1.2 同位角、内错角、同旁内角
教学目标
1、理解同位角、内错角、同旁内角的概念；
2、会识别同位角、内错角、同旁内角.
教学重、难点
重点：同位角、内错角、同旁内角的概念与识别；
难点：识别同位角、内错角、同旁内角.
教学过程
一、引课：
问题：平面上，两条直线有几种位置关系？（相交与平行）
本节课我们要讨论两条直线和第三条直线相交的关系.
二、新授：
1、两条直线l1、l2被第三条直线l3所截，（教师画图）构成了8个角.（标出8个角）
问：这8个角有多种关系，如∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8分别是什么角？（对顶角）
2、观察∠1与∠5的位置，它们有什么样的特征？（它们都在第三条直线l3的同旁，并且分别位于直线l1、l2的相同一侧
引出：这样的一对角叫做同位角
练习：图中还有哪几对同位角？一共有几对？
3、∠2与∠7在哪一条直线的两旁？分别在哪两条直线之间？
内错角的意义：当两条直线被第三条直线所截，在一条直线的两旁，且在另两条直线之间，位置交错的一对角叫做内错角.
练习：图中还有哪几对内错角？一共有几对？
4、∠2与∠3在哪一条直线的同旁？分别在哪两条直线之间？
同旁内角的意义：两条直线被第三条直线所截，在一条直线的同旁，且在另两条直线之间，这样位置的一对角叫做同旁内角.
练习：图中还有几对同旁内角？一共有几对？
5、用小黑板显示这三类角的特征： 角的名称 基本图形 在一条直线 在另两条直线
同位角
同旁 同侧
内错角
两旁 之间
同旁内角
同旁 之间
（2）判别这些角的关键是找到三条直线的位置关系和这些角在三条直线中所处的位置.
可得到：三线八角中，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.
去掉多余的线，同位角形如“F ”，内错角形如“Z ”，同旁内角形如“U ”（教师示范画图） 在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的不同旁找内错角，再利用图形的结构特征（F 、Z 、U ）问题就迎刃而解了.
三、 例题讲解
例1、如图，直线DE 截AB ，AC ，构成8个角.指出所有的同位角、内错角和同旁内角.
此题比较容易，让学生自己直接口答完成.
四、 合作学习
如图，两只手的食指和拇指在同一平面内，它们构成的一对角可以看成是什么角？类似地，你还能用两只手的手指构成同位角和同旁内角吗？
学生讨论试验后演示.
D
B A
E
C
五、例题讲解
例2、如图，直线DE、交∠ABC的边BA于点F.如果内错角∠1与∠2相等，那么同位角∠1与∠4相等，同旁内角∠1与∠3互补.请说明理由.
要求学生说出理由，教师示范板书.
小结：本节研究了一条直线分别与另两条直线相交，所得的八个角的位置关系，掌握辨别这些角位置关系的关键是分清哪条是截线，哪两条是被截线.在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的不同旁找内错角.只要找出这三条线中的主线——截线，就能正确识别这三类角.
六、布置作业
1.1从自然数到有理数 一、教学目标 1 .理解有理数产生的必然性、合理性及有理数的分类； 2 .能辨别正、负数，感受规定正、负的相对性； 3 .体验中国古代在数的发展方面的贡献。 二、教学重点和难点 重点：有理数的概念 难点：建立正数、负数的概念对学生来说是数学抽象思维一次重大飞跃。 三、教学手段 现代课堂教学手段 四、教学方法 启发式教学 五、教学过程 （一）从学生原有的认知结构提出问题 大家知道，数学与数是分不开的，它是一门研究数的学问．现在我们一起来回忆一下，小学里已经学过哪些类型的数？ 学生答后，教师指出：小学里学过的数可以分为三类：自然数(正整数)、分数和零(小数包括在分数之中)，它们都是由于实际需要而产生的． 为了表示一个人、两只手、……，我们用到整数1，2，…… 4.87、…… 为了表示“没有人”、“没有羊”、……，我们要用到0． 但在实际生活中，还有许多量不能用上述所说的自然数，零或分数、小数表示． （二）师生共同研究形成正负数概念 某市某一天的最高温度是零上5℃，最低温度是零下5℃．要表示这两个温度，如果只用小学学过的数，都记作5℃，就不能把它们区别清楚．它们是具有相反意义的两个量． 现实生活中，像这样的相反意义的量还有很多． 例如，珠穆朗玛峰高于海平面8848米，吐鲁番盆地低于海平面155米，“高于”和“低于”其意义是相反的．“运进”和“运出”，其意义是相反的． 同学们能举例子吗？ 学生回答后，教师提出：怎样区别相反意义的量才好呢？ 待学生思考后，请学生回答、评议、补充． 教师小结：同学们成了发明家．甲同学说，用不同颜色来区分，比如，红色5℃表示零下5℃，黑色5℃表示零上5℃；乙同学说，在数字前面加不同符号来区分，比如，△5℃表示零上5℃，×5℃表示零下5℃……．其实，中国古代数学家就曾经采用不同的颜色来区分，古时叫做“正算黑，负算赤”．如今这种方法在记账的时候还使用．所谓“赤字”，就是这样来的． 现在，数学中采用符号来区分，规定零上5℃记作+5℃(读作正5℃)或5℃，把零下5℃记作-5℃(读作负5℃)．这样，只要在小学里学过的数前面加上“+”或“-”号，就把两个相反意义的量简明地表示出来了． 让学生用同样的方法表示出前面例子中具有相反意义的量： 高于海平面8848米，记作+8848米；低于海平面155米，记作-155米； 教师讲解：什么叫做正数？什么叫做负数？强调，数0既不是正数，也不是负数，它是正、负数的界限，表示“基准”的数，零不是表示“没有”，它表示一个实际存在的数量．并指出，正数，负数的“+”“-”的符号是表示性质相反的量，符号写在数字前面，这种符号叫做性质符号．（三）介绍有理数的有关概念。 1．给出新的整数、分数概念 引进负数后，数的范围扩大了．过去我们说整数只包括自然数和零，引进负数后，我们把自然数叫做正整数，自然数前加上负号的数叫做负整数，因而整数包括正整数(自然数)、负整数和零，同样分数包括正分数、负分数。 2．给出有理数概念
浙教版七年级数学下教案 全集 Revised by Liu Jing on January 12, 2021
