什么是卡尔曼滤波?
你可以在任何含有不确定信息的动态系统中使用卡尔曼滤波，对系统下一步的走向做出有根据的预测，即使伴随着各种干扰，卡尔曼滤波总是能指出真实发生的情况。
在连续变化的系统中使用卡尔曼滤波是非常理想的，它具有占用内存小的优点(除了前一个状态量外，不需要保留其它历史数据)，并且速度很快，很适合应用于实时问题和嵌入式系统。
实际上，如果以正确的方式看待它，卡尔曼滤波是非常简单和容易理解的，下面我将用漂亮的图片和色彩清晰的阐述它，你只需要懂一些基本的概率和矩阵的知识就可以了。
我们能用卡尔曼滤波做什么?
用玩具举例：你开发了一个可以在树林里到处跑的小机器人，这个机器人需要知道它所在的确切位置才能导航。
我们可以说机器人有一个状态，表示位置和速度：
注意这个状态只是关于这个系统基本属性的一堆数字，它可以是任何其它的东西。在这个例子中是位置和速度，它也可以是一个容器中液体的总量，汽车发动机的温度，用户手指在触摸板上的位置坐标，或者任何你需要跟踪的信号。
这个机器人带有GPS，精度大约为10米，还算不错，但是，它需要将自己的位置精确到10米以内。树林里有很多沟壑和悬崖，如果机器人走错了一步，就有可能掉下悬崖，所以只有GPS是不够的。
或许我们知道一些机器人如何运动的信息：例如，机器人知道发送给电机的指令，知道自己是否在朝一个方向移动并且没有人干预，在下一个状态，机器人很可能朝着相同的方向移动。当然，机器人对自己的运动是一无所知的：它可能受到风吹的影响，轮子方向偏了一点，或者遇到不平的地面而翻倒。所以，轮子转过的长度并不能精确表示机器人实际行走的距离，预测也不是很完美。
GPS 传感器告诉了我们一些状态信息，我们的预测告诉了我们机器人会怎样运动，但都只是间接的，并且伴随着一些不确定和不准确性。但是，如果使用所有对我们可用的信息，我们能得到一个比任何依据自身估计更好的结果吗?回答当然是YES，这就是卡尔曼滤波的用处。
卡尔曼滤波是如何看到你的问题的
下面我们继续以只有位置和速度这两个状态的简单例子做解释。
我们并不知道实际的位置和速度，它们之间有很多种可能正确的组合，但其中一些的可能性要大于其它部分：
卡尔曼滤波假设两个变量(位置和速度，在这个例子中)都是随机的，并且服从高斯分布。每个变量都有一个均值μ，表示随机分布的中心(最可能的状态)，以及方差σ2，表示不确定性。
在上图中，位置和速度是不相关的，这意味着由其中一个变量的状态无法推测出另一个变量可能的值。下面的例子更有趣：位置和速度是相关的，观测特定位置的可能性取决于当前的速度：
这种情况是有可能发生的，例如，我们基于旧的位置来估计新位置。如果速度过高，我们可能已经移动很远了。如果缓慢移动，则距离不会很
远。跟踪这种关系是非常重要的，因为它带给我们更多的信息：其中一个测量值告诉了我们其它变量可能的值，这就是卡尔曼滤波的目的，尽可能地在包含不确定性的测量数据中提取更多信息!
这种相关性用协方差矩阵来表示，简而言之，矩阵中的每个元素∑
ij 表示第 i 个和第 j 个状态变量之间的相关度。(你可能已经猜到协方差矩阵是一个对称矩阵，这意味着可以任意交换 i 和 j)。协方差矩阵通常
”。
用“∑”来表示，其中的元素则表示为“∑
ij
使用矩阵来描述问题
我们基于高斯分布来建立状态变量，所以在时刻 k 需要两个信息：最佳估计 (即均值，其它地方常用μ表示)，以及协方差矩阵。
(1)
(当然，在这里我们只用到了位置和速度，实际上这个状态可以包含多个变量，代表任何你想表示的信息)。接下来，我们需要根据当前状态(k-1 时刻)来预测下一状态(k 时刻)。记住，我们并不知道对下一状态的所有预测中哪个是“真实”的，但我们的预测函数并不在乎。它对所有的可能性进行预测，并给出新的高斯分布。
来表示这个预测过程：
我们可以用矩阵F
k
它将我们原始估计中的每个点都移动到了一个新的预测位置，如果原始估计是正确的话，这个新的预测位置就是系统下一步会移动到的位置。那我们又如何用矩阵来预测下一个时刻的位置和速度呢?下面用一个基本的运动学公式来表示：
现在，我们有了一个预测矩阵来表示下一时刻的状态，但是，我们仍然不知道怎么更新协方差矩阵。此时，我们需要引入另一个公式，如果我们将分布中的每个点都乘以矩阵 A，那么它的协方差矩阵∑会怎样变化呢?很简单，下面给出公式：
结合方程(4)和(3)得到：
外部控制量
我们并没有捕捉到一切信息，可能存在外部因素会对系统进行控制，带来一些与系统自身状态没有相关性的改变。
以火车的运动状态模型为例，火车司机可能会操纵油门，让火车加速。相同地，在我们机器人这个例子中，导航软件可能会发出一个指令让
轮子转向或者停止。如果知道这些额外的信息，我们可以用一个向量
来表示，将它加到我们的预测方程中做修正。
假设由于油门的设置或控制命令，我们知道了期望的加速度a，根据基本的运动学方程可以得到：
以矩阵的形式表示就是：
B
称为控制矩阵，称为控制向量(对于没有外部控制的简单系统来k
说，这部分可以忽略)。让我们再思考一下，如果我们的预测并不是100%准确的，该怎么办呢?
