《线性代数》(陈维新)习题答案
第1章 行列式 习题1.1 P5
1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有
3
)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++?+?=+?++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以
)
3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈?+?=+?+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠?b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以
)3(33)
(3)3()
3)(3()3)(3(3
32
2
22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈??+??=
?+?+=
++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=?
∈?,，从而有
q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。
所以有0=a 或0=b 。
如果0=a ，则2
qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。 如果0=b ，则有
a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。
所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。 同样可得)()(p Q q Q ?。
（4）因为有无数个互异的素数，所以由（3）可知在Q 和?之间存在无穷多个不同的数域。
2. 解：（1）)1(?P 是数域，证明略（与上面类似）。
（2）)1(?Q 就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。 而=?=??)1()1(C 复数域。
（3）)1(?Z 不是数域，这是因为他关于除法不封闭。例如)1(2
1
??Z 。
3. 证明：（1）因为K F ,都是数域，所以K Q F Q ??,，从而K F Q ∩?。故K F ∩含
有两个以上的复数。
任给三个数K F c K F b a ∩∈≠∩∈0,,，则有F c b a ∈,,且K c b a ∈,,。因为K F ,是数域，所以有F c a ab b a ∈±,,且K c a ab b a ∈±,,。所以K F c
a
ab b a ∩∈±,,。 所以K F ∩是数域。
（2）K F ∪一般不是数域。例如)3(),2(Q K Q F ==，我们有K F ∪∈3,2，但是K F ∪?=
326。
4．写出4个数码1, 2, 3, 4的所有4阶排列.
分析 4阶排列是指由1, 2, 3, 4构成的有序的数组, 共有4！个, 每个数字必须出现且只能出现一次, 具体做法可以是先确定排在第一位的数, 比如为1, 然后排第二位的数分别为2, 3, 4, 接着排第三位、第四位的数. 解 1234 1243 1324 1342 1423 1432 2134 2143 2314 2341 2413 2431 3124 3142 3214 3241 3412 3421 4123 4132 4213 4231 4312 4321
5．计算以下各个排列的逆序数, 并指出它们的奇偶性: （1）314265；(2)314265789；（3）542391786；（4）987654321；（5）246813579. 解
（1）(314265)2114τ=++= 偶排列 （2）(314265789)2114τ=++= 偶排列 （3）(542391786)431141115τ=++++++= 奇排列 （4）(987654321)8765432136τ=+++++++= 偶排列 （5）(246813579)123410τ=+++= 偶排列
7．在由1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9组成的下述9阶排列中, 选择i j 与使得: （1）2147958i j 为偶排列；
（2）1254896i j 为奇排列； （3）4125769i j 偶排列； （3）3142786i j 奇排列. 均要求说明理由.
分析 排列1254896i j 中的两个未知数i j 与根据排列的定义只能取3或7. 因而只有两种情况：1
132574896与2
172534896，然而我们只需计算上述的一个排列就可得知结果，因为1
与2
是3和7作一次对换得到的，而作一次对换必改变排列的奇偶性，也就是说若1
为偶排列, 则2
必为奇排列. 其余题解法也类似.
解 （1）取3,6i j ==有(214739568)11226τ=+++=为偶排列, 符合题目要求. （2）取3,7i j ==有(132574896)112116τ=++++=为偶排列, 故取
7,3i j ==
时172534896为奇排列, 符合题目要求. （3）取3,8i j ==有(412357698)3115τ=++=为偶排列，符合题目要求. （4）取5,9i j ==有(531429786)42131112τ=+++++=为偶排列. 故取
9,5i j ==时931425786为奇排列, 符合题目要求.
8.写出全体形如52253?????及的5阶排列.总结一下，有k 个位置数码给定的()
n n k >
阶排列有多少个？
分析 形如52???的5阶排列中5和2的位置已经确定，3个?位置只能取数字1，3，4中的某一个.
解 形如52???的5阶排列中第一个?可取1，3，4中的任何一个，故有3种取法，第二个?可取剩下数字当中的任一个，有两种取法，最后一个?只能取余下的那一个数，据乘法原理共有3213!××=种取法，即形如52???的阶排列有（5－2）
！个. 同理形如253??的阶排列共有（5－3）！个. 因而，有k 个位置数码给定的()n n k >阶排列有()!
n k ?个.
*9 如果排列i 1i 2?i n 的逆序数为k ，问排列i n i n?1?i 1的逆序数是多少？为什么？
解 因i 1i 2?i n 中任意两个数码i s ，i t 组成的有序对有C n 2
=n (n?1)2
个，这C n 2
=
n (n?1)2
个有序对
中有些是顺序，其余是逆序，也就是所有顺序的有序对个数与所有逆序的有序对个数的和为
C n 2
=n (n?1)2
。现所有逆序的有序对个数为τ(i 1i 2?i n )=k ，则所有顺序的有序对个数
n (n?1)
2
?k 为，故τ(i n i n?1?i 1)=n (n?1)2
?k 。
*10 证明：n !个不同的n 阶排列中奇偶排列各占一半。
解 设奇排列为s 个，偶排列为t 个，则s +t =n !。对s 个奇排列作一次固定的对换，比如说第1和第2两个数对换，得到s 个偶排列(注意，对换后得到的s 个偶排列是互不相同的)。现偶排列总数为t 个，故s ≤t 。同理可证t ≤s 。从而s =t ，即s =t =1
2n !。
习题1.2 P5
1. 按行列式定义,计算下列行列式(要求写出过程):
(1) ?
cos θ?sin θ
sin θ
cos θ?; (2) 1
log log 1
b
a a
b ; (3) 0
000
0d c b a ;
(4) e
d b a 0000
0; (5) ?12?1
3200?11?; (6) 111111
111???. 分析 计算2阶行列式和3阶行列式可用对角线法则. 解 (1) ?
cos θ
?sin θ
sin θ
cos θ
?=cos 2θ+sin 2θ=1;
(2)
1
log log 1b
a a
b =?1a b log b a log 110=?=;
(3) 0
000
0d c b a =00000000000ac bd ab cd ××+?+??××????=
; (4) 00
00a b c d e
=00000000abe c d b cda e abe acd ++???=?.
(5) ?12?1
3200?11
?=1×2×1+3×(?1)×(?1)?1×2×3=2+3?6=?1;
(6) 1
11111
1
11???=111(1)(1)(1)11111(1)××+?×?×?+××?××? (1)111(1)11111114??××?×?×=?++++=;
2. 在6阶行列式ij a 中, 下列项应该取什么符号? 为什么?
(1) 233142561465a a a a a a ; (2) 324354116625a a a a a a ; 解 (1) 因(234516)(312645)448ττ+=+=, 所以取正号;
另一种方法是: 233142561465a a a a a a =142331425665a a a a a a , 因(431265)τ6=, 所以取正号. (2), (3), (4) 也可这样做, 不再列出.
(2) 因(345162)(234165)7411ττ+=+=, 所以取负号;
3. 当i =___, k =___时13242553i k a a a a a 成为5阶行列式ij a 中一个取负号的项,为什么? 解 i 和k 只能取1,4或者4,1.不妨先假设1,4i k ==, 则13242553i k a a a a a =1132442553a a a a a , 这个项的符号就是(13425)(12453)4(1)(1)1ττ+?=?=+, 不符合要求. 那么当4,1i k ==时
13242553i k a a a a a =1432412553a a a a a , 它和1132442553a a a a a 相比就是交换了列指标1和4的位置,
因(12453)τ与(42153)τ相比改变了奇偶性, 所以1432412553a a a a a 的符号为负. 故应填
4,1i k ==.
4. 写出4阶行列式ij a 中包含因子4223a a 的项, 并指出正负号.
解 参照习题 1.1的第8题知, 4阶行列式ij a 中包含因子4223a a 的项有11233442a a a a 和
14233142a a a a . 由于(1342)2τ=，故11233442a a a a 取正号; (4312)5τ=，故14233142a a a a 取
负号.
