高一数学线性回归方程(1)
教学目标
（1）通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；
（2）在两个变量具有线性相关关系时，会在散点较长中作出线性直线，会用线性回
归方程进行预测；
（3）知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义．
教学重点
散点图的画法，回归直线方程的求解方法．
教学难点
回归直线方程的求解方法．
教学过程
一、问题情境
1．情境：
客观事物是相互联系的过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度所以说，函数关系存在着一种确定性关系但还存在着另一种非确定性关系——相关关系
2．问题：
某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯
气温/0C 26 18 13 10 4 1-
杯数20 24 34 38 50 64
-C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？
如果某天的气温是5
二、学生活动
为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到下图，今后我们称这样的图为散点图(scatterplot).
从右图可以看出.这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系.
选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系?
我们有多种思考方案:
(1)选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线；
（2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距；
………………
怎样的直线最好呢?
三、建构数学
1．最小平方法：
用方程为ˆy
bx a =+的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近。那么，怎样衡量直线ˆy
bx a =+与图中六个点的接近程度呢？ 我们将表中给出的自变量x 的六个值带入直线方程,得到相应的六个ˆy
的值: 26,18,13,10,4,b a b a b a b a b a b a +++++-+.这六个值与表中相应的实际值应该越接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和
22222222(,)(2620)(1824)(1334)(1038)(450)(64)12866140382046010172
Q a b b a b a b a b a b a b a b a ab b a =+-++-++-++-+
+-+-+-=++--+
(,)Q a b 是直线ˆy
bx a =+与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,可以用来衡量直线ˆy
bx a =+与图中六个点的接近程度,所以,设法取,a b 的值,使(,)Q a b 达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法).
先把a 看作常数,那么Q 是关于b 的二次函数.易知,当140382021286
a b -=-
⨯时,Q 取得最小值.同理,把b 看作常数,那么Q 是关于a 的二次函数.当14046012
b a -=-时,Q 取得最小值.因此,当140382021286140460
12
a b b a -⎧=-⎪⎪⨯⎨-⎪=-⎪⎩时，Q 取的最小值，由此解得 1.6477,57.5568b a ≈-≈.所
求直线方程为ˆ 1.647757.5568y
x =-+.当5x =-时,ˆ66y ≈,故当气温为5-0C 时,热茶销量约为66杯. 2．线性相关关系：
像能用直线方程ˆy
bx a =+近似表示的相关关系叫做线性相关关系. 3．线性回归方程：
当,a b 使1122()()...()n n Q y bx a y bx a y bx a =--+--++--取得最小值时,就称
ˆy
bx a =+为拟合这n 对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线. 上述式子展开后，是一个关于,a b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的,a b 的值．即
1
112211()()()n n n i i i i i i i n n i i i i n x y x y b n x x a y bx
=====⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑,（*） ∑==n i i x n x 11, ∑==n i i y n y 11 四、数学运用
1．例题：
例1．下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相
系．计算相应的数据之和：
8888
211111031,71.6,137835,9611.7i i i i i i i i i x
y x x y ========∑∑∑∑， 将它们代入（*）式计算得0.0774, 1.0241b a ≈=-，
所以，所求线性回归方程为0.0774 1.0241y x =-．
2．练习：
（1）第75页练习1、2
（2）下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ D ）
A ．角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积
C ．正ｎ边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高（3求出回归直线并且画出图形
解：(1)散点图（略）．
故可得到 2573075.43.399,75.430
770002≈⨯-=≈⨯-=
a b 从而得回归直线方程是^ 4.75257y x =+．(图形略)
五、回顾小结：