外部干扰
如果这些状态量是基于系统自身的属性或者已知的外部控制作用来变化的，则不会出现什么问题。
但是，如果存在未知的干扰呢?例如，假设我们跟踪一个四旋翼飞行器，它可能会受到风的干扰，如果我们跟踪一个轮式机器人，轮子可能会打滑，或者路面上的小坡会让它减速。这样的话我们就不能继续对这些状态进行跟踪，如果没有把这些外部干扰考虑在内，我们的预测就会出现偏差。
在每次预测之后，我们可以添加一些新的不确定性来建立这种与“外界”(即我们没有跟踪的干扰)之间的不确定性模型：
原始估计中的每个状态变量更新到新的状态后，仍然服从高斯分布。我们可以说的每个状态变量移动到了一个新的服从高斯分布的区域，协方差为Q
。换句话说就是，我们将这些没有被跟踪的干扰当作协方差为
k
的噪声来处理。
Q
k
这产生了具有不同协方差(但是具有相同的均值)的新的高斯分布。
得到扩展的协方差，下面给出预测步骤的完整我们通过简单地添加Q
k
表达式：
由上式可知，新的最优估计是根据上一最优估计预测得到的，并加上已知外部控制量的修正。
而新的不确定性由上一不确定性预测得到，并加上外部环境的干扰。
来表示。好了，我们对系统可能的动向有了一个模糊的估计，用和P
k
如果再结合传感器的数据会怎样呢?
用测量值来修正估计值
我们可能会有多个传感器来测量系统当前的状态，哪个传感器具体测量的是哪个状态变量并不重要，也许一个是测量位置，一个是测量速度，每个传感器间接地告诉了我们一些状态信息。
注意，传感器读取的数据的单位和尺度有可能与我们要跟踪的状态的
来表示传感器的数据。
单位和尺度不一样，我们用矩阵H
k
我们可以计算出传感器读数的分布，用之前的表示方法如下式所示：
卡尔曼滤波的一大优点就是能处理传感器噪声，换句话说，我们的传感器或多或少都有点不可靠，并且原始估计中的每个状态可以和一定范围内的传感器读数对应起来。
从测量到的传感器数据中，我们大致能猜到系统当前处于什么状态。但是由于存在不确定性，某些状态可能比我们得到的读数更接近真实状态。
表示，该分布的我们将这种不确定性(例如：传感器噪声)用协方差R
k
均值就是我们读取到的传感器数据，称之为。
现在我们有了两个高斯分布，一个是在预测值附近，一个是在传感器读数附近。
我们必须在预测值(粉红色)和传感器测量值(绿色)之间找到最优解。
那么，我们最有可能的状态是什么呢?对于任何可能的读数(z1,z2)，有两种情况：(1)传感器的测量值;(2)由前一状态得到的预测值。如果我们想知道这两种情况都可能发生的概率，将这两个高斯分布相乘就可以了。
剩下的就是重叠部分了，这个重叠部分的均值就是两个估计最可能的值，也就是给定的所有信息中的最优估计。
瞧!这个重叠的区域看起来像另一个高斯分布。
如你所见，把两个具有不同均值和方差的高斯分布相乘，你会得到一个新的具有独立均值和方差的高斯分布!下面用公式讲解。
融合高斯分布
先以一维高斯分布来分析比较简单点，具有方差σ2和μ的高斯曲线可以用下式表示：
如果把两个服从高斯分布的函数相乘会得到什么呢?
将式(9)代入到式(10)中(注意重新归一化，使总概率为1)可以得到：
将式(11)中的两个式子相同的部分用 k 表示：
下面进一步将式(12)和(13)写成矩阵的形式，如果Σ表示高斯分布的协方差，表示每个维度的均值，则：
矩阵K称为卡尔曼增益，下面将会用到。放松!我们快要完成了!
将所有公式整合起来
我们有两个高斯分布，预测部分，和测
量部分，将它们放到式(15)中算出它们之间的重叠部分：
由式(14)可得卡尔曼增益为：
)将将式(16)和式(17)的两边同时左乘矩阵的逆(注意K里面包含了H
k
其约掉，再将式(16)的第二个等式两边同时右乘矩阵H T
的逆得到以下等
k
式：
上式给出了完整的更新步骤方程。就是新的最优估计，我们可以将它和放到下一个预测和更新方程中不断迭代。
总结
以上所有公式中，你只需要用到式(7)、(18)、(19)。(如果忘了的话，你可以根据式(4)和(15)重新推导一下)
我们可以用这些公式对任何线性系统建立精确的模型，对于非线性系统来说，我们使用扩展卡尔曼滤波，区别在于EKF多了一个把预测和测量部分进行线性化的过程。
卡尔曼滤波计算举例 ?计算举例 ?卡尔曼滤波器特性
假设有一个标量系统，信号与观测模型为 [1][][]x k ax k n k +=+[][][] z k x k w k =+其中a 为常数，n [k ]和w [k ]是不相关的零均值白噪声，方差分别为和。 系统的起始变量x [0]为随机变量，其均值为零，方差为。2n σ2 σ[0]x P （1）求估计x [k ]的卡尔曼滤波算法；（2）当时的卡尔曼滤波增益和滤波误差方差。 22 0.9,1,10,[0]10 n x a P =σ=σ==1. 计算举例
根据卡尔曼算法，预测方程为: ??[/1][1/1]x k k ax k k -=--预测误差方差为: 2 2 [/1][1/1]x x n P k k a P k k -=--+σ 卡尔曼增益为: () 1 22 22 22 [][/1][/1][1/1][1/1]x x x n x n K k P k k P k k a P k k a P k k -=--+σ --+σ=--+σ+σ ???[/][/1][]([][/1])??[1/1][]([][1/1])?(1[])[1/1][][]x k k x k k K k z k x k k ax k k K k z k ax k k a K k x k k K k z k =-+--=--+---=---+滤波方程:
()() 2 2222222 222 22 [/](1[])[/1] [1/1]1[1/1][1/1][1/1][1/1]x x x n x n x n x n x n P k k K k P k k a P k k a P k k a P k k a P k k a P k k =--??--+σ=---+σ ?--+σ+σ??σ--+σ = --+σ+σ 滤波误差方差 起始：?[0/0]0x =[0/0][0] x x P P =
