第十七讲 整式的乘法与除法
指数运算律是整式乘除的基础，有以下4个：n
m n
m
a
a a +=?，nm
n m a
a =)(，n
n n b a ab ?=)(，
n m n m a a a -=÷．学习指数运算律应注意：
1．运算律成立的条件；
2．运算律字母的意义：既可以表示一个数，也可以是一个单项式或者多项式； 3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．
多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是： 1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位； 2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；
3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止． 例题 【例1】 (1)如果012=-+x x ，则322
3++x x ＝ ． ( “希望杯”邀请赛试题) (2)把(x 2一x+1)6展开后得0122111112
12a x a x a x a x
a +++++Λ，则
024681012a a a a a a a ++++++ ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)
思路点拨 (1)把高次项用低次多项式表示；(2)我们很难将(x 2一x+1)6的展开式写出，因此想通过展开式去求出每一个系数是不实际的，事实上，上列等式在x 的允许值范围内取任何一个值代入计算，等式都成立，考虑用赋值法解．
注： 一般地，被除式、除式、商式和余式之间有下面的关系式： 被除式＝除式×商式+余式．
特别地，当余式为零时，称除式能整除被除式．
在解数学题时，将问题中的某些元素用适当的数表示，再进行运算、推理解题的方法叫赋值法，用赋值法解题有两种类型： (1)常规数学问题中，恰当地对字母取值，简化解题过程；(2)非常规数学问题通过赋值，把问题“数学化”． 【例2】 已知200025=x
，200080=y
，则y
x 1
1+等于( )． A ．2 B ．1 C ．
21
D ．2
3 ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 因y x 、为指数，我们目前无法求出y x 、的值，xy
y
x y x +=+11，其实只需求出xy
y x 、+的值或它们的关系，自然想到指数运算律．
【例3】 设d c b a 、、、都是自然数，且17,,2
3
4
5
=-==c a d c b a ，求d 一b 的值． (上海市普陀区竞赛题)
思路点拨 设62
3
20
4
5
,n d c m b a ====，这样b a 、可用m 的式子表示．d c 、可用n 的式子表示，减少字母的个数，降低问题的难度．
【例4】))(2(6722
2
B y x A y x y x y xy x +++-=-----．求A 、B 的值．
思路点拨 等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应项系数对应相等，从而可以通过比较对应项系
数来解．
【例5】 是否存在常数p 、q 使得q px x ++2
4
能被522
++x x 整除?如果存在，求出p 、q 的值，
否则请说明理由．
思路点拔 由条件可推知商式是一个二次三项式(含待定系数)，根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出p 、q 的值，所谓p 、q 是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解． 注 运用指数运算率解题，应注意以下几点：
(1)善于变异底为同底； (2)适当地对已知等式进行运算处理，从整体上解决问题． 所谓恒等式，就是指不论用任意数值来代替式中的字母左右两边的值都相等的等式． 如果两个多项式恒等，那么，这两个多项式的对应项系数一定对应相等．
待定系数法是数学中的一种重要方法，在有关整式的恒等变形的解题中经常用到，运用此方法解题的一般步骤是：
(1)根据多项式之间的次数关系，设出一个恒等式，其中有几个待定系数； (2)比较对应项的系数，列出方程组；
(3)解方程组，求出待定系数的值．
学力训练
1．如图，是某住宅的平面结构示意图，图中标注了有关尺寸(墙体厚度忽略不计，单位：米)．房的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，如果他选用地砖的价格是a 元／米2，则买砖至少需要 元(用含a 、x 、y 的代数式表示)． (河北省中考题)
2．若2x+5y —3=0，则4x ．32y ． (绍兴市竞赛题)
3．满足(x —1)200>3200的x 的最小正整数为 ． (2003年武汉市选拔赛试题)
4．d c b a 、、、都是正数，且5,4,3,25
4
3
2
====d c b a ，则d c b a 、、、中，最大的一个是 ． (“英才杯”竞赛题)
5．化简)
2(2)
2(223
4++-n n n 得（ ）． (IT 杯全国初中数学竞赛题) A ．812
1
-+n B ．12+-n C ．87 D ．4
7 6．已知22
33
44
55
6,5,3,2====d c b a ，那么d c b a 、、、从小到大的顺序是( )．
A ．a B ．a C ．b D ．a 3+--=a a a ax 有整数根，则a 的值共有( )． A ． 1个 B ．3个 C ．6个 D ．9个 8．计算(0．04)2003×[(一5)2003]2得( )． (杭州市中考题) A ．1 B ．—l C ． 2003 51 D ．2003 51- 9．已知)3)(32(143762 2 c y x b y x a y x y xy x +++-=+++--，试确定c b a 、、的值． 10．设d c b a 、、、都是正整数，并且19,,2 345=-==a c d c b a ，求a-b 的值． (江苏省竞赛题) 11．已知四位数y x y x 9292?=，试确定)1(9211 2-----y y x x x y x 的值． 12．多项式87522 3 -+-x x x 与多项式112 ++bx ax 的乘积中，没有含4x 的项，也没有含3 x 的项，则 b a +2＝ ． 13．若多项式7432 +-x x 能表示成c x b x a ++++)1()1(2 的形式，则a ＝ ． 14．若012 23344555)12(a x a x a x a x a x a x +++++=-，则42a a + ． (2003年北京市竞赛题) 15．