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精选浙江专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.8曲线与方程教师用书

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何 9.8

曲线与方程教师用书

1．曲线与方程的定义

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．

2．求动点的轨迹方程的基本步骤

【知识拓展】

1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．

2．曲线的交点与方程组的关系：

(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；

(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( √ ) (2)方程x 2

＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × )

(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2

＝y 2

.( × ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2

表示同一曲线．( × ) (5)y ＝kx 与x ＝1

y 表示同一直线．( × )

1．(教材改编)已知点F (14，0)，直线l ：x ＝－1

4，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴

的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线答案 D

解析由已知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．

2．(2016·广州模拟)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B ．两条射线

C ．两条线段

D ．一条直线和一个射线答案 D

解析原方程可化为?

2x ＋3y －1＝0，

x －3≥0或x －3－1＝0，

即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，

故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．

3．(2016·南昌模拟)已知A (－2,0)，B (1,0)两点，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为原点，则P 点的轨迹方程是( ) A ．(x ＋2)2

＋y 2

＝4(y ≠0) B ．(x ＋1)2

＋y 2

＝1(y ≠0) C ．(x －2)2

＋y 2

＝4(y ≠0) D ．(x －1)2

＋y 2

＝1(y ≠0) 答案 C

解析由角的平分线性质定理得|PA |＝2|PB |，设P (x ，y )，则

x ＋

＋y 2

＝2

x －

＋y 2

，

整理得(x －2)2

＋y 2

＝4(y ≠0)，故选C.

4．过椭圆x 2a 2＋y 2

2＝1(a >b >0)上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，则线段MN 中点的轨迹方

程是________________．

答案 x 2a 2＋4y 2

2＝1

解析设MN 的中点为P (x ，y )，

则点M (x,2y )在椭圆上，∴x 2

a 2＋

y 2

b 2

＝1，

即x 2a 2＋4y 2

2＝1(a >b >0).

题型一定义法求轨迹方程

例1 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．解如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．由|O 1O 2|＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有|MO 1|＝r －1；

由动圆M 与圆O 2外切，有|MO 2|＝r ＋2. ∴|MO 2|－|MO 1|＝3<4＝|O 1O 2|.

∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a

＝74

. ∴点M 的轨迹方程为4x 2

9－4y 2

7＝1 (x ≤－3

)．

思维升华应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等

量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．

已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则

顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 2

＝1 C.x 2

9－y 2

16＝1 (x >3) D.x 216－y 2

9＝1 (x >4) 答案 C

解析如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，

所以|CA |－|CB |＝8－2＝6<10＝|AB |.

根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支(y ≠0)，方程为x 2

－y 2

＝1 (x >3)．题型二直接法求轨迹方程

例2 (2016·广州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为5

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．

解 (1)依题意得，c ＝5，e ＝c a ＝53

，因此a ＝3，b 2

＝a 2

－c 2

＝4，故椭圆C 的标准方程是x 29＋y 2

＝1.

(2)若两切线的斜率均存在，设过点P (x 0，y 0)的切线方程是y ＝k (x －x 0)＋y 0，

则由?????

y ＝k x －x 0＋y 0，x 29＋y

＝1，

得x 29

＋[k x －x 0＋y 0]2

＝1，

即(9k 2

＋4)x 2

＋18k (y 0－kx 0)x ＋9[(y 0－kx 0)2

－4]＝0， Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2

－36(9k 2

＋4)[(y 0－kx 0)2

－4]＝0，整理得(x 2

0－9)k 2

－2x 0y 0k ＋y 2

0－4＝0. 又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为k 1，k 2，

于是有k 1k 2＝－1，即y 20－4

x 20－9

＝－1，

即x 2

0＋y 2

0＝13(x 0≠±3)．若两切线中有一条斜率不存在，

则易得???

x 0＝3，y 0＝2或?

x 0＝－3，

y 0＝2或?

x 0＝3，

y 0＝－2

或???

x 0＝－3，y 0＝－2，

经检验知均满足x 2

0＋y 2

0＝13.

因此，动点P (x 0，y 0)的轨迹方程是x 2

＋y 2

＝13.

思维升华直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．

在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2

2＝1(a >b >0)

的左，右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；

(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →

＝－2，求点M 的轨迹方程．

解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即a －c

＋b 2

＝2c ，

整理得2? ????c a

2＋c a

－1＝0，

得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝12

. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2

＋4y 2

＝12c 2

，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．

A ，

B 两点的坐标满足方程组??