Kalman_Filter(float Gyro,float Accel) { Angle+=(Gyro - Q_bias) * dt; Pdot[0]=Q_angle - PP[0][1] - PP[1][0]; Pdot[1]= - PP[1][1]; Pdot[2]= - PP[1][1]; Pdot[3]=Q_gyro; PP[0][0] += Pdot[0] * dt; PP[0][1] += Pdot[1] * dt; PP[1][0] += Pdot[2] * dt; PP[1][1] += Pdot[3] * dt; Angle_err = Accel - Angle; PCt_0 = C_0 * PP[0][0]; PCt_1 = C_0 * PP[1][0]; E = R_angle + C_0 * PCt_0; K_0 = PCt_0 / E; K_1 = PCt_1 / E; t_0 = PCt_0; t_1 = C_0 * PP[0][1]; PP[0][0] -= K_0 * t_0; PP[0][1] -= K_0 * t_1; PP[1][0] -= K_1 * t_0; PP[1][1] -= K_1 * t_1; Angle += K_0 * Angle_err; Q_bias += K_1 * Angle_err; Gyro_x = Gyro - Q_bias; } 首先是卡尔曼滤波的5个方程： -=--+（1）先验估计 X k k AX k k Bu k (|1)(1|1)() -=--+（2）协方差矩阵的预测(|1)(1|1)' P k k AP k k A Q
卡尔曼滤波简介及其算法实现代码 卡尔曼滤波算法实现代码（C，C＋＋分别实现） 卡尔曼滤波器简介 近来发现有些问题很多人都很感兴趣。所以在这里希望能尽自己能力跟大家讨论一些力所能及的算法。现在先讨论一下卡尔曼滤波器，如果时间和能力允许，我还希望能够写写其他的算法，例如遗传算法，傅立叶变换，数字滤波，神经网络，图像处理等等。 因为这里不能写复杂的数学公式，所以也只能形象的描述。希望如果哪位是这方面的专家，欢迎讨论更正。 卡尔曼滤波器– Kalman Filter 1．什么是卡尔曼滤波器 （What is the Kalman Filter?） 在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！ 卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载： https://www.doczj.com/doc/ba4110008.html,/~welch/media/pdf/Kalman1960.pdf。 简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。 2．卡尔曼滤波器的介绍 （Introduction to the Kalman Filter） 为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。 在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。 假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就
自适应卡尔曼滤波 卡尔曼滤波发散的原因 如果卡尔曼滤波是稳定的，随着滤波的推进，卡尔曼滤波估计的精度应该越来越高，滤波误差方差阵也应趋于稳定值或有界值。但在实际应用中，随着量测值数目的增加，由于估计误差的均值和估计误差协方差可能越来越大，使滤波逐渐失去准确估计的作用，这种现象称为卡尔曼滤波发散。 引起滤波器发散的主要原因有两点： （1）描述系统动力学特性的数学模型和噪声估计模型不准确，不能直接真实地反映物理过程，使得模型与获得的量测值不匹配而导致滤波发散。这种由于模型建立过于粗糙或失真所引起的发散称为滤波发散。 （2）由于卡尔曼滤波是递推过程，随着滤波步数的增加，舍入误差将逐渐积累。如果计算机字长不够长，这种积累误差很有可能使估计误差方差阵失去非负定性甚至失去对称性，使滤波增益矩阵逐渐失去合适的加权作用而导致发散。这种由于计算舍入误差所引起的发散称为计算发散。 针对上述卡尔曼滤波发散的原因，目前已经出现了几种有效抑制滤波发散的方法，常用的有衰减记忆滤波、限定记忆滤波、扩充状态滤波、有限下界滤波、平方根滤波、和自适应滤波等。这些方法本质上都是以牺牲滤波器的最优性为代价来抑制滤波发散，也就是说，多数都是次优滤波方法。 自适应滤波 在很多实际系统中，系统过程噪声方差矩阵Q和量测误差方差阵R事先是不知道的，有时甚至连状态转移矩阵 或量测矩阵H也不能确切建立。如果所建立的模型与实际模型不符可能回引起滤波发散。自适应滤波就是这样一种具有抑制滤波发散作用的滤波方法。在滤波过程中，自适应滤波一方面利用量测值修正预测值，同时也对未知的或不确切的系统模型参数和噪声统计参数进行估计修正。自适应滤波的方法很多，包括贝叶斯法、极大似然法、相关法与协方差匹配法，其中最基本也是最重要的是相关法，而相关法可分为输出相关法和新息相关法。
卡尔曼滤波简介及其算法实现代码（C++/C/MATLAB） 卡尔曼滤波器简介 近来发现有些问题很多人都很感兴趣。所以在这里希望能尽自己能力跟大家讨论一些力所能及的算法。现在先讨论一下卡尔曼滤波器，如果时间和能力允许，我还希望能够写写其他的算法，例如遗传算法，傅立叶变换，数字滤波，神经网络，图像处理等等。 因为这里不能写复杂的数学公式，所以也只能形象的描述。希望如果哪位是这方面的专家，欢迎讨论更正。 卡尔曼滤波器– Kalman Filter 1．什么是卡尔曼滤波器 （What is the Kalman Filter?） 在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！ 卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载： https://www.doczj.com/doc/ba4110008.html,/~welch/media/pdf/Kalman1960.pdf。 简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。 2．卡尔曼滤波器的介绍 （Introduction to the Kalman Filter） 为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5 条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。 在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。
