一、选择题
1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?，则=（ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.
2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=?
代表的图形为 ( )
（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设2
2()D
I x
y dxdy =+??，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ）
(A)
2240
a
d a rdr a π
θπ=?
? (B) 2240
2a
d a adr a π
θπ=??
(C)
22
30
23a
d r dr a π
θπ=?
?
(D) 224001
2a d r rdr a πθπ=??
4、 设的弧段为：2
30,1≤≤=y x L ，则=?
L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)
2
3
5、级数
∑∞
=-1
1
)1(n n
n
的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n
i i i i D
f d y x f 1
0),(lim
),(σηξσλ中的λ代表的是（ ）
（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1010
d ),(d x
y y x f x 等于 ( )
（A ）??
-1010d ),(d x
x y x f y (B) ??-1
010
d ),(d y
x y x f y
(C)
??-x x y x f y 10
1
0d ),(d
(D)
??
10
1
d ),(d x y x f y
8、方程2
2
2z x y =+表示的二次曲面是 ( )
（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面
9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件
10、设平面曲线L 为下半圆周 y =则曲线积分
22()L
x y ds +=?
( )
(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数
1
n
n a
∞
=∑收敛，则下列结论错误的是 （ ）
(A)
1
2n
n a
∞
=∑收敛 (B)
1
(2)n
n a
∞
=+∑收敛 (C)
100
n
n a
∞
=∑收敛 (D)
1
3n
n a
∞
=∑收敛
12、二重积分的值与 （ ）
（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。 13、已知→
→
b a //且 ),2,4,(),1,2,1(-=-=→
→x b a 则x = ( )
（A ） -2 （B ） 2 （C ） -3 （D ）3
14、在空间直角坐标系中，方程组222
1z x y y ?=+?=?
代表的图形为( )
（A ）抛物线 (B) 双曲线 （C ）圆 (D) 直线 15、设)arctan(y x z +=，则
y
z
??= （ ） (A) 22)(1)
(sec y x y x +++ (B) 2)(11y x ++ （C ）2)(11y x ++- (D)2)
(11y x +-
16、二重积分
?
?
110
2
),(y dx y x f dy 交换积分次序为 ( )
（A ）??
x dy y x f dx 0
10
),( (B) ??
1
00
),(2dy y x f dx y
(C)
??
1
10
),(dy y x f dx (D) ?
?20
10
),(x dy y x f dx
17、若已知级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，n S 是它的前n 项之和，则此级数的和是（ ）
（A ）n S (B)n u (C) n n S ∞
→lim (D) n n u ∞
→lim
18、设L 为圆周：22
16x y +=，则曲线积分2L
I xyds =
??
的值为（ ） （A ）1- (B) 2 （C ）1 (D) 0 19、 设直线方程为
2
10z
y x ==，则该直线必 ( ) （A ） 过原点且x ⊥轴 （B ）过原点且y ⊥轴 （C ） 过原点且z ⊥轴 （D ）过原点且x //轴 20、平面260x y z ++-=与直线
234
112
x y z ---==
的交点坐标为（ ） (A)（1，1，2） (B)（2，3，4） （C ）（1，2，2） (D)（2，1，1） 21、考虑二元函数的下面4条性质：
① (,)f x y 在点00(,)x y 处连续； ②(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续； ③(,)f x y 在点00(,)x y 处可微； ④(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在. 若用“P Q ?”表示可由性质P 推出性质Q ，则有 （ ）
（A ）②?③?① (B) ③? ②?① (C) ③?④?① (D) ③?①?④ 22、下列级数中绝对收敛的级数是( )
(A)
1
(1)
n
n ∞
=-∑ (B) 211tan n n ∞
=∑ (C)2
1 1 (1)
2
3 n n n n ∞=+-+∑ (D)1
1ln(1)n n ∞
=+∑ 23、设y x z sin =，则
??
? ????4,1πy
z
＝（ ）
（A ） 22-
（B ）2
2 （C ）2 （D ）2- 24、设a 为常数，则级数
∑
∞
=??? ??
--1
cos 1)1(n n n a （ ）
(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与a 的取值有关 25、设常数0>k ，则级数
∑∞
=+-1
2
)1(n n
n n
k （ ） (A) 发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)敛散性与k 的取值有关 26、2
1
1
y x
dx e dy =
??
( )
(A)
12e + (B)12e - (C) 12e - (D)1
2
e + 二、填空题 1
、0
x y →→=
2、二元函数 (23)z sin x y =+，则
z
x
?=? 3、积分σd e I y x y x ??