3x 2＋4y 2＝12c 2

，y ＝3x －c

消去y 并整理，得5x 2

－8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝8

c ，

得方程组的解??

x 1＝0，

y 1＝－3c ，

?????

x 2＝85c ，y 2

＝335c .

不妨设A ? ????

c ，335c ，B (0，－3c )．

设点M 的坐标为(x ，y )，

则AM →＝? ????x －8

5c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．

由y ＝3(x －c )，得c ＝x －

y . 于是AM →＝? ????8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2，

即?

????8315y －35x ·x ＋? ????

y －335x ·3x ＝－2. 化简得18x 2

－163xy －15＝0. 将y ＝18x 2

－15163x 代入c ＝x －3

3y ，

得c ＝10x 2＋5

16x >0.

所以x >0.

因此，点M 的轨迹方程是18x 2

－163xy －15＝0(x >0)．题型三相关点法求轨迹方程

例3 (2016·大连模拟)如图所示，抛物线C 1：x 2

＝4y ，C 2：x 2

＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－1

(1)求p 的值；

(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．解 (1)因为抛物线C 1：x 2

＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x

2，

且切线MA 的斜率为－1

2，

所以点A 的坐标为(－1，1

4)，

故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋1

因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，所以y 0＝－12×(2－2)＋1

＝－3－22

，①

y 0＝－

－22

＝－3－222p

.②

由①②得p ＝2.

(2)设N (x ，y )，A (x 1，x 214)，B (x 2，x 22

4)，x 1≠x 2.

由N 为线段AB 的中点，知

x ＝x 1＋x 2

2，③

y ＝

x 21＋x 2

.④

所以切线MA ，MB 的方程分别为

y ＝x 12(x －x 1)＋x 214，⑤

y ＝x 2

(x －x 2)＋x 22

.⑥

由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为

x 0＝x 1＋x 22

，y 0＝x 1x 24

因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 2

0＝－4y 0，

所以x 1x 2＝－

x 21＋x 2

.⑦

由③④⑦得x 2

＝43y ，x ≠0.

当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，

AB 的中点N 为点O ，坐标满足x 2＝4

y .

因此AB 的中点N 的轨迹方程是x 2

＝43y .

思维升华 “相关点法”的基本步骤

(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；

(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式?

x 1＝f

x ，y ，

y 1＝g x ，y ；

(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．

设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2

＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任

意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程．解设△ABC 的重心为G (x ，y )，

点C 的坐标为(x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

由方程组?

????

x －y ＝4a ，

y 2

＝4ax ，

消去y 并整理得

x 2－12ax ＋16a 2＝0.

∴x 1＋x 2＝12a ，

y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a .

∵G (x ，y )为△ABC 的重心，

∴?????

x ＝x 0

＋x 1

＋x 2

3＝x 0

＋12a 3，y ＝y 0

＋y 1

＋y 2

3＝y 0

＋4a

，∴?

x 0＝3x －12a ，

y 0＝3y －4a .

又点C (x 0，y 0)在抛物线上， ∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得 (3y －4a )2

＝4a (3x －12a )，即(y －4a 3)2＝4a

(x －4a )．

又点C 与A ，B 不重合，∴x 0≠(6±25)a ， ∴△ABC 的重心的轨迹方程为

(y －4a 3)2＝4a 3(x －4a )(x ≠(6±25

3)a )．

24．分类讨论思想在曲线方程中的应用

典例 (15分)已知抛物线y 2

＝2px 经过点M (2，－22)，椭圆x 2a 2＋y 2

2＝1的右焦点恰为抛物线

的焦点，且椭圆的离心率为1

(1)求抛物线与椭圆的方程；

(2)若P 为椭圆上一个动点，Q 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的一点，|OP |

|OQ |＝λ(λ≠0)，

试求Q 的轨迹．

思想方法指导 (1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x 2

，y 2

的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论． (2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程． (3)区分求轨迹方程与求轨迹问题．规范解答

解 (1)因为抛物线y 2

＝2px 经过点M (2，－22)，所以(－22)2

＝4p ，解得p ＝2. 所以抛物线的方程为y 2

＝4x ，[2分]

