非线性发展方程的丰富的Jacobi 椭圆函数解
3
吕大昭
(北京建筑工程学院基础部,北京 100044)(2004年8月26日收到;2005年2月21日收到修改稿)
通过把十二个Jacobi 椭圆函数分类成四组,提出了新的广泛的Jacobi 椭圆函数展开法,利用这一方法求得了非线性发展方程的丰富的Jacobi 椭圆函数双周期解.当模数m →0或1时,这些解退化为相应的三角函数解或孤立波解和冲击波解.
关键词:非线性发展方程,Jacobi 椭圆函数,双周期解,行波解
PACC :0340K,0290
3北京建筑工程学院基础科学基金(批准号:1004048)资助的课题.
通信作者.E 2mail :lvdazhao86@https://www.doczj.com/doc/b88465900.html,
11引言
直接寻找非线性发展方程的精确解在非线性科
学中占有非常重要的地位.因此,近几年来人们提出
了许多方法[1—3]
.最近,刘式适等人提出了Jacobi 椭
圆函数展开法[4,5]
,求得了一大类非线性发展方程的周期解,包括对应的冲击波解和孤立波解;随后,张善卿等人利用秩的概念扩充了Jacobi 椭圆函数展开
法的应用范围[6]
,得到了更多的非线性发展方程的周期解;而闫、沈和李等人分别推广了Jacobi 椭圆函
数展开法的展开形式[7—14]
,获得了非线性发展方程更多的周期解;刘等人将在行波变换下的Jacobi 椭
圆函数展开法推广到一般函数变换下进行[15]
,得到了非线性发展方程的新的周期解.然而,我们仍然认
为这些方法[2—15]
是部分展开法,本文通过对十二个Jacobi 椭圆函数的性质进行深入研究,将它们分类成四组,从而提出了更一般的广泛的Jacobi 椭圆函数展开法,利用这一方法得到了非线性发展方程的丰富的周期解,在极限情形,这些解也可以退化为对应的冲击波解和孤立波解或三角函数解.
21广泛的Jacobi 椭圆函数展开法
首先在对十二个Jacobi 椭圆函数的性质进行深
入的研究之后,发现可以将它们分类成四组,即
(i )sn ξ,cn ξ和dn ξ
(ii )ns ξ=1sn ξ,cs ξ=cn ξsn ξ和ds ξ=dn ξ
sn ξ(iii )sc ξ=sn ξcn ξ,nc ξ=1cn ξ和dc ξ=dn ξ
cn ξ(iv )sd ξ=
sn ξdn ξ,cd ξ=cn ξdn ξ和nd ξ=1
dn ξ
其次,在上面分析的基础之上,我们提出了如下的广泛的Jacobi 椭圆函数展开法.
步骤1 约化偏微分方程到常微分方程对于给定的非线性发展方程
P (u ,u x ,u t ,u xx ,u xt ,u tt ,…)=0.(1)在行波变换
u =u (ξ),ξ=k (x -λt )
(2)
下,(1)式约化为如下的常微分方程
G u ,d u d ξ,d 2
u
d ξ
2, 0
(3)
步骤2 假设有限级数形式解
设常微分方程(3)有如下形式的Jacobi 椭圆函数有限级数解
u (ξ
)=a 0+a 1sn ξ+b 1cn ξ+c 1dn ξ+
∑
n
i =2
sn i -2
ξ(a i sn 2ξ+b i sn ξcn ξ
+c i sn ξdn ξ+d i cn ξdn ξ
)(4.1)
u (ξ
)=a 0+a 1ns ξ+b 1cs ξ+c 1ds ξ+
∑
n
i =2
ns i -2
ξ(a i ns 2ξ+b i ns ξcs ξ
+c i ns ξds ξ+d i cs ξds ξ
)(4.2)
第54卷第10期2005年10月100023290Π2005Π54(10)Π4501205
物 理 学 报
ACT A PHY SIC A SI NIC A
V ol.54,N o.10,October ,2005
ν2005Chin.Phys.S oc.
u (ξ
)=a 0+a 1sc ξ+b 1nc ξ+c 1dc ξ+
∑
n
i =2
sc i -2ξ(a i sc 2
ξ+b i sc ξnc ξ
+c i sc ξdc ξ+d i nc ξdc ξ
)(4.3)
u (ξ
)=a 0+a 1sd ξ+b 1cd ξ+c 1nd ξ+
∑
n
i =2
sd i -2
ξ(a i sd 2
ξ+b i sd ξcd ξ
+c i sd ξnd ξ+d i cd ξnd ξ
)(4.4)
其中n 是待定参数.
