第二章 函数与导数第12课时 导数在研究函数中的应用
第三章 (对应学生用书(文)、(理)30～32页
)
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1. (选修22P 28例1改编)函数f(x)＝x 3
－15x 2
－33x ＋6的单调减区间为______________． 答案：(－1，11)
解析：f′(x)＝3x 2
－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，由(x －11)(x ＋1)<0，得单调减区间为(－1，11)．亦可填写闭区间或半开半闭区间．
2. (选修22P 34习题3改编)若函数f(x)＝e x
－ax 在x ＝1处取到极值，则a ＝________． 答案：e
解析：由题意，f ′(1)＝0，因为f′(x)＝e x
－a ，所以a ＝e.
3. (选修22P 34习题8)函数y ＝x ＋sinx ，x ∈[0，2π]的值域为________． 答案：[0，2π]
解析：由y′＝1＋cosx ≥0，所以函数y ＝x ＋sinx 在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π]．
4. (原创)已知函数f(x)＝－12x 2
＋blnx 在区间[2，＋∞)上是减函数，则b 的取值范
围是________．
答案：(－∞，4]
解析：f′(x)＝－x ＋b x ≤0在[2，＋∞)上恒成立，即b≤x 2
在[2，＋∞)上恒成立．
5. (选修22P 35例1改编)用长为90cm 、宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm 时，容器的容积最大．
答案：10
解析：设容器的高为xcm ，即小正方形的边长为xcm ，该容器的容积为V ，则V ＝(90－
2x)(48－2x)x ＝4(x 3－69x 2＋1080x)，0 －46x ＋360)＝12(x －10)(x －36)，当0 1. 函数的单调性与导数 在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)为该区间上的增函数； 如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)为该区间上的减函数． 2. 函数的极值与导数 (1) 函数极值的定义 若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都要小，f(a)叫函数的极小值． 若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都要大，f(b)叫函数的极大值，极小值和极大值统称为极值． (2) 求函数极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， ①如果在x0附近左侧单调递增，右侧单调递减，那么f(x0)是极大值． ②如果在x0附近左侧单调递减，右侧单调递增，那么f(x0)是极小值． 3. 函数的最值 (1) 最大值与最小值的概念 如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值．如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值． (2) 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值． ②将函数y＝f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中值最大的一个是最大值，值最小的一个是最小值． 4. 生活中的优化问题 解决优化问题的基本思路是： 优化问题??用导数解决数学问题 ?优化问题答案 题型1 导数与函数的单调性 例1已知函数f(x)＝x3－ax－1. (1) 若a＝3时，求f(x)的单调区间； (2) 若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； (3) 是否存在实数a，使f(x)在(－1，1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由． 解：(1) 当a＝3时，f(x)＝x3－3x－1，∴ f′(x)＝3x2－3， 令f′(x)>0即3x2－3>0，解得x>1或x<－1， ∴ f(x)的单调增区间为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 同理可求f(x)的单调减区间为(－1，1)． (2) f′(x)＝3x 2 －a. ∵ f(x)在实数集R 上单调递增， ∴ f ′(x)≥0恒成立，即3x 2－a≥0恒成立，∴ a ≤(3x 2 )min . ∵ 3x 2 的最小值为0，∴ a ≤0. (3) 假设存在实数a 使f(x)在(－1，1)上单调递减， ∴ f ′(x)≤0在(－1，1)上恒成立，即a≥3x 2 . 又3x 2 ∈[0，3)，∴ a ≥3. ∴ 存在实数a 使f(x)在(－1，1)上单调递减，且a≥3. 备选变式（教师专享） (1) 已知函数 f(x)＝12x 2 －mlnx ＋(m －1)x ，当 m≤0 时，试讨论函数 f(x) 的单调性； (2) 若函数f(x)＝－1 2()x －22＋blnx 在(1，＋∞)上是减函数，求实数b 的取值范围． 解：(1)函数的定义域为()0，＋∞，f ′(x)＝x －m x ＋(m －1)＝x 2 ＋（m －1）x －m x ＝ （x －1）（x ＋m ） x . ①当－1 ∴ 函数 f(x)的单调递增区间是()0，－m 和()1，＋∞，单调递减区间是()－m ，1； ②当m≤－1时，同理可得，函数 f(x)的单调递增区间是()0，1和()－m ，＋∞，单调递减区间是()1，－m . (2)由f(x)＝－12()x －22＋blnx ，得f′(x)＝－(x －2)＋b x ， 由题意，知f′(x)≤0即－()x －2＋b x ≤0在()1，＋∞上恒成立，∴ b≤[]x ()x －2min ， 当x∈()1，＋∞时，[]x ()x －2∈()1，＋∞，∴ b ≤1. 题型2 导数与函数的极值、最值 例2 设函数f(x)＝(x 2＋ax ＋b)e x (x∈R )． (1) 若a ＝2，b ＝－2，求函数f(x)的极大值； (2) 若x ＝1是函数f(x)的一个极值点． ① 试用a 表示b ； ② 设a ＞0，函数g(x)＝(a 2＋14)e x ＋4 .若 ξ1、ξ2∈[0，4]，使得|f(ξ1)－g(ξ2)|＜1成立，求a 的取值范围． 