河南科技大学
2013年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准
考试科目代码： 652 考试科目名称： 离散数学
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)
在每小题列出的备选项中只有一个是符合题目要求的，错选、多选或未选均无分。 1-5：B A A D C 6-10：D A B B A 11-15：B D B B D
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
1. p q ? 1或真
2. 01，10
3. 反对称 、 传递
4. {,{},{},{,}}a b a b ?
5. {2,2,3,3,6,6,3,2,6,2,6,3,}<><><><><><>
6.
7. 3 、 1
8.
9. 1
10. 1001011
0()1100001
1M G ???
???=???
???
三、计算题(本大题共5小题，每小题8分，共40分)
1．利用等值演算化简命题公式A ，并指出A 的类型(注：重言式、矛盾式或可满足式)
A =()()()p q r q r p r ?∧?∧∨∧∨∧
解：A =()()()p q r q r p r ?∧?∧∨∧∨∧
(())(())p q r q p r ??∧?∧∨∨∧ (1分) (())(())p q r q p r ??∧?∧∨∨∧ (1分) (()())p q q p r ??∧?∨∨∧ (1分) (()())p q q p r ??∨∨∨∧ (1分) 1r ?∧ (1分) r ? (1分)
所以，A 是可满足式 (2分)
2．设f 是一元运算，P 是一元谓词，Q 是二元谓词，给出解释I ：D I ={2, 3}，f (2)=3，f (3)=2，P (2)=1，P (3)=0，
Q (2, 2)=Q (3, 3)=1，Q (2, 3)=Q (3, 2)=0，求在解释I 下?x ?y (Q (f (x ), y ))→P (x ))的真值。 解：(((),)())x y Q f x y P x ??→
((((2),)(2))((((3),)y Q f y P y Q f y P ??→∧?→ (2分) ((
(3,2)1)
((3,3)1))
(((2,2)
0)Q Q Q Q ?→∨→∧→∨→ (2分)
((01)(11))
((10)(0?→∨→∧→∨→ (2分)
(11)(0
1)?∨∧∨? (2分)
3．设,A R ??为偏序集，其中A ={1,2,3,4,5,6}，R 是A 上的整除关系。 (1) 写出偏序关系R 的表达式，并画出,A R ??的哈斯图； (2) 求该偏序集的最大元、最小元、极大元和极小元；
解：(1) {1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,3,6}A R I =<><><><><><><><><>? (2分)
哈斯图如下：(2分)
(2) 无最大元 (1分)
最小元是1 (1分) 极大元是4，5，6 (1分) 极小元是1 (1分)
4．设S =Q ?Q ，其中Q 是有理数集合，在S 上定义二元运算*：S y x b a >∈<>*
解：(1)设单位元e =<1e ,2e >，S b a >∈<*>>=<>=<<*>
即=
=??
+=??
=??+=? (2分)
121,0,1,0e e e S ∴===<>∈ (1分)
(2) S b a >∈，有
,,1,0a b x y <>*<>=<>，,,1,0x y a b <>*<>=<> (1分)
即,ax ay b <+>=,1,0xa xb y <+>=<>1
010
ax ay b xa xb y =??
+=??
