2相似三角形的存在性问题解题策略

授课题目专题二相似三角形的存在性问题解题策略授课日期２015年３月8日教师柳娜授课学时 1 时０0 分学生课型复习课学科组长柳娜师生活动一、要点归纳相似三角形的存在性问题是苏州中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当,可以使得解的个数不重复不遗漏,也可以使得列方程和解方程又好又快.二、课前热身△ABＣ中,点D、E分别在AB、AＣ边上,如果△ADＥ与△ABC相似，请确定点E的位置.三、例题讲解1.如图１,在直角梯形ＡＢCD中，AD∥BC，∠A=90°，ＢD⊥ＤC,BC=10ｃm，CD=６cm．在线段BC、CD上有动点F、Ｅ,点F以每秒２ｃm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E 以每秒1cｍ的速度,在线段ＣD上从点C向点D匀速运动.当点F到达点C时,点Ｅ同时停止运动.设点F运动的时间为t（秒）.(1）求AD的长；（2)点Ｆ、E在运动过程中,如果△CEＦ与△BDC相似,求线段ＢＦ的长．图１备用图2.如图1，抛物线ｙ＝a ｘ2＋bx +c (a>0）交ｘ轴于Ａ、B 两点(Ａ点在Ｂ点左侧）,交ｙ轴于点C .已知Ｂ(8，0)，ta ｎ∠ABC ＝0.5,△ＡＢＣ的面积为8.（1)求抛物线的解析式;(2)若动直线EF (EF //x 轴）从点C 开始，以每秒１个长度单位的速度沿y 轴负方向平移,且分别交y 轴、线段ＢC 于Ｅ、F 两点,动点P 同时从点B 出发，在线段O Ｂ上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．联结FP ，设运动时间t 秒.是否存在ｔ的值,使以P 、B 、F 为顶点的三角形与△A ＢC 相似.若存在，试求出t 的值;若不存在，请说明理由．图1 3.如图1,在平面直角坐标系ｘＯy 中,抛物线212y x bx c =-++，经过点A (1，３)，B （0，1).（1)求抛物线的表达式及其顶点坐标;（２)过点A 作ｘ轴的平行线交抛物线于另一点C .①求△ABC 的面积；②在y 轴上取一点P ,使△ABP 与△ＡBC 相似，求满足条件的所有Ｐ点坐标．图１4.如图，抛物线经过点A (４,０）、B (1，0)、C （0,－２）三点. （1）求此抛物线的解析式;(2)P 是抛物线上的一个动点,过P 作PM ⊥ｘ轴,垂足为M ，是否存在点Ｐ，使得以A 、P 、Ｍ为顶点的三角形与△O ＡC 相似？若存在，请求出符合条件的 点Ｐ的坐标;若不存在，请说明理由;５.如图，已知抛物线y =ａx 2＋bx ＋c 与ｘ轴交于Ａ、B 两点，与y 轴交于点Ｃ, Ｄ为OC 的中点，直线ＡD 交抛物线于点E （2,６)，且△ＡBE 与△ＡB Ｃ的面积之比为3∶2.（１）求直线AD 和抛物线的解析式;（2)抛物线的对称轴与ｘ轴相交于点F,点Q 为直线AD 上一点，且△ABQ 与△ADF 相似,直接写出．．．．点Ｑ点的坐标.图1６.如图1，△A ＢC 中,AB =5，A Ｃ＝3，c ｏs A =310．D 为射线ＢＡ上的点（点D 不与点Ｂ重合),作DE //ＢC 交射线CA 于点E .．（1) 若CE ＝x ,BD =y ,求y 与x 的函数关系式,并写出函数的定义域;(2) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ,使△ＡBC 与△DEF 相似?若存在，请求出线段B Ｆ的长;若不存在,请说明理由.图1 备用图 备用图专项训练：1.直线113y x =-+分别交ｘ轴、y 轴于Ａ、B 两点,△ＡＯB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△ＣOD ，抛物线y =a ｘ2＋ｂｘ+c 经过A 、C 、D 三点． (1) 写出点A 、B 、Ｃ、D 的坐标;(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标;(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△C ＯD 相似？若存在,请求出点Ｑ的坐标;若不存在，请说明理由.图１２.R ｔ△ＡBC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)ky k x=≠在第一象限内的图像与B Ｃ边交于点Ｄ（4，m ），与ＡB 边交于点Ｅ(２，n )，△ＢDE 的面积为２．(1)求m 与n 的数量关系； (2)当tan ∠Ａ＝12时，求反比例函数的解析式和直线A Ｂ的表达式； （3)设直线AB 与y 轴交于点F ，点Ｐ在射线FD 上，在(2)的条件下,如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图13．如图1，已知点A (-２，４) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上．（1)求m 、n ；(2）向右平移上述抛物线,记平移后点A 的对应点为Ａ′,点B 的对应点为B ′,若四边形A Ａ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式;(3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点Ｄ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△A ＢC 相似．图14.如图１，抛物线经过点A (4,０)、Ｂ(１，0)、Ｃ（0,-２）三点.（1)求此抛物线的解析式;(2)Ｐ是抛物线上的一个动点,过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、Ｍ为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在,请求出符合条件的 点P 的坐标;若不存在,请说明理由；(3）在直线ＡC 上方的抛物线是有一点Ｄ,使得△DC Ａ的面积最大,求出点D 的坐标.,图1５.如图1,△AB Ｃ中，AB ＝5,AC ＝３，cos Ａ＝310.D 为射线ＢＡ上的点（点Ｄ不与点B 重合)，作D Ｅ//BC 交射线CA 于点Ｅ..(1) 若C Ｅ=x ，BD ＝y ，求y 与ｘ的函数关系式，并写出函数的定义域; (2) 当分别以线段ＢD ，CE 为直径的两圆相切时,求DE 的长度;(3) 当点D 在AB 边上时,BC 边上是否存在点F ，使△AB Ｃ与△ＤEF 相似？若存在,请求出线段ＢＦ的长；若不存在,请说明理由.图1备用图备用图6.如图1，在直角坐标系xOy中，设点Ａ(０,t），点Q(t，b)．平移二次函数2txy-=的图象,得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q;②与ｘ轴相交于B、Ｃ两点（∣OB∣<∣OC∣)，连结Ａ,Ｂ.(1）是否存在这样的抛物线F，使得OCOBOA⋅=2？请你作出判断,并说明理由;（2）如果AQ∥ＢC，且tan∠ＡBO＝23，求抛物线Ｆ对应的二次函数的解析式.图1学科组长审核签字:教师反馈1、学生接受程度：□完全能接受□部分能接受能总结当堂学习所得,或提出深层次的问题能用自己的语言有条理地去解释、表达所学知识在学习过程中有满足、成功与喜悦等体验，对后续学习更有信心２、学生课堂表现：□很积极□比较积极□一般主动与老师交流互动,彬彬有礼善于多角度思考问题、能主动提出有价值的问题3、学生课堂练习: □很满意□比较满意□一般独立阅读思考，练习作业，答问时积极发表见解具有自己的思想或创意4、学生上次完成作业情况：完成数量%,已完成部分的质量□优秀□良好□合格5、补充说明:ﻩ教师签字：--。

AB_DEAC~DFAB_DF再一次列方程求相似三角形存在性处理策略知识必备一、相似的判定1、两边成比列且夹角相等的两个三角形相似，不妨简称为述.2、两角分别相等的两个三角形相似，不妨简称为加.二、相似于“s”1、一般的，若MBC 与△门肋1相似，则不具备对应关系，需要分类讨论.2、若山恥sAD 肿，贝倶备对应关系. 三、定边与定角1、“定边定长”：确定的边，其长度确定，必可求。

2、“定角定长”：确定的角，其三角函数值确定，必可求。

方法提炼一、导边处理（&LS 法）相似三角形存在性问题，基本上都可以按部就班，如下解决：第一步：先找到一组关键的等角，有时明显，有时隐蔽第二步：以这两个相等角的两邻边分两种情况对应比例列方程不妨称此通法为3法举例；如图4-2-1,在LABC 与岂DEF中，若已确定=Z D,则要使MBC与'DEF相似，需要分两种情形讨论:二、导角处理（也法）第一步：先找到一组关键的等角第二步：另两个内角分两类对应相等不妨称此通法为：加法举例：如图4-2-1,在LABC与bDEF中，若已知ZA=ZD,要使与^DEF相似，需要分两种情形讨论:Z E Z或二/F,再导角分析处理.三、温馨提示解法一（临法），通用性更强，普适性更广，往往是首选2、解法二（迅4法），导角分析，常转化为角的存在性问题若相似三角形中有一个确定的三角形，可以先对其边、角作研究，定边求定长，定角求定比然后再寻求所要的三角形，基本可以做到无往不利。

实战分析（一）显性的“相等角”【例1】如图4-3-1,在四边形曲CQ中，AZ?//90°,AB=^,AD=3,BC=4,点尸为AB上一动点，若曲尸刀与AF5C相似，则满足条件的点尸共有（）个A、1B、2C、3D、4—q DEE<團4-3-1反思：相似三角形存在性问题，分类时可以先固定其中一个三角形的字母顺序，将另一个三角形换序即可，例如本体中的^ADP^KBCP或UDPsbEPC,所列方程也是3438-^固定等式的一边，将另一边的分子，分母颠倒即可，如或(一)隐性的“相等角”【例2】如图4-3-6已知二次函数的图像经过型?0),S(-3r R及原点0,顶点为U求此二次函数解析式连接EC交兀轴于点月，卩轴上是否存在点尸•使得心FOC与相似？若存在，求出尸点的坐标，若不存在，请说明理由。