≤++=
4
222
2
的值为
4、若→
→b a , 为互相垂直的单位向量， 则=?→
→b a
5、交换积分次序
210
(,)x dx f x y dy =?
?
6、级数
1
11
(
)23n n
n ∞
=+∑的和是 7
、00
x y →→=
8、二元函数 (23)z sin x y =+，则
z
y
?=? 9、设),(y x f 连续，交换积分次序=??x x dy y x f dx 2
),(1
0 10、设曲线L ： 2
2
2
x y a
+=，则(2sin 3cos )L
x y x ds +=??
11、若级数
1
1()n
n u
∞
=+∑收敛，则lim n n u →∞
=
12、若2
2
(,)f x y x y x y +-=-则 (,)f x y = 13
、00
x y →→=
14、已知→
→
⊥b a 且 ),1,,0(),3,1,1(-==→
→x b a 则x = 15、设),ln(33y x z +=则=)
1,1(dz
16、设),(y x f 连续，交换积分次序
=?
?
y y dx y x f dy 2
),(10
17、级数
1
n
n u
S ∞
==∑，则级数()11
n n n u u ∞
+=+∑的和是
18、设L 为圆周：2
22R y x =+，则曲线积分sin L
I x yds =
??
的值为 19、
22
222
2
(,)(0,0)
1cos()lim
()x y x y x y x y e
→-+=+
20、已知,a i j b k =+=-r r r v v , 则a b ?=r
v
21、0sin()
lim
x y a
xy x →→=
22、已知向量a r 、b r 满足0a b +=r r r ，2a =r
，则a b ?=r r
23、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则
()L
x y ds +=?
24
、
22(,)lim
x y →=
25、3a =r ，4b =r ，r a 与r b 的夹角是2
π
，则r r a b ?=
26、已知三角形的顶点的面积等于则ABC ),2,0,0(),0,1,2(),1,1,1(?-C B A 27、点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M 28、若322a i j k ,b i j k ,→
→
→
→→
→
→
→
=--=+-则a b →→
?=
29
、00
x y →→
30、函数2(,)(3)(1),xy f x y x y x e =-+-求(1,3)x f =
三、解答题
1、（本题满分12分）求曲面23z
z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程。
2、（本题满分12分）计算二重积分
??D
y
x
dxdy e
，其中D 由y 轴及开口向右的抛物线
2y x =和直线1y =围成的平面区域。
3、（本题满分12分）求函数2
(234)u ln x y z =++的全微分du 。
4、（本题满分12分）证明：函数242,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y
x y f x y x y x y ?≠?
=+??=?
在点（0，0）的两个
偏导数存在，但函数(,)f x y 在点（0，0）处不连续。
5、（本题满分10分）用比较法判别级数
∑∞
=+1)1
2(
n n
n n 的敛散性。 6、（本题满分12分）求球面22
2
14x y z ++=在点(1,2,3)处的法线方程。 7、（本题满分12分）计算??
+=
D
y x y x I d d )(2
2，其中}41),{(22≤+≤=y x y x D 。 8、（本题满分12分）力{},,F x y x =-u u r 的作用下，质点从(0,0,0)点沿22x t
L y t z t
?=?
==??=? 移至
(1,2,1)点，求力F u u r
所做的功W 。
9、（本题满分12分）计算函数sin()u x yz =的全微分。
10、（本题满分10分）求级数
1
1
(1)n n n ∞
=+∑的和。 11、（本题满分12分）求球面2
2
2
14x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面方程。
12、（本题满分12分）设）（2
2ln y xy x z ++=,求y
z
y x z x ???+???
。 13、（本题满分12分）求22
(1)d d D
x y x y --??
，其中D 是由y x =，0y =，221x y += 在第一象限内所围成的区域。
14、（本题满分12分）一质点沿曲线??
?
??===20
t z t y x 从点(0,0,0)移动到点(0,1,1)，求在此过程中，
力k j y i x F ρρρρ+-+=4
1所作的功W 。
15、（本题满分10分）判别级数
1
1
sin n n n ∞
=∑ 的敛散性。
16、（本题满分20分）
求一条过点(1,0,4)A -与一平面
:34100x y z π-++=平行，且与直线
13:
112
x y z
L +-==相交的直线方程. 17、（本题满分20分）
求椭球面2
2
2
2321x y z ++=上的点M ，使直线631
:212
x y z L ---==
-在过M 点的切平面上.
18、（本题满分12分）计算二重积分1
d d x y I xy x y +≤=
??
