知 识 拓 展 篇
第一篇、复合函数问题
一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ?B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.
二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析：
(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域
思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。
例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。 解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01< 例2. 若函数f x x ()= +1 1 ，则函数[]f f x ()的定义域为______________。 解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+1 1 ，知x ≠-1 即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用 所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-?? ?1 1 () 即x x ≠-+≠-?????111 1，解得x x ≠-≠-12且 故函数[]f f x ()的定义域为{} x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域 思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。 例3. 已知f x ()32-的定义域为[] x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。 解析：f x ()32-的定义域为[]-12，，即[]x ∈-12，，由此得[] 3215-∈-x ， 所以f 的作用范围为[]-15，，又f 对x 作用，作用范围不变，所以[] x ∈-15， 即函数f x ()的定义域为[] -15， 例4. 已知f x x x ()lg 2 2 248 -=-，则函数f x ()的定义域为______________。 解析：先求f 的作用范围，由f x x x ()lg 2 2248-=-，知x x 2 2 8 0-> 解得x 244->，f 的作用范围为()4，+∞，又f 对x 作用，作用范围不变，所以 x ∈+∞()4，，即f x ()的定义域为()4，+∞ （3）、已知[]f g x ()的定义域，求[]f h x ()的定义域 思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，f 的作用范围为E ，又f 对h x ()作用，作用范围不变，所以h x E ()∈，解得x F ∈，F 为[]f h x ()的定义域。 例5. 若函数f x ()2的定义域为[] -11，，则f x (log )2的定义域为____________。 解析：f x ()2的定义域为[]-11，，即[] x ∈-11，，由此得21 22x ∈???? ? ?， f 的作用范围为122，???? ? ? 又f 对log 2x 作用，所以log 21 22x ∈???? ??，，解得[ ] x ∈ 24， 即f x (log )2的定义域为 [ ] 24， 评注：函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。 （二）同步练习： 1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数)x (f 2 的定义域。 答案：]1,1[- 2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域。 答案：]9,3[- 3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域。 答案：) 23,1()0,2 1(?- 4、设()x x x f -+=22lg ，则?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为（ ） A. ()()4,00,4 - B. ()()4,11,4 -- C. ()()2,11,2 -- D. ()()4,22,4 -- 解：选C.由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<。故22,2 22 2.x x ? -< ? ?-< () 4,11,4x ∈--。故?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为()()4,11,4-- 5、已知函数)(x f 的定义域为)23 ,21(-∈x ，求)0)(()()(>+=a a x f ax f x g 的定义域。 ［解析］由已知，有?????? ?<<-<<-??????? ?<<-<<-.232 , 2321, 232 1,232 1a x a a x a a x ax （1）当1=a 时，定义域为}2 3 21|{<<- x x ； （2）当a a 23 23>，即10< 21a a ->-， 定义域为}23 2|{a x a x <<-； （3）当a a 2323<，即1>a 时，有2 21a a -<-， 定义域为}23 21|{a x a x <<-. 