11.已知函数2()x f x x e -=。 （1）求()f x 的极小值和极大值；
（2）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围。 【解析】(1) ()()22x f x e x x -'=-+,令()0f x '=得0x =或2. 列表如下
)
函数()f x 的极小值为()0f =0，极大值为()2f ＝
2
e . (2)设切点为()0200,x x x e -，则切线l 的斜率为()02002x k e x x -=
-+ 此时切线l 的方程为()()002200002x x y x e e x x x x ---=-+- 令0y
=，得0002x x x x =
+-. 002
232
x x x =+-+-， 由已知和（1）得2
0(,0)
(2,),()x h t t t
∈-∞+∞=+≠令（t 0） ，则当t ∈(0,+∞)时,h(t)的
取值范围为)+∞；当t ∈(-∞,-2)时,h(t)的取值范围是(-∞,-3),所以当x 0∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,x 的取值范围是(-∞,0)∪3,)+∞,综上,l 在x 轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪3,)+∞.
当2-=x 时，函数)(x f 取得极大值，极大值为)1(4)2(2--=-e f
13.已知函数22,0
()ln ,0
x x a x f x x x ?++<=?>?，其中a 是实数。设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 为该函
数图象上的两点，且12x x <.
（Ⅰ）指出函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，证明：211x x -≥； （Ⅲ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围。
【解析】(Ⅰ)函数f (x )的单调递减区间为(?∞,?1), 单调递增区间为(?1,0),(0,+∞). (Ⅱ)由导数的几何意义可知,点A 处的切线斜率为f '(x 1),点B 处的切线斜率为f '(x 2), 故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时,有f '(x 1)f '(x 2)=?1. 当x <0时,对函数f (x )求导，得f '(x )=2x +2
因为x 10.
因此x 2?x 1=1
2
[?(2x 1+2)+ 2x 2+2]≥[?(2x 1+2)](2x 2+2)=1,
当且仅当?(2x 1+2)= 2x 2+2=1，即x 1=?32且x 2=?1
2
时等号成立.
所以,函数f (x )的图象在点A ,B 处的切线互相垂直时, 有211x x -≥.
(Ⅲ) 当x 1x 1>0时, f '(x 1)≠f '(x 2), 故x 1<0当x 1<0时,函数f (x )的图象在点(x 1,f(x 1))处的切线方程为y ?(x 12+2x 1+a )=(2x 1+2)(x ?x 1), 即y =(2x 1+2)x ?x 12+a .
当x 2>0时,函数f (x )的图象在点(x 2,f(x 2))处的切线方程为y ?ln x 2=1x 2(x ?x 2),即y =
1
x 2
x +ln x 2?1.
两切线重合的充要条件是?????2x 1+2=1x 2 ①?x 12+a =ln x 2?1 ②
由①及x 1<0x 2<2. 由①②得,a=lnx 2+22112x ??-
???-1=-ln 1x 2+2
2
1124x ??
- ???-1. 令t=1x 2,则04
t 2-t-lnt.
设h(t)=14t 2-t-lnt(0--<0,
所以h(t)(0h(2)=-ln2-1, 所以a>-ln2-1.
而当t ∈(0,2)且t 趋近于0时,h(t)无限增大. 所以a>-ln2-1.
又当x 1∈(-1,0)且趋近于-1时,h(x 1)无限增大, 所以a 的取值范围是(-ln2-1,+∞). 故当函数f(x)的图象在点A,B 处的切线重合时,a 的取值范围是(-ln2-1,+∞). 14.已知函数f (x )=x 3+x 2+ax+1(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间.
(2)当a<0时,试讨论是否存在x 0∈10,2?? ???∪1,12?? ???使得f (x 0)=f 12??
???
.
【解析】(1)因为f'(x)=x 2+2x+a,二次方程x 2+2x+a=0的判别式Δ=4-4a.
当a ≥1时,Δ≤0,f'(x)≥0,
此时(-∞,+∞)是函数f(x)的单调递增区间;
当a<1时,Δ>0,f'(x)=0有两个实数根
此时(-∞,-1-∞)是函数f(x)的单调递增区间是函数f(x)的单调递减区间.
综上,当a ≥1时,函数f(x)只有单调递增区间(-∞,+∞);
当a<1时,函数f(x)的单调递增区间是(-∞∞),
单调递减区间是(-1-(2)f 12?? ???=3124+2a , f(x 0)-f 12?? ???
=301
3x +20x +ax 0+1-3124-2a ,
整理得f(x 0)-f 12?? ???=011122x ?
?- ???(420x +14x 0+7+12a),
若存在x 0∈10,2?? ???∪1,12?? ???使得f(x 0)=f 12??
???
,
则二次方程420x +14x 0+7+12a=0在区间10,2?? ???∪1,12??
???
上有解,
因为a<0, 则Δ=142-16(7+12a)=4(21-48a)>0,
x 00舍去),且
解得平方整理得-251212
.
令
1
2,解得a=-54. 当a ∈(-
2512,-54)∪57(,)412--时,存在x 0∈10,2?? ???∪1,12?? ???使得f(x 0)=f 12??
???
; 若a=-54或a ∈25,12?
?-∞- ??
?∪7,012??-????时,
不存在x 0∈10,2?? ???∪1,12?? ???使得f(x 0)=f 12??
???
.
15.已知函数()x f x e ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-.