平行线 教学目标： 1．理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的位置关系； 2．会根据几何语句画图，会用直尺和三角板画平行线； 3．了解“三线八角”并能在具体图形中找出同位角、内错角与同旁内角； 重点：平行线的概念与平行公理； 难点：对平行公理的理解． 教学过程： 一、新课导入： 1.相交线是如何定义的 2.平面内两条直线的位置关系除相交外，还有哪些呢 二、解决新知： 1.平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．直线a与b平行，记作a∥b．（画出图形） 2.同一平面内两条直线的位置关系有两种：（1）；（2）． 3.对平行线概念的理解： 两个关键：一是“”（举例说明）；二是 “”． 一个前提：对直线而言． 4.平行线的画法:
平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为： 一“落”（三角板的一边落在已知直线上）， 二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边）， 三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点）， 四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）． 5.平行公理: 过点B画直线a的平行线，能画出几条再过点C画直线a的平行线，能画出几条 .C .B m 回忆垂线性质： 平行公 理： . 上图中过点C画直线a的平行线，它和前面过点B画出的直线平行吗 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 即：如果b∥a，c∥a，那 么． c
b a 三.拓展应用 1.读下列语句，并画出图形： （1）点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行； （2）直线AB,CD是相交直线，点P是直线AB，CD外的一点，直线EF经过点P 且与直线AB平行，与直线CD相交于点E ； 2.如图，直线a，b被直线c所截，形成的8个角中，其中同位角有对，内错角有对，同旁内角有对． 同位角内错角同旁内角 〖教学目标〗 ◆1、了解同位角、内错角、同旁内角的意义。 ◆2、会在简单的图形中辨认同位角、内错角、同旁内角。 ◆3、会在给定某个条件下进行有关同位角、内错角、同旁内角的判定和计算。 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：同位角、内错角、同旁内角的概念。 ◆教学难点：各对关系角的辨认，复杂图形的辨认是本节教学的难点。 〖教学过程〗 （三）教学过程：
《因式分解》教案 教学目标： (一)教学知识点 使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系． (二)能力训练要求 通过观察，发现因式分解与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力． (三)情感与价值观要求 通过观察，推导因式分解与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系． 教学重、难点： 教学重点： 1．理解因式分解的意义． 2．识别因式分解与整式乘法的关系． 教学难点： 通过观察，归纳因式分解与整式乘法的关系． 教学过程： 一、创设情境，导入新课 [师]大家会计算(a+b)(a-b)吗？ [生]会．(a+b)(a-b)=a2-b2． [师]对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的．从式子(a+b)(a-b)= a2-b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2-b2 =(a+b)(a-b)是否成立呢？ [生]能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2-b2与(a+b)(a-b)既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立． [师]很好，a2-b2=(a+b)(a-b)是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题． 二、明确目标，互助探究： 1?想一想 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算？由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？ [生]由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是因式分解，这两种过程正好相反． [生]由(a+b)(a-b)=a2-b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2-b2=(a+b)(a-b)
浙教版七年级数学教案 1.2数轴 一、教学目标 1.理解数轴、相反数的概念; 2.掌握数轴的画法、数轴上的点与有理数的关系; 3.会用数轴上的点表示相反数，探索他们的位置关系; 4.感受数形结合与转化。 二、教学重点和难点 重点：初步理解数形结合的思想方法，正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数.难点：正确理解有理数与数轴上点的对应关系. 三、教学手段 现代课堂教学手段 启发式教学 教学过程 (一)从学生原有认知结构提出问题 1.小学里曾用“射线”上的点来表示数，你能在射线上表示出1和2吗? 2.用“射线”能不能表示有理数?为什么? 3.你认为把“射线”做怎样的改动，才能用来表示有理数呢? 待学生回答后，教师指出，这就是我们本节课所要学习的内容——数轴.