1．对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数,a b 的计算公式，算出,a b ．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．求线性回归方程的步骤：计算平均数y x ,；计算i i y x 与的积，求∑i i y x ；计算∑2
i x ；将结果代入公式求a ；用 x a y b -=求b ；写出回归方程 六、课外作业：
课本第75页习题2.4第1、2、3题．
高中数学：最小二乘法与线性回归方程 1、怎样的拟合直线最好？——与所有点都近，即与所有点的距离之和最小。 最小二乘法可以帮助我们在进行线性拟合时，如何选择“最好”的直线。要注意的是，利用实验数据进行拟合时，所用数据的多少直接影响拟合的结果，从理论上说，数据越多，效果越好，即所估计的直线方程越能更好地反映变量之间的关系。一般地，我们可以先作出样本点的散点图，确认线性相关性，然后再根据回归直线系数的计算公式进行计算。 2、刻画样本点与直线y=a+bx之间的“距离”— — 思考：①这个“距离”与点到直线的距离有什么关系？很显然，这个式值越小，则样本点与直线间的距离越小。 ②为什么不直接利用点到直线的距离来刻画样本点与直线之间的距离关系？ 3、最小二乘法
如果有n个点：（x1，y1），（x2，y2），（x3， y3），……，（x n，y n），我们用下面的表达式来刻画这些点与直线y=a+bx的接近程度： 。 使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求解的直线，这种方法称为最小二乘法。 4、线性回归方程 ，其中 这个直线方程称为线性回归方程，a，b是线性回归方程的系数（回归系数）。 例1、推导2个样本点的线性回归方程 设有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），用最小二乘法推导其线性回归方程并进行分析。
解：由最小二乘法，设，则样本点到该直线的“距离之和”为 从而可知：当时，b有最小值。将 代入“距离和”计算式中，视其为关于b的二次函 数，再用配方法，可知： 此时直线方程为： 设AB中点为M，则上述线性回归方程为 可以看出，由两个样本点推导的线性回归方程即为过这两点的直线方程。这和我们的认识是一致的：对两个样本点，最好的拟合直线就是过这两点的直线。 用最小二乘法对有两个样本点的线性回归直线方程进行了直接推导，主要是分别对关于a和b的二次函数进行研究，由配方法求其最值及所需条件。实际上，由线性回归系数计算公式：
《高一数学必修四线性回归分析知识点》 【一】 重点难点讲解： 1.回归分析： 就是对具有相关关系的两个变量之间的关系形式进行测定，确定一个相关的数学表达式，以便进行估计预测的统计分析方法。根据回归分析方法得出的数学表达式称为回归方程，它可能是直线，也可能是曲线。 2.线性回归方程 设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n组观测值的n个点(xi,yi)(i=1,......,n)大致分布在一条直线的附近，则回归直线的方程为。 其中。 3.线性相关性检验 线性相关性检验是一种假设检验，它给出了一个具体检验y与x之间线性相关与否的办法。 ①课本附表3中查出与显著性水平0.05与自由度n-2(n为观测值组数)相应的相 关系数临界值r0.05。②由公式，计算r的值。③检验所得结果如果|r|≤r0.05，可以认为y与x之间的线性相关关系不显著，接受统计假设。 如果|r|>r0.05，可以认为y与x之间不具有线性相关关系的假设是不成立的，即y与x之间具有线性相关关系。典型例题讲解：例1.从某班50名学生中随机抽取10名，测得其数学考试成绩与物理考试成绩资料如表：序号12345678910数学成绩54666876788285879094，物理成绩61806286847685828896试建立该10名学生的物理成绩对数学成绩的线性回归模型。解：设数学成绩为x，物理成绩为，则可设所求线性回归模型为，计算，代入公式得∴所求线性回归模型为=0.74x+22.28。说明：将自变量x的值分别代入上述回归模型中，即可得到相应的因变量的估计值，由回归模型知：数学成绩每增加1分，物理成绩平均增加0.74分。大家可以在老师的帮助下对自己班的数学、化学成绩进行分析。例2.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0 若由资料可知y对x成线性相关关系。试求：
高一数学线性回归方程(1) 教学目标 （1）通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系； （2）在两个变量具有线性相关关系时，会在散点较长中作出线性直线，会用线性回 归方程进行预测； （3）知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义． 教学重点 散点图的画法，回归直线方程的求解方法． 教学难点 回归直线方程的求解方法． 教学过程 一、问题情境 1．情境： 客观事物是相互联系的过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度所以说，函数关系存在着一种确定性关系但还存在着另一种非确定性关系——相关关系 2．问题： 某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯 气温/0C 26 18 13 10 4 1- 杯数20 24 34 38 50 64 -C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？ 如果某天的气温是5 二、学生活动 为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到下图，今后我们称这样的图为散点图(scatterplot). 从右图可以看出.这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系. 选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系? 我们有多种思考方案: (1)选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线； （2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距； ……………… 怎样的直线最好呢?
