第○章 预备知识—矢量分析
教学目的：掌握梯度、散度、旋度三个重要概念，理解在不同坐标系中不同的表
达形式，了解他们之间的关系；掌握高斯定理和斯托克斯定理，能够熟练进行二阶微分运算和算符运算。
重点难点：梯度、散度、旋度三个重要概念；高斯定理、斯托克斯定理和格林公
式；二阶微分运算和算符运算。
一、电动力学内容简介，标量场的梯度，?算符
教学目的：初步了解电动力学的研究对象和主要内容，并掌握场的概念和方向导
数、标量场的梯度概念。
重点难点：标量场的梯度
教学方法与手段：多媒体＋课堂板书讲授。
教学内容：
1、场的概念(The Concept of Field)
场是用空间位置函数来表征的。在物理学中，经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。如果物理量是标量，并且空间每一点都对应着该物理量的一个确定数值，则称此空间为标量场。如：电势场、温度场等。如果物理量是矢量，且空间每一点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。如：电场、速度场等。若场中各点物理量不随时间变化，称为稳定场，否则，称为不稳定场。
2、方向导数(Directional Gradient)
方向导数是标量函数)(x ?在空间一点沿任意方向l
相对距离的变化率，它的
数值与所取l
的方向有关。一般来说，在不同的方向上l
P l ??/?的值是不同的，
但它并不是矢量。如图所示，l
为场中的任意方向，P 1是这个方向线上给定的一
点，P 2为同一线上邻近的一点。l ?为p 2和p 1之间的距离，从p 1沿l
到p 2的增量为)()(12p p ???-=?若下列极限
l
p p l l l ?-=??→?→?)()(lim lim
1200???
(1.1)
存在，则该极限值记作)(x
?，称之为标量场l
P l ??/?在p 1处沿l 的方向导数。
3.梯度（Gradient ）
在某点沿某一确定方向取得)(x
?在该点的最大方向导数。
P 1
P 2
l
n n ?grad ??=
?=??? (1.2) l l n
n
n l ?=???=??=?????θ?grad ?cos (1.3)
4、?算符（哈密顿算符）(Hamilton Functor)
?算符既具有微分性质又具有方向性质。在任意方向l
上移动线元距离dl ，
?的增量?d 称为方向微分，即
l d dl l
d ??=??=??
? (1.4)
显然，任意两点?值差为
?
??=-B
A
A B l d
??? (1.5)
二、矢量场的散度、旋度、高斯定理和斯托克斯定理
教学目的：掌握矢量场的散度、旋度概念，理解在不同坐标系中不同的表达形式，
了解他们之间的关系；掌握高斯定理和斯托克斯定理。
重点难点：散度、旋度重要概念；高斯定理、斯托克斯定理。 教学方法与手段：多媒体＋课堂板书讲授。
教学内容：
1、通量(Fluid)
一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场v 方向通过s d
的流量是dN ，
而dN 是以ds 为底，以v cos θ为高的斜柱体的体积，即
s d v ds v dN
?==θcos (1.6)
称为矢量v 通过面元s d
的通量。
对于有向曲面s ，总可以将s 分成许多足够小的面元s d
，于是通过曲面s 的通量N 即为每一面元通量之积
???=s
s d v N
(1.7)
对于闭合曲面s ，通量N 为
???=s
s d v N
(1.8)
2、散度(Divergence)
设封闭曲面s 所包围的体积为V ?，则
????s
V s d A /
(1.9)
就是矢量场)(x A
在V ?中单位体积的平均通量，或者平均发散量。当闭合曲面s
及其所包围的体积V ?向其内某点)(x M
收缩时，若平均发散量的极限值存在，便记作
V
s
d A A A s
V ??=??=??→?