(二)讲授新课 让学生观察挂图——放大的温度计，同时教师给予语言指导：利用温度计可以测量温度，在温度计上有刻度，刻度上标有读数，根 据温度计的液面的不同位置就可以读出不同的数，从而得到所测的 温度.在0上10个刻度，表示10℃;在0下5个刻度，表示-5℃. 与温度计类似，我们也可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和零.具体方法如下(边说边画)： 1.画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点(通常取 适中的位置，如果所需的都是正数，也可偏向左边)用这点表示 0(相当于温度计上的0℃); 2.规定直线上从原点向右为正方向(箭头所指的方向)，那么从原点向左为负方向(相当于温度计上0℃以上为正，0℃以下为负); 3.选取适当的长度作为单位长度，在直线上，从原点向右，每隔一个长度单位取一点，依次表示为1，2，3，…从原点向左，每隔一 个长度单位取一点，依次表示为-1，-2，-3，… 提问：我们能不能用这条直线表示任何有理数?(可列举几个数) 在此基础上，给出数轴的定义，即规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.进而提问学生：在数轴上，已知一点P表示数-5，如果数轴上的原点不选在原来位置，而改选在另一位置，那么P对 应的数是否还是-5?如果单位长度改变呢?如果直线的正方向改变呢? 通过上述提问，向学生指出：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度，缺一不可. (三)运用举例变式练习 例1指出数轴上A，B，C，D，E各点分别表示什么数. 例2画一个数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：55(1)0.5，-，0，-0.5，-4，，1.4;22 (2)200，-150，-50，100，-100.
同位角、内错角、同旁内角测试题 A卷 一、填空题 1.如图1，直线a、b被直线c所截，∠1和∠2是， ∠3和∠4是，∠3和∠2是。 直线和线∠，2.如图2∠1和2是直 角。所截得的被直线 的同位角A ，∠33.如图，∠1的内错角是 。，∠B的同旁内角是是 1个；和∠1如图4，和∠构成内错角的角有 4. 构成同旁内角的角有个；和∠构成同
位角的角有 1个。． 位角是，内错角同55.如图，指出 是，同旁内角是。 二、选择题 6.如图6，和∠1互为同位角的是( ) (A)∠2； (B)∠3； (C)∠4； (D)∠5。 7.如图7，已知∠1与∠2是内错角，则下列表达正确的是( ) (A)由直线、被所截而得到的； (B)由直线、被所截而得到的； (C)由直线、被所截而得到的； (D)由直线、被所截而得到的。 ( )是同位角的有2和1中8在图8.
；、(3) (B)(2)、(3)； (C)(1)(A)(1)、(2)； (4)。(D)(2)、，在指明的角中，下列说法不正确的是( )9.如图9 对；同旁内角有对； (B)5(A)同位角有2不是内错41和∠ (D)(C)内错角有4对；∠角。 对内错角如图10，则图中共有( )10. (D)6。 (C)5(A)3； (B)4；； 三、简答题 11.如图11 互为什么角？2与∠1说出∠(1)． (2)写出与∠1成同位角的角；成内错角的角。写出与∠1(3)
1212.如图 A(1)说出∠与∠1互为什么角？∠B是否是同位角；与∠2(2) 成内错角的角。写出与∠2(3) ，指出同位角、内错角、同旁内角。13.如图13B卷一、填空题被和直线可以看作直线2和∠1∠，1如图1. 直线所截得的角。 被直线和直线 1和∠2是直线 22.如图，∠所截得的角。被直线 与；∠B如图3，直线、被直线所截得的内错角是 3. 所截、被直线可以看作直线∠C
同位角、内错角、同旁内角 练习要求 熟悉并掌握三线八角。 A卷 一、填空题 1.如图1，直线a、b被直线c所截，∠1和∠2是，∠3和∠4是，∠3和∠2是。 2.如图2，∠1和∠2是直线和直线被直线所截得的角。 3.如图3，∠1的内错角是，∠A的同位角是，∠B的同旁内角是。 4.如图4，和∠1构成内错角的角有个；和∠1构成同位角的角有个；和∠1构成同旁内角的角有个。 5.如图5，指出同位角是，内错角是，同旁内角是。 二、选择题 6.如图6，和∠1互为同位角的是( ) (A)∠2； (B)∠3； (C)∠4； (D)∠5。 7.如图7，已知∠1与∠2是内错角，则下列表达正确的是 ( ) (A)由直线AD、AC被CE所截而得到的； (B)由直线AD、AC被BD所截而得到的；
(C)由直线DA、DB被CE所截而得到的； (D)由直线DA、DB被AC所截而得到的。 8.在图8中1和2是同位角的有( ) (A)(1)、(2)； (B)(2)、(3)； (C)(1)、(3)； (D)(2)、(4)。 9.如图9，在指明的角中，下列说法不正确的是( ) (A)同位角有2对； (B)同旁内角有5对； (C)内错角有4对； (D)∠1和∠4不是内错角。 10.如图10，则图中共有( )对内错角 (A)3； (B)4； (C)5； (D)6。 三、简答题 11.如图11 (1)说出∠1与∠2互为什么角？ (2)写出与∠1成同位角的角； (3)写出与∠1成内错角的角。 12.如图12 (1)说出∠A与∠1互为什么角？ (2) ∠B与∠2是否是同位角； (3)写出与∠2成内错角的角。 13.如图13，指出同位角、内错角、同旁内角。 B卷 一、填空题 1.如图1，∠1和∠2可以看作直线和直线被直线所截得的