解：(1) ∵ f′(x)＝(2x ＋a)e x ＋(x 2＋ax ＋b)e x ＝[x 2＋(2＋a)x ＋(a ＋b)]e x ， 当a ＝2，b ＝－2时，f(x)＝(x 2＋2x －2)e x ， 则f′(x)＝(x 2＋4x)e x ， 令f′(x)＝0得(x 2＋4x)e x ＝0， ∵ e x ≠0, ∴ x 2 ＋4x ＝0，解得x ＝－4或x ＝0， ∴ 当x ＝－4时，函数f(x)取极大值，f(x)极大值＝6 e 4. (2) ① 由(1)知f′(x)＝[x 2 ＋(2＋a)x ＋(a ＋b)]e x . ∵ x ＝1是函数f(x)的一个极值点，∴ f ′(1)＝0， 即e[1＋(2＋a)＋(a ＋b)]＝0，解得b ＝－3－2a. ② 由①知f′(x)＝e x [x 2 ＋(2＋a)x ＋(－3－a)] ＝e x (x －1)[x ＋(3＋a)]， 当a ＞0时，f(x)在区间(0，1)上的单调递减，在区间(1，4)上单调递增， ∴ 函数f(x)在区间[0，4]上的最小值为f(1)＝－(a ＋2)e. ∵ f(0)＝b ＝－3－2a ＜0，f(4)＝(2a ＋13)e 4 ＞0， ∴ 函数f(x)在区间[0，4]上的值域是[f(1)，f(4)]， 即[－(a ＋2)e ，(2a ＋13)e 4 ]． 又g(x)＝(a 2＋14)e x ＋4在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[(a 2 ＋14)e 4，(a 2＋14)e 8 ]， ∴ (a 2＋14)e 4－(2a ＋13)e 4＝(a 2－2a ＋1)e 4＝(a －1)2e 4 ≥0， ∴ 存在ξ1、ξ2∈[0，4]使得|f(ξ1)－g(ξ2)|＜1成立只须(a 2＋14)e 4－(2a ＋13)e 4 ＜1T (a －1)2e 4＜1T (a －1)2 ＜1e 4 T1－1e 2＜a ＜1＋1e 2. 备选变式（教师专享） 已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2 －3x(a 、b∈R )在点x ＝－1处取得极大值为2. (1) 求函数f(x)的解析式； (2) 若对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x 1、x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤c，求实数c 的最小值． 解：(1) f′(x)＝3ax 2 ＋2bx －3. 由题意，得?????f （－1）＝2，f ′（－1）＝0，即?????－a ＋b ＋3＝2，3a －2b －3＝0，解得? ????a ＝1， b ＝0， 所以f(x)＝x 3 －3x. (2) 令f′(x)＝0，即3x 2 －3＝0，得x ＝±1. 因为f(－1)＝2，f(1)＝－2，所以当x∈[－2，2]时，f(x)max ＝2，f(x)min ＝－2. 则对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x 1、x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |＝4，所以c≥4. 所以c 的最小值为4. 题型3 导数在实际问题中的应用 例3 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A 、B 、C 、D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x cm. (1) 某广告商要求包装盒侧面积S(cm 2 )最大，试问x 应取何值？ (2) 某厂商要求包装盒容积V(cm 3 )最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 解：(1) S ＝602 －4x 2 －(60－2x)2 ＝240x －8x 2 (0 (2) V ＝(2x) 2 22 (60－2x)＝22x 2 (30－x)(0 此时，包装盒的高与底面边长的比值为2 2（60－2x ）2x ＝1 2. 变式训练 某地方政府在某地建一座桥，两端的桥墩相距m 米，此工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩(包括两端的桥墩)．经预测，一个桥墩的费用为256万元，相邻两个桥墩之间的距离均为x ，且相邻两个桥墩之间的桥面工程费用为(1＋x)x 万元，假设所有桥墩都视为点且不考虑其他因素，记工程总费用为y 万元． (1) 试写出y 关于x 的函数关系式； (2) 当m ＝1 280米时，需要新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解：根据题意，需要建? ?? ??m x ＋1个桥墩和m x 段桥面工程． (1) y ＝256? ????m x ＋1＋m x (1＋x)x ＝m ? ????x ＋256x ＋m ＋256? ?? ??x>0，m x ∈N . (2) 当m ＝1 280时，y ＝1 280? ????x ＋256x ＋1 536， y ′＝1 280? ?? ??12x －256x 2，令y′＝0，得x ＝64， 当0 所以当x ＝64时， y 有最小值16 896，此时要建21个桥墩． 答：需要建21个桥墩才能使y 最小． 【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分) 已知函数f(x)＝lnx －ax(a∈R )． (1) 求函数f(x)的单调区间； (2) 当a>0时，求函数f(x)在[1，2]上的最小值． 审题引导： ① 知函数解析式求单调区间，实质是求f′(x)>0，f ′(x)<0的解区间，并注意定义域； ② 先研究f(x)在[1，2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值； ③ 由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论． 规范解答： 解：(1) f′(x)＝1 x －a(x>0)．(1分) ① 当a≤0时，f ′(x)＝1 x －a≥0，即函数f(x)的单调增区间是(0，＋∞)．(3分) ② 当a>0时，令f′(x)＝1x －a ＝0，得x ＝1a ，当0 a 时， f ′(x)＝1－ax x <0，所以函数f(x)的单调增区间是? ????0，1a ，单调减区间是???? ??1a ，＋∞.(6分) (2) ① 当1 a ≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1，2]上是减函数， 所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.(8分) ② 当1a ≥2，即0 2时，函数f(x)在区间[1，2]上是增函数， 所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.(10分) ③ 当1<1a <2，即12 又f(2)－f(1)＝ln2－a ， 所以当1 2 当ln2≤a<1时，最小值是f(2)＝ln2－2a.(12分) 综上可知，当0 1. (20132新课标Ⅱ)若存在正数x 使2x (x －a)<1成立，则a 的取值范围是________． 答案：(－1，＋∞) 解析：因为2x (x －a)<1，所以a>x －12x ，令f(x)＝x －12x ，所以f′(x)＝1＋2－x ln2>0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)＝0－1＝－1，所以a 的取值范围是(－1， ＋∞)． 