（1）求a 的值及函数()f x 的极值； （2）证明：当0x >时，2x x e <
（3）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce < 【解析】解法一：(1)由()x f x e ax =-，得()x f x e a '=-，又(0)11f a '=-=-，得2a =， ∴()2x f x e x =-，()2x f x e '=-，令()0f x '=，得ln 2x =，……………………2分 当ln 2x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当ln 2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增； ∴当ln 2x =时，()f x 取得极小值，且极小值为ln2(ln2)2ln222ln2f e =-=-，无极大值；………………………………………………………………………………………4分 (2)令2()x g x e x =-，则()2x g x e x '=-，
由(1)得()()(ln2)2ln40g x f x f '=≥=->，………………………………………6分 故()g x 在R 上单调递增，又(0)10g =>，
∴当0x >时，()(0)0g x g >>，即2x x e <；……………………………………7分 (3)①若1c ≥，则2x x ce <，又由(Ⅱ)知，当0x >时，2x x e <， ∴当0x >时，2x x ce <，
取00x =，当00(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <，……………………………………9分 ②若01c <<，令1
1k c
=
>，要使不等式2x x ce <成立，只要2x e kx >成立， 而要使2x e kx >成立，则只要2ln()x kx >，只要2ln ln x x k >+，………………10分 令()2ln ln h x x x k =--，则22()1x h x x x
-'=-
=， 当2x >时，()0h x '>，()h x 在(2,)+∞上单调递增， 取01616x k =>，则()h x 在0(,)x +∞上单调递增，
又0()162ln(16)ln 8(ln2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+，
而ln k k >，ln 2k >，50k >，则0()0h x >， 即存在016
x c
=
，当00(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <，………………………………13分 综上，对任意给定的正数c ，总存在00(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <.……………14分 方法二：(1)同方法一. (2)同方法一. (3)对任意给定的正数c ，取
0x =
由(2)知，当0x >时，2
x
e x >，则222
2
()()22
x x x
x x
e e e =>，
当0x x >时，222241
()()()222x x x x e x c c
>>=，
∴对任意给定的正数c ，总存在00(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <. 解法三：(1)同解法一. (2)同解法一.
(3)先证明当(0,)x ∈+∞时，恒有31
3
x x e <，
令31
()3
x h x x e =-，则2()x h x x e '=-，
由(2)知，当0x >时，2x x e <，从而()0h x '<，()h x 在(0,)+∞上单调递减，
∴()(0)10h x h <=-<，即31
3
x x e <，
取03x c =，当0x x >时，有2311
3
x x x e c <<，
∴对任意给定的正数c ，总存在00(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <. 16.设函数()1
ln 1
x f x a x x -=+
+，其中a 为常数. （Ⅰ）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性.
【解析】(1)0a =当时2
12
(),()1(1)x f x f x x x -'=
=++
221(1)(11)2f '==+ (1)0(1,0)f =∴又
直线过点 11
22
y x ∴=
- (2) 2
2
()(0)(1)a f x x x x '=
+>+ 2
2
0()0.()(1)
a f x f x x '==
+①当时，恒大于在定义域上单调递增.
222
2(1)20()=0.()(1)(1)
a a x x
a f x f x x x x x ++'>=+>++②当时，在定义域上单调递增. 221
0(22)4840,.2
a a a a a
()f x 开口向下，在定义域上单调递减。
1,2100.2a x -
<==
当时， 12221
10.102a x x x a a
+=-
=-->=>对称轴方程为且
()+)f x ∴∞在单调递增，
单调递减。
0()0()11()0()22+)a f x a f x a f x a f x =>≤--<<∞综上所述，时，在定义域上单调递增；时，在定义域上单调递增时，在定义域上单调递减；时，在单调递减，单调递减。
17.已知函数232
()(0),3
f x x ax a x R =->∈ （1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若对
于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ?=，求a 的取值范围 【解析】(1)由已知,有f'(x)=2x-2ax 2(a>0). 令f'(x)=0,解得x=0或x=1a
.
所以f(x)的单调递增区间是10,a ?? ???;单调递减区间是(-∞,0), 1,a ??
+∞ ???
.
当x=0时,f(x)有极小值,且极小值f(0)=0; 当x=
1a 时,f(x)有极大值,且极大值1f a ?? ???=21
3a
. (2)由f(0)=32f a ?? ???=0及(1)知,当x ∈30,2a ?? ???时,f(x)>0;当x ∈3,2a ??
+∞ ???
时,f(x)<0.
设集合A={f(x)|x ∈(2,+∞)},集合B=()()()1
1,,0x f x f x ????
∈+∞≠??????
∣. 则“对于任意的x 1∈(2,+∞),都存在x 2∈(1,+∞),使得f(x 1)·f(x 2)=1”等价于A ?B.
显然,0?B.
:
即0???
=0可知,0∈A,而0?B.所以A 不是B 的子集. ②当1≤
32a ≤2,即34≤a ≤3
2
时,有f(2)≤0,且此时f(x)在(2,+∞)上单调递减, 故A=(-∞,f(2)),因而A ?(-∞,0);
由f(1)≥0,有f(x)在(1,+∞)上的取值范围包含(-∞,0),则(-∞,0)?B,所以,A ?B.
③当32a <1,即a>32
时,有f(1)<0,且此时f(x)在(1,+∞)上单调递减,
故B=()1,01f ??
???
,A=(-∞,f(2)),所以A 不是B 的子集. 综上,a 的取值范围是33,42??
????