步骤3 确定参数n 的值定义u (ξ
)的次数为D[u (ξ)]=n ,则D d m
u
d ξm
=n +m ,D d m u
d ξ
m q
=q (n +m ),
D u
p
d m u
d ξ
m q
=np +q (n +m )
通过平衡(3)式中的最高阶导数项和非线性项,可以确定n 的值.
步骤4 获得超定代数方程组
把(4)式代入到(3)式中可以得到一个关于Jacobi 椭圆函数的方程,然后进行约化,合并同幂次
项,最后令它们的系数为零,则获得了一个关于未知
数k ,λ,a 0,a i ,b i ,c i ,d i +1(i =1,2,…
)的超定代数方程组.利用吴2特征列方法解此超定代数方程组[16]
,
得到k ,λ,a 0,a i ,b i ,c i ,d i +1(i =1,2,…
)的值.步骤5 求得丰富的Jacobi 椭圆函数解
把从步骤4得到的k ,λ,a 0,a i ,b i ,c i ,d i +1(i =1,2,…
)的值代入到(4)式,我们就能获得丰富的Jacobi 椭圆函数双周期解.
评论 我们的方法比Jacobi 椭圆函数展开法及其推广方法
[2—15]
更加广泛.即,用方法
[2—15]
求得到的
非线性发展方程的精确解仅仅是用我们的方法所求得到的解的特例.另外,广泛的Jacobi 椭圆函数展开法易于在计算机上执行.
31例子和应用
3111K dV 方程
u t +uu x +βu xxt =0
(5)
把(2)式代入到(5)式,得
-λ
d u d ξ+u d u d ξ+βk 2d 3
u
d ξ
3=0.(6)
平衡(6)式中的最高阶导数项和非线性项得n =2.
因此,利用步骤4—5,我们能获得下面丰富的Jacobi 椭圆函数解,其中0≤m ≤1是Jacobi 椭圆函数的模数.另外,定义a ±b =a +b 或a -b ;a ±b ±c =a
+b +c 或a -b -c ;a +-+b -++c =a +b -c 或a -b
+c 或a +b +c ;a -++-b -+-+c +
+--d =a -b -c +d 或a +b +c +d 或a +b -c -d 或a -b +c -d ,等等.
311111sn ξ,cn
ξ和dn ξ展开法利用(411)式,得到K dV 方程(5)的解:
u 1=4βm 2
k 2
+4βk 2
+λ-12βm 2
k 2
sn 2
(k (x -λt ));u 2=βm 2
k 2
+βk 2
+λ-6βmk 2
(m sn 2
(k (x -λt ))
±cn (k (x -λt )dn (k (x -λt ))).311121ns ξ,cs
ξ和ds ξ展开法利用(412)式,得到K dV 方程(5)的解.
u 3=4βm 2k 2+4βk 2+λ-12βk 2ns 2
(k (x -λt ));
u 4=4βm 2
k 2
+βk 2
+λ-6βk 2
(ns 2
(k (x -λt ))
±ns (k (x -λt ))cs (k (x -λt )));
u 5=βm 2
k 2
+4βk 2
+λ-6βk 2
(ns 2
(k (x -λt ))
±ns (k (x -λt ))ds (k (x -λt )));
u 6=βm 2
k 2
+βk 2
+λ-6βk 2
(ns 2
(k (x -λt ))
±cs (k (x -λt ))ds (k (x -λt )));
u 7=βm 2
k 2
+βk 2
+λ-3βk
2
ns 2
(k (x -λt ))
-+-+
ns (k (x -λt ))cs (k (x -λt ))) +
+--ns (k (x -λt ))ds (k (x -λt ))-++-cs (k (x -λt ))ds (k (x -λt )).311131sc ξ,nc ξ和dc ξ展开法
利用(413)式,得到K dV 方程(5)的解.