1.1从自然数到分数 一、教学内容 义务教育课程标准实验教科书《数学》（浙江版）七年级上册 二、教学目标 1、知识目标：使学生了解自然数的意义和用处；了解分数（小数）的意 义和形式；了解分数产生的必然性和合理性； 2、能力目标：通过自然数和分数的运算，解决一些简单实际问题。 3、情感目标：初步体验数的发展过程，体验数学来源于实践，又服务于 实践，增强学生用数学的意识。 三、教学重点 使学生了解自然数和分数的意义和应用。 四、教学难点 合作学习中的第2题的第⑵小题。 五、教学准备 多媒体课件 六、教学过程 ㈠创设情境 出示材料：（多媒体显示） 请阅读下面这段报道： 2004年8月13日到8月29日，第28届奥运会在雅典召开，我国体育代表团以32枚金牌，17枚银牌，14枚铜牌，获得奖牌榜的第二名，为国家争得 了荣誉。我国金牌数约占总金牌数的 1 10 。跨栏运动员刘翔在男子100米栏决 赛中以12秒91的成绩获得冠军，并打破奥运会纪录，平了世界纪录，刘翔是我国运动员在世界大赛中短距离竞赛项目获得冠军的第一人。 提问：你在这篇报道中看到了哪些数？请你把它们写下来，并指出它们分别属于哪一类数？如果将12秒91写成12.91秒，12.91又属于什么数？（由雅典奥运会有关报道引入，既合时事形势，又具有爱国主义教育，并使学生体验到生活中处处有数学） 提出课题：今天我们复习自然数、分数和小数及它们的应用 [板书课题]第1节从自然数到分数 ㈡提问复习 问题1：先请同学们回忆小学里学过的自然数，哪一些数属于自然数？你了解自然数最初是怎样出现的吗？ 注意：自然数从0开始。 问题2：你知道自然数有哪些作用？ （让学生思考、讨论后来回答，教师提示补充） 自然数的作用： ①计数如：32枚金牌，是自然数最初的作用； ②测量如：小明身高是168厘米； ③标号和排序如：2004年，金牌榜第二。 注意：基数和序数的区别。
同位角、内错角、同旁内角 【学习目标】 １.了解“三线八角”模型特征;2。掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，并能从图形中识别它们。 【要点梳理】 要点一、同位角、内错角、同旁内角的概念 1。“三线八角"模型 如图,直线AB、ＣＤ与直线EＦ相交（或者说两条直线ＡＢ、CD被第三条直线EF所截）,构成八个角,简称为“三线八角”，如图1. 图1 要点诠释: ⑴两条直线AＢ，CD与同一条直线EF相交． ⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成. 2. 同位角、内错角、同旁内角的定义 在“三线八角"中，如上图1， (1)同位角：像∠１与∠5,这两个角分别在直线ＡB、ＣD的同一方，并且都在直线EＦ的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角。 （2）内错角:像∠3与∠５,这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧,像这样的一对角叫做内错角。 （3)同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EＦ的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角. 要点诠释: （1）“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角. （2）“三线八角”中共有4对同位角,２对内错角,2对同旁内角． 要点二、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征 要点诠释:巧妙识别三线八角的 两种方法: （1）巧记口诀来识别：一看三
线，二找截线，三查位置来分辨. (2）借助方位来识别，根据这三种角的位置关系,我们可以在图形中标出方位,判断时依方位来识别，如图２。 【典型例题】 类型一、“三线八角”模型 1。 （1）图３中，∠1、∠2由直线被直线所截而成。 （２)图4中，AB为截线,∠D是否属于以ＡB为截线的三线八角图形中的角？ 【答案】(１) EＦ，CＤ; ＡB．（2)不是． 【解析】（1）∠１、∠2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线。 (2)因为∠D的两边都不在直线ＡＢ上,所以∠D不属于以ＡB为截线的三线八角图形中的角。类型二、同位角、内错角、同旁内角的辨别 ２。如图，(1）DE为截线,∠Ｅ与哪个角是同位角？ （２)∠B与∠4是同旁内角，则截出这两个角的截线与被截线是哪两条直线？ (3）∠B和∠E是同位角吗？为什么？ 【答案与解析】 解：（1）DE为截线，∠Ｅ与∠3是同位角； (2）截出这两个角的截线是直线BC，被截线是直线BF、DE;
1.2有理数 一、教学目标： 1.借助生活中的实例，了解从自然数、分数到有理数的扩展过程，体会有 理数应用的广泛性,体验数学和现实生活的紧密联系，提高学习的兴趣. 2.能判断一个数是不是有理数 3.会用正数、负数、零表示生活中具有相反意义的量. 4.能将有理数进行正确的分类. 二、重点、难点： 1. 重点：有理数的概念. 2. 难点：建立正数、负数的概念对学生来说是数学抽象思维的一次重大飞跃. 三、教学过程： 1.创设情景，引入新知： 将学生从生活中寻找到的几段含有数据的材料在幻灯片中投影出来： （说明：学生自己做的作业，较能引起学生的兴趣.） 问：材料中含有哪几类数据？ （1）本次大赛共有包括港、奥、台在内的近200支代表队，300个节目赛，其中22支代表队，37个节目进入总决赛.我市爱绿艺校代表队的32 名小演员是本次参赛选手中年龄最小的，平均年龄仅5岁，但获得的 荣誉却是幼儿组最高的金奖. 答：都是自然数. （2）据了解，我国公路隧道总数已达1782座，总长度704公里，分别是改革开放之初的4.7倍和倍，是世界上公路隧道最多的国家.我国目前最 长的隧道是铁路线上的秦岭隧道，全长18.46公里.正在施工的双向分 离式四车道终南山隧道是世界第二、亚洲第一的公路隧道. 答：有自然数，分数. 师：我们在小学的时候已经学过自然数和分数，这些数能够满足我们生活的需要吗？还会不会有新的数? (3)珠穆朗玛峰是喜玛拉雅山脉的主峰，海拔8848米，是中国第一高峰，也 是地球上第一高峰; 吐鲁番盆地位于新疆维吾尔自治区中部，天山山地 东端.盆地底部海拔-155米.是中国海拔最低处. 2.具有相反意义的量： 师：这里的两个数据分别表示什么意思？“-155”这个带符号的数我们以前没有见过，它在这里表示什么意思？ 生：地理上学过测量高度时，规定海平面的高度为0米，8848表示比海平面高出8848米，而-155表示比海平面低155米. 切换到另一个投影材料： 月球表面白天气温可高达123℃，夜晚可低至-233℃，图中阿波罗11号的宇航员登上月球后不得不穿着既防寒又御热的太空服. 师：这里123℃，-233℃这两个量分别表示什么意思？ 生：123℃表示零上123℃，-233℃表示零下233℃. 师：你还在哪些地方见过用带“－”这个号的数？ 生：在知道竞赛中,加分与扣分中的扣分经常用带“－”号的数表示，如加10分用+10记,扣20分用-20记.
