二次函数图象与字母系数的关系
教学目标：
1．准确掌握二次函数图象与字母系数a,b,c 以及ac b 42-的符号之间的关系. 2．能通过二次函数的图象确定字母a,b,c 的值及ac b 42-的符号.
教学重点：准确掌握二次函数图象与字母系数a,b,c 以及ac b 42-的符号之间的关系. 教学难点：准确掌握二次函数图象与字母系数a,b,c 以及ac b 42-的符号之间的关系. 教学过程：一、知识构架
知识点：二次函数图象与字母系数a,b,c 以及ac b 42
-的符号之间的关系 （1）a 的符号：由抛物线的开口方向确定 开口向上
a>0 开口向下 a<0
(2)c 的符号：由抛物线与y 轴的交点位置确定 交点在y 轴正半轴 c>0 交点在y 轴负半轴 c<0
交点在坐标原点 c=0
(3)b
的符号：由对称轴的位置及a 的符号确定 对称轴在y 轴左侧 a,b 同号 对称轴在y 轴右侧 a,b 异号 对称轴在y 轴 b=0
(4)ac b 42-的符号：由抛物线与x 轴的交点个数确定 与x 轴有两个交点 042>-ac b 与x 轴有一个交点 042=-ac b 与x 轴无交点 042<-ac b
(5)a+b+c 的符号:因为x=1时,y=a+b+c,所以 a+b+c 的符号由x=1时，对应的y 值确定 a-b+c 的符号:因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c 的符号由x=-1时，对应的y 值确定。
抛物线上几个特殊点的坐标所决定的代数式的正负：（1，a+b+c ）, （-1，a-b+c ）, （2，4a+2b+c ）, （-2，4a-2b+c ）,
(6) 判断2a+b 与2a-b 的正负经常由对称轴与±1的关系确定 二、典型例题
例1 （1） 已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的 位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A 、a ＞0
B 、b ＜0
C 、c ＜0
D 、a+b+c ＞0
（2）已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论：①abc ＞0；②a+b+c=2； ③a ＜；④b ＞1．其中正确的结论是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④
例2 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则一次函数
b ax y +=与反比例函数x
c
y =
在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ）
练习：1.如图001是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象，下列判断：①0b ③0>c ④0<++c b a ⑤02<+b a ，正确的 （填序号） 2.如图002是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象，下列判断：
①042>-ac b ②1>c ③02<-b a ④0<++c b a ⑤)1()(-≠-<+m b a b am m 其中错误的有 （填序号）
3.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则函数x
a
y =与c bx y +=
在同一直角坐标系内的大致图象是（
）
三、课堂小结：谈谈你的收获 四、课下作业
1.如图003是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象一部分,则以下正确的有①a b 2>； ②02=++c bx ax 的两根分别为-3和1；③02<+-c b a ④0=++c b a ⑤08>+c a 其中正确的有 （填序号）
2.如图004是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象，有下列5个结论：
①0>abc ②c a b +<③024>++c b a ④0<++c b a ⑤)1()(≠+<+m b a b am m ⑥b a b am m +≤+)(；你认为其中正确的有 （填序号）
3.抛物线c bx ax y ++=2的顶点为D （-1，2）,与x 轴的一个点A 在点（-3,0）和（-2,0）之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①b 2－4ac ＜0②a ＋b ＋c ＜0③c －a ＝2 ④方程ax 2＋bx ＋c －2=0有两个不相等的实数根.正确的有（）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
4.如图是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象一部分,x=-1是对称轴，有下列判断： ①b-2a=0；②4a-2b+c ＜0；③a-b+c=-9a ；④若（-3，y 1），（2
3
，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2，其中正确的是（ ）
A 、①②③
B 、①③④
C 、①②④
D 、②③④
5.函数b ax y +=的图象经过地一、二、三象限，那么函数bx ax y +=2的图像大致是（ ）
6.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的大致图象如图，下列说法错误的是（ ） A.函数有最小值 B.对称轴是直线2
1=
x C.当2
1
<
x ，y 随x 的增大而减小 D.当－1＜x ＜2时，y ＞0 7.小轩从如图所示的函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象中，观察得出了下面五条信
息：①0>ab ②a+b+c ＜0；③b+2c ＞0；④a-2b+4c ＞0；⑤b a 2
3
=
你认为其中正确信息的个数有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
8.如图所示抛物线是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象，给出下列结论： ①abc ＞0；②b+2a=0；③抛物线与x 轴的另一个交点为（4，0）；④a+c ＞b ；⑤3a+c ＜0． 其中正确的结论有（ ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