其焦点为F (1,0)，即椭圆的右焦点为F (1,0)，得c ＝1. 又椭圆的离心率为1

2，所以a ＝2，

可得b 2

＝4－1＝3，故椭圆的方程为

x 24

＋y 2

＝1.[5分]

(2)设Q (x ，y )，其中x ∈[－2,2]，设P (x ，y 0)，因为P 为椭圆上一点，所以x 24＋y 20

3＝1，

解得y 2

0＝3－34x 2.[7分]

由|OP ||OQ |＝λ可得|OP |2

|OQ |

2＝λ2，故

x 2＋3－3

x 2

＋y

＝λ2

，

得(λ2－14)x 2＋λ2y 2

＝3，x ∈[－2,2]．[9分]

当λ2＝14，即λ＝12时，得y 2

＝12，

点Q 的轨迹方程为y ＝±23，x ∈[－2,2]，此轨迹是两条平行于x 轴的线段；当λ2<1

4，即0<λ<12时，

得到

x 2

λ2－

＋

y 2

3λ

2＝1，

此轨迹表示实轴在y 轴上的双曲线满足x ∈[－2,2]的部分；[12分] 当λ2

>14，即λ>12时，得到

x 2

λ2

－

＋

y 2

λ2

＝1.

此轨迹表示实轴在x 轴上的椭圆满足x ∈[－2,2]的部分．[15分

]

1．(2016·绍兴质检)设定点M 1(0，－3)，M 2(0,3)，动点P 满足条件|PM 1|＋|PM 2|＝a ＋9

(其

中a 是正常数)，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．椭圆或线段 D ．不存在答案 C

解析 ∵a 是正常数，∴a ＋9

≥29＝6.

当|PM 1|＋|PM 2|＝6时，点P 的轨迹是线段M 1M 2；当a ＋9

>6时，点P 的轨迹是椭圆，

故选C.

2．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x 2

＋y 2

＝9 C.x 225＋y 2

9＝1 D ．x 2

＝16y 答案 B

解析 ∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，∴M 的轨迹是以A (－5,0)，

B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216

－y 2

＝1.

A 项，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；

B 项，x 2

＋y 2

＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意； C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 2

9＝1与M 的轨迹有交点，满足题意；

D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 2

9＝1，即y 2

－9y ＋9＝0，∴Δ>0，满足题意．

3．(2016·银川模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段

PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )

A ．2x ＋y ＋1＝0

B ．2x －y －5＝0

C ．2x －y －1＝0

D ．2x －y ＋5＝0 答案 D

解析由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.

4．(2016·太原模拟)已知圆锥曲线mx 2

＋4y 2

＝4m 的离心率e 为方程2x 2

－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 B

解析 ∵e 是方程2x 2

－5x ＋2＝0的根，

∴e ＝2或e ＝1

mx 2

＋4y 2

＝4m 可化为x 24＋y 2

＝1，

当它表示焦点在x 轴上的椭圆时，有

4－m 2＝1

，∴m ＝3；当它表示焦点在y 轴上的椭圆时，有

m －4m

＝12，∴m ＝16

3；当它表示焦点在x 轴上的双曲线时，

可化为x 2

4－y 2

－m

＝1，

有

4－m

＝2，∴m ＝－12. ∴满足条件的圆锥曲线有3个．

5．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →

，则点P 的轨迹方程为( ) A ．y ＝－2x B ．y ＝2x C ．y ＝2x －8 D ．y ＝2x ＋4 答案 B

解析设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →

知，点A 是线段RP 的中点，

∴?????

x ＋x 1

2＝1，y ＋y 1

2＝0，

即????

x 1＝2－x ，y 1＝－y .

∵点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上，

∴y 1＝2x 1－4，∴－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x .