=??+=? (2分)
求得：x=
a 1，y=)0(≠-a a
b
∴对任意 b -> (1分) 5. 已知图(,)G V E =，{,,,,}V a b c d e =的邻接矩阵为010******** 1010101010 1010A ????? ???=?? ?????? (1) 画出G 中所表示的图形； (2) G 中长度为3的通路有几条？其中回路有几条？ 解：(1) G 的图形如下：(2分 ) a b c d (2) 经计算知：2 2 020******* 02020303020202A ?? ???? ??=?? ?????? (2分) 3 06060606060 6060606060 6060A ?????? ??=?? ?????? (2分) 因此，G 中长度为3的通路有72条，其中回路是0条。 (2分) 四、证明题 (本大题共3小题，每小题10分，共30分) 1．在一阶(谓词)逻辑中符号化下列语句，并构造推理证明。 学术委员会的每个成员都是博士并且是教授。有些成员是年轻人。因而有的成员是青年教授。 证明：先将简单命题符号化：(2分) 设F(x)：x 是学术委员会成员，G(x)：x 是教授，H(x)：x 是博士，R(x)：x 是青年人 前提：(()()())x F x G x H x ?→∧，(()())x F x R x ?∧ 结论：(()()())x F x R x G x ?∧∧ 推理证明如下： (1) (()())x F x R x ?∧ 前提引入 (2) ()()F c R c ∧ (1)EI (1分) (3) (()()())x F x G x H x ?→∧ 前提引入 (4) ()()()F c G c H c →∧ (3)UI (1分) (5) ()F c (2)化简 (1分) (6) ()()G c H c ∧ (4)(5)假言推理 (1分) (7) ()G c (6)化简 (1分) (8) ()R c (2)化简 (1分) (9) ()()()F c G c R c ∧∧ (5)(7)(8)合取 (1分) (10) (()()())x F x G x R x ?∧∧ (9)EG (1分) 2．如果集合A 上的关系R 和S 是自反的、对称的、传递的，证明：R S 是A 上的等价关系。 证明：(1) a A ?∈，由R 、S 自反知：,,,a a R a a S <>∈<>∈，则,a a R S <>∈? R S ∴?自反； (3分) (2) ,a b A ?∈，若,a b R S <>∈?，则,,,a b R a b S <>∈<>∈，由R 、S 对称知：则,b a R S <>∈? R S ∴?对称； (3分) (3) ,,a b c A ?∈，若,a b R S <>∈?，,b c R S <>∈?，由R 、S 的传递性知：则,a c R S <>∈? R S ∴?传递； (4分) 综上可得R S ?是A 上的等价关系。 3. 设S =R -{-1}(R 为实数集)，a*b=a+b+ab 。证明：,s ?*?是群。 证明：(1) ,a b S ?∈，a b a b ab S *=++∈，所以*运算封闭； (2分) (2) ,,a b c S ?∈，()()()a b c a b ab c a b c ab ac bc abc a b c **=++*=++++++=**， 所以，*满足结合律； (2分) (3) 设S 关于*有幺元e ，有**0a e e a a e ae a e ==++=?=；(3分) (4) 设a S ?∈有逆元1a -，有1111101a a a a a e a a aa a a ------*=*=?++=?= +， 即任意元有逆元； (3分) 综上得出，,s ?*?是群。 五、应用题(本大题共2小题，每小题15分，共30分) 1．一航空公司采用三台计算机复核飞行计划以确保其安全性，每台计算机能给出飞行计划正确或错误的回答，由所给的答案，再根据“少数服从多数”的原则做出判断。试将结果用命题公式表示，并加以简化，画出相应的逻辑电路图。(门电路示意图如图5.1所示 ) p q p q ∧ p q p q ∨ 非门 p p ? 图5.1 解：设p 、q 、r 分别表示三台计算机的答案，S 表示判断的结果 (1) 根据题意，建立其真值表 ------------------（4分） (2) 根据真值关系写出S S =(┐p ∧q ∧r)∨(p ∧┐q ∧r)∨(p ∧q ∧┐r)∨(p ∧q ∧r) (3) 利用等值演算化简S 得 ------------------（3分） S ?(q ∧r)∨(p ∧r)∨(p ∧q) (4) S 的逻辑电路图 ------------------（5分） S 2．假设有6个网络节点i v (i =l ，2，…，6)，欲铺设光纤线路使各网络节点可连通，如图5.2所示，图中的边代表铺设线路，边上的数字表示铺设该线路所需费用。由于费用的限制，要求总的铺设费用最低并确保任意二个网络节点之间是可连通的，请写出求解过程，画出符合要求的最低费用的网络线路铺设图并计算其费用。 图5.2 解： (1) 显然该问题是求带权无向图的最小生成树(用Kruskal 算法-避圈法)，去掉顶点V3处的环。 把剩下的边按其权值由小到大排序。 