如果多项式1)2)((-+-x a x 能够写成两个多项式(x+3)和(x+b)的乘积，那么a= ，b= ． 16．若22 33 44 55 66,55,33,22====d c b a ，那么d c b a 、、、从小到大的顺序是( )． A ．a>b>c>d B ．a>b>d>c C ．b>a>c>d D ．a>d>b>c (北京市“迎春杯”竞赛题) 17．已知199********,,,,,a a a a a Λ均为正数，又M ))((199732199621a a a a a a ++++++=ΛΛ， N ))((199632199721a a a a a a ++++++=ΛΛ，则M 与N 的大小关系是( )． A ．M=N B ．M =-x x ，则1999731292 3 4 +--+x x x x 的值等于( ) A ．1997 B ．1999 C ．2001 D ．2003 (北京市竞赛题) 19．已知关于x 的整系数二次三项式ax 2十bx+c 当x 取1，3，6，8时，某同学算得这个二次三项式的值分别为l ，5，25，50．经检验，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是( )． A ．当x=1时，ax 2十bx+c=1 B ．当x ＝3时，ax 2十bx+c=5 C ．当x=6时，ax 2十bx+c=25 D ．当x ＝8时，ax 2十bx+c=50 20．已知3x 2-x-1=0，求6x 3十7x 2一5x+1999的值． 21．已知a 是方程01322 =-+x x 的一个根，试求代数式1 31593322 345-+-+++a a a a a a 的值． 22．已知102222=?=?d c b a ，求证：(a 一1)( d —1)=(b 一1)(c 一1)． 23．是否存在整数c b a 、、满足2)15 16()910( )89(=c b a ？若存在，求出 c b a 、、的值；若不存在，说明理由． 242，n 3，n 4，n 5的个位数如表所示 (1)从所列的表中你能发现什么规律? (2)若n 为自然数，和数1981n +1982 n +1983 n +1984 n 不能被10整除，那么n 必须满足什么条件? 第十七讲整式的乘法与除法参考答案 ―――――－―――――――――――――――装――――――订――――――线――――――――――――――――――――――― 班级 姓名 学号 座位号 考场纪律：正常（ ） 不正常（ ） 初二数学培优竞赛题 1.已知△ABC,∠BAF=Rt ∠，∠D=75°，AB=AD,延长BA 作CE ⊥BA 交AB 于点E, ∠BAG=∠CAF （16分） (1)画出与△ABC 面积相等的三角形（要求与图中的任意一条边重合）（4分） (2)当∠D=80°时其余条件不变△ABC 还与你画的三角形面积相等吗？为什么？ 那么如果∠BAF=80°呢？（任选一个你画的三角形证明）（6分） (3)根据(2)(3)题你得出的结论说明在什么条件下才能使你画的三角形于与△ABC 的面积相同（6分） 2.已知直线y=x+3交x 于A ，y 于B ，直线y=-x+2,交x 于C ，y 于D,P 为AB 的中点，过点P,（4，0）两点画直线，交直线y=-x+2于Q （14分） (1)求A,B,C,D,P,Q 的坐标（3分） (2)求直线P,（4，0）的函数表达式（2分） (3)求∠BPQ 的度数（5分） (4)若直线AB 上有点K ，连结KQ ，当△PKQ 为等腰三角形时，求QK 的长以及△PKQ 的面积（4分） 3.已知函数y = -2*x + 3与函数y=ax+b 的夹角为30°（11分） （1）求a,b 的值（1分） （2）设函数y = -2*x + 3在第四象限交的第三个格点为P ，交y 于A 函数y=ax+b 交x 于B ，求ΔABP 的面积和周长（4分） （3）如果直线l 平行于直线y=ax+b ，并与x 轴交于点C,且点C 与点B 对称，求ΔCAP 的 第二十一讲 应用题 趣题引路】 2003年“信利杯”数学竞赛有一道有趣的应用型问题： 某人租用一辆汽车由A 城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：h ）如图21-1所示若汽车行驶的平均速度为80km/h ，而汽车每行驶1km 需要的平均费用为1.2元试指出此人从A 城出发到B 城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？ 图21-1 O H G F E D C B A 5 7 11 151413 61710 12 18 9 解：从A 城出发到达B 城的路线分成如下两类： （1）从A 城出发到达B 城，经过O 城.因为从A 城到O 城所需要最短时间为26h ，从O 城到B 城所需最短时间为22h.所以，此类路线所需最短时间为26+22=48（h ）. （2）从A 城出发到达B 城，不经过O 城。这时从A 城到达B 城，必定经过C ，D ，E 城或F ，G ，H 城，所需时间至少为49h. 综上，从A 城到达B 城所需的最短时间为48h ，所走的路线为A →F →0→E →B.所需的费用最少为80×48×1.2=4608（元）. 在本讲中，将介绍各类应用题的解法与技巧。 知识拓展】 当今数学已经渗人到整个社会的各个领域，因此，应用数学去观察、分析日常生活现象，去解决日常生活问题，成为各类数学竞赛的一个热点。 应用性问题能引导学生关心生活、关心社会，使学生充分体会到数学与自然和人类社会的密切联系，增强对数学的理解和应用数学的信心。 解答应用性问题，关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，将其转化为数学模型.其求解程序如下： 第八讲二次根式的性质和运算趣题引路】 甲、乙两人同时解根式方程7 ，抄题时，甲错抄成7，结果解得其 根为 12 7，结果解得其根为13.已知两人除错抄外，解题过程都是正确的.a、 b、d均为整数，试求a、b的值. 解答如下：将x= 12 7 = 7 ，两边平方得49 a b ++= 可知为非负整 数，也为非负整数；将x=13 代 入7类似 可得49a d -+= ，得到 及.因此12-a和13+a均为完全平方数且-13≤a≤12，故a=12或a=-4或a=-13，因此b=37或b=-3或b=-8. 将错就错，倒求a，b！要求你对二次根式的性质和运算相当熟练，下面我们将深入学习这一内容. 知识拓展】 1.二次根式的性质和运算法则 （ 1）2(0) a a =≥ （ 2 (0) (0) a a a a a ≥ ? =? -< ? （ 3 0,0,0) 0) n a b a b a ≥≥≥> =≥ 2.