题型（三） 二次函数图象与字母系数的关系 1.（2017贵州安顺第10题）二次函数y =ax 2 +bx +c （≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2 ＜0； ②3b +2c ＜0；③4a +c ＜2b ；④m （am +b ）+b ＜a （m ≠1），其中结论正确的个数是（ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2,（2017贵州黔东南州第9题）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，给出下列结论： ①b 2 =4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a ﹣2b +c ＞0，其中正确的个数有（ C ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.（2017山东烟台第11题）二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，对称轴是直线1=x ，下列结论： ①0
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5.(2017山东日照第12题)已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =2，与x 轴的一个交点坐标为 （4，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①抛物线过原点； ②4a +b +c =0； ③a ﹣b +c ＜0； ④抛物线的顶点坐标为（2，b ）； ⑤当x ＜2时，y 随x 增大而增大． 其中结论正确的是（ C ） A ．①②③ B ．③④⑤ C ．①②④ D ．①④⑤ 6.(2017山东菏泽第8题)一次函数b ax y +=和反比例函数x c y =在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数c bx ax y ++=2 的图c 象可能是（ C ）
二次函数的字母系数 今天我们一起来谈一谈二次函数的一般式和顶点式中的字母系数的问题吧！ 例1：如图，根据图形来判别二次函数一般式：)0(2≠++=a c bx ax y 和顶点式：)0()(2≠++=a k m x a y 中字母系数的范围。 解：一般式： 由开口方向可得0>a 由对称轴可得02>-a b 因为0>a 所以0c 顶点式： 由开口方向可得0>a 由对称轴可得0>-m 所以0
大家通过上面的问题应该对于二次函数的一般式)0(2≠++=a c bx ax y 中的字母系数所对应的图像特征应该掌握的不错了，那么对于关于字母系数的一些式子你是否了解呢？下面我们一起来看一看。 例1：如图为二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像，根据图形判别 c b a b a ac b abc +++-、、、242的正负性 解：由开口方向可得0>a 由对称轴可得02>-a b 因为0>a 所以0abc 因为由图可知抛物线与x 轴有两个交点 所以042>-ac b 因为由对称轴可知：12<-a b 因为0>a 所以02>+b a 因为抛物线经过点（1,0），所以0=++ c b a 例2：如图为二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像，根据图形判别 c b a b a ac b abc +---、、、242的正负性 解：由开口方向可得0>a 由对称轴可得 因为0>a 所以0>b 由图像与y 轴交于负半轴，所以0
二次函数图象与字母系数的关系 教学目标： 1．准确掌握二次函数图象与字母系数a,b,c 以及ac b 42-的符号之间的关系. 2．能通过二次函数的图象确定字母a,b,c 的值及ac b 42-的符号. 教学重点：准确掌握二次函数图象与字母系数a,b,c 以及ac b 42-的符号之间的关系. 教学难点：准确掌握二次函数图象与字母系数a,b,c 以及ac b 42-的符号之间的关系. 教学过程：一、知识构架 知识点：二次函数图象与字母系数a,b,c 以及ac b 42 -的符号之间的关系 （1）a 的符号：由抛物线的开口方向确定 开口向上 a>0 开口向下 a<0 (2)c 的符号：由抛物线与y 轴的交点位置确定 交点在y 轴正半轴 c>0 交点在y 轴负半轴 c<0 交点在坐标原点 c=0 (3)b 的符号：由对称轴的位置及a 的符号确定 对称轴在y 轴左侧 a,b 同号 对称轴在y 轴右侧 a,b 异号 对称轴在y 轴 b=0 (4)ac b 42 -的符号：由抛物线与x 轴的交点个数确定 与x 轴有两个交点 042>-ac b 与x 轴有一个交点 042=-ac b 与x 轴无交点 042<-ac b (5)a+b+c 的符号:因为x=1时,y=a+b+c,所以 a+b+c 的符号由x=1时，对应的y 值确定 a-b+c 的符号:因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c 的符号由x=-1时，对应的y 值确定。 抛物线上几个特殊点的坐标所决定的代数式的正负：（1，a+b+c ）, （-1，a-b+c ）, （2，4a+2b+c ）, （-2，4a-2b+c ）, (6) 判断2a+b 与2a-b 的正负经常由对称轴与±1的关系确定 二、典型例题 例1 （1） 已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的 位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞0 （2）已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论：①abc ＞0；②a+b+c=2； ③a ＜；④b ＞1．其中正确的结论是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 例2 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则一次函数 b ax y +=与反比例函数x c y = 在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ） 练习：1.如图001是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象，下列判断： ?0b ?0>c ④0<++c b a ⑤02<+b a ，正确的 （填序号） 2.如图002是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象，下列判断： ?042>-ac b ?1>c ?02<-b a ④0<++c b a ⑤)1()(-≠-<+m b a b am m 其中错误的有 （填序号） 3.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则函数x a y =与c bx y +=在同一直角坐标系内的大致图象是（ ） 三、课堂小结：谈谈你的收获 四、课下作业 1.如图003是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象一部分,则以下正确的有?a b 2>； ②02=++c bx ax 的两根分别为-3和1；?02<+-c b a ④0=++c b a ⑤08>+c a 其中正确的有 （填序号）