用Kruskal 算法-避圈法，求解过程如下： (a)v11v1 v2 (c) 2 v6 v1 v2(b) 2 v6 v4 1 13v1 v2 (d) 2 v6v4 13v55 v1 v2 (e) 2 v6v4 13v55 v3 则，图(e)就是所要求的网络线路铺设图。 (10分) (2) 网络线路铺设费用为： (5分) 1＋2＋3＋5＋7＝18 离散数学考试试题（A 卷及答案） 一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))的主析取范式 解：(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))??(?( P ∨Q ))∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q )∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨?Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨(R ∧?R ))∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨?R )∧(P ∨Q ∨R ) ?0M ∧1M ?2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P ∧Q 乙：?Q ∧P 丙：?Q ∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P ，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为： ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?' R 。则sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。 离散数学及其应用重要名词中英对应以及重要概念解释与举例 1 The Foundations: Logic and Proofs（逻辑与证明） 1.1 Propositional Logic（命题逻辑） Propositions（命题）——declarative sentence that is either true or false, but not both.判断性语句，正确性唯一。 Truth Table（真值表） Conjunction（合取，“与”，and），Disjunction（析取，or，“相容或”），Exclusive（异或），Negation（非，not），Biconditional（双条件，双向，if and only if） Translating English Sentences 1.2 Propositional Equivalences（命题等价） Tautology（永真式、重言式），Contradiction（永假式、矛盾式），Contingency（偶然式） Logical Equivalences（逻辑等价）——Compound propositions that have the same truth values in all possible cases are called logical equivalent.（真值表相同的式子，p<->q是重言式） Logical Equivalences——Page24 Disjunctive normal form(DNF，析取范式) Conjunctive normal form(CNF，合取范式) 见Page27～29 1.3 Predicates and Quantifiers（谓词和量词） Predicates——谓词，说明关系、特征的修饰词 Quantifiers——量词 ? Universal Quantifier(全称量词) " 《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???. 2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？ 安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《离散数学（上）》考试试卷（A 卷） （时间120分钟） 院/系 专业 姓名 学号 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 一、单选题（每小题2分，共20分） 1. 设A={a,b,c}，A 上二元关系R={〈a,a 〉，〈b,b 〉,〈a,c 〉}，则关系R 的对称闭包S(R)是( ) A.R ∪I A B.R C.R ∪{〈c,a 〉} D.R ∩I A 2. 设X={a,b,c},I x 是X 上恒等关系，要使I x ∪{〈a,b 〉，〈b,c 〉，〈c,a 〉，〈b,a 〉}∪R 为X 上的等 价关系，R 应取( ) A. ｛〈c,a 〉，〈a,c 〉｝ B.{〈c,b 〉，〈b,a 〉} C. {〈c,a 〉，〈b,a 〉} D.{〈a,c 〉，〈c,b 〉} 3. 