二次根式的化简 （1）主要思路是有理化.分母有理化和分子有理化是两种基本转换技能. （2）复合二次根式的化简通常有三种途径 ①平方法 ②配方法 ③待定系数法 3.二次根式的大小比较 主要途径有：平方法；求商法；有理化法；几何作图法等. 一、二次根式的化简求值技巧 二次根式的求值问题可归结为几种模式： 1.化成1 x a x + =模式 例1（2001 年河北省竞赛题）已知 ：2=，那 么 的值等于 . 解析：利用两边平方法将已知式变成12x x +=，同时变换待求式，使之出现1 x x +部分，整体代入求值. 解 2=两边平方并整理得1 2x x + =.则： 原式 11==. 2.化成20ax bx c ++=模式 例2 （2001年天津竞赛题）计算 . 2001200019991)1)1)2001--+= . 解析：前三项可提取公因数20011)，为方便，可换元求值： 解 设 x 1，则x - 1 2220x x --= 20012000199919992222001 (22)2001 2001x x x x x x =--+=--+=原式 3 . 例3（2002 解析： 设法把2 写成某个数的平方，采取添项拆项法： 2 21112(411)222??+=+=+=? ? 冀教版2020七年级数学下册第八章整式的乘法自主学习培优练习题3（附答案） 1．下列运算结果正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．下列计算正确的是（ ） A ．()011-=- B ．()111-= C ．()()221a a -÷-= D ．3322a a -= 3．若(x+a)(x+b)的积中不含x 的一次项,那么a 与b 一定是( ) A ．互为相反数 B ．互为倒数 C ．相等 D ．a 比b 大 4．若a 2m ÷a 2n ＝a ，则m 与n 的关系是( ) A ．m ＝n B ．m －n ＝0.5 C ．m ＋n ＝0.5 D ．m －n ＝1 5．在等式a 2·a 4·( )＝a 11中，括号里面的代数式应当是( ) A ．a 3 B ．a 4 C ．a 5 D ．a 6 6．下列计算结果与23m a +不相等的是（ ） A ．3m m a a +? B ．212m a a +? C ．23m a a +? D ．12m m a a ++? 7．代数式23a 可以表示为（ ） A ．2(3)a B ．23a + C ．222a a a ++ D ．222a a a ?? 8．某种感冒病毒的直径为0.0000000031m ，用科学记数法表示为（ ） A ．80.3110-?米 B ．93.110--?米 C ．93.110-?米 D ．93.110-?米 9．若2,1x y x y +=-=，则代数式22(1)x y +-的值为_________. 10．与数字13最接近的整数是__________． 11．计算7x ÷4x 的结果等于____________. 12．目前,世界上计算速度最快的超级计算机是IBM 和美国能源部橡树岭国家实验室推出的新超级计算机Summit ，它一秒钟内可以完成的计算，一个人需要花630亿年的时间才能完成，630亿年用科学计数法表示是_________________年. 13．计算（-a 3）4?（-a ）3的结果是______ ． 14．计算的结果等于______. 15．已知a +b =5，a 2+b 2=19，则ab = ______ ，（a -b ）2= ______ 16．若式子4x 2-nx+1是一个完全平方式，则n 的值为____________. 17．若x m －2y 3·x 3m ＝x 2y 3，求代数式23m 2－m ＋13 的值． 第22讲 几何最值 知识纵横 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。求几何最值问题的基本方式有： 1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，在进行一般情况下的推证。 2.几何定理（公理）法：应用几何中的不变量性质、定理. 3.数行结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。 例题求解 【例1】 如图，在锐角ABC ?中，24=AB ，45=∠BAC ，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，点M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BN BM +的最小值 。 （陕西省中考题） 思路点拨 画折线为直线，综合运用轴对称、垂线段最短等知识。 例1 例2 【例2】 如图，在ABC ?中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与AB 相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、F ，则线段EF 的最小值（ ）。 A.24 B.4.75 C.5 D4.8 （兰州市中考题） 思路点拨 设O 与AB 相切与T ，连OC 、OT,EF 为O 直径，则EF=OE+OF=OC+OT,将问题转化为求OC+OT 的最小值。 【例3】 如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B 、C 重合的任意一点，连接AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ，设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm. (1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值； (2) 当4 1 = y cm 时，求x 的值. （河南省中考题） 思路点拨 利用相似形建立y 与x 的函数关系式，由此导出y 的最大值 例3 奥数培训之趣味数学 生活中的数学： 1、诗仙李白豪放豁达，有斗酒诗百篇的美名，为唐代“饮中八仙”之一， 民间流传李白买酒歌谣，是一道有趣的数学问题：李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一抖，三遇店和花，喝完壶中酒。试问：酒壶中原有多少酒？ 解：设酒壶中原有酒x 斗，“三遇店和花”意思是李白三遇店，同时也三见花。 第一次见店又见花后，酒有：12-x ； 第二次见店又见花后，酒有：1-122）（ -x ； 第三次见店又见花后，喝完壶中酒，所以 依题意，得 ()[]0111222=---x 解方程，得 87= x 答：酒壶中原有酒8 7斗。 