卡尔曼滤波的原理说明 2009年10月23日星期五 01:19 在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！ 卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下 载：.edu/~welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf 简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。 2．卡尔曼滤波器的介绍 （Introduction to the Kalman Filter） 为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。 在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。 假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。 好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。 假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值
卡尔曼滤波算法总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
2015.12.12 void Kalman_Filter(float Gyro,float Accel) { Angle+=(Gyro - Q_bias) * dt; Pdot[0]=Q_angle - PP[0][1] - PP[1][0]; Pdot[1]= - PP[1][1]; Pdot[2]= - PP[1][1]; Pdot[3]=Q_gyro; PP[0][0] += Pdot[0] * dt; PP[0][1] += Pdot[1] * dt; PP[1][0] += Pdot[2] * dt; PP[1][1] += Pdot[3] * dt; Angle_err = Accel - Angle; PCt_0 = C_0 * PP[0][0]; PCt_1 = C_0 * PP[1][0]; E = R_angle + C_0 * PCt_0; K_0 = PCt_0 / E; K_1 = PCt_1 / E; t_0 = PCt_0; t_1 = C_0 * PP[0][1]; PP[0][0] -= K_0 * t_0; PP[0][1] -= K_0 * t_1; PP[1][0] -= K_1 * t_0; PP[1][1] -= K_1 * t_1; Angle += K_0 * Angle_err; Q_bias += K_1 * Angle_err; Gyro_x = Gyro - Q_bias; }
首先是卡尔曼滤波的5个方程： (|1)(1|1)() X k k AX k k Bu k -=--+（1）先验估计 (|1)(1|1)'P k k AP k k A Q -=--+（2）协方差矩阵的预测 ()(|1)'/(|1)')Kg k P k k H HP k k H R =--+（3）计算卡尔曼增益 (|)(|1)()(()(|1))X k k X k k Kg k Z k HX k k =-+--（4）进行修正 5个式子比较抽象，现在直接用实例来说： 一、卡尔曼滤波第一个式子 对于角度来说，我们认为此时的角度可以近似认为是上一时刻的角度值加上上一时刻陀螺仪测得的角加速度值乘以时间，因为d dt θω=?，角度微分等于时间的微分乘以角速度。但是陀螺仪有个静态漂移（而且还是变化的），静态漂移就是静止了没有角速度然后陀螺仪也会输出一个值，这个值肯定是没有意义的，计算时要把它减去。 由此我们得到了当前角度的预测值Angle Angle=Angle+(Gyro - Q_bias) * dt; 其中等号左边Angle 为此时的角度，等号右边Angle 为上一时刻的角度，Gyro 为陀螺仪测的角速度的值，dt 是两次滤波之间的时间间隔，我们的运行周期是4ms 或者6ms 。 同时 Q_bias 也是一个变化的量。 但是就预测来说认为现在的漂移跟上一时刻是相同的，即 Q_bias=Q_bias 将上面两个式子写成矩阵的形式 1_0 1_0 Angle dt Angle dt Q bias Q bia o s Gyr -= + 得到上式，这个式子对应于卡尔曼滤波的第一个式子 (|1)(1|1)() X k k AX k k Bu k -=--+ (|)(|1) P k k I Kg k H P k k =--（（））（5）更新协方差阵
卡尔曼滤波的基本原理及应用卡尔曼滤波在信号处理与系统控制领域应用广泛，目前，正越来越广泛地应用于计算机应用的各个领域。为了更好地理解卡尔曼滤波的原理与进行滤波算法的设计工作，主要从两方面对卡尔曼滤波进行阐述：基本卡尔曼滤波系统模型、滤波模型的建立以及非线性卡尔曼滤波的线性化。最后，对卡尔曼滤波的应用做了简单介绍。 卡尔曼滤波属于一种软件滤波方法，其基本思想是：以最小均方误差为最佳估计准则，采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻的估计值和当前时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出当前时刻的估计值，算法根据建立的系统方程和观测方程对需要处理的信号做出满足最小均方误差的估计。 最初的卡尔曼滤波算法被称为基本卡尔曼滤波算法，适用于解决随机线性离散系统的状态或参数估计问题。卡尔曼滤波器包括两个主要过程：预估与校正。预估过程主要是利用时间更新方程建立对当前状态的先验估计，及时向前推算当前状态变量和误差协方差估计的值，以便为下一个时间状态构造先验估计值；校正过程负责反馈，利用测量更新方程在预估过程的先验估计值及当前测量变量的基础上建立起对当前状态的改进的后验估计。这样的一个过程，我们称之为预估－校正过程，对应的这种估计算法称为预估－校正算法。