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数学中的化归思想

文章摘要：化归思想在于把未知的问题转化为在已知的知识内可解的问题的一种重要的思想方法。在中考中几乎都要用到化归思想。化归的目的在于通过不断的转化将不熟悉、不规范、复杂的问题化归为熟悉、规范、模式化、简单的问题。总之，数学中的一切问题的解决都离不开化归思想。

关键词：未知熟悉化难为易化繁为简

数学知识很重要，但更重要的是以数学知识为载体所体现出来的数学思想和方法。化归思想是一种重要的数学思想，包括转化和归结。所谓化归思想就是化未知为已知，化繁为简，化难为易。如将分式方程化为整式方程，将高次方程化为低次方程，将二元方程组化为一元方程，将四边形问题化为三角形问题等等。实现这种转化和归结的方法有；换元法、待定系数法、配方法、整体代入法以及化动为静、由具体到抽象等等方法。

化归思想是一种非常重要的数学思想，抓住数学思想方法，善于运用数学思想方法，是提高和解决数学问题的根本所在，所谓化归思想，就是转化和归结，化未知为已知，化繁为简，化难为易。

化归思想在于把未知的问题转化为在已知的知识内可解的问题的一种重要的思想方法。在中考中几乎都要用到化归思想。化归的目的在于通过不断的转化将不熟悉、不规范、复杂的问题化归为熟悉、规范、模式化、简单的问题。总之，数学中的一切问题的解决都离不开化归思想。

从所举例子可以看出，化归的中心思想是善于对所要解决的问题进行变形，而所说的变形并不是一种无目的的活动。因此，我们应始终“盯住目标”。即应始终考虑怎样才能达到解决原来问题的目的。例如，怎样才能求出问题中的未知量？怎样才能证明问题中的结论？这就需要我们在确定化归的方向和方法时，既要保持一定的灵活性，多作些必要的尝试，又应有一定的韧性，即只要还有一线希望，就不要轻易放弃已有的工作。知识的丰富和发展是离不开化归这一思想方法的，它使后继的知识找到发展的根基，找到解决问题的方向。然而，化归意识并不是教给学生一个模式就能解决问题，而是需要通过长期的培养，逐渐形成的。

在数学教学中，要善于挖掘教材中蕴含的化归思想方法，注意不断总结化归法解题的一般原理、提炼蕴含其中的思想方法，把化归思想方法的教学融于各个环节之中，让学生切

实感受到化归思想方法的存在形式及其发挥的作用。这就需要我们在利用“化归”时注意它的“双重身份”，切忌面对新的数学问题生搬硬套原来的解题模式、方法，要灵活地运用这种思想方法。在问题解决过程中领悟化归思想方法；在知识的归纳总结过程中概括化归思想方法。培养学生的化归意识,既有利于使学生主动地获取知识，又有利于培养学生应用数学知识解决问题的能力。在教学过程中让学生逐渐悟出数学中常常把新知识转化已知知识、把一般转化为特殊的解决问题的思路和方法。

如何培养学生的化归思想，使学生逐步形成化归意识呢？首先，充分应用教材为我们提供的丰富材料；其次，提供适当问题，在问题解决中逐步掌握化归思想在问题解决中的解题策略。所谓解题策略是指寻找解题思路的指导思想，就是为了实现解题目标而采取的指导方针。化归思想既可用于沟通数学各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转化，又能调动各种方法和技术，从微观上解释各种具体问题；而解决问题时可以多层次使用化归方法，使问题达到容易解决。化归思想，就是在处理问题时，把待解决或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答。也正因为如此，数学中实现化归的方法就更显得精彩多样，依据问题的性质不同，采用的化归方法也不同。因此，掌握化归思想的原则，把握化归的方向是根本所在。熟悉化、简单化、直观化、和谐化是一切转化应遵循的基本原则，而化未知为已知，化难为易，化繁为简是化归的方向。[4]

在中学数学教学中，在向学生展示知识的发生、发展过程中，应尽力向学生渗透化归思想，培养学生运用化归思想的能力，充分发挥化归思想方法的指导作用。这对于学生形成良好的思维品质大有益处，也是进一步落实素质教育，培养学生们的创新能力所必需的。