5. 写出4阶行列式ij a 中所有取负号且包含因子23a 的项. 解 类似于第4题可推知, 4阶行列式中包含23a 的项为
11233244a a a a (1324)1τ= 取负号;
11233442a a a a (1342)2τ= 取正号; (也可由(1)取负号推知(2)取正号)
12233441a a a a (2341)3τ= 取负号;
12233144a a a a (2314)2τ= 取正号; (也可由(3)取负号推知(4)取正号) 14233142a a a a (4312)5τ= 取负号;
14233241a a a a (4321)6τ= 取正号. (也可由(5)取负号推知(6)取正号)
所以所求的项为11233244a a a a , 12233441a a a a , 14233142a a a a .
6. 按行列式定义, 计算下列行列式((4)中1n >, 并均要求写出计算过程):
(1) 12345
1
2345
1
21212
000000
000
a a a a a
b b b b b
c c
d d
e e ; (2)
0000
000000
0a b c
d
; (3) 11121,1
12122
2,1
1,11,210000
n n n n n n a a a a a a a a a a ????
; 解 (1) 根据定义55
ij
a ×=
123451234512345
()12345(1)j j j j j j j j j j j j j j j a a a a a τ?∑.
在行列式1
2345
1
2345
1
21
21
2
0000000
a a a a a
b b b b b
c c
d d
e e 的通项中每一个项1234512345j j j j j a a a a a 中最后三个因子345345,,j j j a a a 分别取值于行列式最后三行的不同列的三个数, 而行列式最后三行中均只有
二个数不为零, 所以这三个因子中至少一个取零. 这样行列式的每一项中都含有因子零, 所以每项都为零, 从而行列式为零. (2) 根据定义44
ij
a ×=
123412341234
()1234(1)j j j j j j j j j j j j a a a a τ?∑.
在行列式
0000
00
000000a b c d
的通项中, 只有11233244a a a a 这一项的因子中不含零, 所以 原式=(1324)11233244(1)a a a a τ?=11233244a a a a ?=abcd ?. (3) 根据定义ij
n n
a ×=
121212()12(1)n n n
j j j j j nj j j j a a a τ?∑ , 该展开式通项1212n j j nj a a a 中
n nj a 取自
11121,1121
222,1
1,11,21
000
00
n n
n n n n a a a a a a a a a a ????
的第n 行, 现在第n 行中除了1n a 外其余元素都为零. 故若1n j ≠, 则对应的行列式展开式中的那一项一定为零, 求和时可不考虑. 因此只要考虑1n j =的项. 同样对于行列式的第1n ?行中除了1,1n a ?和1,2n a ?外其余元素都为零, 且因1n j =, 从而1n j ?只能取2了. 依次类推, 行列式展开式的所有项中除去列指标
12(1)1n j j j n n =? 对应的项外都为零. 又因为1
((1)1)(1)2
n n n n τ?=? , 所以原式
=1
(1)2
12,11,21(1)n n n n n n a a a a ???? .
7. 若n 阶行列式ij D a =中元素ij a (,1,2,,)i j n = 均为整数, 则D 必为整数, 这结论对不对? 为什么?
解 对. 行列式的值是行列式中取自所有不同行不同列的元素乘积的代数和, 而整数经加,
减,乘之后仍然为整数.
*9 证明
d d t ??a 11(t )
a 12(t )
?a 1n (t )
a 21(t )a 22(t )?a 2n
(t )?? ?a n1(t )a n2(t )?a nn (t )??=???a 11(t )
?
d
d t a 1j (t )?a 1n (t )a 21(t )?d d t a 2j (t )?a 2n (t )?
? ?a n1(t )?
d a nj
(t )?a nn (t )??n j=1
证 左端
=d d t
?(?1)τ(j 1j 2?j n )
j 1j 2?j n a 1j 1(t )a 2j 2(t )?a nj n (t ) =?(?1)τ(j 1j 2?j n )
j 1j 2?j n
d
d t ?a 1j 1
(t )a 2j 2(t )?a nj n (t )? =?(?1)τ(j 1j 2?j n )
j 1j 2?j n
?
d
?a 1j 1(t )?a 2j 2(t )?a nj n (t )+a 1j 1(t )d ?a 2j 2(t )??a nj n (t )
+?+a 1j 1(t )a 2j 2(t )?
d
?a nj n
(t )?? =右端
10. 问
11142223323341
44
00000
00
a a a a a a a a =1122334414233241a a a a a a a a ?
为什么错? 正确答案是什么?
解 错, 原因在于没有搞清楚4阶行列式定义而把2,3阶行列式的对角线法则误认为对4阶行列式也成立. 4阶和4阶以上的行列式没有对角线法则. 正确答案为:
11223344142332411123324414223341a a a a a a a a a a a a a a a a +??.
习题1.3 P20
1．证明：根据行列式的定义
111
1
111
11
=121212()
12(1)n n n j j j j j nj j j j a a a τ?∑ 1ij a =
1212()(1)n n
j j j j j j τ?∑
=0。
所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多，(-1)是由奇排列产生的，而(+1)是由偶排列产生的。同时根据行列式的定义这里包括了所有的n 阶排列，故可以得到全体n 阶排列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多，各占一半。
2 用行列式性质计算下列行列式：
解(1) 199819992000
200120022003200420052006
32C C ?19981999120012002120042005121
C C ?199811200111200411=0；
（2）
10
01
02
2003304004??3241C C C C ?+1000
020*********
?下三角形
1268=96×××；
（3）
1110
1
10110110
11
1
2131R R R R ??1110001101010111??24R 1110
01110101001
1
??32R R +111001110012001
1
?
43R R +1110
11100120
03
上三角形
1113=3×××；
(4) ?a ?b ?c 2a
2a 2b b ?c ?a 2b
2c
2c c ?a ?b
?
R 1+R 2+R 3 ????????????????????? ?a +b +c a +b +c
a +
b +
c 2b
b ?
c ?a
2b
2c
2c c ?a ?b ?
提取公因子
????????????????????? (a +b +c )?1112b b ?c ?a
2b 2c 2c c ?a ?b ? R 2?2bR 1
R 3?2cR 1
??????????????????? (a +b +c )?1110?b ?c ?a 000?c ?a ?b
? =(a +b +c )3
（5）72222
2
7222
2
2722222722
22275
12i i C C =+∑152222157222
152722
1522721522271
2,3,4,5i R R i ?=15222205000005000005000005
上三角形
515555535××××=×。
3．解：（1）11
1213
21
2223
313233
x y x y x y x y x y x y x y x y x y 提取每行的公因子
12312312
312
3
y y y x x x y y y y y y 性质4
0。
（2）左端1
4,3,2i i C C i ??=2
2
2
2
2123252123252123
25212325a a a a b b b b c
c c c
d d d d ++++++++++++43
32
C C C C ??
2222
2122
2122
21222122
a a
b b
c c
d d ++++=0=右端。
（3）121112112211211
111
1n n n n n a a a a b a a a a b a a a a b ?????+++
1
2,i R R i n
?= 121121
1000000000n n a a a b b b ??
上三角形
1
21
n b b b ? 。
（4）原式（先依次12211,,,C C C C C C n n n n ?????? ）=。。。=
>=2
,2
,n if n if 。
（5）原式（先依次12211,,,R R R R R R n n n n ?????? ）=。。。= >=2
,2
,n if n if 。
4．解：设展开后的正项个数为x 。则由行列式的定义有!2)!(n x x n x D ?=??=。又因为
=D （利用n i R R i ,,3,2,1 =+）
2
21
21
001 （下三角行列式）12?=n 。所以有
2
!
2,!22
11
n x n x n n +=?=??。
5．证明：（1）左端
123C C C ++提取公因子
11111112222222333
33
33
2a b c c a a b a b c c a a b a b c c a a b ++++++++++++2131
C C C C ??
11111
22222333
332a b c b c a b c b c a b c b c ++??++??++??123
3
C ;(1)C C C C ++?2(-1)1
1
1
2
223
3
3
2a b c a b c a b c =右端。 （2）利用性质5展开。
6．解：（3）与上面3（3）类似可得。
7. 设111213
21
2223313233
a a a D a a a a a a a ==, 据此计算下列行列式(要求写出计算过程): (3) 111312
12
212322
22313332
32
235235235a a a a a a a a a a a a ???. 分析 利用行列式得性质找出所求行列式与已知行列式的关系.
解 (3) 方法一 111312
12212322
22313332
32235235235a a a a a a a a a a a a ???23
5C C +1113
122123223133
32
232323a a a a a a a a a 提取公因子
1113122123223133326a a a a a a a a a 23
C 11
12
13
2122233132
33
6a a a a a a a a a ?=6a ?.