小专题(二) 二次函数的图象与字母系数的关系 抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与字母系数a，b，c之间的关系： (1)当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下； (2)若对称轴在y轴的左边，则a，b同号；若对称轴在y轴的右边，则a，b异号；若对称轴为y轴，则b＝0； (3)若抛物线与y轴的正半轴相交，则c>0；若抛物线与y轴的负半轴相交，则c<0；若抛物线经过原点，则c＝0； (4)当x＝1时，y＝ax2＋bx＋c＝a＋b＋c； 当x＝－1时，y＝ax2＋bx＋c＝a－b＋c； 当x＝2时，y＝ax2＋bx＋c＝4a＋2b＋c； 当x＝－2时，y＝ax2＋bx＋c＝4a－2b＋c；…；故要比较a＋b＋c与0的大小，只需看抛物线中横坐标为1的点与x轴的位置关系即可； (5)当对称轴为直线x＝1时，x＝－b 2a ＝1，所以－b＝2a，此时2a＋b＝0；当对称轴为直线x＝－1 时，x＝－b 2a ＝－1，所以b＝2a，此时2a－b＝0；判断2a＋b大于或小于0，看对称轴与直线x＝1的位置关系；判断2a－b大于或小于0，看对称轴与直线x＝－1的位置关系； (6)b2－4ac>0?抛物线与x轴有两个交点； b2－4ac＝0?抛物线与x轴有一个交点； b2－4ac<0?抛物线与x轴无交点． 1．(xx·深圳)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论正确是(C) A．abc＞0 B．2a＋b<0 C．3a＋c<0 D．ax2＋bx＋c－3＝0有两个不相等的实数根
2．(xx·黔东南)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－1，给出下列结论：①b 2 ＝4ac ；②abc＞0；③a＞c ；④4a－2b ＋c ＞0，其中正确的有(C) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．(xx·滨州)如图，若二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a≠0)图象的对称轴为直线x ＝1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A ，点B(－1，0)，则：①二次函数的最大值为a ＋b ＋c ；②a－b ＋c ＜0；③b 2－4ac ＜0；④当y ＞0时，－1＜x ＜3，其中正确的个数是(B) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象如图所示，则|a －b ＋c|＋|2a ＋b|＝(D) A ．a ＋b B ．a －2b C ．a －b D ．3a 5．(xx·达州)如图，二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝2.下列结论：①abc＜0；②9a＋3b ＋c ＞0； ③若点M(12，y 1)，点N(52，y 2)是函数图象上的两点，则y 1＜y 2；④－35＜a ＜－25 .其中正确的有(D) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．(xx·乌鲁木齐)如图，抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 过点(－1，0)，且对称轴为直线x ＝1，有下列结论：①abc<0；②
一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由16世纪的法国数学家韦达发现的．它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用． 【知识要点】 1．如果方程(a≠O)的两根为，，那么，， 这就是一元二次方程的根与系数的关系． 2．如果两个数的和为m，积为n，则以这两个数为根的一元二次方程为．3．若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根．4．求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式． 5．当一元二次方程(a≠O)有两根，时：(1)若，则方 程有一正一负根；(2)若，，则方程有两个正根；(3)若 ，，则方程有两个负根． 【趋势预测】 利用根与系数关系，可以解决许多有关方程的问题，有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程，然后用一元二次方程的知识来解．因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面： ①求方程中字母系数的值或取值范围； ②求代数式的值； ③结合根的判别式，判断根的符号特征；
④构造一元二次方程解题； ⑤证明代数等式，不等式； ⑥与一元二次方程的整数根有关的问题． 【范例解读】 题1(1997·陕西)已知二次方程(ac≠0)有两异号实根m和n，且m
含字母参数的二次函数问题 引入 1.什么是函数？ 2.我们已经学过哪些函数？ 3.对于函数我们需要掌握哪些知识？ 二次函数知识点回顾 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成：()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 4422 -=-=，. 3.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ?? ? ??+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2- =. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶 点为(h ,k )，对称轴是直线h x =. 4.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2 ax y =；②k ax y +=2 ；③ ()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2 ；⑤c bx ax y ++=2.
