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角平分线
测试时间: 20分钟
一、选择题
1.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个
角的平分线.如下图,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA,并且与第一把直尺交于点P,小明
说:“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样做的依据是( )
A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D.以上均不正确
2.如下图,点O是△ABC的两外角平分线的交点,下列结论:①OB=OC;②点O到直线AB、AC的距离相等;③
点O到△ABC的三边(或所在直线)的距离相等;④点O在∠A的平分线上.其中一定成立的结论的个数
是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题
3、如下图,已知DB⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则
∠DGF=.
4、如下图,已知△ABC的周长是18,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=2,则△ABC的面积
是.
三、解答题
5.如下图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,求
证:∠DEF=∠DFE.
横线以
内不许答
题
参考答案 一、选择题
1.答案 A 如下图所示,过两把直尺的交点P 作PE⊥AO 于E,PF⊥BO 于F,∵两把长方形直尺完全相同,∴PE=PF,∴OP 平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上),故选A.
2.答案 C 如下图,过点O 作OE⊥AB,交AB 的延长线于E,作OF⊥BC 于F,作OG⊥AC,交AC 的延长线于G,∵点O 是△ABC 的两外角平分线的交点,∴OE=OF,OF=OG,∴OE=OF=OG,故②③④一定成立,只有当点F 是BC 的中点时,才有BO=CO,故①不一定成立.综上所述,选C.
二、填空题
3.答案 150°
解析 ∵DB⊥AE 于B,DC⊥AF 于C,且DB=DC, ∴AD 是∠BAC 的平分线, ∵∠BAC=40°, ∴∠CAD=1
2∠BAC=20°,
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°. 4.答案 18
解析 过O 作OE⊥AB 于E,OF⊥AC 于F,连接OA, ∵BO 平分∠ABC,OD⊥BC,OE⊥AB, ∴OE=OD=2,同理,OF=OD=2,
△ABC 的面积=△OBC 的面积+△OAB 的面积+△OAC 的面积 =1
2·BC·OD+1
2
·AC·OF+1
2
·AB·OE
=1
2·(BC+AB+AC)·2 =18.
三、解答题
5.证明 如下图,连接AD,∵D 是BC 的中点,∴BD=CD,又∵AB=AC,∴AD 是∠BAC 的平分线,又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∴∠DEF=∠DFE.
角平分线的性质 马丽娜
角平分线的性质 教学目标 知识与能力 1.了解平分角的仪器的制作方法 2.学会尺规作图的方法画已知角的角平分线 3.掌握角的平分线的性质 过程与方法 1.通过观察，推理以及实际操作，探究作已知角的平分线的方法，培养动手能力。 2.通过对角平分线性质的实际应用的探究，掌握运用相关知识解决实际问题的能力。情感态度与价值观 1.在现实情境中学习相关知识，体会数学与现实的密切联系，培养数学应用意识。 2.通过小组探究和合作交流，学会与他人合作，培养数学交流能力和团队协作的精神。教学重、难点及突破 重点：作已知角的平分线的方法；角的平分线的性质及其运用。 难点：作已知角的平分线的方法；运用角平分线性质解决相关的实际问题。 教学突破：在介绍做已知角的平分线的方法的过程中，教师要注意引导学生探究方法背后的数学背景，另外，也强调尺规作图的过程。 教学准备：多媒体课件圆规三角板 教学设计 一. 创设情境，引入新课 1.引导学生回顾判定两个三角形全等的方法。 2.一个纸角不用仪器怎样把它分成相等的两个角？折痕和角是什么关系？引出本节课 题。 3.多媒体展示如下问题，请学生思考。 如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD 沿角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线。你能说明它的道理吗？ B 师生共同分析讨论，探究问题的解答。 师：你们有什么想法？ 生：可以证明两个三角形全等。 师：哪两个三角形？
生：△ADC和△ABC 师：怎么证明两△个三角形全等呢？ 生：可以用边边边。 师：很好！我们一起写证明过程{多媒体展示} 证明:在△ADC和△ABC中 ∵AB=AD BC=DC AC=AC ∴△ADC≌△ABC ∴∠DAC=∠BA C ∴AE是∠DAB的平分线 二. 探究角平分线的做法的性质 1.教师总结指出:由上面的探究可以得出做已知角的平分线的方法。 已知：∠AOB 求作∠AOB 的平分线。 做法：（1）以0为圆心适当长为半径作弧，交OA于M ,交OB于N 。 （2）分别以MN为圆心、大于1/2MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C （3）做射线OC，射线OC 即为所求。 A M C O N B 让学生明白上述做法的本质还是利用了“边边边”判断两个三角形全等的知识。 已知平角怎样做他的角平分线 2.多媒体展示如下问题，组织学生分组讨论。 探究:将角对折，再画出一个直角三角形是以第一条折痕为斜边，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ A A D C P C O O B（A）O E B B 请各组派代表发言，介绍本组的讨论成果，教师引导学生共同总结讨论，给出探究的一致解答。