2. (20132大纲)若函数f(x)＝x 2 ＋ax ＋1x 在? ????12，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是 ________． 答案：a≥3 解析：f′(x)＝2x ＋a －1x 2≥0在? ????12，＋∞上恒成立，即a≥1x 2－2x 在? ????12，＋∞上恒成立．令g(x)＝1x 2－2x ，求导可得g(x)在? ?? ??12，＋∞上的最大值为3，所以a≥3. 3. (20132扬州期末)已知函数f(x)＝lnx －m x (m∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则 m ＝________． 答案：－3e 解析：f′(x)＝1x ＋m x 2＝x ＋m x 2，令f′(x)＝0，则x ＝－m ，且当x<－m 时，f ′(x)<0， f(x)单调递减，当x>－m 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．若－m≤1，即m≥－1时，f(x)min ＝f(1)＝－m ≤1，不可能等于4；若1<－m≤e ，即－e ≤m<－1时，f(x)min ＝f(－m)＝ln(－ m)＋1，令ln(－m)＋1＝4，得m ＝－e 3 (－e ，－1)；若－m>e ，即m<－e 时，f(x)min ＝f(e)＝1－m e ，令1－m e ＝4，得m ＝－3e ，符合题意．综上所述，m ＝－3e. 4. (20132南京二模)设函数f(x)＝x 2 －(a －2)x －alnx. (1) 求函数f(x)的单调区间； (2) 若函数f(x)有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； (3) 若方程f(x)＝c 有两个不相等的实数根x 1、x 2，求证：f′? ?? ??x 1＋x 22>0. (1) 解：f′(x)＝2x －(a －2)－a x ＝2x 2－（a －2）x －a x ＝（2x －a ）（x ＋1） x (x>0)． 当a≤0时，f ′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)． 当a>0时，由f′(x)>0，得x>a 2；由f′(x)<0，得0 2 . 所以函数f(x)的单调增区间为? ????a 2，＋∞，单调减区间为? ?? ??0，a 2. (2) 解：由(1)得，若函数f(x)有两个零点，则a>0，且f(x)的最小值f ? ?? ??a 2<0，即－a 2 ＋4a －4aln a 2 <0. 因为a>0，所以a ＋4ln a 2 －4>0. 令h(a)＝a ＋4ln a 2－4，显然h(a)在(0，＋∞)上为增函数，且h(2)＝－2<0，h(3)＝4ln 3 2－1＝ln 81 16 －1>0， 所以存在a 0∈(2，3)，h(a 0)＝0. 当a>a 0时，h(a)>0；当0 又当a ＝3时，f(3)＝3(2－ln3)>0，f(1)＝0，所以a ＝3时，f(x)有两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3. (3) 证明：因为x 1、x 2是方程f(x)＝c 的两个不等实根，由(1)知a>0. 不妨设0 2－(a －2)x 2－alnx 2＝c. 两式相减得x 21－(a －2)x 1－alnx 1－x 2 2＋(a －2)2x 2＋alnx 2＝0， 即x 21＋2x 1－x 2 2－2x 2＝ax 1＋alnx 1－ax 2－alnx 2＝a(x 1＋lnx 1－x 2－lnx 2)． 所以a ＝x 2 1＋2x 1－x 2 2－2x 2 x 1＋lnx 1－x 2－lnx 2 . 因为f′? ????a 2＝0，当x∈? ????0，a 2时，f ′(x)<0，当x∈? ?? ??a 2，＋∞时，f ′(x)>0， 故只要证x 1＋x 22>a 2 即可， 即证明x 1＋x 2>x 2 1＋2x 1－x 2 2－2x 2 x 1＋lnx 1－x 2－lnx 2 ， 即证明x 2 1－x 2 2＋(x 1＋x 2)(lnx 1－lnx 2) 1＋2x 1－x 2 2－2x 2， 即证明ln x 1x 2<2x 1－2x 2 x 1＋x 2. 设t ＝x 1 x 2 (0 令g(t)＝lnt －2t －2t ＋1，则g ′(t)＝1t －4（t ＋1）2＝（t －1） 2 t （t ＋1）2. 因为t>0，所以g′(t)≥0，当且仅当t ＝1时，g ′(t)＝0， 所以g(t)在(0，＋∞)上是增函数． 又g(1)＝0，所以当t∈(0，1)，g(t)<0总成立．所以原题得证． 1. 如果关于x 的方程ax ＋1 x 2＝3在区间(0，＋∞)上有且仅有一个解，那么实数a 的取 值范围为________． 答案：a≤0或a ＝2 解析：由ax ＋1x ＝3，得a ＝3x －1 x . 令t ＝1x ，则f(t)＝3t －t 3 ，t ∈(0，＋∞)． 用导数研究f(t)的图象，得f max (t)＝2，当x∈(0，1)时，f(t)递增，当x∈(1，＋∞)时，f(t)递减，所以a≤0或a ＝2. 2. 已知函数f(x)＝lnx －a （x －1） x ＋1，若函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，则a 的取 值范围是________． 答案：a≤2 解析：f′(x)＝x 2 ＋（2－2a ）x ＋1 x （x ＋1） 2 ≥0在(0，＋∞)上恒成立，易得a≤2. 3. 设直线y ＝a 分别与曲线y 2 ＝x 和y ＝e x 交于点M 、N ，则当线段MN 取得最小值时a 的值为________． 答案： 22 解析：由题意，M(a 2，a)，N(lna ，a)，故MN 的长l ＝|a 2－lna|＝a 2 －lna(a>0)， 由l′＝2a －1a ＝2a 2 －1a ＝2? ????a ＋22? ????a －22a ， 令l′>0，得l ＝a 2 －lna 在? ?? ?? 22，＋∞上单调递增； 令l′<0，得l ＝a 2 －lna 在? ????0，22上单调递减，所以当a ＝22时，线段MN 的长取得 极小值，也是最小值． 4. 已知函数f(x)＝(ax 2＋x)e x ，其中e 是自然数的底数，a ∈R . (1) 当a<0时，解不等式f(x)>0； (2) 若f(x)在[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围； (3) 当a ＝0时，求整数k 的所有值，使方程f(x)＝x ＋2在[k ，k ＋1]上有解． 解：(1) 因为e x >0，所以不等式f(x)>0即为ax 2 ＋x>0. 