它们的图像特征如下： 开口大小与｜a ｜成反比，｜a ｜越大，开口越小；｜a ｜越小，开口越大. 5.用待定系数法求二次函数的解析式: （1）一般式：c bx ax y ++=2 .已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 6.二次函数与一元二次方程的关系： （1）一元二次方程20ax bx c ++=就是二次函数c bx ax y ++=2 当函数y 的值为0时的情况． （2）二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、 没有交点；当二次函数 c bx ax y ++=2 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c=0的根． （3）当二次函数c bx ax y ++=2 的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴有一个交点时，则一元 二次方程02 =++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数y ＝ax 2 + bx+c 的图象与 x 轴没有交点时，则一元二次方程02 =++c bx ax 没有实数根． 练习1．请你利用配方法求下列函数的对称轴和顶点坐标。 （1）2 25y x x =++ （2）2 261y x x =+- （3）(2)(5)y x x =++ （4）(23)(1)y x x =+-
含字母系数的二次函数 类型1：根据字母判断函数的形式 例1：已知函数()n mx x n y m -+++=11（m ，n 为实数） 当m ，n 取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x 轴有交点吗？请判断并说明理由； 类型2：图形的变换 例2：将二次函数2()1y x k k =--++的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位后，顶点在直线21y x =+上，则k 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1- 类型3：判定抛物线与直线的交点情况 例3：已知抛物线p ：12 3)1(2-++-=k x k x y 和直线l :2k kx y +=：对下列命题判断真伪，并说明理由：无论k 取何实数值，抛物线p 总与x 轴有两个不同的交点。 拓展：设抛物线p 与y 轴交点为C ，与x 轴的交点为A 、B ，原点O 不在线段AB 上；直线l 与x 轴的交点为D ，与y 轴交点为C 1，当OC 1＝OC ＋2且OD 2＝4AB 2时，求出抛物线的解析式及最小值.
类型4：求二次函数解析式 例4：已知二次函数c ax ax y +-=22的图像与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴正半轴交于点C ，AB=4,OA=OC ，求二次函数解析式。 类型5：有关公式的应用 已知抛物线 21(0,)y ax bx c a a c =++≠≠过点(1,0)A ，顶点为B ，且抛物线不经过第三象限. (1) 使用a 、c 表示b ； (2) 判断点B 所在象限，并说明理由； (3) 若直线22y x m =+经过点B ，且与该抛物线交于另一点(,8)c C b a +， 求当1x ≥时1y 的取值范围.
