数学归纳法证明不等式的注意事项
(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法；
(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．
已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，a 2n ＋1－a 2n ＝2.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)证明：1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1
a n
≤2n －1对一切n ∈N *恒成立．
解：(1)由a 2n ＋1－a 2n ＝2得a 2
n ＝2n －1，
所以a n ＝2n －1.
(2)证明：①当n ＝1时，1＝1成立；当n ＝2时，左边<右边． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1
a k <2k －1成立，
那么当n ＝k ＋1时，
1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a k ＋1a k ＋1 <2k －1＋1
2k ＋1
<2k －1＋
2
2k ＋1＋2k －1
＝2k ＋1，不等式成立．
由①②可得1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1
a n
≤2n －1对一切n ∈N *恒成立．
归纳—猜想—证明
[典例引领]
(2018·宁波效实中学高三期中)已知数列{a n }，a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4a n －1(n ∈N *)．
(1)求a 2，a 3，a 4的值，并猜想{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想．
【解】 (1)因为a 1＝3，且a n ＋1＝3a n －4
a n －1，
所以a 2＝3×3－43－1
＝52，a 3＝3×52－452－1＝7
3，
a 4＝3×73－4
73－1＝9
4，由此猜想a n ＝2n ＋1n .
(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝
2×1＋1
1
＝3，满足要求，猜想成立； ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，猜想成立， 即a k ＝2k ＋1
k
，
那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝3a k －4a k －1＝3×2k ＋1k －4
2k ＋1k －1＝2k ＋3k ＋1＝2（k ＋1）＋1
k ＋1
，
这就表明当n ＝k ＋1时，猜想成立，
根据①②可以断定，对所有的正整数该猜想成立，即a n ＝2n ＋1
n
.
“归纳——猜想——证明”的模式
2019年高考数学二轮复习试题：专题六 第4讲 用数学归纳法证明数列问题附解析
第4讲用数学归纳法证明数列问题 选题明细表 知识点·方法巩固提高A 巩固提高B 数学归纳法的理解1,2,5 1 数学归纳法的第一步3,7 2,7 3,4,5,6,8, 数学归纳法的第二步4,6,10,12 9,12 类比归纳8,9,11 10,11 数学归纳法的应用13,14,15 13,14,15 巩固提高A 一、选择题 1.如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立,若P(n)对n=2也成立,则下列结论正确的是( B ) (A)P(n)对所有正整数n都成立 (B)P(n)对所有正偶数n都成立 (C)P(n)对所有正奇数n都成立 (D)P(n)对所有正整数n都成立 解析:由题意n=k时成立,则n=k+2时也成立,又n=2时成立,则P(n)对所有正偶数都成立.故选B. 2.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≤k2成立时,总可推出f(k+1)≤(k+1)2成立.”那么,下列命题总成立的是( D )
(A)若f(2)≤4成立,则当k≥1时,均有f(k)≤k2成立 (B)若f(4)≤16成立,则当k≤4时,均有f(k)≤k2成立 (C)若f(6)>36成立,则当k≥7时,均有f(k)>k2成立 (D)若f(7)=50成立,则当k≤7时,均有f(k)>k2成立 解析:若f(2)≤4成立,依题意则应有当k≥2时,均有f(k)≤k2成立,故A不成立; 若f(4)≤16成立,依题意则应有当k≥4时,均有f(k)≤k2成立,故B不成立; 因命题“当f(k)≤k2成立时,总可推出f(k+1)≤(k+1)2成立”?“当f(k+1)>(k+1)2成立时,总可推出f(k)>k2成立”;因而若f(6)>36成立,则当k≤6时,均有f(k)>k2成立 ,故C 也不成立; 对于D,事实上f(7)=50>49,依题意知当k≤7时,均有f(k)>k2成立,故D成立. 3.若f(n)=1+++…+(n∈N*),则f(1)为( C ) (A)1 (B) (C)1++++(D)非以上答案 解析:注意f(n)的项的构成规律,各项分子都是1,分母是从1到6n-1的正整数, 故f(1)=1++++.故选C. 4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N*),从k到k+1时,左端需增乘的代数式为( B ) (A)2k+1 (B)2(2k+1) (C)(D) 解析:n=k时左边为(k+1)(k+2)…(k+k),n=k+1时左边为(k+2)(k+3)…(k+k+2),
高三一轮复习2021版 第六章 第6讲 数学归纳法