18.已知函数2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =???为自然对数的底数． （1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值； （2）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，证明：21e a -<<．
【解析】（1）因为2
()1x f x e ax bx =--- ，所以()()2x g x f x e ax b '==--，
又()2x g x e a '=-，因为[0,1]x ∈，1x e e ≤≤ 所以：
①若1
2
a ≤
，则21a ≤，()20x g x e a '=-≥， 所以函数()g x 在区间[0,1]上单增，min ()(0)1g x g b ==-．
②若
122
e
a <<，则12a e <<，于是当0ln(2)x a <<时，()20x g x e a '=-<， 当ln(2)1a x <<时，()20x g x e a '=->，
所以函数()g x 在区间[0,ln(2)]a 上单减，在区间[ln(2),1]a 上单增，
min ()[ln(2)]22ln(2)g x g a a a a b ==--．
③若2
e
a ≥
，则2a e ≥，()20x g x e a '=-≤， 所以函数()g x 在区间[0,1]上单减，min ()(1)2g x g e a b ==--． 综上所述，当1
2
a ≤时，()g x 在区间[0,1]上的最小值为min ()(0)1g x g
b ==-； 当
122
e
a <<时，()g x 在区间[0,1]上的最小值为min ()[ln(2)]22ln(2)g x g a a a a
b ==--； 当2
e
a ≥时，()g x 在区间[0,1]上的最小值为min ()(1)2g x g e a
b ==--．
（2）由(1)0f =?10e a b ---=?1b e a =--，又(0)0f =，若函数()f x 在区间(0,1)内有零点，则函数()f x 在区间(0,1)内不可能单调递增，也不可能单调递减， 由（1）知当12a ≤或2
e
a ≥时，函数()g x 即()f x '在区间[0,1]上单调，不可能满足上述要求．
故只有
122e
a <<，此时min ()22ln(2)32ln(2)1g x a a a
b a a a e =--=---， 令3
()ln 12h x x x x e =---（1x e <<），
则1()ln 2h x x '=-
．由1
()ln 02
h x x x '=->?，
所以()h x
在区间
上单增，在区间)e 上单减，
max ()110h x h e e ==
-=-<即min ()0g x <恒成立， 于是，函数()f x 在区间(0,1)内不可能单调递增，也不可能单调递减，
?(0)20(1)10g e a g a =-+>??
=-+>?21a e a >-???
a <<， 所以21e a -<<. 19.已知函数 3
()ln ,42
x a f x x x =+-- 其中,a R ∈ 且曲线()y f x = 在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线1
.2
y x =
(1)求a 的值; (2) 求函数()f x 的单调区间与极值. 【解析】（1）对()f x 求导得211
(),4a f x x x
'=--由()y f x = 在点(1,(1))f 处的切线垂直于
直线12y x =知3(1)2,4
f a '=--=-解得5
.4a =
（2）由（1）可知53()ln ,442x f x x x =+--则22
45
(),4x x f x x
--'= 令()0,f x '=解得1,x =- 或 5.x = 因1x =-不在()f x 的定义域()0,+∞ 内，舍去.
当()0,5x ∈ 时,()0,f x '< 故()f x 在()0,5内为减函数; 当()5,x ∈+∞ 时,()0,f x '> 故()f x 在()0,5内为增函数. 由此知函数()f x 在5x = 时取得极小值(5)ln5.f =-
导数在实际生活中的应用
导数在实际生活中的应用 导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。 导数知识是学习高等数学的基础，它是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时，又促进了生产技术和自然科学的发展，它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用。而且在工农业生产及实际生活中，也经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等优化问题。这类问题在数学上就是最大值、最小值问题，一般都可以应用导数知识得到解决。接下来就导数在实际生活中的应用略微讨论。 1．导数与函数的极值、最值解读 函数的极值是在局部范围内讨论的问题，是一个局部概念，函数的极值可能不止一个，也可能没有极值。 函数()y f x =在点0x 处可导，则'0()0F x =是0x 是极值点的必要不充分条件，但导数不存在的点也有可能是极值点。 最大值、最小值是函数对整个定义域而言的，是整体范围内讨论的问题，是一个整体性的概念，函数的最大值、最小值最多各有一个。函数最值在极值点处或区间的断点处取得。 2．导数在实际生活中的应用解读 生活中的优化问题：根据实际意义建立好目标函数，体会导数在解决实际问题中的作用。 例1：在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？ 思路：设箱底边长为x cm ，则箱高602 x h -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数：23 2 60()(060)2x x r x x h x -==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的
导数在研究函数中的应用(含标准答案)
导数在研究函数中的应用 【自主归纳，自我查验】 一、自主归纳 1．利用导函数判断函数单调性问题 函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若____ ___，则f(x)在这个区间上是增加的． (2)若____ ___，则f(x)在这个区间上是减少的． (3)若_____ __，则f(x)在这个区间内是常数．2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f′(x)． (2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0. (3)根据结果确定f(x)的单调区间． 3．函数的极大值 在包含 x的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值 都_____ x点的函数值，称点0x为函数y＝f(x)的极大值点，其函数 值f( x)为函数的极大值． 4．函数的极小值 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都_____ x点的函数值，称点0x x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数 值f( x)为函数的极小值．极大值与极小值统称为_______，极大值 点与极小值点统称为极值点． 5．函数的最值与导数 1．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值点 x指的是：函数在这个区间上
