曲线方程的化简与应用 刘彦雪 摘要 二次曲线方程的化简是二次曲线理论的重要内容，是教学的一个难点，这方面的研究文献较多，分别总结出很多有效的方法。 文献给出了通过对二次曲线方程配方变形、直角坐标变换对二次曲线方程进行分类、化简;然后根据直线与二次曲线相交时参数t 的几何意义,确定二次曲线的标准方程.从而解决了利用坐标系 的平移,旋转对二次曲线方程分类,化简时运算复杂或无法确定图形具体位置等问题.本论文首先对定义进行归纳总结，运用验证类比以及大量的举例对二次曲线化简作了说明，其次给出了一些方法和过程及证明，然后作出了归纳总结。 关键词 定义； 二次曲线； 平面直角坐标变换 （一）、相关定义 1.1.在平面上，由二元二次方程 ()22111222132333,2220 F x y a x a xy a y a x a y a =+++++= 所表示的曲线,叫做二 次曲线. 1.2 有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线;没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线;有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线.无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线. 1.3 把一个点对于某一坐标系的坐标变换称为同一个点对于另一种坐标系的坐标,这种变换称为坐标变换. 1.4 由曲线方程的系数给出的函数,如果在经过任意一个直角坐标变换后,