下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 4. 设解释R 如下：论域D 为实数集，a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x 离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 习题1.1 2. 指出下列命题是原子命题还是复合命题。 （3）大雁北回，春天来了。 （4）不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。 （5）张三和李四在吵架。 解：（3）和（4）是复合命题，（5）是原子命题。 习题1.2 1. 指出下列命题的真值： （1）若224+>，则太阳从西方升起。 解：该命题真值为T （因为命题的前件为假）。 （3）胎生动物当且仅当是哺乳动物。 解：该命题真值为F （如鸭嘴兽虽是哺乳动物，但不是胎生动物）。 2. 令P ：天气好。Q ：我去公园。请将下列命题符号化。 （2）只要天气好，我就去公园。 （3）只有天气好，我才去公园。 （6）天气好，我去公园。 解：（2）P Q →。 （3）Q P →。 （6）P Q ?。 习题1.3 2. 将下列命题符号化（句中括号内提示的是相应的原子命题的符号表示）： （1）我去新华书店（P ），仅当我有时间（Q ）。 （3）只要努力学习（P ），成绩就会好的（Q ）。 （6）我今天进城（P ），除非下雨（Q ）。 （10）人不犯我（P ），我不犯人（Q ）；人若犯我，我必犯人。 解：（1）P Q →。 （3）P Q →。 （6）Q P ?→。 （10）()()P Q P Q ?→?∧→。 习题1.4 1. 写出下列公式的真值表： （2）()P Q R ∨→。 解：该公式的真值表如下表： 2. 证明下列等价公式： （2）()()()P Q P Q P Q ∨∧?∧???。 证明： ()(()()) ()()) ()() ()() P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q ????∧∨?∧???∧∧??∧???∧∧∨?∨∧?∧ （4）()()()P Q P R P Q R →∧→?→∧。 证明： ()()()() () () P Q P R P Q P R P Q R P Q R →∧→??∨∧?∨??∨∧?→∧ 3. 甲、乙、丙、丁4人参加考试后，有人问他们谁的成绩最好，甲说，不是我。乙说：是丁。丙说：是乙。丁说：不是我。已知4个人的回答只有一个人符合实际，问成绩最好的是谁？ 解：设A ：甲成绩最好。B ：乙成绩最好。C ：丙成绩最好。D ：丁成绩最好。 四个人所说的命题分别用P Q R S 、、、表示，则 P A ??；Q A B C D ??∧?∧?∧；R A B C D ??∧∧?∧?；S D ??。 则只有一人符合实际的命题K 符号化为 ()()()() K P Q R S P Q R S P Q R S P Q R S ?∧?∧?∧?∨?∧∧?∧?∨?∧?∧∧?∨?∧?∧?∧ 一．判断题（共10小题，每题1分，共10分） 在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误： 1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ? p ( ) 2．?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3．初级回路一定是简单回路。( ) 4．自然映射是双射。( ) 5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6．群的运算是可交换的。( ) 7．自然数集关于数的加法和乘法 列为。 19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20．7阶圈的点色数是。 三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分） 21．求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。 23．设A={a,b,c,d,e,f}，R=I A?{ 安徽大学2006-2007学年第1学期 《离散数学》期末考试试卷（A卷） （时间120分钟） 开课院（系、部）姓名学号. 一、选择题（每小题2分，共20分）1．下列语句中，哪个是真命题（）A、 4 2= + x； B、我们要努力学习； C、如果ab为奇数，那么a是奇数，或b是偶数； D、如果时间流逝不止，你就可以长生不老。 2．下列命题公式中，永真式的是（） A、P Q P→ →) (； B、P P Q∧ → ?) (； C、Q P P? ? ∧) (； D、) (Q P P∨ →。3．在谓词逻辑中，令) (x F表示x是火车；) (y G表示y是汽车；) , (y x L表示x比y快。 命题“并不是所有的火车比所有的汽车快”的符号表示中哪些是正确的（） I.)),()()((y x L y G x F y x →∧??? II.)),()()((y x L y G x F y x ?