u 8=4βm 2
k 2
-8βk 2
+λ
-12βk 2(1-m 2)sc 2
(k (x -λt ));
u 9=4βm 2k 2-5βk 2
+λ
-6βk 21-m 2(1-m 2sc 2(k (x -λt ))±sc (k (x -λt ))dc (k (x -λt )));
u 10=βm 2k 2-5βk 2
+λ
-6βk
21-m 2
(
1-m 2sc 2
(k (x -λt ))
±1-m 2
sc (k (x -λt ))nc (k (x -λt )));
u 11=βm 2k 2-2βk 2
+λ
2054物 理 学 报54卷
-6βk 21-m 2(1-m 2sc 2
(k (x -λt )) ±nc (k (x -λt ))
dc (k (x -λt )));
u 12=βm 2k 2-2βk 2
+λ
-3βk
2
1-m
2
1-m 2sc 2
(k (x -λt ))
-++-sc (k (x -λ
t ))dc (k (x -λt )) -+-+
1-m 2
sc (k (x -λt ))nc (k (x -λt )) ++--nc (k (x -λ
t ))dc (k (x -λt )).311141sd ξ,cd ξ和nd ξ展开法
利用(414)式,得到K dV 方程(5)的解.
u 13=-8βm 2k 2+4βk 2
+λ
+12βm 2k 2(1-m 2)sd 2
(k (x -λt ));
u 14=-5βm 2k 2+βk 2
+λ
+6βmk
2
1-m
2
m
1-m 2sd 2
(k (x -λt ))
±1-m 2
sd (k (x -λt ))nd (k (x -λt )). 由于在文献[14]中李等人采用的是(411)一种展开形式,所以在适当的选取参数和变换下,文献[14]中求出的K dV 方程的解是我们求出的解的特例.
3121修正的BBM 方程
u t +u x +u 2
u x +αu xxt =0.
(7)
把(2)式代入到(7)式,得
(1-λ)d u d ξ+u 2d u d ξ-αλk 2d 3
u
d ξ
3=0.(8)平衡(8)式中的最高阶导数项和非线性项得n =1.因此,利用步骤4—5,我们能获得下面丰富的Jacobi 椭圆函数解,其中0≤m ≤1是Jacobi 椭圆函数的模数.另外,定义a ±b 等于a +b ,或a -b ;a ±b ±c
等于a +b +c ,或a -b -c ;a -+-b -++c 等于a -b
-c 或a +b +c 或a -b +c ;a --++b +-+-c -++-d 等于a -b +c -d 或a -b -c +d 或a +b +c +d 或a +
b -
c -
d ,等等.
312111sn ξ,cn ξ和dn ξ展开法
利用(411)式,得到修正的BBM 方程(7)的解.
u 1=±mk
-6α
αk 2
m 2+αk 2
-1
×sn kx +
kt
αk 2
m 2
+αk 2
-1;
u 2=±mk
-6α
2αk 2
m 2
-αk 2
+1
×cn kx -kt
2αk 2
m 2
-αk 2
+1
;
u 3=±k
6α
αk 2
m 2
-2αk 2
-1
×dn kx +
kt
αk 2
m 2
-2αk 2
-1;
u 4=k
-3α
αk 2
m 2
+αk 2
+2
×-+-+
m cn kx -2kt
αk 2m 2+αk 2+2 +--+
dn kx -2kt
αk 2m 2+αk 2+2.312121ns ξ,cs
ξ和ds ξ展开法利用(412)式,得到修正的BBM 方程(7)的解.
u 5=±k
-6α
αk 2
m 2
+αk 2
-1
×ns kx +kt
αk 2m 2+αk 2
-1
;u 6=±k
-6α
αk 2
m 2
-2αk 2
-1
×cs kx +kt
αk 2m 2-2αk 2
-1
;u 7=±k
6α
2αk 2
m 2
-αk 2
+1
×ds kx -kt
2αk 2m 2-αk 2
+1
;
u 8=k
-3α
2αk 2
m 2-αk 2
-2
×+-+-ns kx +2kt
2αk 2m 2-αk 2-2 ++--cs kx +2kt
2αk 2m 2-αk 2-2;u 9=k
3α
αk 2
m 2
-2αk 2
+2
×-+-+
ns kx -2kt
αk 2m 2-2αk 2+2 --++
ds kx -2kt
αk 2m 2-2αk 2+2;u 10=k
3α
αk 2
m 2
+αk 2
+2
3
05410期吕大昭:非线性发展方程的丰富的Jacobi 椭圆函数解
×-
+
-
+
cs kx-
2kt
αk2m2+αk2+2
-
-
+
+
ds kx-
2kt
αk2m2+αk2+2.