第4章因式分解复习课 教学目标： 1、进一步巩固因式分解的概念; 2、巩固因式分解常用的三种方法 3、选择恰当的方法进行因式分解 4、应用因式分解来解决一些实际问题 5、体验应用知识解决问题的乐趣 教学重点：灵活运用因式分解解决问题 教学难点：灵活运用恰当的因式分解的方法，拓展练习 教学过程： 一、创设情景：若a=101,b=99,求a2-b2的值 利用因式分解往往能将一些复杂的运算简单化，那么我们先来回顾一下什么是因式分解和怎样来因式分解。 二、知识回顾 1、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.（教师提问） 判断下列各式哪些是因式分解?（让学生先思考，教师提问讲解，让学生明确因式分解的概念以及与乘法的关系） (1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6).m2-4=(m+4)(m-4) 因式分解 (7).2πR+2πr=2π(R+r) 因式分解 2、.规律总结（教师讲解） 分解因式与整式乘法是互逆过程. 分解因式要注意以下几点:
(1).分解的对象必须是多项式. (2).分解的结果一定是几个整式的乘积的形式. (3).要分解到不能分解为止. 3、因式分解的方法 提取公因式法：-6x 2+6xy+3x=-3x(2x-2y-1) 公因式的概念；公因式的求法 公式法 平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a 2+2ab+b 2=(a+b)2 4、强化训练 试一试把下列各式因式分解: (1).1-x 2＝（1＋x ）（1－x ） (2).4a 2+4a+1＝（2a+1）2 (3).4x 2-8x ＝4x(x-2) (4).2x 2y-6xy 2 ＝2xy(x-3y) 通过以上的复习，使学生对因式分解有一个更深层次的理解。 5、例题讲解 例1 分解因式 (1)－x 3y 3+x 2y+xy (2)6（x-2）+2x （2－x ） (3) 2224 25y x x (4)y 2+y+41 例2 分解因式 1、a 3-ab 2= 2、(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)= 3、(a+b) 2+2(a+b)-15= 4、-1-2a-a 2= 5、x 2-6x+9-y 2 6、x 2-4y 2+x+2y=
同位角内错角同 旁内角
1．如图，与∠1是同旁内角的是（） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 2．给出下列说法： （1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等； （2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交； （3）相等的两个角是对顶角； （4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离． 其中正确的有（） A．0个B．1个C．2个D．3个 3．图中，用数字表示的∠1、∠2、∠3、∠4各角中，错误的判断是（） A．若将AC作为第三条直线，则∠1和∠3是同位角 B．若将AC作为第三条直线，则∠2和∠4是内错角 C．若将BD作为第三条直线，则∠2和∠4是内错角 D．若将CD作为第三条直线，则∠3和∠4是同旁内角 4．如图，同位角是（） A．∠1和∠2 B．∠3和∠4 C．∠2和∠4 D．∠1和∠4 5．如图，下列说法错误的是（） A．∠A与∠C是同旁内角B．∠1与∠3是同位角 C．∠2与∠3是内错角 D．∠3与∠B是同旁内角 6．如图，∠1与∠2不是同旁内角的是（） A．B．C．D． 7．如图，下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是（） A．①、②B．①、②、④C．②、③、④D．①、 ②、③、④ 8．如图，下列说法正确的是（） A．∠2和∠B是同位角B．∠2和∠B是内错角
C．∠1和∠A是内错角D．∠3和∠B是同旁内角 9．如图，∠1和∠2是同位角的有（） A．①②B．①③C．②③D．②④ 10．如图中，∠1与∠2是内错角的是（） A．B．C． D． 11．下列图中∠1和∠2是同位角的是（） A．①、②、③B．②、③、④C．③、④、⑤D．①、②、⑤12．如图中，∠1和∠2不是同旁内角的是（） A．B．C．D． 13．如图，下列说法中错误的是（） A．∠1、∠3是同位角 B．∠1、∠2是同旁内角 C．∠1、∠5是同位角D．∠5、∠6是内错角 14．如图，下列说法中错误的是（）
《分式方程》教案 教学目标 1、使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程． 2、培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力． 教学重难点 教学重点：理解分式方程的意义． 教学难点：会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程． 教学过程 （一）问题情境导入 问题：轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同． 已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度． （二）实践与探索1：分式方程的概念： [分析]： 设轮船在静水中的速度为x 千米/时，根据题意，得 3 60380-=+x x 方程（1）有何特点？ [概括]方程（1）中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程． 提问：你还能举出一个分式方程的例子吗？ （三）实践与探索2：分式方程的解法 1、思考：怎样解分式方程呢？ 为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题： 1）回顾一下一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？ 2）有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？ 方程（1）可以解答如下：