第6讲 数学归纳法 1．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 2．明确数学归纳法的两步证明 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n ＝k ＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”． (2019·台州书生中学月考)用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋ 1＝ 1－a n ＋ 2 1 －a (a ≠1，n ∈N *)”，在验证n ＝1时，等式左边是( ) A ．1 B ．1＋a C ．1＋a ＋a 2 D ．1＋a ＋a 2＋a 3 解析：选C.由题意，根据数学归纳法的步骤可知，当n ＝1时，等式的左边应为1＋a ＋a 2，故选C. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边需增添的代数式是( ) A ．2k ＋2 B ．2k ＋3 C ．2k ＋1 D ．(2k ＋2)＋(2k ＋3) 答案：D 用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞127 64(n ∈N *)成立，其初始值至少应取 ( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 解析：选B.据已知可转化为1×????1－12n 1－12＞127 64，整理得2n ＞128，解得n ＞7，故原不等 式的初始值为n ＝8. 多面体 面数(F ) 顶点数(V ) 棱数(E ) 三棱柱 5 6 9
2019-2020年高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第6讲数学归纳法知能训练轻松闯关理北师大版
2019-2020年高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第6讲数学归纳 法知能训练轻松闯关理北师大版 1．凸n 多边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1 D ．f (n )＋n －2 解析：选C.边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n －2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n －1条． 2．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(其中k ∈N * ) B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(其中k ∈N * ) C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(其中k ∈N * ) D ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋2时正确(其中k ∈N * ) 解析：选B.因为n 为正奇数，所以n ＝2k －1(k ∈N * )． 3．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1 1)”时，由n ＝k (k >1)不等式成 立，推理n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________． 解析：当n ＝k 时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋1 2k －1 2，f (8)>52 ，f (16)>3， f (32)>7 2 ，则其一般结论为________． 解析：因为f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22. 答案：f (2n )>n ＋22 (n ≥2，n ∈N * ) 5．求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N * )． 证明：(1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立； (2)假设当n ＝k (k ∈N * ，k ≥1)时等式成立， 即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k ) ＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)， 那么当n ＝k ＋1时， 左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k ＋1) ＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)·2 ＝2k ＋1 ·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)． 这就是说当n ＝k ＋1时等式也成立． 由(1)(2)可知，对所有n ∈N * 等式成立． 6．(xx·高考广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N * ，且S 3＝15. (1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式． 解：(1)由题意知S 2＝4a 3－20，所以S 3＝S 2＋a 3＝5a 3－20. 又S 3＝15，所以a 3＝7，S 2＝4a 3－20＝8. 又S 2＝S 1＋a 2＝(2a 2－7)＋a 2＝3a 2－7， 所以a 2＝5，a 1＝S 1＝2a 2－7＝3. 综上知，a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.
线性代数第1讲数学归纳法
线性代数 第2讲 数学归纳法 （ 教材 p.5 --- P.7 ） 关键词：数学归纳法 数学归纳法 数学归纳法又称有限归纳法. 它是证明数学命题的一种常用方法. ： 1=n 时，公式（1）的左边 = 1，右边 .1)11(12 1 =+??= 公式（1）成立. 现假设k n =时公式（1）已成立，即
.)1(2 1 321+=++++k k k 当1+=k n 时， .)1()321()1(321++++++=++++++k k k k 由归纳假设)(12 1 3+2+1+= ++k k k ，因此 ]1)1([)1(2 1 ) 2()1(2 1 )1()1(21 )1(321+++=++=+++= ++++++k k k k k k k k k 即当1+=k n 时，公式（1）也成立，因而命题得证. 现在，如果我们把公式（1）的左端记为)(1n S , 此时公式（1）可写为 ?n 321S 2222)n (2=++++= 结论是： )2(6 ) 12)(1(3212222)(2++= ++++=n n n n S n 公式（2）是如何想出来的？正确否？怎么证？ 因为它涉及正整数n ，一般是用数学归纳法来回答此问题.