lim
div (1.10)
称为矢量场)(x A
在该点的散度(div 是divergence 的缩写)。
散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当div 0>A ，表示该点有散发通量的正源；当div 0 ，表示该点有吸收通量的负 源；当div 0=A ，表示该点为无源场。 3、高斯定理(Gauss’s Theorem) ?????=?V s dV A s d A (1.11) 它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。 4、矢量场的环流(The Circumfluence of Vector’s Field) 在数学上，将矢量场)(x A 沿一条有向闭合曲线L （即取定了线正方向的闭合 曲线）的线积分 ??=L l d A c (1.12) 称为A 沿该曲线L 的循环量或环流量。 5、旋度(Rotation) 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以闭合曲线L 为界的面积S ?逐渐缩小，??L l d A 也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作 s l d A L s ???→? 0lim (1.13) 即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲 线为界的面积法线方向n ? ，且通常L 的正方向与n ? 规定要构成右手螺旋法则，为此定义 n s l d A A A L s ?lim rot 0 ??=??=?→? (1.14) 称为矢量场)(x A 的旋度（rot 是rotation 缩写）。 旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度， 如果场中处处rot 0=A 称为无旋场。 6、斯托克斯定理（Stoke’s Theorem ） ??????=?s L s d A s d A )( (1.15) 它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。 7、度量系数(Measurement Coefficents) 设x,y,z 是某点的笛卡尔坐标，x 1,x 2,x 3是这点的正交曲线坐标，长度元的平方表示为 2 3 23222221212222dx h dx h dx h dz dy dx dl ++=++= (1.16) 其中 )3,2,1( )()()( 222=??+??+??=i x z x y x x h i i i i (1.17) 称度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三个拉梅系数h 1, h 2, h 3来描述。 8、哈密顿算符?、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符2?在正交曲线坐标系下的一般表达式(The General Expression of Hamilton Operator, Gradient, Divergence, Rotation and Laplace Operator in Orthogonal Curvilinear Coordinates) ?? ?????? +??+??= ????+??+??=???+??+??=?)()()(11111113123213213213 21333 222111333 222111A h h x A h h x A h h x h h h A x h e x h e x h e x h e x h e x h e ???? (1.18) 3 322112 213 322113211A h A h A h x x x e h e h e h h h h A ??????=?? ?? ?????? -??+?? ?????? -??+????????-??=)()()()()()(112221213331113312223332321A h x A h x h h e A h x A h x h h e A h x A h x h h e (1.19) ???????+????+? ??????=?)()()(13321322132113213212 x h h h x x h h h x x h h h x h h h ???? (1.20) 其中321,,e e e 为正交曲线坐标系的基矢；),,(321x x x ??=是一个标量函数；332211321),,(e A e A e A x x x A A ++==是一个矢量函数，只有在笛卡尔坐标系中， +?=?112 2)(e A A 332222)()(e A e A ?+?，在其它正交坐标系中 i i A A 2 2 )(?≠? (1.21) 9、不同坐标系中的微分表达式(Difference Expression in Different Coordinates) a) 笛卡尔坐标 x 1=x ， x 2=y ， x 3= z h 1=1，h 2=1，h 3=1 z e y e x e z y x ??+??+??=? (1.22) z z y y x x z y x z y x e A e A e A A z y x A A A z y x e e e A )()()(22222222222 ?+?+?=???+??+??=???????= ?????? (1.23) b)圆柱坐标系 坐标变量:x 1=r ， x 2=φ，x 3=z ，与笛卡儿坐标的关系：x=rcos ， y=rsinφ，z= z 拉梅系数:h 1=1，h 2=r ， h 3=1 z e r e r e z r ??+??+??=? φφ (1.24) z A A r rA r r A z u e u r e r u e u z r z r ??+ ??+??=????+??+??=?φφφφ1)(11 (1.25) z r z r A rA A z r e r e e r A φ φφ??????= ?? 11 φφφe r A z A e z A A r z r r z )()1(??-??+??-??=z r e A r rA r r ????????-??+φφ1)(1z z r r e A e A e A A z u u r r u r r r u )()()(1)(122222 22 222 ?+?+?=???+??+????=?