312131scξ,ncξ和dcξ展开法
利用(413)式,得到修正的BBM方程(7)的解.
u11=±k
-6α(1-m2)αk2m2-2αk2-1
×sc kx+kt
αk2m2-2αk2-1;
u12=±k
6α(1-m2)
2αk2m2-αk2+1
×nc kx-kt
2αk2m2-αk2+1
;
u13=±k
-6α
αk2m2+αk2-1
×dc kx+kt
αk2m2+αk2-1;
u14=k
3α(1-m2)αk2m2+αk2+2
×-
+
+
-
sc kx-
2kt
αk2m2+αk2+2
-
-
+
+
nc kx-
2kt
αk2m2+αk2+2;
u15=k
-3α
2αk2m2-αk2-2
×-
+
-
+
1-m2sc kx+
2kt
2αk2m2-αk2-2
+
+
-
-
dc kx+
2kt
2αk2m2-αk2-2
;
u16=k
3α
αk2m2-2αk2+2
×+
-
+
-
1-m2nc kx-
2kt
αk2m2-2αk2+2
+
+
-
-
dc kx-
2kt
αk2m2-2αk2+2.
312141sdξ,cdξ和ndξ展开法
利用(414)式,得到修正的BBM方程(7)的解.
u17=±mk
-6α(1-m2)
2αk2m2-αk2+1
×sd kx-kt
2αk2m2-αk2+1
;
u18=±mk
6α
αk2m2+αk2-1
×cd kx+kt
αk2m2+αk2-1;
u19=±k
6α(1-m2)
αk2m2-2αk2-1
×nd kx+kt
αk2m2-2αk2-1;
u20=k
-3α(1-m2)
αk2m2+αk2+2
×
+
+
-
-
m sd kx-
2kt
αk2m2+αk2+2
-
+
+
-
nd kx-
2kt
αk2m2+αk2+2.
41结 论
本文通过把十二个Jacobj椭圆函数分类成四
组,进而提出并利用广义的Jacobi椭圆函数展开法
求出了非线性发展方程的丰富的Jacobi椭圆函数
解,当模数m→0或1时,这些解退化为相应的三角
函数解或孤立波解和冲击波解,限于篇幅,这里从
略.另外,我们省略了已经求出的非线性发展方程的
在物理学中无意义的复数解.
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卿等2003物理学报521066]
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[8]Y an Z https://www.doczj.com/doc/b88465900.html,mun.153145
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Abundant J acobi elliptic function solutions of
nonlinear evolution equations 3
L üDa-Zhao
(Department o f Basic Sciences ,Beijing Institute o f Civil Engineering and Architecture ,Beijing 100044,China )
(Received 26August 2004;revised manuscript received 21February 2005)
Abstract
In this paper ,the twelve Jacobi elliptic functions are divided into four groups ,and a new general Jacobi elliptic function expansion method is proposed to construct abundant doubly periodic Jacobi elliptic function solutions of nonlinear ev olution equations.By this method ,many exact doubly periodic solutions are obtained which shows the powerfulness of this method.When the m odulus m →1or 0,these solutions degenerate to the corresponding solitary wave solutions ,shock wave solutions or trig onometric function (singly periodic )solutions.
K eyw ords :nonlinear ev olution equation ,Jacobi elliptic function ,doubly periodic solution ,travelling solution PACC :0340K,0290
3Project supported by the Basic Science F oundation of Beijing Institute of Civil Engineering and Architecture ,China (G rant N o.1004048).
