浙江省文澜中学数学旋转几何综合（培优篇）（Word 版 含解析）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．
【答案】（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492
． 【解析】 【分析】
（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =
，1
2
PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；
（2）先判断出ABD ACE ???，得出BD CE =，同（1）的方法得出1
2
PM BD =
，1
2
PN BD =
，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；
（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ?的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ?的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论． 【详解】 解：（1）
点P ，N 是BC ，CD 的中点，
//PN BD ∴，1
2
PN BD =
， 点P ，M 是CD ，DE 的中点，
//PM CE ∴，1
2
PM CE =
， AB AC =，AD AE =， BD CE ∴=， PM PN ∴=， //PN BD ，
DPN ADC ∴∠=∠， //PM CE ，
DPM DCA ∴∠=∠， 90BAC ∠=?，
90ADC ACD ∴∠+∠=?，
90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=?， PM PN ∴⊥，
故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；
（2）PMN ?是等腰直角三角形． 由旋转知，BAD CAE ∠=∠，
AB AC =，AD AE =，
()ABD ACE SAS ∴???，
ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =，
利用三角形的中位线得，12PN BD =，1
2
PM CE =，
PM PN ∴=，
PMN ∴?是等腰三角形，
同（1）的方法得，//PM CE ， DPM DCE ∴∠=∠，
同（1）的方法得，//PN BD ， PNC DBC ∴∠=∠，
DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，
MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠
BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠， 90BAC ∠=?，
90ACB ABC ∴∠+∠=?， 90MPN ∴∠=?，
PMN ∴?是等腰直角三角形；
（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ?是等腰直角三角形，
MN ∴最大时，PMN ?的面积最大， //DE BC ∴且DE 在顶点A 上面， MN ∴最大AM AN =+，
连接AM ，AN ，
在ADE ?中，4AD AE ==，90DAE ∠=?，
22AM ∴=
在Rt ABC ?中，10AB AC ==，52AN = 22522MN ∴=最大，
222111149(72)22242
PMN S PM MN ?∴=
=?=?=最大． 方法2：由（2）知，PMN ?是等腰直角三角形，1
2
PM PN BD ==
， PM ∴最大时，PMN ?面积最大， ∴点D 在BA 的延长线上，
14BD AB AD ∴=+=，
7PM ∴=，
2211497222
PMN S PM ?∴=
=?=最大． 【点睛】
此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出
12PM CE =，1
2
PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ???，解（3）的关键
是判断出MN 最大时，PMN ?的面积最大．
2．阅读材料并解答下列问题：如图1，把平面内一条数轴x 绕原点O 逆时针旋转角
00)90(θ??<<得到另一条数轴,y x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系.xOy
规定：过点P 作y 轴的平行线，交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线，交y 轴于点B ，
若点A 在x 轴对应的实数为a ，点B 在y 轴对应的实数为b ，则称有序实数对(),a b 为点
P 在平面斜坐标系xOy 中的斜坐标．如图2，在平面斜坐标系xOy 中，已知60θ?=，点P 的斜坐标是()3,6，点C 的斜坐标是()0,6.
（1）连接OP ，求线段OP 的长；
（2）将线段OP 绕点O 顺时针旋转60?到OQ （点Q 与点P 对应），求点Q 的斜坐标； （3）若点D 是直线OP 上一动点，在斜坐标系xOy 确定的平面内以点D 为圆心，DC 长为半径作
D ，当⊙D 与x 轴相切时，求点D 的斜坐标，
【答案】（1）37OP =2）点Q 的斜坐标为（9，3-）；（3）点D 的斜坐标为：
（
3
2
，3）或（6，12）． 【解析】 【分析】
（1）过点P 作PC ⊥OA ，垂足为C ，由平行线的性质，得∠PAC=60θ=?，由AP=6，则
AC=3，33PC =OP 的长度；
（2）根据题意，过点Q 作QE ∥OC ，QF ∥OB ，连接BQ ，由旋转的性质，得到OP=OQ ，∠COP=∠BOQ ，则△COP ≌△BOQ ，则BQ=CP=3，∠OCP=∠OBQ=120°，然后得到△BEQ 是等边三角形，则BE=EQ=BQ=3，则OE=9，OF=3，即可得到点Q 的斜坐标；
（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：①当OP 和CM 恰好是平行四边形OMPC 的对角线时，此时点D 是对角线的交点，求出点D 的坐标即可；②取OJ=JN=CJ ，构造直角三角形OCN ，作∠CJN 的角平分线，与直线OP 相交与点D ，然后由所学的性质，求出点D 的坐标即可． 【详解】
解：（1）如图，过点P 作PC ⊥OA ，垂足为C ，连接OP ，
∵AP∥OB，
∴∠PAC=60
θ=?，
∵PC⊥OA，
∴∠PCA=90°，
∵点P的斜坐标是()
3,6，∴OA=3，AP=6，
∴
1 cos60
2
AC
AP
?==，
∴3
AC=，
∴22
6333
PC=-=，336
OC=+=，
在Rt△OCP中，由勾股定理，得
22
6(33)37
OP=+=；
（2）根据题意，过点Q作QE∥OC，QF∥OB，连接BQ，如图：
由旋转的性质，得OP=OQ，∠POQ=60°，
∵∠COP+∠POA=∠POA+∠BOQ=60°，
∴∠COP=∠BOQ，
∵OB=OC=6，
∴△COP≌△BOQ（SAS）；
∴CP=BQ=3，∠OCP=∠OBQ=120°，
∴∠EBQ=60°，
∵EQ∥OC，
∴∠BEQ=60°，
∴△BEQ是等边三角形，
∴BE=EQ=BQ=3，
∴OE=6+3=9，OF=EQ=3，
∵点Q在第四象限，
∴点Q的斜坐标为（9，3 ）；
（3）①取OM=PC=3，则四边形OMPC是平行四边形，连接OP、CM，交点为D，如图：
由平行四边形的性质，得CD=DM，OD=PD，
∴点D为OP的中点，
∵点P的坐标为（3，6），
∴点D的坐标为（3
2
，3）；
②取OJ=JN=CJ，则△OCN是直角三角形，
∵∠COJ=60°，
∴△OCJ是等边三角形，
∴∠CJN=120°，
作∠CJN的角平分线，与直线OP相交于点D，作DN⊥x轴，连接CD，如图：
∵CJ=JN，∠CJD=∠NJD，JP=JP，
∴△CJD≌△NJD（SAS），
∴∠JCD=∠JND=90°，
则由角平分线的性质定理，得CD=ND ； 过点D 作DI ∥x 轴，连接DJ ， ∵∠DJN=∠COJ=60°， ∴OI ∥JD ，
∴四边形OJDI 是平行四边形， ∴ID=OJ=JN=OC=6，
在Rt △JDN 中，∠JDN=30°， ∴JD=2JN=12；
∴点D 的斜坐标为（6，12）； 综合上述，点D 的斜坐标为：（3
2
，3）或（6，12）． 【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找圆心D 的位置来解决问题，属于中考创新题型．注意运用分类讨论的思想进行解题．
3．已知如图1，在ABC 中，90ABC ∠=?，BC AB =，点D 在AC 上，DF AC ⊥交BC 于F ，点E 是AF 的中点．
（1）写出线段ED 与线段EB 的关系并证明；
（2）如图2，将CDF 绕点C 逆时针旋转(
)
090a α?
