点、直线的对称问题
课题：点、直线的对称问题
时间：2015.10.19第5节地点：高二（12）授课人：吴晗
教学目标：
1、使学生会解决平面解析几何直线章节中有关对称问题：点关于点对称、点关
于直线对称、直线关于点对称、直线关于直线对称.
2、让学生经历直线对称问题的探究问题，提高学生分析、比较、概括、化归的
数学能力.
3、在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生
学习数学的兴趣，并且继续渗透数形结合的数学思想.
教学重点：
对称问题的基本解法
教学难点：
找对称问题中的对称关系式
教学方法：例题讲解式
学法指导：练习+自主探究
教学用具：粉笔、ppt
教学过程：
一、新课引入
在现实生活中我们经常遇到许多对称的物体，在我们数学中也有许多对称问题，例如必修一函数的奇偶，物理中光的反射与入射等等，那么本节课我们就一起来研究点、直线的对称问题.
二、新知探究
1、点关于点的对称点
例1、求点A ()3,2关于坐标原点的对称点的坐标.
解析 两点关于坐标原点对称，则坐标原点()0,0为两对称点的中点，利用中点坐标公式求解.
解：设点A 关于坐标原点的对称点B 的坐标为()y x ,. 由中点坐标公式可得：?????=+=+02
3022y x ????-=-=32y x ∴B 的坐标为()3,2--.
2、直线关于点的对称直线
例2、求直线03=-+y x 关于点()3,2A 的对称直线方程.
解析 要求得对称直线方程，只需在原直线中取两点，此两点关于点A 的对称点在对称直线上，由两点式可确定其方程.
1way ： 解：在直线03=-+y x 上取()0,3B 和()3,0C 两点.
设B 、C 两点关于A 的对称点'B 、'C 的坐标分别为()11,y x 、()22,y x .
由中点坐标公式可得：????????????=+=+=+=+.323,220;32
0,2232211y x y x ()().3,4,6,1''C B ∴
∴对称直线方程为：1
41636--=--x y ，即07=-+y x . 2way ：解析：对称线和原线是平行直线，所以只需知道一点即可求出对称直线.
解：设对称直线的方程为：0=++c y x
在直线03=-+y x 上取()0,3B ，设()0,3B 关于()3,2A 对称点'B 的坐标为()11,y x
????????==?==+∴6132
2231111y x y x ，'B 的坐标为()6,1 061=++∴c ，即7-=c
∴对称直线方程为：07=-+y x
练习1、求直线012=+-y x 关于点()2,1A 对称的直线.
3、点关于直线的对称点
例3、求点A ()1,3-关于直线012=++y x 的对称点的坐标.
解析 两点关于012=++y x 对称，则A ()1,3-和对称点的中点必在直线012=++y x 上建立一个方程，A ()1,3-和对称点所在的直线一定和
012=++y x 垂直，利用121-=k k 建立第二个方程即可.
解：设点A ()1,3-关于直线012=++y x 的对称点B 的坐标为()y x ,，则A 、B 的
中点H 坐标为??? ??+-+21,2
3y x . ΘH 必在直线012=++y x 上 ∴012
1232=++-++?y x ()1 又B A ,Θ所在的直线和012=++y x 垂直
()123
1-=-?-+∴x y ()2 联立()()2,1可解得??
???-=-=51759y x ∴点A ()1,3-关于直线012=++y x 的对称点的坐标为??
? ??--517,59.
练习2、求点()1,2A 关于直线023=-+y x 的对称点.
4、线关于线的对称线
例4、求直线032:1=+-y x l 关于直线01:=+-y x l 对称的直线2l 的方程. 解析 求1l 上点()3,0A 关于l 的对称点和1l 与l 交点一定都在2l 上，由两点式即可确定2l 的方程.
解：由???=+-=+-01032y x y x 可得?
??-=-=12y x 1l ∴与l 的交点B 坐标为()1,2--
设1l 上取点()3,0A 关于l 的对称点C 的坐标为()11,y x
???
????-=-=++-∴130********x y y x ???==?1211y x ∴1l 上取点A ()3,0关于l 的对称点C 的坐标为()1,2
由两点式方程得到2l 的方程为：
2
22111++=++x y 即：02=-y x 练习3、求直线032=-+y x 关于直线x y =对称的直线方程.