参考文献：

1、彭启科《化归思想方法探讨》科教论坛

2、《中学数学月刊》苏州大学

3、刘志伟《转化与化归思想在解题中的应用》高校理科研究

4、肖雪《把数学思想方法的训练贯穿于教学始终》

初中数学教学论文浅谈化归思想方法在数学教学中的应用

浅谈化归思想方法在数学教学中的应用内容摘要：所谓化归法，是指通过数学内部的联系和矛盾运用，在转化中实现问题的规范化，即将待解问题转化为规范问题，从而使原问题得到解决的一种方法.这里的规范问题是指已经具有确定的解决方法和程序的问题，即运用原有知识已能解决的问题.而将一个问题化为规范问题的过程叫做问题的规范化.因此，简而言之，所谓化归就是问题的规范化、模式化。“化归”方法很多，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。关键词：化归法简述运用操作实现化归随着数学课程改革的深入，教师们已经认识到学生学习方法转变的必要性。数学教学是教师按照学生的认识规律和新课标特点，通过最优途径，指导学生掌握科学的学习方法，并获得具有选择和运用恰当有效学习方法的能力。重视方法指导是坚持“以学生为主体”和培养学生创新素养这一现代教育观念的体现，它能使学生主动参与认识过程，既能调动学生的积极性，又能向教师提出改进教法的反馈信息，有效发挥教法和学法的整体功能，最大限度地使用好教材。在数学方法论中有一种重要的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。一．化归法简述在学习数学的各个环节中，解题的训练占有十分重要的地位。它既是掌握所学数学知识的必要手段，也是培养和提高数学能力的重要途径。解题的实质就是把数学的一般原理运用于题目的条件或条件的推论而进行的一系列推理，直到求出题目解答为止的过程。这一过程是一种复杂的思维活动的过程。解决问题的过程，实际是转化的过程，即对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。如抽象转化为具体，未知转化为已知，立体转化为平面，高次转化为低次，多元转化为一元，超越运算转化为代数运算等等。这就是数学方法论中的一种新的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，假设有一个数学问题甲，一下子不能直接求解，于是人们将甲问题的求解化为乙问题的求解，然后通过乙问题的求解返回去得出甲问题的求解，这就是化归的基本想法。利用化归法解决问题的过程可以简单地用以下框图表示：

化归思想──小学数学思想方法的梳理

化归思想──小学数学思想方法的梳理二、化归思想 1．化归思想的概念。人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，把这种思想方法称为化归（转化）思想。从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。 2．化归所遵循的原则。化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。数学来源于生活，应用于生活。学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，课程标准特别强调的目标之一就是培养实践能力。因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与课程标准提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。（4）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题。数学的特点之一便是它具有抽象性。有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要把它转化为具体的问题，或者借助直观手段，比较容易分析解决。因而，直观化是中小学生经常应用的方法，也是重要的原则之一。 3．化归思想的具体应用。

化归思想在初中数学解题中的应用

化归思想在初中数学解题中的应用向阳乡初级中学周红林【摘要】化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。本文从化归的功能，化归的原则，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，力求比较全面地体现化归思想在初中数学解题中的作用和地位。【关键词】化归思想化归的原则教学策略化归思想要点新课程标准指出：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”从中我们可以看出新课程标准下的数学教学更加突出培养学生的数学思想的重要性，而数学思想同样离不开数学方法的支持。数学是一门演绎推理的学科。它的任一分支在其内容展开过程中，都有形或无形地存在着如下的结论链：从中我们可以发现，在解决某一个具体问题时，不必都从原始概念开始，而只要把待解决的问题转化为结论链中的某一环节即可。所以，初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。

一、化归思想的涵义和作用化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。二、化归思想的基本原则数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。为更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则。 ⒈熟悉化原则熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁。这样有利于学生解决问题。 ⒉简单化原则简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定

浅谈中学数学中的化归思想(精)