<
（3）将CDF 绕点C 逆时针旋转一周，如果6BC =，32CF =，直接写出线段CE 的范围．
【答案】（1）ED EB =，DE BE ⊥，证明见解析；（2）结论不变，理由见解析；（3）最大值22=
最小值32
2
=．
【解析】
【分析】
（1）在Rt△ADF中，可得DE=AE=EF，在Rt△ABF中，可得BE=EF=EA，得证ED=EB；然后利用等腰三角形的性质以及四边形ADFB的内角和为180°，可推导得出∠DEB=90°；
（2）如下图，先证四边形MFBA是平行四边形，再证△DCB≌△DFM，从而推导出△DMB 是等腰直角三角形，最后得出结论；
（3）如下图，当点F在AC上时，CE有最大值；当点F在AC延长线上时，CE有最小值．【详解】
（1）∵DF⊥AC，点E是AF的中点
∴DE=AE=EF，∠EDF=∠DFE
∵∠ABC=90°，点E是AF的中点
∴BE=AE=EF，∠EFB=∠EBF
∴DE=EB
∵AB=BC，
∴∠DAB=45°
∴在四边形ABFD中，∠DFB=360°－90°－45°－90°=135°
∠DEB=∠DEF+∠FEB=180°－2∠EFD+180°－2∠EFB=360°－2(∠EFD+∠EFB)
=360°－2×135°=90°
∴DE⊥EB
（2）如下图，延长BE至点M处，使得ME=EB，连接MA、ME、MF、MD、FB、DB，延长MF交CB于点H
∵ME=EB，点E是AF的中点
∴四边形MFBA是平行四边形
∴MF∥AB，MF=AB
∴∠MHB=180°－∠ABC=90°
∵∠DCA=∠FCB=a
∴∠DCB=45°+a，∠CFH=90°－a
∵∠DCF=45°，∠CDF=90°
∴∠DFC=45°，△DCF是等腰直角三角形
∴∠DFM=180°－∠DFC－∠CFH=45°+a
∴∠DCB=∠DFM
∵△ABC和△CDF都是等腰直角三角形
∴DC=DF，BC=AB=MF
∴△DCB≌△DFM(SAS)
∴∠MDF=∠BDC，DB=DM
∴∠MDF+∠FDB=∠BDC+∠FDB=90°
∴△DMB是等腰直角三角形
∵点E是MB的中点
∴DE=EB，DE⊥EB
（3）当点F在AC上时，CF有最大值，图形如下：
∵BC=6，∴在等腰直角△ABC中，2
∵2，∴2
∴CE=CF+FE=CF+1
2AF92
当点F在AC延长线上时，CE有最小值，图形如下：
同理，CE=EF －CF 32
= 【点睛】
本题考查三角形的旋转变换，用到了等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质，解题关键是构造并证明△BDM 是等腰直角三角形．
4．如图一，矩形ABCD 中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A 1BC 1D 1，点A 1在边CD 上．
（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D 到点D 1所经过路径的长度；
（2）将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2，点D 2在BC 的延长线上，设边A 2B 与CD 交于点E ，若
161A E EC
=-，求n
m 的值．
（3）如图二，在（2）的条件下，直线AB 上有一点P ，BP=2，点E 是直线DC 上一动点，
在BE 左侧作矩形BEFG 且始终保持
BE n
BG m
=，设AB=33，试探究点E 移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）5
6
；（2）33；（3）存在，63 【解析】
【分析】
（1）作A 1H ⊥AB 于H ，连接BD
，BD 1，则四边形ADA 1H 是矩形．解直角三角形，求出∠ABA 1，得到旋转角即可解决问题；
（2）由△BCE ∽△BA 2D 2，推出222A D CE n CB A B m ==，可得CE=2
n m
，由161A E EC =-推出16A C EC =，推出A 1C=26n m ?，推出BH=A 1C=2
6n m
?，然后由勾股定理建立方程，解方程即可解决问题；
（3）当A 、P 、F ，D ，四点共圆，作PF ⊥DF ，PF 与CD 相交于点M ，作MN ⊥AB ，此时PF 的长度为最小值；先证明△FDG ∽△FME ，得到
3
3
FG F FM FE D ==
，再结合已知条件和解直角三角形求出PM 和FM 的长度，即可得到PF 的最小值. 【详解】
解：（1）作A 1H ⊥AB 于H ，连接BD ，BD 1，则四边形ADA 1H 是矩形．
∴AD=HA 1=n=1，
在Rt △A 1HB 中，∵BA 1=BA=m=2， ∴BA 1=2HA 1， ∴∠ABA 1=30°， ∴旋转角为30°， ∵22125+= ∴D 到点D 1所经过路径的长度=30551806
π?=； （2）∵△BCE ∽△BA 2D 2， ∴
222A D CE n
CB A B m
==， ∴2n CE m =，
∵161EA
EC
=，
∴
16A C
EC
=， ∴A 1C=2
6n m
?，
∴BH=A 1C=2
2
2
6n m n m
-=?，
∴4
2
2
26n m n m
-=?，
∴m 4﹣m 2n 2=6n 4，
∴24
2416n n m m
-=?，
∴
3
n m =
（负根已舍去）． （3）当A 、P 、F ，D ，四点共圆，作PF ⊥DF ，PF 与CD 相交于点M ，作MN ⊥AB ，此时PF 的长度为最小值；
由（2）可知，
3
BE n BG m ==
， ∵四边形BEFG 是矩形， ∴
3FG FE =
∵∠DFG+∠GFM=∠GFM+∠MFE=90°， ∴∠DFG=∠MFE ， ∵DF ⊥PF ，即∠DFM=90°，
∴∠FDM+∠GDM=∠FDM+∠DFM=∠FDM+90°， ∴∠FDG=∠FME ， ∴△FDG ∽△FME ， ∴
3
3
FG F FM FE D ==
， ∵∠DFM=90°，tan 3
FD FMD FM ∠=
=
，
∴∠FDM=60°，∠FMD=30°， ∴3
FM DM =
； 在矩形ABCD 中，有
3
AD AB =
， 即
3
33
=，则3AD =， ∵MN ⊥AB ，
∴四边形ANMD 是矩形， ∴MN=AD=3，
∵∠NPM=∠DMF=30°， ∴PM=2MN=6， ∴NP=33AB =， ∴DM=AN=BP=2， ∴3323FM DM =
=?=， ∴63PF PM MF =+=+； 【点睛】
本题考查点的运动轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题，中考常考题型．正确作出辅助线，正确确定动点的位置，注意利用数形结合的思想进行解题.
5．小明研究了这样一道几何题：如图1，在△ABC 中，把AB 点A 顺时针旋转α (0°＜α＜180°)得到AB ′，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC ′，连接B ′C ′．当α+β=180°时，请问△AB ′C ′边B ′C ′上的中线AD 与BC 的数量关系是什么？以下是他的研究过程： 特例验证：
(1)①如图2，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD = BC ； ②如图3，当∠BAC =90°，BC =8时，则AD 长为 ． 猜想论证：
(2)在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用
(3)如图4，在四边形ABCD ，∠C =90°，∠A +∠B =120°，BC =12
，CD =6，DA 3边形内部是否存在点P ，使△PDC 与△PAB 之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P 的位置(保留作图痕迹，不需要说明)并直接写出△PDC 的边DC 上的中线PQ 的长度；若不存在，说明理由．
【答案】(1)①1
2
；②4
(2) AD=1
2
BC，理由见解析
(3)存在，313
【解析】
【分析】
(1)①由已知条件可得AD⊥B′C′，由α+β=180°可得∠BAC+∠B′AC′=180°，已知∠BAC=60°，可
求得∠B′AC′=120°继而∠B′=∠C′=30°，可得AD=1
2
AB′=
1
2
BC
②当∠BAC=90°时，可得∠B′AC′=∠BAC=90°，△B′AC′是直角三角形，可证得
△BAC≌△B′AC′，推出对应边相等，已知BC=8求出AD的长.