角平分线的性质练习题 1角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在 _____________． 2、∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________. 3、如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________. 4、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm . 5、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等。 6、点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________． 7、在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32，且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为 . 8、三角形中到三边距离相等的点是（ ） A 、三条边的垂直平分线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条中线的交点 D 、三条角平分线的交点 9、如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD 10、如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A 、1处 B 、2处 C 、3处 D 、4处 11、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ） A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝ D 、不能确定 2 1 D A P O E B l 2 l 1 l 3 第9题 第10题 第11题 第3题 第4题 D C A E B
一. 教学内容： 1. 角平分线的作法． 2. 角平分线的性质及判定． 3. 角平分线的性质及判定的应用． 二. 知识要点： 1. 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点； ②分别以C 、D 为圆心，大于1 2 CD 长为半径画弧，两弧交于点P ； ③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求． O A B ① ② ③ 2. 角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ①推导 已知：OC 平分∠MON ，P 是OC 上任意一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， 垂足分别为点A 、点B ． 求证：PA ＝PB ． O P A B M N 12 C 证明：∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90° ∵OC 平分∠MON ∴∠1＝∠2 在△PAO 和△PBO 中，???? ?∠PAO ＝∠PBO ∠1＝∠2 OP=OP ∴△PAO ≌△PBO ∴PA ＝PB ②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
O P A B M N 12 如图所示，∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， ∴PA ＝PB ． （2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导 已知：点P 是∠MON 内一点，PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA ＝PB ． 求证：点P 在∠MON 的平分线上． O A B M N P 证明：连结OP 在R t △PAO 和R t △PBO 中，? ????PA ＝PB OP ＝OP ∴R t △PAO ≌R t △PBO （HL ） ∴∠1＝∠2 ∴OP 平分∠MON 即点P 在∠MON 的平分线上． ②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．） O P A B M N 1 2 C 如图所示，∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB ∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ） 3. 角平分线性质及判定的应用 ①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用．
初二数学知识点归纳：角平分线的定义 初二数学知识点归纳：角平分线的定义 角平分线的性质一、本节学习指导角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。二、知识要点 1、角平 分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。如下图：OC平分∠AOB ∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC 2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】如第一个图：∵OC平分 ∠AOB(或∠1=∠2)，PE⊥OA,PD⊥OB ∴PD=PE,此时我们知道 △OPE≌△OPD(直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边) 3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。如第一个图：∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE ∴OC平分∠AOB(或∠1=∠2)一、本节学习指导角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关 题型。其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。 二、知识要点 1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。 OC平分∠AOB ∵OC平分 ∠AOB ∴∠AOC=∠BOC 2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】∵OC平分∠AOB(或∠1=∠2)，PE⊥OA,PD⊥OB ∴PD=PE,此时我们知道△OPE≌△OPD(直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边) 3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平 分线上。∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE ∴OC平分∠AOB(或∠1=∠2) 4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线 段的中点。∵C是AB的中点∴AC=BC 5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。如图：【重点】∵AB⊥CD ∴∠AOC=∠AOD=∠BOC =∠BOD=90° 或∵∠AOC=90° ∴AB⊥CD 注意：要判断两条直线垂直，只要知道这两条相交直线所 形成的四个角中的一个角是直角就可以了。反过来，两条直线互相 垂直，它们的四个交角都是直角。 6、全等三角形的性质：全等三角