浅谈中学数学中的化归思想作者：中原中学刘继华不断地变换你的问题，我们必须一再地变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止。 ————波利亚化归是解决数学问题的一种重要思想方法．化归的思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，并学会用它分析问题、处理问题，有着十分重要的意义．匈牙利著名数学家路莎˙彼得以生动的比喻对这种思维方式作了如下风趣的描述：有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答；但是，他又追问道：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是，提问者指出，这一回答并不能使他满意，因为，更好的回答应当是：“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称我把后一问题化归为前面所说的问题了。” 路莎˙彼得在这里说的就是化归方法。在数学教育中，化归思想是“问题解决”的一种重要手段和方法。 —、化归方法的基本思想 1、化归方法的含义：把待解决和未解决的问题，通过转化，或再转化，将原问题归结为一个已经能解决的问题，或者归结为一个比较容

易解决的问题甚至为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决．我们就把这种将未知转化归结为已知的解决数学问题的基本方法称之为化归方法． 2、化归方法是辨证思维在方法论上的反映数学中充满着矛盾，有着极其丰富的辨证内容，例如，数学概念中一与多、正与负、常量与变量、有限与无限以及数学运算中的加与减、乘与除、乘方与开方、微分与积分等都表现为矛盾的对立统一的形式．化归方法正是根据客观事物是普遍联系、永恒发展和矛盾的对立统一及其相互转化的观点，来实现问题解决的，它着眼于揭示联系实现转化．因此说化归方法是辨证思维在方法论上的反映． 3、化归方法的作用我们知道整个中学数学内容，始终贯穿着数学知识和数学方法这两条线．中学数学问题的解决过程常常表现为不断发现问题、分析问题直到归结转化为熟悉的或已能解决的问题的过程，化归方法是中学数学中的重要数学方法之一．例如 (1代数中解一般方程(或不等式的基本思路是多元向一元、高次向低次的化归；分式方程向整式方程的化归，无理方程向有理方程的化归．

浅谈化归思想方法在数学教学中的应用

浅谈化归思想方法在数学教学中的应用墨红镇中学李慧连内容摘要：所谓化归法，是指通过数学内部的联系和矛盾运用，在转化中实现问题的规范化，即将待解问题转化为规范问题，从而使原问题得到解决的一种方法.这里的规范问题是指已经具有确定的解决方法和程序的问题，即运用原有知识已能解决的问题.而将一个问题化为规范问题的过程叫做问题的规范化.因此，简而言之，所谓化归就是问题的规范化、模式化。“化归”方法很多，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。关键词：化归法简述运用操作实现化归随着数学课程改革的深入，教师们已经认识到学生学习方法转变的必要性。数学教学是教师按照学生的认识规律和新课标特点，通过最优途径，指导学生掌握科学的学习方法，并获得具有选择和运用恰当有效学习方法的能力。重视方法指导是坚持“以学生为主体”和培养学生创新素养这一现代教育观念的体现，它能使学生主动参与认识过程，既能调动学生的积极性，又能向教师提出改进教法的反馈信息，有效发挥教法和学法的整体功能，最大限度地使用好教材。在数学方法论中有一种重要的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。一．化归法简述在学习数学的各个环节中，解题的训练占有十分重要的地位。它既是掌握所学数学知识的必要手段，也是培养和提高数学能力的重要途径。解题的实质就是把数学的一般原理运用于题目的条件或条件的推论而进行的一系列推理，直到求出题目解答为止的过程。这一过程是一种复杂的思维活动的过程。解决问题的过程，实际是转化的过程，即对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。如抽象转化为具体，未知转化为已知，立体转化为平面，高次转化为低次，多元转化为一元，超越运算转化为代数运算等等。这就是数学方法论中的一种新的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，假设有一个数学问题甲，一下子不能直接求解，于是人们将甲问题的求解化为乙问题的求解，然后通过乙问题的求解返回去得出甲问题的求解，这就是化归的基本想法。利用化归法解决问题的过程可以简单地用以下框图表示：