（2）先做辅助线，延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M、C′M，如图1所示：
因为B′D=DC′，AD=DM，对角线相互平分，可得四边形AC′MB′是平行四边形，得出对应边相等，由∠BAB′+∠CAC′=180°推得∠BAC=∠AB′M，可证明△BAC≌△AB′M，所以BC=AM，
AD=1
2 BC；
(3)先做辅助线，作线段BC的垂直平分线交BE于P，即为点P的位置；延长AD交BC的延长线于M，线段BC的垂直平分线交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PDC的中线PQ，连接DF交PC于O
假设P点存在，再证明理由.
根据已知角可得出△DCM是直角三角形，∠MDC=30°，可得出CM3DM3
在；
∵CD=6，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∠M=90°﹣∠MDC=60°，可求得EM=1
2
BM3
DE=EM﹣DM3﹣33
由已知DA
AE=DE
且BE⊥AD，可得PF是线段BC的垂直平分线，证得PA=PD
因为PB=PC，PF∥CD，可求得CF=1
2
BC
，利用线段长度可求得∠CDF=60°
利用全等三角形判定定理可证得△FCP≌△CFD(AAS)，进而证得四边形CDPF是矩形，
得∠CDP=90°，∠ADP =60°，可得△ADP是等边三角形，求出DQ、DP，在Rt△PDQ中可求得PQ长度.
【详解】
(1)①∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC=AB′=AC′，∠BAC=60°
∵DB′=DC′
∴AD⊥B′C′
∵∠BAB′+∠CAC′=180°
∴∠BAC+∠B′AC′=180°
∴∠B′AC′=180°﹣∠BAC=180°﹣60°=120°
∴∠B′=∠C′=30°
∴AD=1
2
AB′=
1
2
BC
故答案：1 2
②∵∠BAB′+∠CAC′=180°∴∠BAC+∠B′AC′=180°∵∠BAC=90°
∴∠B′AC′=∠BAC=90°
在△BAC和△B′AC′中，
'
'"90
"
AB AB
BAC B AC
AC AC
=
?
?
∠=∠=??
?=
?
∴△BAC≌△B′AC′(SAS)∴BC=B′C′
∵B′D=DC′
∴AD=1
2
B′C′=
1
2
BC=4
故答案：4
(2)AD与BC的数量关系：AD=1
2
BC；理由如下：
延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M、C′M，如图1所示：∵B′D=DC′，AD=DM，
∴四边形AC′MB′是平行四边形，
∴∠B′AC′+∠AB′M=180°，AC′=B′M=AC，
∵∠BAB′+∠CAC′=180°，
∴∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴∠BAC=∠AB′M，
在△BAC和△AB′M中，
'
'
'
AC B M
BAC AB M
AB AB
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△BAC≌△AB′M(SAS)，
∴BC=AM，
∴AD=
1
2
BC；
(3)存在；作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，即为点P的位置；理由如下：
延长AD交BC的延长线于M，线段BC的垂直平分线交BC于F，连接PA、PD、PC，作
△PDC的中线PQ，连接DF交PC于O，如图4所示：
∵∠A+∠B=120°，
∴∠ADC=150°，
∴∠MDC=30°，
在Rt△DCM中，∵CD=6，∠DCM=90°，∠MDC=30°，
∴CM3DM3，∠M=90°﹣∠MDC=60°，
在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=BC+CM333，∠MBE=90°﹣∠M=30°，∴EM=
1
2
BM3
∴DE=EM﹣DM333
∵DA3
∴AE=DE，
∵BE⊥AD，
∴PA=PD，
∵PF是线段BC的垂直平分线，
∴PB=PC，PF∥CD，
在Rt△CDF中，∵CD=6，CF=
1
2
BC3
∴tan ∠CDF =
CF CD =63
6
=3， ∴∠CDF =60°，
∴∠MDF =∠MDC +∠CDF =30°+60°=90°， ∴∠ADF =90°=∠AEB ， ∴∠CBE =∠CFD ， ∵∠CBE =∠PCF ， ∴∠CFD =∠PCF =30°，
∵∠CFD +∠CDF =90°，∠PCF +∠CPF =90°， ∴∠CPF =∠CDF =60°，
在△FCP 和△CFD 中，CPF CDF PCF CFD CF CF ∠=∠??
∠=∠??=?
，
∴△FCP ≌△CFD (AAS )， ∴CD =PF ， ∵CD ∥PF ，
∴四边形CDPF 是矩形， ∴∠CDP =90°，
∴∠ADP =∠ADC ﹣∠CDP =60°， ∴△ADP 是等边三角形， ∴∠APD =60°，
∵∠BPF =∠CPF =90°﹣30°=60°， ∴∠BPC =120°， ∴∠APD +∠BPC =180°，
∴△PDC 与△PAB 之间满足小明探究的问题中的边角关系； 在Rt △PDQ 中，∵∠PDQ =90°，PD =DA =63，DN =1
2
CD =3， ∴PQ =22DQ DP +=223(63)+=313．
【点睛】
本题考查了三角形的边旋转的问题，旋转前后边长不变，根据已知角度变化，求得线段之间关系.在证明某点知否存在时，先假设这点存在，能求出相关线段或坐标，即证实存在性.
6．两块等腰直角三角形纸片AOB 和COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，
25
AB =，17CD =．保持纸片AOB 不动，将纸片COD 绕点O 逆时针旋转
(090)αα<<角度，如图2所示．
()1利用图2证明AC BD =且AC BD ⊥；
()2当BD 与CD 在同一直线上（如图3）时，求AC 的长和α的正弦值．
【答案】（1）详见解析；（2）7，725
． 【解析】 【分析】
(1)图形经过旋转以后明确没有变化的边长，证明AOC BOD ?，得出AC=BD ， 延长BD 交AC 于E ，证明∠AEB=90?，从而得到BD AC ⊥.
(2) 如图3中，设AC=x ，在Rt △ABC 中，利用勾股定理求出x ，再根据sinα=sin ∠ABC=AC
AB
即可解决问题 【详解】
()1证明：如图2中，延长BD 交OA 于G ，交AC 于E ．
∵90AOB COD ∠=∠=， ∴AOC DOB ∠=∠， 在AOC 和BOD 中，
OA OB AOC BOD OC OD =??
∠=∠??=?
， ∴AOC BOD ?，
∴AC BD =，CAO DBO ∠=∠， ∵90DBO GOB ∠+∠=， ∵OGB AGE ∠=∠， ∴90CAO AGE ∠+∠=， ∴90AEG ∠=， ∴BD AC ⊥．
()2解：如图3中，设AC x =，
∵BD 、CD 在同一直线上，BD AC ⊥， ∴ABC 是直角三角形， ∴222AC BC AB +=， ∴222(17)25x x ++=， 解得7x =，
∵45ODC DBO α∠=∠+∠=，45ABC DBO ∠+∠=， ∴ABC α∠=∠， ∴7
sin sin 25
AC ABC AB α=∠==． 【点睛】
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，第二个问题的关键是利用（1）的结论解决问题，属于中考常考题型.