又a<0，所以不等式可化为x ? ????x ＋1a <0，所以不等式f(x)>0的解集为? ????0，－1a . (2) f′(x)＝(2ax ＋1)e x ＋(ax 2 ＋x)e x ＝[ax 2＋(2a ＋1)x ＋1]e x ， ① 当a ＝0时，f ′(x)＝(x ＋1)e x ，f ′(x)≥0在[－1，1]上恒成立，当且仅当x ＝－1时取等号，故a ＝0符合要求； ② 当a≠0时，令g(x)＝ax 2＋(2a ＋1)x ＋1，因为Δ＝(2a ＋1)2－4a ＝4a 2 ＋1>0，所以g(x)＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2，不妨设x 1>x 2，因此f(x)有极大值又有极小值．若a>0，因为g(－1)2g(0)＝－a<0，所以f(x)在(－1，1)内有极值点，故f(x)在[－1，1]上不单调．若a<0，可知x 1>0>x 2，因为g(x)的图象开口向下，要使f(x)在[－1，1]上单调， 因为g(0)＝1>0，必须满足?????g （1）≥0，g （－1）≥0.即?????3a ＋2≥0，－a≥0. 所以－2 3≤a ≤0.综上可知，a 的取 值范围是???? ??－23，0. (3) 当a ＝0时， 方程即为xe x ＝x ＋2，由于e x >0，所以x ＝0不是方程的解，所以原方程等价于e x －2x －1＝0. 令h(x)＝e x －2x －1，因为h′(x)＝e x ＋2x 2>0对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所 以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调增函数，又h(1)＝e －3<0，h(2)＝e 2 －2>0，h(－3)＝e －3－13<0，h(－2)＝e －2 >0，所以方程f(x)＝x ＋2有且只有两个实数根，且分别在区间 [1，2]和[－3，－2]上，所以整数k 的所有值为{－3，1}． 1. 在已知函数f(x)是增函数(或减函数)，求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f′(x)不恒为0，则参数范围确定． 2. 理解可导函数极值与最值的区别，极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函 数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点的函数值． 3. 用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点． 请使用课时训练(A)第12课时(见活页)． [备课札记] 第13讲 函数与导数之导数及其应用 一． 基础知识回顾 1．函数的平均变化率：一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商 ＝Δy Δx 称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：(1)定义：函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率 通 常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即 ． (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0)) 的 ．导函数y ＝f ′(x )的值域即为 ． 3．函数f (x )的导函数：如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开 区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作 ． 4．基本初等函数的导数公式表（右表） 5．导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝ ； (2)[f (x )g (x )]′＝ ； (3)????f (x )g (x )′= [g (x )≠0]． 5．导数和函数单调性的关系：(1)若f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是 函数，f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间；(2)若f ′(x )<0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ， b )上是 函数，f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间(3)若在(a ，b )上， f ′(x )≥0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为 函数，若在 (a ，b )上，f ′(x )≤0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为 函 数． 6．函数的极值：(1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果 在x 0附近的左侧 ，右侧 ，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧 ， 右侧 ，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f ′(x )；②求方程 的根；③检查f ′(x )在方程 的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处 取得 ；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得 ． 7．函数的最值：(1)函数f (x )在[a ，b ]上必有最值的条件如果函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ] 上 ，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步 骤：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的 ；②将函数y ＝f (x )的各极值与 比较，其中最大 的一个是最大值，最小的一个是最小值． 二．典例精析 探究点一：导数的运算 例1：求下列函数的导数： (1)y ＝(1－x )? ???1＋1x ； (2)y ＝ln x x ；(3)y ＝x e x ； (4)y ＝tan x . 第二章 函数与导数第13课时 函数模型及其应用 第三章 (对应学生用书(文)、(理)33～36页 ) , 1. (必修1P 110练习1)某地高山上温度从山脚起每升高100 m 降低0.6 ℃.已知山顶的温度是14.6 ℃，山脚的温度是26 ℃，则此山的高为________m. 答案：1 900 解析：(26－14.6)÷0.6×100＝1 900. 2. (必修1P 71习题10改编)已知某种产品今年产量为1 000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为________件． 