一．选择题 1. 若实数m满足，则下列对m值的估计正确的是（） A．﹣2＜m＜﹣1B．﹣1＜m＜0C．0＜m＜1D．1＜m＜2 2. 设函数y=kx2+（3k+2）x+1，对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，则m的最大整数值为（）A．2B．﹣2C．﹣1D．0 3. 设a、b是常数，且b＞0，抛物线y=ax2+bx+a2﹣5a﹣6为下图中四个图象之一，则a的值为（） A．6或﹣1B．﹣6或1C．6D．﹣1 4. 小明从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面六条信息： ①c＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b=0；⑤4a+2b+c＞0；⑥一元二次方程ax2+bx+c=0有两异号实根．你认为其中正确信息的个数有（） 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，在下列代数式中（1）a+b+c＞0；（2）﹣4a＜b＜﹣2a（3）abc＞0；（4）5a﹣b+2c＜0；其中正确的个数为（） A．1个B．2个C．3个D．4个 6. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA?OB=﹣． 其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1 7. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论： ①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确结论是（）
A．②④B．①④C．①③D．②③ 8. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC，下列结论：①b＞1且b≠2；②b2﹣4ac＜4a2；③a＞；其中正确的个数为（） A．0B．1C．2D．3 9. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P=a+b+c， 则P的取值范围是（） A．﹣3＜P＜﹣1B．﹣6＜P＜0C．﹣3＜P＜0D．﹣6＜P＜﹣3 10. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论： ①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4ac﹣b2＞8a； 其中正确的结论是（） A．①③④B．①②③C．①②④D．①②③④ 二．填空题 11．（2016?南充）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=经过点（a，bc），给出下列结论：①bc＞0；②b+c＞0；③b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x+=0的两个实数根；④a﹣b﹣c≥3．其中正确结论是 12．（2016?十堰）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，0），且y1＜0＜y2，对于以下结论：①abc＞0；②a+3b+2c≤0；③对于自变量x的任意一个取值，都有x2+x≥﹣；④在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数x0，使得x0=﹣，其中结论错误的是13．（2016?东明县）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是．
二次函数的图象与字母系数的关系 抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与字母系数a、b、c之间的关系： (1)当a>0时，开口向______，当a<0时，开口向______； (2)若对称轴在y轴的左边，则a，b______号 ，若对称轴在y轴的右边，则a，b______号，若对称轴为y轴，则b ______； (3)若抛物线与y轴的正半轴相交，则c______0， 若抛物线与y轴的负半轴相交，则c______0，若抛物线经过原点，则c______0； (4)当x＝1时，y＝ax2＋bx＋c＝________；当x＝－1时，y＝ax2＋bx＋c＝________； 当x＝2时，y＝ax2＋bx＋c＝__________；当x＝－2时，y＝ax2＋bx＋c＝__________；…故要比较a+b+c与0的大小，只需看抛物线中横坐标为1的点与x轴的位置关系即可； (5)当对称轴x＝1时，x＝－b 2a＝______，所以－b＝______，此时2a＋b＝______； 当对称轴x＝－1时，x＝－b 2a＝______，所以b＝______，此时2a－b＝______； 判断2a＋b大于或者等于0，看对称轴与______的大小关系； 判断2a－b大于或者等于0，看对称轴与______的大小关系； (6)b2－4ac>0?二次函数与横轴________交点；b2－4ac＝0 ?二次函数与横轴________交点； b2－4ac<0 ?二次函数与横轴______交点． 1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确是（） A．abc＞0B．2a+b＜0 C．3a+c＜0D．ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，给出下列结论： ①b2＝4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 第1题图第2题图
a,b,c字母系数对二次函数解析式的影响练习 一．选择题（共7小题） 1．（2010?钦州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则 下列结论： ①ac＞0；②a﹣b+c＜0；③当x＜0时，y＜0； ④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根． 其中错误的结论有（） A．②③B．②④C．①③D．①④ 2．（2009?鸡西）二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，则2b+c的值是 （） A．﹣13 B．﹣8 C．﹣5 D．﹣7 3．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过第二、三、四象限，则（） A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＞0，b＞0，c＞0 4．已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（﹣1，1），则ab有（） A．