方法二 注意到该行列式的第二列均为2个数的和, 可用行列式的性质5将该行列式分成2个行求和, 结果与方法一相同.
*8 计算
????a 1
a 1
?
0?a 2a 2?0000?a 3
?00??? ??0
00??a n
a n 111?11???
解一 ???a 1a 10?000?a 2a 2?0000?a 3?00??? ??000??a n a n 1
1
1?11??
C 2+C 1C 3+C 2
′ ? ???????????????C n+1+C n
′???a 100?00
0?a 20
?0000?a 3?00?
?? ??000??a n 0123
?n
n +1
??
=(?1)n (n +1)a 1a 2?a n
注：这里C i ′表示新的第i 列。
解法二 把第2，3，?，n 列加到第1列得
???a 1a 10?00
0?a 2a 2?
0000?a 3?00??? ??000??a n a n
111?11
??=??0a 10?000?a 2a 2?0000?a 3?00??? ??000??a n a n n +111?11??n+1
=(?1)1+n+1(n +1)?a 10?00?a 2a 2?00
?a 3?00?? ??00??a n a n ?n
=(?1)n (n +1)a 1a 2?a n
*9 已知数18055，83283，61042，48576，57776都能被23整除，证明：行列式
??83283610424857657776
?
?
也能被23整除。
证明：
假设18055，83283，61042，48576，57776被23整除的商分别为k 1,k 2,k 3,k 4,k 5，k 1,k 2,k 3,k 4,k 5为整数，则 ??1805583283610424857657776?
?
C 5+10000C 1+1000C 2+100C 3+10C 4 ??????????????????????????????????????????????????????
??1
80518055
8328832836104610424
85748576577757776
?
? =23??1805
k 1
8328k 26104k 34857k 45777k 5
??
因为行列式的值是取自不同行不同列元素乘积的代数和，当行列式所有元素为整数时，行列式的值也为整数，所以
??1805
k 1
8328k 26104k 34857k 45777k 5?
?
是整数。因此行列式
??83283610424857657776
?
? 能被23整除。
习题1.4 P31
1. 计算下列行列式(要求写出计算过程):
(1) 00000
00000x a b c
y d
e z f
g h k u l
v
; (2) 11
11
23
41
34
12
41
2
3
; (3) 01000
0020000030
a b c d e
e d c b a ; (4)
123100010
0000000
00001
00
n n
a a a a a ? ; (5) 1
23111
22
1232
2221232
223
3
12
3
3
110001*********x x x a b c a b x x x c x x x a b x x x c ; (6)
2
3
1111
122144188x x
x ??; (8) 222
a b c
a b c b c c a a b
+++ 分析 第(1)至第(4)题可用降阶法解, 第(5)至第(8)题可化为范德蒙行列式解.
解：(1) 00
000
00000x a b c
y d
e z
f
g
h k u l
v
5按第行展开0
0000
x
a b y v
e z g
h k u
按第4列展开
000x a b
vu y e z
按第1列展开
y xuv
e z
=xyzuv ；
(2) 1111
2341
3412
4123
1
4,3,2
i i
R R
i
?
?
=
1111
1230
1131
1311
?
?
1
2,3,4
i
R R
i
?
=
1111
0121
0040
0400
?
?
?
按第1列展开121
040
400
?
?
?
1.27(4)
?
习题第题3(31)
2
(1)(1)(4)(4)
?
????=16；
(3)方法一
01000
00200
00030
a b c d e
e d c b a
按第1列展开
1000
0200
0030
a
d c b a
+51
1000
(1)
0200
0030
b c d e
e
+
?
第2个行列式按第4列展开241
100
(1)020
003
a e e
+
+?=22
6()
a e
?；
方法二逐次均按第2行展开可得同样结果, 具体解法可参见下例。
(4)逐次按第2行展开
1
2
3
1
0001
0000
0000
0000
1000
n
n
a
a
a
a
a
?
=
1
3
2
01
00
10
n
a
a
a
a
==
1
231
1
1
n
n
a
a a a
a
?
=
2311
(1)
n n
a a a a a
?
?
；
(5)
123
111
221232
222
123
222
331233
110001
000
111
000
x x x
a b c
a b x x x c
x x x
a b x x x c
36
C
123
111
222231
222
123
222
333231
111000
000
111
000
x x x
a b c
a b c x x x
x x x
a b c x x x
?35
R
123222123222231111222
3
3
3
2
3
11110000000001
1
1x x x x x x a b c x x x a b c a b c x x x 45R 1232221231112222
3
1222
3
3
3
2
3
1111000000000111x x x x x x a b c a b c x x x a b c x x x ?
=2123(,,)D x x x ?=222313221()()()x x x x x x ????；
(6)
23
11111
22144188x
x x ??=(1,2,2,)D x ?=(2)(2)(1)(22)(21)(21)x x x +???????
2
12(1)(4)x x =??； （7）换行后可得到范德蒙行列式；
（8）222a b c
a b c b c c a a b
+++31R R +222
a b c a b c a b c a b c a b c ++++++提取公因子 ()a b c ++2
221
1
1a
b c a b c 32
21C C ()a b c ++2
2
2
11
1
a b c a b c =()a b c ++(,,)D a b c =()a b c ++()()()b a c b c a ???
2. 计算下列(1)n n >阶行列式(要求写出计算过程):
(1)
000
000
0000
00000
0x y x y x x y
y x
; (2) 123
123
1
23123
111n n
n n
a a a a a a a a a a a a a a a a +++
.
(3)
111212122212111111111n n n n n n
x y x y x y x y x y x y x y x y x y +++++++++ .
解：(1)
000000
00000000
0x y x y x x y y x 按第1列展开
1100
0(1)00
0x y x
y x
x
+?
+1
00000(1)0
000
0n y
x
y y x x y
+?
=1
(1)
n
n n x y ++?；
(2) 1
231
23
1
2
31
23
111n n
n
n
a a a a a a a a a a a a a a a a +++ 1
2,3,,i R R i n ?= 12
3
111001010
100
1n a a a a +???
12
n
i
i C C
=+
∑1+
1
n
i i a =∑；
(3)
11
12121
22212111111111n n
n n n n
x y x y x y x y x y x y x y x y x y +++++++++
12,3,,i R R i n
?= 1112
12112122111121111()()()()()()n n
n n n n
x y x y x y x x y x x y x x y x x y x x y x x y +++??????
=11121122131112
111()()()
n
n n n n
x y x y x y y y y x x x x x x y y y y +++???
，
据此当2n =时，原式=2121()()x x y y ??；当2n >时，原式=0。
3. 设
00000
0(1)000000
n
x y y y y z x z
x D n x z
x
=>
(1) 求出n D 的递推公式； (2) 利用递推公式求n D 。
解：(1) 将n D 按第n 列展开
111
100
000
00
00000
(1)0
0000000
00000
0000(1)n n n n n x y
y y y
z x x y y y z x z x z
x z x D y x z x x x z
x
z x
xD yz ++??==?++?
(2) 根据上面的递推公式可得：
111(1)n n n n D xD yz +??=+?
22112(1)(1)n n n n n x D xyz yz ?+??+?+?=
第n-2项 第2项 第1项
22(2)3(2)211(2)2432211
2224322112322(1)(1)(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x D x yz xyz yz x D x yz xyz yz x x yz x yz xyz yz x x yz x yz xyz ?+??????+??????+????+????+?++?+?+?++?+??+?++?+?=?+++?+ 111
2111
11
1)(1)(1)n n n n
i n i i
i n n
i n i i
i yz x y x z x y x z +??+??=???=?=+?=+?∑∑
4．解：（1）交换行、列后得到三角块行列式，然后利用例1.4.6的结果；或者直接利用Laplace 定理。
（2）左端先做变换3241,C C C C ++，再做变换2314,R R R R ??，然后利用P30推论。
5. 计算下列行列式(要求写出计算过程):
(1)
7654329789437
497005361000056000
06800
; (2) 1221010220110201
; 分析 利用行列式分块的性质(例1.4.5及思考题2)求解.
5．解：（1）765432
978943
749700
536100005600006800
再分块247497536132
(1)43
00560068×?? =
327456
435368
??