C orresponding author.E -mail :lvdazhao86@https://www.doczj.com/doc/b88465900.html,
5
05410期
吕大昭:非线性发展方程的丰富的Jacobi 椭圆函数解
差分方程模型的理论和方法 第一节 差分 一、 基本概念 1、差分算子 设数列{}n x ，定义差分算子n n n x x x -=??+1:为n x 在n 处的向 前差分。 而1--=?n n n x x x 为n x 在n 处的向后差分。 以后我们都是指向前差分。 可见n x ?是n 的函数。从而可以进一步定义n x ?的差分： n n x x 2)(?=?? 称之为在n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。 类似可定义在n 处的k 阶差分为： ))((1n k n k x x -??=? 2、差分算子 、不变算子、平移算子 记n n n n x Ix x Ex ==+,1，称E 为平移算子，I 为不变算子 。 则有：n n n n x I E Ix Ex x )(-=-=? I E -=?∴ 由上述关系可得： i n k i i k i k n i k i i k i k n k n k x C x E C x I E x +=-=-∑∑-=-=-=?00)1()1()( （1） 这表明n x 在n 处的k 阶差分由n x 在k n n n ++....1,，处的取值所线性决定。 反之， 由 n n n x x x -=?+1 得 n n n x x x ?+=+1： n n n n x x x x +-=?++1222，得：n n n n x x x x 2122?++-=++, 这个关系表明：第n+2项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和计算。即一个数列的任意一项都可以用其前面的k 项和包括这项在内的k+1 项增量的增量的增量……..第k 层增量所构成。 …….. ,)1(1 0k n i n k i i k i k n k x x C x ++-=-+-=?∑得： n k i n k i i k i k k n x x C x ?+--=+-=-+∑1 0)1( （2）
https://www.doczj.com/doc/b88465900.html, The exp(??(ξ))-expansion Method applied to Nonlinear Evolution Equations Mei-mei Zhao??,Chao-Li School of Mathematics and Statistics,Lanzhou University Lanzhou,Gansu730000,P.R.of China Abstract By using exp(??(ξ))-expansion method,we have obtained more travelling wave solu-tions to the mKdV equation,the Drinefel’d-Sokolov-Wilson equations,the Variant Boussinesq equations and the Coupled Schr¨o dinger-KdV system.The proposed method also can be used for many other nonlinear evolution equations. Keywords exp(??(ξ))-expansion method,Homogeneous balance,Travelling wave solu-tions,Solitary wave solutions,MKdV equation,Drinefel’d-Sokolov-Wilson equations,Variant Boussinesq equations,Coupled Schr¨o dinger-KdV system. 1Introduction It is well known that nonlinear evolution equations are involved in many?elds from physics to biology,chemistry,mechanics,etc.As mathematical models of the phenomena,the inves-tigation of exact solutions to nonlinear evolution equations reveals to be very important for the understanding of these physical problems.Understanding this importance,during the past four decades or so,many mathematicians and physicists have being paid special attention to the development of sophisticated methods for constructing exact solutions to nonlinear evo-lution equations.Thus,a number of powerful methods has been presented such as the inverse scattering transform[1],the B¨a cklund and the Darboux transform[2-5],the Hirota[6],the trun-cated painleve expansion[7],the tanh-founction expansion and its various extension[8-10],the Jacobi elliptic function expansion[11,12],the F-expansion[13-16],the sub-ODE method[17-20],the homogeneous balance method[21-23],the sine-cosine method[24,25],the rank anal-ysis method[26],the ansatz method[27-29],the exp-function expansion method[30],Algebro-geometric constructions method[31]and so on. In the present paper,we shall proposed a new method which is called exp(??(ξ))-expansion method to seek travelling wave solutions of nonliear evolution equations.the ?Corresponding Author. ?E-mail address:yunyun1886358@https://www.doczj.com/doc/b88465900.html,(M.Zhao). 1