所有点的函数值都_________f( x)． 2．函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值点 x指的是：函数在这个区间上 所有点的函数值都_________f( x)． 二、自我查验 1．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为() A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R 2．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________． 3.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x) 在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a， b)内有极小值点() A．1个B．2个 C．3个D．4个 4．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于() A．2 B．3 C．4 D．5 5.函数ln x =的最大值为（） y x A．1e-B．e C．2e D．10 3 【典型例题】 考点一利用导数研究函数的单调性 【例1】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
1最优化问题与数学预备知识
第一章 最优化问题与数学预备知识 本章主要内容：最优化的概念 经典最优化中两种类型的问题——无约束极值问 题、具有等式约束的极值问题的求解方法 最优化问题的模型及 分类 向量函数微分学的有关知识 最优化的基本术语 教学目的及要求：理解最优化的概念，掌握经典最优化中两种类型的问题——无 约束极值问题、具有等式约束的极值问题的求解方法，了解最 优化问题的模型及分类，掌握向量函数微分学的有关知识，了 解最优化的基本术语． 教学重点：向量函数微分学的有关知识． 教学难点：向量函数微分学的有关知识． 教学方法：启发式． 教学手段：多媒体演示、演讲与板书相结合． 教学时间：2学时． 教学内容： §1.1 模型与实例 无约束最优化问题 12min (),(,,,)T n n f x x x x x R =∈ ． 约束最优化问题（{|,()0,1,2,,;()0,1,2,,}n i j S x x R g x i m h x j l ∈≥=== ） min ();.f x x S ??∈?s.t. 即 m i n ();()0,1,2,,,()0,1,2,,.i j f x g x i m h x j l ??≥=??==? s.t. 其中()f x 称为目标函数，12,,,n x x x 称为决策变量，S 称为可行域， ()0(1,2,,),()0(1,2,,)i j g x i m h x j l ≥=== 称为约束条件． 例1 （海洋运输问题）某航运公司承接了一项将客户停放在港口等待运输的N 种货物运往目的地的业务．设航运公司运输单位货物i 的收益为i c （元/吨），货船能够装载的货物的重量限制为W （吨），相应的容积限制为V （立方米），设i a 是单位货物i 所占的容积（立方米／吨），i b 是货物i 可提供的最大数量（吨）， i w 是货物i 的日平均装船速度（吨／日） ，1q 为货船的日泊位费（元／日），2q 为货船在海上航行时的日费用（元／日），d 为航行距离（公里），v 为航行速度（公里／日）．问如何确定货船的装载方案，使航运公司获利最大？
利用导数解决生活中的优化问题
利用导数解决生活中的优化问题 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。 一．解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 二．利用导数解决优化问题的基本思路： 三、应用举例 例1（体积最大问题）用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 解：设长方体的宽为(m)x ，则长为2(m)x ，高为 181234.53(m)042x h x x -??==-<< ?? ?．故长方体的体积为 22323()2(4.53)96(m )02V x x x x x x ??=-=-<< ??? ． 从而2()181818(1)V x x x x x '=-=-． 令()0V x '=，解得0x =（舍去）或1x =，因此1x =． 当01x <<时，()0V x '>；当312 x <<时，()0V x '<． 故在1x =处()V x 取得极大值，并且这个极大值就是()V x 的最大值． 从而最大体积233 (1)91613(m )V V ==?-?=，此时长方体的长为2m ，高为1.5m ． 答：当长方体的长为2m ，宽为1m ，高为1.5m 时，体积最大，最大体积为33m ． 点评：用导数来解决实际问题时，一般首确定自变量，选定了自变量，要搞清自变量的围，再列出关系式，对关系式进行求导，最后求出最值来。 例2（帐篷设计问题）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥。试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐
2012高考数学热点考点精析：10导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例(新课标地区)
考点10 导数在研究函数中的应用 与生活中的优化问题举例 一、选择题 1．（2011·安徽高考文科·Ｔ10）函数()()2 1n f x ax x =-在区间[]0,1上的 图象如图所示，则n 可能是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【思路点拨】 代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案. 【精讲精析】选A. 代入验证,当n=1时，)2()1()(232x x x a x ax x f +-=-=，则 )143()(2+-='x x a x f ，由)143()(2+-='x x a x f =0可知，1,3 1 21==x x ，结合图 象可知函数应在（0，31）递增，在） （1,31递减，即在3 1 =x 处取得最大值，由 ,2 1 )311(31)31(2=-??=a f 知a 存在. 2.（2011·辽宁高考理科·Ｔ11）函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x ∈R ，2)(>'x f ，则f （x ）＞2x+4的解集为 （A ）（-1，1） （B ）（-1，+∞） （C ）（-∞，-1） （D ）（-∞，+∞） 【思路点拨】先构造函数)42()()(+-=x x f x g ，求其导数，将问题转化为求)(x g 单调性问题即可求解．
【精讲精析】选B.构造函数)42()()(+-=x x f x g ，则 =-)1(g 022)42()1(=-=+---f ， 又因为2)(>'x f ，所以02)()(>-'='x f x g ，可知)(x g 在R 上是增函数，所以)42()(+>x x f 可化为0)(>x g ，即 )1()(->g x g ，利用单调性可知，1->x ．选B. 3．（2011·安徽高考理科·Ｔ10）函数()()1n m f x ax x =-在区间[]0,1上的 图象如图所示，则,m n 的值可能是 （A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n == 【思路点拨】本题考查函数与导数的综合应用，先求出)(x f 的导数，然后根据函数图像确定极值点的位置，从而判断m,n 的取值. 【精讲精析】选B.函数()()1n m f x ax x =-的导数 11()()(1)(),m n m f x m n ax x x m n --'=-+-- +则)(x f '在),0(n m m +上大于0，在 )1,(n m m +上小于0，由图象可知极大值点为31，结合选项可得m=1,n=2. 二、填空题 4.（2011·广东高考理科·Ｔ12）函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值. 【思路点拨】先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值的时刻. 【精讲精析】答案：2 由063)(2=-='x x x f 解得0=x 或2=x ，列表如下：
导数在经济学中的应用