高中数学线性回归方程 线性回归方程是高中数学中一个重要的概念，它被广泛应用于预测和数据分析等领域。本文将介绍线性回归方程的定义、基本概念、数学模型以及数据分析方法。 线性回归方程是一种简单的数学模型，用于描述两个变量之间的关系。它的一般形式是 y = ax + b，其中 a 是斜率，b 是截距。线性回归方程的目的是找到最佳拟合数据点的直线，使得预测值与实际值之间的误差平方和最小。 在实际应用中，线性回归方程可以用来预测未来的趋势，或者解释变量之间的关系。例如，在商业领域中，可以使用线性回归方程来预测产品的销售量，或者分析广告投入与销售额之间的关系。在医学领域中，线性回归方程也可以用来分析血压和心率等生理指标之间的关系。除了定义和基本概念，线性回归方程还包括一些数学模型。例如，线性回归模型是一种常见的数学模型，它可以用简单的公式来表示两个变量之间的关系。指数回归模型则可以用来描述那些增长或衰退的趋势，其中变量的变化率是常数。这些数学模型可以用来预测未来的趋势，或者解释变量之间的关系。 在使用线性回归方程进行分析时，通常需要使用一些数据分析方法来评估模型的拟合优度。例如，可以使用 R-squared 统计量来衡量模
型对数据的拟合程度，或者使用 F 统计量来检验模型的显著性。此外，还可以使用 t 检验和 ANOVA 方法来检验模型的参数是否显著。综上所述，线性回归方程是高中数学中一个重要的概念，它被广泛应用于预测和数据分析等领域。本文介绍了线性回归方程的定义、基本概念、数学模型以及数据分析方法。希望通过本文的介绍，读者可以更好地理解线性回归方程的概念和应用。 SAS线性回归分析案例 SAS线性回归分析案例 在数据分析领域，线性回归是一种广泛使用的预测和分析方法。它可用于解释变量之间的关系，并进行预测。SAS（Statistical Analysis System）是一款流行的数据分析软件，其中包含了线性回归分析的各种功能。本文将通过一个案例来介绍如何使用SAS进行线性回归分析。案例背景 假设我们正在研究一个电子商务公司的销售数据。我们的目标是找出销售额与广告支出、网站访问量和其他可能影响销售的因素之间的关系。我们希望能够建立一个模型，以便预测未来的销售额。 数据处理 在开始线性回归分析之前，我们需要对数据进行预处理。这包括数据
线性回归方程 一、解答题 1.为了适应高考改革,某中学推行“创新课堂”教学.高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课,高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课,为了比较教学效果,期中考试后,分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行 以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”? 2.现从上述样本“成绩不优秀”的学生中,抽取3?人进行考核,记“成绩不优秀”的乙班人数为X,求X的分布列和期望. 参考公式: 2 2 () ()()()() n ad bc K a b c d a c b d - = ++++ ,其中n a b c d =+++. 100?名学生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频数分布表和频率分布直方图,将使用手机时间不低于80分钟的学生称为“手机迷”。 :
附:随机变量 2 2 () n ad bc K - = (其中n a b c d =+++为样本总量). . 2.在高二的抽查中,已知随机抽到的女生共有55名,其中10名为“手机迷”.根据已知条件完成下面的22 ?列联表,并 ? 3.某中学为了解中学生的课外阅读时间,决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20?名学生,对他们的课外阅读时间进行问卷调查。现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类:A类(不参加课外阅读),B 类(参加课外阅读,但平均每周参加课外阅读的时间不超过3?小时),C类(参加课外阅读,且平均每周参加课外阅读的 90%的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关; ,记X为抽取的这3?名女生中A类人数和C类人数差的绝对值,求X的数学期望。 附: 2 2 () n ad bc k - = 模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、
统计第三讲：变量间的相关关系 —————————————————————————————————————————————— 一、两个变量的线性相关 1、线性回归方程：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，回归直线对应的方程叫做回归直线方程（简称回归方程）。 2、回归方程求法：设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ⋅⋅⋅，直线方程y bx a =+，其中,a b 是待定参数. 经数学上的推导，,a b 的值由下列公式给出：1 1222 11 ()()()n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx ====⎧ ---⎪ ⎪==⎪⎨--⎪⎪ =-⎪⎩∑∑∑∑. 其中，回归直线的斜率为b ，截距为a ，即回归方程为y bx a =+. 上述求回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. 3、回归方程应用：利用回归方程，我们可以进行预测并对总体进行估计. —————————————————————————————————————————————— 二、相关关系的强弱 1、相关系数：若相应于变量x 的取值i x ，变量y 的观测值为(1)i y i n ≤ ≤，则变量x 与y 的相关系数 ()() n i i x x y y r --= ∑，即n i i x y nx y r -= ∑， 2、通常用r 来衡量x 与y 之间的线性关系的强弱 （1）r 的范围为11r -≤≤，r 为正时，x 与y 正相关；r 为负时，x 与y 负相关 （2）||r 越接近于1，x 与y 的相关程度越大；当||1r =时，所以数据点都在一条直线上. （3）||r 越接近于0，二者的相关程度越小 ——————————————————————————————————————————————