6．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →

(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．双曲线答案 A

解析设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →

＝(－1,3)，

∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →

，∴?

x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，

又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．

7．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2

(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；

③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2

其中，所有正确结论的序号是________．答案 ②③

解析因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，且a >1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为12

F PF S

＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12

a 2

，即△F 1PF 2

的面积不大于12

a 2

，所以③正确．

8．(2016·西安模拟)已知△ABC 的顶点A ，B 坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin B ＋sin A ＝5

4sin C ，则C 点的轨迹方程为________________．

答案

x 225＋y 2

＝1(x ≠±5) 解析由sin B ＋sin A ＝54sin C 可知b ＋a ＝5

4c ＝10，

则|AC |＋|BC |＝10>8＝|AB |，∴满足椭圆定义．

令椭圆方程为x 2a ′2＋y 2

b ′2

＝1，

则a ′＝5，c ′＝4，b ′＝3，则轨迹方程为

x 2

＋y 2

＝1(x ≠±5)． 9.如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b

2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1

→

＋PF 2→

，则动点Q 的轨迹方程是________．

答案 x 24a 2＋y 2

2＝1

解析由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→

，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，

则OP →

＝－12OQ →＝(－x 2，－y 2

)，

即P 点坐标为(－x 2，－y

)，又P 在椭圆上，

则有

－

a 2＋

－y

b 2

＝1，即x 24a 2＋y 2

2＝1.

10．已知圆的方程为x 2

＋y 2

＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________________．答案

x 24

＋y 2

＝1(y ≠0) 解析设抛物线的焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，

由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |， ∴|FA |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．

11．已知实数m >1，定点A (－m,0)，B (m,0)，S 为一动点，点S 与A ，B 两点连线斜率之积为－1m

(1)求动点S 的轨迹C 的方程，并指出它是哪一种曲线；

(2)若m ＝2，问t 取何值时，直线l ：2x －y ＋t ＝0(t >0)与曲线C 有且只有一个交点？解 (1)设S (x ，y )，则k SA ＝y －0x ＋m ，k SB ＝y －0

x －m

. 由题意，得

y 2

x 2

－m

＝－1

2，

即x 2m

2＋y 2

＝1(x ≠±m )．

∵m >1，∴轨迹C 是中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去x 轴上的两顶点)，其中长轴长为2m ，短轴长为2.

(2)m ＝2，则曲线C 的方程为x 2

2＋y 2

＝1(x ≠±2)．

由?????

2x －y ＋t ＝0，x 22

＋y 2

＝1，

消去y ，得9x 2

＋8tx ＋2t 2

－2＝0.

令Δ＝64t 2

－36×2(t 2

－1)＝0，得t ＝±3. ∵t >0，∴t ＝3.

此时直线l 与曲线C 有且只有一个交点．

12．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2

，过左焦点且倾斜角为45°的直线被椭圆

截得的弦长为42

(1)求椭圆E 的方程；

(2)若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点M (1，0)作l 的垂线，垂足为Q ，求点Q 的轨迹方程．

解 (1)因为椭圆E 的离心率为

，所以a 2－b 2a ＝22

解得a 2

＝2b 2

，故椭圆E 的方程可设为

x 22b 2＋y 2

2＝1，则椭圆E 的左焦点坐标为(－b,0)，

过左焦点且倾斜角为45°的直线方程为l ′：y ＝x ＋b . 设直线l ′与椭圆E 的交点为A ，B ，

由?????

x 22b 2＋y 2

b 2＝1，y ＝x ＋b

消去y ，

得3x 2

＋4bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－4b 3.

因为|AB |＝1＋12

|x 1－x 2|

＝

42b 3＝42

，解得b ＝1.

故椭圆E 的方程为x 2

＋y 2

＝1.

(2)①当切线l 的斜率存在且不为0时，

设l 的方程为y ＝kx ＋m ，联立直线l 和椭圆E 的方程，

得?????

y ＝kx ＋m ，x 22

＋y 2

＝1，消去y 并整理，

得(2k 2

＋1)x 2

＋4kmx ＋2m 2

－2＝0. 因为直线l 和椭圆E 有且只有一个交点，所以Δ＝16k 2m 2

－4(2k 2

＋1)(2m 2

－2)＝0. 化简并整理，得m 2

＝2k 2

＋1. 因为直线MQ 与l 垂直，

所以直线MQ 的方程为y ＝－1

(x －1)．

联立方程组?????

y ＝－1k x －，

y ＝kx ＋m ，解得????

x ＝

1－km

1＋k

2，y ＝k ＋m

1＋k 2

，

所以x 2

＋y 2

＝

－km

2＋k ＋m 2

＋k

＝k 2m 2＋k 2＋m 2＋1＋k

＝

k 2＋

m 2＋

＋k

＝m 2＋11＋k

2，把m 2

＝2k 2

＋1代入上式得x 2

＋y 2

＝2.(*) ②当切线l 的斜率为0时，

此时Q (1,1)或Q (1，－1)，符合(*)式．

③当切线l 的斜率不存在时，此时Q (2，0)或Q (－2，0)符合(*)式．综上所述，点Q 的轨迹方程为x 2

＋y 2

＝2.