故当1≥a 时，定义域为}23 21|{a x a x <<-； 当10< 32|{a x a x <<- ［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。 三、复合函数单调性问题 （1）引理证明 已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数. 证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21 因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, )(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且 因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即 ))(())((21x g f x g f <， 故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. （2）．复合函数单调性的判断 复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表： 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ 确定函数的定义域； ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。 ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性； ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。 （4）例题演练 例1、 求函数)32(log 2 2 1--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明 解：定义域 130322 -<>?>--x x x x 或 单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则 )32(log 1212 11--=x x y )32(log 22 22 12--=x x y ---)32(12 1x x )32(22 2--x x =)2)((1212-+-x x x x ∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(22 2--x x 又底数12 1 0<< ∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数 同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数 ［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性. ［解］由01232>--x x 得函数的定义域为 }.3 1 ,1|{-<>x x x 或 则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数. 若3 1 - --=x x x f a 为减函数，若3 1 - 23(lo g )(2 --=x x x f a 为增函数. 例3、.已知y=a log (2-x a )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1 当a ＞1时，函数t=2-x a >0是减函数 由y=a log (2-x a )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是增函数， ∴a ＞1 由x ∈［0，1］时，2-x a ≥2-a ＞0,得a ＜2, ∴1＜a ＜2 当0 a >0是增函数 由y=a log (2-x a )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是减函数， ∴0 由x ∈［0，1］时，2-x a ≥2-1＞0, ∴0 例4、已知函数2)3()2(2-+--=-a x a ax x f （a 为负整数）的图象经过点 R m m ∈-),0,2(，设)()()()],([)(x f x pg x F x f f x g +==.问是否存在实数)0( )(x F 在区间)]2(,(f -∞上是减函数，且在区间)0),2((f 上是减函数？并证明你的结论。 ［解析］由已知0)2(=-m f ，得02)3(2=-+--a m a am ， 其中.0,≠∈a R m ∴0≥?即09232≤--a a ， 解得 .3 7 213721+≤≤-a ∵a 为负整数，∴.1-=a ∴1)2(34)2(2+--=-+-=-2x x x x f ， 即.1)(2+-=x x f 2 4 2 2 21)1()]([)(x x x x f f x g +-=++-==， ∴.1)12()()()(24+-+-=+=x p px x f x pg x F 假设存在实数)0( ∴].12)()[()()(22 21222121-++--=-p x x p x x x F x F ∵3)2(-=f ，当)3,(,21--∞∈x x 时，)(x F 为减函数， ∴0)()(21>-x F x F ，∴.012)(,022212221>-++->-p x x p x x ∵3,321-<- 21>+x x , ∴11612)(22 21-->-++-p p x x p , ∴.0116≥--p ① 当)0,3(,21-∈x x 时,)(x F 增函数,∴.0)()(21<-x F x F ∵02221>-x x ,∴11612)(22 21--<-++-p p x x p , ∴0116≤--p . ② 由①、②可知161- =p ，故存在.16 1 -=p （5）同步练习： 1．