一元线性回归模型及其应用 一、一元线性回归模型与函数模型 一元线性回归模型：我们称⎩⎨⎧ Y ＝bx ＋a ＋e ， E e ＝0，D e ＝σ2为Y 关于x 的一元线性回 归模型，其中，Y 称为因变量或响应变量，x 称为自变量或解释变量；a 和b 为模型的未知参数，a 称为截距参数，b 称为斜率参数；e 是Y 与bx ＋a 之间的随机误差． 二、最小二乘法和经验回归方程 最小二乘法：我们将y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 称为Y 关于x 的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b ^ ，a ^叫做b ，a 的最小二乘估计， 其中b ^ ＝ ∑i ＝1 n x i －x y i －y ∑i ＝1 n x i －x 2 ，a ^ ＝y －b ^ x . (1)经验回归方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 必过点(x ，y )． (2)b ^ 的常用公式b ^ ＝ ∑i ＝1 n x i y i －n x y ∑i ＝1 n x 2i －n x 2 . 三、利用经验回归方程进行预测
(1)判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以画散点图． (2)求经验回归方程，注意运算的正确性． (3)根据经验回归方程进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差． 四、残差及残差分析 1．残差：对于响应变量Y ，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差． 2．残差分析：残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 五、对数函数模型y ＝c 1＋c 2ln x 对数函数模型y ＝c 1＋c 2ln x 的求法 (1)确定变量，作出散点图． (2)根据散点图，做出y ＝c 1＋c 2ln x 的函数选择． (3)变量置换，令z ＝ln x ，通过变量置换把问题转化为＝1＋2z 的经验回归问题，并求出经验回归方程＝1＋2z . (4)根据相应的变换，写出＝1＋2ln x 的经验回归方程． 六、残差平方和与决定系数R 2 1．残差平方和法 残差平方和 i ＝1n (y i －i )2越小，模型的拟合效果越好． 2．决定系数R 2 可以用R 2＝1－来比较两个模型的拟合效果，R 2越大，模型拟合效果越好，R 2越
重点列表： 重点详解： 1．变量间的相关关系 常见的两变量之间的关系有两类：一类是确定性的函数关系,另一类是________；与函数关系不同,相关关系是一种________关系,带有随机性． 2．两个变量的线性相关 (1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有 ____________,这条直线叫________． (2)从散点图上看,如果点分布在从左下角到右上角的区域内,那么两个变量的这种相关关系称为________；如果点分布在从左上角到右下角的区域内,那么两个变量的这种相关关系称为 ________. ※ (3)相关系数 r ＝ ∑∑∑===----n j j n i i n i i i y y x x y y x x 1 2 1 2 1 )()() )((,当r ＞0时,表示两个变量正相关；当r ＜0时,表示两个变量 负相关．r 的绝对值越接近________,表示两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近________,表示两个变量的线性相关性越弱．通常当r 的绝对值大于0.75时,认为两个变量具有很强的线性相关关系． 3．回归直线方程 (1)通过求Q ＝ ∑=--n i i i x y 1 2)(βα的最小值而得出回归直线的方法,即使得样本数据的点到回
归直线的距离的平方和最小的方法叫做____________．该式取最小值时的α,β的值即分别为,. (2)两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),其回归方程为 a x b y ˆˆˆ+=,则 ⎪⎪ ⎪⎩⎪⎪⎪ ⎨⎧ -=--=---=∑∑∑∑====.ˆˆ, )())((ˆ1 2 21 121x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i 【答案】 1．相关关系 非确定性 2．(1)线性相关关系 回归直线 (2)正相关 负相关 (3)1 0 3．最小二乘法 重点1：相关关系的判断 【要点解读】 在研究两个变量之间是否存在某种关系时,必须从散点图入手．对于散点图,可以做出如下判断： (1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系． (2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系． (3)如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系． 【考向1】确定性关系与随机关系 【例题】下列变量之间的关系不是．． 相关关系的是( ) A ．已知二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c ,其中a ,c 是已知常数,取b 为自变量,因变量是这个函数的判别式Δ＝b 2 －4ac B ．光照时间和果树亩产量 C ．降雪量和交通事故发生率 D ．每亩施用肥料量和粮食亩产量