模型介绍在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．【相似判定】判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．【题型分析】通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．【思路总结】根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．然后再找：思路1：两相等角的两边对应成比例；思路2：还存在另一组角相等．事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．一、如何得到相等角？二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？搞定这两个问题就可以了．例题精讲【例1】．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，点M是第一象限内抛物线上一点，过点M作MN⊥x轴于点N．若△MON与△BOC相似，求点M的横坐标．解：∵抛物线y＝﹣x2+x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+2，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴OB＝4，当x＝0时，y＝2，∴OC＝2，∵点M是第一象限内抛物线上一点，∴设M（m，﹣m2+m+2），∵MN⊥x轴，∴ON＝m，MN＝﹣m2+m+2，∠ONM＝90°，∵∠BOC＝90°，∴∠BOC＝∠ONM，∵△MON与△BOC相似，∴或，∴＝或＝，∴m＝或m＝﹣1+（负值舍去），∴点M的横坐标为或﹣1+．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系内，已知直线y＝x+4与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线y＝x2+kx+k﹣1图象过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B，（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．解：（1）由x＝0得y＝0+4＝4，则点C的坐标为（0，4）；由y＝0得x+4＝0，解得x＝﹣4，则点A的坐标为（﹣4，0）；把点C（0，4）代入y＝x2+kx+k﹣1，得k﹣1＝4，解得：k＝5，∴此抛物线的解析式为y＝x2+5x+4，∴此抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣．令y＝0得x2+5x+4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣4，∴点B的坐标为（﹣1，0）．（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），∴OA＝OC＝4，∴∠OCA＝∠OAC．∵∠AOC＝90°，OB＝1，OC＝OA＝4，∴AC＝＝4，AB＝OA﹣OB＝4﹣1＝3．∵点D在y轴负半轴上，∴∠ADC＜∠AOC，即∠ADC＜90°．又∵∠ABC＞∠BOC，即∠ABC＞90°，∴∠ABC＞∠ADC．∴由条件“以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似”可得△CAD∽△ABC，∴＝，即＝，解得：CD＝，∴OD＝CD﹣CO＝﹣4＝，∴点D的坐标为（0，﹣）．【例2】．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求该抛物线的表达式；（2）过点B作x轴的垂线，在该垂线上取一点P，使得△PBC与△ABC相似，请求出点P的坐标．解：（1）把C（0，3）代入y＝x2+bx+c，得c＝3，∴y＝x2+bx+3，把A（1，0）代入y＝x2+bx+3，得1+b+3＝0，解得b＝﹣4，∴该抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3．（2）当点P在点B上方时，如图1，PB＝AB，∵PB⊥x轴，∴∠ABP＝90°，抛物线y＝x2﹣4x+3，当y＝0时，则x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴B（3，0），∴OB＝OC＝3，PB＝AB＝3﹣1＝2，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠PBC＝∠ABC＝45°，∵＝＝1，∴△PBC∽△ABC，此时点P的坐标为（3，2）；如图2，△PBC∽△CBA，且∠CBP＝∠ABC＝45°，∠BCP＝∠BAC，∴＝，∵BC2＝OB2+OC2＝32+32＝18，BA＝2，∴BP＝＝＝9，此时点P的坐标为（3，9）；当点P在点B下方时，∠PBC＝135°，∠BAC＝∠AOC+∠ACO＝90°+∠ACO＜135°，此时△PBC与△ABC不相似，综上所述，点P的坐标为（3，2）或（3，9）．变式训练【变2-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）设点P（m，m2﹣2m﹣3），①当点P在第三象限时，设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，S△POD＝×OG（x D﹣x P）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，②当点P在第四象限时，设PD交y轴于点M，＝×OM（x D﹣x P）＝﹣m2+m+3，同理可得：S△POD＝﹣m2+m+3，综上，S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；∵﹣1＜0，故S△POD（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB＝∠BOQ时，AB＝4，BC＝3，AC＝，过点A作AH⊥BC于点H，S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②并解得：x＝或﹣，故点Q（，﹣2）或（﹣，2），②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，则点Q（n，﹣3n），则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，联立①③并解得：x＝，故点Q（，）或（，）；综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：（，﹣2）或（﹣，2）或（，）或（，）．1．抛物线y＝﹣x2平移后的位置如图所示，点A，B坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），设平移后的抛物线与y轴交于点C，其顶点为D．（1）求平移后的抛物线的解析式和点D的坐标；（2）∠ACB和∠ABD是否相等？请证明你的结论；（3）点P在平移后的抛物线的对称轴上，且△CDP与△ABC相似，求点P的坐标．解：（1）∵将抛物线y＝﹣x2平移，平移后的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），∴平移后的抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，即y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）∠ACB与∠ABD相等，理由如下：如图，∵y＝﹣x2+2x+3，∴点x＝0时，y＝3，即C点坐标为（0，3），又∵B（3，0），∠BOC＝90°，∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝45°．在△BCD中，∵BC2＝32+32＝18，CD2＝12+12＝2，BD2＝22+42＝20，∴BC2+CD2＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴tan∠CBD＝＝＝，∵在△AOC中，∠AOC＝90°，∴tan∠ACO＝＝，∴tan∠ACO＝tan∠CBD，∴∠ACO＝∠CBD，∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC，即∠ACB＝∠ABD；（3）∵点P在平移后的抛物线的对称轴上，而y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，∴可设P点的坐标为（1，n）．∵△ABC是锐角三角形，∴当△CDP与△ABC相似时，△CDP也是锐角三角形，∴n＜4，即点P只能在点D的下方，又∵∠CDP＝∠ABC＝45°，∴D与B是对应点，分两种情况：①如果△CDP∽△ABC，那么＝，即＝，解得n＝，∴P点的坐标为（1，）；②如果△CDP∽△CBA，那么＝，即＝，解得n＝，∴P点的坐标为（1，）．综上可知P点的坐标为（1，）或（1，）．2．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，以AB所在直线为x轴，过c点的直线为y轴建立平面直角坐标系．此时，A点坐标为（﹣1，0），B点坐标为（4，0）（1）试求点C的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx+c过△ABC的三个顶点，求抛物线的解析式；（3）点D（1，m）在抛物线上，过点A的直线y＝﹣x﹣1交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OC⊥AB，由射影定理，得：OC2＝OA•OB＝4，即OC＝2，∴C（0，2）；（2）∵抛物线经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），可设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）（a≠0），则有：2＝a（0+1）（0﹣4），a＝﹣，∴y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；（3）存在符合条件的P点，且P（，0）或（﹣，0）．根据抛物线的解析式易知：D（1，3），联立直线AE和抛物线的解析式有：，解得，，∴E（6，﹣7），∴tan∠DBO＝＝1，即∠DBO＝45°，tan∠EAB＝＝1，即∠EAB＝45°，∴∠DBA＝∠EAB，若以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似，则有两种情况：①△PBD∽△BAE；②△PBD∽△EAB．易知BD＝3，EA＝7，AB＝5，由①得：，即，即PB＝，OP＝OB﹣PB＝，由②得：，即，即P′B＝，OP′＝OB﹣BP′＝﹣，∴P（，0）或（﹣，0）．3．如图已知直线y＝x+与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点C（0，﹣），交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求△PAB的面积及点P的坐标；（3）若点Q为x轴上一动点，点N在抛物线上且位于其对称轴右侧，当△QMN与△MAD相似时，求N点的坐标．解：（1）将点B（4，m）代入y＝x+，∴m＝，将点A（﹣1，0），B（4，），C（0，﹣）代入y＝ax2+bx+c，解得a＝，b＝﹣1，c＝﹣，∴函数解析式为y＝x2﹣x﹣；（2）设P（n，n2﹣n﹣），则经过点P且与直线y＝x+垂直的直线解析式为y＝﹣2x+n2+n﹣，直线y＝x+与其垂线的交点G（n2+n﹣，n2+n+），∴GP＝（﹣n2+3n+4），当n＝时，GP最大，此时△PAB的面积最大，∴P（，﹣），∵AB＝，PG＝，∴△PAB的面积＝××＝；（3）∵M（1，﹣2），A（﹣1，0），D（3，0），∴AM＝2，AD＝4，MD＝2，∴△MAD是等腰直角三角形，∵△QMN与△MAD相似，∴△QMN是等腰直角三角形，设N（t，t2﹣t﹣）①如图1，当MQ⊥QN时，N（3，0）；②如图2，当QN⊥MN时，过点N作NR⊥x轴，过点M作MS⊥RN交于点S，∵QN＝MN，∠QNM＝90°，∴△MNS≌△NMS（AAS）∴t﹣1＝﹣t2+t+，∴t＝±，∴t＞1，∴t＝，∴N（，1﹣）；③如图3，当QN⊥MQ时，过点Q作x轴的垂线，过点N作NS∥x轴，过点M作MR ∥x轴，与过Q点的垂线分别交于点S、R；∵QN＝MQ，∠MQN＝90°，∴△MQR≌△QNS（AAS），∴SQ＝QR＝2，∴t+2＝1+t2﹣t﹣，∴t＝5，∴N（5，6）；④如图4，当MN⊥NQ时，过点M作MR⊥x轴，过点Q作QS⊥x轴，过点N作x轴的平行线，与两垂线交于点R、S；∵QN＝MN，∠MNQ＝90°，∴△MNR≌△NQS（AAS），∴SQ＝RN，∴t2﹣t﹣＝t﹣1，∴t＝2±，∵t＞1，∴t＝2+，∴N（2+，1+）；综上所述：N（3，0）或N（2+，1+）或N（5，6）或N（，1﹣）．4．