函数y ＝2 1log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ） A ．（－∞，1） B ．（2，＋∞） C ．（－∞， 23 ） D ．（ 2 3 ，＋∞） 解析：先求函数定义域为（－o ，1）∪（2，＋∞），令t （x ）＝x 2＋3x ＋2，函数t （x ） 在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y ＝2 1log （x 2－3x ＋2）在（2，＋∞）上单调递减． 答案：B 2找出下列函数的单调区间. （1）)1(2 32>=++-a a y x x ； （2）.2 3 22++-=x x y 答案：(1)在]23,(-∞上是增函数，在),2 3[+∞上是减函数。 （2）单调增区间是]1,1[-，减区间是]3,1[。 3、讨论)0,0(),1(log ≠>-=a a a y x a 且的单调性。 答案：,1>a 时),0(+∞为增函数，01>>a 时，)0,(-∞为增函数。 4．求函数y ＝3 1log （x 2－5x ＋4）的定义域、值域和单调区间． 解：由μ（x ）＝x 2－5x ＋4＞0，解得x ＞4或x ＜1，所以x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛μ｜μ＝x 2－5x ＋4｝＝R ＋ ，所以函数的值域是R ＋ ．因为 函数y ＝3 1log （x 2－5x ＋4）是由y ＝3 1 log μ（x ）与μ（x ）＝x 2－5x ＋4复合而成，函数y ＝3 1 log μ（x ）在其定义域上是单调递减的，函数μ（x ）＝x 2－5x ＋4在（－∞，2 5 ）上为 减函数，在［ 25 ，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y ＝3 1log （x 2－5x ＋4）的增区间是定义域内使y ＝3 1 log μ（x ）为减函数、μ（x ）＝x 2－5x ＋4也为减函 数的区间，即（－∞，1）；y ＝3 1log （x 2－5x ＋4）的减区间是定义域内使y ＝3 1 log μ（x ）为 减函数、μ（x ）＝x 2－5x ＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）． 第二篇 函数图象问题 数形结合是中学数学的重要的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具. （一）知识方法 1.用描点法作函数的图象. 2.正比例函数、反比例函数、二次函数的图象及几种基本初等函数的图象. 3.图象变换与变量替换的关系 (1)平移变换（（2）变换作图法： ①平移：??????→?=个单位向右平移a x f y )()(a x f y -=； )(x f y =??????→?个单位 向上平移 b .)(b x f y += ②对称：)(x f y =?????→?轴对称 关于x )(x f y -=； )(x f y =?? ???→?轴对称 关于y )(x f y -=； )(x f y =?????→?关于原点对称 )(x f y --=. ③其他：)(x f y =?? ??????→?再把 轴上方图象保留,x |)(|x f y =； )(x f y =?????????→?再把 轴右边的图象保留 ,x |).(|x f y = ［例］作函数1||4||2+-=x x y 的图象时，先用虚线作 14||2+-=x x y 的图象，再保留y 轴右边图象，并把它对称翻到 y 轴左边，即得到1||4||2+-=x x y 的图象，如图所示。 4．作函数图像的一般步骤是： （1）求出函数的定义域；（2）化简函数式；（3）讨论函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性）以及图像上的特殊点、线（如极值点、渐近线、对称轴等）；（4）利用基本函数的图像画出所给函数的图像。 （二）例题演练： 例1．函数1 1 1-- =x y 的图象是（ ） 轴下方图象对称到上方 x 轴左边 轴右边图象对称到y y ［解析］该题考查对x x f 1)(= 图象以及坐标平移公式的理解，将函数x x f 1 )(=的图象变形到1 1)(-=x x f ，即向右平移一个单位，再变形到11 )(--=x x f ，即将前面图象沿x 轴翻转， 再变形到11 1 )(+--=x x f ，即将前面图象再向上平移一个单位，从而得到答案B 。 例2．如图所示，)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质：“对]1,0[中任意的1x 和2x ，)]()([2 1 )2( 2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有（ ） ［解析］)2( 21x x f +为自变量21,x x 的中点，)2 (2 1x x f +对应的函数值即 “中点的纵坐标”，)]()([2 1 21x f x f +为自变量21,x x 对应的函数值所对应的点的中点，即“纵坐标的中点” 。