7．请阅读下列材料：
问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P ，且PA=2，PB=3，PC=1、求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长．
李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB 是等边三角形，而△PP′A 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），从而得到∠BPC=∠AP′B=__________；，进而求出等边△ABC 的边长为__________； 问题得到解决．
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长．
【答案】（17；（25【解析】
试题分析：（1）利用旋转的性质，得到全等三角形.
(2)利用（1）中的解题思路，把△BPC,旋转，到△BP’A,连接PP’,BP’，容易证明△APP’是直角三角形，∠BP’E=45°，已知边BP’=BP=2，BE=BP’=1，勾股定理可求得正方形边长.
（1）150° 7
（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．
∴AP′=PC=1，BP=BP′=2；
连接PP′，在Rt△BP′P中，
∵BP=BP′=2，∠PBP′=90°，
∴PP′=2，∠BP′P=45°；
在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=5，
∵2
22
+=，即AP′2+PP′2=AP2；
125
∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，
∴∠AP′B=135°，
∴∠B PC=∠AP′B=135°．
过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E；则△BEP′是等腰直角三角形，
∴∠EP′B=45°，
∴EP′=BE=1，
∴AE=2；
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=5；
∴∠BPC=135°，正方形边长为5．
点睛：本题利用题目中的原理迁移解决问题，解题利用了旋转的性质，一般利用正方形，等腰，等边三角形的隐含条件，构造全等三角形，把没办法利用的已知条件转移到方便利用的图形位置,从而求解.
8．（特例发现）如图1，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC 为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．求证：EP=FQ．
（延伸拓展）如图2，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向△ABC外作Rt△ABE和Rt△ACF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，请思考HE与HF之间的数量关系，并直接写出你的结论．
（深入探究）如图3，在△ABC中，G是BC边上任意一点，以A为顶点，向△ABC外作任意△ABE和△ACF，射线GA交EF于点H．若∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC，AB=kAE，
微专题26 解析几何中的最值与范围问题 1. 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆中的部分范围问题． 2. 构造函数模型研究长度及面积相关的范围与最值问题． 3. 根据条件或几何特征构造不等关系解决与离心率相关的范围问题． 4. 熟悉线段的定比分点、弦长、面积等问题的处理手段，深刻体会数形结合、等价转化的数学思想方法的运用． 考题导航 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆 2. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.则y x 的最大值为________；y －x 的最小 值为________；x 2＋y 2的最小值为________． 1. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 1. 已知A 、B 分别是椭圆x 36＋y 20＝1长轴的左、右端点，F 是椭圆的右焦点，点P 在 椭圆上，且位于x 轴的上方，PA ⊥PF.设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于MB ，则椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为________． 1. 已知双曲线为C ：x 24－y 2 ＝1，P 为双曲线C 上的任意一点．设点A 的坐标为(3，0)， 则PA 的最小值为________．
1. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆的顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PA 2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是________． 1. 椭圆M ：x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上的任意一点， 且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2 ，3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是_______． 1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别 为F 1、F 2，P 为椭圆C 上的一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆C 于另一点Q ，设PF 1→ ＝λF 1Q → .若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈??? ?12，22，求实数λ的取值范围．
中学教学核心期刊名录数学中学数学月刊 数学中学数学教与学 数学中学数学教学参考 数学中等数学 数学通讯 数学教学 数学中学理科(数学) 数学数理天地(数学) E-mail : 《中学数学教学参考》（月刊）主办： 陕西师范大学 地址： 陕西师范大学《中学数学教学参考》编辑部 邮编：710062 电话： 主编： 石生民 网址： http: E-mail:
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2019年杭州文澜中学中考模拟卷 数 学 考生须知： 1. 本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间120分钟. 2. 答题时，应该在答题卷指定位置内写明校名，姓名和准考证号. 3. 所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应. 4. 考试结束后，上交试题卷和答题卷. 试 题 卷 一. 仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。注意可以用多种不同的方法来选取正确答案。 1. 如果b a c >+，那么a b c ，，三个实数必定（ ） A ．b a c >+ B ．b a c <-+ C ．22 b a c >+（） D ．不能确定 2. 为了解我杭州市参加中考的15 000名学生的视力情况，抽查了1 000名学生的视力进行统计分析．下面四个 判断正确的是（ ） A ．15 000名学生是总体 B ．1 000名学生的视力是总体的一个样本 C ．每名学生是总体的一个个体 D ．以上调查是普查 3. 如图所示，正方形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，连结AE ，交对角线BD 与F ， 连结CF ，则图中全等三角形共有 A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 4. 有以下四个说法：①两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；②两角和 其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；③两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等；④刘徽计算过π的值，认为其为10 .其中正确的有 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 5. 反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，它们的解析式可能分别是（ ）． A ．y =k x ，y =kx 2-x B ．y =k x ，y =kx 2+x C ．y =-k x ，y =kx 2+x D ．y =-k x ，y =-kx 2-x 6. 在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2.下列说法中不正确．．． 的是（ ） A ．当5a <时，点B 在⊙A 内 B ．当15a <<时，点B 在⊙A 内 C ．当1a <时，点B 在⊙A 外 D ．当5a >时，点B 在⊙A 外 7. 如图，P 是Rt △ABC 斜边AB 一点（A 、B 点除外），过P 点作一直线，使截得的三角形与Rt △ABC 相似，这 样的直线可以作（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 8. 如图，线段AB =CD ，AB 与CD 相交于点O ，且∠AOC =60°，CE 是由AB 平移 所得，则AC +BD 与AB 的大小关系是 A ．AC +BD ＜A B B ．A C +B D ＞AB C ．AC +B D =AB D ．AC +BD ≥AB 9. 如图，点E 、F 是以线段BC 为公共弦的两条圆弧的中点，BC =6.点A 、D 分别为线段EF 、BC 上的动点.连结 AB 、AD ，设BD =x ，AB 2－AD 2=y ，下列图像中，能表示y 与x 的函数关系的图象是 10. D C E B （第3题） （第8题） （第5题）