第三节 差分方程常用解法与性质分析 1、常系数线性差分方程的解 方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （ 8） 其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（8）为常系数线性方程。 又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （9） 为方程（8）对应的齐次方程。 如果（9）有形如 n n x λ=的解，带入方程中可得： 0 ...1110=++++--k k k k a a a a λλλ （10） 称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。 显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。 基本结果如下： （1） 若（10）有k 个不同的实根，则（9）有通解： n k k n n n c c c x λλλ+++=...2211， （2） 若（10）有m 重根λ，则通解中有构成项： n m m n c n c c λ )...(121----+++
（3）若（10）有一对单复根 βαλi ±=，令：?ρλi e ±=， αβ?βαρarctan ,22=+=，则（9）的通解中有构成项： n c n c n n ?ρ?ρsin cos 21--+ （4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（9）的通项中有成 项： n n c n c c n n c n c c n m m m m n m m ?ρ?ρsin )...(cos )...(1221121---++---+++++++ 综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有k 个独立的任意常数。通解可记为：-n x 如果能得到方程（8）的一个特解：*n x ，则（8）必有通解： =n x -n x +* n x （11） （1） 的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果)(),()(n p n p b n b m m n =为n 的多项式，则当b 不是特征 根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为m 次多项式；如 果b 是r 重根时，可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（8）中确定出系 数即可。
非线性发展方程的丰富的Jacobi 椭圆函数解 3 吕大昭 (北京建筑工程学院基础部,北京 100044)(2004年8月26日收到;2005年2月21日收到修改稿) 通过把十二个Jacobi 椭圆函数分类成四组,提出了新的广泛的Jacobi 椭圆函数展开法,利用这一方法求得了非线性发展方程的丰富的Jacobi 椭圆函数双周期解.当模数m →0或1时,这些解退化为相应的三角函数解或孤立波解和冲击波解. 关键词:非线性发展方程,Jacobi 椭圆函数,双周期解,行波解 PACC :0340K,0290 3北京建筑工程学院基础科学基金(批准号:1004048)资助的课题. 通信作者.E 2mail :lvdazhao86@https://www.doczj.com/doc/b88465900.html, 11引言 直接寻找非线性发展方程的精确解在非线性科 学中占有非常重要的地位.因此,近几年来人们提出 了许多方法[1—3] .最近,刘式适等人提出了Jacobi 椭 圆函数展开法[4,5] ,求得了一大类非线性发展方程的周期解,包括对应的冲击波解和孤立波解;随后,张善卿等人利用秩的概念扩充了Jacobi 椭圆函数展开 法的应用范围[6] ,得到了更多的非线性发展方程的周期解;而闫、沈和李等人分别推广了Jacobi 椭圆函 数展开法的展开形式[7—14] ,获得了非线性发展方程更多的周期解;刘等人将在行波变换下的Jacobi 椭 圆函数展开法推广到一般函数变换下进行[15] ,得到了非线性发展方程的新的周期解.然而,我们仍然认 为这些方法[2—15] 是部分展开法,本文通过对十二个Jacobi 椭圆函数的性质进行深入研究,将它们分类成四组,从而提出了更一般的广泛的Jacobi 椭圆函数展开法,利用这一方法得到了非线性发展方程的丰富的周期解,在极限情形,这些解也可以退化为对应的冲击波解和孤立波解或三角函数解. 21广泛的Jacobi 椭圆函数展开法 首先在对十二个Jacobi 椭圆函数的性质进行深 入的研究之后,发现可以将它们分类成四组,即 (i )sn ξ,cn ξ和dn ξ (ii )ns ξ=1sn ξ,cs ξ=cn ξsn ξ和ds ξ=dn ξ sn ξ(iii )sc ξ=sn ξcn ξ,nc ξ=1cn ξ和dc ξ=dn ξ cn ξ(iv )sd ξ= sn ξdn ξ,cd ξ=cn ξdn ξ和nd ξ=1 dn ξ 其次,在上面分析的基础之上,我们提出了如下的广泛的Jacobi 椭圆函数展开法. 步骤1 约化偏微分方程到常微分方程对于给定的非线性发展方程 P (u ,u x ,u t ,u xx ,u xt ,u tt ,…)=0.(1)在行波变换 u =u (ξ),ξ=k (x -λt ) (2) 下,(1)式约化为如下的常微分方程 G u ,d u d ξ,d 2 u d ξ 2, 0 (3) 步骤2 假设有限级数形式解 设常微分方程(3)有如下形式的Jacobi 椭圆函数有限级数解 u (ξ )=a 0+a 1sn ξ+b 1cn ξ+c 1dn ξ+ ∑ n i =2 sn i -2 ξ(a i sn 2ξ+b i sn ξcn ξ +c i sn ξdn ξ+d i cn ξdn ξ )(4.1) u (ξ )=a 0+a 1ns ξ+b 1cs ξ+c 1ds ξ+ ∑ n i =2 ns i -2 ξ(a i ns 2ξ+b i ns ξcs ξ +c i ns ξds ξ+d i cs ξds ξ )(4.2) 第54卷第10期2005年10月100023290Π2005Π54(10)Π4501205 物 理 学 报 ACT A PHY SIC A SI NIC A V ol.54,N o.10,October ,2005 ν2005Chin.Phys.S oc.