再结合)(x f 函数图象的凹凸性，可得到答案A ，这是函数凹凸性的基本应用。故选A 。 例3、利用函数x x f 2)(=的图象，作出下列各函数的图象： （1）)1(-x f ；（2）|)(|x f ；（3）1)(-x f ；（4）)(x f -；（5）.|1)(|-x f ［解析］利用指数函数x y 2=的图象及变换作图法可作要作的函数图象，其图象如图（1）—（5）中的实线部分。 ［例4］已知0>a ，且≠a 1，函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的（ ） ［分析］可以从图象所在的位置及单调性来判别，也可利用函数的性质识别图象，特别注意底数a 对图象的影响。 解法一：首先，曲线x a y =只可能在上半平面，)(log x y a -=只可能在左半平面上，从而排除A 、C 。 其次，从单调性着眼，x a y =与)(log x y a -=的增减性正好相反，又可排除D 。 解法二：若10< )0,1(-，以上图象均不符合这些条件. 若1>a 时，则曲线x a y =上升且过(0,1)，而曲线)(log x y a -=下降且过)0,1(-，只有B 满足条件。 解法三：如果注意到)(log x y a -=的图象关于y 轴的对称图象为x y a log =，又x y a l o g =与x a y =互为反函数（图象关于直线x y =对称），则可直接选定B 。 ［答案］B ［例5］作出2|)1(log |2++=x y 的图象. ［分析］利用图象变换作图（如图） ［解析］第一步：作出x y 2log =的图象（图①）. 第二步：将x y 2log =的图象沿x 轴向左平移1个单位得)1(log +=x y x 的图象（图②）. 第三步：将)1(log 2+=x y 的图象在x 轴下方的图象，以x 轴为对称轴对称到x 轴的上方得|)1(log |2+=x y 的图象）（图③）. 第四步：将|)1(log |2+=x y 的图象沿y 轴方向向上平移2个单位，得到 2|)1(log |2++=x y 的图象（图④）. ［点评］（1）一般地，函数),()(为正数b a b a x f y ±±=的图象可由函数)(x f y =的图象变换得到。 将)(x f y =的图象向左或向右平移a 个单位可得到函数)(a x f y ±=的图象，向下或向上 平移b 个单位可得到函数b a x f y ±±=)(的图象（记忆口诀：上加下减）。 （2）含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换，一般地，|)(|a x f y -=的图象是关于a x =对称的轴对称图形；函数|)(|x f y =的图象与)(x f y =的图象在x 轴上方相同，在x 轴下方关于x 轴对称。 （3）)(x f y =的图象)(x f y -=的图象关于y 轴对称，)(x f y =的图象与)(x f y -=的图象关于x 轴对称。 ［例6］函数)(x f y =与函数 )(x g y =的图象如右，则函数)(x f y =·)(x g 的图象是（ ） ［解析］由图象可知，)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，且)(x f 与)(x g 的公共定义域为 0≠x ，排除C 、D 。令)()(x f x F =·)(x g ，则)()()()(x f x g x f x F -=-?-=-·)(x g ，所以)()()(x g x f x F ?=为奇函数，其图象关于原点对称，排除B 。故选A 。 三、同步练习： 1：如图所示，单位圆中弧AB 的长为,()x f x 表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数()y f x =的图象是 答案：( D ) 设计意图：考察图象与式子运算的能力 2、为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a 与其前三个月的市场收购 价格有关，且使a 与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6 则7月份该产品的市场收购价格应为 （ ） A ．69元 B ．70元 C ．71元 D ．72元 答案：C 3、已知函数)(x f 是R 上的增函数，)1,3(),1,0(-A 是其函数图象上的两点，那么1)1(<+x f 的解集的补集是： （ ） )2,1.(-A )4,1.(B ),4[]1,(+∞?--∞C ),2[]1,(+∞?--∞D 答案：D 4、方程22x X =的实根的个数为（ ）A ：0 B ：1 C ：2 D ：3 答案D 5．为了得到函数x y )31(3?=的图象，可以把函数x y )3 1(=的图象（ ） A ．向左平移3个单位长度 B ．向右平移3个单位长度 C ．向左平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度 ［解析］∵1)31()31(3-=?=x x y ，∴由x y )3 1(=的图象向右平移1个单位长度。 6．已知函数x x f 2)(=，则)1(x f -的图象为图中的（ ） ［解析］11)21()21(2222)1(---=?=?==-x x x x x f ，这是把函数x y )2 1(=的图象向右平移1个单位而得。 故选C 。 7。