最小值0 B最大值1 C最大值2 D．有最小值﹣0.25 5．（2012?玉林）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结 论：①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则 x1+x2=2，则正确的结论是（） A．①②B．①③C．②④D．③④ 6．（2012?天门）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两 个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a ﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（） A． 3个 B． 2个 C． 1个 D． 0个 7．（2012?日照）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结 论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c=0；④a：b：c=﹣1：2：3．其中 正确的是（） A．①②B．②③C．③④D．①④ 8．（2012?鸡西）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有 下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③4a﹣2b+c＜0；④b=﹣2a．则其中 结论正确的是（） A．①③B．③④C．②③D．①④ 9．（2011?孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其 顶点坐标为（），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac﹣b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2011?兰州）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察 得出了下面四条信息： （1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错 误的有（）A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 1个
第10讲 含字母系数的二次函数 二次函数是初中数学的重要内容之一。含字母系数（参数）的二次函数的研究和讨论，既要灵活运用二次函数图象的基本特征和性质，有时还要综合运用代数式的恒等变形、一元二次方程根的分布、不等式（组）以及几何图形的有关性质等，具有较强的综合性。在解决问题时，要特别注意知识和方法间的密切联系，加强数形结合思想和方法的应用，多角度思考和探索问题解决的途径，进一步优化解题的策略。 一、知识建构 1.二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 图象与直线的交点 （1）与x 轴的交点：①当⊿＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，两个交点坐标分别为（a ac b b 242-+-， 0） 、（a ac b b 242---，0）；当⊿=0时，抛物线与x 轴只有一个交点，交点坐标为（a b 2-，0）；当⊿＜0，抛物线与x 轴没有交点.②有两个交点时，两交点间的距离21x x -=a ac b 42-. （2）与直线)0(≠+=k m kx y 的交点：将)0(2 ≠++=a c bx ax y 与)0(≠+=k m kx y 联立方程组，消去y 得方程：2ax x k b )(-+0)(=-+m c ，当⊿＞0时，抛物线与直线有两个交点；当⊿=0时，抛物线与直线只有一个交点；当⊿＜0，抛物线与直线没有交点.当然，也可以通过消去x 来讨论. 2.图象变换 （1）平移：图象的平移使用顶点式较为简便，其规律是“左加右减” ，“上加下减”.把抛物线 k h x a y +-=2)(向左（右）平移m （m >0）个单位长度，再向上（下）平移n （n >0）个单位长 度，得到的抛物线为：n k m h x a y ±+±-=2 )(. （2）对称：用一般式较简便.①关于x 轴对称：作变量替换，规律为横（坐标）同，纵（坐标）反.抛物线)0(2 ≠++=a c bx ax y 与抛物线)0(2 ≠---=a c bx ax y 关于x 轴对称；②关于y 轴对称：作变量替换，规律为横（坐标）反，纵（坐标）同。抛物线)0(2 ≠++=a c bx ax y 与抛物线 )0()()(2≠+-+-=a c x b x a y 即)0(2≠+-=a c bx ax y 关于y 轴对称；③关于原点对称：作变量替
中考数学总复习专题训练--二次函数图象与字母系数的关系 二次函数y =ax 2+bx +c （≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②3b +2c ＜0；③4a +c ＜2b ；④m （am +b ）+b ＜a （m ≠1），其中结论正确的个数是（ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 如图，抛物线y =ax 2 +bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，给出下列结论： ①b 2 =4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a ﹣2b +c ＞0，其中正确的个数有（ C ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，对称轴是直线1=x ，下列结论： ①0
其中正确结论的个数是（ B ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =2，与x 轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①抛物线过原点； ②4a +b +c =0； ③a ﹣b +c ＜0； ④抛物线的顶点坐标为（2，b ）； ⑤当x ＜2时，y 随x 增大而增大． 其中结论正确的是（ C ） A ．①②③ B ．③④⑤ C ．①②④ D ．①④⑤ 一次函数b ax y +=和反比例函数x c y = 在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数c bx ax y ++=2的图c 象可能是（ C ）