2005-2017年浙江高考理科数学历年真题之解析几何大题 （教师版） 1、（2005年）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1)，P 为1l 上的动点，使12F PF ∠ 最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)． 解析：(Ⅰ)设椭圆方程为()22 2210x y a b a b +=>>，半焦距为c ， 则2111,a MA a A F a c c =-=- ，()2 222 224 a a a c c a a b c ?-=-??? =??=+???由题意,得 2,1a b c ∴=== ，22 1.43 x y +=故椭圆方程为 (Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >，当00y >时，120F PF ∠=； 当00y ≠时，22102 F PF PF M π <∠<∠<，∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可 设直线1PF 的斜率011y k m = +，直线2PF 的斜率0 21 y k m =-， 021********||tan 11y k k F PF k k m y -∴∠= =≤=+-+ 0||y =时，12F PF ∠ 最大，(,,||1Q m m ∴> 2、（2006年）如图，椭圆b y a x 222+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ， 且椭圆的离心率e= 2 3。 (Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段AF 2的中点，求证：∠ATM=∠AF 1T 。
浙江省杭州市文澜中学2019-2020学年中考英语模拟试卷 Ⅰ. 单项选择 1、I found a letter ________ on the floor when I came into the classroom. A．lying B．lay C．lie 2、In western culture, people are not supposed to ask a lady . A．where she comes from B．whether has she got married C．how old she is D．how much does she weigh 3、I love this song by Lady Gaga. Would you ____ the TV a bit, please? I can’t hear it clearly. A．turn on B．turn off C．turn up D．turn down 4、George，it’s dangerous for you to go out for a walk in the forest________at night. A．on business B．by the way C．on your own D．out of the way 5、--Could you tell me some information about the hotels in your city? --Why not ______________ on the Internet? A．look for it B．to look for it C．look it up D．to look it up 6、—Shall we take a car? —No, we . It's only five minutes' walk. A．can't B．mustn't C．needn't D．couldn't 7、―is the population of China? ―It’s about 1.4 billion. I think it's becoming. A．what, more and more B．How many, larger and larger C．What, larger and larger D．How much, smaller and smaller 8、Father’s Day will fall ________ June 17th this year. Remember to show your love then. A．in B．at C．on D．for 9、Many kids in China are crazy about the Western culture. But I still can't understand to us Chinese. A．what does Christmas mean B．what Christmas does mean C．what mean Christmas does D．what Christmas means 10、―The lake is said to be dry. Is that true? ―It true. Look, some kids are swimming in it. A．must be B．can′t be C．may be D．could be Ⅱ. 完形填空 11、It was seven o'clock on the morning of August 29th. The Kelly family were going to Brighton, a town by the sea. “Can we have breakfast 1 we leave?” asked Gina Kelly. “No,” said her mother. “We must leave now, or the tr affic (交通) will be 2 . We'll have breakfast when 3 the seaside.” Gina ran downstairs. “I’m ready,” she said. The family climbed into the 4 , and Dad started driving. In the front of the car was Mike. He
解析几何最值问题的赏析 丹阳市珥陵高级中学数学组：李维春 教学目标：１．掌握解析几何中图形的处理方法和解析几何中变量的选择； ２．掌握利用基本不等式和函数的思想处理最值问题． 重点难点：图形的处理和变量的选择及最值的处理． 问题提出： 已知椭圆方程：14 32 2=+y x ，A ，B 分别为椭圆的上顶点和右顶点。过原点作一直线与线段AB 交于点G ，并和椭圆交于E 、F 两点，求四边形AEBF 面积的最大值。 问题分析： 1、 图形的处理： 不规则图形转化为规则图形（割补法） ABF ABE AENF S S S ??+= BEF AEF AENF S S S ??+= 2、 变量的选择： （1） 设点：设点),(00y x E 则),(00y x F --，可得到二元表达式； （2） 设动直线的斜率k （可设AF,BF,EF,AE,BE 中任意一条直线的斜率），可得 一元表达式。 3，最值的处理方法： （1） 一元表达式可用基本不等式或函数法处理； （2） 二元表达式可用基本不等式或消元转化为一元表达式。 X
问题解决： 解法一： 由基本不等式得62 24)34(2322 02000==+≤+=y x y x S 时取“＝” 当且仅当0032 y x = 解法二： 00000 0(,),(,),(0,0)x y F x y x y -->>设E ，四边形的面积为S (0,2),A B 因为,12 y += 20x +-=即1d =点E 到直线的距离：00( ,)x y 因为E 在直线AB 的上方，0020x ->所以1d =所以2d =点F 到直线的距离：00(,)x y --因为F 在直线的下方2d =所以)(21)(212121d d AB d AB d AB S +=+=002S x =+所以AB =因为00(,)F x y 又因为22134 x y +=在椭圆上22004312x y +=所以max S =所以
杭州教研中心 第1页 共6页 第2页 共6页 学校:___________姓名：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________ 姓名：___________ 考号：___________ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 杭州市文澜中学小升初招生考试模拟卷 语 文 注意事项 1、全卷共六页，五大题，时间：60分钟，总分：100分 2、请考生在指定位置上（密封线内）填写自己的相关信息。 3、请用黑色的签字笔或钢笔在答题卡上作答。 一、基础知识积累与运用（19分） 1、给加点的字注音或按拼音写汉字。（7分） （1）憎．恶（ ） （2）谙．熟（ ） （3）结束．（ ） （4）强劲．（ ） （5）ch áng （ ）徉 （6）垂xi án （ ）三尺 （7）脍zh ì人口（ ） 2、下面加点字读音完全正确的一项是（ ）（2分） A ．同胞．（p āo ） 澎湃．（p ài ） 哺．育（p ǔ） 扒．窃（p á） B ．萝卜．（bo ） 因为．（w èi ） 玉璞．（p ú） 潜．力（qi án ） C ．素质．（zh ì） 血脂．（zh ǐ） 祛．除（q ū） 挣．扎（zh ēng ） D ．烧柴．（c ái ） 刚才．（c ái ） 裁．剪（c ái ） 豺．狼（ch ái ） 3、 下面词语书写完全正确的一组是（ ）（2分） A. 默守成规 冥思瑕想 因噎废食 B. 如法炮制 弄巧成绌 不可明状 C. 流连忘返 变本加厉 委曲求全 D. 儒子可教 有口皆碑 和霭可亲 4、下列语句中没有语病的一项是（ ）（2分） A ．杭州的冬天是一个寒冷的地方。 B ．通过老师的教导，使我认识到了自己身上的错误。 C ．为了防止这类交通事故不再发生，我们千万不可酒后驾驶。 D ．大家对林业员揭发的林业局带头偷运木料的问题普遍感到非常气愤。 5、按要求完成下面的题目。（6分） （1）他高兴得跳了起来。（缩句）（2分） （2）你们记在笔记本上的全部都是错误的信息。（改为双重否定句）（2分） （3）父亲对他说：“打你不为别的事，都像你这样看书，人家怎么过日子？”（改 为转述句） （2分） 二、请根据学过的课文及文言知识，阅读下面的文言文，完成下面的题目。（5分） 约不可失 魏文侯与虞人期．猎。是．日，饮酒乐，天雨。文侯将出，左右曰：“今日饮酒乐，天又雨，公将焉之?”文侯曰：“吾与虞人期猎，虽乐，岂．可不一会期哉?”乃往，身自罢之。 注释：魏文侯，战国时魏国国君，在诸侯中有美誉。 虞人：掌管山泽的官。 6、解释加点字的意思。（3分） 期：__________ 是：__________ 岂：__________ 7、这则小故事中，魏文侯表现出来的 品德至今还值得我 们学习。（2分） 三、古诗词积累及文学、文化常识（18分） 8、补写诗句，并指出句中带点词指的是谁，在括号中写出他的名字。（10分） （1）故人．．西辞黄鹤楼， 。（ ） （2） ，遍插茱萸少一人．。（ ） （4） ，笑问客．从何处来。（ ） （5） ，家祭无忘告乃翁． 。（ ）
平面几何问题的复数解法.许兴华 复数是高中数学的重要内容之一,在中学数学中,有许多数学问题,如果我们能够根据题目的具体特征,将其转化为复数问题,那么这类数学问题往往可以得到复巧解妙证. 用复数方法解解平面几何的基本思路是,首先运用复数表示复平面上的点,然后利用复数的模和幅角的有关性质,复数运算的几何意义以及复数相等的条件,化几何问题为复数问题来处理. 1.用于证三角形为正三角形 典型1.求证:若三角形重心与其外心重合,则该三角形必 为正三角形. 证明思路分析 以三角形的相重合的外心(重心),为原点O 建立起复平面上的直角坐标系.设321,,Z Z Z 表示三角形的三个顶点,其对应的复 数是.,,321z z z 因O 为外心,故,||||||321r z z z ===又O 为重心，故,033 21=++z z z 即,0321=++z z z 于是由,321z z z -=+得2 2123||||z z z +=)()(2121z z z z ++= ,||||21212221z z z z z z +++=即,22121r z z z z -=+ 22123|||| z z z -=∴)()(2121z z z z --=),(||||21212221z z z z z z +-+=.3|z -z | 21r =∴ 同理可得：.3|z -z | |z -z | 1323r ==∴ 故321,,z z z 在复平面上是正三角形.