高中数学知识点：线性回归方程 1.回归直线方程 （1）回归直线：观察散点图的特征，发现各个大致分布在通过散点图中心的一条直线附近。如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。求出的回归直线方程简称回归方程。 2．回归直线方程的求法 设与n 个观测点（,i i x y ）()1,2,,i n =⋅⋅⋅最接近的直线方程为,y bx a =+，其中a 、b 是待定系数. 则,(1,2,,)i i y bx a i n =+= .于是得到各个偏差 (),(1,2,,)i i i i y y y bx a i n -=-+=. 显见，偏差i i y y -的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵 消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n 个偏差的平方和. 2222211)()()(a bx y a bx y a bx y Q n n --++--+--= 表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度. 记21()n i i i Q y bx a ==--∑. 上述式子展开后，是一个关于a 、b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的a 、b 的值.即 1122211()()()n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑， ∑==n i i x n x 11，∑==n i i y n y 11
相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析 上述求回归直线的方法是使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法，叫做最小二乘法。 要点诠释： 1.对回归直线方程只要求会运用它进行具体计算a、b，求出回归直线方程即可.不要求掌握回归直线方程的推导过程. 2.求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义.否则，求出的回归直线方程毫无意义.因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性. 3.求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a、b，由于求a、b的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误. 4.回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用.应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充.因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识.
高一数学回归方程知识点 回归方程是数学中的一个重要概念，它在统计学和机器学习等领域有着广泛的应用。在高一数学中，学生也会接触到回归方程的基本概念和应用。本文将介绍高一数学回归方程的知识点，帮助学生更好地理解和运用这个概念。 1. 回归方程的定义和作用 回归方程是一种数学模型，用于描述自变量和因变量之间的关系。它可以用来预测因变量的取值，或者解释自变量对因变量的影响程度。回归方程通常采用线性模型，即通过一条直线来拟合数据点。通过回归方程，我们可以对数据进行分析，并进行预测和解释。 2. 简单线性回归方程 简单线性回归方程是回归分析中最基本的一种形式，适用于只有一个自变量和一个因变量的情况。它的数学表达形式为：y = a + bx，其中y为因变量，x为自变量，a为截距，b为斜率。截距
表示当自变量为0时，因变量的取值；斜率表示因变量随自变量 变化的速度。 3. 最小二乘法 最小二乘法是一种常用的拟合回归方程的方法。它通过寻找一 条直线使得所有数据点到该直线的距离之和最小化来确定回归方 程的参数。最小二乘法可以保证拟合出的回归方程与数据之间的 误差最小，从而使得回归模型更加准确。 4. 多元线性回归方程 多元线性回归方程是在有多个自变量和一个因变量的情况下使 用的模型。它的数学表达形式为：y = a + b1x1 + b2x2 + ... + bnxn，其中y为因变量，x1, x2, ..., xn为自变量，a为截距，b1, b2, ..., bn 为各自变量的斜率。多元线性回归方程可以更好地描述多个自变 量对因变量的影响。 5. 回归方程的评估指标
在使用回归方程进行分析时，我们需要对拟合程度进行评估。 常见的评估指标包括决定系数（R²）、均方误差（MSE）和平均 绝对误差（MAE）等。决定系数表示回归方程对数据的拟合程度，越接近1表示拟合效果越好；均方误差和平均绝对误差表示回归 方程的预测误差，值越小表示预测效果越好。 综上所述，高一数学回归方程是一个重要的概念，在统计学和 机器学习等领域有着广泛的应用。通过学习回归方程，我们可以 研究数据之间的关系，进行预测和解释。同时，我们也需要掌握 拟合回归方程的方法和评估指标，以获取更准确的分析结果。希 望本文对高一数学回归方程的学习有所帮助。