2、有甲乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍。”乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们的羊数就一样了”，求两个牧童各有多少只羊。 解：设甲有x 只羊，乙有y 只羊。依题意，得 ()? ??+=--=+11121y x y x 解方程组，得? ??==57y x 所以甲牧童有羊7只，乙牧童有5只。 3、一片牧场上的草长得一样快，已知60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完．那么，若在120天里将草吃完，则需要（ ）头牛 A 、16 B 、18 C 、20 D 、22 分析：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c ，根据60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完，列方程组，用其中一个未知数表示另一个未知数即可求解。 解：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c 。 根据题意，得 ???==???+=?+=?b c b a a c b a c b 120010606030242460解得， 则若在120天里将草吃完，则需要牛的头数是20120120=+b a c 。故选C 。 4、杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A ．一样多． B ．多了． C ．少了． D ．多少都可能． 解：设杯中原有水量为a ，依题意可得， 第二天杯中水量为a ×(1－10%)=0.9a ； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a ； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为199.01.19.01.19.0<=?=??a a 。 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C ． 5、 甲杯中盛有2m 毫升红墨水，乙杯中盛有m 毫升蓝墨水，从甲杯倒出a 毫升到乙杯里（0＜a ＜m ），搅匀后，又从乙杯倒出a 毫升到甲杯里，则这时( )。 A ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少． B ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多． C ．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同． D ．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定． 解：从甲杯倒出a 毫升红墨水到乙杯中以后： 乙杯中含红墨水的比例是a m a +， 乙杯中含蓝墨水的比例是 a m m +， 再从乙杯倒出a 毫升混合墨水到甲杯中以后： 乙杯中含有的红墨水的数量是毫升a m ma a m a a a +=+?- ① 人教版八年级数学第14章全章 整式的乘法与因式分解双基培优 培优练习 一、选择题(12×3=36分) 1. 计算2x 3·x 2的结果是( ) A ．－2x 5 B ．2x 5 C ．－2x 6 D ．2x 6 2. 下列运算正确的是( ) A ．3a 2－2a 2＝1 B ．a 2·a 3＝a 6 C ．(ab )2÷a ＝b 2 D ．(－ab )3＝－a 3b 3 3. 下列多项式中，不能进行因式分解的是( ) A ．－a 2＋b 2 B ．－a 2－b 2 C ．a 3－3a 2＋2a D ．a 2－2ab ＋b 2－1 4. 多项式a (x 2－2x ＋1)与多项式x 2－1的公因式是( ) A ．x －1 B ．x ＋1 C ．x 2＋1 D ．x 2 5. 下列计算错误的是( ) A ．? ?? ??－14x ＋4x 2÷12x ＝－12＋8x B ．3a 2·4a 3＝12a 5 C ．(a ＋3b )(3a ＋b )＝3a 2＋3b 2＋10ab D ．(x ＋y )2－xy ＝x 2＋y 2 6. 计算? ????572 019×? ????752 020×(－1)2 021的结果是( ) A ．57 B ．75 C ．－57 D ．－75 7. 若3x ＝4，9y ＝7，则3x?2y 的值为( ) A ．47 B ．74 C ．－3 D ．27 8. 如图，从边长为(a ＋4)cm 的正方形纸片中剪去一个边长为(a ＋1)cm 的正方形(a ＞0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠，无缝隙)，则长方形的面积为( ) A ．(2a 2＋5a )cm 2 B ．(3a ＋15)cm 2 C ．(6a ＋9)cm 2 D ．(6a ＋15)cm 2 9. 已知a ，b ，c 为一个三角形的三边长，则(a －b )2－c 2的值( ) 八年级 第1题：下列命题： （1）全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等； （2）两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等； （3）两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等； （4）两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等。其中正确命题的个数有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案：B 解析： （1）全等三角形的中线、高、角平分线对应相等，正确 （2）可以先证明两边的夹角相等，再证明两三角形全等，正确 （3）可以用AAS或ASA判定两个三角形全等，正确 （4）参考等高模型，两三角形不一定全等，错误 第2题：如图，在△ABC中，IB，IC分别平分∠ABC和∠ACB，过点I作DE ∥BC，分别交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形； ②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB＋AC，其中正确的是（） A．