=4； （2）
1221010220110
201
23C 1221
001221010
021
23R 1221
2101
0012
0021
=1212
92121
?=
； （3）利用初等变换。
习题1.5 P36
1. 试用克拉默法则解下列方程组:
(1) 12312312323,52722,2544;x x x x x x x x x +?=? ?+= ?+= (2) 1223
132,23,0;0,bx ax ab cx bx bc abc cx ax ?=
?
?+=≠ +=
其中
(3) 12341234123412342326,33325,323,334;x x x x x x x x x x x x x x x x ?++= ?++= ??+= ?+?= (4) 1341234
1241234369,258,225,7460;x x x x x x x x x x x x x x ??=
?++= ?++=
? ?++=
(6) 2
221,,,, =1.,x y z x y z x y z εεεεεεεεε++= ++=≠ ++= 3 其中为三次原根
即1且的复数
解 (1) 因为系数行列式112527254D ?=
??21
31
52R R R R ??112
0717078
??? 32
R R ?112
0717009
???=630≠, 根据克拉默法则知, 有唯一解. 再计算得 1312222763454D ??=?=?, 21325227126244D ??==, 31135222189254
D ?=?=?.
所以方程组(1)的唯一解为312
1
231,2, 3.D D D x x x D D D
====== (2) 因为系数行列式 0
023500b a D c b abc c a
?=?=?≠,根据克拉默法则知, 有唯一解. 再计算得
2120235,00ab a D bc c b a bc a ??=?= 2220
0350b ab D bc b ab c c a ?==?,
232025,00
b a ab D
c bc abc c ??=?=?
所以方程组(2)的唯一解为312
123,,.D D
D x a x b x c D D D
==?====
(3) 因为系数行列式 2132
2
33231123131D ??=
????14,3,2i i R R i ??=2132
120002400043
????21
2C C ?
第二章 热力学第一定律 (一) 填空题 1. 在一绝热容器中盛有水，将一电阻丝浸入其中，接上电源一段时间（见下左图）当选择 不同系统时,讨论Q 和W 的值大于零、小于零还是等于零。 系统 电源 电阻丝 水 电源+电阻丝 水+ 电阻丝 水+电阻丝+电源 Q W U 参考答案 2. 298K 时，反应CH 3CHO(g) = CH 4(g) + CO(g)的反应热 r H m 0 = mol -1，若反应恒压的热容r C p,m = Jmol -1K -1，则在温度为 时，反应热将为零。（设：r C p,m 与温度无关）。 3. 对理想气体的纯PVT 变化，公式dU=nC V,m dT 适用于 过程；而真实气体 的纯PVT 变化，公式dU=nC V,m dT 适用于 过程。 4. 物理量Q 、W 、U 、H 、V 、T 、p 属于状态函数的有 ；属于途 径函数的有 。状态函数中属于强度性质 的 ；属于容量性质的有 。 5. 已知反应 C(S)+O 2CO 2 r H m 0＜0 若该反应在恒容、绝热条件下进行，则ΔU 于 零、ΔT 于零、ΔH 于零；若该反应在恒容、恒温条件下进行,则ΔU 于零、 ΔT 于零、ΔH 于零。（O 2、CO 2可按理想气体处理） 6. 理想气体绝热向真空膨胀过程，下列变量ΔT 、ΔV 、ΔP 、W 、Q 、ΔU 、ΔH 中等于零的 有： 。 7. 1mol 理想气体从相同的始态(p 1、T 1、V 1)，分别经过绝热可逆膨胀至终态(p 2、T 2、V 2)和经绝 热不可逆膨胀至终态('2'22V T p 、、)则’‘，2222 V V T T (填大于、小于或等 于)。 8. 某化学在恒压、绝热只做膨胀功的条件下进行，系统温度由T 1升高至T 2，则此过程ΔH 零，如果这一反应在恒温（T 1）恒压和只做膨胀功的条件下进行，则其ΔH 于零。 9．范德华气体在压力不太大时，有b RT a V T V T m p m -=-??2)(且定压摩尔热容为C P,m 、则此气体的焦——汤系数μJ-T = ，此气体节流膨胀后ΔH 0。 10． 1mol 单原子理想气体（C V,m =）经一不可逆变化，ΔH =，则温度变化为ΔT = ，内能变化为ΔU = 。 11. 已知298K 时H 20(l)、H 20(g)和C02(g)的标准摩尔生成焓分别为、 –和mol -1，那么C(石墨)、H 2 (g)、02(g)、H 20(l)、H 20(g)和C02(g)的标准摩尔燃烧焓分别 为 。 系统 电源 电阻丝 水 电源+电阻丝 水+ 电阻丝 水+电阻丝+电源 Q = < > < = = W < > = = > = U < > > < > =
一、建立下列问题的线性规划模型 1、有两个煤厂A、B，每月分别进煤60吨、100吨。它们担负供应三个居民区用煤任务。这三个居民区每月需用煤分别为45吨、75吨、40吨。A厂离这三个居民区分别为10公里、5公里、6公里，B厂离这三个居民区分别为4公里、8公里、15公里。问这两煤厂如何分配供煤，才使运输量最少。如果A厂的进煤量为65吨，如何分配供煤，才使运输量最少呢？ 2、某班有男同学30人，女同学20人，星期天准备去植树。根据经验，一天男同学平均每人挖坑20个，或植树30棵，或给25棵树浇水，女同学平均每人挖坑10个，或植树20棵，或给15棵树浇水。问应怎样安排，才能使植树最多。 3、某养鸡场有1万只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养。每天每只鸡平均吃混合饲料0.5公斤。其中动物饲料占的比例不得少于1/5。动物饲料每公斤0.9元；谷物饲料每公斤0.28元。饲料公司每周只保证供应谷物饲料50000公斤。问饲料应怎样混合，才使成本最低。 二、利用单纯形方法求解某个标准形式的LP问题时，得到对应于基B=(P3,P4,P5) 的单纯形表 分别说明当a1,a2,b,c在什么范围内可以使下面结论成立： （1）基B是可行基。 （2）此问题无最优解。 （3）基B不是可行基。 （4）基B是最优基且有唯一最优解。 （5）基B是可行基，但不能肯定是最优基，经过换基迭代后，可得到新的可行基B1=（P3,P1,,P5） 三、某厂拟生产甲、乙、丙三种产品，都需要在A、B两种设备上加工，已知数据如下表 （1）工厂如何安排生产，才能使产品总产值最大。 （2）若为了提高产量，以每台时350元租金租用外厂A设备，问是否合算？。 （3）产品乙的产值在什么范围内变化，原最优计划方案不变？ （4）若考虑引进新产品丁，已知生产每件产品丁分别需消耗A、B两种设备2、2台时，产值为3.5千元，问新产品丁是否值得引进？
《数论》第一章补充例题 整除性理论是初等数论的基础.本章要介绍带余数除法,辗转相除法,最大公约数,最小公倍数,算术基本定理以及它们的一些应用. 1整数的整除性 例1设A={d1,d2,···,dk}是n的所有约数的集合,则 }{nnn,,···,B=d1d2dk 也是n的所有约数的集合. 解由以下三点理由可以证得结论: (i)A和B的元素个数相同; (ii)若di∈A,即di|n,则(iii)若di=dj,则问: d(1)+d(2)+···+d(1997) 是否为偶数? n解对于n的每个约数d,有n=d·n,因此,n的正约数d与是成对地出现的.只有 n2当d=n,即d=n时,d和才是同一个数.故当且仅当n是完全平方数时,d(n)是奇数.nini|n,反之亦然;=nj.例2以d(n)表示n的正约数的个数,例 如:d(1)=1,d(2)=2,d(3)=2,d(4)=3,···. 因为442<1997<452,所以在d(1),d(2),···,d(1997)中恰有44个奇数,故 d(1)+d(2)+···+d(1997)是偶数. 问题d2(1)+d2(2)+···+d2(1997)被4除的余数是多少? 例3证明:存在无穷多个正整数a,使得 n4+a(n=1,2,3,···) 都是合数. ? ?例题中引用的定理或推论可以在教材相应处找到. 1 解取a=4k4,对任意的n∈N,有 n4+4k4=(n2+2k2)2?4n2k2=(n2+2k2+2nk)(n2+2k2?2nk). 由 n2+2k2?2nk=(n?k)2+k2??k2, 所以,对于任意的k=2,3,···以及任意的n∈N,n4+a是合数.