。
19、（本题满分12分）已知1=++xy zx yz ，确定的),(y x z z =，求dz 。 20、（本题满分12分）设),(y x f z =是由方程+z
x
e e e z
y 2=所确定的隐函数，求x z 、y z .
21、（本题满分10分）计算二次积分
1
2
1
220
1
2
2
cos cos y
y y dy x dx dy x dx +?
??? .
22、（本题满分10分）计算函数xy
e z sin 2=的全微分.
23、（本题满分10分）计算二重积分
σd x y
D
??+12 其中D ：0≤x ≤1,0≤y ≤1 . 24、（本题满分10分）已知向量k j i b a ρρρρρ42),1,1,1(++==，求a b ?r
r 和b a ρρ?.
25、（本题满分10分）求曲面x xy xyz ++=9在点(,,)123处的切平面方程.
《高等数学（二）》期末复习题答案
一、选择题
1、A 解：利用平行向量对应的坐标成比例，设(2,,2)b t t t =-r
，又因
18(2,1,2)(2,,2)4492(4,2,4)a b t t t t t t t t b ?=-=-?-=++=?=-?=--r r r
2、C 解：将1z =代入2
2
0x y z +-=得到2
2
1x y +=，此时图形为圆。 3、D 解：用极坐标计算方便，
2222440011
()242a D
I x y dxdy d r rdr a a πθππ=+==?=????
4、A 解：利用曲线积分的性质，则
3
666(0)92
L L
ds ds ==?-=?? 5、B 解：由莱布尼兹判别法可得到级数∑∞
=-1
1)1(n n
n 收敛，但1111(1)
n n n n n ∞∞
==-=∑∑ 发散 ，所以
∑∞
=-1
1
)1(n n
n
是条件收敛。 6、D 解：二重积分定义式
1
(,)lim (,)n
i
i
i
i D
f x y d f λ
σξησ→==?∑??中的λ是分割细度，代表
的是n 个小闭区域直径中的最大值。
7、B 解：画出积分区域，确定每个变量的上下限，交换积分次序以后，得
()()1
1110
x
y
dx f x,y dy dy f x,y dx --=?
?
??
8、A 解：2
2
2z x y =+在三维空间里表示的是抛物面。
9、B 解：),(y x f z =在点),(00y x 可微一定能推出偏导数存在，所以是充分条件。 10、C
解：利用曲线积分的性质，则沿着下半圆周y =221
()122
L
L
x y ds ds ππ+==
?=?
? 11、B 解：若级数
1
n
n a
∞
=∑收敛，由收敛的性质A,C,D 三个选项依然是收敛的，而
1
(2)
n
n a
∞
=+∑未必收敛，或者排除法选择B 。
12、C 解：二重积分的值与函数有关，与积分区域有关，而与积分变量的字母表达没关系。 13、B 解：利用平行向量对应的坐标成比例，),2,4,(),1,2,1(-=-=→
→x b a 则x =2
14、B 解：将1y =代入2
2
2
z x y =+得到22
1z x =+代表的图形为双曲线。
15、B 解：对y 求偏导时，x 看作常数，)arctan(y x z +=，则
y z ??=2
)(11y x ++ 16、A 解：画出积分区域，确定每个变量的上下限，交换积分次序以后，得
2
1110
y dy f (x,y )dx dx f (x,y )dy =?
?
??
17、C 解：利用级数收敛的定义可得
1
n
n n n u
lim S ∞
→∞
==∑
18、D 解：利用曲线积分的性质，被积函数关于x 是奇函数，由对称性，可得则曲线积分
20L
I xyds ==??
19、A 解：直线方程为
2
10z
y x ==，则原点坐标(0,0,0)满足方程，该直线必过原点，直线的方向向量为(0,1,2) ，x 轴的方向向量为(1,0,0)，又因为(0,1,2)(1,0,0)0?=，所以直线过原点且x ⊥轴。
20、C 解：将直线方程写成参数式，代入平面方程求交点坐标，或者代入法验证也可。
2234311242x t
x y z t y t z t
=+?---?
===?=+??=+?
代入260x y z ++-=得1t =-?交点坐标为（1，2，2）
21、A 解：熟悉二元函数的概念之间的联系，偏导数连续?可微?连续；或者 偏导数连续?可微?偏导数存在
22、B 解：2211tan ~n n ?21
1
tan n n ∞
=∑绝对收敛。
23、B 解：对y 求偏导时，x 看作常数，sin z x y =?
z
y
?=?cos x y ，
代入点的坐标1,42
z y
π?? ???