非线性发展方程及其应用 成果简介 本项目是非线性科学中的一个重要的研究方向，共研究的对象是来源于化学反应、微电子学、生物学等领域中用非线性偏微方程描述的动力学模型。因此，它具有交叉学科的特征。所获得的成果不仅为有关学科提供了定量分析的理论依据，而且也能为研究非线性偏微分方程带来新的研究思路和新的研究课题。 1．首次借助于构造适当的上、下控制函数、利用有界边值问题逼近方法，解决了Belensov-Zhabotinskii化学反应模型波前解的存在性，并给出子最小波速的值；同时还给出了一种求解显示行波解的方法。 2．利用摄动初值问题逼近、相空间的打靶法与变分思想，解决了退化的反应扩散方程行波解的存在性，并给出了最小波速的变分刻划和估计； 3．对带有非线性非局部项和非线性边界条件的抛物型方程和方程组的研究，主要利用上、下解方法。但是，上、下解的构造却有很大的灵活性和很高的技巧。我们首次借助于研究非负矩阵的性质，得到了方程组整体解存在的充分必要条件；首次通过构造在有限时刻爆破的精细上解和解的逐次延拓方法研究了解的整体存在性。同时，我们发表在美国数学会会刊上的一篇论文，还否定了Wolainskii于93年发表在SIAM J. Math. Anal.上的一个工作。发表在JMAA上的两篇论文，成功地解决了在边界上带有非线性强迫外力的非线性对流扩散问题。 4．反应扩散方程研究领域的一个基本问题是：扩散是否会引起爆破？多数人认为扩散不会引起爆破且是一个显而易见的问题，不须证明。但是数学结果
总是要证明的，有一部分人就致力于证明，给出了该结论成立的各式各样的充分条件。我们于96年发表在JMAA上的一篇论文给出了一个反例，说明扩散会引起爆破，彻底澄清了这个问题。 5．当反应扩散方程中反应项较扩散项占优时，利用经典有限元、有限差分或有限箱法离散时，解会出现数值振荡，常用的抑制振荡的方法有：S-G方法，SUPG方法等，但都存在局限性。我们从变分原理出发要求振荡最小，建立了新的离散数值理论； 6．半导体器件的漂移扩散模型是一个特殊形式，由非线性抛物型与椭圆型方程耦合起来的，反应扩散方程组，带有混合形式边界条件，特别是载流子又有不同的产生一复合过程，再加上热效应和磁场影响，难度大。我们建立了基于紧致性原理的正则化的统一框架。 该成果获江苏省科技进步二等奖。 非线性统计模型与非线性诊断方法 成果简介 本系统地研究了近代非线性回归模型的几何理论和渐近推断理论，把微分几何方法应用于非线性回归分析；系统地研究了具有广泛应用价值的指数族非线性模型，建立了该模型的几何结构，在此基础上，研究了这些模型基于统计曲率的渐近推断理论以及统计诊断的非线性方法；这些研究填补了国内空白，在国内外都有一定影响。近10年来共获得 3 项国家自然科学基金，1项 95 重点基金，2 项江苏省自然科学基金；出版专著2本，发表论文50多篇,其中国外14 篇，
1、常系数线性差分方程的解 方程 a 0x n k a 1x n k 1 ... a k x n b(n) 其中 a 0 , a 1,..., a k 为常数，称方程（ 8）为常系数线性方程。 又称方程 a 0x n k a 1x n k 1 ... a k x n 为方程（ 8）对应的齐次方程。 第三节 差分方程常用解法与性质分析 9） n 如果（ 9）有形如 x n 的解， 带入方程中可得： k k 1 a 0 a 1 ... a k 1 a k 0 10) 称方程（ 10）为方程（ 8）、 9）的特征方程。
n n n c 1 1 c 2 2 ... c k k ， 若（10） 有 m 重根 ，则通解中有构成项： (c 1 m 1 n c 2 n ... c m n ) 显然， 如果能求出（ 10）的根，则可以得到（ 9）的解。 基本结果如下： 1） 若（10） 有 k 个不同的实根，则（ 9）有通解：
（3）若（10）有一对单复根 综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有k 个独立的任意常数。通解可记为：X n 如果能得到方程（8）的一个特解：X n ，则（8）必有通解: * X n X n + 焉 （11） （1）的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果b （n ）bk m （n ）, pMn ）为门的多项式，则当b 不是特征 根 时，可设成形如 bq m （n ） 形式的特解，其中 q m （n ） 为m 次多项式；如 果b 是 r 重根时，可设特解：b n n r q m （n ） ，将其代入（8）中确定出系 数即可。 arcta n — ，则(9) 的通解中有构成项: C l n . cos n C 2 sin （4）若有 m 重复根: i e ，则 （9）的通项中有成 项: cos n (C m 1 C m 2 n m 1 、 n ? c 2m n ) sin n