.304321,14321,521,112222222222=+++=++=+= 如果我们多算几项并列成下表： 3 17 3153133113937351:S S 204 1409155301451:S 36 28 21 15106 3 1: S 876 5 4 321:n )n (1)n (2)n (2)n (1 似乎可以看出有下面的规律： ,3 1 2) (1)(2+= n S S n n （这里只是对 8,,3,2,1 =n 成立）从而 )2(6 ) 12()1(312)(1)(2++=+= n n n S n S n n 8,,3,2,1 =n 是成立的. 但对任意正整数n 是否都成立？ 2）对任何正整数n 都对. ) (2n S 知道了，能否利用归纳、类比的方法进一步探索出 )(3n S 与)(1n S 的联系呢？这就是由个别（或特殊）去发现 一般的思维方法. 先作如下观察： . )4321(1004321, )321(36321,)21(921,112 3 3 3 3 23332333+++==+++++==+++= =+= 似乎已经看出有如下十分有趣的规律： 虽然公式（3）当 定它对于一切正整数都对. 此时我们就会想到用数学归纳法来3）的正确性. 我们已验证（3）对4,3,2,1=n 成立. 设 k n =时公式（3）
第3讲 数学归纳法
第3讲数学归纳法一、选择题 1. 利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋2 1－a (a≠1，n∈N*)”时，在验 证n＝1成立时，左边应该是( ) A 1 B 1＋a C 1＋a＋a2 D 1＋a＋a2＋a3 解析当n＝1时，左边＝1＋a＋a2，故选C. 答案 C 2．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是()．A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立 B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立 C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立 D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立 解析A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数． 答案 D 3．用数学归纳法证明1－1 2＋ 1 3－ 1 4＋…＋ 1 2n－1 － 1 2n＝ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 2n，则 当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()． A.1 2k＋2B．－ 1 2k＋2 C.1 2k＋1－ 1 2k＋2 D. 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 解析∵当n＝k时，左侧＝1－1 2＋ 1 3－ 1 4＋…＋ 1 2k－1 － 1 2k，当n＝k＋1时， 左侧＝1－1 2＋ 1 3－ 1 4＋…＋ 1 2k－1 － 1 2k＋ 1 2k＋1 － 1 2k＋2 . 答案 C
4．对于不等式n2＋n(精品)第二数学归纳法培训讲学
(精品)第二数学归纳 法
第9讲 数学归纳法与第二数学归纳法 一．知识解读： 数学归纳法是用于证明与正整数n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位． 1．数学归纳法的基本形式 （1）第一数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立； ②假设),(0N k n k k n ∈≥=成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立． （2）第二数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立； ②假设),(0N k n k k n ∈≥≤成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立． 2．数学归纳法的其他形式 （1）跳跃数学归纳法 ①当l n ,,3,2,1Λ=时，)(,),3(),2(),1(l P P P P Λ成立， ②假设k n =时)(k P 成立，由此推得l k n +=时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立． （2）反向数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ①)(n P 对无限多个正整数n 成立；
②假设k n =时，命题)(k P 成立，则当1-=k n 时命题)1(-k P 也成立，那么根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立． 3．应用数学归纳法的技巧 （1）起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数n 都成立，但命题本身对0=n 也成立，而且验证起来比验证1=n 时容易，因此用验证0=n 成立代替验证1=n ，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以．因而为了便于起步，有意前移起点． （2）起点增多：有些命题在由k n =向1+=k n 跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点． （3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多． （4）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设k n =时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用． （5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明． 5．归纳、猜想和证明 在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法．不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明．不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法．