要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到。 答案：y 轴，右 8。已知)(x f 是偶函数，则)2(+x f 的图像关于__________对称；已知)2(+x f 是偶函数，则函数)(x f 的图像关于____________对称. 答案：直线2x =-；直线2x = 9、写出函数)21(log 2 4x x y +-=的图像经过怎样的变换可得到函数x y 2log =的图像。 答案、左移1个单位 10、 若01a <<,则方程log x a a x =有几个实根 答案：（1） 2个 11、设曲线C 的方程是x x y -=3 ,将C 沿x 轴,y 轴正方向分别平行移动t,s 单位长度后得曲线1C 。 (1)写出曲线1C 的方程；(2)证明曲线C 与1C 关于点?? ? ??2,2s t A 对称 答案：（1）3 ()()y x t x t s =---+（2）略 12、将函数x y 2 1log =的图像沿x 轴向右平移1个单位，得到图像C ，图像C 1与C 关于原点对称，图像C 2与C 1关于直线y=x 对称，求C 2对应的函数。 答案、12x y =-- 13、试讨论方程kx x =-1的实数根的个数。 答案、0k =≥或k 1或k<-1时有一解；当01k <<时有二解；当10k -≤<无解 14、设a 是常数，函数f(x)对一切实数x 都满足)()(x a f x a f +-=-，求证函数f(x)的图像关于点(a,0)成中心对称图形。 答案：略 第三篇 函数的解析式问题 （一）、知识回顾： 1、求函数解析式的常用方法： ⅰ、换元法（ 注意新元的取值范围） ⅱ、待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ⅲ、整体代换（配凑法） ⅳ、构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等） 2、求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。 3、理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 （二）、例题演练： 例1、求下列函数的解析式： （1）已知x x x f 2)(2+=，求)12(+x f ； （2）已知x x x f 2)1(+=-，求)(x f ； （3）已知23)1 (2)(+=-x x f x f ，求).(x f ［解析］（1）.384)12(2)12()12(22++=+++=+x x x x x f （2）解法一（拼凑法）：3)1(4)1()1(2+-+-=-x x x f ，而.11-≥-x 故所求的函数).1(34)(2-≥++=x x x x f 解法二（换元法）：令1-= x t ，则1,1+=-≥t x t 且， ∴.34)1(2)1()(22++=+++=t t t t t f 故所求的函数为).1(34)(2-≥++=x x x x f （3）令x t 1= ，则t x 1=，∴23 )(2)1(+=-t t f t f ， 即23 )(2)1(+=-x x f x f .与原式联立，得 ?????? ? +=-+=-, 23)(2)1(,23)1(2)(x x f x f x x f x f 解得.22)(---=x x x f ∴所求的函数为.22 )(-- -=x x x f ［点评］由)]([x g f y =的解析式，求出函数)(x f y =后，应注意函数的定义域。此时x 的取值不仅要使)(x f y =有意义，同时还要使)]([x g f y =也有意义，也就是)(x f y =的定义域包含于)(x g t =的值域之中。 例2、设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ，且图象在y 轴上的截距为1，被x 截得的线段长为22，求)(x f 的解析式。 ［解析］解法一：设)0()(2≠++=a c bx ax x f .由)2()2(--=-x f x f 得04=-b a ①； 又22| |||21=? = -a x x ，∴2284a ac b =- ②； 又由已知得1=c ③； 由①②③得,2=b 1,21== c a ，∴.122 1 )(2++=x x x f 解法二：)2()2(--=-x f x f ，故)(x f y =的图象有对称轴2-=x ，可设依题意可设设 c x a x f ++=2)2()(，有11)0(-=∴-=c f 2 1 ),14(4164)()(2221221221=∴--=-+=-=a a x x x x x x 解法三：∵)(x f y =的图象有对称轴2-=x ，又22||21=-x x ， ∴)(x f y =与x 轴的交点为).0,22(),0,22(+--- 故可设).22)(22()(-+++=x x a x f ∵1)0(=f ，∴2 1 = a （其余略）。 ［点评］三种方法均是待定系数法求二次函数的解析式，可以得到充分挖掘题目的隐含条件及充分利用图形的直观性，是简化运算的有效手段。 ［例3］设)(x f 是R 上的函数，且满足1)0(=f ，并且对任意实数x 、y 有 )12()()(+--=-y x y x f y x f ，求)(x f 的表达式。 ［解］解法一：由)12()()(,1)0(+--=-=y x y x f y x f f ， 设y x =，得).12()()0(+--=x x x x f f ∵1)0(=f ，∴1)12()(=+--x x x x f ， 即1)(2++=x x x f 。 