浅谈化归思想在中学数学中的应用

浅谈化归思想在中学数学中的应用发表时间：2010-11-08T15:05:44.580Z 来源：《中小学教育》2010年第11期供稿作者：苏炳堂 [导读] 数与数之间的转化遵循着一些原则，例如具体化原则、简单化原则、和谐统一化原则等等。苏炳堂广西柳州市第一中学545007 在中学数学中，化归思想不仅是一种重要的数学思想，也是一种最基本的思维策略。化归思想在中学数学中有着很广泛的应用，其关键就在于把原问题转化和归结。对于具体的数学问题，如何实行化归和选择有效的化归手段并没有固定的模式，中学数学常见的化归基本形式有以下三种：一、数与数之间的转化数与数之间的转化是中学数学中最常用的一种化归形式，通过转化可以使得原问题简单化、具体化、熟悉化，从而使问题迎刃而解。在中学数学中很多化归都是数与数之间的转化，例如变形所给出的方程求解，数学解法在于不断将高层次的解法化归为较低层次的解法，这就是我们常说的把问题“初等化”。例1、关于x的方程cos2x+sinx+a=0在（0，π）内有解，求a的取值范围。分析：假设由题意把x看作未知数，那么那就是一个复合的方程，很难下手，但若考虑以sinx为未知数，再由1-cos2x=sin2x，则问题转化为常见的一元二次方程了，原问题即可解决。所以由1-cos2x=sin2x，原式可化为：a=sin2x-sinx-1即a=（sinx- ）2- 。因为x∈（0，π），所以0

初中数学专题复习(一) 化归思想

初中数学专题复习(一) 化归思想本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．【典型例题剖析】一、转化思想在代数中的应用。 1.已知：n m ,满足13,132 2 =-=-n n m m , 求n m m n +的值。二、转化思想在函数问题上的应用： 1. 函数1 y x = 】 A ．第一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限 2.（2016成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点A （2，2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA 向上平移3个单位长度后与y 轴交于点B ，与反比例函数图象在第四象限的交点为C ，连接AB 、AC ，求点C 的坐标及△ABC 的面积．三、转化思想在几何中的应用。 2、已知：如图6所示在中，，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。求证：AC ＝AE ＋CD y kx =m y x =

四、代数问题与几何问题之间的化归： 1.如图，已知矩形ABCD 中，E 是AB 上一点，沿EC 折叠，使点B 落在AD 边的B‘处，若AB=6， BC=10，求AE 的长。 2、如图，AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，∠APB 的平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ，交⊙O 于点F ，∠A=60°，并且线段AE 、BD 的长是一元二次方程x 2－kx+23=0的两个根（k 为正的常数）。 ⑴求证：PA ·BD=PB ·AE ； ⑵求证：⊙O 的直径为常数k ； ⑶求tan ∠FPA 的值。【强化训练】一、选择题与填空题 1、用换元法解方程x x x x += ++2 22 1时，若设x 2+x=y, 则原方程可化为（） A 、y 2+y+2=0 B 、y 2－y －2=0 C 、y 2－y+2=0 D 、y 2+y －2=0 2、已知如图：ΔABC 中，∠C=90°，BC=AC ，以AC 为直径的圆交AB 于D ，若AD=8cm ，则阴影部分的面积为（） A 、64πcm 2 B 、64 cm 2 C 、32 cm 2 D 、48 πcm 2 E A B C D E F P

关于初中数学教学中化归思想的应用分析

关于初中数学教学中化归思想的应用分析【摘要】数学思想是数学知识中最为重要的内容之一，化归思想是初中数学中数学思想的基石。本文结合实例研究了在初中数学教学中如何把化归思想落到实处，使学生真正理解并灵活运用化归思想。【关键词】初中数学；化归思想；应用分析一、化归思想在初中数学教学中的体现 1.化归思想方法体现的结构性初级中学数学分为代数和几何，我们将这两部分内容教材知识进行整理归纳，可以将蕴含在其中的较为零散的化归思想提炼，得到有序的知识结构网络。代数部分分为数的运算、式的运算和方程三部分，数的运算部分，利用化归思想在小学加法基础上使加、减法统一得到代数和的概念；利用化归思想在乘法的基础上使乘法、除法得到统一；利用化归思想引入绝对值将有理数化为算术数的运算。式的运算部分，利用化归思想用字母代替数，根号中含字母的无理式、根号中不含字母的有理式和分母中不含字母的整式均可通过已学知识掌握。而方程的运算部分，等号连结代数式得到方程，不等号连结代数式得到不等式，利用化归思想方法将其化为式的运算，从而得到整式方程、