如图，已知抛物线经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）直接写出：b＝2，c＝1；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP 的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）将点A（0，1），B（﹣9，10）代入，∴，解得，∴抛物线的解析式为，∴b＝2，c＝1，故答案为：2，1；（2）∵AC∥x轴，A（0，1），∴，∴x1＝﹣6，x2＝0，∴C（﹣6，1），∵A（0，1），B（﹣9，10），∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，设点，则E（m，﹣m+1），∴，∵AC⊥EP，AC＝6，＝S△AEC+S△APC∴S四边形AECP＝×AC×EF+＝×AC×（EF+PF）＝×AC×PE＝×6×（﹣m2﹣3m）＝﹣m2﹣9m＝﹣（m+）2+，∵﹣6＜m＜0，当时，四边形AECP的面积的最大值是，此时点；（3）存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：∵，∴P（﹣3，﹣2），∴PF＝y F﹣y P＝3，CF＝x F﹣x C＝3，∴PF＝CF，∴∠PCF＝45°．同理可得：∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件的Q，设Q（t，1），∵A（0，1），B（﹣9，10），C（﹣6，1），∴，AC＝6，，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当△CPQ∽△ABC时，∴，∴，∴t＝﹣4，∴Q（﹣4，1）；②当△CQP∽△ABC时，∴，∴，∴t＝3，∴Q（3，1）；综上所述：Q点坐标为（﹣4，1）或（3，1）．5．已知抛物线经过点A（﹣2，0），B（0，﹣4），与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；＝S△PBC，求直线AP的表达式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y＝x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣4；（2）当y＝0时，x2﹣x﹣4＝0，解得：x＝﹣2或4，∴C（4，0），如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，＝S△PBC，∵S△PBO∴，∴OE＝CF，易得△OEG≌△CFG，∴OG＝CG＝2，设P（x，x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，tan∠PBM＝＝＝，∴BM＝2PM，∴4+x2﹣x﹣4＝2x，x2﹣6x＝0，x1＝0（舍），x2＝6，∴P（6，8），∴AP的解析式为：y＝x+2，BC的解析式为：y＝x﹣4，∴AP∥BC；（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC 和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，∵∠BAE＝∠BAC，∠ABE≠∠ABC，∴∠ABE＝∠ACB＝45°，∴△ABE∽△ACB，∴，∴，∴AE＝，OE＝﹣2＝∴E（，0），∵B（0，﹣4），∴BE：y＝3x﹣4，则x2﹣x﹣4＝3x﹣4，x1＝0（舍），x2＝8，∴D（8，20）；②当△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，此时E在C的左边，∵∠BEA＝∠BEC，∴当∠ABE＝∠BCE时，△ABE∽△BCE，∴＝＝，设BE＝2m，CE＝4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2，∴，3m2﹣8m+8＝0，（m﹣2）（3m﹣2）＝0，m1＝2，m2＝，∴OE＝4m﹣4＝12或，∵OE＝＜2，∠AEB或∠BEC是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，∴E（﹣12，0）；同理得BE的解析式为：y＝﹣x﹣4，﹣x﹣4＝x2﹣x﹣4，x＝或0（舍）∴D（，﹣）；同理可得E在C的右边时，△ABE∽△BCE，∴＝，设AE＝2m，BE＝4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2，∴，3m2+2m﹣5＝0，（m+）（3m﹣）＝0，m1＝﹣，m2＝，∴OE＝﹣12（舍）或，∵OE＝＜4，∠BEC是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，综上，点D的坐标为（8，20）或（，﹣6．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +6经过两点A （﹣1，0），B （3，0），C 是抛物线与y 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P （m ，n ）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，直线CP 与x 轴交于点Q ，当∠BQC ＝∠BCO 时，求此时P 点坐标；（3）点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使得∠CNM ＝90°，且△CMN 与△OBC 相似，如果存在，请求出点M 和点N 的坐标．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+6得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；（2）由y＝﹣2x2+4x+6得C（0，6），∴OC＝6，当Q在x轴正半轴，如图：∵∠BQC＝∠BCO，且∠COB＝∠QOC，∴△COB∽△QOC，∴＝，即＝，∴OQ＝12，∴Q（12，0），设直线CQ解析式为y＝kx+6，则0＝12k+6，∴k＝﹣，即直线CQ为y＝﹣x+6，由得（与C重合，舍去）或，∴P（，），当Q在x轴负半轴，如图：同理可得：△BOC∽△BCQ，∴＝，即BC2＝OB•BQ，而OC＝6，OB＝3，∴BC＝3，∴（3）2＝3×BQ，∴BQ＝15，∴Q（﹣12，0），设直线CQ为y＝mx+6，则0＝﹣12m+6，解得m＝，∴直线CQ为y＝x+6，由得（舍去）或，∴P（，），综上所述，P点坐标为（，）或（，），（3）设M（t，﹣2t2+4t+6），则N（0，﹣2t2+4t+6），∴MN＝|t|，CN＝|2t2﹣4t|，∵OC＝6，OB＝3，∴OC＝2OB，∵△CMN与△OBC相似，∴MN＝2CN或CN＝2MN，①MN＝2CN时，如图：∴|t|＝2|2t2﹣4t|，解得t＝或t＝或t＝0（舍去），∴M（，），N（0，）或M（，），N（0，）；②CN＝2MN时，如图：∴|2t2﹣4t|＝2|t|，解得t＝0（舍去）或t＝3（M与B重合，舍去）或t＝1，∴M（1，8），N（0，8），综上所述，M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（1，8），N（0，8）．7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为点C，D，．（1）求b，c的值；（2）求直线CD的函数解析式；（3）求∠ADB的度数；（4）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上，当△ABD与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．解：（1）∵点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得，解得：，∴b＝﹣，c＝﹣；（2）如图1，过点D作DE⊥AB于E，则∠DEB＝∠COB＝90°，∴DE∥OC，∴＝，∵BC＝CD，OB＝3，∴＝，∴OE＝，∴点D横坐标为﹣，当x＝﹣时，y＝×（﹣）2﹣×（﹣）﹣＝+1，∴点D坐标为（﹣，+1），设直线BD的函数解析式为y＝kx+n，把B（3，0），D（﹣，+1）代入，得，解得：，∴直线BD的函数解析式为y＝﹣x+；（3）如图2，连接AC，∵直线BD的函数解析式为y＝﹣x+，∴C（0，），∵A（﹣1，0），D（﹣，+1），∴AC2＝OA2+OC2＝12+（）2＝4，则AC＝2，BC2＝OB2+OC2＝32+（）2＝12，则BC＝2，∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD＝180°﹣90°＝90°，∵BC＝CD，∴CD＝2，∴tan∠ADB＝＝＝1，∴∠ADB＝45°；（4）在△ABD中，tan∠ABD＝＝，∴∠ABD＝30°，∵∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°﹣（∠ABD+∠ADB）＝180°﹣（30°+45°）＝105°，∵CD＝2，BC＝CD＝2，∴BD＝BC+CD＝2+2，由（3）知：AC＝CD＝2，∠ACD＝90°，AB＝4，∴AD＝2，∵y＝x2﹣x﹣，∴对称轴为直线x＝1．∵点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上，∴∠PBQ＜90°，∴分两种情况：①当∠PBQ＝∠ABD＝30°时，如图3，设对称轴与x轴交于点M，则M（1，0），∴BM＝3﹣1＝2，∴PM＝BM•tan∠PBQ＝2×tan30°＝，∵点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，∴P（1，﹣），BP＝＝＝，∵△ABD与△BPQ相似，且∠PBQ＝∠ABD，∴＝或＝，∴＝或＝，∴BQ＝或BQ＝，∴Q（，0）或（，0）；②当∠PBQ＝∠ADB＝45°时，如图4，∵PM＝BM•tan∠PBQ＝2tan45°＝2，∴P（1，﹣2），∴BP＝2，∵△ABD与△BPQ相似，且∠PBQ＝∠ADB，∴＝或＝，∴＝或＝，∴BQ＝2﹣2或2+2，∴Q（5﹣2，0）或（1﹣2，0）；综上所述，点Q的坐标为Q（，0）或Q（，0）或Q（5﹣2，0）或Q（1﹣2，0）．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，求的最大值；（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）．将C（0，﹣2）代入得：﹣4a＝﹣2，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣4），即y＝x2﹣x﹣2．（2）过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，∴AK∥DG，∴△AKE∽△DFE，∴＝．设直线BC的解析式为y＝kx+b1，∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，∵A（﹣1，0），∴y＝﹣﹣2＝﹣，∴AK＝，设D（m，m2﹣m﹣2），则F（m，m﹣2），∴DF＝m﹣2﹣m2+m+2＝﹣m2+2m．∴＝＝﹣（m﹣2）2+．∴当m＝2时，有最大值，最大值是．（3）符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．∵l∥BC，∴直线l的解析式为y＝x，设P（a1，），①当点P在直线BQ右侧时，如图2，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥直线PN于点M，∵A（﹣1，0），C（0，﹣2），B（4，0），∴AC＝，AB＝5，BC＝2，∵AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵△PQB∽△CAB，∴＝＝，∵∠QMP＝∠BNP＝90°，∴∠MQP+∠MPQ＝90°，∠MPQ+∠BPN＝90°，∴∠MQP＝∠BPN，∴△QPM∽△PBN，∴＝＝＝，∴QM＝，PM＝（a1﹣4）＝a1﹣2，∴MN＝a1﹣2，ON﹣QM＝a1﹣＝a1，∴Q（a1，a1﹣2），将点Q的坐标代入抛物线的解析式得×（a1）2﹣×a1﹣2＝a1﹣2，解得a1＝0（舍去）或a1＝．∴P（，）．②当点P在直线BQ左侧时，由①的方法同理可得点Q的坐标为（a1，2）．此时点P的坐标为（，）．综上所述，符合条件的点P的坐标是（，）或（，）．9．如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；（3）将抛物线在0≤x≤3之间的部分记为图象L，将图象L在直线y＝t上方部分沿直线y＝t翻折，其余部分保持不动，得到一个新的函数图象，记这个函数的最大值为a，最小值为b，若a﹣b≤3，请直接写出t的取值范围．解：（1）将（3，0）代入y＝﹣x+c得0＝﹣2+c，解得c＝2，∴y＝﹣x+2．将x＝0代入y＝﹣x+2得y＝2，∴点B坐标为（0，2）．将（3，0），（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴y＝﹣x2+x+2．