又令x t =-，代入上式得)1(1)1)((1)(x x x x x f +=+--=， ∴.1)(2++=x x x f [点 评]：赋值法（亦称特殊值法），可以取特殊值，亦可以是变量换变量，然后通过解方 程组求出参数。 例4、（1）已知)0()(≠+=a b ax x f ，且89)(+=+x b x af ，求).(x f （2）已知c bx ax x f ++=2)(，若0)0(=f ，且1)()1(++=+x x f x f ，试求)(x f 的表达式。 ［解析］（1）∵b ab x a b b ax a b x af ++=++=+2)()(， ∴???-=-=???==? ??=+=.4, 32,3,8,92b a b a b ab a 或解得 ∴23)(+=x x f 或.43)(--=x x f （2）∵0)0(==c f ，∴b a x b a ax c x b x a x f ++++=++++=+)2()1()1()1(22， 1)1(11)(22+++=+++=++x b ax x bx ax x x f ， ∴??? ??? ?==????=++=+. 21, 21,1,12b a b a b b a ∴.2121)(2x x x f += ［点评］此题通过待定系数法来求函数的解析式。这是已知函数类型求其解析式的常用方法。 例5、已知函数x x y +=2 与)(x g y =的图象关于点（--2，3）对称，求)(x g 的解析式。 解：设)(x g 上任意一点为),(y x ，则)6,4(y x ---在x x y +=2 上，代入整理得 2()76g x x x =--- （三）、同步练习： 1、下列各函数解析式中，满足)(2 1 )1(x f x f =+的是 （ ） （A ） 2x （B ）21+x （C ） x -2 （D ）x 2 1log 答案：C 2、已知32)12 1(+=-x x f ，且 6)(=m f ，则m 等于 （ ） （A ） 41- （B ）41 （C ） 23 （D ）2 3 - 答案：A 3、已知1)1(+=+x x f ，则函数)(x f 的解析式为 （ ） （A ）2 )(x x f = （B ）)1(1)(2 ≥+=x x x f （C ）)1(22)(2≥+-=x x x x f （D ）)1(2)(2 ≥-=x x x x f 答案：C 4、已知22 11)11(x x x x f +-= +-，则)(x f 的解析式可取为y 等于（ ） A ．21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．21x x +- 答案：C 5.设函数? ??≤++>=, 0,.0,2)(2x c bx x x x f 若2)2(),0()4(-=-=-f f f 则关于x 的方程 x x f =)(的解的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案：C 6、若函数)(x f 满足关系式x x f x f 3)1 (2)(=+，则)(x f 的表达式为__________ 答案： 2 x x - 7、设函数1 1 )(+= x x f 的图象为1C ，若函数)(x g 的图象2C 与1C 关于x 轴对称，则)(x g 的解析式为________________. 答案：1 1 x - +、 8、若一次函数y=f (x)在区间]2,1[-上的最大值为3，最小值为1，则y=f (x)的解析式为_____________． 答案：27()33f x x =- +或25()33 f x x =+ 9、已知)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,且1 1 )()(-=+x x g x f ,则)(x f = ___ 答案： 2 1 x x - 10、二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+，且1)0(=f 。⑴ 求)(x f 的解析式； ⑵ 在区间]1,1[-上，)(x f y =的图象恒在m x y +=2的上方，试确定m 的范围。 答案（1）2 ()1f x x x =-+ （2）1m <- 11、已知)1(log )(2+=x x f ，当点),(y x 在函数)(x f y =的图象上运动时，点)2 ,3(y x 在 函数)(x g y =的图象上运动 （1） 写出)(x g y =的解析式； （2） 求出使)()(x f x g >的x 的取值范围； （3） 在（2）的范围内，求)()(x f x g y -=的最大值。 答案：（1）21()log (31)2g x x =+ （2）01x << （3）23log 32 - 第四篇 二次函数问题 一、知识要点： 1、二次函数的三种表示方法：（1）一般式c bx ax y ++=2 （2）顶点式n m x a y ++=2 )( （3）两点式))((21x x x x a y ++= 2、一元二次方程与二次函数的关系。 3、一元二次函数在区间的最值问题。 4、．二次函数的图象与二次方程根的分布 由于二次函数图象与x 轴交点的横坐标即为二次方程的根，所以我们通常可借助二次函数 )0()(2≠++=a c bx ax x f 的图象来讨论二次方程02=++c bx ax 的实根分布情况。 二、例题演练 例1、求12)(2--=ax x x f 在区间]2,0[上的最大值和最小值。 ［分析］解决这类问题的关键是判别函数的定义域各区间上的单调性，再利用函数的单调性解决问题。