①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 答案：C 解析： ①因为IB 平分ABC ∠ 所以CBI DBI ∠=∠ 因为DE 平行BC 所以CBI DIB ∠=∠ 所以DIB DBI ∠=∠ 所以BD=DI 所以DBI ?是等腰三角形 ②因为BAC ∠不一定等于ACB ∠ 所以IAC ∠不一定等于ICA ∠ 所以ACI ?不一定是等腰三角形 ③因为三角形角平分线相交于一点，BI 、CI 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线 所以AI 平分BAC ∠ ④因为DI BD =,同理可得EC EI = 所以ADE ?的周长AE EC BD AD AE EI DI AD +++=+++ 第3题：已知△ABC 的三条边长分别为3,4,6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ） A ．6条 B.7条 C.8条 D.9条 答案：B 解析： 根据当11AC BC =，2CC AC =，3BC AB =，44CC AC =，5AC AB = 6AC AB =，77CC BC =时，都可以得到符合题意的等腰三角形 所以共有7条 专题11 巧解二元一次方程组 专题解读】 解二元一次方程组的基本思路是“消元”，常用的解法有两种：“代入法”与“加减法”，这两种解法的基本思想是通过消元把二元一次方程组化为一元一次方程.对于一些特殊形式的方程组，如果我们能够通过观察发现其结构特征与规律，比如其未知数的系数、常数项的特征，那么我们就可采用灵活、巧妙的方式进行变式，从而最终达到消元的目的. 思维索引 例1.解方程组：（1）9779212, 7997140; x y x y +=??+=?①② （2）()()3536, 3436; x x y y x y ?++=??++=?? ①② 例2.解方程组：（1）23237, 43 23238; 32x y x y x y x y +-?+=???+-?+=??①② （2）12, 57 12; 7 5 x y x y ?+=??? ?+=??①② 例3.（1）当a 取什么值时，方程组5331x y a x y +=??+=?的解是正数？ （2）要使方程组21x ky k x y +=??-=? 的解都是整数，k 应取哪些整数值？ 素养提升 1.若2310x y z ++=，43215x y z ++=，则x y z ++的值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 2.解方程组32 3 2411 75 1 x y z x y z x y z -+=?? +-=??+-=?①②③，若要使运算简便，消元的方法应选取（ ） A.先消去x B.先消去y C.先消去z D.以上说法都可 3.若237 a b c ==，且12a b c -+=， 则23a b c -+等于（ ） A. 3 7 B.2 C.4 D.12 4.若201720182016 201820172019 x y x y +=??+=?①② ，则()()23 x y x y ++-的值是（ ） A.28 B.0 C.10 D.19 5.今有上等谷子三捆，中等谷子二捆，下等谷子一捆，共得谷子三十九斗；如果有上等谷子二捆，中等谷子三捆，下等谷子一捆，共得谷子三十六斗：上等谷子一捆，中等谷子二捆，下等谷子三捆，共得谷子三十三斗，则上、中、下三等谷子一捆各有斗数是（ ） A.3，3，4 B.8，5，5 C.7，9，12 D.12，13，14 6.已知代数式2ax bx c ++，当1x =-时，其值为4；当1x =时，其值为8；当2x =时，其值为25；则当3x =时，其值为 . 7.一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，这对夫妇共有子女 个. 8.在解关于x 、y 的方程组()()2 1 21 4 ax b y b x ay ?+-=??--=??① ②时，可以用2?-①②消去未知数x ，也可用 4?+?①②3消去未知数y .则a = ，b = . 9.当2x =-，1y =，或1x =-，2y =，或0x =，1y =时，等式220x y Dx Ey F ++++=都成立，则D = 、E = 、F = 10.某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成.如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排 名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套. 11.解方程组：（1）361463102 463361102 x y x y +=-??+=? ① ② （2）73890 2367180 x y x y -=??-=? ① ② 例1 （1）本题先结合平行四边形性质，根据ASA得出△ABM≌△CDN，从而得出DN=BM，AM=CN；再由三角形中位线得出CN=MN，BM=DN=2NF，同时推翻AM=AC、S△AMB= S△ABC． （2）用大五边形面积减去3个三角形面积即可求得结果 （三角形ABD、三角形ACE、三角形ABC）； ∴△BDF、△EFC均为RT三角形 例2平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，任取两个进行推理． 解：根据平行四边形的判定，符合四边形ABCD是平行四边形条件的有九种：（1）（2）；（3）（4）；（5）（6）；（1）（3）；（2）（4）；（1）（5）；（1）（6）；（2）（5）；（2）（6）共九种． 例3熟记平行四边形的判定，其中对角线互相平分，是平行四边形，延长AC 后，证明AD∥BC，然后再证明三角形全等，证得对角线互相平分，得到结论． 证明：延长AC，在C上方取N，A下方取M，使AM=AE，CN=CF，则由已知可得PM=PN，易证△PME≌△PNF，且△AME，△CNF都是等腰三角形． ∴∠M=∠N，MEP=∠NFP ∴∠AEP=∠PFC ∴AD∥BC， 可证得△PAE≌△PCF，得PA=PC， 再证△PED≌△PFB．得PB=PD． ∴ABCD为平行四边形． 例4（1）先过点E作EG∥CD交AF的延长线于点G，由EG∥CD，AB∥CD，可得，CD∥GE，再有BE∥AG，那么四边形ABEG是平行四边形，就可得，AB=GE=CD，而GE∥CD，会出现两对内错角相等，故△EGF≌△DCF，即EF=DF． 专题24 相交线与平行线 阅读与思考 在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行. 当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键． 