初二数学上册知识点：角平分线的性质知识点 初二数学上册知识点：角平分线的性质知识点 一、本节学习指导 角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。 二、知识要点 1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。 如下图：OC平分∠AOB ∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC 2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】 如第一个图： ∵OC平分∠AOB(或∠1=∠2)，PE⊥OA,PD⊥OB ∴PD=PE,此时我们知道△OPE≌△OPD(直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边) 3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 如第一个图：
∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE ∴OC平分∠AOB(或∠1=∠2) 4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。 ∵C是AB的中点 ∴AC=BC 5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。 如图：【重点】 ∵AB⊥CD ∴∠AOC=∠AOD=∠BOC=∠BOD=90° 或∵∠AOC=90° ∴AB⊥CD 注意：要判断两条直线垂直，只要知道这两条相交直线所形成的四个角中的 一个角是直角就可以了。反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角。 6、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。 ∵△ABC≌△A'B'C' ∴AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C';∠A=∠A',∠B=∠B', ∠C=∠C'
初二数学知识点归纳：角平分线的定义角平分线的性质 一、本节学习指导 角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。 二、知识要点 、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。 如下图：oc平分∠AoB ∵oc平分∠AoB ∴∠Aoc=∠Boc 2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】 如第一个图： ∵oc平分∠AoB，PE⊥oA,PD⊥oB ∴PD=PE,此时我们知道△oPE≌△oPD 3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 如第一个图： ∵PE⊥oA,PD⊥oB,PD=PE ∴oc平分∠AoB
一、本节学习指导 角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。 二、知识要点 、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。 oc平分∠AoB ∵oc平分∠AoB ∴∠Aoc=∠Boc 2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】 ∵oc平分∠AoB，PE⊥oA,PD⊥oB ∴PD=PE,此时我们知道△oPE≌△oPD 3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 ∵PE⊥oA,PD⊥oB,PD=PE ∴oc平分∠AoB 4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。 ∵c是AB的中点 ∴Ac=Bc
5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。 如图：【重点】 ∵AB⊥cD ∴∠Aoc=∠AoD=∠Boc=∠BoD=90° 或∵∠Aoc=90° ∴AB⊥cD 注意：要判断两条直线垂直，只要知道这两条相交直线所形成的四个角中的 一个角是直角就可以了。反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角。 6、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。 ∵△ABc≌△A'B'c' ∴AB=A'B',Bc=B'c',Ac=A'c';∠A=∠A',∠B=∠B',∠c=∠c'
第4讲角平分线、垂直平分线 本讲知识归纳 1．(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； (2)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 2．三角形三条边的垂直平分线交于一点（称为三角形的外心），这点到三角形三顶点的距离相等． 基础回顾 例1 已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，P是AD上任一点．求证：PE=PF． · 例2 如图，在平面直角坐标系中，AF、BE为角平分线，MN⊥AF交y轴于N点． (1)求∠AME； (2)求证：AM=MN； (3)连FG，问FG与AB的位置关系并证明， 练习 1．如图，AD为△ABC,的高，∠B=2∠C．求证：CD=AB+BD. [ 2．如图，A（-1，0），B（0，3），∠AB0=30°，∠OAB的角平分线与OB的垂直平分线相交于P点． (1)求P点的坐标； (2)作∠ABO的平分线交AP于M，判断△PBM的形状．
方法运用 例3 如图，∠AOB= 30°，点P是∠AOB内一点，P0=8，在∠AOB的两边上分别有点R、Q(均不同于O). (1)求△PQR周长的最小值； （ (2)当△PQR周长取最小值时，求∠QPR的值． 分析：由对称变换作出符合要求的点Q与R，根据对称的性质，结合已知条件求出∠PQR的周长与∠QPR的值． ) 例4 如图，已知直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点P，使PA-PB最大，并说明理由. … 练习 3．已知，如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB= 90°．D是BC上一点，CD=2，BD=BE，