引言 近年来，随着市场经济的不断发展、经济的不断繁荣，经济活动中的实际问题也愈加复杂，简单的分析已经不足以满足企业管理者对经济分析的需求。因此，有必要将高等数学应用于简单的数学函数所不能解决的实际经济问题中，对其进行定量分析，这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位。而导数作为高等数学中的重要概念，同样也是解决经济问题的一个有力工具。在高等数学中，导数通常被用于判断函数的单调性，求函数的最值、极值等。在实际经济问题中，导数可作为经济分析的工具，广泛地应用到经济研究和企业管理之中，促进经济理论朝着更加精确的方向发展。本文从边际分析，弹性分析，优化分析三个方面论述导数在经济分析方面的应用。 1、导数的概念 早在法国数学家费马探究极值问题时就将导数的思想引入了，但导数思想是在英国数学家牛顿研究力学和德国数学家莱布尼茨研究几何学的过程中正式建 2、经济分析中常用的函数 由于导数主要应用于探究经济领域中出现的一些函数关系问题，所以，我们必需对经济分析中的一些常用的函数具有一定的了解，以便更好的理解和使用它们。经济分析中常用的函数主要有以下四类： 2.1需求函数 需求函数指在特定的时间，各种可能的价格条件下，消费者愿意并且能够购买该商品的数量。（出处？）为了使问题简单化，我们一般假设需求函数的诸多
自变量中除价格外其他均为常量，则函数表示为()P f Q d =，其中，P 为商品的价格，Q d 为商品的需求量。这个函数表示一种商品的需求量与价格之间存在一 一对应的关系，并且通过观察可以知道商品（除某些抵挡商品、某些炫耀性商品、某些投资性商品除外）的需求量与价格成反方向变动关系，即商品本身价格上升，需求量随之减少，反之亦然。 例1：服装店销售某种衬衫的件数Q 与价格P 是线性关系，当价格为100元一件时，可销售120件，当价格为80元时，可销售200件，求需求函数。 解:设衬衫的件数与价格的函数关系为：b aP Q += 则b a +=100120；b a +=80200 解得4-=a ；520=b 所以需求函数为5204+-=P Q 。 2.2供给函数 一种商品的供给函数，是指单个生产者在一定时期在各种可能的价格下，愿意且能够提供出售的该种商品数量。[3]我们通常通过将除价格外的其他因素看成常量以达到化简问题的目的。所以，供给函数可以用()P f Q s =表示，其中，P 为商品的价格，Q S 为商品的供给量。可以看出，商品（除单个劳动力商品、古董商品、某些投资性商品外）的价格与供给量之间成同方向变动的关系。 例2：已知大蒜的收购价为每千克4元，每星期能收购2000千克，若收购价每千克提高0.5元，每星期可收购2500千克，求大蒜的供给函数。 解：设大蒜的线性供给函数为：b aP Q += 则b a +=42000；b a +=5.42500 得1000=a ；2000-=b 所以供给函数为为：20001000-=P Q 2.3成本函数 产品成本一般情况下是用货币的形式来表现的企业生产和出售产品的所用度支出。成本函数所表示的是企业成本总额与产出总量之间关系的公式。产品成
导数在研究函数中的应用练习题
导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)______0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)______0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减. 2.函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程________的根； ③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得__________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得__________. 3.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函 数f(x)在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值. (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的________； ②将f(x)的各极值与____________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 要点梳理 1.>< 2.(1)①f′(x)>0f′(x)<0②f′(x)<0f′(x)>0(2)②f′(x)＝0③f′(x)＝0极大值极小值 3.(2)f(a)f(b)f(a)f(b) (3)①极值②f(a)，f(b) 1. f(x)＝3x－x3的单调减区间为_____________________________________________. 2.函数f(x)＝e x－x在区间(－∞，0)内是单调__________(填“增函数”或“减函数”). 3.函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________. 4.如图是y＝f(x)导数的图象，对于下列四个判断： ①f(x)在[－2，－1]上是增函数； ②x＝－1是f(x)的极小值点； ③f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x＝3是f(x)的极小值点. 其中正确的判断是________.(填序号)
生活中的优化问题举例
高二数学◆选修2-2◆导学案编写：刘方贵张晓丽审核：仇国宗陈兆平袁全升2011-03-21 1 建立数学模型§1.4生活中的优化问题举例 教学目标： 1．使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作 用 2．提高将实际问题转化为数学问题的能力 教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 一．创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节， 我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．新课讲授 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有 以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。 解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函 数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是 建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决， 在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路： 三．典例分析 例1．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图 1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。 如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 本节课精华记录预习心得：解决数学模型 作答用函数表示的数学问题 优化问题用导数解决数学问题 优化问题的答案
导数在实际生活中的应用