（2）如图，当BM∥AM时满足题意，点B，N关于抛物线对称轴对称，∵y＝﹣x2+x+2，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，∴点N坐标为（，2），∴点M坐标为（，0）．如图，当∠NBP＝90°时符合题意，作NC⊥y轴于点C，则N（m，﹣m2+m+2），∵∠NBC+∠ABO＝∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠NBC＝∠BAO，∴△BCN∽△AOB，∴＝，即，解得m＝，∴点M坐标为（，0）．综上所述，点M坐标为（，0）或（，0）．（3）∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线顶点坐标为（，），∴翻折后顶点坐标为（，2t﹣），当点A为最低点时，t﹣0≤3，解得t≤3，令t﹣（2t﹣）＝3，解得t＝，∴≤t≤3．10．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，B、C两点的坐标分别为（1，0）、（0，﹣3），直线y＝kx+3k经过点A，与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点E是抛物线上一动点（不与点C重合），连接AE，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，若△AEF是等腰直角三角形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，若在直线y＝kx+3k上存在一点G使得△DFG与△AOC相似，求出k的值．解：（1）∵直线y＝kx+3k经过点A，则点A的坐标为（﹣3，0），将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；（2）设点E的坐标为（x，x2+2x﹣3），则AF＝|x+3|，EF＝|x2+2x﹣3|，∵△AEF是等腰直角三角形，∴AF＝EF，∴|x2+2x﹣3|＝|x+3|，∴x＝﹣3（舍去）或x＝0（舍去）或x＝2，故点E的坐标为（2，5）；（3）∵CO＝BO＝3，故△AOC为等腰直角三角形，当△DFG与△AOC相似时，则△DFG为等腰直角三角形，显然∠DFG不可能为直角，∵直线y＝kx+3k与y轴交于点D，则点D（0，3k），由（2）知，点F（2，0），①当∠FDG为直角时，∵点G在直线AD上，故在∠FDG的前提下，总能找到GD＝DF，故只需要DF⊥AD即可，在等腰Rt△FDG中，由直线AD的表达式为：y＝kx+3k，则tan∠DOA＝k，而tan∠DFO＝＝＝＝，解得k＝±；②当∠FGD为直角时，如下图，过点G作MN∥y轴，交x轴于点N，交过点D与x轴的平行线于点M，则DG＝GF，设点G的坐标为（t，kt+3k），则MD＝﹣t，MG＝3k﹣tk﹣3k＝﹣kt；GN＝kt+3k，FN＝2﹣t，∵∠MGD+∠FGN＝90°，∠FGN+∠GFN＝90°，∴∠MGD＝∠GFN，∵∠GMD＝∠FNG＝90°，GD＝FG，∴△GMD≌△FNG（AAS），∴MD＝GN，MG＝NF，即﹣t＝kt+3k且﹣kt＝2﹣t，解得k＝2或﹣；当∠DFG＝90°时，过点G作GH⊥x轴于H，则△ODF≌△HFG，∴GH＝OF＝2，HF＝OD＝3k，∵y＝﹣2时，﹣2＝kx+3k，∴x＝，∴2+＝3k，解得k＝2或﹣综上，k＝±或2或﹣．11．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y＝ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y＝﹣x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣1，得解得∴抛物线解析式为：y＝∴抛物线对称轴为直线x＝﹣（2）存在使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小∴取点C（0，﹣1）关于直线x＝1的对称点C′（2，﹣1），连C′O与直线x＝1的交点即为P点．设过点C′、O直线解析式为：y＝kx∴k＝﹣∴y＝﹣则P点坐标为（1，﹣）（3）当△AOC∽△MNC时，如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E∵∠ACO＝∠NCD，∠AOC＝∠CND＝90°∴∠CDN＝∠CAO由相似，∠CAO＝∠CMN∴∠CDN＝∠CMN∵MN⊥AC∴M、D关于AN对称，则N为DM中点设点N坐标为（a，﹣a﹣1）由△EDN∽△OAC∴ED＝2a∴点D坐标为（0，﹣）∵N为DM中点∴点M坐标为（2a，）把M代入y＝，解得a＝0（舍去）或a＝4∴a＝4则N点坐标为（4，﹣3）当△AOC∽△CNM时，∠CAO＝∠NCM∴CM∥AB则点C关于直线x＝1的对称点C′即为点M由（2）M为（2，﹣1）∴由相似CN＝，MN＝由面积法求N到MC距离为则N点坐标为（，﹣）∴N点坐标为（4，﹣3）或（，﹣）12．抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B．（1）求出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D，F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点，若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．解：（1）由题意知，解得：，∴抛物线L的解析式为y＝﹣x2+2x+1；（2）如图1，∵y＝kx﹣k+4＝k（x﹣1）+4，∴当x＝1时，y＝4，即该直线所过定点G坐标为（1，4），∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，∴点B（1，2），则BG＝2，＝1，即S△BNG﹣S△BMG＝BG•（x N﹣1）﹣BG•（x M﹣1）＝1，∵S△BMN∴x N﹣x M＝1，由得x2+（k﹣2）x﹣k+3＝0，解得：x＝＝，则x N＝、x M＝，由x N﹣x M＝1得＝1，∴k＝±3，∵k＜0，∴k＝﹣3；（3）如图2，设抛物线L 1的解析式为y ＝﹣x 2+2x +1+m ，∴C （0，1+m ）、D （2，1+m ）、F （1，0），设P （0，t ），①当△PCD ∽△FOP 时，，∴，∴t 2﹣（1+m ）t +2＝0①；②当△PCD ∽△POF 时，，∴，∴t ＝（m +1）②；（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，Δ＝（1+m ）2﹣8＝0，解得：m ＝2﹣1（负值舍去），此时方程①有两个相等实数根t 1＝t 2＝，方程②有一个实数根t ＝，∴m ＝2﹣1，此时点P 的坐标为（0，）和（0，）；（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，把②代入①，得：（m +1）2﹣（m +1）2+2＝0，解得：m ＝2（负值舍去），此时，方程①有两个不相等的实数根t 1＝1、t 2＝2，方程②有一个实数根t ＝1，∴m＝2，此时点P的坐标为（0，1）和（0，2）；综上，当m＝2﹣1时，点P的坐标为（0，）和（0，）；当m＝2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．13．设抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A（﹣1，0）、B（m，0），与y轴交于点C，且∠ACB＝90度．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y＝x+1交抛物线于另一点E．若点P 在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，△BDP的外接圆半径等于或．解：（1）令x＝0，得y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∵∠ACB＝90°，CO⊥AB，∴△AOC∽△COB，∴OA•OB＝OC2∴OB＝，∴m＝4，将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．（2）D（1，n）代入y＝x2﹣x﹣2，得n＝﹣3，由，得，，∴E（6，7），过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0）∴AH＝EH＝7∴∠EAH＝45°过D作DF⊥x轴于F，则F（1，0）∴BF＝DF＝3∴∠DBF＝45°∴∠EAH＝∠DBF＝45°∴∠DBH＝135°，90°＜∠EBA＜135°则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：①若△DBP1∽△EAB，则∴BP1＝＝＝∴OP1＝4﹣＝，∴P1（，0）．②若△DBP2∽△BAE，则∴BP2＝＝＝∴OP2＝﹣4＝∴P2（﹣，0）．综合①、②，得点P的坐标为：P1（，0）或P2（﹣，0）．（3）或．如图所示：先作△BPD的外接圆，过P作直径PM，连接DM，作DF⊥x轴于F．∵∠PMD＝∠PBD，∠DFP＝∠PDM，∴△PMD和△FBD相似，∴，∴PD＝＝＝，DF＝3，BD＝＝3，∴PM＝＝，∴△BPD的外接圆的半径＝；同理可求出当P点在x轴的负半轴上时，△BPD的外接圆的半径＝．14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；②直接回答这样的点P共有几个？解：（1）令x2+x﹣＝0，解得x1＝1，x2＝﹣7．∴A（1，0），B（﹣7，0）．由y＝x2+x﹣＝（x+3）2﹣2得，D（﹣3，﹣2）；（2）证明：∵DD1⊥x轴于点D1，∴∠COF＝∠DD1F＝90°，∵∠D1FD＝∠CFO，∴△DD1F∽△COF，∴＝，∵D（﹣3，﹣2），∴D1D＝2，OD1＝3，∵AC＝CF，CO⊥AF∴OF＝OA＝1∴D1F＝D1O﹣OF＝3﹣1＝2，∴＝，∴OC＝，∴CA＝CF＝FA＝2，∴△ACF是等边三角形，∴∠AFC＝∠ACF，∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，∴∠ECF＝∠AFC＝60°，∴EC∥BF，∵EC＝DC＝＝6，∵BF＝6，∴EC＝BF，∴四边形BFCE是平行四边形；（3）∵点P是抛物线上一动点，∴设P点（x，x2+x﹣），①当点P在B点的左侧时，∵△PAM与△DD1A相似，∴或＝，∴＝或＝，解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣11或x1＝1（不合题意舍去）x2＝﹣；当点P在A点的右侧时，∵△PAM与△DD1A相似，∴＝或＝，∴＝或＝，解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣（不合题意舍去）；当点P在AB之间时，∵△PAM与△DD1A相似，∴＝或＝，∴＝或＝，解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣；综上所述，点P的横坐标为﹣11或﹣或﹣；②由①得，这样的点P共有3个．15．如图1，经过原点O的抛物线y＝ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y＝x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO＝∠ABO，①求点M的坐标；②在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵B（2，t）在直线y＝x上，∴t＝2，∴B（2，2），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y＝2x2﹣3x；（2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，∵点C是抛物线上第四象限的点，∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t），∴OE＝t，BF＝2﹣t，CD＝t﹣（2t2﹣3t）＝﹣2t2+4t，＝S△CDO+S△CDB＝CD•OE+CD•BF＝（﹣2t2+4t）（t+2﹣t）＝﹣2t2+4t，∴S△OBC∵△OBC的面积为2，∴﹣2t2+4t＝2，解得t1＝t2＝1，∴C（1，﹣1）；（3）①设MB交y轴于点N，如图2，∵B（2，2），∴∠AOB＝∠NOB＝45°，在△AOB和△NOB中，∴△AOB≌△NOB（ASA），∴ON＝OA＝，∴N（0，），∴可设直线BN解析式为y＝kx+，把B点坐标代入可得2＝2k+，解得k＝，∴直线BN的解析式为y＝x+，联立直线BN和抛物线解析式可得，解得（舍去）或，∴M（﹣，），②∵C（1，﹣1），∴∠COA＝∠AOB＝45°，且B（2，2），∴OB＝2，OC＝，∵△POC∽△MOB，∴＝＝2，∠POC＝∠BOM，当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，∵∠COA＝∠BOG＝45°，∴∠MOG＝∠POH，且∠PHO＝∠MGO，∴△MOG∽△POH，∴＝＝＝2，。