∧∧?? III. )),()()((y x L y G x F y x ?→∧?? A 、仅I ； B 、仅III ； C 、I 和II ； D 、都不对。 4．下列结论正确的是：（ ） A 、若C A B A =，则 C B =； B 、若B A B A ?，则B A =； C 、若C A B A =，则C B =； D 、若B A ?且D C ?，则D B C A ?。 5．设φ=1A ，}{2φ=A ，})({3φρ=A ，)(4φρ=A ，以下命题为假的是（ ） A 、42A A ∈； B 、31A A ?； C 、24A A ?； D 、34A A ∈。 6．设R 是集合},,,{d c b a A =上的二元关系， },,,,,,,,,,,{><><><><><><=b d d b a c c a a d d a R 。下列哪些命题为真（ ） I.R R ?是对称的 II. R R ?是自反的 III. R R ?不是传递的 A 、仅I ； B 、仅II ； C 、I 和II ； D 、全真。 离散数学试题(Ｂ卷答案１） 一、证明题(10分） 1）(P∧（Ｑ∧Ｒ）)∨(Q∧R）∨（Ｐ∧R)R 证明: 左端(P∧Q∧Ｒ）∨((Q∨P）∧R) ((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ((Ｐ∨Ｑ）∧R）∨((Ｑ∨P)∧Ｒ) (（P∨Q）∨（Ｑ∨P))∧Ｒ （(P∨Ｑ)∨(Ｐ∨Q))∧R T∧Ｒ(置换)Ｒ 2) x (A(x)B(ｘ）)xA(x)xＢ(ｘ) 证明：x(A(ｘ)B(x))x(Ａ(ｘ)∨B(x)） x A(ｘ)∨xB（ｘ) xA(x)∨xB(x） xＡ(x)xB(x) 二、求命题公式(P∨（Q∧R)）(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分）。 证明：(P∨（Q∧R))(P∧Q∧R)（P∨(Q∧R)）∨(P∧Q∧R)) (P∧(Q∨Ｒ))∨（P∧Q∧Ｒ） （Ｐ∧Q)∨（P∧R)）∨(P∧Q∧R) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧Ｒ)∨(P∧Q∧Ｒ))∨(P∧Ｑ∧R）)∨(Ｐ∧Q∧R） m0∨ｍ1∨m２∨ｍ７ Ｍ３∨M４∨Ｍ５∨M6 三、推理证明题（１0分) 1）Ｃ∨D，（C∨D)E, E(A∧B)，(A∧Ｂ)(R∨S)R∨Ｓ证明：(１） (C∨D) E ?P (2) E（A∧Ｂ) ??P （3) (Ｃ∨D）（A∧B) Ｔ（1）(2），I (4) （A∧B)(R∨S）??P (5) (Ｃ∨D)(Ｒ∨S) ? T(3)(4)，I (6） C∨Ｄ P (7) R∨S T(5)，I 2) x(P(ｘ)Ｑ(y)∧R(ｘ)），xＰ(ｘ)Q（y)∧x(Ｐ(x)∧R(x)) 证明(1)ｘP(x) Ｐ （2)Ｐ(ａ） T(1），ＥS (3)ｘ（P(x)Q（y)∧R(x）) Ｐ (４)P(a)Q（y)∧R(a） T(3)，ＵS (５)Q（ｙ)∧R(a） T(2)（4），I （6）Q(y) Ｔ(５)，I （7)R(ａ) T(5),I (8)P(a)∧Ｒ（ａ) T(2)(7),I （9)x(Ｐ(x）∧R(x)) Ｔ(8),ＥG (10)Q(ｙ)∧x(P(x)∧R(ｘ)) Ｔ(６）(9)，I 四、某班有２5名学生,其中14人会打篮球,１2人会打排球，6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球,求不会打这三种球的人数(10分)。 解：A，B,C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则｜A|=1２，|Ｂ|＝6,｜Ｃ|=14，｜A∩C|=6，｜B∩C｜=5，|Ａ∩Ｂ∩C｜=２。 先求|A∩B|。 ∵6＝|（Ａ∪C)∩B|=|（A∩B）∪（Ｂ∩C)|=|（A∩B）|＋|（B∩C）｜-|A∩B∩C|=|(Ａ∩B)|+5-２，∴|(A∩B）|=３。 于是|A∪Ｂ∪C｜=12+6+14-6-5－３＋２=20。不会打这三种球的人数25-20=5。五、已知Ａ、B、Ｃ是三个集合,证明A-(B∪Ｃ)=(A-B)∩(Ａ-C）(10分)。 证明：∵x A-（B∪C） x A∧x（B∪C） xＡ∧(xＢ∧x C） （x A∧x B）∧(x A∧ｘC） x（A-B）∧x(Ａ-C） ｘ（Ａ-Ｂ）∩(A-C） ∴Ａ-（B∪Ｃ)=（Ａ－B）∩(A－Ｃ） 六、已知R、S是Ｎ上的关系,其定义如下：R={ 离散数学期末试卷(A) XXXX大学XX学院2007 ～2008学年第一学期《离散数学》期末试卷年级专业题号得分适用年级专业：2006级软件工程专业试卷说明：闭卷考试，考试时间120分钟一、单项选择题1．下列语句中只有不是命题。C A．今年元旦会下雪。B．1+1=10。C．嫦娥一号太棒了！D．嫦娥奔月的神话已成为现实。2．p?q 的主合取范式是。 B A．(p?q)?(p??q)B．(p??q)?(?p?q) C．(p?q)?(?p??q)D．(p?q)?(?p?q) 3．与p? q等值的命题公式是。D A．?p?q B．p??q C．p??q D．?p?q 4．在一阶逻辑中使用的量词只有个。B A．1B．2 C．3D．4 5．??xA(x)?。