答案：1 331 解析：1 000×(1＋10%)3 ＝1 331. 3. (必修1P 35练习3改编)已知等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则该函数的定义域为________． 答案：(5，10) 4. (必修1P 110复习10)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系式为v ＝2 000ln ? ?? ??1＋M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可以达到12 km/s. 答案：e 6 －1 解析：由2 000ln ? ?? ??1＋M m ＝12 000，得1＋M m ＝e 6，所以M m ＝e 6 －1. 5. (必修1P 100练习3改编)某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函 数关系为P ＝? ????t ＋20，0 导数在研究函数中的应用 【自主归纳，自我查验】 一、自主归纳 1．利用导函数判断函数单调性问题 函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若____ ___，则f(x)在这个区间上是增加的． (2)若____ ___，则f(x)在这个区间上是减少的． (3)若_____ __，则f(x)在这个区间内是常数．2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f′(x)． (2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0. (3)根据结果确定f(x)的单调区间． 3．函数的极大值 在包含 x的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值 都_____ x点的函数值，称点0x为函数y＝f(x)的极大值点，其函数 值f( x)为函数的极大值． 4．函数的极小值 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都_____ x点的函数值，称点0x x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数 值f( x)为函数的极小值．极大值与极小值统称为_______，极大值 点与极小值点统称为极值点． 5．函数的最值与导数 1．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值点 x指的是：函数在这个区间上 所有点的函数值都_________f( x)． 2．函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值点 x指的是：函数在这个区间上 所有点的函数值都_________f( x)． 二、自我查验 1．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为() A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R 2．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________． 3.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x) 在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a， b)内有极小值点() A．1个B．2个 C．3个D．4个 4．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于() A．2 B．3 C．4 D．5 5.函数ln x =的最大值为（） y x A．1e-B．e C．2e D．10 3 【典型例题】 考点一利用导数研究函数的单调性 【例1】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围． 高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0 第二章 函数与导数第2课时 函数的定义域和值域 第三章 (对应学生用书(文)、(理)9～10页 ) 1. (必修1P 27练习6改编)函数f(x)＝x ＋1＋12－x 的定义域为________． 答案：{x|x≥－1且x≠2} 2. (必修1P 27练习7改编)函数f(x)＝(x －1)2－1，x ∈{－1，0，1，2，3}的值域是 ________． 答案：{－1，0，3} 解析：f(－1)＝f(3)＝3，f(0)＝f(2)＝0，f(1)＝－1，则所求函数f(x)的值域为{－1，0，3}． 3. (必修1P 31习题3改编)函数f(x)＝2x 5x ＋1 的值域为____________． 答案：? ?????y|y≠25 解析：由题可得f(x)＝2x 5x ＋1＝25－25（5x ＋1）.∵ 5x ＋1≠0，∴ f (x)≠25 ，∴ 值域为? ?????y|y≠25. 4. (原创)下列四组函数中的f(x)与g(x)表示同一函数的有________．(填序号) ① f(x)＝x 0，g(x)＝1x ； ② f(x)＝x x ，g(x)＝x ； ③ f(x)＝x 2，g(x)＝(x)4； ④ f(x)＝|x|，g(x)＝? ????x ，x ≥0，－x ，x<0. 答案：④ 解析：两个函数是否为同一函数，主要是考查函数三要素是否相同，而值域是由定义域和对应法则所唯一确定的，故只须判断定义域和对应法则是否相同，④符合． 5. (必修1P 36习题13改编)已知函数f(x)＝x 2－2x ，x ∈[a ，b]的值域为[－1，3]，则 b －a 的取值范围是________． 答案：[2，4] 解析：f(x)＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，因为x∈[a，b]的值域为[－1，3]，所以当a ＝－1 时，1≤b ≤3；当b ＝3时，－1≤a≤1，所以b －a∈[2，4]． 1. 函数的定义域 (1) 函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合． (2) 求定义域的步骤 ① 写出使函数式有意义的不等式(组)． ② 解不等式组． ③ 写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出)． (3) 常见基本初等函数的定义域 ① 分式函数中分母不等于零． ② 偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③ 一次函数、二次函数的定义域为R ． ④ y ＝a x ，y ＝sinx ，y ＝cosx ，定义域均为R ． ⑤ y ＝tanx 的定义域为{x|x≠k π＋π2，k ∈Z }． ⑥ 函数f(x)＝x a 的定义域为{x|x≠0}． 