φφφ (1.26) c)球坐标系 坐标变量：φθ===321 , , x x r x 与笛卡儿坐标的关系：θφθφθcos , sin sin , cos sin r z r y r x === 拉梅系数：θsin , , 1321r h r h h === φθθθθφθθφθθφθφ θφ θ??+ ??+??=????+??+??=???+??+??=?A r A r A r r r A u r e u r e r u e u r e r e r e r r r sin 1)(sin sin 1)(1sin 11sin 1122 (1.27) φθθφθφφ θ φ θ θφθφθθθ θφθθθe A rA r r e rA r A r e A A r A r rA A r r e r e r e A r r r r r )(1)(sin 11)(sin sin 1sin 1sin 1sin 12??????-??-?? +?? ??????-??+????? ???-?? = ??????= ?? (1.28) φ φθθφθθθθθe A e A e A A u r u r r u r r r u r r )()()(sin 1)(sin sin 1)(12 2222222 2222 ?+?+?=???+????+????=? (1.29) 其中 ?? ??????+??+-?=?φθθθθφθA A A r A A r r r sin 1)(sin sin 12)(22 2 (1.30) ) sin 2ctg (sin 2)() sin cos sin 2(2)(2222222 2θφθφ θφ θθθθφθφφφθθθA A A r A A A A A r A A r r -??+??+?=???--??+?=? (1.31) 补充知识： 1 21132332 22 121121313311212213133212211q H H e q H H e q e q H H e q e q H H e q e q H H e q e q H H e q H H e q e ??- ??-=????= ????=????= ????- ??-=?? 2 32213113 33 232233 131********q H H e q H H e q e q H H e q e q H H e q e q H H e q e ??- ??-=????= ????= ????= ?? 三、二阶微分算符 格林定理 Two-order Difference Operator, Green Theorem 教学目的：掌握二阶微分运算和格林定理。 重点难点：格林公式，二阶微分运算。 教学方法与手段：多媒体＋课堂板书讲授。 教学内容： 1、一阶微分运算(First-order Difference Calculation) a) 设222)()()(z z y y x x r '-+'-+'-=为源点x ' 与场x 之间的距离，r 的方向规定为由源点指向场点，试分别对场点和源点求标量场r 的梯度。 [] r r r z z e y y e x x e r r z z e r y y e r x x e z r e y r e x r e r z y x z y x z y x ?)()()(1 )()()( =='-+'-+'-='-+'-+'-=??+??+??=? (1.32) r r r r r z z e r y y e r x x e z r e y r e x r e r z y x z y x -?=-=-='---'---'--='??+'??+'??=?'?)()()( (1.33) b) 设u 是空间坐标x, y, z 的函数，证明 u du df u f ?= ?)( (1.34) 证：这是求复合函数的导数（梯度），按复合函数微分法则，有 )()()()()()() ()()()(u du u df z u e y u e x u e du u df z u du u df e y u du u df e x u du u df e z u f e y u f e x u f e u f z y x z y x z y x ?=??=??+??=??+??+??=??+??+??=? c)设x x z z e y y e x x e r z y x '-='-+'-+'-= )()()(求r r ??'??和? d)设u 是空间坐标x,y,z 的函数，证明du A d u u A ??=??)(. )()()()()()()()()(du u A d u u du u A d z u du u dA y u du u dA x u du u dA z u A y u A x u A u A z y x z y x ??=??=??+??+??=??+ ??+??=?? e)设u 是空间坐标x, y, z 的函数，证明 du u A d u u A )()( ??=?? ??? ? ????-??+???? ????-??=? ?? ? ????-??+??? ????-??+???? ????-??=??y u du u dA x u du u dA e z u du u dA y u du u dA e y u A x u A e x u A z u A e z u A y u A e u A x y z y z x x y z z x y y z x )()()()()()()()()()()( du u A d u du u dA du u dA du u dA z u y u x u e e e z y x z y x ) ()()()( ??=?? ?????? ? ?? ??????= 2、二阶微分运算(Calculation of Two-order Difference) 将算符?作用于梯度、散度和旋度，则称为二阶微分运算，设)(x ?为标量 场， )(x g ,)(x f 为矢量场。 并假设f g , 和?的分量具有所需要的阶的连续微商，则不难得到： （1）标量场的梯度必为无旋场 0)(=???? (1.35) （2）矢量场的旋度必为无散场 0)(=????g (1.36) （3）无旋场可表示一个标量场的梯度 ??==??g g 则若 , 0 (1.37) （4）无散场可表示一个矢量场的旋度 f g g ??==??则若 , 0 (1.38) （5）标量场的梯度的散度为 2222)()()()(y x z z y y x x ??+??=????+????+????=???? ????? (1.39) （6）矢量场的旋度的旋度为 g g g 2)()(?-???=???? (1.40) 3、?运算于乘积(Calculation of Multiplication with ?) （1）0)(=???? )(222222=??? ? ?????