?=
? 24、C 解：221cos ~2a a n n ??-? ???级数1
(1)1cos n n a n ∞
=??-- ???∑绝对收敛。 25、B 解：221(1)~(1)(1)n
n n k n k n n n +--+-?级数∑∞=+-1
2)1(n n n n k 条件收敛 26、C 解：交换积分次序后计算简单
()2
2
2
2211
11
120
01111
12202
y
y y y y y x
dx e dy dy e dx e ydy e dy e e ==?=
==-?
?????
二、填空题
1、 2 解：第一步分母有理化，第二步分母利用平方差公式，第三步分子分母约去公因子，第四步利用连续性求解极限。
000
12 x x x x
y y y y
→→→→
→→→→
==== 2、2cos(23)
x y
+解：对x求偏导时，y看作常数，
sin(23)2cos(23)
z
z x y x y
x
?
=+?=+
?
3、)1
(4-
e
π解：用极坐标求解简单
22222
22
222
24
000
4
2
1
2(1)
20
x y r r r
x y
I e d d e rdr e dr e e
π
σθπππ
+
+≤
==?=?==-
?????
4、 0 解：两个向量垂直，则点积为00
a b
→→
??=
5
、
11
(,)
dy f x y dx
?解：画出积分域，再确定积分限
2
1
00
(,)
x
dx f x y dy=
?
?11
(,)
dy f x y dx
?
6、
3
2
解：
1
1
1
1113
3
2
()1
11
2322
11
23
n n
n
∞
=
+=+=+=
--
∑
7、
1
4
-解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第三步分子分母约去公
因子，第四步利用连续性求解极限。
00
000
2244
x x x
y y y
xy
→→→
→→→
-+
-+
==
1
4
x
y
→
→
=-=-
8、3cos(23)
x y
+解：对y求偏导时，x看作常数，
(23)z sin x y =+?z
y
?=?3cos(23)x y + 9、
?
?y y dx y x f dy ),(10 解：画出积分域，再确定积分限
2
10
(,)x x dx f x y dy =
???
?y y
dx y x f dy ),(10
10、 0 解：利用曲线积分的性质，奇函数在对称区域上的积分为0
(2sin 3cos )0L
x y x ds +=??
11、 -1 解：
1
1()n
n u
∞
=+∑收敛101lim()lim n n n n u u →∞
→∞
?+=?=-
12、xy 解：设2
2
,x y u x y v x y uv +=-=?-= (,)f u v uv ?=(,)f x y xy ?= 13、1
2-
解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第三步分子分母约去公因子，第四步利用连续性求解极限。
00000
1111x x x y y y xy →→→→→→-+-+
==
12x y →→=-=-
14、 3 解： 两个向量垂直，则点积为00303a b x x →→
??=?-=?=
15、
33
22dx dy + 解：考查全微分的概念，先求两个偏导，求全微分，再代入定点
22
3
3
3333
33ln(),x y x y z x y z z x y x y
=+?==++又因为x y dz z dx z dy =+ (1,1)
33
22
dz
dx dy ?=
+ 16、
?
?
x
x
dy y x f dx ),(10
解：画出积分域，再确定积分限
2
10
(,)y y dy f x y dx =
??
?
?
x x
dy
y x f dx ),(10
17、1
2S u - 解：
1
n n u S ∞
==∑
1
11
n n u
S u ∞
+=?=-∑()111
2n n n u u S u ∞
+=?+=-∑
18、 0 解：利用曲线积分的性质，奇函数在对称区域上的积分为0，则sin 0L
I x yds ==??
19、 0 解：本题用到了连续函数的性质，等价无穷小的替代，
22
2222220
22(,)(0,0)
(,)(0,0)1cos()1cos()
lim
lim
()()x
y
x y x y x y x y x y e x y e →→-+-+=++2222(,)(0,0)1cos()lim ()x y x y x y →-+=+
2
22
2
2(,)(0,0)1()2lim 0()
x y x y x y →+==+ 20、i j -+r
v 解：本题用到向量积的求解方法
,a i j b k =+=-r r r v v , 则110001
i j k
a b i j ?==-+-r r u r r r r v
21、a 解：00sin()sin()
lim
lim 1x x y a y a
xy xy y a a x xy →→→→=?=?=
22、4- 解：0a b b a +=?=-r r r r r ，又2a =r
，cos 4a b a b π??=??=-r r r r
23
、
解：L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，此线段的方程是1x y +=，此线
()1L
L
x y ds ds ?+==??