方程两边同乘以（x+3）（x-3)，约去分母，得80（x-3）=60（x+3）． 解这个整式方程，得x=21． 所以轮船在静水中的速度为21千米/时 2、概括． 上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解．所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母． 3、例1、解方程：11-x =1 22-x ． 解：方程两边同乘以（x 2-1），约去分母，得x+1=2． 解这个整式方程，得x=1．事实上，当x=1时，原分式方程左边和右边的分母（x －1）与（x 2－1）都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式方程的根，应当舍去．所以原分式方程无解． 4、在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根．因此，在解分式方程时必须进行检验． 5、那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？ 6、验根的方法 解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零．有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零．如果为零，即为增根． 如例1中的x=1，代入x 2－1＝0，可知x=1是原分式方程的增根． 7、有了上面的经验，我们再来完整地解二个分式方程． 例2、解方程：（1）1－x -45=41-x （2）22+-x x －4162-x =2 2-+x x 可先放手让学生自主探索，合作学习并进行总结．深入理解．学生尝试解题，并思考产生增根的原因．总结解分式方程的步骤，并真正理解增根． （二）实践与探索：列分式方程解应用题 例1某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计
2. 给出下列说法： （1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等； （2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交; （3）相等的两个角是对顶角； （4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离. 其中正确的有（） A . 0个 B . 1个 C . 2个 D . 3个 3. 图中，用数字表示的/ A. 若将B .若将 C.若将 D .若将 1、/ 2、/ 3、/ 4 各角中, AC作为第三条直线，则/ AC作为第三条直线，则/ B ?上3 C ./ 4 D ./ 5 4. 如图，同位角是（） A. / 1 和/ 2B . / 3 和/4 C. / 2 和/4 D . / 1 和/ 5. 如图，下列说法错误的是（） A . / A与/ C是同旁内角B. / 1与/ 3是同位角 C. / 2与/ 3是内错角 D . / 3与/ B是同旁内角 6. 如图，/ 1与/ 2不是同旁内角的是（）
BD作为第三条直线，则/ CD作为第三条直线，则/ 错误的判断是（） 1和/ 3是同位角 2和/ 4是内错角 2和/ 4是内错角 ②/ A与/ B是同旁内角；③/ 4与/ 1是内错角；④/1与/ 3是同位角.其中正确的是（） B.①、②、④C .②、③、④D.①、②、③、④ A . / 2和/ B是同位角 B . / 2和/B是内错角 C. / 1和/ A是内错角 D . / 3和/ B是同旁内角
A .①② B .①③ C.②③ 10.如图中，/ 1与/ 2是内错角的是（ A . Z 1、/ 3是同位角 B . Z 1、/ 2是同旁内角 C.Z 1、/ 5是同位角D . / 5、/ 6是内错角14.如图，下列说法中错误的是（） A . / 1与/ 4是同位角 C./ B与/ 3是同位角 B . / 3与/ 4是内错角 D . / 1与/ 3是同旁内角 11.下列图中/ 1和/ 2是同位角的是（ ） 12.如图中，/ 1和/2不是同旁内角的是（ ）
龙文教育学科教师辅导讲义（第 1 讲） 课 题 同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的判定 教学目标 1、了解同位角、内错角、同旁内角的概念。 2、结合图形识别同位角、内错角、同旁内角。 3、掌握平行线的判定方法。 重点、难点 教学重点：1、已知两直线和截线，判断同位角、内错角、同旁内角。 2、能运用所学过的平行线的判定方法，进行简单的推理和计算． 教学难点：使学生将知识条理化、系统化，能正确地运用。 考点及考试要求 1、同位角、内错角、同旁内角 2、平行线的判定 教学内容 练习一 1、指出下图中哪些互为同位角，哪些是内错角，哪些是同旁内角？ 2、 如图所示，∠1、∠2为同位角的是（ ） A. B. C. D. 3、如图2，∠BDE 的同位角是 ，内错角是 ，同旁内角是 ；∠ADE 与∠DGC 是直线 被 所截 4、如图所示， (1)∠B 和∠ECD 可看成是直线AB 、CE 被直线______所截得的______ 角； (2)∠A 和∠ACE 可看成是直线______、______被直线______所截得的______角。 5、如图，直线AB 、CD 被DE 所截，则∠1和________是同位角，∠1和_________是内错角，∠1和________是同旁内角。 与两直线的位置关系 与截线的位置关系 同位角 两直线同侧 截线的同旁 内错角 两直线之间 截线异侧 1 4 3 2 8 5 6 7