三、课堂小结
1、点关于点的对称点
2、直线关于点的对称直线
3、点关于直线的对称点
4、线关于线的对称线
四、作业
全品练36页15题、练37页5题
五、板书设计
1、点关于点的对称点例2 例3 例4
例1
2、直线关于点的对称直线
3、点关于直线的对称点
4、线关于线的对称线
六、教学反思：
第三章晶体的宏观对称 第一节：对称性概述 教材上关于对称的形象化描述非常好：对称，顾名思义就是不同的物体或同一物体的不同部分相对又相称，因此将这不同的物体或同一物体的不同部分的空间位置以某种方式对换一下好像没动过一样（复原）。 晶体的宏观对称就是指晶体表面几何要素（但并非只是几何要素）的有规律重复。 一、几个相关术语 1.等同图形（同形等大的图形）； 2.对称操作； 3.对称元素； 4.关于左右型图形 的问题；5.对称图形的阶次和对称要素的阶次。 二、宏观对称元素 1.反映对称面(符号用P)；描述：面不动，阶次为2。 2.对称中心（符号用C）：描述：点不动。对称中心可以产生左右型、阶次为2。 3.旋转对称轴（用L n表示）：描述：线不动，阶次为n.；基转角、对称定律（画 图并作几何推导）。 对称定律：对应的对称轴只可能是L1、L6、L4、L3、L2。 4.旋转反伸对称轴（用L-n表示）：描述：点不动。基转角、旋转反伸对称轴次、 先旋转后反伸与先反伸后旋转、旋转反伸轴是一个复合对称操作，阶次为n。 反伸轴的等价对称操作： 一次反伸轴等于对称中心（L-1=C）(证明) 二次反伸轴等于对称面（L-2=P）(证明) 三次反伸轴等于三次对称轴加对称中心（L-3=L3C）(证明) 四次反伸轴无等价对称操作（独立）(证明) 六次反伸轴为三次反伸轴加反映对称面（L-6=L3P，优选L-6）(证明) 所以真正存在的旋转反伸轴只有四次反伸轴L-4和六次反伸轴L-6两种。 三、宏观对称要素和点阵的几何配置 1.对称中心对应于点阵点 2.旋转轴对应于点阵行列并垂直于点阵面网（包含平行） 3.对称面对应于点阵面（包含平行） 四、宏观对称要素与宏观晶体几何配置 对称中心总是位于晶体中心。 对称轴的出露点总是位于晶面中心、晶棱中心或角顶 对称面的出露位置可以平分晶面、平分或包含晶棱
晶体的宏观对称性 物理科学学院 季淑英 31 摘 要: 晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，通过对晶体三类宏观对称操作的介绍，找出了晶体的8种基本宏观对称操作。 关键词：对称中心； 反映面； 旋转轴 一 什么是晶体 人们最早认识晶体是从石英开始的，只知道它天然的具有规则的几何多面体，真正揭开晶体内部结构是在1914年，人类首次测定了Nacl 的晶体结构。此后，人们积累大量测定资料开始认识到：无论晶体的外形是否规则，它们内部的原子有规则地在三维空间呈周期性重复排列。 所以，晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，或着说晶体是具有格子结构的固体。而晶体的规则几何外形，只是晶体内部格子构造的外在部表现。 二 晶体的宏观对称 对称性是晶体的基本性质之一，一切晶体都是对称的；但不同的晶体的对称性往往又是互有差异的。 1 对称操作 对一种晶体而言,其内部结构的质点表现出某种对称性的规律排列,当在进行某种操作（线性变换）后能使自身复原,这种对称性是晶体的一个客观存在的基本性质,是晶体内部结构的规律在几何形状上的表现,晶体的许多宏观性质都与其结构上的对称性有密切关系。 对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作，物体在某一正交变换下保持不变，即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。一个物体的对称操作越多，其对称性越高。例如密度ρ作为位矢r 的函数，即）r （ρ。我们可以定义一个引起坐标变换的操作g 满足 ’r gr r =→，
如果这导致 ）r （）gr （）’r （ρρρ== 那么g 是）r （ρ的一个对称操作。 2 对称元素 对称操作过程中保持不变的几何要素：对称点，反演中心（i ）；对称线，旋转轴（n 或者n C ）和旋转反演轴（n ）；对称面，反映面（m ）等。 以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持两点距离不变的变换： ???? ? ???????? ??=????? ??z y x a a a a a a a a a z y x 3332 31232221131211，，， 其中，M 为正交矩阵，???? ? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a M 对称中心和反演（i ） 取晶体中心为原点，将晶体中任一点()z ，y ，x 变成()z -，y -， x - ???? ? ??=1-0001-0001-M 对称面和反映（m ） 以0z =作为镜面，将晶体中的任何一点()z ，y ，x 变成()z -y x ， ， ???? ? ??=1-00010001M n 次旋转对称轴（n 或者n C ）和n 次旋转反演轴（n ） n 次旋转对称轴（n 或者n C ） 若晶体绕某一固定轴旋转角度/n π2=α以后能自身重合，则称该轴为n 次旋转对称轴。
晶体的宏观对称性 物理科学学院 季淑英 2014020231 摘 要: 晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，通过对晶体三类宏观对称操作的介绍，找出了晶体的8种基本宏观对称操作。 关键词：对称中心； 反映面； 旋转轴 一 什么是晶体 人们最早认识晶体是从石英开始的，只知道它天然的具有规则的几何多面体，真正揭开晶体内部结构是在1914年，人类首次测定了Nacl 的晶体结构。此后，人们积累大量测定资料开始认识到：无论晶体的外形是否规则，它们内部的原子有规则地在三维空间呈周期性重复排列。 所以，晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，或着说晶体是具有格子结构的固体。而晶体的规则几何外形，只是晶体内部格子构造的外在部表现。 二 晶体的宏观对称 对称性是晶体的基本性质之一，一切晶体都是对称的；但不同的晶体的对称性往往又是互有差异的。 1 对称操作 对一种晶体而言,其内部结构的质点表现出某种对称性的规律排列,当在进行某种操作（线性变换）后能使自身复原,这种对称性是晶体的一个客观存在的基本性质,是晶体内部结构的规律在几何形状上的表现,晶体的许多宏观性质都与其结构上的对称性有密切关系。 对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作，物体在某一正交变换下保持不变，即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。一个物体的对称操作越多，其对称性越高。例如密度ρ作为位矢r 的函数，即）r （ρ。我们可以定义一个引起坐标变换的操作g 满足 ’r gr r =→， 如果这导致 ） r （）gr （）’r （ρρρ== 那么g 是）r （ρ的一个对称操作。 2 对称元素 对称操作过程中保持不变的几何要素：对称点，反演中心（i ）；对称线，旋转轴（n 或者n C ）和旋转反演轴（n ）；对称面，反映面（m ）等。 以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持两点距离不变的变换：