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二次函数图像与字母系数的关系

一．选择题

1. 若实数m满足，则下列对m值的估计正确的是（）

A．﹣2＜m＜﹣1B．﹣1＜m＜0C．0＜m＜1D．1＜m＜2

2. 设函数y=kx2+（3k+2）x+1，对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，则m的最大整数值为（）A．2B．﹣2C．﹣1D．0

3. 设a、b是常数，且b＞0，抛物线y=ax2+bx+a2﹣5a﹣6为下图中四个图象之一，则a的值为（）

A．6或﹣1B．﹣6或1C．6D．﹣1

4. 小明从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面六条信息：

①c＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b=0；⑤4a+2b+c＞0；⑥一元二次方程ax2+bx+c=0有两异号实根．你认为其中正确信息的个数有（）

5. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，在下列代数式中（1）a+b+c＞0；（2）﹣4a＜b＜﹣2a（3）abc＞0；（4）5a﹣b+2c＜0；其中正确的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

6. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA?OB=﹣．

其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1

7. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：

①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确结论是（）

A．②④B．①④C．①③D．②③

8. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC，下列结论：①b＞1且b≠2；②b2﹣4ac＜4a2；③a＞；其中正确的个数为（）

A．0B．1C．2D．3

9. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P=a+b+c，

则P的取值范围是（）

A．﹣3＜P＜﹣1B．﹣6＜P＜0C．﹣3＜P＜0D．﹣6＜P＜﹣3

10. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：

①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4ac﹣b2＞8a；

其中正确的结论是（）

A．①③④B．①②③C．①②④D．①②③④

二．填空题

11．（2016?南充）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=经过点（a，bc），给出下列结论：①bc＞0；②b+c＞0；③b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x+=0的两个实数根；④a﹣b﹣c≥3．其中正确结论是

12．（2016?十堰）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，0），且y1＜0＜y2，对于以下结论：①abc＞0；②a+3b+2c≤0；③对于自变量x的任意一个取值，都有x2+x≥﹣；④在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数x0，使得x0=﹣，其中结论错误的是13．（2016?东明县）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：

①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是．

14．（2016?包头）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1=0；④OA?OB=﹣．其中正确结论的序号是．

15．（2016?聊城模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣1，且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0．其中所有正确的结论是

16．（2016?十堰模拟）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：

①（a+c）2＜b2；②3a+c＜0；③2c+b＞0；④如果一元二次方程ax2+bx+c=﹣3有两个实根x1、x2，那么x1+x2=1．其中结论错误的是．（只填写序号）

17．（2016?历下区二模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；

②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＜0；④b＞a+c；⑤a+2b+c＞0，其中正确的结论有．18．（2016?黄冈模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线X=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1），C （﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确结论是．

19．（2016春?安徽校级月考）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列五条结论：①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③4a+c＜2b；④3b+2c＜0；⑤m（am+b）+b＜a（m≠﹣1）

其中正确的结论是（把所有正确的结论的序号都填写在横线上）

20．（2015?滨州）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，有下列判断：①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c=﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的序号是．

21．（2015?诸暨市模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；

②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；其中正确的个数有个．22．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b ＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有．23．（2015?蜀山区）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：

①b2﹣4ac＞0；②4a+c＞2b；③（a+c）2＞b2；④x（ax+b）≤a﹣b．其中正确结论的是．

24．若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=﹣1，图象经过点（1，0），有下列结论：①abc＜0；②2a﹣b=0；③a+b+c＞0；④b2＞5ac，则以上结论一定正确的个数是．25．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，其中B点坐标为（4，0），直线DE是抛物线的对称轴，且与x轴交于点E，CD⊥DE于D，则下列结论正确的序号为

①a＜0，②b＜0，③b2﹣4ac＞0，④AE+CD=4．

(三)二次函数图象与字母系数的关系(含答案)

题型（三）二次函数图象与字母系数的关系 1.（2017贵州安顺第10题）二次函数y =ax 2 +bx +c （≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2 ＜0； ②3b +2c ＜0；③4a +c ＜2b ；④m （am +b ）+b ＜a （m ≠1），其中结论正确的个数是（ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2,（2017贵州黔东南州第9题）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，给出下列结论： ①b 2 =4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a ﹣2b +c ＞0，其中正确的个数有（ C ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.（2017山东烟台第11题）二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，对称轴是直线1=x ，下列结论： ①0；③0<++c b a ；④03<+c a . 其中正确的是（ C ） A ．①④ B ．②④ C. ①②③ D ．①②③④ 4.（2017四川宜宾第8题）如图，抛物线y 1=1 2 （x +1）2+1与y 2=a （x ﹣4）2﹣3交于点A （1，3），过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于B 、C 两点，且D 、E 分别为顶点．则下列结论： ①a = 2 3 ；②AC =AE ；③△ABD 是等腰直角三角形；④当x ＞1时，y 1＞y 2 其中正确结论的个数是（ B ）