∠DBE=90°，连接CE，交AB于M，且CE=6．在AB上找一点P，使△PCD周长最小，并求出这个最小值． 4．如图，长方形台球桌ABCD上，一球从AB边上某处P点出发，分别撞击球桌的边BC、CD、DA各一次后，又回到出发点P处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所 成的角相等(如图中∠α=∠β).已知AB=3，BC=4，求此球所走路线的总长度. $ 问题探究 例5 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（-1，0），点C的坐标是(1，0)，点D为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO，过D作DM⊥AC于M． (1)求证：∠ABD=∠ACD； (2)若点E在BA延长线上，求证：AD平分∠CAE； (3)当A点运动时，AC AB AM - 的值是否发生变化若不变，求其值，若变化，请说明理 由． … 例6已知等腰△ABC和等腰△ADE的顶点公共，B、A、E在同一条直线上，∠BAC=∠DAE，PB=PD,PC=PE．
角平分线练习 一、填空题 1．已知：△ABC 中，∠B =90°， ∠A 、∠C 的平分线交于点O ，则∠AOC 的度数为 . 2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________． 3．∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________. 4．如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________. 5．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm . 6．如图，CD 为Rt △ABC 斜边上的高，∠BAC 的平分线分别交CD 、CB 于点E 、F ，FG ⊥AB ，垂足为G ，则CF ______FG ，CE ________CF . 7．如图，已知AB 、CD 相交于点E ，∠AEC 及∠AED 的平分线所在的直线为PQ 与MN ，则直线MN 与PQ 的关系是_________. 8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到____________________相等． 9．点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________． 10．在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32cm ，且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为__________cm . 二、选择题 11．三角形中到三边距离相等的点是（ ） A 、三条边的垂直平分线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条中线的交点 D 、三条角平分线的交点 12．如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD 13．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A 、4处 B 、3处 C 、2处 D 、1处 第4题 第5题 第6题 第7题
角平分线练习 一、选择题 1.已知：如图2，△ABC 中，AB = AC ，BD 为∠ABC 的平分线，∠BDC = 60°，则∠A =（??? ） A. 10°??????? B. 20° C. 30°??????? D. 40° 3.三角形中，到三边距离相等的点是（??? ） A.三条高线交点 B.三条中线交点 C.三条角平分线的交点 D.三边的垂直平分线的交点 4.已知P 点在∠AOB 的平分线上，∠AOB = 60°，OP = 10 cm ，那么P 点到边OA 、OB 的距离分别是（??? ） A. 5cm 、 cm?????? B. 4cm 、5cm C. 5cm 、5cm????????? D. 5cm 、10cm 5.下列四个命题的逆命题是假命题的是（? ??） A.直角三角形的两个锐角互余 B.等腰三角形的两个底角相等 C.全等三角形的对应角相等 D.相等的两个角是对顶角 6.已知：如图3，△ABC 中，∠C = 90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且AB = 10cm ，BC = 8cm ，CA = 6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于（??? ）cm A. 2、2、2? B.3、3、3 C. 4、4、4??? D. 2、3、5 7．如图1所示，AD ⊥OB ，BC ⊥OA ，垂足分别为D 、C ，AD 与BC 相交于点P ，若PA ＝PB ，则∠1与∠2的大小是（ ） A.∠1＝∠2 B.∠1＞∠2 C.∠1＜∠2 D.无法确定 8．△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若AB ＝ 12cm ，则△DBE 的周长为（） A 、12cm B 、10cm C 、14cm D 、11cm 9．如图2所示，已知PA 、PC 分别是△ABC 的外角∠DAC 、∠ECA 的平分线，PM ⊥BD ，PN ⊥BE ，垂足分别为M 、N ，那么PM 与PN 的关系是（） A.PM ＞PN B.PM ＝PN C.PM ＜PN D.无法确定 10．如图3所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠A 图
全等三角形的判定及角平分线 全等三角形的判定：边边边、边角边、角边角、角角边、斜边直角边。角平分线： （1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 （2）判定：到角的两边距离相等的点，在角的平分线上。 例1、已知如图所示，AD∥BC，AD=BC，AE=CF，求证：DE∥BF. 例2、如图所示，AD=BC，FD=EB，AB=CD，求证∠E=∠F. 例3、如图所示，在△ABC中，延长AC边上的中线BD到F，使DF=BD，延长AB边上的中线CE到G，使EG=CE，求证：AF=AG. 例4、如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F， 交AC的平行线BG于G的点，DE⊥GF。产交AB于点E，连接EG、EF。 （1）求证：BG=CF； （2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明你的理由。