2.用于证明几何中的角度相等 典型2.已知正方形OBCD 中（如图），E 是CD 的中点，F 是CE 的中点，求证：FOB DOC ∠=∠2 1. 证明思路分析 建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设 ,1||=OD 则,1=OD ,,4 31,211i OB i OF i OE =+=+= DOE ∠=α是 OD 与OE 的夹角，有 ),43arg(i)21arg(12 ),211arg(2i i +=+=+=αα又 )],43(2516arg[431arg i i i FOB +=+=∠=β ,2βα=∴即FOB DOC ∠=∠21. 3.用于证明几何中的不等式 典型3.在凸四边形ABCD 中，求证：BD AC BC AD CD AB ?≥?+?. 证明思路分析 建立如图所示的复平面上的 直角坐标系，设C,D,A 对应的复数分别是 .,,321z z z 则|, ||||,||||,||||,|||213312z z CD z AB z z CA z DB -==-==|,|||32z z AD -= ||||||||||||||||132213z z z z z z BC AD CD AB ?-+-?=?+? ||||31213231z z z z z z z z -+-=.|||||)(|312BD AC z z z ?=-=
试卷代号：1098 中央广播电视大学2009-2010学年度第二学期“开放本科”期末考试 中学数学教学研究试题 一、填空题（本题共20分，每个空2分） 1．确定中学数学教学目的的依据是------------、---------------、--------------、----------------------- 2．说课的内容包括---------、--------、---------、---------。 3．评价教育实验样本的要点为-----------、---------------、---------------- 二、简述题（本题共60分，每小题12分） 1．简述数学形象思维的功能。 2．简述奥苏伯尔有意义学习的基本观点。 3．如何理解数学的严谨性？在数学教学中如何贯彻严谨性和量力性相结合的教学原则？4．什么是归纳推理，说明它在数学学习中的作用。 5．简述计算机对数学教育产生的影响。 三、综合题（本题20分） 什么是数学能力？数学能力由哪些主要成分组成？结合自己的教学经验，阐述如何在数学教学中培养学生的数学能力。 试卷代号：1098 中央广播电视大学2009-2010学年度第二学期“开放本科”期末考试 中学数学教学研究试题答案及评分标准 （供参考） 一、填空题（本题共20分，每个空2分） 1．党的教育总目标及普通中学的性质和任务数学的特点中学生的年龄特征和认识水平 2．说内容说教法说学法说教学程序 3．随机性代表性样本的容量 二、简述题（本题共60分，每小题12分） 1．答：数学形象思维有如下的功能： 第一，数学形象思维以形象的形式反映数学规律，从而提供数学问题生动而形象的整体显示。因此，易于把握整体。（4分） 第二，数学创造性往往从对形象的思维受到启发，以形象思维为先导。从古到今，形象思维给数学猜想、数学方法的提出以及数学创造都带来了活力。（4分） 第三，数学形象思维可以弥补抽象思维的不足。抽象思维是一种概念的运动，在认识真理方面具有无可怀疑的可感力与优越性。但由于在运动和发展中完全脱离具体的可感的材料，如果再加以绝对化，那也会陷入形而上学的泥潭。（4分） 2．答：奥苏伯尔把学习从两个维度上进行划分：根据学习的内容，把学习分为机械学习和有意义学习；根据学习的方式，把学习分成接受学习和发现学习。（3分）奥苏伯尔认为：在学校条件下，学生的学习应当是有意义的，而不是机械的。从这一观点出发，他认为好的讲授教学是促进有意义学习的唯一有效方法。探究学习，发现学习等在学校里不应经常使用。即奥苏伯尔提倡有意义的接受学习。（3分） 奥苏伯尔认为要产生有意义的接受学习，学习者必须具备两个条件： 第一，学习者必须具有意义学习的心向，即学生必须把学习任务和适当的目的联系起来。如果学生企图理解学习材料，有把新学习的和以前学过的东西联系起来的愿望，那么该生就是以有意义的方式学习新内容。如果学习者不想把新知识与以前学习的知识联系起来，那么
精心整理2018年最新浙江省杭州市文澜中学小升初数学试卷 一、选择题．（每题3分，共18分） 1．（3.00分）在一幅地图上，用2厘米表示实际距离90千米，这幅地图的比例尺是（） A ．B ．C ．D ． 2．（3.00分）一群孩子匀距坐成一个圆圈玩游戏，从大毛开始按顺时针方向数，数到二毛为第8 A．16人 3．（÷（），那 A C 4．（分）如果甲堆煤的重量比乙堆煤少，那么下列说法正确的有（ 给甲堆，那么两堆煤的重量就同样多． ④甲堆占两堆煤总重量的． A 5．（）A．8a2 6．（ A．666个B．133个C．799个D．533个 二、填空题．（每题3分，共36分） 7．（3.00分）找规律填数：1、2、4、7、7、12、10、17、． 8．（3.00分）在，37.7%，，中，最大的数是． 9．（3.00分）被减数、减数、差相加得16，差是减数的3倍，这个减法算式是． 10．（3.00分）在比例3：4中，如果前项加上a，要使比值不变，后项应加上．
11．（3.00分）一个三角形三个内角的度数比是1：1：2，如果其中较短的边长5厘米，则这个三角形的面积是平方厘米． （3.00分）一种洗衣机连续两次降价10%后，每台售价1660.5元，这种洗衣机每台原价是元．12． （3.00分）把3个长是7厘米，宽是2厘米的长方形拼成一个大长方形，大长方形的周长是厘13． 米． 14．（3.00分）甲乙两港相距247.5千米，一艘轮船从甲港驶向乙港用了4.5小时，返回时因为逆水比去时多用1小时，则水流速度为． 15．（0分， 16．（ 17．（，第二组植的棵数18．（100．我 19．（ （1）（ （2） （3） （4） 20．（8.00分）列式计算． （l）0.6与2.25的积去除3.2与1.85的差，商是多少？ （2）一个数的比30的25%多1.5，求这个数． 四、解答题（共26分） 21．（5.00分）曹园小学综合实践活动基地种了三种果树，梨树占总数的，与苹果树的和是180棵，苹果树与其它两种树的比是1：5，三种果树共有多少棵？
2016浙江精彩题选——解析几何解答题 1.（2016名校联盟第一次）19．（本题满分15分） 已知椭圆C ：22 a x ＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点为F 1,F 2 ，离心率为e .直线l :y =ex +a 与x 轴、y 轴分别交于点A ,B 两点，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线 l 的对称点，设. （Ⅰ）若l = 3 4 ，求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）若D PF 1F 2 为等腰三角形，求l 的值.