-???+???? ?????-???+???? ?????-???=??? ?? ??? ? ??????????????=???x y y x e z x x z e y z z y e z y x z y x e e e z y x z y x ?????????? (2) 0)(=????g )(22 2222=???- ???+???-???+???-???=???? ????-????+??? ????-????+???? ????-????=????? ? ??? ????????????? ????+??+??=????y z g x z g x z g z y g z x g y x g y g x g z x g z g y z g y g x g g g z y x e e e z e y e x e g x y z x y z x y z x y z z y x z y x z y x (3) ψ??ψ?ψ?+?=?)( ψ??ψψψψ????ψψ??ψψ??ψψ??ψ?ψ?ψ?ψ?ψ?+?=??+??+??+??+??+??=??+??+??+??+??+??=?? +??+??=?) ( )() ()()() ()()()(z e y e x e z e y e x e z z e y y e x x e z e y e x e z y x z y x z y x z y x (4) g g g ??+??=?????)( g g g g g g g g g g g ??+??=??+??=??+??=??+?=?????????????)()()()()( (5) g g g ??+??=?????)( g g g g g g g g g g g ??+??=??+??=??+??=??+?=?????????????)()()()()( (6) )()()(f g g f f g ???-???=??? )()()()()(f g f g f g f g f g f g ???+???=???+?=??? )()()(b a c a c b c b a ??=??=?? ) ()()()() ()()(f g f g g f f g g f g f f g f f f g g ???-=???-=??-?=??????=???=??? )()()(f g g f f g ???-???=??? (7) f g f g g f g f f g )()()()()(??-??-??+??=??? )()() ()()(f g f g f g f g f g f g ???+???=???+?=??? f g g f g f f g f g g f g f f g f g g f f g f f g g f g )()()()( )()()()( )()()(??-??+??+??-=??-??+??+??-=???+??-?=??? 《电动力学》知识点归纳及典型试题分析 一、试题结构 总共四个大题： 1．单选题（'210?）：主要考察基本概念、基本原理和基本公式， 及对它们的理解。 2．填空题（'210?）：主要考察基本概念和基本公式。 3．简答题 ('35?)：主要考察对基本理论的掌握和基本公式物理意 义的理解。 4. 证明题 （''78+）和计算题（''''7689+++）：考察能进行简单 的计算和对基本常用的方程和原理进行证明。例如：证明泊松方程、电磁场的边界条件、亥姆霍兹方程、长度收缩公式等等；计算磁感强度、电场强度、能流密度、能量密度、波的穿透深度、波导的截止频率、空间一点的电势、矢势、以及相对论方面的内容等等。 二、知识点归纳 知识点1：一般情况下，电磁场的基本方程为：??? ?? ?? ??=??=??+??=????-=??.0;;B D J t D H t B E ρ（此为麦克斯韦方程组）；在没有电荷和电流分布（的情形0,0==J ρ）的自由空间（或均匀 介质）的电磁场方程为：??? ?? ?? ??=??=????=????-=??.0;0;B D t D H t B E （齐次的麦克斯韦方程组） 知识点2：位移电流及与传导电流的区别。 答：我们知道恒定电流是闭合的： ()恒定电流.0=??J 在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有 .0≠??-=??t J ρ 现在我们考虑电流激发磁场的规律：()@.0J B μ=?? 取两边散度，由于 0≡????B ，因此上式只有当0=??J 时才能成立。在非恒定情形下，一般有 0≠??J ，因而()@式与电荷守恒定律发生矛盾。由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，故应修改()@式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。 把()@式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量D J ，它和电流 J 合起来构成闭合的量 ()()*,0=+??D J J 并假设位移电流D J 与电流J 一样产生磁效应，即把()@修改为 ()D J J B +=??0μ。此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。由电荷守恒定律 .0=??+ ??t J ρ 电荷密度ρ与电场散度有关系式 .0ερ=??E 两式合起来 得：.00=??? ? ? ??+??t E J ε与()*式比较可得D J 的一个可能表示式 .0 t E J D ??=ε 位移电流与传导电流有何区别： 位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。而传导电流实际上是电荷的流动而产生的。 知识点3：电荷守恒定律的积分式和微分式，及恒定电流的连续性方程。 第一章电磁现象的普遍规律 一、主要容： 电磁场可用两个矢量—电场强度和磁感应强度来完全描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出 , 所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。完成由普通物理到理论物理的自然过渡。 二、知识体系： 三、容提要： 1．电磁场的基本实验定律： （1）库仑定律： 对个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即：（2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律） （3）电磁感应定律 ①生电场为有旋场（又称漩涡场）,与静电场本质不同。 ②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。 （4）电荷守恒的实验定律 , ①反映空间某点与之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。 ② 若空间各点与无关，则为稳恒电流，电流线闭合。 稳恒电流是无源的（流线闭合），，均与无关，它产生的场也与无关。 2、电磁场的普遍规律—麦克斯韦方程 其中： 1是介质中普适的电磁场基本方程，适用于任意介质。 2当，过渡到真空情况： 3当时，回到静场情况： 4有12个未知量，6个独立方程，求解时必须给出与，与的关系。 介质中： 3、介质中的电磁性质方程 若为非铁磁介质 1、电磁场较弱时：均呈线性关系。 向同性均匀介质： ，， 2、导体中的欧姆定律 在有电源时，电源部，为非静电力的等效场。 4．洛伦兹力公式 学习电动力学的数学准备 2012-05-31 11:57:04| 分类：默认分类|举报|字号订阅 知识前提 1.普通物理（主要是电磁学），初等微积分，矢量代数—应很熟悉 2.矢量分析，场论基础—作为本课程的第0章 3.数理方法（程），特殊函数—提到时应该能理解 第0章数学准备 第一节矢量分析与场论基础 在电动力学中应用较多的数学知识是矢量分析与场论基础。因而,我们首先对这两方面的有关内容进行总结归纳.主要是为了应用,而不追求数学上的严格. 一、矢量代数 1.两个矢量的点乘、叉乘 若 则, 的点乘(也称标量积) () ,的叉乘(也称矢量积) ，为, 的夹角 方向：既垂直于，又垂直于,与满足右手螺旋关系。 叉乘的不可交换性 2.三个矢量的混合积 = 几何解释:以为棱的平行六面体的体积 性质：(1)轮换不变性，在点乘号,叉乘号位置不变的情况下,把矢量按顺序轮换,其混合积不变. (2)若只把两个矢量对调,混合积反号。 (3)若矢量位置不变只交换点乘号叉乘号,混合积不变—但必须先做叉乘(用括号保证这个顺序)。 3.三个矢量的叉乘 令 则 同理 故 而 二者都是：把括号外的矢量与离它较远的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的项取正号,把括号外的矢量与离它较近的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的项取负号。两者取和。("远正近负，再取和") 二、场的概念 在许多科学技术问题中，常常要考虑某种物理量（如温度、密度、电势、力、速度）在空间的分布和变化规律。这是需要引入场的概念。如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这空间里确定了该物理量的一个场。 1.数学上，场是空间时间的函数 时间坐标 空间坐标，构成右手系。 标量场空间的每一个点对应一个标量 矢量场空间的每一个点对应一个矢量 张量场空间的每一个点对应一个张量 2.物理上，描述某一物理客体，具有一定分布规律的物理量 3.记号标量场 矢量场 张量场 4.场中的物理量在各点处的对应值随时间变化的，这个场称为稳定场；否则称为不稳定场。 三、场分析及其微分特征量（矢量微分） 第二章 静 电 场 一、 填空题 1、若一半径为R 的导体球外电势为b a b r a ,,+=φ为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为 。 答案： 02a R ε 2、若一半径为R 的导体球外电势为3 002cos cos =-+E R E r r φθθ,0E 为非零常数， 球外为真空，则球面上的电荷密度为 . 球外电场强度为 . 答案：003cos E εθ ,303[cos (1)sin ]=-+-v v v r R E E e e r θθθ 3、均匀各向同性介质中静电势满足的微分方程是 ；介质分界面上电势的边值关系是 和 ；有导体时的边值关系是 和 。 答案： σφ εφσφεφεφφερφ-=??=-=??-??=- =?n c n n ,,,,1122212 4、设某一静电场的电势可以表示为bz y ax -=2φ,该电场的电场强度是_______。 答案：z y x e b e ax e axy ? ??+--22 5、真空中静场中的导体表面电荷密度_______。 答案：0n ? σε?=-? 6、均匀介质部的体极化电荷密度p ρ总是等于体自由电荷密度f ρ_____的倍。 答案： -（1- ε ε0 ） 7、电荷分布ρ激发的电场总能量1 ()() 8x x W dv dv r ρρπε''= ??v v 的适用于 情 形. 答案：全空间充满均匀介质 8、无限大均匀介质中点电荷的电场强度等于_______。 答案： 3 4qR R πεv 9、接地导体球外距球心a 处有一点电荷q, 导体球上的感应电荷在球心处产生 的电势为等于 . 答案： 04q a πε 10、无电荷分布的空间电势 极值.(填写“有”或“无”) 答案：无 11、镜象法的理论依据是_______，象电荷只能放在_______区域。 答案：唯一性定理, 求解区以外空间 12、当电荷分布关于原点对称时，体系的电偶极矩等于_______。 答案：零 13、一个外半径分别为R 1、R 2的接地导体球壳,球壳距球心a 处有一个点电荷，点电荷q 受到导体球壳的静电力的大小等于_______。 答案：212014() R q a R a a πε- 二、 选择题 1、泊松方程ε ρ φ- =?2适用于 A.任何电场 B. 静电场; C. 静电场而且介质分区均匀; D.高频电场 答案： C 2、下列标量函数中能描述无电荷区域静电势的是 A ．2363y x + B. 222532z y x -+ C. 32285z y x ++ D. 2237z x + 答案： B 3、真空中有两个静止的点电荷1q 和2q ，相距为a ，它们之间的相互作用能是 A ．a q q 0214πε B. a q q 0218πε C. a q q 0212πε D. a q q 02132πε 答案：A 4、线性介质中,电场的能量密度可表示为 A. ρφ21; B.E D ? ??21; C. ρφ D. E D ??? 答案：B 5、两个半径为12,R R ,124R R =带电量分别是12,q q ,且12q q =导体球相距为a(a>>12,R R ),将他们接触后又放回原处,系统的相互作用能变为原来的 A. 16,25倍 B. 1,倍 C. 1,4倍 D. 1 ,16倍 答案： A 洛仑兹力密度< f=/?+^x§ 三.内容提要: 1. 电磁场的基本实捡定律, (1)库仑定律* 二、知识体躺 库仑定理'脸订警壬 电童■应定体毎事孑―半丄@?