*13.(2016·河北衡水中学三调)如图，已知圆E ：(x ＋3)2

＋y 2

＝16，点F (3，0)，P 是圆

E 上任意一点，线段P

F 的垂直平分线和半径PE 相交于点Q .

(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；

(2)设直线l 与(1)中轨迹Γ相交于A ，B 两点，直线OA ，l ，OB 的斜率分别为k 1，k ，k 2(其中k >0)，△OAB 的面积为S ，以OA ，OB 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2，若k 1，k ，k 2恰好构成等比数列，求

S 1＋S 2

的取值范围．解 (1)连接QF ，根据题意， |QP |＝|QF |，

则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP | ＝4>|EF |＝23，

故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆．

设其方程为x 2a 2＋y 2

2＝1(a >b >0)，

可知a ＝2，c ＝a 2

－b 2

＝3，则b ＝1， ∴点Q 的轨迹Γ的方程为x 2

4＋y 2

＝1.

(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，

A (x 1，y 1)，

B (x 2，y 2)．

联立方程???

y ＝kx ＋m ，x 2

＋4y 2

＝4，

整理得，

(1＋4k 2

)x 2

＋8kmx ＋4m 2

－4＝0， Δ＝16(1＋4k 2

－m 2

)>0，

x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝m 2

－

1＋4k 2

. ∵k 1，k ，k 2构成等比数列， ∴k 2

＝k 1k 2＝

kx 1＋m

kx 2＋m

x 1x 2

，

整理得km (x 1＋x 2)＋m 2

＝0， ∴－8k 2m 2

1＋4k 2＋m 2＝0，解得k 2

＝14. ∵k >0，∴k ＝12.

此时Δ＝16(2－m 2

)>0，解得m ∈(－2，2)．

又由A ，O ，B 三点不共线得m ≠0，从而m ∈(－2，0)∪(0，2)．故S ＝12|AB |d ＝121＋k 2

|x 1－x 2|·|m |1＋k 2

＝12

x 1＋x 2

－4x 1x 2·|m |

＝2－m 2

|m |. 又x 21

4＋y 2

＝x 22

4＋y 2

2＝1，则S 1＋S 2＝π4(x 21＋y 21＋x 22＋y 22)

＝π4(34x 21＋34x 2

2＋2) ＝3π16[(x 1＋x 2)2

－2x 1x 2]＋π2＝5π4

为定值． ∴

S 1＋S 2S ＝5π4

×1－m

2m 2≥5π

，当且仅当m ＝±1时等号成立．综上，

S 1＋S 2S ∈[5π

，＋∞)．

2017年浙江数学高考试题文档版(含标准答案)

绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学一、选择题：本大题共10小题，每小题４分,共40分。每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合{}{}x -10”是465"+2"S S S >的

A. 充分不必要条件Ｂ. 必要不充分条件Ｃ. 充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件 7．函数y (x)y (x)f f ==，的导函数的图像如图所示，则函数y (x)f =的图像可能是８．已知随机变量i ξ满足Ｐ(i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）＝1—p i ，i =１，2．若0＜p 1

2D()ξ C ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ＜2D()ξ?? D.1E()ξ>2E()ξ,1D()ξ>2D()ξ 9．如图,已知正四面体D –ABC (所有棱长均相等的三棱锥),P,Q,R 分别为AB ，BC ,CA 上的点，AP ＝ＰB ,2BQ CR QC RA ==,分别记二面角Ｄ–ＰＲ–Ｑ，Ｄ–P Ｑ–R ,D –QR –P 的平面角为α,β,γ，则 A ．γ＜α<β? ? Ｂ．α<γ<β ???Ｃ.α＜β<γ???D.β＜γ<α 10.如图,已知平面四边形AB ＣＤ，ＡB ⊥B Ｃ，AB ＝ＢＣ＝ＡＤ=2，CD =3，AC 与ＢD 交于点Ｏ，记 1·I OA OB ＝ ,2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝,则

