函数的奇偶性、周期性与对称性专题训练
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )
A ．－3
B ．－54
C ．5
4 D ．3
2．函数y ＝log 2
1＋x
1－x
的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝－x 对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y ＝x 对称
3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )对x ∈R 恒成立，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则f ? ??
??
－92＝( )
A ．12
B ． 2
C ．2
2 D ．1
4．已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a ＜b ＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b ，－a ]上( )
A ．有最大值4
B ．有最小值－4
C ．有最大值－3
D ．有最小值－3
5．已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (2)，则x 的取值范围是( ) A ．? ????
1100，1 B ．? ?
???0，
1100∪(1，＋∞) C ．? ????
1100，100 D ．(0,1)∪(100，＋∞)
二、填空题
6．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋m －3是定义在[n ，n ＋6]上的奇函数，则m ＋
n ＝________.
7.已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任
8．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ? ??
??
13的
x 的取值范围是________．
三、解答题
9．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ? ????32＋x ＝－f ? ???
?
32－x 成立．
(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值．
10．设f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝
x 1－3x
.
(1)求当x ＜0时，f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＜－x
8
.
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
11．已知f (x )＝a sin x ＋b 3
x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ?
????lg 13＝( ) A ．13 B ．－1
3 C ．5 D ．8
12．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，
则实数a 的取值范围为( )
A ．(－1,4)
B ．(－2,0)
C ．(－1,0)
D ．(－1,2)
13．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝? ????12x
，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________.
14．已知函数f (x )＝???
－x 2＋2x ，x ＞0，
0，x ＝0，
x 2
＋mx ，x ＜0
是奇函数，
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．
函数的奇偶性、周期性与对称性专题训练答案
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )
A ．－3
B ．－54
C ．5
4
D ．3
A [因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，
则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.] 2．函数y ＝log 21＋x
1－x
的图象( )
A ．关于原点对称
B ．关于直线y ＝－x 对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线y ＝x 对称
A [由1＋x 1－x ＞0得－1＜x ＜1，
即函数定义域为(－1,1)， 又f (－x )＝log 2
1－x 1＋x ＝－log 21＋x
1－x
＝－f (x )， 所以函数y ＝log 21＋x
1－x
为奇函数，故选A.]
3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )对x ∈R 恒成立，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x
，则f ? ??
??
－92＝( )
A ．12
B ． 2
C ．2
2 D ．1
B [由题意得f ? ????－92＝f ? ????92＝f ? ????4＋12＝f ? ????
12＝212
＝2，故选B.]
4．已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a ＜b ＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b ，－a ]上( )
A ．有最大值4
B ．有最小值－4
C ．有最大值－3
D ．有最小值－3
B [法一：根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知，选B. 法二：当x ∈[－b ，－a ]时，－x ∈[a ，b ]，
由题意得f (b )≤f (－x )≤f (a )，即－3≤－f (x )≤4， ∴－4≤f (x )≤3，即在区间[－b ，－a ]上f (x )min ＝－4，
f (x )max ＝3，故选B.]
5．已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (2)，则x
的取值范围是( ) A ．? ????
1100，1 B ．? ?
???0，1100∪(1，＋∞) C ．? ??
??
1100，100 D ．(0,1)∪(100，＋∞)
C [法一：不等式可化为：??
?
lg x ≥0，
lg x ＜2
或??
?
lg x ＜0，－lg x ＜2，
解得1≤x ＜100
或1100＜x ＜1，所以x 的取值范围为? ??
??1100，100. 法二：由偶函数的定义可知，f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，故不等式f (lg x )＞f (2)可化为|lg x |＜2，即－2＜lg x ＜2，解得
1
100
＜x ＜100，故选C.] 二、填空题
6．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋m －3是定义在[n ，n ＋6]上的奇函数，则m ＋
n ＝________.
0 [因为奇函数的定义域关于原点对称，所以n ＋n ＋6＝0，所以n ＝－3， 又f (0)＝m －3＝0.所以m ＝3，则m ＋n ＝0.]
7．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任
意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________. 1 [由题意得f (2)＝f (－2＋4)＝f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＝0.
∵f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (2)－f (3)＝1.]
8．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ? ??
??
13的
x 的取值范围是________．
? ??
??
13，23 [∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)， ∴f (|2x －1|)＜f ? ????
13，再根据f (x )的单调性，得|2x －1|＜13，解得13＜x ＜23.]
三、解答题
9．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ? ????32＋x ＝－f ? ????32－x 成立．
(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值． [解] (1)由f ? ????32＋x ＝－f ? ??
??
32－x ，
且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ? ????32＋? ????32＋x ＝－f ? ????
32－? ????32＋x ＝－f (－x )
＝f (x )，所以y ＝f (x )是以3为周期的周期函数．
(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.
10．设f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝
x 1－3x
.
(1)求当x ＜0时，f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＜－x
8
.
[解] (1)f (x )是奇函数，当x ＜0时，－x ＞0，此时f (x )＝－f (－x )＝－
－x
1－3－x
＝x
1－3－x
. (2)f (x )＜－x 8，当x ＞0时，x 1－3x ＜－x
8，所以11－3x ＜－18，所以13x －1＞1
8，所
以3x －1＜8，解得x ＜2，所以x ∈(0,2)；
当x ＜0时，x 1－3－x ＜－x 8，所以11－3－x
＞－1
8，所以3－x ＞32，所以x ＜－2，所以原不等式的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
11．已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ?
?
???lg 13＝( )
A ．13
B ．－1
3
C ．5
D ．8
C [因为f (x )＋f (－x )＝8，f ?
????lg 13＝f (－lg 3)，所以f ? ?
???lg 13＝8－f (lg 3)＝5，故选C.]
12．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3
a ＋1，
则实数a 的取值范围为( )
A ．(－1,4)
B ．(－2,0)
C ．(－1,0)
D ．(－1,2) A [∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)， ∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1＜1，即a －4
a ＋1
＜0， 解得－1＜a ＜4.]
13．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝? ??
??12x
，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________. f (1)＞g (0)＞g (－1) [在f (x )－g (x )＝? ????
12x
中，
用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，
由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )， 因此得－f (x )－g (x )＝2x . 联立方程组解得f (x )＝2－x －2x
2，
g (x )＝－2－x ＋2x
2
，
于是f (1)＝－3
4，g (0)＝－1，
g (－1)＝－5
4
，
故f (1)＞g (0)＞g (－1)．]
14．已知函数f (x )＝???
－x 2＋2x ，x ＞0，
0，x ＝0，
x 2
＋mx ，x ＜0
是奇函数，
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． [解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，
所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，
于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数， 要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增． 结合f (x )的图象知??
?
a －2＞－1，
a －2≤1，
所以1＜a ≤3，
故实数a 的取值范围是(1,3]．