24、 2 解：第一步分母有理化，第二步分母利用平方差公式，第三步分子分母约去公因子，第四步利用连续性求解极限。
22(,)(,)lim
lim
x y x y →→=
(,)(0,0)lim x y →=
(,)lim 12x y →== 25、
12
解：利用向量积的模的求解方法sin 341122a b a b π
?=?=??=r r r r
26
解：利用向量积的模的几何意义，三角形的面积12
S AB AC =?u u u
r u u u r
10
1(1,4,1)113
i j
k
AB AC ?==----r r u r u u u r u u u r
Q 1222S AB AC ∴=?====
u u u r u u u r 27、5 解：利用两点间的距离公式
125M M ===
28、 3 解：利用点积公式(3,1,2)(1,2,1)3223a b →→
?=--?-=-+= 29、
1
2
解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第三步分子分母约去公因子，第四步利用连续性求解极限。
)()(
)
(
)
000000
11
11lim =lim
1
1
x x x y y y xy xy
xy
→→→→→→+-
000
12
x x y y →→→→====
30、 3
e 解：对x 求偏导时，y 看作常数，求完偏导以后代入已知点的坐标
2(,)(3)(1)(,)2(3)(1)xy xy xy x f x y x y x e f x y x y e x y e =-+-?=-++-??代入点的坐标
333(1,3)21(33)(11)3x f e e e =??-++-??=
三、解答题
1、（本题满分12分）
解：设(,,)23z
F x y z z e xy =-+-
则2x F y = ，2y F x = ，1z
z F e =-
对应的切平面法向量
(1,2,0)
(,,)
x y z n F F F →
=
代入（1，2，0）可得法向量：（4，2，0） 则切平面方程：4(1)2(2)0(0)0x y z -+-+-=
或240x y +-=
2、（本题满分12分） 解 ：
2
1
x
x y y
y
D
e
dxdy dy e dx =????
2
1
00
y x
y
ye dy ??
=??????? 1
y (ye y )dy =-?
1
202y y
y ye e ??=--???
?
1
2
=
3、（本题满分12分）
解：因为
22234u x x y z ?=?++ ， 23234u y x y z ?=?++ ，28234u z
z x y z ?=?++ u u u
du dx dy dz x y z
???=
++??? 所以222
238234234234z
du dx dy dz x y z x y z x y z
=
++++++++ 4、（本题满分12分） 解：=?-?+=→?x
f x f f x x )0,0()0,0(lim
)0,0(0
00
lim 0=?→?x x 同理 0)0,0(=y f 所以函数在（0，0）点两个偏导数存在。
=→=),(lim 0
2y x f x kx y Θ24242201lim k k
x k x kx x x +=+?→ ),(lim 0
y x f y x →→∴不存在
因此函数在（0，0）点不连续
5、（本题满分10分）
解： n n n n n n n )2
1
()2()12(
=<+Θ， 而
∑∞
=1
)21(n n 是收敛的等比级数 ∴原级数收敛
6、（本题满分12分）
解：设2
2
2
(,,)14F x y z x y z =++- 则2x F x = ，2y F y = ，2z F z =
对应的法向量
(1,2,3)
(,,)
x y z n F F F →
=
代入(1,2,3)可得法向量：（2，4，6）
则法线方程：
123
123
x y z ---== 7、（本题满分12分） 解：???=
π
ρρρθ20
2
1
2d d I
42
1241=π?ρ
15
2
=
π 8、（本题满分12分）
→
→?=?s d F W L
?
+-=
L
xdz ydy xdx
?
+-=
1
0224dt t tdt tdt
1
20
(23)t t dt =-?
6
5
-=
9、（本题满分12分）
x u sin yz '=Q ，y u xz cos yz '= z u xy cos yz '= x y z du u dx u dy u dz '''∴=++
sin()cos()cos()yz dx xz yz dy xy yz dz =++
10、（本题满分10分） 解： 111(1)1
n n n n =-++Q
111...1223(1)
n S n n ∴=
+++??+ 11111(1)()...()2231n n =-+-++-+
1
11
n =-
+ 1
lim lim(1)11
n n n S n →∞→∞
∴=-
=+ 所以级数
11
(1)
n n n ∞
=+∑的和为1
11、（本题满分12分）
解：设2
2
2
(,,)14F x y z x y z =++- 则2x F x = ，2y F y = ，2z F z =
对应的切平面法向量
(1,2,3)
(,,)
x y z n F F F →
=
代入(1,2,3)可得法向量：（2，4，6） 则切平面方程：2(1)4(2)6(3)0x y z -+-+-=
或23140x y z ++-=
12、（本题满分12分）
解：因为
2
22222y xy x y x y z y xy x y x x z +++=??+++=??； 所以 2222
22
2=+++++=???+???y
xy x y xy xy x y z y x z x 13、（本题满分12分）
解：令cos sin x y ρ?ρ?