A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5.(2017山东日照第12题)已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =2，与x 轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①抛物线过原点； ②4a +b +c =0； ③a ﹣b +c ＜0； ④抛物线的顶点坐标为（2，b ）； ⑤当x ＜2时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的是（ C ） A ．①②③ B ．③④⑤ C ．①②④ D ．①④⑤ 6.(2017山东菏泽第8题)一次函数b ax y +=和反比例函数x c y =在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数c bx ax y ++=2 的图c 象可能是（ C ）

26.3 二次函数的字母系数

二次函数的字母系数今天我们一起来谈一谈二次函数的一般式和顶点式中的字母系数的问题吧！例1：如图，根据图形来判别二次函数一般式：)0(2≠++=a c bx ax y 和顶点式：)0()(2≠++=a k m x a y 中字母系数的范围。解：一般式：由开口方向可得0>a 由对称轴可得02>-a b 因为0>a 所以0c 顶点式：由开口方向可得0>a 由对称轴可得0>-m 所以0c 顶点式：由开口方向可得0>a 由对称轴可得0<-m 所以0>m 由图像可得顶点在第二象限，所以0>k

大家通过上面的问题应该对于二次函数的一般式)0(2≠++=a c bx ax y 中的字母系数所对应的图像特征应该掌握的不错了，那么对于关于字母系数的一些式子你是否了解呢？下面我们一起来看一看。例1：如图为二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像，根据图形判别 c b a b a ac b abc +++-、、、242的正负性解：由开口方向可得0>a 由对称轴可得02>-a b 因为0>a 所以0abc 因为由图可知抛物线与x 轴有两个交点所以042>-ac b 因为由对称轴可知：12<-a b 因为0>a 所以02>+b a 因为抛物线经过点（1,0），所以0=++ c b a 例2：如图为二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像，根据图形判别 c b a b a ac b abc +---、、、242的正负性解：由开口方向可得0>a 由对称轴可得因为0>a 所以0>b 由图像与y 轴交于负半轴，所以0-ac b 因为由对称轴可知：12-=-a b 所以02=-b a 因为由图可得：当x=-1时，y 的值为负。所以0<++ c b a

二次函数图象与字母系数的关系

二次函数图象与字母系数的关系教学目标： 1．准确掌握二次函数图象与字母系数a,b,c 以及ac b 42-的符号之间的关系. 2．能通过二次函数的图象确定字母a,b,c 的值及ac b 42-的符号. 教学重点：准确掌握二次函数图象与字母系数a,b,c 以及ac b 42-的符号之间的关系. 教学难点：准确掌握二次函数图象与字母系数a,b,c 以及ac b 42-的符号之间的关系. 教学过程：一、知识构架知识点：二次函数图象与字母系数a,b,c 以及ac b 42 -的符号之间的关系（1）a 的符号：由抛物线的开口方向确定开口向上 a>0 开口向下 a<0 (2)c 的符号：由抛物线与y 轴的交点位置确定交点在y 轴正半轴 c>0 交点在y 轴负半轴 c<0 交点在坐标原点 c=0 (3)b 的符号：由对称轴的位置及a 的符号确定对称轴在y 轴左侧 a,b 同号对称轴在y 轴右侧 a,b 异号对称轴在y 轴 b=0 (4)ac b 42 -的符号：由抛物线与x 轴的交点个数确定与x 轴有两个交点 042>-ac b 与x 轴有一个交点 042=-ac b 与x 轴无交点 042<-ac b (5)a+b+c 的符号:因为x=1时,y=a+b+c,所以 a+b+c 的符号由x=1时，对应的y 值确定 a-b+c 的符号:因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c 的符号由x=-1时，对应的y 值确定。抛物线上几个特殊点的坐标所决定的代数式的正负：（1，a+b+c ）, （-1，a-b+c ）, （2，4a+2b+c ）, （-2，4a-2b+c ）, (6) 判断2a+b 与2a-b 的正负经常由对称轴与±1的关系确定二、典型例题例1 （1）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（） A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞0 （2）已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论：①abc ＞0；②a+b+c=2； ③a ＜；④b ＞1．其中正确的结论是（） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 例2 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则一次函数 b ax y +=与反比例函数x c y = 在同一平面直角坐标系中的大致图象为（）练习：1.如图001是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象，下列判断： ?0b ?0>c ④0<++c b a ⑤02<+b a ，正确的（填序号） 2.如图002是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象，下列判断： ?042>-ac b ?1>c ?02<-b a ④0<++c b a ⑤)1()(-≠-<+m b a b am m 其中错误的有（填序号） 3.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则函数x a y =与c bx y +=在同一直角坐标系内的大致图象是（）三、课堂小结：谈谈你的收获四、课下作业 1.如图003是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象一部分,则以下正确的有?a b 2>； ②02=++c bx ax 的两根分别为-3和1；?02<+-c b a ④0=++c b a ⑤08>+c a 其中正确的有（填序号）