抜/尸n 涡険电场假设 介质的极化焕律，0=#“ V*fi = p ▽4遁 at 仪鲁电涛fit 设 比真#伐尔定律，s= 介 M?4tM 律： ft^~a Co n Vxff = J + — a 能童守恒定律 缢性介JR 能*??> 能淹密度： S^ExH 対可个点电荷e 空间块点的场强爭丁各点电佔单越力在时徃该点场强的伕城和, （2）毕臭一萨伐尔定律（电沱决崔感场的实於疋律） （3）电耐应定律 ￡& - 其中： 几 1址介质中普适的41底场钛木方用.适用于任盘介丿鼠 2当14=0=0.过渡到真 空怙况: -aff at +?e —J dt v 7 5=0 2o￡o 3当N N 时.回到挣场惜况: 扭方=0 ￡b ?恣=J 妙 F 护云=0 I 有12个未知塑.6个独立方秤，求解时必须给出二与M, 2与?的关系。 介时： 3、介贯中的电恿性廣方程 若为却铁雄介质 I 、电哦场较弱时"与丘&与臣 b 与2万与"均呈线性关系. 向同性均匀介质, P= Q=岭耳 9 9 2、导体中的欧姆定律 在存电源时?电源内部亠八海?)?直?为怖电力的等效场, 4. 洛伦兹力公式 II 7xfl = O 7xH=/ Q ?D 0p 7ft = 《电动力学》知识点归纳及典型试题分析 一、知识点归纳 知识点1：一般情况下，电磁场的基本方程为：???? ?????=??=??+??=????-=??.0;;B D J t D H t B E ρρρρρρρρ（此为麦克斯韦方程组）；在没有电荷和电流分布（的情形0,0==J ρρ）的自由空间（或均匀介质）的电磁场方程为：???? ?????=??=????=????-=??.0;0;B D t D H t B E ρρρρρρ（齐次的麦克斯韦方程组） 知识点2：位移电流及与传导电流的区别。 答：我们知道恒定电流是闭合的： ()恒定电流.0=??J 在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有 .0≠??-=??t J ρ 现在我们考虑电流激发磁场的规律：()@.0J B μ=?? 取两边散度，由于0≡????B ，因此上式只有当0=??J 时才能成立。在非恒定情形下，一般有0≠??J ，因而()@式与电荷守恒定律发生矛盾。由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，故应修改()@式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。 把()@式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量D J ，它和电流J 合起来构成闭合的量 ()()*,0=+??D J J 并假设位移电流D J 与电流J 一样产生磁效应，即把()@修改为 ()D J J B +=??0μ。此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。由电荷守恒定律 .0=??+ ??t J ρ电荷密度ρ与电场散度有关系式 .0ερ=??E 两式合起来 得：.00=??? ? ???+??t E J ε与()*式比较可得D J 的一个可能表示式 .0 t E J D ??=ε 位移电流与传导电流有何区别： 位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。而传导电流实际上是电荷的流动而产生的。 知识点3：电荷守恒定律的积分式和微分式，及恒定电流的连续性方程。 答：电荷守恒定律的积分式和微分式分别为：0=??+????-=???t J dV t ds J S V ρρρρ 恒定电流的连续性方程为：0=??J 知识点4：在有介质存在的电磁场中，极化强度矢量p 和磁化强度矢量M 各的定义方法；P 与P ρ；M 与j ；E 、D 与p 以及B 、H 与M 的关系。 答：极化强度矢量p ：由于存在两类电介质：一类介质分子的正电中心和负电中心不重和，没有电偶极矩。另一类介质分子的正负电中心不重和，有分子电偶极矩，但是由于分子热运动的无规性，在物理小体积内的平均电偶极矩为零，因而也没有宏观电偶极矩分布。在外场的作用下，前一类分子的正负电中心被拉开，后一类介质的分子电偶极矩平均有一定取向性，因此都出现宏观电偶极矩分布。而宏观电偶极矩分布用电极化强度矢量P 描述，它等于物理小体积V ?内的 总电偶极矩与V ?之比，.V p P i ?=∑ρi p 为第i 个分子的电偶极矩，求和符号表示 对V ?内所有分子求和。 磁化强度矢量M ： 介质分子内的电子运动构成微观分子电流，由于分子电流取向的无规性，没有外场时一般不出现宏观电流分布。在外场作用下，分子电流出现有规则取向，形成宏观磁化电流密度M J 。分子电流可以用磁偶极矩描述。把分子电流看作载有电流i 的小线圈，线圈面积为a ，则与分子电流相应的磁矩为： .ia m = 介质磁化后，出现宏观磁偶极矩分布，用磁化强度M 表示，它定义为物理小体积V ?内的总磁偶极矩与V ?之比， .V m M i ?=∑ M B H P E D M j P M P ρρρρρρρρρ-=+=??=??=0 0,,,μερ 《电动力学》知识点归纳 一、试题结构 总共四个大题： 1．单选题（'210?）：主要考察基本概念、基本原理和基本公式， 及对它们的理解。 2．填空题（'210?）：主要考察基本概念和基本公式。 3．简答题 ('35?)：主要考察对基本理论的掌握和基本公式物理意 义的理解。 4. 证明题 （''78+）和计算题（''''7689+++）：考察能进行简单 的计算和对基本常用的方程和原理进行证明。例如：证明泊松方程、电磁场的边界条件、亥姆霍兹方程、长度收缩公式等等；计算磁感强度、电场强度、能流密度、能量密度、波的穿透深度、波导的截止频率、空间一点的电势、矢势、以及相对论方面的内容等等。 二、知识点归纳 知识点1：一般情况下，电磁场的基本方程为：??? ? ? ????=??=??+??=????- =??.0;;B D J t D H t B E ρ（此为麦克斯韦方程组）；在没有电荷和电流分布（的情形0,0==J ρ）的自由空间（或均匀 介质）的电磁场方程为：??? ? ? ?? ? ?=??=????=????-=??.0;0;B D t D H t B E （齐次的麦克斯韦方程组） 知识点2：位移电流及与传导电流的区别。 答：我们知道恒定电流是闭合的： ()恒定电流.0=??J 在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有 .0≠??-=??t J ρ 现在我们考虑电流激发磁场的规律：()@.0J B μ=?? 