2.（2016温州一模19）．（本题满分15分）如图，已知椭圆C： 22 22 1(0) x y a b a b +=>> 经过点 ,A B分别为椭圆C的左、右顶点，N M,是椭圆C上非顶点的两点，且OMN ?的面积等于2．（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过点A作OM AP//交椭圆C于点P，求证：ON BP//． 解：（Ⅰ）由题意得： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + = = = = + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ) 2 6 ( 1 c b a a c e b a ，解得： ?? ? ? ? = = 2 4 2 2 b a 故椭圆C的方程为：1 2 4 2 2 = + y x ……………………………………5分 （Ⅱ）解法一：如图所示，设直线OM,ON的方程为 OM y k x =， ON y k x = 联立方程组22 1 42 OM y k x x y = ? ? ? += ?? ，解得M, 同理可得( N,……………………………………7分作' MM x ⊥轴, ' NN x ⊥轴,',' M N是垂足, OMN S ? = '' ''OMM ONN MM N N S S S ?? -- 梯形 1 [()()] 2M N M N M M N N y y x x x y x y =+--+ 1 () 2M N N M x y x y =- 1 2 = =9分 已知 OMN S ? 2 =，化简可得 2 - = ON OM k k.……………………………………11分 设(,) P P P x y,则22 42 P P x y -=，
解析几何中的最值问题 解析几何中的最值问题是很有代表性的一类问题，具有题形多样，涉及知识面广等特点。解决这类问题，需要扎实的基础知识和灵活的解决方法，对培养学生综合解题能力和联想思维能力颇有益处。本文通过实例，就这类问题的解法归纳如下： 一、 转化法 例1、 点Q 在椭圆 22 147 x y +=上，则点Q 到直线32160x y --=的距 离的最大值为 （ ） A B C D 分析：可转化为求已知椭圆平行于已知直线的切线，其中距离已知直线较远的一条切线到该直线的距离即为所求的最大值。 解：设椭圆的切线方程为 3 2 y x b =+，与 22 147 x y +=消去y 得 224370x bx b ++-=由?=01272=+-b 可得4(4)b b ==-舍去，与 32160x y --=平行且距离远的切线方程为3280x y -+= 所以所求最大值为d = = ，故选C 二 、配方法 例2、 在椭圆 22 221x y a b +=的所有内接矩形中，何种矩形面积最大？ 分析：可根据题意建立关系式，然后根据配方法求函数的最值。 解：设椭圆内接矩形在第一象限的顶点坐标为A (),x y ，则由椭圆对称性，矩形的长为2x ，宽为2y ，面积为4xy ，与 22 221x y a b +=消去 y 得： 22b S x a =?=
可知当x a = 时，max 2S ab = 三、 基本不等式法 例3、 设21,F F 是椭圆14 22 =+y x 的两个焦点，P 是这个椭圆上任一点，则21PF PF ?的最大值是 解： 124PF PF += 由12PF PF +≥得 44 )(2 2121=+≤ ?PF PF PF PF 即21PF PF ?的最大值是4 。 四、 利用圆锥曲线的统一定义 例4 、设点A (-，P 为椭圆22 11612 x y +=的右焦点，点 M 在椭 圆上，当取2AM PM +最小值时，点M 的坐标为 （ ） A (- B (- C D 解：由已知得椭圆的离心率为1 2 e = ， 过M 作右准线L 的垂线，垂足为N ，由圆锥曲线的统一定义得 2MN PM = 2AM PM AM MN ∴+=+ 当点M 运动到过A 垂直于L 的直线上时， AM MN +的值最小，此时点M 的坐标为，故选 C 五、 利用平面几何知识 例5 、平面上有两点(1,0),(1,0)A B -，在圆22 (3)(4)4x y -+-=上取一点 P ，求使22 AP BP +取最小值时点P 的坐标。
杭州市文澜中学小升初自主招生语文真题模拟卷·升学学力测试 语文试卷 注意:按要求答题；字迹规整清楚。考试时间为80分钟。 一．基础部分(总30分) 1.下列各项加黑字读音全不同的一项是（）(3分) A殷切殷红雷声殷殷B藉以慰藉声名狼藉 C劲力强劲威武有劲 D.输血血晕血口喷人 2.读下面一段文字,按要求答題。(6分) 读书,是一种最自然的生命状态,是一种精神的跋涉,是一种需臾不可或缺的生活方式；读得一本好书,如同读出一片心灵的绿阴,一股滋润心田的甘露,一剂医治创痛的良药,一道屏蔽尘世宣嚣的隔音壁,一座构筑人格的大厦。 ①请将下面一句话,用楷书规范准确抄写在田字格中。(2分) 读书是一种精神的跋涉 ②写出语段中下列词语中加黑字读音(2分) 绿阴（）创（）痛 ③找出并改正语段中的两个字形有误的字。(2分) 改为改为 3.阅读下面语句,给句中空格选填词语,正确的一项是(3分) ①．那天,我和几个同学一起参加了先生70周年的活动。 ②．这本书可以使学生学会学习，学会终身学习。 ③．报载孙中山先生的女儿孙穗芳女士近年多次北京大学,为推动孙文研究作出了贡献。 A.诞生以致莅临 B.诞辰以至亲临 C.诞生以至亲临 D.诞辰以致莅临 4.汉字有一个特点:相同的字放在不同的位置,词性会随之改变。下列各句中加黑字在句中用作动词的是（）(3分) A.年轻的小白杨在风的爱抚中轻声低语着。 B.我在读书,妈妈推门进来问我吃水果不。 C.一道闪电在天际划过,好伟大的一道光啊。 D.你好奇地问我心在哪里,我说我心在《伊索寓言》里。 5.成语的运用可以使文章更精炼。下列各句成语运用不准确的一项是（）(3分) A.中国人民绝不允许任何形式的”台独”阴谋得逞；我们要听其言观其行,对台湾地区领导
贵州师范大学2007—2008学年度第一学期 《中学数学研究》课程期终考试试卷 (A 卷;闭卷) （代数部分）参考答案及评分标准 一、(12分) ⑴（8分）请给出两种不同的方法证明2不是有理数？ ⑵（4分）数学发展历史上是如何发现无理数的？这一发现在数系扩展中有何价值？ 解： ⑴证法1（奇偶数判别，导致矛盾） 设2是一个有理数x ，即22 =x ，且x 可表示为既约分数 1),(,=n m n m ，于是 22 2=n m ，即 22 2n m =，因此2 m 是偶数，由于奇数的平方不能等于偶数，故m 是偶数。所以设k m 2=，则 2 2 2 2 4)2(2k k m n ===，故2 22k n =，从而n 也是偶数，这与()1,=n m 矛盾，这说明2不是 有理数。 证法2 若22=x ，且x 表示为既约分数 b a 。将 b a ,分解为素因数之积，由于222b a =，则2a 的素因 子必定成对出现，而22b 的素因子中2出现奇数次，矛盾。 证法3 若22 =x ，且x 表示为既约分数b a 。因为222 b a =，故b 可整除2 a ，但()1,= b a ，故1=b ， 所以22 =a ，由此得221<<，由于1和4之间没有完全平方项，矛盾。 上述证法，每做对一种，给4分。但总分不超过8分 ⑵略 4分 二、（13分） ⑴（6分）为什么说初等数学中三角函数的定义是用几何方法建立起来的？请按中学数学教材体系给出正弦、余弦在初中和高中的定义。 ⑵（5分）数学分析教程中，可将三角函数展开成幂级数，请给出解析正弦和解析余弦的定义。为什么通过证明又说三角式的概念并不依赖于几何解释？ ⑶（2分）上述问题的探析对你有何启示？ 解：
解析几何中的最值问题 一、教学目标 解析几何中的最值问题以直线或圆锥曲线作为背景，以函数和不等式等知识作为工具，具有较强的综合性，这类问题的解决没有固定的模式，其解法一般灵活多样，且对于解题者有着相当高的能力要求，正基于此，这类问题近年来成为了数学高考中的难关。基本内容：有关距离的最值，角的最值，面积的最值。 二、教学重点 方法的灵活应用。 三、教学程序 1、基础知识 探求解析几何最值的方法有以下几种: (1)函数法（设法将一个较复杂的最值问题，通过引入适当的变量能归为某初等函数（常见）的有二次函数和三角函数）的最值问题，然后通过对该函数单调性和最值的考察使问题得以解决。 (2)不等式法：（常用的不等式法主要有基本不等式等） (3)曲线定义法：利用圆锥曲线的定义刻画了动点与动点（或定直线）距离之间的不变关系，一般来说涉及焦半径、焦点弦的最值问题可以考虑该方法 （4）平面几何法：有些最值问题具有相应的几何意义（如分式最值联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公式等等） （1）函数法 例1、已知P 点在圆()2241x y +-=上移动，Q 点在椭圆2 219 x y +=上移动,试求PQ 的最大值。 分析：两个都是动点，看不出究竟，P 、Q 在什么位置时|PQ|最大 故先让Q 点在椭圆上固定，显然当PQ 通过圆心O 1时|PQ|最大，因此要求|PQ| 的最大值，只要求|OQ|的最大值。 说明：函数法其我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不易忽视。 例2 在平面直角坐标系xOy 中，点(),P x y 是椭圆2 213 x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值 （2）不等式法