以下给出离散卡尔曼滤波的时间更新方程和状态更新方程。 时间更新方程： 状态更新方程： 在上面式中，各量说明如下： A：作用在X k-1上的n×n 状态变换矩阵 B：作用在控制向量U k-1上的n×1 输入控制矩阵 H：m×n 观测模型矩阵，它把真实状态空间映射成观测空间 P k－：为n×n 先验估计误差协方差矩阵 P k：为n×n 后验估计误差协方差矩阵 Q：n×n 过程噪声协方差矩阵 R：m×m 过程噪声协方差矩阵 I：n×n 阶单位矩阵K k：n×m 阶矩阵，称为卡尔曼增益或混合因数 随着卡尔曼滤波理论的发展，一些实用卡尔曼滤波技术被提出来，如自适应滤波，次优滤波以及滤波发散抑制技术等逐渐得到广泛应用。其它的滤波理论也迅速发展，如线性离散系统的分解滤波（信息平方根滤波，序列平方根滤波，UD 分解滤波），鲁棒滤波（H∞波）。 非线性样条自适应滤波：这是一类新的非线性自适应滤波器，它由一个线性组合器后跟挠性无记忆功能的。涉及的自适应处理的非线性函数是基于可在学习
卡尔曼，美国数学家和电气工程师。1930年5月 19日生于匈牙利首都布达佩斯。1953年在美国麻省理工学院毕业获理学士学位,1954年获理学硕士学位,1957年在哥伦比亚大学获科学博士学位。1957～1958年在国际商业机器公司(IBM)研究大系统计算机控制的数学问题。1958～1964年在巴尔的摩高级研究院研究控制和数学问题。1964～1971年到斯坦福大学任教授。1971年任佛罗里达大学数学系统理论研究中心主任，并兼任苏黎世的瑞士联邦高等工业学校教授。1960年卡尔曼因提出著名的卡尔曼滤波器而闻名于世。卡尔曼滤波器在随机序列估计、空间技术、工程系统辨识和经济系统建模等方面有许多重要应用。1960年卡尔曼还提出能控性的概念。能控性是控制系统的研究和实现的基本概念，在最优控制理论、稳定性理论和网络理论中起着重要作用。卡尔曼还利用对偶原理导出能观测性概念，并在数学上证明了卡尔曼滤波理论与最优控制理论对偶。为此获电气与电子工程师学会(IEEE)的最高奖──荣誉奖章。卡尔曼著有《数学系统概论》(1968)等书。 什么是卡尔曼滤波 最佳线性滤波理论起源于40年代美国科学家Wiener和前苏联科学家Ｋолмогоров等人的研究工作，后人统称为维纳滤波理论。从理论上说，维纳滤波的最大缺点是必须用到无限过去的数据，不适用于实时处理。为了克服这一缺点，60年代Kalman把状态空间模型引入滤波理论，并导出了一套递推估计算法，后人称之为卡尔曼
滤波理论。卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。它适合于实时处理和计算机运算。 卡尔曼滤波的实质是由量测值重构系统的状态向量。它以“预测—实测—修正”的顺序递推，根据系统的量测值来消除随机干扰，再现系统的状态，或根据系统的量测值从被污染的系统中恢复系统的本来面目。 释文：卡尔曼滤波器是一种由卡尔曼（Kalman）提出的用于时变线性系统的递归滤波器。这个系统可用包含正交状态变量的微分方程模型来描述，这种滤波器是将过去的测量估计误差合并到新的测量误差中来估计将来的误差。 卡尔曼滤波的应用 斯坦利.施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器.卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时,发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用,后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器. 关于这种滤波器的论文由Swerling (1958), Kalman (1960)与 Kalman and Bucy (1961)发表.
卡尔曼滤波的原理以及应用 滤波，实质上就是信号处理与变换的过程。目的是去除或减弱不想要成分，增强所需成分。卡尔曼滤波的这种去除与增强过程是基于状态量的估计值和实际值之间的均方误差最小准则来实现的，基于这种准则，使得状态量的估计值越来越接近实际想要的值。而状态量和信号量之间有转换的关系，所以估计出状态量，等价于估计出信号量。所以不同于维纳滤波等滤波方式，卡尔曼滤波是把状态空间理论引入到对物理系统的数学建模过程中来，用递归方法解决离散数据线性滤波的问题，它不需要知道全部过去的数据，而是用前一个估计值和最近一个观察数据来估计信号的当前值，从而它具有运用计算机计算方便，而且可用于平稳和不平稳的随机过程(信号)，非时变和时变的系统的优越性。 卡尔曼滤波属于一种软件滤波方法，概括来说其基本思想是：以最小均方误差为最佳估计准则，采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻的估计值和当前时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出当前时刻的估计值，算法根据建立的系统方程和观测方程对需要处理的信号做出满足最小均方误差的估计。其所得到的解是以估计值的形式给出的。 卡尔曼滤波过程简单来说主要包括两个步骤：状态变量的预估以及状态变量的校正。预估过程是不考虑过程噪声和量测噪声，只是基于系统本身性质并依靠前一时刻的估计值以及系统控制输入的一种估计；校正过程是用量测值与预估量测值之间的误差乘以一个与过程
噪声和量测噪声相关的增益因子来对预估值进行校正的，其中增益因子的确定与状态量的均方误差有关，用到了使均方误差最小的准则。而这一过程中体现出来的递归思想即是：对于当前时刻的状态量估计值以及均方误差预估值实时进行更新，以便用于下一时刻的估计，使得系统在停止运行之前能够源源不断地进行下去。 下面对于其数学建模过程进行详细说明。 1.状态量的预估 （1）由前一时刻的估计值和送给系统的可控制输入来预估计当前时刻状态量。 X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) 其中，X(k-1|k-1)表示前一时刻的估计值，U(k)表示系统的控制输入，X(k|k-1)表示由前一时刻估计出来的状态量的预估计值，A表示由k-1时刻过渡到k时刻的状态转移矩阵，B表示控制输入量与状态量之间的一种转换因子，这两个都是由系统性质来决定的。 （2）由前一时刻的均方误差阵来预估计当前时刻的均方误差阵。 P(k|k-1)=A P(k-1|k-1)A’+Q 其中，P(k-1|k-1)是前一时刻的均方误差估计值，A’代表矩阵A 的转置，Q代表过程噪声的均方误差矩阵。该表达式具体推导过程如下： P(k|k-1)=E{[Xs(k|k)-X(k|k-1)][Xs(k|k)-X(k|k-1)]’}------ 其中Xs(k|k)=A Xs(k-1|k-1)+B U(k)+W(k-1)表示当前时刻的实际值，Xs(k-1|k-1)表示前一时刻的实际值，可以看出与当前时刻的预估计值