高一数学知识点人教版 高一数学必修四知识点梳理 1.回归分析： 就是对具有相关关系的两个变量之间的关系形式进行测定，确定一个相关的数学表达式，以便进行估计预测的统计分析方法。根据回归分析方法得出的数学表达式称为回归方程，它可能是直线，也可能是曲线。 2.线性回归方程 设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n组观测值的n个点(xi,yi)(i=1,......,n)大致分布在一条直线的附近，则回归直线的方程为。 其中。 3.线性相关性检验 线性相关性检验是一种假设检验，它给出了一个具体检验y与x之间线性相关与否的办法。 ①在课本附表3中查出与显著性水平0.05与自由度n-2(n为观测值组数)相应的相关系数临界值r0.05。 ②由公式，计算r的值。 ③检验所得结果 如果|r|≤r0.05，可以认为y与x之间的线性相关关系不显著，接受统计假设。
如果|r|>r0.05，可以认为y与x之间不具有线性相关关系的假设是不成立的，即y与x之间具有线性相关关系。 高一年级数学必修三知识点 (1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X 轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线 y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。 (7)函数总是通过(0，1)这点。 (8)显然指数函数无_。 奇偶性 定义 一般地，对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
第二讲 线性回归方程 一、相关关系： 1、⎩⎨ ⎧<=1 ||1||r r 不确定关系：相关关系 确定关系：函数关系 2、相关系数：∑∑∑===-⋅ ---= n i i n i i n i i i y y x x y y x x r 1 2 1 2 1 ) () () )((,其中： （1）⎩⎨ ⎧<>负相关 正相关0 0r r ；2相关性很弱；相关性很强；3.0||75.0||<>r r 例题1：下列两个变量具有相关关系的是 A.正方形的体积与棱长； B.匀速行驶的车辆的行驶距离与行驶时间； C.人的身高和体重； D.人的身高与视力; 例题2：在一组样本数据),,,2)(,(),,(),,(212211不全相等n n n x x x n y x y x y x ≥的散点图中,若所有样本点),2,1)(,(n i y x i i =都在直线12 1 +- =x y 上,则样本相关系数为 例题3：r 是相关系数,则下列命题正确的是： （1）]75.0,1[--∈r 时,两个变量负相关很强；2]1,75.0[∈r 时,两个变量正相关很强； （3）)75.0,3.0[]3.0,75.0(或--∈r 时,两个变量相关性一般； （4）41.0=r 时,两个变量相关性很弱; 3、散点图：初步判断两个变量的相关关系; 例题4：在画两个变量的散点图时,下列叙述正确的是 A.预报变量在x 轴上,解释变量在y 轴上； B.解释变量在x 轴上,预报变量在y 轴上； C.可以选择两个变量中的任意一个变量在x 轴上；
D.可以选择两个变量中的任意一个变量在y 轴上； 例题5：散点图在回归分析过程中的作用是 A.查找个体个数 B.比较个体数据的大小 C.研究个体分类 D.粗略判断变量是否线性相关 二、线性回归方程： 1、回归方程：a x b y ˆˆˆ+= 其中2 1 2 1 1 2 1 )() )((ˆx n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i --= ---=∑∑∑∑====,x b y a ˆˆ-=代入样本点的中心 例题1：设),(),,(),,(2211n n y x y x y x 是变量n y x 的和个样本点,直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线过一、二、四象限,以下结论正确的是 A.直线l 过点),(y x B.当n 为偶数时,分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 C.的和y x 相关系数在0到1之间 D.的和y x 相关系数为直线l 的斜率 例题2：工人月工资y 元依劳动生产率x 千元变化的回归直线方程为x y 9060ˆ+=,下列判断正确的是 A.劳动生产率为1000元时,工资为150元； B.劳动生产率提高1000元时,工资平均提高150元； C.劳动生产率提高1000元时,工资平均提高90元； D.劳动生产率为1000元时,工资为90元； 例题3：设某大学的女生体重)(kg y 与身高)(cm x 具有线性相关关系,根据一组样本数据 )2,1)(,(n i y x i i =,用最小二乘法建立的回归方程为71.8585.0ˆ-=x y ,则不正确的是 A.y 与x 具有正的线性相关关系； B.回归直线过样本点的中心),(y x
§8.2 一元线性回归模型及其应用 学习目标 1.结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义. 2.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法. 3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 知识梳理 知识点一 一元线性回归模型 称⎩ ⎪⎨⎪⎧ Y ＝bx ＋a ＋e ，E (e )＝0，D (e )＝σ2为Y 关于x 的一元线性回归模型．其中Y 称为 或 ，x 称为 或 ， 称为截距参数， 称为斜率参数；e 是 与 之间的随机误差，如果e ＝ ，那么Y 与x 之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述． 知识点二 最小二乘法 将y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 称为Y 关于x 的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b ，a 的最小二 乘估计，其中b ^ ＝ ∑i ＝1 n (x i －x )(y i －y ) ∑i ＝1 n (x i －x )2 ，a ^ ＝ . 