1.世界上第一台全自动电子数字计算机ENIAC的诞生时间是（B） a)1945年 B. 1946年 C. 1948年 D. 1949年 2.第一位提出“存储程序”思想的科学家是（C） a)图灵 B. 莱布尼茨 C. 冯·诺伊曼 D. 帕斯卡 3.电子计算机四个发展阶段的划分依据是（A）不同 a)电子元器件 B. 运算速度 C. 生产年代 D. 存储字长 4.第一代计算机的基本逻辑部件是（D） a)晶体管 B. 小规模集成电路 C. 大规模集成电路 D. 电子管 5.（C）是计算机中最小的数据单位 a)字节 B. 字 C. 位 D. 字母 6.下列各种进位计数制中,最小的数是(C) a)(1100101) 2 B. (146) 8 C. (100) 10 D. (6A) 16 7.下面对计算机的特点的说法中，（C）是不正确的说法 a)运算速度快 b)计算精度高 c)所有操作是在人的控制下完成的 d)随着技术的发展，同样功能的芯片的技术含量和价格越来越高 8.早期的计算机的主要应用是（A） a)科学计算 B. 信息处理 C. 实时控制 D. 辅助设计 9.个人计算机属于（C） a)小型计算机 B. 小巨型计算机 C.微型计算机 D. 中型计算机 10.计算(1110) 2+(1101) 2 =（A） a)(11011) 2 B. (11001) 2 C. (11010) 2 D. (10011) 2 11.利用大规模集成电路技术,将运算器和控制器集成在一块芯片上,该芯片称 为(C) a)单片机 B. 单板机 C. 中央处理器 D. 输入/输出接口 12.微型计算机的更新与发展,主要基于(B)的变革 a)软件 B. 微处理器 C. 存储器 D. 磁盘的容量 13.操作系统是一种(A) a)系统软件 B. 应用软件 C. 软件包 D. 游戏软件 14.计算机内所有的信息都是以(D)数码形式表示的 a)八进制 B. 十六进制 C. 十进制 D. 二进制 15.微型计算机中使用的数据库管理系统,属下列计算机应用中的(C). a)人工智能 B. 专家系统 C. 信息管理 D. 科学计算 16.(1101.1) 2 转换成十进制是（A） a)(13.5) 10 B. (13) 10 C. (10.5) 10 D. (7.5) 10 17.(13A) 16 转换成十进制是（D） a)A.(318) 10 B. (316) 10 C. (302) 10 D. (314) 10 18.(0.5625) 10 转换成八进制是（B） a)(0.46) 8 B. (0.44) 8 C. (0.42) 8 D. (0.48) 8 19. X＝(－1000101) 2 的反码表示为：（C） a) A .(00111010) 2 B .(11000101) 2 C .(10111010) 2 D .(10111010) 2 20.下列那个不是BCD码（A） a) A . 1010 B. 0111 C .0101 D.1001
第1章 质点运动学补充习题 一、选择题 1. 一质点作曲线运动, 任一时刻的矢径为?r , 速度为? v , 则在?t 时间内 [ D ] (A) v v ?=?ρ (B) 平均速度为 ??r t (C) r r ?=?ρ (D) 平均速度为t r ??ρ 2. 一质点作抛体运动, 忽略空气阻力, 在运动过程中, 该质点的t d d v 和t d d v ρ 的变化情 况为 [ B ] (A) t d d v 的大小和t d d v ρ的大小都不变 (B) t d d v 的大小改变, t d d v ρ 的大小不 变 (C) t d d v 的大小和t d d v ρ的大小均改变 (D) t d d v 的大小不变, t d d v ρ的大小改变 3. 一抛射物体的初速度为v 0, 抛射角为θ, 则该抛物线最高点处的曲率半径为 [ D ] (A) ∞ (B) 0 (C) g 20v (D) θ22 0cos g v 4. 一质点在平面上运动, 已知质点位置矢量的表示式为j t b i t a r ρρρ2 2+=(其中a 、b 为 常量) , 则该质点作 [ B ] (A) 匀速直线运动 (B) 变速直线运动 (C) 抛物曲线运动 (D) 一般曲线运动 5 一质点在xOy 平面内运动, 其运动方程为Rt t R x ωω+=sin , R t R y +=ωcos , 式中R 、ω均为常数. 当y 达到最大值时该质点的速度为 [ B ] (A) 0,0==y x v v (B) 0,2==y x R v v ω (C) ωR y x -==v v ,0 (D) ωωR R y x -==v v ,2 6. 某物体的运动规律为t k t 2d d v v -=, 式中k 为常数．当t = 0时，初速度为v 0．则速度v 与时间t 的函数关系是: [ C ] (A) 0221v v += t k (B) 0221 v v +-=t k (C) 02121v v +=t k (D) 0 21 21v v + -=t k
计算机网络原理 第1章计算机网络概述 1、选择题 ?RFC是（A）。?A、因特网标准的形式?B、一种网络协议?C、一种网络文件格式?D、一种网络技术?在OSI的七层参考模型中，工作在第三层的是以上的网络间连接设备是（B）?A、集线器 ?B、网关 ?C、网桥 ?D、中继器 ?在OSI七层结构模型中，处于数据链路层与传输层之间的是（B）。 ?A、物理层 ?B、网络层 ?C、会话层 ?D 、表示层?完成路径选择功能是在OSI参考模型的（C） ?A、物理层 ?B、数据链路层 ?C、网路层 ?D、传输层
?在TCP / IP协议族的层次中，解决计算机之间通信问题是在（B） ?A、网络接口层 ?B、网际层 ?C、传输层 ?D 、应用层?下列功能中，属于表示层提供的功能是（D） ?A、交互管理 ?B、透明传输 ?C、死锁处理 ?D、文本压缩 ?TCP/IP参考模型的网际层用于实现地址转换的协议有（A） ?A、ARP ?B、ICMP ?C、UDP ?D 、TCP ?无证实的服务包含的服务原语是（C）?A、请求和响应 ?B、请求和证实 ?C、请求和指示 ?D 、请求和应答 ?ARPANET是INTERNET的前身，它是一种(C)网络。 ?A、电路交换 ?B、报文交换 ?C、分组交换 ?D、混合交换?传输时延10ms，带宽100Mbps的网络，其时延带宽积为（B）。 ?A、107 bit ?B、106 bit ?C、105bit ?D、104bit
?计算机网络体系结构就是层次结构和（A ）的集合。 ?A、协议 ?B、接口 ?C、模型 ?D 、服务?计算机网络是由（D）构成的。?A、数字网络和模拟网络 ?B、局域网和广域网 ?C、无线网络和有线网络?D、资源子网和通信子网 ?计算机网络的功能表现在（D）方面。?A、硬件资源共享、用户资源共享两个?B、软件资源共享、用户资源共享两个?C、用户资源共享、信息交换两个?D、硬件资源共享、软件资源共享、用户信息交换三个?在OSI/RM中，物理层的功能是（B）。?A、建立和释放连接 ?B、透明地传输比特流 ?C、在物理实体间传送数据帧 ?D、发送和接收用户数据 ?对等实体在一次交互作用中传送的信息单位称为（C），它包括（A）两部分。?（1）A、接口数据单元B、服务数据单元?C、协议数据单元D、交互数据单元?（2）A、控制信息和用户数据B、接口信息和用户数据 ?C、接口信息和控制信息D、控制信息和效验信息?上下邻层实体之间的接口称为服务访问点SAP，网络层的服务访问点也称为（B），通常分为（B）两部分。 ?（1）A、用户地址B、网络地址?C、端口地址D、网卡地址 ?（2）A、网络号和端口号B、网络号和主机地址 ?C、超网号和子网号D、超网号和端口地址