1、如图，∠1与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？∠2与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？ 2、如图，若直线a、b被直线c所截，在所构成的八个角中指出，下列各对角之间 是属于哪种特殊位置关系的角Array (1)∠1与∠2是______；(2)∠5与∠7是______； (3)∠1与∠5是______；(4)∠5与∠3是______； (5)∠5与∠4是______；(6)∠8与∠4是______； (7)∠4与∠6是______；(8)∠6与∠3是______； (9)∠3与∠7是______；(10)∠6与∠2是______． 考点二：平行线的判定 1．平行线的判定方法1： 语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简单地说：同位角相等，两直线平行。 几何叙述：∵∠1＝∠5 ∴l1∥l2 （同位角相等，两直线平行） 2.平行线的判定方法2： 语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简单地说：内错角相等，两条直线平行。 几何叙述：∵∠3＝∠5 ∴l1∥l2 （内错角相等，两直线平行） 3.平行线的判定方法3： 语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简单地说：同旁内角互补，两条直线平行。 几何叙述：∵∠3+∠6=180° ∴l1∥l2 （同旁内角互补，两直线平行） 练习二
1?2有理数 一.教学目标 知识与技能：学习正数、负数、有理数的概念，会用正、负数表示几右相反意义的量, 能正确地将有理数进行分类. 过程与方法：通过观察节前图，分析、讨论出用正、负数表示只有相反意义的量的方法.，了解有理数的?产生的必要性、合理性. 情感与态度：要求学生树立勇于探索、枳极实践的学习态度，通过合作交流培养协作精神，撰写小论文进一步了解数的发展历史. 二.教学重点和难点 教学重点:正数、负数的概念对的理数的建立起关键性的作用，是本节课巫点. 教学难点：正数、负数的概念的建立是学生从來未经历过的数学的抽象过程，是本节的难点. 三.教学过程 1.创设情景，引入新课 同学们你们还记不记一上一节课老师请你们举了一些生?活当中的例子，这些例子用自然数，分数，小数是不能解决的，当时我们?都举了哪些例子啊？ 我记得同学们好象讲到了温度计当中零卜的温度，还有地卜?室，还有欠银行的钱如何表示，还有路标向东向西，扣分如何表示等等等等.那么温度的零上、誓下，路程的向东、向四，钱的收入和支出，得分和扣分这些量足不足相互对立的？囚此我们称它们为貝有相反意义的最，那么如何把这些具有相反意义的量表示出来呢？ 2.合作探索，寻求新知 师：为了表示具有相反意义的量，我们把一种意义的量规定为正，比如我们会把零上的温度观定为正，路程当中会把向东方向规定为正方向，钱的收入规定为正，把另一种与之意义相反的量规定为负，而这些规定为正的量一般比较容易表示，比如规定向东为正，则向东 22千米，记作22「米，而与之相反的量就不好表示，如果也记作22千米，别人一看就分不清是向东还是向西，所以我们必须引进新的数來表示这些相反意义的量. 师：把过去学过的数（除零外）规定为正数，如123, 15, 2/3等，正数前面启时也可. 以放上“+”（读做正号）:在这些数的前面放上读做负号）就表示负数，如-123, -15, -2/3等.负数是在正数的前面加上"一”得到的，人家现在來举■?队正数和负数？那下而老师来举一个例子：0是正数，-1是负数，对吗？那么1是正数，0足负数.正数里有没有包括0,负数会不会包括0,所以零既不是正数，也不是负数.（强调）
《分式》教案 教学目标 1．能用分式表示现实情景中的数量关系，体会分式的模型思想，进一步发展符号感． 2．了解分式的概念，明确分式与整式的区别． 教学重难点 教学重点：了解分式的概念． 教学难点：能用分式表示现实情景中的数量关系． 教学过程 复习与情境导入（填空） （1）面积为2平方米的长方形一边长为3米，则它的另一边长为______米． （2）面积为S 平方米的长方形一边长为a 米，则它的另一边长为______米． （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的住售价是____元． （4）根据一组数据的规律填空：1， 41，91，161……________（用n 表示）． 议一议 代数式 n m a n n x x -1802-3024002400，）（，，?+，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？ 整式A 除以整式B ，可以表示成B A 的形式．如果除式B 中含有字母，那么称B A 为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母．对于任意一个分式，分母都不能为零． 这里是对前面出现的分式的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，总结出整式与分式的异同，从而获得分式的概念．教学时不宜直接给出定义让学生死记硬背． 巩固应用 例：对于分式a a 21+： （1）当a =1，2时，求分式 a a 21+的值； （2）当a 取何值时，分式a a 21+有意义？ 答案：（1）当a =1时，；1121121=?+=+a a 当a =2时，；4 3221221=?+=+a a （2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义．
由分母2a =0，得a =0，所以，当a 取零以外的任何实数时，分式a a 21+有意义． 对于例题（2），可以引导学生从两方面理解：其一，与分数类比（由特殊到一般）；其二，字母a 本身是可以表示任何数的，但这里a 作为分母，要求它不能等于零（由一般到特殊）． 1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）x 1； （2）2 x ； （3）y x xy +2； （4）33y x -． 2、探究1、当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1）2-x x ； （2）2 41+-x x ． 探究2、当x 是什么数时，分式 522-+x x 的值是零？ 根据分式的意义判断；可类比分数有意义来解决该问题；可类比分数值为0来解决． 探究3、x 取何值时，分式1 1-+x x 的值为正？可能为负吗？ 探究4、x 取何整数值时， 1 6-x 的值为整数？ 练习：讨论探索 当x 取什么数时，分式224 x x --，（1）有意义；（2）值为零？ 例3、已知分式b ax a x +-2，当x =3时，分式值为0，当x =-3时，分式无意义，求a ，b 的值．可类比分数来解． 五．回顾 想一想：什么是分式？分式中分母应注意些什么？ 通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．