2019届九年级数学下册小专题(二)二次函数的图象与字母系数的关系练习 (新版)湘教版

小专题(二) 二次函数的图象与字母系数的关系抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与字母系数a，b，c之间的关系： (1)当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下； (2)若对称轴在y轴的左边，则a，b同号；若对称轴在y轴的右边，则a，b异号；若对称轴为y轴，则b＝0； (3)若抛物线与y轴的正半轴相交，则c>0；若抛物线与y轴的负半轴相交，则c<0；若抛物线经过原点，则c＝0； (4)当x＝1时，y＝ax2＋bx＋c＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝ax2＋bx＋c＝a－b＋c；当x＝2时，y＝ax2＋bx＋c＝4a＋2b＋c；当x＝－2时，y＝ax2＋bx＋c＝4a－2b＋c；…；故要比较a＋b＋c与0的大小，只需看抛物线中横坐标为1的点与x轴的位置关系即可； (5)当对称轴为直线x＝1时，x＝－b 2a ＝1，所以－b＝2a，此时2a＋b＝0；当对称轴为直线x＝－1 时，x＝－b 2a ＝－1，所以b＝2a，此时2a－b＝0；判断2a＋b大于或小于0，看对称轴与直线x＝1的位置关系；判断2a－b大于或小于0，看对称轴与直线x＝－1的位置关系； (6)b2－4ac>0?抛物线与x轴有两个交点； b2－4ac＝0?抛物线与x轴有一个交点； b2－4ac<0?抛物线与x轴无交点． 1．(xx·深圳)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论正确是(C) A．abc＞0 B．2a＋b<0 C．3a＋c<0 D．ax2＋bx＋c－3＝0有两个不相等的实数根

2．(xx·黔东南)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－1，给出下列结论：①b 2 ＝4ac ；②abc＞0；③a＞c ；④4a－2b ＋c ＞0，其中正确的有(C) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．(xx·滨州)如图，若二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a≠0)图象的对称轴为直线x ＝1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A ，点B(－1，0)，则：①二次函数的最大值为a ＋b ＋c ；②a－b ＋c ＜0；③b 2－4ac ＜0；④当y ＞0时，－1＜x ＜3，其中正确的个数是(B) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象如图所示，则|a －b ＋c|＋|2a ＋b|＝(D) A ．a ＋b B ．a －2b C ．a －b D ．3a 5．(xx·达州)如图，二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝2.下列结论：①abc＜0；②9a＋3b ＋c ＞0； ③若点M(12，y 1)，点N(52，y 2)是函数图象上的两点，则y 1＜y 2；④－35＜a ＜－25 .其中正确的有(D) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．(xx·乌鲁木齐)如图，抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 过点(－1，0)，且对称轴为直线x ＝1，有下列结论：①abc<0；②

二次函数根系数关系

一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由16世纪的法国数学家韦达发现的．它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用．【知识要点】 1．如果方程(a≠O)的两根为，，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系． 2．如果两个数的和为m，积为n，则以这两个数为根的一元二次方程为．3．若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根．4．求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式． 5．当一元二次方程(a≠O)有两根，时：(1)若，则方程有一正一负根；(2)若，，则方程有两个正根；(3)若，，则方程有两个负根．【趋势预测】利用根与系数关系，可以解决许多有关方程的问题，有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程，然后用一元二次方程的知识来解．因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面： ①求方程中字母系数的值或取值范围； ②求代数式的值； ③结合根的判别式，判断根的符号特征；

④构造一元二次方程解题； ⑤证明代数等式，不等式； ⑥与一元二次方程的整数根有关的问题．【范例解读】题1(1997·陕西)已知二次方程(ac≠0)有两异号实根m和n，且m0，从而，．方程的判别式：，故方程必有两实根．设这两个实根为，，则由根与系数关系得，，可知，均为负数，故选(A)．题2(1997·上海)若a和b是方程的两个实根，c和d是方程的两个实根，e和f是方程的两个实根，则

含字母系数的二次函数

含字母系数的二次函数类型1：根据字母判断函数的形式例1：已知函数()n mx x n y m -+++=11（m ，n 为实数）当m ，n 取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x 轴有交点吗？请判断并说明理由；类型2：图形的变换例2：将二次函数2()1y x k k =--++的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位后，顶点在直线21y x =+上，则k 的值为（） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1- 类型3：判定抛物线与直线的交点情况例3：已知抛物线p ：12 3)1(2-++-=k x k x y 和直线l :2k kx y +=：对下列命题判断真伪，并说明理由：无论k 取何实数值，抛物线p 总与x 轴有两个不同的交点。拓展：设抛物线p 与y 轴交点为C ，与x 轴的交点为A 、B ，原点O 不在线段AB 上；直线l 与x 轴的交点为D ，与y 轴交点为C 1，当OC 1＝OC ＋2且OD 2＝4AB 2时，求出抛物线的解析式及最小值.

类型4：求二次函数解析式例4：已知二次函数c ax ax y +-=22的图像与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴正半轴交于点C ，AB=4,OA=OC ，求二次函数解析式。类型5：有关公式的应用已知抛物线 21(0,)y ax bx c a a c =++≠≠过点(1,0)A ，顶点为B ，且抛物线不经过第三象限. (1) 使用a 、c 表示b ； (2) 判断点B 所在象限，并说明理由； (3) 若直线22y x m =+经过点B ，且与该抛物线交于另一点(,8)c C b a +，求当1x ≥时1y 的取值范围.