导数在实际生活中的应用 1．(江苏省启东中学高三质量检测)曲线y ＝1 3 x 3＋x 在点????1，43处的切线与坐标轴围成的 三角形面积为________． 解析：曲线y ＝1 3x 3＋x 在点????1，43处的切线斜率为y ′|x ＝1＝????13x 3＋x ′x ＝1＝(x 2＋1)|x ＝1 ＝2，所以切线的方程为y －43＝2(x －1)，即y ＝2x －2 3 ，与x 轴的交点和y 轴的交点为 ????13，0，????0，－23，所求面积为S ＝12×13×23＝19 . 答案：1 9 2．(江苏省高考命题研究专家原创卷)设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx ，有大于零的极值 点， 则m 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝e x ＋2mx ，有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于零的实 根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m >1， 即m <－1 2. 答案：m <－1 2 3．(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若f (x )在区间(0,1]上恒 为单调函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：由题意知，f ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2 ＋2x ＋a x ， ∵f (x )在区间(0,1]上恒为单调函数，∴f ′(x )在区间(0,1]上恒大于等于0或恒小于等于0， ∴2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在区间(0,1]上恒成立，即a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2 ＋2x )，而函数y ＝－2x 2－2x 在区间(0,1]的值域为[－4,0)，∴a ≥0或a ≤－4. 答案：a ≥0或a ≤－4 4．已知f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＞0，f ′(x )＞0，则函数y ＝xf (x )的递增区间 是________． 解析：当x ＞0时，y ′＝[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＞0，∴y ＝xf (x )在(0，＋∞)上递增． 又f (x )为奇函数，∴y ＝xf (x )为偶函数，∴y ＝xf (x )在(－∞，0)上递减． 答案：(0，＋∞) 5．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元， 已知总收益R 与年产量x 的关系是
人教版数学高二选修2-2作业1.3导数在研究函数中的应用课时作业4
课时作业 函数的最大(小)值与导数 A 组 基础巩固 1．函数y ＝f (x )＝ln x x 的最大值为( ) A ．e －1 B ．e C ．e 2 D ．10 解析：令y ′＝ln x ′x －ln x x 2＝1－ln x x 2＝0?x ＝e. 当x ＞e 时，y ′＜0；当0＜x ＜e 时，y ′＞0， 所以y 极大值＝f (e)＝e －1 ， 在定义域内只有一个极值，所以y max ＝e －1. 答案：A 2．函数f (x )＝1x ＋1＋x (x ∈[1,3])的值域为( ) A ．(－∞，1)∪(1，＋∞) B.???? ??32，＋∞ C.? ????32，134 D.???? ??32，134 解析：f ′(x )＝－1x ＋12＋1＝x 2＋2x x ＋12 ， 所以在[1,3]上f ′(x )＞0恒成立，即f (x )在[1,3]上单调递增． 所以f (x )的最大值是f (3)＝ 134，最小值是f (1)＝32 .故选D. 答案：D 3．若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为 ( ) A ．－5 B ．7 C ．10 D ．－19 解析：f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x －3)·(x ＋1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝3或－1. ∵x ∈[－2，－1]时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在[－2，－1]上递减． ∴f (－2)＝2，即a ＋2＝2，a ＝0，它的最小值为f (－1)＝－5. 答案：A 4．f (x )＝2x －cos x 在(－∞，＋∞)上( ) A ．是增函数 B ．是减函数 C ．有最大值 D ．有最小值
最优化方法,汇总
最优化方法结课作业 年级数学121班 学号201200144209 姓名李强
1、几种方法比较 无约束优化：不对定义域或值域做任何限制的情况下，求解目标函数的最小值。这是因为实际应用中，许多情形被抽象为函数形式后均为凸函数，对于凸函数来说局部最小值点即为全局最小值点，因此只要能求得这类函数的一个最小值点，该点一定为全局最小值。（直接法：又称数值方法，它只需计算目标函数驻点的函数数值，而不是求其倒数，如坐标轮换法，单纯型法等。间接法：又称解析法，是应用数学极值理论的解析方法。首先计算出目标函数的一阶或一阶、二阶导数，然后根据梯度及海赛矩阵提供的信息，构造何种算法，从而间接地求出目标函数的最优解，如牛顿法、最速下降法共轭梯度法及变尺度法。）在优化算法中保证整体收敛的重要方法就是线搜索法与信赖域法,这两种算法既相似又有所不同。根据不同的线搜索准则就延伸出不同的线搜索算法,譬如比较常见和经典的最速下降法,牛顿法,拟牛顿法以及共辄梯度法等。 一维搜索又称线性搜索(Line Search),就是指单变量函数的最优化,它是多变量函数最优化的基础,是求解无约束非线性规划问题的基本方法之一。 一维搜索技术既可独立的用于求解单变量最优化问题,同时又是求解多变量最优化问题常用的手段,虽然求解单变量最优化问题相对比较简单,但其中也贯穿了求解最优化问题的基本思想。由于一维搜索的使用频率较高,因此努力提高求解单变量问题算法的计算效率具有重要的实际意义。 在多变量函数的最优化中,迭代格式Xk+1=Xk+akdk其关键就是构造搜索方向dk和步长因子ak 设Φ(a)=f(xk+adk) 这样从凡出发,沿搜索方向dk,确定步长因子ak,使Φ(a)<Φ(0)的问题就是关于步长因子a 的一维搜索问题。其主要结构可作如下概括:首先确定包含问题最优解的搜索区间，然后采用某种分割技术或插值方法缩小这个区间，进行搜索求解。 一维搜索通常分为精确的和不精确的两类。如果求得ak使目标函数沿方向dk达到极小,即使得f (xk+akdk)=min f (xk+ adk) ( a>0)则称这样的一维搜索为最优一维搜索,或精确一维搜索,ak叫最优步长因子;如果选取ak使目标函数f得到可接受的下降量,即使得下降量f (xk)一f (xk+akdk)>0是用户可接受的,则称这样的一维搜索为近似一维搜索,或不精确一维搜索,或可接受一维搜索。由于在实际计算中,一般做不到精确的一维搜索,实际上也没有必要做到这一点,因为精确的一维搜索需要付出较高的代价,而对加速收敛作用不大,因此花费计算量
高考数学(理)一轮复习检测：《导数在生活中的优化问题举例》
第3讲 导数在生活中的优化问题举例 1．从边长为10 cm ×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( ) A ．12 cm 3 B ．72 cm 3 C ．144 cm 3 D ．160 cm 3 2．要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为( ) A.33 cm B.10 33 cm C.16 33 cm D.20 33 cm 3．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13 x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件 4．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)＜2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1) D ．f (0)＋f (2)＞2f (1) 5．某厂生产某种产品x 件的总成本C (x )＝1200＋275 x 3(单位：万元)，又知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为( )元时总利润最大．( ) A ．10 B ．25 C ．30 D ．40 6．已知函数f (x )＝13 x 3＋ax 2－bx ＋1(a ，b ∈R )在区间[－1,3]上是减函数，则a ＋b 的最小值是( ) A.23 B.32 C ．2 D ．3 7．(2012年福建)已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a 0；②f (0)f (1)<0；③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0. 其中正确结论的序号是( )