2018年浙江高考数学试卷

2018年普通高等学校招生全国统一考试 (浙江卷) 数学一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1. 已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则C U A =( ) A . φ B . {1，3} C . {2，4，5} D . {1，2，3，4，5} 2. 双曲线 ?y 2=1的焦点坐标是( ) A . (?，0)，(，0) B . (?2，0)，(2，0) C . (0，?)，(0，) D . (0，?2)，(0，2) 3. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位： cm 3)是( ) A . 2 B . 4 C . 6 D . 8 4. 复数 (i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A . 1+I B . 1?I C . ?1+I D . ?1?i 5. 函数y = sin 2x 的图象可能是( ) D C 6. 已知平面α，直线m ，n 满足m ?α，n ?α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件 7. 设0

为θ3，则( ) A. θ1≤θ2≤θ3 B. θ3≤θ2≤θ1 C. θ1≤θ3≤θ2 D. θ2≤θ3≤θ1 9.已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为，向量b满足 b2?4e?b+3=0，则|a?b|的最小值是( ) A. ?1 B. +1 C. 2 D. 2? 10.已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)，若a1>1，则( ) A. a1a3，a2a4 D. a1>a3，a2>a4 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则，当z=81时，x=_______，y=_______ 12.若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最小值是___________，最大值是___________ 13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，A=60°，则 sinB=_________________，c=___________________ 14.二项式(+)8的展开式的常数项是_________________________ 15.已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是 ___________________，若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是__________________ 16.从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 ______________________个没有重复数字的四位数(用数字作答) 17.已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当 m=____________________时，点B横坐标的绝对值最大三、解答题(本大题共5小题，共74分) 18.(14分)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点 34 P--，（1）求sin(α+π)的值；（2）若角β满足sin(α+β)=，求c osβ的值 (,) 55

历年高考数学圆锥曲线试题汇总

高考数学试题分类详解——圆锥曲线一、选择题 1.设双曲线22221x y a b -=（ａ＞0，b>０）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于（Ｃ）（A)3 (B)2 (Ｃ)5 （D ）6 ２.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 （D ）. 3 3．过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是（） A.2 B.3 C.5 D ．10 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线 AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ) A ． 3 B ．22 Ｃ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是（ ) A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” Ｄ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点)是“ 点” ６.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线ｙ=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为（）．Ａ. 4 5 B. ５ C. 2 5 D.5 2

2017年高考数学(浙江卷)

2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(4分)已知集合，，那么P∪Q=（） A.(-1，2) B.(0，1) C.(-1，0) D.(1，2) 2.(4分)椭圆的离心率是（） 3.(4分)某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm）是( ) A.B. C.D. 4.(4分)若满足约束条件，则的取值范围是（） A.[0，6] B.[0，4] C.[6，+∞] D.[4，+∞] 5.(4分)若函数在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M- m（） A.与有关，且与b有关 B.与有关，但与b无关 C.与无关，且与b无关 D.与无关，但与b有关 6.(4分)已知等差数列的公差为d，前n项和为S n，则"d>0"是"S4+S6>2S5"的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(4分)函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（）

A.B. C.D. 8.(4分)已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=p i，P(ξi=0)=1-p i，i=1，2．若，则（） A.E(ξ1)D(ξ2) C.E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2) 9.(4分)如图，已知正四面体D-ABC(所有棱长均相等的三棱锥)，P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，，分别记二面角D-PR-Q，D-PQ-R，D-QR-P的平面角为α，β，γ，则（） A.γ<α<β B.α<γ<β C.α<β<γ D.β<γ<α 10.(4分)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则（） A.I1

2017年高考数学浙江卷及答案解析

数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 参考公式：球的表面积公式椎体的体积公式 24πS R = 1h 3V S = 球的体积公式其中S 代表椎体的底面积 2 4π3V R = h 表示椎体的高其中R 表示球的半径台体的体积公式柱体的体积公式 () b 1 h 3a V S S = h V S = 其中的a S ，b S 分别表示台体的 h 表示柱体的高上、下底面积 h 表示台体的高选择题部分(共40分) 一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合{}{}-1<1Q=02P x x x x =<<<，，那么PUQ = A .(-1，2) B .(0，1) C .(-1，0) D .(1，2) 2.椭圆221 4x y +=的离心率是 A B C .23 D .59 3.某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：3cm )是第3题图 A .π+12 B . π +32 C .3π +12 D .3π+32 4.若x ，y 满足约束条件0+-30-20x x y x y ?? ??? ≥≥≤，则z 2x y =+的取值范围是 A .[0]6, B .[0]4, C .[6+)∞, D .[4+)∞, 5.若函数2()=f x x ax b ++在区间[0]1，上的最大值是M ，最小值是m ，则-m M A .与a 有关，且与b 有关 B .与a 有关，但与b 无关 C .与a 无关，且与b 无关 D .与a 无关，但与b 有关 6.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是465"+2"S S S >的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 7.函数()y f x =的导函数()y f x ' = 的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是第7题图毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效----------------