相似形难题解题技巧
解决相似形难题需要运用一些特定的技巧和策略。

以下是一些建议，帮助你更好地应对相似形难题：
1.辨认相似形：首先，确保你理解相似形的定义，即对应角相等，对应边成比例。

仔细观察题目，辨认出可能存在的相似形。

2.利用已知信息：如果问题中已经提供了一些相似形的信息，例如两个三角形的对应边比例或对应角相等，利用这些信息来推断其他关系。

3.运用相似三角形性质：利用相似三角形的性质，例如AA相似性质（两个角相等即可）、SSS相似性质（三边成比例）、SAS相似性质（两边及夹角分别成比例），来建立各种关系。

4.画图辅助：在解决相似形问题时，画图是非常有效的工具。

绘制准确的图形有助于你更清晰地理解问题，发现相似性质，并更容易得出结论。

5.运用比例：相似形的性质是对应边成比例，因此利用已知的比例关系来求解未知边长。

这可能涉及到简单的比例运算，如求解未知的比例分子或分母。

6.解决角度问题：如果问题涉及到角度的相似性，确保正确地应用角度的性质。

例如，如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。

7.将问题分解：将大问题分解成小问题，逐步解决每个小问题。

这样可以使问题更易管理，避免混淆。

8.注意特殊情况：注意是否有特殊情况需要考虑，例如等腰三角形、直角三角形等，这可能影响到相似形的性质。

9.反证法：如果无法直接证明两个三角形相似，可以考虑采用反证法。

假设它们不相似，看是否能推导出矛盾，从而证明它们实际上是相似的。

通过灵活运用上述技巧，你将能够更自信地解决相似形难题。

在解题过程中，保持逻辑清晰、有条不紊，有助于提高解题效率。

第7讲相似三角形的存在性在很多与相似三角形相关的压轴题中，其中常见的一种题型就是相似三角形的存在性讨论。

对于相似三角形的存在性问题，一般来说，会有一组等角，然后从边或从角的角度进行分类讨论：通常，我们还可以借助基本图形分析法，找到边与角的数量关系，从而完成上述问题的讨论。

例1.（2022金山一模25题）.已知：如图 11，AD⊥直线MN，垂足为D，AD=8，点B 是射线DM 上的一个动点，∠BAC=90°，边AC 交射线DN 于点C，∠ABC 的平分线分别与AD、AC 相交于点E、F.（1）求证：△ABE∽△CBF；（2）如果AE=x，FC=y，求y 关于x 的函数关系式；（3）联结DF，如果以点D、E、F 为顶点的三角形与△BCF 相似，求AE 的长.2022金山一模25题的图形背景是母子型+角平分线，解题路径围绕着相似三角形的性质定理、判定定理以及射影定理展开。

题型主要围绕证明三角相似，函数关系的建立以及相似三角形的存在性讨论。

本题的关键是根据三角形的相似或角平分线的性质标出图形中的等角，然后再根据角的等量关系确定线段间的数量关系。

解法分析：本题的第一问是相似三角形的判定。

利用角平分线和平行线得到等角，继而再射影定理模型中的等角关系，利用A.A判定相似即可。

解法分析：本题的第二问是函数关系的确立。

利用第一问中相似三角形对应线段成比例以及等角的三角比相等可以顺利地建立函数关系。

解法分析：本题的第三问是相似三角形的存在性讨论。

由第一问中角的数量关系可得∠BFC=∠DEF ，因此由角进行分类讨论。

在分类讨论的过程中，善于运用斜X 型和射影定理模型即可快速得到结论，对于不存在的情况要能够排除。

解：（1）∵AD ⊥直线MN ，∠BAC =90°，∴∠BAD +∠ABD = 90°， ∠BCF +∠ABD = 90°，∴∠BAD =∠BCF ……………………………………………………………………………（1分）∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠CBF ………………………………………………………（1分） ∴△ABE ∽△CBF . …………………………………………………………………………（1分）（2）作FH ⊥BC 垂足为点H .∵△ABE ∽△CBF ，∴∠AEB =∠CFB ，∵∠AEB+∠AEF =180°，∠CFB+∠CFE =180°∴∠AEF =∠CFE ，∴AE =AF=x ；…………………………………………………………（1分） ∵BF 平分∠ABC ，FH ⊥BC ，∠BAC =90°，∴AF=FH=x .∵FH ⊥BC ，AD ⊥直线MN ，∴FH∥AD ，∴FH FC AD AC=，即8x y y x =+，…………（2分） 解得：28x y x=-（48x <<）……………………………………………………………（2分）（3）设AE=x ，由△ABE ∽△CBF ，如果以点D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCF 相似，即以点D 、E 、F 为顶点的三角形与△ABE 相似.∵∠AEB =∠DEF ，如果∠BAE =∠FDE ，得DF∥AB ，∴∠ABE =∠DFE ，∵∠ABE =∠DBE , ∴∠DBE =∠DFE ，∴BD=DF , ………………………………………（1分） 由DF∥AB ，得∠DFC=∠BAC =90°，∴∠DFC=∠ABD =90°，又∠BAD =∠BCF ，∴△ABD ≌△CDF ，…………………………………………………（1分）CF=AD=8，即2=88x x-，解得：4x =-±（舍去负值），∴4AE x ==-+…………………………（1分）如果∠BAE =∠DFE ，得AE BE EF DE=，∵∠ABF =∠BED ，∴△AEF ∽△BED ，∴∠AFE =∠BDE ， 因为∠AFE 是锐角，∠BDE 是直角，所以这种情况不成立。

相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。

2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF , ②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。