第四章 差分方程方法 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等等，但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型，因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。 下面就不同类型的差分方程进行讨论。所谓的差分方程是指：对于一个数列{}n x ，把数列中的前1+n 项()n i x i ,2,1,0=关联起来所得到的方程。 4．1常系数线性差分方程 4.1.1 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为 02211=+?+++---k n k n n n x a x a x a x (4.1) 其中k 为差分方程的阶数，()k i a i ,,2,1 =为差分方程的系数，且()n k a k ≤≠0。对应的代数方程 02211=++++--k k k k a a a λλλ （4.2） 称为差分方程的（4.1）的特征方程，其特征方程的根称为特征根。 常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出差分方程解的形式。 1. 特征根为单根 设差分方程（4.1）有k 个单特征根 k λλλλ,,,,321 ，则差分方程（4.1）的通解为 n k k n n n c c c x λλλ+++= 2211， 其中k c c c ,,,21 为任意常数，且当给定初始条件 ()0i i x x = ()k i ,,2,1 = (4.3) 时，可以惟一确定一个特解。 2. 特征根为重根 设差分方程（4.1）有l 个相异的特征根()k l l ≤≤1,,,,321λλλλ ，重数分别为 l m m m ,,,21 且k m l i i =∑=1 则差分方程（4.1）的通解为
差分方程常用解法 1、 常系数线性差分方程的解 方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （1） 其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（1）为常系数线性方程。 又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （2） 为方程（1）对应的齐次方程。 如果（2）有形如n n x λ=的解，代入方程中可得： 0...1110=++++--k k k k a a a a λλλ （3） 称方程（3）为方程（1）、（2）的特征方程。 显然，如果能求出方程（3）的根，则可以得到方程（2）的解。 基本结果如下： （1） 若（3）有k 个不同的实根，则（2）有通解： n k k n n n c c c x λλλ+++=...2211， （2） 若（3）有m 重根λ(即m 个根均为λ)，则通解中有构成项： n m m n c n c c λ)...(121----+++
（3）若（3）有一对单复根 βαλi ±=，令：?ρλi e ±=， αβ ?βαρarctan ,22=+=，则（2）的通解中有构成项： n c n c n n ?ρ?ρsin cos 21- -+ （4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（2）的通项中有构 成项: n n c n c c n n c n c c n m m m m n m m ?ρ?ρsin )...(cos )...(1221121---++---+++++++ 综上所述，由于方程（3）恰有k 个根，从而构成方程（2）的通解中必有k 个独立的任意常数。通解可记为：-n x 如果能得到方程（1）的一个特解：*n x ，则（1）必有通解： =n x -n x +* n x （4） 方程（4） 的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果)(),()(n p n p b n b m m n =为n 的m 次多项式，则当b 不是特征根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为n 的m 次多 项式；如果b 是r 重特征根时，可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（1） 中确定出系数即可。