分式方程和无理方程。利用化归思想可对整个初中代数知识有一个系统的了解，有利于学生把握知识间的关系，更好地掌握代数知识。 2.化归思想方法体现的条理性初级中学数学教材中充分体现了化归思想的条理性。例如，新人教版七年级《数学》上册第一章中在小学数学的基础上引入了负数，开始进行有理数的运算。第二章在第一章的基础上利用字母表示数引入了代数式。此后，学习5x、-3a2b等数与字母的乘积的单项式，ab+3mn等单项式的和――多项式。只有学生明白字母代表数及代数式的意义后才能进行整式的学习。随后学习分式，而分式的运算思路正是通过化归思想把分式运算转化为整式运算。这样一环接一环的条理性在教材中还有很多，我们在教学中应充分整理帮助学生更好地理解化归思想。 3.化归思想方法体现的层次性初中数学教材的安排体现了化归思想方法的层次性。教材的最基础内容包括有理数、代数式、平面图形及其位置关系和一元一次方程。平面图形首先是三角形的学习，随后学习了图形的旋转、平行四边形，平行四边形正是对三角形的进一步拓展。式的运算中，先是学习了整式，后又学习了分式，分式正是对整式的进一步深化。随后又学习了代数和几何的结合――函数，学习了反比例函数、二次函数，这正是

化归思想在初中数学解题中的应用

转换与化归思想

浅谈转换与化归思想转化思想是数学中的一种基本却很重要的思想。深究起来，转化两字中包含着截然不同的两种思想，即转换和化归。这两者其实表达了不同的思想方法，可以说是思维方式与操作方法的区别。一、转换思想（1）转换思想的内涵转换思想是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化，能跳出现有领域的局限，联系相关领域，并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。要做到这一点，对思维能力的要求相对更高，必须对各个领域分别都有透彻的了解，更必须对各领域之间的联系有较多的研究，在关键时刻才能随心所欲地运用。（2）转换思想在同一学科中的应用转换思想可以是在同一学科的不同知识模块之间的变换，在解决问题时改变解题方向。象数学学科中，数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。比如，函数、方程、不等式是代数中的三大重要问题，而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其他模块的各类问题。不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决，或者是二次方程根的分布，也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。再比如，数列问题用函数观点来解释，那更是我们数学课堂中一再强调的问题了。看这样一个问题：已知：11122=-+-a b b a ，求证：12 2=+b a 。 [分析] 这是一个纯粹的代数证明问题，条件的变形是比较艰难的，所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点令人望而生畏。再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式，稍加联系，我们完全可以想到：21a -、21b -、122=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现，它们呈现出完全类似的规律性。 [解答]由题意1≤a 、1≤b ，则可设αsin =a ，αcos =b ，πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα 化简得1cos cos sin sin =+αααα 所以0sin ≥=αa ，0cos ≥=αb 则 1cos sin 2 222=+=+ααb a [小结] 本题的解决了是发现了不同知识模块中的类似规律，加以利用得到新的思路，本题的题设和结论中都没有出现三角函数的形式，最终却必须引进三角函数加以解决，思维已经具有跳跃性，对一般学生来说解决起来还是比较棘手的。转换思想对思维要求确实很高，但这一点还是能够做到的。因为各学科都有对知识模块的介绍，同时也有对各知识模块之间横向纵向的对比联系的研究。典型的例子就是数与形之间的思维转换，因为学生已经在初中老师的指导下