【典例指引】类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A ，B 两点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使MB MC-的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ PA⊥交y轴于点Q，问：是否存在点P 使得以A，P，Q为顶点的三角形与ABC∆相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【举一反三】（2019·海南模拟）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线335y x=+相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．类型二 【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】典例指引2．（2019年广东模拟）如图，在矩形OABC 中，AO=10，AB=8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线2y ax bx c =++经过O ，D ，C 三点.(1)求AD 的长及抛物线的解析式；(2)一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P ，Q ，C 为顶点的三角形与△ADE 相似？(3)点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 与点N 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.【举一反三】（2019·湖南模拟）如图，已知直线y=-x+3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线y=-x 2+bx+c 经过A ，B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB 上，从点A 出发，向点B 以2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t 为何值时，△APQ 为直角三角形；（3）过点P 作PE ∥y 轴，交AB 于点E ，过点Q 作QF ∥y 轴，交抛物线于点F ，连接EF ，当EF ∥PQ 时，求点F 的坐标；（4）设抛物线顶点为M ，连接BP ，BM ，MQ ，问：是否存在t 的值，使以B ，Q ，M 为顶点的三角形与以O ，B ，P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．类型三 【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】典例指引3．（2019·江苏中考真题）如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是 ______；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似．①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ______．【举一反三】（2018武汉中考）抛物线L ：y=﹣x 2+bx+c 经过点A （0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B ． （1）直接写出抛物线L 的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx ﹣k+4（k ＜0）与抛物线L 交于点M 、N ．若△BMN 的面积等于1，求k 的值；（3）如图2，将抛物线L 向上平移m （m ＞0）个单位长度得到抛物线L 1，抛物线L 1与y 轴交于点C ，过点C 作y 轴的垂线交抛物线L 1于另一点D ．F 为抛物线L 1的对称轴与x 轴的交点，P 为线段OC 上一点．若△PCD 与△POF 相似，并且符合条件的点P 恰有2个，求m 的值及相应点P 的坐标．【新题训练】1．（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初三月考）如图1，已知抛物线；C 1：y ＝﹣1m（x +2）（x ﹣m ）（m ＞0）与x 轴交于点B 、C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点E ．（1）求点B 、点C 的坐标；（2）当△BCE 的面积为6时，若点G 的坐标为（0，b ），在抛物线C 1的对称轴上是否存在点H ，使得△BGH 的周长最小，若存在，则求点H 的坐标（用含b 的式子表示）；若不存在，则请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．2．（2020·浙江初三期末）边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD ，点E 在第一象限，且DE DC ⊥，DE DC =.以直线AB 为对称轴的抛物线过C ，E 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点C 出发，沿射线CB 每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒.过点P 作PF CD ⊥于点F ，当t 为何值时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与COD ∆相似？（3）点M 为直线AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M ，N ，使得以点M ，N ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.3．（2020·长沙市长郡双语实验中学初三开学考试）如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 的图象经过点C （0，﹣2），顶点D 的坐标为（1，﹣83），与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和AEAB的值． （3）点C 关于x 轴的对称点为H ，当55FC +BF 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2019·贵州初三）如图，已知抛物线y=13x 2+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2020·河南初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线243y x bx c =-++与x 轴交于A 、D 两点，与y 轴交于点B ，四边形OBCD 是矩形，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，4），已知点E （m ，0）是线段DO 上的动点，过点E 作PE ⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，交BD 于点H ． （1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 在直线BC 上方时，请用含m 的代数式表示PG 的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．6．（2020·浙江初三期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线2yx 的对称轴为直线l ，将直线l 绕着点()0,2P 顺时针旋转α∠的度数后与该抛物线交于AB 两点（点A 在点B 的左侧），点Q 是该抛物线上一点（1）若45α∠=︒，求直线AB 的函数表达式 （2）若点p 将线段分成2:3的两部分，求点A 的坐标（3）如图②，在（1）的条件下，若点Q 在y 轴左侧，过点p 作直线//l x 轴，点M 是直线l 上一点，且位于y 轴左侧，当以P ，B ，Q 为顶点的三角形与PAM ∆相似时，求M 的坐标 7．（2020·上海初三）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝13x 2+mx +n 经过点B （6，1），C （5，0），且与y 轴交于点A ．（1）求抛物线的表达式及点A 的坐标；（2）点P 是y 轴右侧抛物线上的一点，过点P 作PQ ⊥OA ，交线段OA 的延长线于点Q ，如果∠PAB ＝45°．求证：△PQA ∽△ACB ；（3）若点F 是线段AB （不包含端点）上的一点，且点F 关于AC 的对称点F ′恰好在上述抛物线上，求FF ′的长．8．（2019·江苏初三期末）如图，抛物线y＝ax2＋5ax＋c（a＜0）与x轴负半轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，过D作DH⊥x轴于点H，延长DH交AC于点E，且S△ABD：S△ACB＝9：16，（1）求A、B两点的坐标；（2）若△DBH与△BEH相似，试求抛物线的解析式．9．（2019·湖南中考模拟）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2019·西安市铁一中学中考模拟）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为(2,1)-，并且与y轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点． （1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与BCO 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2019·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是32x =-且经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ． （1）①直接写出点B 的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点，连接PA ，PC ．求△PAC 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．（3）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2019·江苏泗洪姜堰实验学校中考模拟）如图，抛物线2481293y x x =--与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点．（1）求△AOB 的外接圆的面积；（2）若动点P 从点A 出发，以每秒2个单位沿射线AC 方向运动；同时，点Q 从点B 出发，以每秒1个单位沿射线BA 方向运动，当点P 到达点C 处时，两点同时停止运动．问当t 为何值时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△OAB 相似？（3）若M 为线段AB 上一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交抛物线于点N ．①是否存在这样的点M ，使得四边形OMNB 恰为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．②当点M 运动到何处时，四边形CBNA 的面积最大？求出此时点M 的坐标及四边形CBAN 面积的最大值．13．（2019·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：()2y ax c a x c =+-+经过点A （-3，0）和点B （0，-6），L 关于原点O 对称的抛物线为L '. （1）求抛物线L 的表达式；（2）点P 在抛物线L '上，且位于第一象限，过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D.若△POD 与△AOB 相似，求符合条件的点P 的坐标.14．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点． (1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值．(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．15．（2018·四川中考真题）如图，抛物线y=12x 2+bx+c 与直线y=12x+3交于A ，B 两点，交x 轴于C 、D 两点，连接AC 、BC ，已知A （0，3），C （﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使|MB ﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2019·湖南中考真题）如图1，△AOB 的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线F 1：21733y x x =+的图象上，点A 的横坐标为﹣4，点B 的纵坐标为﹣2.(点A 在点B 的左侧) (1)求点A 、B 的坐标；(2)将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△A 'OB '，抛物线F 2：24y ax bx =++经过A '、B '两点，已知点M为抛物线F 2的对称轴上一定点，且点A '恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A 'M ，求△OA 'M 的面积； (3)如图2，延长OB '交抛物线F 2于点C ，连接A 'C ，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA 'C 相似.若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

专题02相似三角形的判定（六个知识点八大题型二个易错点）【目录】【学习目标】1.了解相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定定理，能正确地找出相似三角形的对应边和对应角。