2016年中考数学专题复习一 含字母系数的一元二次方程与函数 知识考点： ⑴ 理解二次函数与一元二次方程之间的关系； ⑵ 会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x 轴的交点情况； ⑶ 会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。 注意事项： ⑴注意题中的“关键字”： ① 方程与一元二次方程；② 函数与二次函数；③ 有实根与有两个实根等等；④ 有两个 实根与有两个不等实根；⑤ 有交点与有两个交点、与x 轴交点和与坐标轴交点等等。 ⑵ 利用“△”时，要注意二次项系数：a ≠0？ ⑶ 利用韦达定理时，要注意检验：△≥0； ⑷ 几何问题与实际问题中，要注意根是否符合实际意义等等。 温故知新 1. (2015·凉山州）关于x 的一元二次方程．．．．．．(m ﹣2)x 2+2x +1=0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A.m ≤3 B.m ＜3 C.m ＜3且m ≠2 D.m ≤3且m ≠2 2.（2010·安徽芜湖）关于x 的方程．．(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根．．．．，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5 3.（2014?莱芜）若关于x 的方程x 2+（k ﹣2）x +k 2 =0的两根互为倒数，则k= ． 4.关于x 的方程2(1)210k x kx k --++= ⑴当k 为何值时，方程有两个不相等实数根；⑵当k 为何值时，方程的两个实数根中，一根是另一根的3倍. 历年荆州中考题： 1.（2013?荆州22题）已知：关于x 的方程．．kx 2 ﹣（3k ﹣1）x +2（k ﹣1）=0 （1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x 1，x 2，且|x 1﹣x 2|=2，求k 的值． 2. （2012·荆州22题）23．(本题满分10)已知：y 关于x 的函数．．y ＝(k －1)x 2 －2kx ＋k ＋2的图象 与x 轴有交点． (1)求k 的取值范围； (2)若x 1，x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足(k －1)x 12＋2kx 2＋k ＋2＝4x 1x 2． ①求k 的值；②当k ≤x ≤k ＋2时，请结合函数图象确定y 的最大值和最大值．
含字母系数的二元一次方程组专题训练 1.关于x , y 方程组?? ?=++=+m y x m y x 232253 满足x-y=4，求22y x -的立方根。 2.满足方程组? ??=++=+m y x m y x 32253 的x , y 的值的和等于2，在平面内有一点A(x , y)且AB//Y 轴，AB=5，求B 点坐标。 3.已知方程组734521 x y x y m +=?? -=-?的解能使等式437x y -=成立，求m 的值． 4.关于x ，y 的二元一次方程组? ??=+=+6325y x k y x 的解也是二元一次方程k y x 9=- 的解，求k 的值． 5.已知关于x,y 的方程组 ???-=+=-6 5222a y x a y x 的解x,y 互为相反数,求a 的值 6.求满足方程组?? ?=-=--20 314042y x m y x 中的y 值是x 值的3倍的m 的值，并求y x xy + 的值。 7.定义已知关于x 、y 的二元一次方程组???=-=+m y x m y x 22362的解满足二元一次方程453=-y x ， 求m 的值。 8.若方程组? ??=+=+5231y x y x 的解也是方程3x+ky=10的一个解，求k.
9.已知 ???-==???==3 221y x y x 和都是方程y=kx+b 的解，求k 、b. 10.已知y=x 2＋px ＋q ，当x=1时，y 的值为2；当x=－2时，y 的值为2。求x=－3时y 的值。 11.已知? ? ?==23y x 是关于x ，y 的方程|ax+by －8|+|ay+bx+7|=0的一个解，求 a 、b 的值 12.使x +4y =|a |成立的x 、y 的值，满足(2x +y -1)2+|3y -x |=0，又|a |+a =0，求a 的值； 13.若243724953=+--++n m n m y x 是关于y x ,的二元一次方程,则m n 的值 14.在解方程组2,78ax by cx y +=??-=?时，哥哥正确地解得3,2. x y =??=-?，弟弟因把c 写错而解得 2,2.x y =-??=? ，求a+b+c 的值． 15.甲、乙两人同时求7=-by ax 的整数解.甲求出一组解为? ??==43y x ，而乙把7=-by ax 中的7错看成1，求得一组解为?? ?==2 1y x ，求a 、b 的值.
题型（三） 二次函数图象和字母系数的关系 1.（2017贵州安顺第10题）二次函数y =ax 2+bx +c （≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0； ②3b +2c ＜0；③4a +c ＜2b ；④m （am +b ）+b ＜a （m ≠1），其中结论正确的个数是（ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2,（2017贵州黔东南州第9题）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，给出下列结论： ①b 2=4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a ﹣2b +c ＞0，其中正确的个数有（ C ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.（2017山东烟台第11题）二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，对称轴是直线1=x ，下列结论： ①0
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5.(2017山东日照第12题)已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =2，和x 轴的一个交点坐标为 （4，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①抛物线过原点； ②4a +b +c =0； ③a ﹣b +c ＜0； ④抛物线的顶点坐标为（2，b ）； ⑤当x ＜2时，y 随x 增大而增大． 其中结论正确的是（ C ） A ．①②③ B ．③④⑤ C ．①②④ D ．①④⑤ 6.(2017山东菏泽第8题)一次函数b ax y +=和反比例函数x c y =在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数c bx ax y ++=2 的图c 象可能是（ C ）