同位角、内错角、同旁内角测试题及答案 A卷 一、填空题 １。如图1，直线a、b被直线c所截，∠1和∠2是，∠3和∠4是 ,∠３和∠2是 . 2。如图２，∠1和∠2是直线和直线被直线所截得的角. 3。如图3，∠1的内错角是 ,∠A的同位角是 ,∠Ｂ的同旁内角是。 ４。如图４，和∠1构成内错角的角有个；和∠1构成同位角的角有个；和∠１构成同旁内角的角有个. ５．如图5,指出同位角是，内错角是，同旁内角是。 二、选择题 6.如图6，和∠1互为同位角的是（） （Ａ）∠２； (B）∠3； （C)∠4；（D)∠5。 ７。如图７，已知∠1与∠２是内错角,则下列表达正确的是 ( ） （A）由直线AD、AＣ被ＣE所截而得到的； (B)由直线AＤ、AＣ被BＤ所截而得到的; （C)由直线ＤA、DB被CＥ所截而得到的; (D）由直线DA、DＢ被AC所截而得到的。
8。在图8中1和2是同位角的有（） (A)（1）、（2）；（B）(2）、（3）；（C)(１)、（3）；（D）(2）、 (4). 9.如图9，在指明的角中,下列说法不正确的是( ) （A）同位角有２对； (B）同旁内角有5对; (C）内错角有４对; (D)∠1和∠4不是内错角。 1０.如图10,则图中共有（）对内错角 （A)3；（B)４；(C）5；（D）6. 三、简答题 11.如图11 （1）说出∠1与∠2互为什么角？ （2)写出与∠1成同位角的角； （3)写出与∠1成内错角的角. 12.如图12 （1）说出∠A与∠1互为什么角？ (２）∠B与∠2是否是同位角； (3）写出与∠2成内错角的角。 13．如图１3，指出同位角、内错角、同旁内角. B卷 一、填空题 1.如图1，∠1和∠2可以看作直线和直线被直线所截得的角。
3.4 乘法公式 教学目标 1、经历探究两数和乘以这两数的差的过程来推导平方差公式，理解平方差公式的结构特征，并能有意识地用平方差公式进行简单的运算；了解平方差公式的几何背景； 2、在探究平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理、概括能力；通过平方差公式的几何背景的了解，体会代数与几何的内在统一； 3、学生通过推导两数和的平方公式，了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，并能进行简单的计算，能用文字、字母表达两数和的平方公式； 4、学生通过推导两数差的平方公式，了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，并能进行简单的计算，能用文字、字母表达两数差的平方公式. 重点难点 重点 平方差公式的应用； 两数和、两数差的平方的公式. 难点 （1）平方差公式的结构特征及其有效地应用； （2）平方差公式的几何意义； （3）对公式中字母a、b的广泛含义的理解与正确应用. 教学设计 活动一 竞赛激智，建立模型，揭示公式 问题1看谁能又快又准地回答下面4个小题的计算结果. (5＋3)(5－3)﹦________； (0.5＋0.3)(0.5－0.3)﹦_______； (5＋0.3)(5－0.3)﹦________； (0.5＋3)(0.5－3)﹦_______. （全部结果出来后）追问：你是如何计算的？ 设计意图：以通过竞赛为载体，以自主参与为教学形式，使学生从计算的快慢中产生疑惑：总是那几个算得快，我怎么也能象他们那样？进而激发学生的求知的热情. 问题2：请计算下列多项式的积： (1)(x＋1)(x－1)﹦____________； (2)(m＋2)(m－2)﹦___________； (3)(2x＋1)(2x－1)﹦__________. （全部结果正确后）追问1：你们的计算结果有什么规律吗？
《完全平方公式》教案 一、教材分析： （一）本节内容选自初中数学（新浙教版）七年级下册第五章《整式的乘除》中的《5.4整式的乘法》——完全平方公式。 ㈡教材的地位和前后联系：完全平方公式是初中数学中的重要公式，在整个中学数学中有着广泛的应用，解一元二次方程中重要的数学方法“配方法”的基础也是依据完全平方公式的。完全平方公式这一教学内容是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，教材按照学生的认知规律，从具体到抽象，由直观图形引导学生观察、实验、猜测、进而论证，最后建立数学模型，逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想。它在本章中起着举足轻重的作用，是前面知识的继承和发展，又是在将要学习的分解因式和解一元二次方程的重要依据，起着承前起后的作用 ㈢教学目标和要求： 1、知识与技能目标：了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能利用模型进行计算。 2、过程与方法目标：使学生体会数、形结合的优势，进一步发展符号感和推理能力，培养学生数学建模的思想。 3、情感与态度目标：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验，树立自信心，学会在与同学的交流中获益。 ㈣教学的重点与难点： 1、重点：完全平方公式的结构特点及公式的直接运用。 2、难点：①对公式中字母a、b的广泛含义的理解与正确应用。②正确、灵活地选用模型。 （五）课前准备：多媒体课件 二、教法与学法 陶行知先生曾说：教主要为了不教，所以为了让学生学有所成，教师尽可能的做到：（1）多媒体辅助教学，将知识形象化、生动化，激发学生的兴趣。 （2）教学中逐步设置疑问，引导学生动手、动脑、动口，积极参与知识全过程。 （3）将数学规律还原成直观模型，由易到难安排例题、练习，符合七年级学生的认知结构特点。 （4）课堂中，对学生激励为主，表扬为辅，树立其学习的自信心。 同时：学生的学习贯穿在教师的整个教的过程当中，教师教主要是为了让学生更好的学，让更多的学生都能参与，人人学有价值的数学，从数学中找到学习的乐趣。在整堂课中做到师生互动，学生探究发现学习为主，教师当好引路人的角色。 三、教学过程