Kalman 滤波原理及仿真手册 KF/EKF/UKF 原理+应用实例+MATLAB 程序 本手册的研究内容主要有Kalman 滤波，扩展Kalman 滤波，无迹Kalman 滤波等，包括理论介绍和MATLAB 源程序两部分。本手册所介绍的线性滤波器，主要是Kalman 滤波和α-β滤波，交互多模型Kalman 滤波，这些算法的应用领域主要有温度测量、自由落体，GPS 导航、石油地震勘探、视频图像中的目标检测和跟踪。 EKF 和UKF 主要在非线性领域有着重要的应用，目标跟踪是最主要的非线性领域应用之一，除了讲解目标跟踪外，还介绍了通用非线性系统的EKF 和UKF 滤波处理问题，相信读者可以通过学习本文通用的非线性系统，能快速掌握EKF 和UKF 滤波算法。 本文所涉及到的每一个应用实例，都包含原理介绍和程序代码（含详细的中文注释）。 一、四维目标跟踪Kalman 线性滤波例子 在不考虑机动目标自身的动力因素，将匀速直线运动的船舶系统推广到四 维，即状态[]T k y k y k x k x k X )() ()()()( =包含水平方向的位置和速度和纵向的位置和速度。则目标跟踪的系统方程可以用式（3.1）和（3.2）表示， )()()1(k u k X k X Γ+Φ=+ （2-4-9） )()()(k v k HX k Z += （2-4-10） 其中，? ? ???? ??? ???=Φ10 00 1000010 001 T T ，???? ???????? ??=ΓT T T T 05.00005.022，T H ?? ??????????=00100001 ，T y y x x X ? ????? ??????= ，??? ???=y x Z ，u ,v 为零均值的过程噪声和观测噪声。T 为采样周期。为了便于理解， 将状态方程和观测方程具体化：
华北电力大学 毕业设计（论文）文献综述 所在院系电力工程系 专业班号电自0804 学生姓名崔海荣 指导教师签名黄家栋 审批人签字 毕业设计(论文)题目基于卡尔曼滤波原理的电网频率综合检测和预测方法的研究
基于卡尔曼滤波原理的电网频率综合检测和预测方法的研究 一、前言 “频率”概念源于针对周期性变化的事物的经典物理学定义，由于电力系统中许多物理变量具有（准）周期性特征，故这一概念得到广泛应用【1】。 电网频率是电力系统运行的主要指标之一，也是检测电力系统工作状态的重要依据，频率质量直接影响着电力系统安全、优质、稳定运行。因此，频率检测和预测在电网建设中起着至关重要的作用。 随着大容量、超高压、分布式电力网网络的形成以及现代电力电子设备的应用，基于传统概念的电力系统频率和测量技术在解决现代电网频率问题上遇到了诸多挑战。 目前，用于频率检测和预测的方法很多，主要有傅里叶变换法、卡尔曼滤波法、最小均方误差法、正交滤波器法、小波变换法、自适应陷波滤波器以及它们和一些算法相结合来解决电网频率检测和预测问题。 本文着重讲述卡尔曼滤波原理、分类以及它在电力系统频率检测中的应用历程进行系统性分析，并对今后的研究方向做出展望。 二、主题 1 常规卡尔曼滤波 常规卡尔曼滤波是卡尔曼等人为了克服维纳滤波的不足，于60年代初提出的一种递推算法。卡尔曼滤波不要求保留用过的观测数据，当测得新的数据后，可按照一套递推公式算出新的估计量，不必重新计算【2】。 下面对其进行简单介绍： 假设线性离散方程为 1k k k k x A x ω+=+（1） k k k k z H x ν=+ （2） 式子中：k x n R ∈为状态向量；m k z R ∈为测量向量；k ωp R ∈为系统噪声或过程噪 声向量；k νm R ∈为量测噪声向量；k A 为状态转移矩阵；k H 为量测转移转移矩阵。假设系统噪声和量测噪声是互不相关的高斯白噪声，方差阵为k Q 、k R ，定义/1k k x ∧ -=1(|)k k E x y - 其他递推，则卡尔曼滤波递推方程如下： 状态1步预测为 /1k k x ∧ -=k A 1k x ∧ -（3） 1步预测误差方差阵为 /1k k P -=1k A -1k P -1T k A -+1k Q -（4） 状态估计为 k x ∧=/1k k x ∧-+k K （k z -k H /1k k x ∧ -）（5）
卡尔曼滤波器综述 瞿伟军 G10074 1、卡尔曼滤波的起源 1960年，匈牙利数学家卡尔曼发表了一篇关于离散数据线性滤波递推算法的论文，这意味着卡尔曼滤波的诞生。斯坦利.施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器，卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器。关于这种滤波器的论文由Swerling (1958)、Kalman (1960)与 Kalman and Bucy (1961)发表。 2、卡尔曼滤波的发展 卡尔曼滤波是一种有着相当广泛应用的滤波方法，但它既需要假定系统是线性的，又需要认为系统中的各个噪声与状态变量均呈高斯分布，而这两条并不总是确切的假设限制了卡尔曼滤波器在现实生活中的应用。扩展卡尔曼滤波器（EKF）极大地拓宽了卡尔曼滤波的适用范围。EKF的基本思路是，假定卡尔曼滤滤对当前系统状态估计值非常接近于其真实值，于是将非线性函数在当前状态估计值处进行台劳展开并实现线性化。另一种非线性卡尔曼滤波叫线性化卡尔曼滤波。它与EKF的主要区别是前者将非线函数在滤波器对当前系统状态的最优估计值处线性化，而后者因为预先知道非线性系统的实际运行状态大致按照所要求、希望的轨迹变化，所以这些非线性化函数在实际状态处的值可以表达为在希望的轨迹处的台劳展开式，从而完成线性化。 不敏卡尔曼滤波器（UKF）是针对非线性系统的一种改进型卡尔曼滤波器。UKF处理非线性系统的基本思路在于不敏变换，而不敏变换从根本上讲是一种描述高斯随机变量在非线性化变换后的概率分布情况的方法。不敏卡尔曼滤波认为，与其将一个非线性化变换线性化、近似化，还不如将高斯随机变量经非线性变换后的概率分布情况用高斯分布来近似那样简单，因而不敏卡尔曼滤波算法没