C A．??xA(x) B．?x?A(x) C．?x?A(x) D．?xA(x) 6．若|A|=4，则|P(A)|=。 C A．4B．8C．16 D．64 7．设A、B、C为任意集合，集合的对称差运算不具有的性质是。 D A．A?B = B?A B．(A?B)?C = B?(A?C) 班级学号一二三姓名____________ 四总分C．A?A = ?D．A?A = A 8．二元关系是。B A．两个集合的笛卡儿积B．序偶的集合C．映射的集合D．以上都不是9．下面关于函数的叙述中正确的是。D A．函数一定是满射B．函数一定是单射C．函数不是满射就单射D．函数是特殊的关系10．半群中的二元运算一定满足=。B A．交换律B．结合律C．分配律D．幂等律11．环中有个二元运算。 B A．一B．二C．三D．四12．群与独异点的区别是。 C A．满足交换律B．满足结 《离散数学》期末考试试题 一、 填空题（每空2分，合计20分） 1. 设个体域为{2,3,6}D =-, ():3F x x ≤，():0G x x >。则在此解释下公式 ()(()())x F x G x ?∧的真值为______。 2. 设:p 我是大学生，:q 我喜欢数学。命题“我是喜欢数学的大学生”为可符合化 为 。 3. 设{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B -=________，A B ⊕=________。 4. 合式公式()Q P P ?→∧是永______式。 5. 给定集合{1,2,3,4,5}A =，在集合A 上定义两种关系： {1,3,3,4,2,2}R =<><><>, {4,2,3,1,2,3}S =<><><>， 则_______________S R =ο，_______________R S =ο。 6. 设e 是群G 上的幺元，若a G ∈且2a e =,则1a -=____ , 2a -=__________。 7． 公式))(()(S Q P Q P ?∧?∨∧∨?的对偶公式为 。 8. 设{2,3,6,12}A =, p 是A 上的整除关系，则偏序集,A <>p 的最大元是________，极小元是_ _。 9. 一棵有6个叶结点的完全二叉树，有_____个内点；而若一棵树有2个结点度数为2，一 个结点度数为3，3个结点度数为4，其余是叶结点，则该树有_____个叶结点。 10. 设图,G V E =<>, 1234{v ,v ,v ,v }V =，若G 的邻接矩阵????????????=0001001111011010A ，则1()deg v -=________, 4()deg v +=____________。 二、选择题（每题2分，合计20分） 1．下列各式中哪个不成立（ ）。 A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨? ； B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?； C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∧??∧?； D 、Q x xP Q x P x ∧??∧?)())((。 离散数学及应用课后习题答案 【篇一：离散数学及其应用图论部分课后习题答案】 p165:习题九 1、给定下面4个图（前两个为无向图，后两个为有向图）的集合 表示，画出它们的图形表 示。 （1）g1??v1,e1?，v1?{v1,v2,v3,v4,v5}， e1?{(v1,v2),(v2,v3),(v3,v4),(v3,v3),(v4,v5)} （2）g2??v2,e2?， v2?v1，e1?{(v1,v2),(v2,v3),(v3,v4),(v4,v5),(v5,v1)} （3） d1??v3,e3?,v3?v1,e3?{?v1,v2?,?v2,v3?,?v3,v2?,?v4,v5?,?v5,v 1?} （4） d2??v4,e4?,v4?v1,e3?{?v1,v2?,?v2,v5?,?v5,v2?,?v3,v4?,?v4,v 3?} 解答：（1） （2） 10、是否存在具有下列顶点度数的5阶图？若有，则画出一个这样 的图。 （1）5，5，3，2，2；（2）3，3，3，3，2；（3）1，2，3，4，5；（4）4，4，4，4，4 解答：（1）（3）不存在，因为有奇数个 奇度顶点 。 14、设g是n(n?2)阶无向简单图，g是它的补图，已 知?(g)?k1,?(g)?k2，求?(g)， ?(g)。 解答：?(g)?n?1?k2；?(g)?n?1?k1。 15、图9.19中各对图是否同构？若同构，则给出它们顶点之间的双 射函数。 解答： （c）不是同构，从点度既可以看出，一个点度序列为4，3，3，3，3而另外一个为4，4，3，3，1 （d）同构，同构函数为 ?1?2??f(x)??3 ?4???5 解答： （1）三条边一共提供6度；所以点度序列可能是 1 / 6 北京工业大学经管学院期末试卷 《离散数学》（A ） 学号 姓名： 成绩 一、单项选择题（每题2分，共18分） 1．令P ：今天下雪了，Q ：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不． 