第一章补充习题 一、选择题 1．25℃时，总压为150kPa时，下面几种气体的混合气体中分压最大的是：（）。 (A) 0.1g H2 (B) 1.0 g He (C) 1.0 g N2(D) 1.0 g CO2 2. 气体与理想气体更接近的条件是（）。 (A) 高温高压(B) 高温低压(C) 低温高压(D) 低温低压 3. 压力为200 kPa的O2 5.0 L和100 kPa的H2 5.0 L同时混合在20 L的密闭容器中，在温度不变的条件下，混合气体的总压力为（）。 (A) 120 kPa (B) 125 kPa (C) 180 kPa (D) 75 kPa 4. 质量摩尔浓度的优点是（）。 (A) 准确度高(B) 应用广泛(C) 计算方便(D) 其值不随温度而改变 5．一定愠度下，等体积的甲醛(HCHO) 溶液和葡萄糖(C6H12O6)溶液的渗透压相等，溶液中甲醛和葡萄糖的质量比是（）。 (A) 6 : 1 (B) 1 : 6 (C) 1 : 3 (D) 3 : 1 6．下列相同浓度的稀溶液，蒸气压最高的是（）。 (A) HAc溶液(B) CaCl2溶液(C) 蔗糖水溶液(D) NaCl水溶液 7．取相同质量的下列物质融化路面的冰雪，效果最好的是（）。 (A) 氯化钠(B) 氯化钙(C) 尿素[CO(NH2)2] (D) 蔗糖 8．在一定的外压下，易挥发的纯溶剂A中加入不挥发的溶质B形成稀溶液。此稀溶液的沸点随着b B 的增加而（）。 (A) 升高(B) 降低(C) 不发生变化(D) 无一定变化规律 9．室温25℃时，0.1 mol/L糖水溶液的渗透压为（）。 (A) 25 kPa (B) 101.3 kPa (C) 248 kPa (D) 227 kPa 10．37℃，人体血液的渗透压为780 kPa，与血液具有相同渗透压的葡萄糖静脉注射液浓度是（）。 (A) 85 g/L (B) 5.4 g/L (C) 54 g/L (D) 8.5 g/L 11．将0.45 g非电解质溶于30 g水中，使水的凝固点降低0.15摄氏度，已知H2O的K b= 1.86 K · Kg · mol-1，则该非电解质的摩尔质量（g · mol-1）是（）。 (A) 100 (B) 83.2 (C) 186 (D) 204 12. 某难挥发非电解质稀溶液的沸点为100.400℃，则其凝固点为（）。 (A) - 0.110℃(B) - 0.400℃(C) - 0.746℃(D) -1.45℃ 13. 将0.900 g某物质溶于60.0 g水中，使溶液的凝固点降低了0.150℃，这物质的分子量是（水的K f = 1.86 K · Kg · mol-1）（）。 (A) 204 (B) 186 (C) 83.2 (D) 51.2 14. 在0℃的NaCl溶液中，加入重量为100 g的冰，一段时间后，冰的质量（）。 (A) 大于100 g (B) 少于100 g (C) 等于100g (D) 不能确定 15. 2000 g水中溶解0.1 mol 食盐之水溶液与2000 g水中溶解0.1 mol甘油的水溶液。在101.33 kPa下， 下列哪种关于沸点的说法是正确的（）。 (A) 都高于100℃，食盐水比甘油水溶液还低 (B) 都高于100℃，食盐水比甘油水溶液还高 (C) 食盐水低于100℃，甘油水溶液高于100℃ (D) 沸点高低不能确定 16. 一封闭箱处于恒温环境中，箱内有两杯液体，A杯为纯水，B杯为蔗糖水溶液。静置足够长时间 后，观察其变化，发现（）。 (A) 杯水减少，B杯水满后不再变化 (B) B杯水减少，A杯水满后不再变化
－ 第一章 补充选择题和填空（吴百诗习题） t 1到 t 2这段时间内的路程为
第一章 质点运动学 思考题 练习题 解答 思考题答案1，7，10，12 1-1位置矢量与位移矢量有何关系，怎样选择坐标系才能使两者一致？ 答：位置矢量是从坐标原点至质点位置的有向线段，位移矢量是从质点前一时刻的位置到后一个时刻位置的有向线段，位置矢量与位移矢量的关系是 01Δr r r -= 上式说明：位移矢量r Δ是质点后一时刻的位置矢量1r 与前一个时刻位置矢量0r 的矢量差。在把坐标原点选在初始位置即0r 等于零的位置处，并作为时间起点的情况下，两者就是一致的。 1-2举例说明一个物体能否处于下列状态：（1）具有零速度，同时具有不为零的加速度；（2）具有向东的速度，同时具有向西的加速度；（3）具有恒定的速率，但速度矢量在不断地改变中；（4）具有恒定的加速度矢量，但运动的方向不断改变。 答：（1）能。如自由落体刚开始下落的时刻，汽车起动的瞬间等。（2）能。如以速度v 向东运动的火车，作减速运动，这时加速度方向就是向西。（3）能。如匀速率圆周运动。（4）能，如抛体运动。 1-3在某一时刻，物体的速度很大，它的加速度是否也一定很大？反之，如在某一时刻，它的加速度很大，是否在该时刻的速度也一定很大？ 答：不一定。因加速度是描述速度变化的物理量，与同一时刻速度本身大小无关。如高速飞行的飞机，速度很大，若是匀速飞行，即加速度为零。反之加速度大，速度也不一定大。如刚起动的汽车，加速度较大，但速度并不大。 1-4 质点作平面曲线运动的运动方程为()t x x =，()t y y =。在计算质点的速度和加速度时，有人先求出22y x r +=，然后根据定义t r v d d =和22d d t x a =求得v 和a 的值。也有人先计算出速度和加速度的分量，再合成求得v 和a 的值，即 2 2 d d d d ? ? ? ??+??? ??=t y t x v
操作系统第一章补充习题 一、选择题 (从题目给出的A、B、C、D四个答案中，选择一个正确的答案，把答案编号填在题目的______处) 1.操作系统的管理部分负责对进程进行调度。 A.主存储器 B.控制器 C.运算器 D.处理机 2.操作系统是对进行管理的软件。 A.软件 B.硬件 C.计算机资源 D.应用程序 3.从用户观点看，操作系统是。 A.用户与计算机之间的接口。 B.控制和管理计算机资源的软件。 C.合理地组织计算机工作流程的软件。 D.由若干层次的程序按一定的结构组成的有机体。 4.操作系统中采用多道程序设计技术提高CPU和外部设备 的。 A.利用率 B.可靠性 C.稳定性 D.兼容性 5.操作系统是计算机不可缺少的组成部分，是为提高计算机系统资源的 __________ 和方便用户使用计算机而配备的一种系统软件。 A.速度 B.利用率 C.灵活性 D.兼容性 6.操作系统的基本类型主要有。 A.批处理系统、分时系统及多任务系统。 B.实时操作系统、批处理操作系统及分时操作系统。 C.实时操作系统、分时系统及多用户系统。 D.单用户系统、多用户系统及批处理系统。
7.所谓是指将一个以上的作业放入内存，并且同时处于运行状态，这些作业共享处理机的时间和外围设备等其他资源。 A.多重处理 B.多道程序设计 C.实时处理 D.并行执行 8.下面关于操作系统的叙述正确的是。 A.批处理作业系统必须具有作业控制信息。 B.分时系统不一定都具有人机交互功能。 C.从响应时间的角度看，实时系统与分时系统差不多。 D.由于采用了分时技术，用户可以独占计算机的资源。 9.. 操作系统允许在一台主机上同时连接多台终端，多个用户可以通过各自的终端同时交互地使用计算机。 A.网络 B.分布式 C.分时 D.实时 10.如果分时系统的时间片一定，那么，则响应时间越长。 A.用户数越少 B.用户数越多 C.内存越少 D.内存越多 11.分时操作系统通常采用策略为用户服务。 A.可靠性和灵活性 B.时间片轮转 C.时间片加权分配 D.短作业优先 12.操作系统允许用户把若干个作业提交给计算机系统。 A.单用户 B.分布式 C.批处理 D.监督 13.设计实时操作系统时，首先应考虑系统的。 A.可靠性和灵活性 B.实时性和可靠性 C.灵活性和可靠性 D.优良性和分配性 14.若把操作系统看作计算机系统资源的管理者，下列的不属于操作系统所管理的资源。 A.程序 B.内存 C.CPU D.中断