基于matlab的卡尔曼信号滤波设计 卡尔曼滤波的基本思想是：以最小均方误差为最佳估计准则，采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻的估计值和当前时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出当前时刻的估计值，算法根据建立的系统方程和观测方程对需要处理的信号做出满足最小均方误差的估计。 语音信号在较长时间内是非平稳的，但在较短的时间内的一阶统计量和二阶统计量近似为常量，因此语音信号在相对较短的时间内可以看成白噪声激励以线性时不变系统得到的稳态输出。假定语音信号可看成由一AR模型产生： 时间更新方程： 测量更新方程： K(t)为卡尔曼增益，其计算公式为： 其中 、分别为过程模型噪声协方差和测量模型噪声协方差，测量协方差可以通过观测得到， 则较难确定，在本实验中则通过与两者比较得到。 由于语音信号短时平稳，因此在进行卡尔曼滤波之前对信号进行分帧加窗操作，在滤波之后对处理得到的信号进行合帧，这里选取帧长为256，而帧重叠个数为128； 下图为原声音信号与加噪声后的信号以及声音信号与经卡尔曼滤波处理后的信号：
原声音信号与加噪声后的信号 原声音信号与经卡尔曼滤波处理后的信号 MATLAB程序实现如下： %%%%%%%%%%%%%%%%%基于LPC全极点模型的最大后验概率估计法,采用卡尔曼滤波%%%%%%%%%%%%%% clear; clc; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%加载声音数据%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% loadvoice.mat y=m1(2,:); x=y+0.08*randn(1,length(y)); %%%%%%%%%%%%%%%原声音信号和加噪声后的信号%%%%%%%%%%%%%%% figure(1); subplot(211);plot(m1(1,:),m1(2,:));xlabel('时间');ylabel('幅度');title('原声音信号'); subplot(212);plot(m1(1,:),x);xlabel('时间');ylabel('幅度');title('加噪声后的信号');
卡尔曼滤波简介说明及其算法MATLAB实现代码 卡尔曼滤波算法实现代码（C，C＋＋分别实现） 卡尔曼滤波器简介 近来发现有些问题很多人都很感兴趣。所以在这里希望能尽自己能力跟大家讨论一些力所能及的算法。现在先讨论一下卡尔曼滤波器，如果时间和能力允许，我还希望能够写写其他的算法，例如遗传算法，傅立叶变换，数字滤波，神经网络，图像处理等等。 因为这里不能写复杂的数学公式，所以也只能形象的描述。希望如果哪位是这方面的专家，欢迎讨论更正。 卡尔曼滤波器– Kalman Filter 1．什么是卡尔曼滤波器 （What is the Kalman Filter?） 在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！ 卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载： https://www.doczj.com/doc/ba4110008.html,/~welch/media/pdf/Kalman1960.pdf。 简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。 2．卡尔曼滤波器的介绍 （Introduction to the Kalman Filter） 为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。 在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。 假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就
卡尔曼滤波的应用作者yybj 日期2009-9-22 13:51:00 卡尔曼滤波的一个典型实例是从一组有限的，对物体位置的，包含噪声的观察序列预测出物体的坐标位置及速度. 在很多工程应用(雷达, 计算机视觉)中都可以找到它的身影. 同时，卡尔曼滤波也是控制理论以及控制系统工程中的一个重要话题. 比如,在雷达中,人们感兴趣的是跟踪目标,但目标的位置,速度,加速度的测量值往往在任何时候都有噪声.卡尔曼滤波利用目标的动态信息,设法去掉噪声的影响,得到一个关于目标位置的好的估计。这个估计可以是对当前目标位置的估计(滤波),也可以是对于将来位置的估计(预测)，也可以是对过去位置的估计(插值或平滑). 扩展卡尔曼滤波（EKF） EXTEND KALMAN FILTER 扩展卡尔曼滤波器 是由kalman filter考虑时间非线性的动态系统，常应用于目标跟踪系统。 附matlab下面的kalman滤波程序： clear N=200; w(1)=0; w=randn(1,N) x(1)=0; a=1;
for k=2:N; x(k)=a*x(k-1)+w(k-1); end V=randn(1,N); q1=std(V); Rvv=q1.^2; q2=std(x); Rxx=q2.^2; q3=std(w); Rww=q3.^2; c=; Y=c*x+V; p(1)=0; s(1)=0; for t=2:N; p1(t)=a.^2*p(t-1)+Rww; b(t)=c*p1(t)/(c.^2*p1(t)+Rvv);