取两边散度，由于 0≡????B ，因此上式只有当0=??J 时才能成立。在非恒定情形下，一般有 0≠??J ，因而()@式与电荷守恒定律发生矛盾。由于电荷守恒定律是精确的普 遍规律，故应修改()@式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。 把()@式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量D J ，它和电流 J 合起来构成闭合的量 ()()*,0=+??D J J 并假设位移电流D J 与电流J 一样产 生磁效应，即把()@修改为 ()D J J B +=??0μ。此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。由电荷守恒定律 .0=??+ ??t J ρ电荷密度ρ与电场散度有关系式 .0 ερ =??E 两式合起来得：.00=??? ? ? ??+??t E J ε与()*式比较可得D J 的一个可能表示式 .0 t E J D ??=ε 位移电流与传导电流有何区别： 位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。而传导电流实际上是电荷的流动而产生的。 知识点3：电荷守恒定律的积分式和微分式，及恒定电流的连续性方程。 答：电荷守恒定律的积分式和微分式分别为：0 =??+????-=???t J dV t ds J S V ρρ 恒定电流的连续性方程为：0=??J 五批次 一、填空题 1．动系的尺子将 ，动系的时钟将 。 2．因果关系对一切惯性系 。 3．同时是 。 4．对理想导体，静电平衡时, 电力线与导体表面垂直，电场随时间变化时，电力线的方向___________________. 5. 电偶极辐射的功率与频率______________________, 磁场与 r _____________________. 6．已知海水的()1.1,1-Ω==m r σμ，则频率为610赫时电磁波在海水中的透入深度为___________________________. 7．关于相对论, 有__________________________________ 8．真空中什么情况下带电粒子会辐射________________ 9. 矩形波导管的边长分别为b a 和, 则10TE 波的截止波长为_________________ 10. 横向多普勒效应是指___________________________ 11.对理想导体，静电平衡时,导体中电荷密度为0，电场随时间变化时，导体中电荷________ 12．波导管内电磁波存在截止_____________________________________ 13. 若在垂直于以速度为2 c ，频率为0ω的光源运动方向上观察，频率应是__________ 14．矩形谐振腔的边长的关系为231L L L >> ，则共振频率为_____________ 二、选择填空 1． ( ﹞接地的半径为R 的导体球，球外距球心为对a 处有一电量为Q 的点电荷，则 其像电荷的电量和位置 A. 电量为Q a R q -=', 在球心和Q 的联线上，距球心为a R b 2 = B. 电量为Q R a q -=', 在球心和Q 的联线上，距球心为a R b 2 = C. 电量为Q a R q -=', 在球心和Q 的联线上，距球心为R a b 2 = D. 电量为Q a R q 2 '-=, 在球心和Q 的联线上，距球心为a R b = 2．( ﹞在两种均匀介质的界面处，若电磁波由介电常数大的介质到介电常数小的介质，则可能发生全反射。全反射时，折射波 第一章电磁现象的普遍规律 一、主要内容： 电磁场可用两个矢量—电场强度和磁感应强度来完全描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出, 所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。完成由普通物理到理论物理的自然过渡。 二、知识体系： 三、内容提要： 1．电磁场的基本实验定律： （1）库仑定律： 对个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即： （2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律） （3）电磁感应定律 ①生电场为有旋场（又称漩涡场）,与静电场本质不同。 ②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。 （4）电荷守恒的实验定律 , ①反映空间某点与之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。 ② 若空间各点与无关，则为稳恒电流，电流线闭合。 稳恒电流是无源的（流线闭合），，均与无关，它产生的场也与无关。 2、电磁场的普遍规律—麦克斯韦方程 其中： 1是介质中普适的电磁场基本方程，适用于任意介质。 2当，过渡到真空情况： 3当时，回到静场情况： 4有12个未知量，6个独立方程，求解时必须给出与，与的关系。介质中： 3、介质中的电磁性质方程 若为非铁磁介质 1、电磁场较弱时：均呈线性关系。 向同性均匀介质： ，， 2、导体中的欧姆定律 在有电源时，电源内部，为非静电力的等效场。 4．洛伦兹力公式 考虑电荷连续分布， 电动力学重点知识总结期 末复习必备 Final approval draft on November 22, 2020 一 1.静电场的基本方程 #微分形式： 积分形式： 物理意义：反映电荷激发电场及电场内部联系的规律性 物理图像：电荷是电场的源，静电场是有源无旋场 2.静磁场的基本方程 #微分形式 积分形式 反映静磁场为无源有旋场，磁力线总闭合。它的激发源仍然是运动的电荷。 注意：静电场可单独存在，稳恒电流磁场不能单独存在（永磁体磁场可以单独存在，且没有宏观静电场）。 #电荷守恒实验定律： #稳恒电流： ， *#3.真空中的麦克斯韦方程组 0,E E ρε??=? ?=()0 1 0L S V Q E dl E dS x dV ρεε'' ?=?= = ? ? ? ， 0J t ρ ???+=?00 L S B dl I B d S μ?=?=? ?， 00B J B μ??=??=，0J ??=2 1 (-)0n J J ?= 揭示了电磁场内部的矛盾和运动，即电荷激发电场，时变电磁场相互激发。微分形式反映点与点之间场的联系，积分方程反映场的局域特性。 * 真空中位移电流 ，实质上是电场的变化率 *#4.