第一章补充习题 1.考虑从主机A到主机B发送一个F比特的大文件。A和B之间有两段链路， 并且链路不拥塞（即没有排队时延）。主机A将该文件分为每个为S比特的报文段，并为每个报文段增加一个40比特的首部形成L=40+S比特的分组。每条链路的传输速率为R bit/s。求从A到B移动该文件所花时间最小时的S值（忽略传播时延）。 2.假设用户共享一条1Mb/s的链路，每个用户传输的要求为100kb/s，但是每 个用户仅有10%的时间需要传输数据。 a)当采用电路交换时，能够支持多少用户？ b)以下假定采用分组交换。求出给定用户传输的概率？ c)限定40个用户。求出给定时刻，实际有n用户同时传输的概率。 d)求出有11个或更多用户同时传输的概率。 3.在现代分组交换网中，源主机将长的应用层7.5M bits报文（如一个图像或音 乐文件）分段为较小的分组并向网络发送。接收方则将这些分组重新组装为初始报文。我们称之为报文分段。下图1-24中从源发送到目的地。假定途中的每段链路是1.5Mbps。忽略传播时延、排队时延和处理时延。 a.考虑从源到目的地无报文分段地发送该报文。从源主机到第一台分组交换 机移动报文需要多长时间？记住，每台交换机使用“存储转发”机制交换，从源到目的主机移动该报文需要多长时间？ b.现在假定该报文被分段为5000个分组，每个分组1500个比特长。从源主 机到第一台交换机移动第一个分组需要多长时间？第一个分组从第一台 交换机发送到第二台交换机，第二个分组从源主机发送到第一台交换机各需要多长时间？什么时候第二个分组能被第一台交换机全部收到？ c.当使用报文分段时，从源主机向目的主机移动该文件需要多长时间？将结 果与（a）部分答案进行对比解释之。 d.讨论报文分段的缺点。
第一章 信号及其描述 一．选择题 1．描述周期信号的数学工具是 。 a ．相关函数 b ．Fourier 级数 c ．Fourier 变换 d ．Laplac e 变换 2．Fourier 级数中的各项系数是表示各谐波分量的 。 a ．相位 b ．周期 c ．振幅 d ．频率 3．复杂周期信号的频谱是 。 a ．离散的 b ．连续的 c ．sinc 函数 d ．δ函数 4．如果一个信号的频谱是离散的，则该信号的频谱的频率成分是 。 a ．有限的 b ．无限的 c ．可能是有限的，也可能是无限的 d ．随机性的 5．下列信号表达式中， 周期函数。 a ．??????<≥=0 t 00t t 5cos10)t (x π b ．x(t)=5sin20πt+10cos10πt )t (∞<<-∞ c ．x(t)=)t (-t cos2020e |t -|∞<<∞πα 6．多种信号之和的频谱是 。 a ．离散的 b ．连续的 c ．随机性的 d ．周期性的 7．描述非周期信号的数学工具是 。 a ．相关函数 b ．Fourier 级数 c ．Fourier 变换 d ．Laplac e 变换 8．下列信号表达式中， 信号的频谱是连续的。 a ．x(t)=5sin20πt+10cos10πt )t (∞<<-∞ b ．t 53sin 5sin30t )t (x += )t (∞<<-∞ c ．x(t)=)t (-t cos2020e t -∞<<∞πα
9．连续非周期信号的频谱是 。 a ．离散的、周期的 b ．离散的、非周期的 c ．连续、非周期的 d 连续、周期的 10．时域信号，当持续时间延长时，则频域中的高频成分 。 a ．不变 b ．增加 c ．减少 d ．变化不定 11．将时域信号进行时移，则频域信号将会 。 a ．扩展 b ．压缩 c ．不变 d ．仅有相移 12．已知x(t)=12sin ωt, δ(t)为单位脉冲函数，则积分 ?∞∞--?dt )2t ()t (x ωπδ的函数值为 。 a ．6 b ．0 c ．12 d ．任意值 13．如果信号分析设备的通频带比磁带记录下的信号频带窄，则为满足分析要求可以将磁带记录仪的重放速度 。 a ．放快 b ．放慢 c ．不变 d ．反复多放几次 14．时域信号的时间尺度压缩时，则其频谱的变化为 。 a ．频带变窄、幅值增大 b ．频带变宽、幅值减小 c ．频带变窄、幅值减小 d ．频带变宽、幅值增大 15．数字信号的特征是 。 a ．时间上离散、幅值上连续 b ．时间、幅值上均离散 c ．时间、幅值上均连续 d ．时间上连续、幅值上离散 二、填空题 1．信号可以分为 和 两大类。 2．确定性信号可以分为 和 两大类，前者的频谱特点是 ，
第一章 流体流动 问答题 （1）下图为一典型的简单管路。设各段管径相同，液体做稳态流动。现将阀门由全开转为半开，试分析下述参数如何变化？ （1） u ； (2)p A ； (3)p B 答：（1）阀门关小，其阻力系数增大，B A f h -,增大，又Z1不变，即截面1流体的总机械能一定，故u 减小。 （2）考察1、A 两个截面间的能量转换关系：由u 减小知A f h -1,必减小，又Z1不变，故P A 增大。 （3）在管段B 、2之间做能量衡算：u 减小，2,-B f h 减小，又P 2不变，故P B 将减小。 分析：对上述简单管路可以引发如下的结论： a.任何局部阻力系数的增加都会导致管路各处的流速下降； b.上游阻力增大将使下游压强下降； c.下游阻力增大将使上游压强上升。 其中第c 条应予以特殊注意，说明管路是一个整体，下游的变化同样影响着上游，任一局部变化都会使原有的能量平衡遭到破坏，随后再依新的条件建立起新的能量平衡。 （2）离心泵的特性曲线H －Q 与管路的特性曲线He －Qe 有何不同？二者的交点意味着什么？ 答：将离心泵的基本性能参数之间的关系描绘成图线称为离心泵的特性曲线。这里讨论的是其中的一条H －Q 曲线。它表明转速一定时，离心泵的流量和该流量下泵的能提供的压头即做功本领之间的对应关系。该曲线由生产厂家测定并提供，是泵本身固有的特性，它只与泵自身的结构（如叶片弯曲情况、叶轮直径等）、转速有关，而与其所在的管路及其他外界条件无关。所以离心泵的特性曲线图只须注明型号、转速即可。二者的交点称为泵在该管路上的工作点。意味 ’
着它所对应的流量和压头，既能满足管路系统的要求，又能为离心泵所提供，即。换言之，交点反映了某离心泵与某一特定管路相连接时的运转情况。离心泵只能在这一点工作。 填空题 （1）边界层的形成是液体具有 的结果。 答案：粘性 分析：由于流体具有粘性，使壁面粘附一层停滞不动的流体层；同样还是因为流体具有粘性，使得静止层流体与其相邻的流体层间产生内磨擦力，导致相邻流体层速度减慢。这种减速作用由壁面附近的流体层依次向流体内部传递，而流速受到壁面影响的这一区域就的我们通常所说的边界层。如果流体没有粘性，就不会润湿壁面，也没有内磨擦力的存在，亦无边界了。 （2）用离心泵在两个敞口容器间输液。若维持两容器的液面高度不变，当关小输送管道的阀门后，管道的总阻力将____。 答案：不变 分析：在两个液面间列柏努力方程式，因位能、静压能和动能均不变化，所以管道总损失不变；阀门开度减小后，导致局部阻力增大，水量减小，直管阻力减小，总阻力不变化。 （3）粘性流体流体绕过固体表面的阻力为 和 之和，称局部阻力。 答案：摩擦阻力；形体阻力 （4）经内径为158mm 的钢管输送运动粘度为902mm /s 的燃料油。若保持油品作滞流流动，最大流速不能超过 。 答案：1.14s m / 分析：令临界雷诺数等于2000，即可求得大速度。 20001090158.0Re 6 =?==-u v du 解之 s m u /14.1= （5）在滞流区，若总流量不变，规格相同的两根管子串联时的压降为并联时的 倍。 答案：4 分析：由哈根-泊谡叶方程知：1,2 ,f f p p ??=4221 212=?=?u u l l （6）流体在阻力平方区流动，若其他条件不变，其压降随着管子的相对粗糙度增加而_____，随着流体的密度增大而_____。 答案：增加：增大 分析：在阻力区，λ只与相对粗糙度有关，且随其增大而增大。由范宁公式 2 2 u d l h p f f ρλρ==?