两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据． 1．平行线的判定 (1)同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行； (2)平行于同一直线的两条直线平行； (3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行． 2．平行线的性质 (1)过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行； (2)两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补； (3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直. 熟悉以下基本图形： 例题与求解 【例1】 (1) 如图①，AB ∥DE ，∠ABC ＝0 80，∠CDE ＝0 140，则∠BCD ＝__________. （安徽省中考试题） (2) 如图②，已知直线AB ∥CD ，∠C ＝0 115，∠A ＝0 25，则∠E ＝___________. （浙江省杭州市中考试题） 图② A 解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解. 【例2】如图，平行直线AB ，CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有( )． A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对 （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手． C D B 例2题图 例3题图 【例3】 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC //ED ，CE 是∠ACB 的平分线，求证：∠EDF ＝∠BDF . （天津市竞赛试题） 解题思路：综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质，由于图形复杂，因此，证明前注意分解图形． 【例4】 如图，已知AB ∥CD ，∠EAF ＝ 41∠EAB ，∠FCF ＝41∠ECD .求证：∠AFC ＝4 3 ∠AEC . （湖北省武汉市竞赛试题） D E C A B 图1 配方法 把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。 配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。 运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。熟悉以下基本等式： 1.222)(2b a b ab a ±=+± 2.2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++； 3.[] 2222 2 2 )()()(2 1 a c c b b a ca b c ab c b a ±+±+±= ±±±++ 4.a b ac a b x a c bx ax 44222 2 -+ ??? ? ?+=++ 【例1】已知y x ,实数满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为 （镇江市中考题） 思路点拨 把y 用x 的式子表示，通过配方法求出y x +的最大值。 【例2】已知c b a 、、，满足722 =+b a ，122 -=-c b ， 1762 -=-a c ，则c b a ++的值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 （河北省竞赛题） 思路点拨 由条件等式的特点，从整体叠加配方入手 【例3】已知a 是正整数，且a a 2004 2 +是一个正整数的平方，求a 的最大值。 （北京市竞赛题） 思路点拨 设2 2 2004m a a =+（m 为正整数），解题的关键是把等式左边配成完全平方式。 【例4】已知c b a 、、是整数，且01,422 =-+=-c ab b a ，求c b a ++的值 （浙江省竞赛题） 用十字相乘法分解因式 【知识精读】 对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式 x a b x ab x a x b 2()进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。 对于二次三项ax bx c 2（a 、b 、c 都是整数，且a 0）来说，如果存在四个整数 a c a c 1122，，，满足a a a c c c 12 12，，并且a c a c b 1221，那么二次三项式ax bx c 2即a a x a c a c x c c 122122112可以分解为a x c a x c 1122。这里要确定四个常数a c a c 1122，，，，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。 下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。 【分类解析】 1. 在方程、不等式中的应用 例1. 已知：x x 211240，求x 的取值范围。 分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。 解：x x 211240x x x x x x x x 38 030 80308083 或或例2. 如果x x mx mx 43222能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m 的值，并把这个多项式分解因式。 分析：应当把x 4分成x x 22，而对于常数项-2，可能分解成12，或者分解成21，由此分为两种情况进行讨论。 解：（1）设原式分解为x ax x bx 2212，其中a 、b 为整数，去括号，得：x a b x x a b x 43222 将它与原式的各项系数进行对比，得： a b m a b m 1122，，解得：a b m 101，，此时，原式x x x 2221（2）设原式分解为x cx x dx 2221，其中c 、d 为整数，去括号，得： x c d x x c d x 43222 将它与原式的各项系数进行对比，得： c d m c d m 1122，，解得：c d m 011，，此时，原式 x x x 22212. 