滑”可符号化为（ D ） A ．P→Q B ．P ∨Q C ．P ∧Q D ．P ∧Q p→q ，蕴涵式，表示假设、条件、“如果，就”。 “→”与此题无关 2. 关于命题变元P 和Q 的极大项M 1表示( C )。 书P1520，此题换作p 、q 更容易理解 A.┐P ∧Q B.┐P ∨Q p ∨┐q 01 1 M 1 ∨┐Q ∧┐Q 3.设R （x ）：x 是实数；S （）：x 小于y 。用谓词表达下述命题：不存在最小的实数。其中错误的表达式是：（ D ） 4.在论域{}中与公式（x ?）A （x ）等价的不含存在量词的公式是（ B ） A.)b (A )a (A ∧ B. )b (A )a (A ∨ C. )b (A )a (A → D. )a (A )b (A → 5．下列命题公式为重言式的是（ C ） A ．Q→（P ∧Q ） B ．P→（P ∧Q ） C ．（P ∧Q ）→P D ．（ P ∨Q ）→Q 牢记→真假条件，作为选择题可直接代入0、1，使选项出现1→0，排除。熟练的可直接看出C 不存在1→0的情况 6. 设｛1，2，3｝，｛｝，下列二元关系R 为A 到B 的函数的是( A ) A. ｛<1>,<2>,<3>｝ B. ｛<1>,<2>｝ C. ｛<1>,<1>,<2>,<3>｝ D. ｛<1>,<2>,<3>,<1>｝ 2 / 6 7.偏序关系具有性质（ D ） 背 A.自反、对称、传递 B.自反、反对称 C.反自反、对称、传递 D.自反、反对称、传递 8.设R 为实数集合，映射:,R R σ→2 ()21,x x x σ=-+-则σ 是( D ). (A) 单射而非满射 (B) 满射而非单射 (C) 双射 (D) 既不是单射也不是满射. 书P96.设函数f ：A→B （1）若，则f 是满射的【即值域为B 的全集，在本题中为R ，该二次函数有最高点，不满足】 （2）若对于任何的x 12∈A , x 1≠x 2,都有f(x 1)≠f(x 2)，则称f 是单射的【即真正一一对应，甚至不存在一个y 对应多个x 。显然，本题为二次函数，不满足】 （3）若f 既是满射的，又是单射的，则称f 是双射的【本题中两个都不满足，既不是单射也不是满射】 二、填空题（每空2分，共22分） １.设Q 为有理数集，笛卡尔集×Q ，*是S 上的二元运算，? 离散数学试题(B卷答案1） 一、证明题（10分） 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R) ?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R ?T∧R(置换)?R 2) ?x (A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明：?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x)) ??x?A(x)∨?xB(x) ???xA(x)∨?xB(x) ??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。 证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?（?P∧(?Q∨?R)）∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题（10分） 1）C∨D， (C∨D)→?E，?E→(A∧?B)， (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明：(1) (C∨D)→?E P (2) ?E→(A∧?B) P (3) (C∨D)→(A∧?B) T(1)(2)，I (4) (A∧?B)→(R∨S) P (5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4)， I (6) C∨D P (7) R∨S T(5)，I 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明(1)?xP(x) P 离散数学试题(A卷及答案） 一、证明题（10分） 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R)?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R?T∧R(置换)?R 2)?x(A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明：?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x))??x?A(x)∨?xB(x)???xA(x)∨?xB(x)??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分） 证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?