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会 一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。 （一）知识与技能目标： 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 （二）过程与方法目标： 1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。 （三）情感、态度与价值观目标： 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结， 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。（四）教学重点，难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。 二、教法分析 针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，培养学生的探究精神，提高语言表达和概括能力，
3.4生活中的优化问题举例
二、预习内容 ：生活中的优化问题，如何用导数来求函数的最小
二、学习过程 1.汽油使用效率最高的问题 阅读例1，回答以下问题： （1）是不是汽车速度越快，汽油消耗量越大？ （2）“汽车的汽油使用效率最高”含义是什么？ （3）如何根据图3.4-1中的数据信息，解决汽油的使用效率最高的问题？ 2.磁盘最大存储量问题 阅读背景知识，思考下面的问题： 问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环形区域。（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？ （2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 3饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 阅读背景知识，思考下面的问题： （1）请建立利润y与瓶子半径r的函数关系。 （2）分别求出瓶子半径多大时利润最小、最大。 （3）饮料瓶大小对饮料公司利润是如何影响的？ 三、反思总结 通过上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：
收集一下各种型号打印纸的数据资料，并说明其中所蕴含的设计原理。【资料】打印纸型号数据（单位：厘米）
§3.4 生活中的优化问题举例教学目标： 1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y 与自变量x ，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式()y f x =，根据实际问题确定函数()y f x =的定义域； 2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答. 重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论 值应予舍去。 难点：在实际问题中，有()0f x '=常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值 在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。 教学方法：尝试性教学 教学过程： 前置测评： （1）求曲线y=x 2+2在点P(1,3)处的切线方程. （2）若曲线y=x 3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。 【情景引入】 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题 例1.汽油的使用效率何时最高 材料：随着我国经济高速发展，能源短缺的矛盾突现，建设节约性社会是众望所归。现实生活中，汽车作为代步工具，与我们的生活密切相关。众所周知，汽车的每小时耗油量与汽车的速度有一定的关系。如何使汽车的汽油使用效率最高（汽油使有效率最高是指每千米路程的汽油耗油量最少）呢？ 通过大量统计分析，得到汽油每小时的消耗量 g(L/h)与汽车行驶的平均速度v （km/h ）之间的函数关系g=f(v) 如图3.4-1，根据图象中的信息，试说出汽车的速度v 为多少时，汽油的使用效率最高？ 解：因为G=w/s=(w/t)/(s/t)=g/v 这样，问题就转化为求g/v 的最小值，从图象上看，g/v
导数在实际生活中的应用1教案
导数在实际生活中的应用1 教学目标 1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用 2、提高将实际问题转化为数学问题的能力 教学重点 理利用导数解决生活中的一些优化问题 教学难点 利用导数解决生活中的一些优化问题 教学过程 一．创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．新课讲授 1、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方 面： （1）与几何有关的最值问题； (2)与物理学有关的最值问题； (3)与利润及其成本有关的最值问题； (4)效率最值问题。 2、解决优化问题的方法： 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域， 通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 3三．例题讲解 4、学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张 贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。如何设计海报的 尺寸，才能使四周空心面积最小？ 解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为 128x dm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x =++-=++> 求导数，得'2512()2S x x =-。 令'2512()20S x x =-=，解得16(16x x ==-舍去）。 于是宽为128128816x ==。
高考数学第二章 函数与导数第12课时 导数在研究函数中的应用
第二章 函数与导数第12课时 导数在研究函数中的应用 第三章 (对应学生用书(文)、(理)30～32页 ) , 1. (选修22P 28例1改编)函数f(x)＝x 3 －15x 2 －33x ＋6的单调减区间为______________． 答案：(－1，11) 解析：f′(x)＝3x 2 －30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，由(x －11)(x ＋1)<0，得单调减区间为(－1，11)．亦可填写闭区间或半开半闭区间． 2. (选修22P 34习题3改编)若函数f(x)＝e x －ax 在x ＝1处取到极值，则a ＝________． 答案：e 解析：由题意，f ′(1)＝0，因为f′(x)＝e x －a ，所以a ＝e. 3. (选修22P 34习题8)函数y ＝x ＋sinx ，x ∈[0，2π]的值域为________． 答案：[0，2π] 解析：由y′＝1＋cosx ≥0，所以函数y ＝x ＋sinx 在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π]． 4. (原创)已知函数f(x)＝－12x 2 ＋blnx 在区间[2，＋∞)上是减函数，则b 的取值范 围是________． 答案：(－∞，4] 解析：f′(x)＝－x ＋b x ≤0在[2，＋∞)上恒成立，即b≤x 2 在[2，＋∞)上恒成立． 5. (选修22P 35例1改编)用长为90cm 、宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm 时，容器的容积最大． 答案：10 解析：设容器的高为xcm ，即小正方形的边长为xcm ，该容器的容积为V ，则V ＝(90－ 2x)(48－2x)x ＝4(x 3－69x 2＋1080x)，00；当10导数在实际中的应用的简单举例【最新】