人教版高数选修2-2第8讲：数学归纳法(学生版)
数学归纳法 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、数学归纳法的原理及应用. 2、数学归纳法的思想实质及在归纳推理中发现具体问题的递推关系. 一、数学归纳法： 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维模式，就显得特别重要。 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n = n0时命题成立； （2）（归纳递推）假设n=k（）时命题成立，证明当时命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 题型一、用数学归纳法证明恒等式
第3讲数学归纳法及其应用
第3讲数学归纳法及其应用 一、选择题 1.用数学归纳法证明“2n＞2n＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取() A.2 B.3 C.5 D.6 解析∵n＝1时，21＝2，2×1＋1＝3，2n＞2n＋1不成立； n＝2时，22＝4，2×2＋1＝5，2n＞2n＋1不成立； n＝3时，23＝8，2×3＋1＝7，2n＞2n＋1成立. ∴n的第一个取值n0＝3. 答案 B 2.某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可以推出n ＝k＋1时该命题也成立.现已知n＝5时该命题成立，那么() A.n＝4时该命题成立 B.n＝4时该命题不成立 C.n≥5，n∈N*时该命题都成立 D.可能n取某个大于5的整数时该命题不成立 解析显然A，B错误，由数学归纳法原理知C正确，D错. 答案 C 3.利用数学归纳法证明不等式“1＋1 2＋ 1 3＋…＋ 1 2n－1 > n 2(n≥2，n∈N *)”的过程 中，由“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边增加了() A.1项 B.k项 C.2k－1项 D.2k项 解析左边增加的项为1 2k ＋1 2k＋1 ＋…＋1 2k＋1－1 共2k项，故选D. 答案 D 4.对于不等式n2＋n（k ＋1）2＋k ＋1＝k 2＋3k ＋2<（k 2＋3k ＋2）＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( ) A.过程全部正确 B.n ＝1验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 解析 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法. 答案 D 5.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2 ＝n 4＋n 2 2，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( ) A.k 2＋1 B.(k ＋1)2 C.（k ＋1）4＋（k ＋1）22 D.(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2 解析 当n ＝k 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2. 当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2， 故当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.故选D. 答案 D 二、填空题 6.设S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋1 2n ，则S n ＋1－S n ＝________. 解析 ∵S n ＋1＝1＋12＋…＋12n ＋12n ＋1＋…＋1 2n ＋2n ， S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋1 2n .
第32讲 数学归纳法2
第13讲 数学归纳法 本节主要内容有数学归纳法的原理，第二数学归纳法；数学归纳法的应用.通常那些直接或间接与自然数n 有关的命题，可考虑运用数学归纳法来证明． 一.数学归纳法的基本形式 第一数学归纳法：设P(n)是关于正整数n 的命题，若 1°P(1)成立(奠基)； 2°假设P(k)成立，可以推出P(k+1)成立(归纳)， 则P(n)对一切正整数n 都成立． 如果P(n)定义在集合N －{ 0,1,2,…,r －1}，则1°中“P(1)成立”应由“P(r)成立”取代. 第一数学归纳法有如下“变着”； 跳跃数学归纳法：设P(n)是关于正整数n 的命题，若 1°P(1)，P(2)，…，P(l )成立； 2°假设P(k)成立，可以推出P(k+l )成立，则P(n)对一切正整数n 都成立． 第二数学归纳法：设P(n)是关于正整数一的命题，若 l ° P(1)成立； 2°假设n ≤k(k 为任意正整数)时P(n)(1≤n≤k)成立，可以推出P(k+1))成立， 则P(n)对一切自然数n 都成立． 