2. 函数的值域 (1) 在函数y ＝f(x)中，与自变量x 的值对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域． (2) 基本初等函数的值域 ① y ＝kx ＋b(k≠0)的值域是R ． ② y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为[4ac －b 24a ，＋∞)；当a<0时，值域为? ???－∞，4ac －b 24a ． ③ y ＝k x (k≠0)的值域为{y|y≠0}． ④ y ＝a x (a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤ y ＝log a x(a>0且a≠1)的值域是R ． ⑥ y ＝sinx ，y ＝cosx 的值域是[－1，1]． ⑦ y ＝tanx 的值域是R ． 3. 最大(小)值 一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1) 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)； (2) 存在x 0∈I ，使得f(x 0)＝M ，那么称M 是函数y ＝f(x)的最大(小)值． [备课札记] 导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)______0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)______0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减. 2.函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程________的根； ③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得__________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得__________. 3.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函 数f(x)在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值. (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的________； ②将f(x)的各极值与____________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 要点梳理 1.>< 2.(1)①f′(x)>0f′(x)<0②f′(x)<0f′(x)>0(2)②f′(x)＝0③f′(x)＝0极大值极小值 3.(2)f(a)f(b)f(a)f(b) (3)①极值②f(a)，f(b) 1. f(x)＝3x－x3的单调减区间为_____________________________________________. 2.函数f(x)＝e x－x在区间(－∞，0)内是单调__________(填“增函数”或“减函数”). 3.函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________. 4.如图是y＝f(x)导数的图象，对于下列四个判断： ①f(x)在[－2，－1]上是增函数； ②x＝－1是f(x)的极小值点； ③f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x＝3是f(x)的极小值点. 其中正确的判断是________.(填序号) 导数的综合应用 一、选择题 1.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数,则m的取值范围是( B ) (A)m>-2(B)m≥-2 (C)m<2 (D)m≤2 解析:函数定义域为(0,+∞), 又f'(x)=2x+m+. 依题意有f'(x)=2x+m+≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴m≥-恒成立,设g(x)=-, 则g(x)=-≤-2, 当且仅当x=时等号成立. 故m≥-2, 故选B. 2.(2013洛阳统考)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式 e x·f(x)>e x+1的解集为( A ) (A){x|x>0} (B){x|x<0} (C){x|x<-1或x>1} (D){x|x<-1或0 解析:由导数的定义知,S'(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S'(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S'(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S'(t)>0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S'(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A. 4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.若两正 数a,b满足f(a+2b)<1,则的取值范围是( B ) (A)(B) (C)(-1,0) (D)(-∞,-1) 解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b) 目录 导数专题一、单调性问题 (2) 导数专题二、极值问题 (38) 导数专题三、最值问题 (53) 导数专题四、零点问题 (77) 导数专题五、恒成立问题和存在性问题 (118) 导数专题六、渐近线和间断点问题 (170) 导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 (190) 导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 (201) 导数专题九、公切线解决导数中零点问题 (214) 导数专题十、极值点偏移问题 (219) 导数专题十一、构造函数解决导数问题 (227) 导数专题一、单调性问题 【知识结构】 【知识点】 一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性； 二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨论， 讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系. 