例5、已知如图所示，AB=AC，点D、E分别在AC、AB上，AG⊥BD，AF⊥CE， 垂足分别为G、F。且AG=AF。EC。BD交于O.求证：BO=CO 例6、已知如图所示，已知等腰△ABC中，顶角∠A=1000，作∠B的平分线交AC于E，求证：BC=AE+EB。例7、已知：如图所示PA、PC分别是△ABC的外角∠MAC、∠NCA的平分线，它们交于P；PD ⊥BM于D，PF⊥BN于E，则BP是∠MBN的平分线吗？说明理由。 说明：本题综合运用了角的平分线的性质及判定，关键是作出点P到AC的垂线段。 例8、已知如图所示：△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，若AQ=PQ， RP=PS，你能得到哪些结论？并证明结论。 A B D E C F M N P
八年级数学严重知识点整理：角平分线的定义 角平分线的性质 一、本节学习指导 角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。 其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有用的途径。 二、知识要点 、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。 如下图：oc平分∠AoB ∵oc平分∠AoB ∴∠Aoc=∠Boc 2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】 如第一个图： ∵oc平分∠AoB，PE⊥oA,PD⊥oB ∴PD=PE,此时我们知道△oPE≌△oPD 3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 如第一个图： ∵PE⊥oA,PD⊥oB,PD=PE ∴oc平分∠AoB
一、本节学习指导 角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。 其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有用的途径。 二、知识要点 、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。 oc平分∠AoB ∵oc平分∠AoB ∴∠Aoc=∠Boc 2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】 ∵oc平分∠AoB，PE⊥oA,PD⊥oB ∴PD=PE,此时我们知道△oPE≌△oPD 3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 ∵PE⊥oA,PD⊥oB,PD=PE ∴oc平分∠AoB 4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。 ∵c是AB的中点 ∴Ac=Bc 5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。
《角平分线》教学设计 线段的垂直平分线是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》八年级下册第一章第三节内容，本章主要是有关命题的证明及三角形的性质；本节要求了解勾股定理逆定理的证明方法结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道原命题成立其。所以本节的重点是进一步掌握演绎推理的方法。 学生的知识技能基础：通过上节的学习，学生对于角平分线性质定理和逆定理均有一个很深的了解和理解，在此基础上本节主要是通过例题来巩固定理和逆定理的应用，提高学生证明推理能力。 【知识与能力目标】 （1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论。 （2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用。 【过程与方法目标】 （1）进一步发展学生的推理证明意识和能力。 （2）培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力。 （3）提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力。 【情感态度价值观目标】 ①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。 ②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 【教学重点】 ①三角形三个内角的平分线的性质。 ②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题。 【教学难点】 角平分线的性质定理和判定定理的综合应用。 教师准备
课件、多媒体； 学生准备； 练习本； 第一环节：设置情境问题，搭建探究平台 问题l 习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？ 于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点” 。 当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明。 第二环节：展示思维过程，构建探究平台 已知：如图，设△ABC 的角平分线．BM 、CN 相交于点P ， 证明：P 点在∠B AC 的角平分线上． 证明：过P 点作PD ⊥AB ，PF ⊥AC ，PE ⊥BC ，其中D 、E 、F 是垂足． ∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上， ∴PD =PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)． 同理：PE =PF ． ∴PD =PF ． ∴点P 在∠BAC 的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)． ∴△ABC 的三条角平分线相交于点P ． 在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢? （PD =PE =PF ，即这个交点到三角形三边的距离相等．） 于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 D F E M N C B A P
角平分线的性质教案2 八年级数学教案 八年级上册《角平分线的性质》教案设计二 I.提出问题，创设情境 问题1三角形中有哪些重要线段. 问题2:你能作出这些线段吗？ ［生甲］三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线. 过三角形的顶点作这个顶点的对边的垂线，交对边于一点，顶点与垂足的 连线就是这个三角形的高. 取三角形一边的中点，此中点与这个边对应顶点的连线就是这条边的中 线. 用量角器量出三角形的角的大小，量角器零度线与这个角的一边重合，这个角一半所对应的线就是这个角的角平分线. ［生乙］我不同意你对角平分线的描述，三角形的角平分线是一条线段，而一 个已知角的平分线是一条射线，这两个概念是有区别的.