2.能灵活地运用三角形相似的判定定理，证明和解决有关问题，提升逻辑推理的核心素养。

【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1相似三角形及其表示方法在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.例1：下列说法一定正确的是（）（A）有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似（B）对应角相等的两个三角形不一定相似（C）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（D）一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似【答案】C【解析】根据判定定理2可知A 错误，C 正确；根据判定定理1可知B 错误，根据相似三角形预备定理可知只有直线与底边平行时才相似．【总结】考查相似三角形的判定定理掌握情况和相关条件．知识点2相似三角形的预备定理（重点）平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．如图，已知直线l 与ABC D 的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE D ∽ABC D ．例2：如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影的长度( )A ．增大1.5米B ．减小1.5米C ．增大3.5米D ．减小3.5米【答案】D 试题分析：设小明在A 处时影长为x ，B 处时影长为y ．∵AC ∥OP ，BD ∥OP ，∴△ACM ∽△OPM ，△BDN ∽△OPN ，∴BD BN OP ON =，，则，∴x=5；，∴y=1.5，∴x ﹣y=3.5，故变短了3.5米．故选D ．知识点3判定两个三角形相似定理1（重点）如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC D 与111A B C D 中，如果1A A Ð=Ð、1B B Ð=Ð，那么ABC D ∽111A B C D ．常见模型如下：例3：如图，在Rt ABC D 中，90BAC Ð=°，AD BC ^于点D ，点O 是AC 边上一点，联结BO 交AD 于点F ，OE OB ^交BC 边于点E ．求证：ABF D ∽COE D ．【难度】★★【解析】证明：Q 90BAC Ð=°，\90BAD CAD Ð+Ð=°，90ABO AOB Ð+Ð=°，又AD BC ^，OE OB ^，9090C CAD AOB EOC \Ð+Ð=°Ð+Ð=°，．BAD C ABO EOC \Ð=ÐÐ=Ð，．\ABF D ∽COE D ．【总结】考查利用“子母三角形”基础模型证明角相等，根据同角的余角相等，证明角相等，再利用相似三角形判定定理1即可证明．知识点4判定两个三角形相似定理2（重点）如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在ABC D 与111A B C D 中，1A A Ð=Ð，1111AB AC A B A C =，那么ABC D ∽111A B C D ．要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.例4:如图，点D 是ABC D 的边AB 上的一点，且2AC AD AB =g ．求证：ACD D ∽ABC D ．【难度】★【解析】证明：Q 2AC AD AB =g ，AD AC AC AB\=，A A Ð=ÐQ ，\ACD D ∽ABC D ．【总结】考查相似三角形判定定理2，根据题目条件进行比例变形，对应边成比例夹角相等．知识点5判定两个三角形相似定理3（重点）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在ABC D 与111A B C D 中，如果111111AB BC CA A B B C C A ==，那么ABC D ∽111A B C D ．要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.例5：如图，点D 为ABC D 内一点，点E 为ABC D 外一点，且满足AB BC AC AD DE AE==．求证：ABD D ∽ACE D ．【难度】★★【解析】Q AB BC AC AD DE AE== \ABC ADE D D ∽．\BAC DAE Ð=Ð， 即BAD DAC CAE DAC Ð+Ð=Ð+Ð．\BAD CAE Ð=Ð．Q AB AC AD AE= \ABD D ∽ACE D ．【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和相似三角形的性质知识．知识点6判定两个直角三角形相似定理（重点）如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC D 和111Rt A B C D 中，如果190C C Ð=Ð=°，1111AB BC A B B C =，那么ABC D ∽111A B C D ．例6：如图，在ABC D 和111A B C D 中，AD BC ^，1111A D B C ^，垂足为D 和1D ，且111111AC AB AD A CA BAD ==．求证：ABC D ∽111A B C D ．【难度】★【解析】证明：Q AD BC ^，1111A D B C ^，\11190ADC A D C Ð=Ð=o ．又Q 111111AC AB AD A C A B A D ==，\111Rt ADC Rt A D C D D ∽，\1C C Ð=Ð．同理可得：1B B Ð=Ð， \ABC D ∽111A B C D ．【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法．【方法二】实例探索法题型一：添加条件来说明三角形相似例7：如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点（DE 不平行BC ），若使△ADE 与△ABC 相似，则需要添加_____即可（只需添加一个条件）．【答案】∠ADE ＝∠C【分析】根据相似三角形判定定理：两个角相等的三角形相似；夹角相等，对应边成比例的两个三角形相似，即可解题．【详解】∵∠A 是公共角，如果∠ADE=∠C ，∴△ADE ∽△ABC ，故答案为∠ADE=∠C．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即①有两组角对应相等的三角形相似，②三边对应成比例的两个三角形相似，③两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．题型二：寻找图形中的相似三角形个数例8：如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ．图中有哪几对相似三角形？【难度】★【答案】EAF D ∽EBC D ，EAF D ∽CDF D ，EBC D ∽CDF D ．【解析】由////AB CD AD BC ，，可得：////AE CD AF BC ，，根据相似三角形预备定理，可得：EAF D ∽EBC D ，EAF D ∽CDF D ，进而可得：EBC D ∽CDF D ，即这三个三角形两两相似．【总结】考查相似三角形预备定理，同时考查相似三角形的传递性．题型三：相似三角形的判定定理应用例9：如图，点D 、E 分别在ABC V 的边AB 、AC 上，且DE 与BC 不平行．下列条件中，能判定ADE V 与ACB △相似的是（ ）A ．AD AE AC AB =B ．AD AB AE AC =C ．DE AE BC AB =D ．DE AD BC AC=【答案】A【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解．【详解】解:在ADE V 与ACB V 中，∵AD AE AC AB=，且A A ÐÐ=，∴ADE ACB V V ∽．故选:A ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定:（1）平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；（4）两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似．题型四：利用相似三角形证明等积式例10．如图，D 、E 分别是ABC D 的边AB 、AC 上的点，且AED B Ð=Ð．求证：AE AC AD AB =g g ．【难度】★【解析】证明：AED B A A Ð=ÐÐ=ÐQ ，，AED \D ∽ABC D ，AD AE AC AB\=，即AE AC AD AB =g g ．【总结】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的定义，各边对应成比例，先判定再应用即可得出结论．例11.如图，ABC D 是等边三角形，120DAE Ð=°，求证AD AE AB DE =g g ．【难度】★★【解析】证明：Q ABC D 是等边三角形，60BAC ACB \Ð=Ð=°．Q 120DAE Ð=°，60DAB CAE \Ð+Ð=°．又60ACB E CAE Ð=Ð+Ð=°，DAB E \Ð=Ð． D D Ð=ÐQ ，DAB \D ∽DEA D ，AD AB DE AE\=， 即AD AE AB DE =g g ．题型五：相似三角形应用3 2210/ 223 10【答案】22.3/，∴∠∴，∴，BF'=CF=∴，∴，∴4AE =∴844CE =-=∵在Rt AED V 中，222AE DE AD +=∴3DE =∵DF DE ^∴90FDE Ð=°又∵90ACB Ð=°∴四边形DECF 是矩形∴4DF EC ==∵在Rt EDF V 中，222DF DE EF +=∴5EF =（2）不变过点D 作DH AC ^，DG BC ^，垂足分别为点H 、G由（1）可得3DH =，4DG =∵DH AC ^，DG BC^∴90DHC DGC Ð=Ð=°又∵90ACB Ð=°，∴四边形DHCG 是矩形∴90HDG Ð=°∵90FDE Ð=°∴HDG HDF EDF HDF Ð-Ð=Ð-Ð 即EDH FDGÐ=Ð又∵90DHE DGF Ð=Ð=°∴EDH FDGV V ∽题型八：与相似三角形有关的图形运动问题例15.把两块全等的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中90ABC DEF Ð=Ð=°，45C F Ð=Ð=°，AB = DE = 4，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．（1）如图1，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证APD D ∽CDQ D ，则此时AP CQ =g ______；（2）将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时间方向旋转，设旋转角为a ．其中090a °<<°，问AP CQ g 的值是否改变？请说明理由．【难度】★★【答案】（1）8；（2）不改变．【解析】（2）易证APD CDQ D D ∽， 得：AP AD CD CQ= AP CQ CD AD \·=·．又AC =Q ， CD AD \==， 8AP CQ \·=．【总结】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形，“一线三等角”得相似等的相关知识．【方法三】差异对比法易错点1对两个三角形中的对应角和对应边的概念理解不透彻例16.在△ABC 中，直线DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，下列条件不能推出△ABC 与△ADE 相似的是（）A ．AD AE BD EC =B ．∠ADE=∠ACBC ．AE ﹒AC=AB ﹒ADD ．AD DE AB BC=【答案】D 【分析】由题意可得一组对角相等，根据相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似添加条件即可．【详解】解：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项A 不符合题意；两角对应相等，两三角形相似，故选项B 不符合题意；由AE ﹒AC=AB ﹒AD 得AD AC AE AB=，且∠A=∠A ，故可得△ABC 与△ADE 相似，所以选项C 不符合题意；而D 不是夹角相等，故选项D 符合题意；故选：D【点睛】相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．易错总结：找两个三角形的对应关系时，容易受思维定式的影响，想当然地把AB 与A1B1当成对应边，∠A 与∠A1当成对应角。