在几何学中的应用 例. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足 x y x xy y 22220，求长方形的面积。 分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。 解：x y x xy y 22220x xy y x y x y x y x y x y 2222202021 0()x y 20或x y 10又x y 8x y x y x y x y 208108或解得：x y 53或x y 3545 ..∴长方形的面积为15cm 2或63 42 cm 3、在代数证明题中的应用 例. 证明：若4x y 是7的倍数，其中x ，y 都是整数，则810322 x xy y 是49的倍数。 第三十讲 创新命题 计算机技术与网络技术的迅猛发展，深刻改变了我们的学习方式、生活方式与思维方式．IT 技术、Cyber 空间、bemgdigital(数字化生存)等新概念层出不穷． 与时俱进，科学的发展对数学的需求，不断提出了新问题，在解决新问题的过程中又产生了许多新方法．近年各地中考、各级竞赛出现了丰富的以考查创新意识、创造精神为目的的创新命题，归纳起来有以下类型： 1．定义一种新运算； 2．定义一类新数； 3．给定一定规则或要求，然后按上述规则要求解题； 4．注重跨学科命题． 解创新命题时，需要在新的问题情境下，尽快适应新情况，充分运用已学过的数学知识方法去创造性地思考解决问题，对培养阅读理解能力、创新能力、提高学习兴趣有重要的促进作用． 例题 【例1】 一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16＝52－32，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1990个“智慧数”是 ． (北京市竞赛题) 思路点拨 自然数可分为奇数与偶数，从分析奇数与偶数中“智慧数”的特征入手． 注： 定义新数，即给出一种特殊的概念或满足某种特殊的关系，解这类问题的关键是准确全面理解“新数”的意义，通过推理解决问题． 【例2】 在甲组图形的4个图中，每个图是由4种简单图形A 、B 、C 、D(不同的线段或圆)中的某两个图形组成的，例如由A 、B 组成的图形记为B A ?，在乙组图形的(a)、(b)、(c)、(d)4个图中，表示“D A ?”和“C A ?”的是( ) ． A ．(a)，(b) B ．(b)，(c) C ． (c)，(d) D ．(b)，(d) (江苏省竞赛题) 思路点拨 从甲组图形中，两两比较A 、B 、C 、D 分别代表的哪种线段，哪种圆． 【例3】 有依次排列的3个数：3，9，8．对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，－1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，－10，－1，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少? ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 用字母表示数，通过对一般性的考查，探求新增数之和的规律，以此作为解题的突破口． 【例4】 设[x]表示不超过x 的最大整数(如[3.7]＝3，[－3.7]＝－4)解下列了程： (1)[－l. 77x]＝[－1.77]x ；(x 为非零自然数) (四川省选拔赛试题) (2)[3x+1]=2x － 2 1 (全国初中数学联赛题) 思路点拨 解与[x]相关的问题，关键是去掉符号“[ ]”，需灵活运用[x]的性质，并善于把估算、等式与不等式知识综合起来． 注：解决实际问题及计算机的运算时，常常需要对一些数据进行取整运算，即用不超过它的最大整数取而代之．[x]有以下基本性质： (1)x=[x]+r ，0≤r 第14讲 整式的乘法期末复习培优专题 一、知识点： 1. 幂的运算性质（其中m 、n 、p 都为正整数）： 1.m n m n a a a +?=2．()m n mn a a =3．()n n n ab a b = 4．m n m n a a a -÷= 5．011(0)(0)p p a a a a a -=≠= ≠， 2. 整式的乘法 3．乘法公式：⑴()()22b a b a b a -=-+. ⑵()2222b ab a b a +±=± ⑶()bc ac ab c b a c b a 2222222+++++=++ ⑷()()3322b a b ab a b a ±=+± ⑸()3223333b ab b a a b a ±+±=± 专题一 ：幂的运算性质及其逆用 例、1、计算⑴（-0.125）2013× 82014＝_______ 2001100021()(2)34 -?＝_______________ ⑵200120022003113(1)(1)()345 ?-?-＝____________________ 2、（1）若10x =2 ,10y =3，求103x+2y 和102x-3y 的值。 (2)若的值。，求正整数n n 24n 21682=??（3）若的值。，求b a b a 2395 110,2010÷== 专题二、整式的乘法及除法 例1计算 （1）35433660)905643(ax .ax .x a x a ÷-+- (2）)250(24 1)2)(5(54423x .x x x x -?-?-- (3))13)(25()13)(34()2)(1(3---+-+-+x x x x x x 数学：全国数学竞赛或联赛的题要做，黄东坡的《培优竞赛新方法》的竞赛内容。物理：省赛水平，力电为主，去年光声都没考。 语文：古文要注意，作文关注社会热点。 英语：看高中词汇，做高考阅读和完型填空。 化学：去年没考，建议天原杯的原题。 面试：10个科普，一个一分钟回答，一个动手能力操作，一个团队合作项目，再问你什么事情让你成长最多。面试时要努力争取发表意见的机会但不要让人觉得你爱出风头过于张扬，要把握一个度。 科普：书香门第是什么意思？被蚊子叮了为什么痒？兔子上山快还是下山快为什么？NBA单场最高得分是多少？ 一分钟：砖块的用处？空城计被识破了会怎么样？ 团队合作：每人在一张纸上画一笔，并起一个名字。 动手：如何把一张纸变得最长，要有创意。 数学是最难的一门，甚至有好多高中奥赛的题，千万不要指望都做出来，重要的是心态，不要慌，能做多少做多少就行了。 语文重要的是阅读量，都是初中生没看过的，如果你平常看的课外书比较多，应该不成问题。 英语吗，我英语比较好，当时考了全河北省第一，所以觉得比较简单，呵呵，给不出什么建议，抱歉啦。 