浅议小学数学教学中化归思想方法的渗透与简单应用

浅议小学数学教学中化归思想方法的渗透与简单应用数学思想方法是联系知识和能力的纽带，是数学科学的灵魂。为了提高教学质量，使学生更好地理解数学知识、获取解决问题的有效策略，我们必须重视数学思想方法的教学。化归方法是数学中最基本的思想方法之一。它是指数学家们把待解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中，最终获得原问题的解答的一种手段和方法。在小学数学中蕴藏着各种可运用化归的方法进行解答的内容，我们在教学中可逐步渗透这种思想方法，让学生逐步领悟直至到高年级能进行简单的应用。笔者现在担任教学的两个班是从二年级开始带起的，在这几年的教学过程中我进行了化归方法的渗透教学，到五年级时，我发现学生已能自然地想到使用它来解决数学问题了。我在教学中深刻体会到化归方法的是一种行之有效的思想方法，它有着较为广泛的用途，掌握了它将使我的学生们终身受益。以下是笔者的一些探索和心得：一、寻找生长点，化未知为已知。在学习新知时，我总是先启发学生从自己已有的知识中设法去寻找与新知识的相似之处，将新问题中陌生的形式或内容转化为比较熟悉的形式和内容。例如：数的大小比较学生从低年级起就学习了，随着对数的研究的不断深入，学生要进行两位数与三位数、万以内的数、多位数以及小数、百分数、分数的大小比较。刚开始学整数的大小比较时，我就让学生搞清：每个数位上的数字所表示的含义是不同的，因为计数单位不同。接着我再让他们理解整数的大小比较的基本方法：位数多的数比较大（计数单位大）；相同位数的数，先从高位比起（计数单位最大的数位上的数比起），依次比较，直到比出大小来。有了这些基础知识的铺垫，学生在学习“万以内数的大小比较”一课时，已能通过老师的启发、同学的讨论和自己的思考来解决例题了。学习“小数的大小比较”一课时，学生能借助于自己的旧知解决整数部分的大小比较，小数部分的大小比较学生又有小数的意义为支点，理解了小数与整数大小比较的方法的相似性以及旧知识的铺垫，学生自然地将“小数的大小比较”

浅谈数学中的转化思想

浅谈初中数学中的转化思想 ——以平行四边形性质的实际教学为例淄川第二中学孙文燕

浅谈初中数学中的转化思想 ——以平行四边形性质的实际教学为例著名数学家G ·波利亚曾说：“如果不变化问题我们几乎不能有什么进展”。转化思想作为初中数学的主要思想，有利于激发学生的学习兴趣，提高他们学习的积极性和主动性，值得我们思考与研究。本文从平行四边形性质的实际教学出发，分别从转化思想的定义及相关要素、转化思想在教学中的表现、转化思想的培养三个方面，对转化思想进行了简要的分析和论述。一、转化思想的定义及相关要素布鲁姆在《教学目标分类学》明确指出，数学转化思想是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”。所谓转化思想，通常是将未知问题转化为已知问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎无处不在。转化有三要素：一是转化对象——即将对什么问题进行转化；二是转化目标——即将其转化成什么问题；三是转化方法——即如何对这些问题进行转化。我们在运用转化思想时，没有固定的模式，它的特点是灵活、多样的。二、转化思想在教学中的表现（一）生疏问题向熟悉问题转化生疏问题向熟悉问题转化是教学中常用的思考方法。解题能力实际上是一种创造性的思维能力，而这种能力的关键是能否细心观察，运用过去所学的知识，将生疏问题转化为熟悉问题。类比三角形，引导学生研究平行四边形边和角的性质时，学生可能用以下两种方法说明“平行四边形的对角相等”：①利用平行线的性质；②连结AC 或BD ，根据全等三角形中对应角相等可证。学生可能用以下两种方法说明“平行四边形的对边相等”：①平移线段可形成平行四边形，利用平移性质；②连结AC 或BD ，根据全等三角形中对应边相等可证。因此，作为教师，应引导学生利用学过知识来探究新的知识，缩小接触新内容时的陌生度，避免因研究对象的变化而产生的心理障碍，这样做常可得到事半A B D C

高中数学思想----转化与化归思想

转化与化归思想 [思想方法解读] 转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等,消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想,我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化,注重知识的综合性．转化与化归思想的原则 (1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决． (2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据． (3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式;或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律. （4)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决. 体验高考 1．（２016·课标全国乙）已知等差数列{a n｝前9项的和为27,a１０=8,则a100等于（) A.１００B．99C．9８ D.97 答案C 解析由等差数列性质,知S9=９(a１+a9) 2=错误!＝9 ａ5＝27，得a５＝3，而a１0＝8,因此公差ｄ =＼f(a10－a5,10－5)＝1， ∴ａ10０＝ａ10＋9０ｄ=98,故选C. 2.（２016·课标全国丙)已知 421 353 2,4,25, a b c ===则( ) A．b<ａ