相似三角形的存在性问题解题策略
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澹。

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。

具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。

例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。

思维特训(十) 因图形运动产生的相似三角形存在性问题方法点津 ·存在性问题实质是一种条件开放探究问题，这类题的特点是在某些条件不明确的情况下，探索发现某种关系是否存在．解题思路一般是先假设结论存在，然后由假设与条件出发进行推理论证．若得出的结论符合已知条件，则结论存在；若得出的结论不符合已知条件或与定理、基本事实等相矛盾，则结论不存在．典题精练 ·类型一 有两个对应顶点不确定的相似三角形存在性问题此类题的特点是由题目条件(或推出的条件)可知要求相似的两个三角形有一个顶点的对应关系已确定，而另两个对应顶点的对应关系不确定．此时需要分两种情况讨论，然后根据不同的对应关系列比例式(或其他等量关系式)得方程解题．1．平面直角坐标系中，已知点O (0，0)，A (0，2)，B (1，0)，P 是反比例函数y ＝－1x的图象上的一个动点，过点P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q .若以点O ，P ，Q 为顶点的三角形与△OAB 相似，则相应的点P 共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图10－Y －1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A (43，53)，点D 的坐标为(0，1)． (1)求直线AD 的函数解析式；(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．图10－Y －13．如图10－Y －2，已知抛物线经过点A (－2，0)，B (－3，3)及原点O ，顶点为C .(1)求抛物线的函数解析式．(2)若P 是抛物线上第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P ，M ，A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图10－Y －24．如图10－Y －3，抛物线经过A (4，0)，B (1，0)，C (0，－2)三点．(1)求抛物线的函数解析式．(2)P 是抛物线上一动点(点P 不与点A ，B ，C 重合)，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图10－Y －35．如图10－Y －4，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x ＋4分别与坐标轴交于A ，B 两点，过A ，B 两点的抛物线为y ＝－x 2＋bx ＋c .D 为线段AB 上一动点(点D 不与点A ，B 重合)，过点D 作CD ⊥x 轴于点C ，交抛物线于点E ，连接BE .(1)求抛物线的解析式．(2)连接AE ，BC ，当DE ＝4时，求四边形CAEB 的面积．(3)是否存在点D ，使得△DBE 和△DAC 相似？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．图10－Y－46．如图10－Y－5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M 从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．图10－Y－5类型二三个对应顶点均不确定的相似三角形存在性问题此类题的特点是由题目条件(或推出的条件)无法确定要求相似的两个三角形的顶点的对应关系．此时需要分三种情况讨论，然后根据不同的对应关系列比例式(或其他等量关系式)得方程解题．7．如图10－Y－6①，已知菱形ABCD的边长为2 3，点A在x轴的负半轴上，点B 为坐标原点，点D的坐标为(－3，3)，抛物线y＝ax2＋b(a≠0)经过AB，CD两边的中点．(1)求这条抛物线的函数解析式．(2)将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移(如图②)，过点B 作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF，AF.设菱形ABCD平移的时间为t秒(0＜t ＜3)，是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．图10－Y－6详解详析1．D [解析] P 是反比例函数y ＝－1x的图象上一点，设点P 的坐标为(x ，y )． 若△PQO ∽△AOB ，则PQ AO ＝OQ BO ，即|y |2＝|x |1. ∵xy ＝－1，∴x ＝±22， ∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫22，－2或⎝⎛⎭⎫－22，2； 同理，当△PQO ∽△BOA 时，求得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，22或⎝⎛⎭⎫2，－22. 故相应的点P 共有4个．2．解：(1)设直线AD 的函数解析式为y ＝kx ＋b .将点A ⎝⎛⎭⎫43，53，D (0，1)的坐标代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧43k ＋b ＝53，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝1，故直线AD 的函数解析式为y ＝12x ＋1. (2)∵直线AD 与x 轴的交点坐标为(－2，0)，∴OB ＝2.∵点D 的坐标为(0，1)，∴OD ＝1.∵直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C (3，0)，∴OC ＝3，∴BC ＝5.当△BOD ∽△BCE 时，如图①所示，过点C 作CE ⊥BC 交直线AB 于点E .∵OB BC ＝OD CE， ∴25＝1CE， ∴CE ＝52， ∴12x ＋1＝52，解得x ＝3， ∴此时点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，52. 当△BOD ∽△BEC 时，如图②所示，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，则OD CE ＝BD BC ， ∴1CE ＝55， ∴CE ＝5，∴BE ＝BC 2－CE 2＝25－5＝2 5，∴12BE ·CE ＝12EF ·BC ， ∴2 5×5＝EF ×5，∴EF ＝2，∴12x ＋1＝2，解得x ＝2， ∴此时点E 的坐标为(2，2)．故当△BOD 与△BCE 相似时，满足条件的点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，52或(2，2)． 3．解：(1)设抛物线的函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点A (－2，0)，B (－3，3)，O (0，0)的坐标分别代入解析式可得⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝0，9a －3b ＋c ＝3，c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，c ＝0，故抛物线的函数解析式为y ＝x 2＋2x .(2)存在．如图，∵B (－3，3)，C (－1，－1)，根据勾股定理，得BO 2＝18，CO 2＝2，BC 2＝20.∵BO 2＋CO 2＝BC 2，∴△BOC 是直角三角形．假设存在点P ，使以P ，M ，A 为顶点的三角形与△BOC 相似，设P (x ，y )，由题意知x ＞0，y ＞0，且y ＝x 2＋2x ，则AM ＝x ＋2，BO ＝3 2，PM ＝y ＝x 2＋2x ，CO ＝ 2.①若△AMP ∽△BOC ，则AM BO ＝PM CO， 即AM ·CO ＝BO ·PM ， 即2(x ＋2)＝3 2(x 2＋2x )，解得x 1＝13，x 2＝－2(舍去)． 当x ＝13时，y ＝79， 即P ⎝⎛⎭⎫13，79；②若△PMA ∽△BOC ，则AM CO ＝PM BO， 即AM ·BO ＝CO ·PM ，即3 2(x ＋2)＝2(x 2＋2x )，解得x 1＝3，x 2＝－2(舍去)．当x ＝3时，y ＝15，即P (3，15)．故符合条件的点P 有两个，其坐标分别是⎝⎛⎭⎫13，79或(3，15)．4．解：(1)∵该抛物线过点C (0，－2)，∴可设该抛物线的函数解析式为y ＝ax 2＋bx －2.将A (4，0)，B (1，0)的坐标代入函数解析式，得⎩⎨⎧16a ＋4b －2＝0，a ＋b －2＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝52.∴此抛物线的函数解析式为y ＝－12x 2＋52x －2. (2)存在．如图，设点P 的横坐标为m ，则点P 的纵坐标为－12m 2＋52m －2. 当1<m <4时，AM ＝4－m ，PM ＝－12m 2＋52m －2. ∵∠COA ＝∠PMA ＝90°，∴①当AM PM ＝AO OC ＝21时，△APM ∽△ACO ， 即4－m ＝2⎝⎛⎭⎫－12m 2＋52m －2， 解得m 1＝2，m 2＝4(舍去)，∴P (2，1)；②当AM PM ＝OC OA ＝12时，△APM ∽△CAO ， 即2(4－m )＝－12m 2＋52m －2. 解得m 1＝4，m 2＝5，(均不合题意，舍去)∴当1<m <4时，P (2，1)．类似地可求出当m >4时，P (5，－2)．当m <1时，P (－3，－14)．综上所述，符合条件的点P 的坐标为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)．5．解：(1)在y ＝x ＋4中，令x ＝0，得y ＝4；令y ＝0，得x ＝－4，∴A (－4，0)，B (0，4)．∵点A (－4，0)，B (0，4)在抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上，∴⎩⎨⎧－16－4b ＋c ＝0，c ＝4，解得⎩⎨⎧b ＝－3，c ＝4， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－3x ＋4.(2)设点C 的坐标为(m ，0)(m ＜0)，则OC ＝－m ，AC ＝4＋m .∵OA ＝OB ＝4，∴∠BAC ＝45°，∴△ACD 为等腰直角三角形，∴CD ＝AC ＝4＋m ，∴CE ＝CD ＋DE ＝4＋m ＋4＝8＋m ，∴点E 的坐标为(m ，8＋m )．∵点E 在抛物线y ＝－x 2－3x ＋4上，∴8＋m ＝－m 2－3m ＋4，解得m ＝－2，∴C (－2，0)，AC ＝OC ＝CD ＝2，CE ＝6，S 四边形CAEB ＝S △ACE ＋S △ECB ＝12×2×6＋12×2×6＝12. (3)存在．设点C 的坐标为(m ，0)(m ＜0)，则OC ＝－m ，CD ＝AC ＝4＋m ，BD ＝2OC ＝－2m ，则D (m ，4＋m )．∵△DAC 为等腰直角三角形，△DBE 和△DAC 相似，∴△DBE 必为等腰直角三角形．①若∠BED ＝90°，则BE ＝DE .∵BE ＝OC ＝－m ，∴DE ＝BE ＝－m ，∴CE ＝4＋m －m ＝4，∴E (m ，4)．∵点E 在抛物线y ＝－x 2－3x ＋4上，∴4＝－m 2－3m ＋4，解得m ＝0(不合题意，舍去)或m ＝－3，∴D (－3，1)；②若∠EBD ＝90°，则BE ＝BD ＝－2m ，在等腰直角三角形EBD 中，DE ＝2BD ＝－2m ，∴CE ＝4＋m －2m ＝4－m ，∴E (m ，4－m )．∵点E 在抛物线y ＝－x 2－3x ＋4上，∴4－m ＝－m 2－3m ＋4，解得m ＝0(不合题意，舍去)或m ＝－2，∴D (－2，2)．综上所述，存在点D ，使得△DBE 和△DAC 相似，点D 的坐标为(－3，1)或(－2，2)．6．解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5 cm ，∠BAC ＝60°，∴AB ＝10 cm ，BC ＝5 3 cm.由题意知BM ＝2t cm ，CN ＝3t cm ，BN ＝(5 3－3t )cm.(1)由BM ＝BN ，得2t ＝5 3－3t ，解得t ＝5 32＋3＝10 3－15. (2)①当△MBN ∽△ABC 时，有MB AB ＝BN BC， 即2t 10＝5 3－3t 5 3， 解得t ＝52； ②当△NBM ∽△ABC 时，有NB AB ＝BM BC， 即5 3－3t 10＝2t 5 3， 解得t ＝157. ∴当t ＝52或t ＝157时，△MBN 与△ABC 相似． (3)过点M 作MD ⊥BC 于点D ，可得MD ＝t cm.设四边形ACNM 的面积为y cm 2，则y ＝S △ABC －S △BMN ＝12AC ·BC －12BN ·MD ＝12×5×5 3－12×(5 3－3t )·t ＝32t 2－5 32t ＋25 32＝32(t －52)2＋75 38， 根据二次函数的性质可知，当t ＝52时，四边形ACNM 的面积最小，最小值为75 38cm 2. 7．解：(1)由题意得AB 的中点的坐标为(－3，0)，CD 的中点的坐标为(0，3)， 将这两点的坐标分别代入y ＝ax 2＋b ，得⎩⎨⎧（－3）2a ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3. ∴这条抛物线的函数解析式为y ＝－x 2＋3.(2)存在．在Rt △BCE 中，∠BEC ＝90°，BE ＝3，BC ＝2 3，根据勾股定理得EC ＝3，∴∠C ＝60°，∠CBE ＝30°，DE ＝ 3. 又∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＋∠C ＝180°， ∴∠ADC ＝180°－60°＝120°.要使△ADF 与△DEF 相似，则△ADF 中必有一个角为直角．(I)若∠ADF ＝90°，则∠EDF ＝120°－90°＝30°.在Rt △DEF 中，DE ＝3，得EF ＝1，DF ＝2.又∵E (t ，3)，F (t ，－t 2＋3)，∴EF ＝3－(－t 2＋3)＝t 2，∴t 2＝1.∵t ＞0，∴t ＝1.此时AD DE ＝2 33＝2，DF EF ＝21＝2， ∴AD DE ＝DF EF. 又∵∠ADF ＝∠DEF ，∴△ADF ∽△DEF .(II)若∠DF A ＝90°，可证得△DEF ∽△FBA ， 则DE FB ＝EF BA. 设EF ＝m ，则FB ＝3－m . ∴33－m ＝m 2 3，即m 2－3m ＋6＝0，此方程无实数根， ∴此时t 不存在．(III)由题意，得∠DAF ＜∠DAB ＝60°， ∴∠DAF ≠90°.综上所述，当t ＝1时，△ADF 与△DEF 相似．。