（?P∧(?Q∨?R)）∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题（10分） 1）C∨D, (C∨D)→?E, ?E→(A ∧?B), (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明：(1) (C∨D)→?E (2) ?E→(A∧?B) (3) (C∨D)→(A∧?B) (4) (A∧?B)→(R∨S) (5) (C∨D)→(R∨S) (6) C∨D (7) R∨S 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明（1）?xP(x) (2)P(a) (3)?x(P(x)→Q(y)∧R(x)) (4)P(a)→Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)?x(P(x)∧R(x)) (11)Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 四、设m是一个取定的正整数，证明：在任取m＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m的整数倍 证明设 1 a，2a，…，1+m a为任取的m＋1个整数，用m去除它们所得余数 只能是0，1，…，m－1，由抽屉原理可知， 1 a，2a，…，1+m a这m＋1个整 数中至少存在两个数 s a和t a，它们被m除所得余数相同，因此s a和t a的差是m的整数倍。 五、已知A、B、C是三个集合，证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （15分）证明∵x∈ A-（B∪C）? x∈ A∧x?（B∪C）? x∈ A∧（x?B∧x?C）?（x∈ A∧x?B）∧（x∈ A∧x?C）? x∈（A-B）∧x∈（A-C）? x∈（A-B）∩（A-C）∴A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C） 六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：R={ 《离散数学》复习题 一、单项选择题（每小题2分，共20分） 1、下列命题中是命题的是（ ） A 、 7>+y x B 、雪是黑色的 C 、严禁吸烟 D 、我正在说谎 2下列命题联结词集合中,哪个不是极小全功能集( )。 A 、{,}刭 B 、{,}刳 C 、{}- D 、{,}佼 3、下列公式中哪个不是简单析取式（ ）。 A 、p B 、p q ∨ C 、()p q ?∨ D 、p q ?∨? 4、设个体域{,}A c d =，公式()()x P x x S x ?∧?在A 中消去量词后应为（ ） A ()()P x S x ∧ B (()())(()( P c P d S c S d ∧∧∨ C ()()P c S d ∧ D ()() () (P c P d S c S d ∧ ∧∨ 5、下列是命题公式p ∧(q ∨┓r)的成真指派的是( ) A.110，111，100 B.110，101，011 C.所有指派 D.无 6、下列命题中（ ）是正确的。 A. 若图G 有n 个顶点，则G 的各顶点的度和为2n; B. 无向树中任意两点之间均相互可达； C. 若有向图G 是弱连通的，则它必定也是单向连通； D. 若无向带权图G 是连通的，则其最小生成树存在且唯一。 7、正整数集合Z +的以下四个划分中，划分块最多的是（ ） A ．1π={{x }︱x ∈Z + } B ．2π= {Z + } C. 3π={12,S S },1S 为素数集，21S Z S + =- D ．3π={12,S S ,3S },i S 为Z +中元素除以3的余数 8、给定下列各图： ⑴G 1= 浙江师范大学《离散数学》考试卷 （2010—2011学年第 1 学期） 考试形式闭卷使用学生软件工程、网络工程09 考试时间120分钟出卷时间2010 年12 月26 日 说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。 一．选择题（每题2分，共20分）： 1. 设P：我平时认真学习，Q：我通过离散数学考试，则如下哪种说法能符号化为 P→Q：（） A．除非我平时认真学习，否则我不能通过离散数学考试。 B. 若我平时认真学习，则我通过离散数学考试。 C. 因为我平时不认真学习，所以我没有通过离散数学考试。 D. 我通过离散数学考试仅当我平时认真学习。 2．命题公式P→(P∨Q∨R) 为（）。 A．重言式B．可满足式C．矛盾式D．等值式 3．设集合A={c, {c}}，下列命题错误的是（）。 A. {c}∈P(A) B. {c}?P(A) C. {{c}}∈P(A) D. {{c}}?P(A) 4. 设f: N N, f(x)=(x) mod 5, 即x除以5的余数，则函数f （）. A. 仅单射 B. 仅满射 C. 双射 D. 既不单设也不满射 5．下列命题中正确的结论是：（） A．集合上A的关系如果不是自反的，就一定是反自反的； B．集合上A的关系如果不是对称的，就一定是反对称的； C．在任意关系R上，若离散数学期末试题
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