第一章和第二章的练习题目 1 世界上的第一台计算机是在（）年诞生的。 （A） 1846 （B） 1864 （C） 1946 （D） 1964 2 世界上第一台计算机产生于（）。 （A）哈佛大学（B）麻省理工学院 （C）宾夕法尼亚大学（D）加州大学洛杉矶分校 3第一台计算机的名字是（）。 （A） ENCIA （B） ENIAC （C） EANIC （D） INTEL 4 计算机的基本理论“程序存储”是由（）提出来的。 （A）牛顿（B）冯·诺依曼 （C）爱迪生（D）莫奇利和艾科特 5 第一台计算机的逻辑元件使用的是（）。 （A）电子管（B）晶体管 （C）集成电路（D）大规模和超大规模集成电路 6 第三代计算机使用的逻辑元件是（）。 （A）电子管（B）晶体管 （C）集成电路（D）大规模和超大规模集成电路 7 大规模和超大规模集成电路是第（）代计算机所主要应用的逻辑元器件。（A）一（B）二 （C）三（D）四 8 计算机最早的应用是（）。 （A）科学计算（B）信息处理 （C）辅助设计（D）自动控制 9 当前应用广泛的办公自动化在计算机应用中属于（）。 （A）科学计算（B）信息处理 （C）辅助设计（D）自动控制 10 当前应用广泛的财务管理系统在计算机应用中属于（）。 （A）科学计算（B）信息处理 （C）辅助设计（D）自动控制 11 计算机辅助设计的英文缩写是（）。 （A） CAD （B） CAI （C） CAM （D） CAT 12 CAT是（）的英文缩写。 （A）计算机辅助设计（B）计算机辅助制造 （C）计算机辅助测试（D）计算机辅助教学 13 计算机辅助制造的简称为（）。 （A） CAD （B） CAI （C） CAM （D） CAT 14 计算机中的数据是以（）的形式进行存储和处理的。 （A）二进制（B）八进制
第1章 习题 第2讲 课下作业：教材第33-34页，1、2、4。 1、根据算符▽的微分性与矢量性，推导下列公式： 2()()()()()1 ()()2 A ?=???+?+???+????=?-?A B B A B A A B A B A A A A 2、设u 是空间坐标x,y,z 的函数，证明： (), (), (). df f u u du d u u du d u u du ?=??=???=??A A A A 4、应用高斯定理证明 ,V S dV d ??= ?? ? f S f 应用斯托克斯（Stokes ）定理，证明 .S L d d ????=?? S l 第3讲 课下作业：教材第34-35页，5、6。 5、已知一个电荷系统的偶极距定义为：()(,)V P t x t x dV ρ'''=? 利用电荷守恒定律0j t ρ ???+ =?,证明P 的变化率： (,)V d p j x t dV dt ''=? 6、若m 为常矢量，证明除0R =点以外，矢量3m R A R ?= 的旋度等于标量3m R R ?= 的梯度的负值。 即：A ???=-?, 其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
补充题1：直接给出库仑定律的数学表达式，写明其中各个符号的物理意义。并推导出真空中静电场的下列公式： () ();()0x x ρε?=??=E E 。 x 第4讲 课下作业：教材第35页，10。 10、证明两个闭合的恒定电流圈之间的作用力大小相等，方向相反（但两个电流元之间的作用力一般并不服从牛顿第三定律）。 补充题2：直接给出毕奥-萨伐尔定律的数学表达式，写明其中各个符号的物理意义，并推导出真空中静磁场的下列公式。 J B B 00 μ=??=?? 第5讲 课下作业:： 补充题3：直接给出法拉第电磁感应定律的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义。 补充题4：直接给出真空中麦可斯韦方程组的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义。 补充题5：设想存在孤立磁荷（磁单极子），试改写Maxwell 方程组，以包括磁荷密度ρm 和磁流密度J m 的贡献。 第6讲 课下作业： 补充题6：场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式和微分形式，电磁场能量密度和能流密度表达式。 补充题7：场和电荷系统的动量守恒定律的积分形式和微分形式，动量密度和动量流密度表达式。
第1章 质点运动学补充题 大部分来自历年考题 一质点的运动方程为： ，求（1）质点的轨迹方程；（2）求1s 和2s 时的位矢；（3）求1s 至2s 内的平均速度；（4）求1s 的速度大小和方向；（5）求1s 的加速度大小和方向；（6）1s 时的切线和法向加速度大小；（7）1s 质点的轨道半径。（课堂上讲的） 1、一质点沿半径为0.1=R m 的圆周作逆时针方向的圆周运动，质点在0～t 这段时间内所经过的路程为4 22 t t S ππ+ = ，式中S 以m 计，t 以s 计，则在t 时刻质点的角速度为 ， 角加 速度为 （求导法） 2．质点沿x 轴作直线运动，其加速度t a 4=m/s 2，在0=t 时刻，00=v ， 100=x m ，则该质点的运动方程为=x （积分 法） 3．一质点从静止出发绕半径R 的圆周作匀变速圆周运动，角加速度为β，则该质点走完半周所经历的时间为。（积 分法） 4、1. 质点沿x 轴作直线运动，其运动方程为3223t t x -=(SI 制)，则。 )()219(22 m j t i t r -+=
5、1．质点沿x 轴作直线运动，其运动规律满足?? ?==t b y t a x ωωsin cos （式中b a 、均为大于零的常数），则可知该质点运动的轨迹方程为 。 6、2、一质点沿半径为0.1=R m 的圆周作逆时针方向的圆周运动，质点在0～t 这段时间内所经过的路程为4 22 t t S ππ+ = 式中S 以m 计，t 以 s 计，则t=2s 8、某质点的运动方程是：)cos(10t x π=，)sin(10t y π=，式中x 、y 以米计，t 以秒计，求：（1）写出此质点的速度矢量式； （2）轨迹方程； （3）此质点在前9.5秒内走过的路程； （4）此质点的加速度矢量式。 解（1）()()(m/s) cos 10sin 10j t i t j dt dy i dt dx v ππππ+-=+= ……（2分） （2） 22100x y += …………………………………………（2分） （3） (m) 955.910ππ=?==?vt S ………………………（3分） （4） )(m/s )sin(10)cos(1022 2j t i t dt v d a ππππ--==…………（3分） 9、一质点在平面内运动，其运动方程为 2 2 , 441 x t y t t =??=++?，式中x 、y 以m 计，t 以秒s 计，求： (1) 以t 为变量，写出质点位置矢量的表达式；
补充 例题与习题 【例1-3】如图1—19a 所示刚架。在B 处受一水平力 刚架自重不计，尺寸如图所示。试分别用几何法与解析法求解刚架在固定铰链A 和活动铰链D 处的约束反力。 【解】(1)几何法 以刚架为研究对象，取出分离体。 画出主动力FP 和约束反力FND(垂直于支承面，沿DC 方向)，FP 与FND 相交于c 点；根据三力平衡汇交定理，FNA 的作用线必通过C 点，如图l-19b 所示。最后作力多边形求未知力F ND 和F NA 。 选力比例尺1cm=10kN ，任取一点a ，从a 作FP 的平行线段ab ，并取ab=FP ，再从a 和b 分别作FNA 和FND 的平行线相交于C ，于是得到封闭的力三角形abc ，如图1．19c 所示。 根据力多边形法则，按各力矢量首尾相接的顺序，得出FNA 和FND 的指向。量出FNA 和FND 的长度经比例尺换算得 (2)解析法 以刚架为研究对象，画出受力图如图1-19b 所示。 b) 选坐标系xAy 。列平衡方程 ?==565.26)8/4(arctg α 由式(1-8)得 36.22565.26cos /==P NA F F KN 由式(1-9)得 kN F F NA ND 10565.26sin 36.22sin =?==α 解得： 均为正值，表示所假设的方向与实际指向相同。 【例1-4】增力机构如图1—20a 所示，已知活塞D 上受到液压力F P =300N ，通过连杆BC 压紧工件。当压紧平衡时，杆AB 、BC 与水平线的夹角均为α=8°。不计各杆自重和接触处的摩擦，试求工件受到的压力。 【解】根据作用力与反作用力定律，工件所受的压力可通过求工件对压块的反力F Q 而得到，因已知力F P 作用在活塞上，而活塞杆与压块间有一根二力杆相联系，所以必须分别研究活塞BD 和压块C 的平衡才能解决问题。