［师］你补充得很好.数学是一门严密性很强的学科，你的这种精神值得我们学习. 如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗？ H.导入新课 ［生］我记得在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题： 在/AOB的两边OA和0B上分别取OM=ON, MC I OA, NC± OB. MC与NC交于C点. 求证：/ MOC=Z NOC. 通过证明Rt^ MOC^Rt A NOC,即可证明/ MOC=Z NOC,所以射线OC就是/ AOB的平分线. 受这个题的启示，我们能不能这样做： 在已知 / AOB的两边上分别截取OM=ON,再分别过M、N作MC I OA, NC丄OB, MC?与NC交于C点，连接OC,那么OC就是/ AOB的平分线了. ［师］他这个方案可行吗？ （学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）
学号 区 教师填写 内容 考查【】命题人 读未来百家号 绝密★启用前 角平分线 测试时间: 20分钟 一、选择题 1.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个 角的平分线.如下图,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA,并且与第一把直尺交于点P,小明 说:“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样做的依据是( ) A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D.以上均不正确 2.如下图,点O是△ABC的两外角平分线的交点,下列结论:①OB=OC;②点O到直线AB、AC的距离相等;③ 点O到△ABC的三边(或所在直线)的距离相等;④点O在∠A的平分线上.其中一定成立的结论的个数 是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 3、如下图,已知DB⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则 ∠DGF=. 4、如下图,已知△ABC的周长是18,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=2,则△ABC的面积 是. 三、解答题 5.如下图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,求 证:∠DEF=∠DFE.
横线以 内不许答 题 参考答案 一、选择题 1.答案 A 如下图所示,过两把直尺的交点P 作PE⊥AO 于E,PF⊥BO 于F,∵两把长方形直尺完全相同,∴PE=PF,∴OP 平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上),故选A. 2.答案 C 如下图,过点O 作OE⊥AB,交AB 的延长线于E,作OF⊥BC 于F,作OG⊥AC,交AC 的延长线于G,∵点O 是△ABC 的两外角平分线的交点,∴OE=OF,OF=OG,∴OE=OF=OG,故②③④一定成立,只有当点F 是BC 的中点时,才有BO=CO,故①不一定成立.综上所述,选C. 二、填空题 3.答案 150° 解析 ∵DB⊥AE 于B,DC⊥AF 于C,且DB=DC, ∴AD 是∠BAC 的平分线, ∵∠BAC=40°, ∴∠CAD=1 2∠BAC=20°, ∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°. 4.答案 18 解析 过O 作OE⊥AB 于E,OF⊥AC 于F,连接OA, ∵BO 平分∠ABC,OD⊥BC,OE⊥AB, ∴OE=OD=2,同理,OF=OD=2, △ABC 的面积=△OBC 的面积+△OAB 的面积+△OAC 的面积 =1 2·BC·OD+1 2 ·AC·OF+1 2 ·AB·OE =1 2·(BC+AB+AC)·2 =18. 三、解答题 5.证明 如下图,连接AD,∵D 是BC 的中点,∴BD=CD,又∵AB=AC,∴AD 是∠BAC 的平分线,又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∴∠DEF=∠DFE.