=??
=?，则(,)0,014D πρ??ρ??
=≤≤≤≤????，
所以
1
2
2
2
4
0(1)(1)D
x y dxdy d d π
?ρρρ--=-????16
π
=
14、（本题满分12分）
→
→?=?s
d F W L
ydy dz
=-+?
1
0(2)t t dt
=-+?
10
tdt =?
1
2
=
15、（本题满分10分）
解： 设1
sin
n u n n
= 于是 1
sin
lim lim
101n n n n u n
→∞
→∞
==≠
故
u
n
n =∞
∑1
发散。
16、（本题满分20分）
解：直线L 的参数方程为1
32x t y t z t =-??
=+??=?
所求直线的方向向量为(,3,24)s t t t =+-r 与平面π的法向量(3,4,1)n =-r
垂直，即
34(3)(24)0t t t -++-=得16t =
(16,19,28)s =r
所求直线为
14
161928
x y z +-==
17、（本题满分20分）
解：设点000(,,)M x y z 为所求的点，则椭球面在M 点处的法向量000(2,4,6)n x y z =r
，
切平面的方程为0002321x x y y z z ++=
直线L 的方向向量(2,1,2)s =-r ，由已知条件得n s ⊥r r
，即
000000(2,4,6)(2,1,2)44120n s x y z x y z ?=?-=+-=r r
而直线L 上的点(6,3,1)必在切平面上，因此00066321x y z ++=，
而点000(,,)M x y z 在椭球面222
2321x y z ++=上，即2220002321x y z ++=
解得0000,3,1x y z === 和 0004,1,1x y z ==-=，即点M 为(0,3,1) 或 (4,1,1)-. 18、（本题满分12分）
解：记1D 为积分区域在第一象限的部分，则由奇偶对称性，
1
4D I xy dxdy =??=2111
12300
00(1)1
442(2)26
x
x xdx ydy x dx x x x dx --==-+=??
??
19、（本题满分12分）
设1-++=xy zx yz F ，则有?
??
??+=+=+=x y F x z F y
z F z y x
x
y y z F F x z z x ++-=-=??∴
x
y x
z F F y z z y ++-
=-=??∴
1
[()()]dz y z dx x z dy x y
∴=-
++++
20、（本题满分12分） 解：等式两端求微分得：
+-?
2z xdz zdx e z
x
02
=-?z ydz zdy e z
y
于是dx ye xe ze
dz z
y z
x z
x +=
dy ye xe ze
z
y z
x z
y ++
所以z
y z
x z
x x ye xe ze
z +=，z
y z
x z
y y ye
xe ze
z +=
21、（本题满分10分）解：交换积分次序可得1
220
1
cos sin12
x
x dx x dy =?
?
22、（本题满分10分）
解：xy ye z xy x cos 2sin ='Θ，xy xe
z xy
y cos 2sin =' )(cos 2sin xdy ydx xy e
dy z dx z dz xy y x +='+'=∴ 23、（本题满分10分） 解： 原式=
1
10012=ln 21dx ydy x +?? 24、（本题满分10分）
解： 7412111=?+?+?=?b a ρ
ρ
→
→→→
→
→
+-==?k j i k
j i b a 2111411142114
2
1
111ρρ
)1,3,2(-=
25、（本题满分10分）
解：对应的切平面法向量
)3,2,1(),,(z y x F F F n =→
设9),,(-++=xyz xy x z y x F 则yz y F x ++=1 ，xz x F y += ，xy F z =
代入（1，2，3）可得法向量：（9，4，2） 则切平面方程：0)3(2)2(4)1(9=-+-+-z y x
或94223x y z ++=
模拟试卷一 一、单项选择题（每题3分，共24分） 1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线1 1 1231: -+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上 （C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1 123lim 0xy xy y x （ ） （A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞ 3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x y z ???2在区域D 内连续是这两个二阶混合 偏导数在D 内相等的（ ）条件. （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设 ??≤+=a y x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ） （A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知 ()()2 y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）1 6、曲线积分=++?L z y x ds 2 22（ ），其中.1 10:222???==++z z y x L （A ） 5 π （B ）52π （C ）53π （D ）54π 7、数项级数 ∑∞ =1 n n a 发散，则级数 ∑∞ =1 n n ka （k 为常数）（ ） （A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散 （C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ） （A ）21C x C y += （B ）C x y +=2 （C ）22 1C x C y += （D ）C x y += 2 2 1 二、填空题（每空4分，共20分） 1、设xy e z sin =，则=dz 。
北京邮电大学2009-2010学年第二学期《高等数学》（下）期末试题（A2） 1．极限2 221lim 1x x y x y x +→∞→??+= ? ? ?2e ． 2．设()2y z x y x ?=++，其中?具有连续二阶偏导数， 则2z x y ???=2x ()''21()ln 1y x y x y x ?-+++． 3．曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4 P π处的法线方程为 4112 2 1 1 1 z x y π ---= = -． 4．函数z (,,)21f x y z z e xy =-++在点（2,1,0 ）处的方向导数的最大值为 5．设2x u v z y u vz ?=-++?=+? 确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ?=?12z zu -+． 6．幂函数21 (1)9n n n x ∞ =-∑的收敛区域是 (2,4)- ． 7．设2 ,10 ()1,01x x f x x x --<≤?=?-<≤?，是周期为2的周期函数，则其傅里叶级数 在点x=4处收敛于 12 ． 8．设2222y z R ++=∑：x 外侧，则2223/2 ()xdydz ydzdx zdxdy x y z ++=++∑ ??4π． 9．已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k ，则div (A )B ? =3224x y z x z ---． 10．设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则曲线积分 2 (22)(4)L xy y dx x x dy -+-?= 18π- ．（用格林公式易） 二（8分）．将函数f(x)= 2 12565x x x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数，并指出其收敛域． 解：若用泰勒级数 2() 0000 000''()()()()()()'()()2! ! n n f x x x f x x x f x f x f x x x n --=+-++++