s(t)=a*s(t-1)+b(t)*(Y(t)-a*c*s(t-1)); p(t)=p1(t)-c*b(t)*p1(t); end t=1:N; plot(t,s,'r',t,Y,'g',t,x,'b'); [x, V, VV, loglik] = kalman_filter(y, A, C, Q, R, init_x, init_V, varargin) % Kalman filter. % [x, V, VV, loglik] = kalman_filter(y, A, C, Q, R, init_x, init_V, ...) % % INPUTS: % y(:,t) - the observation at time t % A - the system matrix % C - the observation matrix % Q - the system covariance % R - the observation covariance % init_x - the initial state (column) vector
2015.12.12 void Kalman_Filter(float Gyro,float Accel) { Angle+=(Gyro - Q_bias) * dt; Pdot[0]=Q_angle - PP[0][1] - PP[1][0]; Pdot[1]= - PP[1][1]; Pdot[2]= - PP[1][1]; Pdot[3]=Q_gyro; PP[0][0] += Pdot[0] * dt; PP[0][1] += Pdot[1] * dt; PP[1][0] += Pdot[2] * dt; PP[1][1] += Pdot[3] * dt; Angle_err = Accel - Angle; PCt_0 = C_0 * PP[0][0]; PCt_1 = C_0 * PP[1][0]; E = R_angle + C_0 * PCt_0; K_0 = PCt_0 / E; K_1 = PCt_1 / E; t_0 = PCt_0; t_1 = C_0 * PP[0][1]; PP[0][0] -= K_0 * t_0; PP[0][1] -= K_0 * t_1; PP[1][0] -= K_1 * t_0; PP[1][1] -= K_1 * t_1; Angle += K_0 * Angle_err; Q_bias += K_1 * Angle_err; Gyro_x = Gyro - Q_bias; }
首先是卡尔曼滤波的5个方程： (|1)(1|1)()X k k AX k k Bu k -=--+（1）先验估计 (|1)(1|1)'P k k AP k k A Q -=--+（2）协方差矩阵的预测 ()(|1)'/(|1)') Kg k P k k H HP k k H R =--+（3）计算卡尔曼增益 (|)(|1)()(()(|1)) X k k X k k Kg k Z k HX k k =-+--（4）进行修正 5个式子比较抽象，现在直接用实例来说： 一、卡尔曼滤波第一个式子 对于角度来说，我们认为此时的角度可以近似认为是上一时刻的角度值加上上一时刻陀螺仪测得的角加速度值乘以时间，因为d dt θω=?，角度微分等于时间的微分乘以角速度。但是陀螺仪有个静态漂移（而且还是变化的），静态漂移就是静止了没有角速度然后陀螺仪也会输出一个值，这个值肯定是没有意义的，计算时要把它减去。 由此我们得到了当前角度的预测值Angle Angle=Angle+(Gyro - Q_bias) * dt; 其中等号左边Angle 为此时的角度，等号右边Angle 为上一时刻的角度，Gyro 为陀螺仪测的角速度的值，dt 是两次滤波之间的时间间隔，我们的运行周期是4ms 或者6ms 。 同时 Q_bias 也是一个变化的量。 但是就预测来说认为现在的漂移跟上一时刻是相同的，即 Q_bias=Q_bias 将上面两个式子写成矩阵的形式 1_01_0 Angle dt Angle dt Q bias Q bia o s Gyr -=+ 得到上式，这个式子对应于卡尔曼滤波的第一个式子 (|1)(1|1)()X k k AX k k Bu k -=--+ ()|1X k k -为2维列向量 _Angle Q bias ，A 为2维方阵101dt -，()|-11X k k -为2维列向量_Angle Q bias ，B 为2维列向量0dt ， ()u k 为Gyro (|)(|1) P k k I Kg k H P k k =--（（））（5）更新协方差阵
卡尔曼滤波算法及其在组合导航中的应用综述 摘要:由于描述系统特性的数学模型和噪声的统计模型不准确,不能真实反映物理过程,使模型与获得的观测值不匹配从而会导致滤波器发散。文章在描述组合导航基本特性和卡尔曼滤波原理的基础上提出了滤波发散的问题并提出了抑制发散的方法,最后介绍了卡尔曼滤波在组合导航中的应用。 关键词:卡尔曼滤波;组合导航;发散 随着计算机技术的迅速发展,它有条件提供运算速度高、存贮量大的机载计算机,这为组合导航系统的发展创造了一个很好的技术条件,现代控制理论中最优估计理论的数据处理方法为组合导航系统提供了理论基础。Kalman滤波是R.E.Kalman于1960年提出的从众多与被提取信号有关的观测量中通过算法估计出所需信号的一种滤波算法。他把状态空间的概念引入到随机估计理论中,把信号过程视为白噪声作用下的一个线性系统的输出,用状态方程来描述这种输入-输出关系,估计过程中利用系统状态方程、观测方程、系统噪声和观测噪声的统计特性形成滤波算法。 1组合导航系统基本特性描述 要描述一个实际系统,首先要对其进行建模,即建立系统的状态方程和测量方程。对于组合导航系统,要进行滤波计算必须建立数学模型,此模型具有以下特点。 1.1非线性 组合导航系统本质上是非线性系统,有时为了减少计算量及提高系统实时性,在某些假设条件下组合导航系统的非线性因素可以忽略,其可以用线性化的数学模型来近似描述。但当假设条件不满足时,组合导航系统就必须采用能反映自身实际特性的非线性模型来描述。所以说,非线性是组合导航系统本质的特性。 1.2模型不确定性 组合导航系统处于实际运行环境当中时,受系统本身以及外部应用环境不确定性因素的影响,系统实际模型与建立的理论模型不能完全匹配,即组合导航系统具有模型不确定性。造成系统模型不确定性的主要原因如下: ①模型简化。采用较少的状态变量来描述系统,忽略掉实际系统某些不重要的状态特征。由此造成模型与实际不匹配。②系统噪声统计不准确。所建模型的噪声统计特性与实际系统噪声统计特性有较大差异。③对实际系统初始状态的统计特性建模不准确。④实际系统出现器件老化、损坏等使系统参数发生了变动,造成模型与实际系统不匹配。