12．3 角的平分线的性质 第1课时 角平分线的性质 1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．(重点) 2．能运用角的平分线性质定理解决简 单的几何问题．(难点) 一、情境导入 问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路． 问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？ 二、合作探究 探究点一：角平分线的作法 如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心， 小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于 E ， F 两点，再分别以E 、F 为圆心， 大于1 2 EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M .若∠ACD ＝120°，求∠MAB 的度数． 解析：根据AB ∥CD ，∠ACD ＝120°，得出∠CAB ＝60°，再根据AM 是∠CAB 的平分 线，即可得出∠MAB 的度数． 解：∵AB ∥CD ，∴∠ACD ＋∠CAB ＝180°，又∵∠ACD ＝120°，∴∠CAB ＝60°，由作 法知，AM 是∠CAB 的平分线，∴∠MAB ＝1 2∠ CAB ＝30°. 方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM 是∠BAC 的角平 分线是解题的关键． 探究点二：角平分线的性质 【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等 如图：在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD ＝DF .求证：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB . 解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即CD ＝DE .再根据Rt △CDF ≌Rt △EDB ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行证明． 证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .∵在Rt △DCF 和Rt △DEB 中，∵? ????DF ＝BD ，DC ＝DE ，∴Rt △CDF ≌Rt △ EDB (HL)．∴CF ＝EB ； (2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴CD ＝DE .在△ADC 与△ADE 中，∵
第2课时 角平分线的判定 基础巩固 一、填空题 1．如图1，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是 。 3题图 D C B A 图1 图2 2．如图2所示，在△ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，AD ＝2 cm ，则点D 到BC 的距离为________cm ． 3．如图3，已知BD 是∠ABC 的内角平分线，CD 是∠ACB 的外角平分线，由D 出发，作点D 到BC 、AC 和AB 的垂线DE 、DF 和DG ，垂足分别为E 、F 、G ，则DE 、DF 、DG 的关系是 。 图3 图4 4．如图4，已知AB ∥CD ，O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则两平行线间AB 、CD 的距离等于 。 5．已知△ABC 中，∠A=80°，∠B 和∠C 的角平分线交于O 点，则∠BOC= 。 二、选择题 6．如图5，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB ＝m ，PC ＝n ，AB ＝c ，AC ＝b ，则)(n m +与)(c b +的大小关系是（ ） A 、n m +＞c b + B 、n m +＜c b + C 、n m +＝c b + D 、无法确定
选择第4题图 P D C B A 图5 图6 7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=32，且BD ：CD=9：7，则D 到AB 边的距离为( ) A ．18 B ．16 C ．14 D ．12 8．如图6，AE ⊥BC 于E ，CA 为∠BAE 的角平分线，AD=AE ，连结CD ，则下列结论不正确的是( ) A ．CD=CE B ．∠A C D=∠ACE C ．∠CDA =90° D ．∠BCD=∠ACD 9．在△ABC 中，∠B=∠ACB ，CD 是∠ACB 的角平分线，已知∠ADC=105°，则∠A 的度数为( ) A ．40° B ．36° C ．70° D ．60° 10．在以下结论中，不正确的是( ) A ．平面内到角的两边的距离相等的点一定在角平分线上 B ．角平分线上任一点到角的两边的距离一定相等 C ．一个角只有一条角平分线 D ．角的平分线有时是直线，有时是线段 三、解答题 11．如图7所示，AE 是∠BAC 的角平分线，EB ⊥AB 于B ，EC ⊥AC 于C ，D 是AE 上一点，求证：BD=CD 。 图7 图8A B C D P O 图9 12．如图8，BD=CD ，BF ⊥AC 于F ，CE ⊥AB 于E 。求证：点D 在∠BAC 的角平分线上。 13．如图9，∠AOP=∠BOP ，AD ⊥OB 于D ，BC ⊥OA 于C ，AD 与BC 交
八年级数学角平分线的 性质练习题 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]
角平分线的性质练习题 1角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________． 2、∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________. 3、如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则 ∠DOC =_________. 4、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm . 5、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等。 6、点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________． 7、在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32，且 BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为 . 8、三角形中到三边距离相等的点是（ ） A 、三条边的垂直平分线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条中线的交点 D 、三条角平分线的交点 9、如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD 10、如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转 站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A 、1处 B 、2处 C 、3处 D 、4处 11、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ） A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝ D 、不能确定 第9题 第10题 第11题 12、如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中 不正确的是（ ） 第3题 第4题 D C A E B