以上每种形式的数学归纳法都由两步组成：“奠基”和“归纳”，两步缺一不可．在“归纳”的过程中必须用到“归纳假设”这一不可缺少的前提． 二.数学归纳法证明技巧 1.“起点前移”或“起点后移”：有些关于自然数n 的命题P(n),验证P(1)比较困难，或者P(1)，P(2)，…，P(p －1)不能统一到“归纳”的过程中去，这时可考虑到将起点前移至P(0)(如果有意义)，或将起点后移至P(r)(这时P(1)，P(2)，…，P(r －1)应另行证明)． 2.加大“跨度”：对于定义在M={n 0，n 0+r ，n 0+2r ，…，n 0+mr ，…}( n 0，r ，m ∈N*)上的命题P(n)，在采用数学归纳法时应考虑加大“跨度”的方法，即第一步验证P(n 0)，第二步假设P(k)(k ∈M)成立，推出P(k+r)成立． 3.加强命题：有些不易直接用数学归纳法证明的命题，通过加强命题后反而可能用数学归纳法证明比较方便．加强命题通常有两种方法：一是将命题一般化，二是加强结论．一个命题的结论“加强”到何种程度为宜，只有抓住命题的特点，细心探索，大胆猜测，才可能找到适宜的解决方案． 本节主要内容有数学归纳法的原理，第二数学归纳法；数学归纳法的应用 A 类例题 例1 n 个半圆的圆心在同一直线上，这n 个半圆每两个都相交，且都在l 的同侧,问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧? 解 设这些半圆最多互相分成f (n)=段圆弧，则f (1)=1，f (2)=4=22, f (3)=9=33, 猜想：f (n)=n 2, 用数学归纳法证明如下： 1°当n=1时，猜想显然成立 2°假设n=k 时，猜想正确，即f (k)=k 2 , 则当n=k+1时，我们作出第k+l 圆，它与前k 个半圆均相交,最多新增k 个交点, 第k+1个半圆自身被分成了k+1段弧，同时前k 个半圆又各多分出l 段弧,故有 f (k+1)= f (k)+k+k+1 =k 2+2k+1=(k+1)2, 即n=k+1时，猜想也正确． 所以对一切正整数n ，f (n)=n 2. 例2已知数列:,}{且满足的各项都是正数 n a 0111,(4),.2 n n n a a a a n N +== -∈
6 第6讲 数学归纳法
第6讲数学归纳法 1．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 2．明确数学归纳法的两步证明 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”． (2018·台州书生中学月考)用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋2 1－a (a≠1， n∈N*)”，在验证n＝1时，等式左边是() A．1B．1＋a C．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3 解析：选C.由题意，根据数学归纳法的步骤可知，当n＝1时，等式的左边应为1＋a＋a2，故选C. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是() A．2k＋2 B．2k＋3 C．2k＋1 D．(2k＋2)＋(2k＋3) 答案：D 用数学归纳法证明不等式1＋1 2＋ 1 4＋…＋ 1 2n－1 ＞ 127 64(n∈N *)成立，其初始值至少应取 () A．7B．8 C．9D．10 解析：选B.据已知可转化为1×???? 1－ 1 2n 1－ 1 2 ＞ 127 64，整理得2 n＞128，解得n＞7，故原不等式的 初始值为n＝8. 观察分析下表中的数据：
(新)第9讲 数学归纳法与第二数学归纳法
第9讲 数学归纳法与第二数学归纳法 一．知识解读： 数学归纳法是用于证明与正整数n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位． 1．数学归纳法的基本形式 （1）第一数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立； ②假设),(0N k n k k n ∈≥=成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立． （2）第二数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立； ②假设),(0N k n k k n ∈≥≤成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立． 2．数学归纳法的其他形式 （1）跳跃数学归纳法 ①当l n ,,3,2,1 =时，)(,),3(),2(),1(l P P P P 成立， ②假设k n =时)(k P 成立，由此推得l k n +=时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立． （2）反向数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ①)(n P 对无限多个正整数n 成立； ②假设k n =时，命题)(k P 成立，则当1-=k n 时命题)1(-k P 也成立，那么根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立． 3．应用数学归纳法的技巧 （1）起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数n 都成立，但命题本身对0=n 也成立，而且验证起来比验证1=n 时容易，因此用验证0=n 成立代替验证1=n ，
高考数学一轮复习专题7_6数学归纳法讲