思考1 经验回归方程一定过成对样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的某一点吗？ 思考2 点(x ，y )在经验回归直线上吗？ 知识点三 残差与残差分析 1．残差 对于响应变量Y ，通过观测得到的数据称为 ，通过经验回归方程得到的称 为 ， 减去 称为残差． 2．残差分析 是随机误差的估计结果，通过对 的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 知识点四 对模型刻画数据效果的分析 1．残差图法 在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以 ，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系．
18、统计 18．4 线性回归方程及应用 【知识网络】 1．能通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。 2．了解线性回归的方法；了解用最小二乘法研究两个变量的线性相关问题的思想方法；会根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程〔不要求记忆系数公式〕。 【典型例题】 [例1]〔1〕为了考察两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1、l2，两人得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都分别相等，且值为s与t，那么以下说法正确的选项是 〔〕 A．直线l1和l2一定有公共点(s，t) B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t) C．必有直线l1∥l2D．直线l1和l2必定重合 〔2〕工人工资〔元〕依劳动生产率〔千元〕变化的回归方程为ˆy=50+80x，以下判断正确的选项是〔〕 A．劳动生产率为1000元时，工资为130元 B．劳动生产率提高1000元时，工资提高80元 C．劳动生产率提高1000元时，工资提高130元 D．当月工资250元时，劳动生产率为2000元 〔3〕以下命题： ①任何两个变量都具有相关关系； ②圆的周长与该圆的半径具有相关关系； ③某商品的需求与该商品的价格是一种非确定性关系； ④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的； ⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进展研究。 其中正确的命题为〔〕 A．①③④B。②④⑤C。③④⑤D。②③⑤ 〔4〕一家保险公司调查其总公司营业部的加班程度，收集了10周中每周加班工作时间y〔小时〕与签发新保单数目x的数据如下表，那么用最小二乘法估计求出的线性回归方程是___________。
18、统计 18 . 4线性回归方程及应用 【知识网络】 1. 能通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。 2. 了解线性回归的方法；了解用最小二乘法研究两个变量的线性相关问题的思想方法；会根据给出 的线性回归方程系数公式建立线性回归方程( 不要求记忆系数公式)。 【典型例题】 [例1] (1)为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为11、12,已知两人得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都分别相等，且值为s与t，那么下列说法正确的是 ( ) A. 直线11和12 一定有公共点(s, t) B.直线11和12相交，但交点不一定是(s, t) C.必有直线11 //|2 D.直线11和12必定重合 (2)工人工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为y?=50+80 x,下列判断正确的是( ) A. 劳动生产率为1000元时，工资为130元 B. 劳动生产率提高1000元时，工资提高80元 C. 劳动生产率提高1000元时，工资提高130元 D. 当月工资250元时，劳动生产率为2000元 (3)下列命题： ①任何两个变量都具有相关关系； ②圆的周长与该圆的半径具有相关关系； ③某商品的需求与该商品的价格是一种非确定性关系； ④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；
⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究。
藩鸟教肓 铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构 X 你春鸟教肓 g»vr«*** 其中正确的命题为 （ ） A .①③④ B 。②④⑤ C 。③④⑤ D 。②③⑤ （4） 一家保险公司调查其总公司营业部的加班程度，收集了 10周中每周加班工作时间 y （小时）与 签发新保单数目x 的数据如下表，则用最小二乘法估计求出的线性回归方程是 __________________ 。 （5 ［例2］已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下: 其中x （血球体积，mm ）, y （血红球数，百万） ① 画出上表的散点图； ② 求出回归直线并且画出图形。 ［例3］要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选 10名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩（如下表）： （2）若某学生入学数学成绩 80分，试估计他高一期末数学考试成绩.