三、分类讨论的思路步骤： 第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点； 第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关系及与 区间的位置关系（分类讨论）； 第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定义域）；第四步、（列表）根据第五步的草图列出f '(x)，f (x)随x 变化的情况表，并写出函数的单调区间； 第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点函数 值比较得到函数的最值. 四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点： 1.最高次项系数是否为0； 2.导函数是否有极值点； 3.两根的大小关系； 4.根与定义域端点讨论等。 五、求解函数单调性问题的思路： （1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为f '(x) ≥ 0 或f '(x) ≤ 0 恒成立； （2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解参 变量的范围； （3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于 零有解. 六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法 （1）参变分离； （2）导函数的根与区间端点直接比较； 高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 （2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分 （2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1= 第二章 函数与导数 一、函数及其表示 14．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上 的解析式为f (x )＝? ????x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1 课时作业 函数的最大(小)值与导数 A 组 基础巩固 1．函数y ＝f (x )＝ln x x 的最大值为( ) A ．e －1 B ．e C ．e 2 D ．10 解析：令y ′＝ln x ′x －ln x x 2＝1－ln x x 2＝0?x ＝e. 当x ＞e 时，y ′＜0；当0＜x ＜e 时，y ′＞0， 所以y 极大值＝f (e)＝e －1 ， 在定义域内只有一个极值，所以y max ＝e －1. 答案：A 2．函数f (x )＝1x ＋1＋x (x ∈[1,3])的值域为( ) A ．(－∞，1)∪(1，＋∞) B.???? ??32，＋∞ C.? ????32，134 D.???? ??32，134 解析：f ′(x )＝－1x ＋12＋1＝x 2＋2x x ＋12 ， 所以在[1,3]上f ′(x )＞0恒成立，即f (x )在[1,3]上单调递增． 所以f (x )的最大值是f (3)＝ 134，最小值是f (1)＝32 .故选D. 答案：D 3．若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为 ( ) A ．－5 B ．7 C ．10 D ．－19 解析：f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x －3)·(x ＋1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝3或－1. ∵x ∈[－2，－1]时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在[－2，－1]上递减． ∴f (－2)＝2，即a ＋2＝2，a ＝0，它的最小值为f (－1)＝－5. 答案：A 4．f (x )＝2x －cos x 在(－∞，＋∞)上( ) A ．是增函数 B ．是减函数 C ．有最大值 D ．有最小值 第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ 可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax 2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． ） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围． 第二章 函数与导数第12课时 导数在研究函数中的应用 第三章 (对应学生用书(文)、(理)30～32页 ) , 1. (选修22P 28例1改编)函数f(x)＝x 3 －15x 2 －33x ＋6的单调减区间为______________． 答案：(－1，11) 解析：f′(x)＝3x 2 －30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，由(x －11)(x ＋1)<0，得单调减区间为(－1，11)．亦可填写闭区间或半开半闭区间． 2. (选修22P 34习题3改编)若函数f(x)＝e x －ax 在x ＝1处取到极值，则a ＝________． 答案：e 解析：由题意，f ′(1)＝0，因为f′(x)＝e x －a ，所以a ＝e. 3. (选修22P 34习题8)函数y ＝x ＋sinx ，x ∈[0，2π]的值域为________． 答案：[0，2π] 解析：由y′＝1＋cosx ≥0，所以函数y ＝x ＋sinx 在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π]． 4. (原创)已知函数f(x)＝－12x 2 ＋blnx 在区间[2，＋∞)上是减函数，则b 的取值范 围是________． 答案：(－∞，4] 解析：f′(x)＝－x ＋b x ≤0在[2，＋∞)上恒成立，即b≤x 2 在[2，＋∞)上恒成立． 5. (选修22P 35例1改编)用长为90cm 、宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm 时，容器的容积最大． 答案：10 解析：设容器的高为xcm ，即小正方形的边长为xcm ，该容器的容积为V ，则V ＝(90－ 2x)(48－2x)x ＝4(x 3－69x 2＋1080x)，0 《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会 一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。 （一）知识与技能目标： 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 （二）过程与方法目标： 1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。 （三）情感、态度与价值观目标： 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结， 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。（四）教学重点，难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。 二、教法分析 针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，培养学生的探究精神，提高语言表达和概括能力， 高中数学专题训练 导数的应用——极值与最值一、选择题 1．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和1 3，则() A．a－2b＝0B．2a－b＝0 C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0 答案 D 解析y′＝3ax2＋2bx，据题意， 0、1 3是方程3ax 2＋2bx＝0的两根 ∴－2b 3a＝ 1 3，∴a＋2b＝0. 2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝() A. 1 ln2B．－ 1 ln2 C．－ln2 D．ln2 答案 B 解析由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2 令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0 ∵2x＞0，∴x＝－ 1 ln2 3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则() A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜1 2 答案 A 解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0， ∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1 综上，b的范围为0＜b＜1 4．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是() A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点 B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点 C．x＝－1不是函数f(x)的极值点 D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点 答案 B 解析x>－1时，f′(x)>0 x<－1时，f′(x)<0 ∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点． 5．函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( ) A ．－173 B ．－103 C ．－4 D ．－643 答案 A 解析 y ′＝x 2＋2x －3. 令y ′＝x 2＋2x －3＝0，x ＝－3或x ＝1为极值点． 当x ∈[0,1]时，y ′<0.当x ∈[1,2]时，y ′>0，所以当x ＝1时，函数取得极小值，也为最小值． ∴当x ＝1时，y min ＝－173. 6．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，如右图所示，则( ) A ．x ＝1是最小值点 B ．x ＝0是极小值点 C ．x ＝2是极小值点 D ．函数f (x )在(1,2)上单增 答案 C 解析 由导数图象可知，x ＝0，x ＝2为两极值点，x ＝0为极大值点，x ＝2为极小值点，选C. 7．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( ) A ．f (－a 2)≤f (－1) B ．f (－a 2) 导数专题复习（基础精心整理）学生版 【基础知识】 1.导数定义：在点处的导数记作k = 相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=- 2.常见函数的导数公式: ①；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧ 。 3.导数的四则运算法则： （1） （2） （3） 4.导数的应用： （1）利用导数判断函数单调性： ①是增函数；②为减函数；③为常数； （2）利用导数求极值：①求导数；②求方程的根；③列表得极值（判断零点两边的导函数的正负）。 （3）利用导数求最值：比较端点值和极值 【基本题型】 一、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率 ()()00f x x f x y x x +?-?=?V ；（3）取极限，得导数()00lim x y f x x →?'=?V 。 例1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1)(0则的值是（ ） A. 41- B. 2 C. 4 1 D. －2 变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim ,430 --='→（ ） A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3 D ．1 二、导数的几何意义 ()f x 0x x x f x x f x f x x y x ?-?+='=='→?) ()(lim )(|000 00'0C ='1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()ln x x a a a =x x e e =')('1(log )ln a x x a =x x 1 )(ln '= )()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f 2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f ' -'=' ??? ? ??' ?'='x u u f x u f ))(()(0)(x f x f ?>')(0)(x f x f ?<')(0)(x f x f ?≡')(x f '0)(='x f第13讲 函数与导数之导数及其应用(学生版)
(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数第13课时函数模型及其应用
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