《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（）
大一高数试题及解答
大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １ １．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋ ────── 的定义域为 _________ √１－ｘ2 _______________。 ２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处 的切线方程是______________。 ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h） ３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ， 则ｌｉｍ─────────────── h→o h ＝ _____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。 ｘ ５．∫─────ｄｘ＝_____________。 １－ｘ4 １ ６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0
ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。 ｄｘ3ｘｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数∑ ａ n 发散，则级数∑ ａ n _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内， １～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １ １．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） ｘ
期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ，2b i j k =-+r r r r ，则a b ?r r = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞=?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周222a y x =+（0≥y ），则曲线积分221L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：??--012 1),(y dx y x f dy ＝dy y x dx ),(f 0x -121?? 6．级数∑∞=+1)1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:22>≤+y y x D ,则32222ln(1) 1D x x y dxdy x y ++=++??（ A ）
A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为 （ D ） A 、3x x y e e C =++ B 、3x x y e Ce =+ C 、3x x y Ce e =+ D 、312x x y C e C e =+ 8．lim 0n n u →∞=为无穷级数1 n n u ∞=∑收敛的 （ B ） A 、充要条件 B 、 必要条件 C 、充分条件 D 、什么也不是 三、已知1=a ?，3=b ?，b a ??⊥，求b a ??+与b a ? ?-的夹角.P7
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2222315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为 分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题（每小题6分，共36分）
大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） １．函数 2 2 111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。 ２．函数 2e x y += 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 ３．设ｆ（X ）在0x 可导,且A (x)f'=，则h h x f h x f h ) 3()2(l i m 000--+→ ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 ____________。 ５．=-?dx x x 4 1_____________。 ６．=∞→x x x 1 sin lim __________。 ７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 ９．微分方程 22 233)(3dx y d x dx y d +的阶数为____________。 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） １．设函数 x x g x x f -== 1)(,1 )(则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） ①x 1 1- ②x 1 1- ③ x -11 ④x
２．11 sin +x x 是 （ ） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 ３．下列说法正确的是 （ ） ①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 0)(",0)('> 四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分） 《高等数学（二）》期末复习题 一、选择题 1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?，则=（ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设2 2()D I x y dxdy =+??，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A) 22 4 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=?? (C) 2230 023a d r dr a π θπ=? ? (D) 224001 2 a d r rdr a πθπ=?? 4、 设的弧段为：2 30,1≤≤=y x L ，则=? L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 )1(n n n 的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ） （A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1 010 d ),(d y x y x f y (C) ??-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 10 1 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) （A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面 《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （ ）1. 收敛的数列必有界. （ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du . 