历年浙江解析几何高考题 1、（042）直线y=2与直线x+y—2=0的夹角是（） (A)(B)(C)(D) 2、（046文理）曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是（） (A)y2=8--4x (B)y2=4x—8 (C)y2=16--4x (D)y2=4x—16 3、(0411文理)椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被点（，0） 分成5：3两段，则此椭圆的离心率为（） (A)(B)(C)(D) 4、（0422文理）（本题满分14分）已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）.点P、Q 在双曲线的右支上，点M（m,0）到直线AP的距离为1. （Ⅰ）若直线AP的斜率为k ，且，求实数m的取值范围； （Ⅱ）当时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程. 5、（053文理）．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( ) (A) (B) (C) (D) 6、（059）．函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( ) (A)1/8 (B)1/4 (C) 1/2 (D)1 7、（0513文理）．过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线 相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．
8、（0519）．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2 在x轴上，长轴A 1 A 2 的长为4， 左准线l与x轴的交点为M，|MA 1|∶|A 1 F 1 |＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F 1PF 2 最大值． （理）(Ⅱ)若直线l1：x＝m(|m|＞1)，P为l1上的动点，使∠F1PF2最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用m表示)． 9、(063)抛物线的准线方程是（） (A) (B) (C) (D) 10、（0613）双曲线上的离心率是3，则等于 11、（0619）如图，椭圆＝1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=(Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)设F、F分别为椭圆的左、右焦点，求证：。 （理Ⅱ）设、分别是椭圆的左、右焦点，为线段的中点，求证；
习题1.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点。 已知：如图，梯形ABCD 中，A D ∥BC,AB=AD+BC,E 是 DC 中点 求证：∠DAB 与∠ABC 的平分线必经过E 点。 证明（同一法）： 设∠DAB 与∠ABC 的角平分线交于E ′点，只需证E ′点与E 点重合。 ∵A D ∥BC ∴∠DAB+∠ABC=180° ∵∠1=∠2, ∠3=∠4, ∴∠2+∠3=90° ∴∠A E ′B =90° 作Rt △ABE ′的斜边AB 上的中线 FE ′,则 FE ′=2 1AB=AF=BF ∴∠2=∠A E ′F , ∠3=∠B E ′F ∴∠1=∠2=∠A E ′F , ∴E ′F ∥A D ∥BC 连结EF,则EF 为梯形 ABCD 的中位线, E F ∥A D ∥BC ∴E ′F 与 E F 共线 ∵FE ′=2 1AB=2 1(AD+BC), FE =2 1(AD+BC) ∴E ′F = E F ∴E ′与 E 重合。 证 毕 。 习题2.A 是等腰三角形ABC 的顶点，将其腰AB 延长至D ，使BD=AB 。知CD=10厘米，求AB 边上中线的长。 解：过B 作BF ∥AC 交CD 于F ， 则BF 是△DAC 的中位线。 ∴BF 2 1 AC ∴∠FBC=∠ACB 又∠ACB=∠ABC ，AB=AC ∴∠FBC=∠ABC ，BF=2 1 AB=BE ∴△EBC ≌△FBC （SAS ） ∴CE=CF=21CD=2 1 ×10=5cm 即△ABC 中边上的中线CE 的长为5厘米。 习题3.证明：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离之差为常量。 已知：如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC 。D 为BC 延长线上一点，过D 作DE ⊥ AB 于E ，作D F ⊥ AC 延长线于F 。 求证：D E －DF 为常量。
2020年浙江高考解析几何题 作者：题海降龙 【真题回放】 （2017浙江—抛物线与圆） 如图，已知抛物线x 2=y ，点A （﹣，），B （，），抛物线上的点P （x ，y ）（﹣＜x ＜），过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（1）求直线AP 斜率的取值范围；（2）求|PA |?|PQ |的最大值． 【原创解法】 （2018浙江—抛物线与半椭圆） 如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上． （1）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴； （2）若P 是半椭圆x 2 +2 4 y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围． 【解析】 （Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2 221(,)4 B y y ．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程2 2014()422 y x y y ++=? 即22 000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根所以1202y y y +=因此，PM 垂直于y 轴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1202 12002,8, y y y y y x y +=???=-??所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=- ，12||y y -=．因此，PAB △ 的面积3 2212001||||(4)24 PAB S PM y y y x =?-=-△．因为2 200 01(0)4y x x +=<，所以22 00004444[4,5]y x x x -=--+∈．PAB △ 面积的取值范围是15104 ． 【原创解法】2018年属于简单题，关键处理好第一小题的韦达定理。（2019浙江—抛物线与三角形） （2019浙江）过焦点F （1,0）的直线与抛物线 y 2 =2px 交于A,B 两点,C 在抛物线,△ABC 的 重心P 在x 轴上，AC 交x 轴于点Q （点Q 在点P 的右侧）。（1）求抛物线方程及准线方程; （2）记△AFP ,△CQP 的面积分别为 S 1, S 2,求 S 1 S 2 的最小值及此时点P 的坐标 【原创解法】 2020年浙江高考解几预测 近三年浙江高考解析几何都是以抛物线为大背景即抛物线与圆、椭圆、三角形的组合图形呈现。2020年在维稳的大环境下，抛物线出现的可能性最大，但平时也需要练一下椭圆问题。毕竟我们无法猜测高考出卷老师刹那间的灵感（想法），猜中的可能性比买彩票中奖更难。希望在临近高考时，下面几题能激发您灵感，悟出真谛！