物理不难，要做一本叫《初中生物理培优教程》，有大量原题。 面试要落落大方，大胆些，抢到说话的主动权，无论发生什么紧急状况，千万不要怵，因为那是评委给你设的套！ 题目很多，我是去年的，我们先是自我介绍，然后专家会根据你的介绍向个人提问题。不过，呵呵，有的会问提前写好的问题，我们那一组有两道题挺好“如果照相时摄影师没有安排你位置，你会选择坐在哪里？”，“你如何看待学校里阴盛阳衰（女生比男生强势）的问题？”反正，我觉得这种题，你最好答的成熟一些，比如我前面有个人答第一个题，她竟说在最边上！当时我觉得她就挂掉了。不过因人而异，表达自己就好，专家通常能看出你是不是很真实，最忌讳虚假！！！然后就是看了一幅图片，我记得当时是一只母鸡喂养一只小狗，然后写下自己的感想，然后依次发言，我的建议，写的不要太详细，关键字写上就好，这样发言时自由空间比较大。然后是动手操作，我知道两道题：用一个纸杯，一根吸管，胶带，一根牙签（好像是），一个组做一个能下落时间最长的飞行器，一个组我记得是做能从斜面上滑下能直线运动且运动最远的模型。反正你只要做得比同组人做的好就行了。比较式的那种呵呵，你比同组强就行了。我是女生，我觉得女生其实挺占优势，至少我们做得差不多就行了，不过最后的环节，他们问你可不可以实验一下，一定要实验哦，否则我个人认为你的主动性得分就会大打折扣。还有最简单有效的模型有时就比奇异形状好。既省时间，又好想。最后一个环节，我们是集体合作将一个字改成画，“旮”。我们组做得超级好。因为我们提前就商量 超级资源：（合集）八年级数学培优和竞赛讲义附练习及答 案（15套） 1、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式. 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法. 它的理论依据就是乘法分配律. 多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂. （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式. 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号. 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式 变换. 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 ) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987 521136898745613689872681368987123? +?+?+? 分析：算式中每一项都含有987 1368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果. 解：原式)521456268123(1368987 +++?= =?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23 532 x y x y +=-=-?? ?，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值. 分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果. 解：()()()()()()()223322233253x y x y x x y x y x y x x y x y +-++=+-+=+- 把2x y +和53x y -分别为3和-2带入上式，求得代数式的值是-6. 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数n ，3 2322 2n n n n ++-+-一定是10的倍数. 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可. 3 23233222 222n n n n n n n n ++++-+-=+-- =+-+=?-?33122110352 22n n n n ()() Θ对任意自然数n ，103?n 和52?n 都是10的倍数. ∴-+-++3 2322 2n n n n 一定是10的倍数 5、中考点拨： 第二十讲 点共线与线共点 趣题引路】 例1 证明梅涅劳斯定理： 如图20-1，在△ABC 中，一直线截△ABC 的三边AB 、AC 及BC 的延长线于D 、E 、F 三点。 求证： 1=??DB AD EA CE FC BF 解析:左边是比值的积，而右边是1，转化比值使其能约简，想到平行线分线段成比例作平行线即可. 证明过点C 作CG /∥EF 交AB 于G . ,,BF BD EC DG CF DG AE AD ∴== ∴ 1=??=??BD AD AD DG DG BD BD AD EA CE FC BF 例2 证明塞瓦定理： 如图20-2，在△ABC 内任取一点P ，直线AP 、BP 、CP 分别与BC 、CA 、AB 相交于D 、E 、F ，求证： 1=??FB AF EA CE DC BD 证明,,.BCP ACP ABP ACP BAP BCP S S S BD CE AF DC S EA S FB S ??????=== ∴ 1=??=????????BCP ACP ABP BCP ACP ABP S S S S S S FB AF EA CE DC BD 知识拓展】 1.证明三点共线和三线共点的问题，是几何中常遇到的困难而有趣的问题，解这类问题一定要掌握好证三点共线和三线共点的基本方法。 2.证明三点共线的方法是： （1）利用平角的概念，证明相邻两角互补、 （2）当AB ±BC =AC 时，A 、B 、C 三点共线。 （3）用同一方法证明A 、B 、C 中一点必在另两点的连线上。 （4）当AB 、BC 平行于同一直线时，A 、B 、C 三点共线。 （5）若B 在PQ 上，A 、C 在P 、Q 两侧，∠ABP =∠CBQ 时，A 、B 、C 三点共线. （6）利用梅涅劳斯定理的逆定理. 3.证明三线共点的基本方法是： （1）证明其中两条直线的交点在第三条直线上 （2）证明三条直线都经过某一个特定的点. （3）利用已知定理，例如任意三角形三边的中垂线交于一点，三条内角平分线交于一点，三条中线交于一点以及三条高所在直线交于一点等。 （4）利用塞瓦定理的逆定理。 在证题过程中要根据题意灵活选用方法。 例1 如图20-3，已知BD =CE ，求证：AC ·EF =AB ·DF . 图20-1 图20-2初二数学培优竞赛题
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