“化归”思想在小学数学教学中的运用

“化归”思想在小学数学教学中的运用一、“化归”思想的内涵 “化归”思想，是世界数学家们都十分重视的一种数学思想方法，从字面意思上讲，“化归”理解为“转化”和“归结”两种含义，即不是直接寻找问题的答案，而是寻找一些熟悉的结果，设法将面临的问题转化为某一规范的问题，以便运用已知的理论、方法和技术使问题得到解决。而渗透化归思想的核心，是以可变的观点对所要解决的问题进行变形，就是在解决数学问题时，不是对问题进行直接进攻，而是采取迂回的战术，通过变形把要解决的问题，化归为某个已经解决的问题。从而求得原问题的解决。化归思想不同于一般所讲的“转化”或“变换”。它的基本形式有：化未知为已知，化难为易，化繁为简，化曲为直。匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去。”但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：‘只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了’”。 “把水倒掉”，这就是化归，这就是数学家常用的方法。翻开数学发展的史册，这样的例子不胜枚举，著名的哥尼斯堡七桥问题便是一个精彩的例证。二、“化归”思想在小学数学教学中的渗透 1、数与代数----在简单计算中体验“化归” 例１：计算48×53＋47×48 机械地应用乘法分配律公式进行计算，学生不容易真正理解。将48这一数化归成物，即看到了相同的数48，想起了红富士苹果，以物红富士苹果代替数48，相同的数48是化归的对象，红富士苹果是实施化归的途径，于是48×53＋47×48就转化成求53个苹果与47个苹果之和的问题是化归的目标。 48×53＋47×48 ＝48×(53＋47) ＝48×100 ＝4800，得到问题的解决。例2：解方程5x－x=4 x是化归的对象，把未知数x化归成物红富士苹果，红富士苹果是实施化归的途径，于是方程5x－x=4 转化为5个苹果－1个苹果＝4的问题是化归的目标。 5x－x=4 得4x=4 x=4÷4 x=1 通过以图片中的红富士苹果代替抽象的字母x，问题得以解决，同时学生对字母表示数从广义上得以理解。教学正负数加减法运算是教材的重点和难点，学生对：“（１）同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加，（２）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，较大的绝对值减去较小的绝对值”。不容易真正理解和掌握，原因是“绝对值”的概念及名词对小学生来说是陌生的。

化归思想在初中数学教学中的应用

龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/ba2423560.html, 化归思想在初中数学教学中的应用作者：王桂娟来源：《中国科教创新导刊》2013年第15期摘要：随着新课程改革的开展与推进，人们越来越重视数学思想方法的教学。化归思想是初中数学中最基本、最重要的一种思想方法。本文结合自己的教学，对初中数学教学中的化归思想方法的应用进行了探究。关键词：化归思想初中数学应用中图分类号：G623 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）05（c）-0052-01 初中数学教学在新课改以来，从教学方式以及教师教学思想方法上都有了很大的转变。数学的教学一直是一个比较大的难题，数学学科概念简明难懂，公式繁多，而且数学思想方法是决定数学教学效果的重要因素。我国当代数学教育专家郑毓信、张奠宙等人特别注重数学思想在初中数学教学中的渗透，多次著文要加强数学思想方法的教学。在众多思想方法中化归思想是初中数学思想方法的核心。数学中的一切问题的解决归根结底就是化归。化归就是将要解决的数学问题，通过观察、寻找与熟悉知识的连接点，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，从而达到轻松解题的目的就是化归。因此，这种思想对初中数学有着重要的作用，需要我们加强对化归思想的分析和探究，从而提高学生解决问题的能力。化归思想无处不在，它在初中数学教学中具体应用的形式很多。如以下几方面。 1 化多元为一元虽然各种方程或方程组的解法有所不同，但是万变不离其中。可以说，在任何时候求解方程或方程组的解，均需要化归这把金钥匙打开答案之门。当方程或方程组中所含字母较多，求解某些字母或字母的值或范围时，往往依据题目中字母之间的关系尽量减少字母的个数，最好能转化为同一个字母的形式，化归成较简单的方程，将未知转化为已知，便于问题的分析和解决。分析：消去未知数是解方程或方程组常见的思路，常见的方法有代入消元法和加减消元法。减元的目的是将多个字母之间的相互依赖关系转化为较少个字母之间的关系，有利于问题的分析。但在实际操作中，应该消去哪些字母要依据题目中的已知条件来确定。而此题中我们可采用“设K法”，表面上看似乎增加了未知数的个数，实际上找到了新的等量关系，将3个未知数转化同一个未知数，达到了将多元转化为一元的目的，从而轻松解题。 2 化整体为部分