2018浙江高考数学试题及其官方标准答案

２01８年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷一、选择题(本大题共1０小题,每小题４分,共4０分) 1. 已知全集U ={１，２,３，4,５},Ａ={１，３},则C ＵA =( ） A . ? B . ｛１，３｝ C . ｛2，4，５} Ｄ. {1，2，3，4，5} 2. 双曲线 x 23 ?ｙ2=１的焦点坐标是( ) Ａ. （?√2,０),（√2,0） B . （?2,０),(2,０) C . (0,?√2)，(0，√2)?Ｄ. (０，?2)，（0，2） 3. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm ),则该几何体的体积(单位:cm 3）是( ) A ．２ B ． 4? C . 6 D . 8 4. 复数 2 1?i (i 为虚数单位）的共轭复数是（） A . 1+i ?B . 1?i Ｃ. ?1+ｉ?D . ?1?i 5. 函数ｙ=2|x |sin 2x 的图象可能是( ) 6. 已知平面α，直线m ,n 满足m ?α,ｎ?α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) 俯视图正视图 D C B A

A ．充分不必要条件? B ．必要不充分条件 C . 充分必要条件? D . 既不充分也不必要条件 7. 设0<ｐ＜1，随机变量ξ的分布列是 ?则当p 在(０,1）内增大时( A . D （ξ）减小?B . D (ξ）增大 C ． D (ξ)先减小后增大 D . D （ξ)先增大后减小 8. 已知四棱锥S ?ABC Ｄ的底面是正方形,侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点),设SE 与BC 所成的角为 θ1,ＳE 与平面ＡBCD 所成的角为θ2,二面角S ?A Ｂ?C 的平面角为θ3，则( ) A . θ1≤θ2≤θ3 Ｂ． θ３≤θ2≤θ1 C . θ１≤θ3≤θ２?Ｄ. θ2≤θ3≤θ１ 9. 已知a ，b ,e 是平面向量,e 是单位向量,若非零向量a 与e 的夹角为 π 3,向量b 满足b 2?4e ?b +3=0,则|a ?b |的最小值是( ) Ａ. √3?1?Ｂ． √3+1?C . 2 D . 2?√3 10. 已知a 1，a ２,ａ3，a 4成等比数列，且ａ１＋ａ2+a 3+a 4＝ｌｎ(a １＋a 2+ａ3),若a 1>1，则（ ) A . a 1a 3,a 2 a 4 Ｄ. a 1>a 3,a 2>ａ4 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分,共36分) 11. 我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三;鸡雏三,值钱一,凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母，鸡雏个数分别为x ,y ,z ，则{x +y +z =100 5x +3y +1 3 z =100 ,当z =81时,x =___＿_______＿______________，ｙ=___＿___＿____＿_______＿______ 12. 若x ,y 满足约束条件{x ?y ≥0 2x +y ≤6x +y ≥2 ，则ｚ=x +3y 的最小值是__＿_＿__＿____＿____＿___＿__,最大值是__＿____＿＿__＿ ______＿__ 13. 在△ＡＢC 中,角A ,Ｂ，Ｃ所对的边分别为ａ,b ，ｃ,若a =√7，b =2,A ＝60°,则sinB =__＿______＿_＿＿___＿,c =____ ＿____＿_＿_______ 14. 二项式(√x 3 ＋ 1 2x )8的展开式的常数项是＿＿_＿_＿___________＿_______ 15. 已知λ∈Ｒ,函数f (x )={ x ?4，x ≥λ x 2?4x +3，x <λ ，当λ=2时,不等式ｆ(x ）<0的解集是____＿__＿______＿______,若函数ｆ