5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 5 2 2 1, 1 . 三、计算题（每题5分，共40分） 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成，计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分） 1. 证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x . 高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人 课程名称 高等数学I （A ）解答 一 选择题（4小题，每题4分，共16分） 1． 下列数列收敛的是（ C ）。 (A) n n x n n 1] 1)1[(++-= (B) n n n x )1(-= (C) n x n n 1)1(-= (D) n n x n 1-= 2．已知函数231)(22+--=x x x x f 下列说法正确的是（ B ）。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点，1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点，1个跳跃间断点 3．设 ?????>≤=1,1,3 2)(23x x x x x f ，则)(x f 在x =1处的（ B ）。 (A) 左右导数都存在 (B) 左导数存在，右导数不存在 (C) 左导数不存在，右导数存在 (D) 左、右导数都不存在 4．函数 2)4(121++ =x x y 的图形（ B ） (A) 只有水平渐近线 (B) 有一条水平渐近线和一条铅直渐近线 (C) 只有铅直渐近线 (D) 无渐近线 二 填空题（4小题，每题4分，共16分） 1．x x x 23sin lim 0→＝__3/2_________ 2. x x e y x sin ln 2-+=则='y _2e x +1/x －cos x _ 3． 已知隐函数方程：024=-+y xe x 则='y －(4+e y ) / （x e y ） 4． 曲线332x x y +=在 x = 1 处对应的切线方程为： y =11x -6 . 三 解答题（5小题,每题6分，共30分） １ 高等数学（A2）试卷（二） 答案及评分标准 一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分） 1. B, 2. D, 3. B, 4. C, 5. D, 6. B, 7. D, 8. B. 二、计算题（本大题共4小题，没题7分，共28分） 1． 设),(y x z z =是由方程333a xyz z =-确定的隐函数, 求dz . 解: 方程两边对x 求导,得 03332='--'x x z xy yz z z (1分) 解得 xy z yz z x -= '2 (3分) 方程两边对x 求导,得 xy z xz z y -= '2 (5分) 所以, )(2 xdy ydx xy z z dz +-= (7分) 2． 求?? -= D dxdy y x I 22, D 由1,==x x y 及x 轴围成. 解: x y x D ≤≤≤≤0,10:, 故有 ? ? -= 10 22x dy y x dx I (2分) 令t x y cos =, 则有 ? ?=10 20 22 sin π tdt dx x I (6分) 12 π = (7分) 3． 求函数)1ln()(432x x x x x f ++++=的麦克劳林展开式及收敛区间. 解: x x x f --=11ln )(5 (2分) 由∑ ∞=-≤<--= +11 )11() 1()1ln(i n n t n t t , 可得 (4分) ∑∞ =<≤--=-155 )11()1ln(i n x n x x (5分) ∑∞ =<≤--=-1)11()1ln(i n x n x x (6分) 所以, ∑∑∞=∞ =<≤--=151)11()(i n i n x n x n x x f (7分) 4． 求微分方程1 cos 1222-=-+'x x y x x y 满足1)0(=y 的特解. 解: 方程两边同乘1)(2122-=?=-- x e x dx x x μ得 (2分) x y x dx d cos ])1[(2=-, c x y x +=-sin )1(2 (4分) 通解为, 1 sin 2 -+=x c x y (5分) 由1)0(=y 得1-=c , 所求特解为1 1 sin 2 --=x x y (7分) 三、计算题(本题8分) 用高斯公式计算?? ∑ ++= dxdy z dzdx y dydz x I 222, 其中∑为立体 c z b y a x ≤≤≤≤≤≤Ω0,0,0:的表面外侧. 解: 由高斯公式可得 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy + （C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?， 《高等数学-广东工业大学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2l n 2x x x dx C =+? B ）、s i n c o s t d t t C =-+ ? C ）、 2a r c t a n 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x - =-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=????? ?? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 模拟试卷一 ―――――――――――――――――――――――――――――――――― 注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。（本卷考试时间100分） 一、单项选择题（每题3分，共24分） 1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线1 1 1231: -+= +=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上 （C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1 123lim 0xy xy y x （ ） （A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞ 3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x y z ???2在区域D 内连续是这两个二阶混合 偏导数在D 内相等的（ ）条件. （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设 ??≤+=a y x d 224πσ，这里0φa ，则a =（ ） （A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知 ()()2 y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）1 6、曲线积分=++?L z y x ds 2 22（ ），其中.110:222? ??==++z z y x L （A ） 5 π （B ）52π （C ）53π （D ）54π 7、数项级数 ∑∞ =1 n n a 发散，则级数 ∑∞ =1 n n ka （k 为常数）（ ） （A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散 （C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ） （A ）21C x C y += （B ）C x y +=2 （C ）22 1C x C y += （D ）C x y += 2 2 1 二、填空题（每空4分，共20分）高等数学上考试试题及答案
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