答：关于导数，我们知道，它是微积分的核心概念。它有着及其丰富的背景和广泛的应用。我们的教材，通过大量的实例，引导同学们经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，体会导数的思想，理解导数的含义，并且通过用导数研究函数的单调性，极值等性质和解决各种最优化问题，让我们的学生充分体会到导数在解决数学问题和实际问题中的广泛应用和强大力量。 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，都能够引领我们的学生深刻体会到导数在解决实际问题中的重大作用．具体说来，总结如下 1．研究函数性质 导数作为研究函数问题的利刃，常用来解决极值、最大（小）值、单调性等三类问题.在求解这些函数问题时，要结合导数的思想与理解性质的基础上，掌握用导数方法求解的一般步骤．在熟练运用导数工具研究函数的性质同时，我们要注意比较研究函数的导数方法与初等方法，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. 2．证明不等式成立 证明不等式的方法有许多，导数作为研究一些不等式恒成立问题的工具，体现了导数应用上的新颖性以及导数思想
的重要性. 由导数方法研究不等式时，一般是先构造一个函数，借助对函数单调性或最大(小)值的研究，经历某些代数变形，得到待证明的不等式. 3．求解参数范围 给定含有参数的函数以及相关的函数性质，求解参数的值或范围，需要我们灵活运用导数这一工具，对问题实施正确的等价转化，列出关于参数的方程或不等式. 在此类含参问题的求解过程中，逆向思维的作用尤其重要. 4．研究曲线的切线问题 导数的几何意义表现为曲线的切线斜率值，从而利用导数可求曲线的切线，并进一步将导数融合到函数与解析几何的交汇问题中. 解决此类相切问题，一般先求函数的导数，依据曲线在处的切线斜率为而进行研究. 由于切点具有双重身份，既在切线上，又在函数图象上，从而对切点的研究可作为解决问题的纽带，特别是在不知道具体切点的情况下，常常设切点坐标并联立方程组而求解. 5．解决实践问题
最新导数的应用之优化问题
导数的应用之优化问 题
导数的综合应用－－优化问题 广东省和平县福和高级中学高三数学组颜贞 1.知识与能力 通过用料最省，利润最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，并且会利用导数解决简单的实际生活优化问题。 2.过程与方法 让学生参与问题的分析，探究解决过程，体会数学建模，从而掌握用导数法解决优化问题的方法。 3.情感、态度与价值观 形成数学建模思想，培养学生应用数学意识，进一步体会导数作为解决函数问题的工具性。激发学生学习热情，培养学生解决问题的能力和创新能力. 4.教学重点和难点 优化问题的数学建模与求解方法的掌握. 上课内容详细分解： 一、复习导数作为工具的具体体现： 1．解决函数的单调性 2．解决函数在某一区间内的极值或最值 3．知识点的综合运用 二、提出本节课听课要求 1．深化理解导数作为工具的卓越表现力 2．掌握用导数法解决生活中优化问题的一般步骤 3．解决生活中优化问题时应注意的问题 三、回顾解决优化问题的一般常用方法 1.基本函数型（如二次函数型，指数对数型）
2.基本不等式型 3.线性规划型…. 最后提出本节课的目的：用导数法解决实际生活中的优化问题. 【设计理念：通过复习知识点，构建学生的知识网络，对开展进一步的教学有一定的好处，也适合学生的学习习惯。】 四、探究实例一（用料最省问题） 老师：设圆柱形金属罐的容积一定，请问怎么来设计它的高与底面的关系，才能使所用材料最身？ 学生：积极探索，寻求关系并初步分析问题。部分学生可以解决问题. 老师：（详细分析） 解：设圆柱的高为h ，底面半径为r ，容积为V 。则用料最省问题即可转化为求圆柱体的表面积最小问题。可找函数关系：222r rh S ππ+=， 由V=22r V h h r ππ= ?，有2222222)(r r V r r V r r S ππππ+=+?=.令0)(='r S ，可求得时用料最省。达到最大，即此时r V r V h S V r 24,2323====πππ 【设计理念：探究性学习是我们在新课程改革中一个很重要的成果，通过这道实际例题，既可以培养学生的学习热情，又可以充分调动学生的积极探索的欲望，真正将学生从“要去学”转变到“我要学”.】 五、探究实例一的变式 （问题转化为利润型问题） 老师：某制造商制造并销售瓶装球形饮料，瓶子的制造成本是0.82r π 分/个，已知每出售1mL 饮料，获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm 。请分析瓶子的半径与利润的关系. 学生：同桌之间开始讨论，有的在独立思考. 老师：（详细分析） 解：由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是
高中数学第一章 导数及其应用1.4 生活中的优化问题举例(含答案解析)
1．4 生活中的优化问题举例 考点 学习目标 核心素养 优化问题 了解利润最大、用料最省、效率最高等优化 问题 数学抽象 导数的实际应用 会利用导数解决简单的实际生活中的优化 问题 数学建模 面积、容积最值问题 请你 设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示)．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 【解】 设OO 1为x m ，则10，V (x )为增函数； 当2(1)优化问题往往涉及变量之间的变化，因而就产生了函数关系，这时就可以利用导数解决优化问题． (2)导数是解决优化问题的基本方法之一．利用导数解决生活中的优化问题的基本思路是： 用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个 角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 解：设容器的高为x ，容器的容积为V ， 则V ＝(90－2x )(48－2x )x (0＜x ＜24)， 即V ＝4x 3－276x 2＋4 320x . 因为V ′＝12x 2－552x ＋4 320， 由V ′＝12x 2－552x ＋4 320＝0，得x 1＝10，x 2＝36. 因为0＜x ＜10时，V ′＞0，10＜x ＜36时，V ′＜0，x ＞36时，V ′＞0，所以当x ＝10时，V 有极大值V (10)＝19 600. 又因为0＜x ＜24， 所以V (10)也是最大值． 所以当x ＝10时，V 有最大值V (10)＝19 600. 故当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm 3. 用料(费用)最省问题 现有一批货物由海上从A 地运往B 地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时， A 地至 B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元． (1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 【解】 (1)依题意得y ＝500 x (960＋0.6x 2) ＝ 480 000 x ＋300x ， 且由题意知，函数的定义域为(0，35]，