第06节数学归纳法 【考纲解读】 考点考纲内容五年统计分析预测 数学归纳 法 了解数学归纳原理，会用数 学归纳法证明简单的数学 命题. 2017浙江22 利用数学归纳法证明数列问题. 备考重点： 1.数学归纳法原理； 2.数学归纳法的简单应用. 【知识清单】 数学归纳法 1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*) 时命题成立． (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 2.数学归纳法的框图表示 对点练习 【2018届浙江省温州市高三9月一模】已知数列中，， （）． （1）求证：； （2）求证：是等差数列； （3）设，记数列的前项和为，求证：．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
试题解析：（1）证明：当时，，满足， 假设当（）时，，则当时，，即时，满足； 所以，当时，都有． （2）由，得， 所以， 即， 即， 所以，数列是等差数列． （3）由（2）知，， ∴， 因此， 当时，， 即时，，
所以时，， 显然，只需证明， 即可． 当 时， ． 【考点深度剖析】 数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等．浙江对数学归纳法的考查主要是与数列相结合. 【重点难点突破】 考点1利用数学归纳法证明等式 【1-1】．用数学归纳法证明“1＋2＋22 ＋…＋2n ＋2 ＝2 n ＋3 －1”，验证n ＝1时，左边计算所得 的式子为( ) A. 1 B. 1＋2 C. 1＋2＋22 D. 1＋2＋22 ＋23 【答案】D 【解析】左边的指数从0开始，依次加1，直到n ＋2，所以当n ＝1时，应加到23 ，故选D. 【1-2】观察下列等式： 11-=-； 132-+=； 1353-+-=-； 13574-+-+=； ……… （1）照此规律，归纳猜想出第n 个等式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 【答案】（1）135+-+ + ()()()1211n n n n --=-（*N n ∈） ；（2）见解析.
第5讲 数学归纳法
第5讲 数学归纳法 [学生用书P244] 一、知识梳理 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立． (2)(归纳递推)假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． 二、习题改编 1．(选修2-2P99B 组T1改编)在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为1 2n (n －3)条时， 第一步检验n 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选C.凸n 边形边数最小时是三角形，故第一步检验n ＝3. 2．(选修2-2P96A 组T2改编)已知{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ∈N * ，且a 1＝2，则a 2 ＝________，a 3＝________，a 4＝________，猜想a n ＝________． 答案：3 4 5 n ＋1 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n ＝1时结论成立．( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( ) (3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项．( ) (4)用数学归纳法证明问题时，必须要用归纳假设．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 二、易错纠偏
常见误区|Ｋ(1)误认为利用数学归纳法证明时第一步验证的初始值均为n ＝1； (2)利用数学归纳法证明时，添加的项出错，或不利用归纳假设． 1．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．6 解析：选C.当n ＝1时，21＝2＝12＋1， 当n ＝2时，22＝4<22＋1＝5， 当n ＝3时，23＝8<32＋1＝10， 当n ＝4时，24＝16<42＋1＝17， 当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26， 当n ＝6时，26＝64>62＋1＝37，故起始值n 0应取5. 2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边需增添的代数式是______________． 解析：当n ＝k 时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k ＋1)， 当n ＝k ＋1时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k ＋1)＋(2k ＋2)＋(2k ＋3)， 所以从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边需增添的代数式是(2k ＋2)＋(2k ＋3)． 答案：(2k ＋2)＋(2k ＋3) [学生用书P244] 用数学归纳法证明等式(师生共研) 用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n （2n ＋2）＝n 4（n ＋1）(n ∈N *)． 【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝12×1×（2×1＋2）＝1 8， 右边＝ 14×（1＋1）＝1 8 .左边＝右边，所以等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时等式成立，即有