介质中的麦克斯韦方程组 1）介质中普适的电磁场基本方程，可用于任意介质，当 ，回到真 空情况。 2）12个未知量，6个独立方程，求解必须给出 与 ， 与 的关 系。 #）边值关系一般表达式 2）理想介质边值关系表达式 6.电磁场能量守恒公式 t D J t D ρ?B E =- ??H =+?=??B =0==P M H B E D ) (00M H B P E D +=+=με()()????? ? ?=-?=-?=-?=-?α σ 12121212?0?0)(?)(?H H n E E n B B n D D n ()()????? ? ?=-?=-?=-?=-?0 ?0?0) (?0 )(?12121212H H n E E n B B n D D n D E J t ε?=? 第一章电磁现象的普遍规律一、主要内容： 电磁场可用两个矢量—电场强度和磁感应强度来完全 描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出, 所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。完成由普通物理到理论物理的自然过渡。 二、知识体系： 三、内容提要： 1．电磁场的基本实验定律： （1）库仑定律： 对个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即： （2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律） （3）电磁感应定律 ①生电场为有旋场（又称漩涡场）,与静电场本质不同。 ②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。 （4）电荷守恒的实验定律 , ①反映空间某点与之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。 ② 若空间各点与无关，则为稳恒电流，电流线闭合。 稳恒电流是无源的（流线闭合），，均与无关，它产生的场也与无关。 2、电磁场的普遍规律—麦克斯韦方程 其中： 1是介质中普适的电磁场基本方程，适用于任意介质。 2当，过渡到真空情况： 3当时，回到静场情况： 4有12个未知量，6个独立方程，求解时必须给出与，与的关系。介质中： 3、介质中的电磁性质方程 若为非铁磁介质 1、电磁场较弱时：均呈线性关系。 向同性均匀介质： ，， 2、导体中的欧姆定律 在有电源时，电源内部，为非静电力的等效场。 4．洛伦兹力公式 考虑电荷连续分布， 单位体积受的力： 洛伦兹认为变化电磁场上述公式仍然成立，近代物理实验证实了它的正确。 说明：① ② 5.电磁场的边值关系 其它物理量的边值关系： 《电动力学》知识点归纳 一、试题结构 总共四个大题： 1．单选题（'2 10?）：主要考察基本概念、基本原理和基本公式，及对它们的理解。 2．填空题（'2 10?）：主要考察基本概念和基本公式。 3．简答题('35?)：主要考察对基本理论的掌握和基本公式物理意义的理解。 4. 证明题（''78+）和计算题（''''7 + +）： 9+ 6 8 考察能进行简单的计算和对基本常用的方程和原理进行证明。例如：证明泊松方程、电磁场的边界条件、亥 姆霍兹方程、长度收缩公式等等；计算磁感强度、电场强度、能流密度、能量密度、波的穿透深度、波导的截止频率、空间一点的电势、矢势、以及相对论方面的内容等等。 二、知识点归纳 知识点1：一般情况下，电磁场的基本方程为： ???? ? ?? ??=??=??+??=????-=??.0;;B D J t D H t B E ρ（此为麦克斯韦 方程组）；在没有电荷和电流分布（ 的情形 0,0==J ρ）的自由空间（或均匀介 质）的电磁场方程为：??? ? ? ?? ??=??=????=????-=??.0;0;B D t D H t B E （齐次 的麦克斯韦方程组） 知识点2：位移电流及与传导电流的区别。 答：我们知道恒定电流是闭合的： () 恒定电流.0=??J 在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有 .0≠??- =??t J ρ 现在我们考虑电流激发磁场的规律： () @.0J B μ=?? 取两边散度，由于0≡????B ，因 此上式只有当0=??J 时才能成立。在非恒定情形下，一般有0≠??J ，因而()@式与电荷守恒定律发生矛盾。由于电荷 第一章 电磁现象的普遍规律 §1.1 电荷与电场 1、库仑定律 （1）库仑定律 如图1-1-1所示，真空中静止电荷' Q 对另一个静止电荷Q 的作用力F 为 ()' 3''0 41r r r r Q Q F --= πε （1.1.1） 式中0ε是真空介电常数。 （2）电场强度E 静止的点电荷' Q 在真空中所产生的电场强度E 为 ()' 3 ' ' 41r r r r Q E --=πε （1.1.2） （3）电场的叠加原理 N 个分立的点电荷在r 处产生的场强为 ()'1 3 ' 0' 4i N i i i r r r r Q E --=∑ =πε （1.1.3） 体积V 内的体电荷分布()'r ρ所产生的场强为 ()()' 3 ' ''0 41r r r r dV r E V --= ? ρπε （1.1.4） 式中'r 为源点的坐标，r 为场点的坐标。 2、高斯定理和电场的散度 高斯定理：电场强度E 穿出封闭曲面S 的总电通量等于S 内的电荷的代数和)(∑i i Q 除以0ε。用公式表示为 ∑? = ?i i S Q S d E 0 1ε （分离电荷情形） （1.1.5） 或 ? ? = ?V S dV S d E ρε0 1 （电荷连续分布情形） （1.1.6） 其中V 为S 所包住的体积，S d 为S 上的面元，其方向是外法线方向。 应用积分变换的高斯公式 ????=?V S dV E S d E （1.1.7） 由（1.1.6）式可得静电场的散度为 ρε0 1 = ??E 3. 静电场的旋度 由库仑定律可推得静电场E 的环量为 0=??L l d E （1.1.8） 应用积分变换的斯托克斯公式 ?????=?S L S d E l d E 从（1.1.8）式得出静电场的旋度为 0=??E （1.1.9） 一 1.静电场的基本方程 #微分形式： 积分形式： 物理意义：反映电荷激发电场及电场内部联系的规律性 物理图像：电荷是电场的源，静电场是有源无旋场 2.静磁场的基本方程 #微分形式 积分形式 反映静磁场为无源有旋场，磁力线总闭合。它的激发源仍然是运动的电荷。 注意：静电场可单独存在，稳恒电流磁场不能单独存在（永磁体磁场可以单独存在，且没有宏观静电场）。 #电荷守恒实验定律： #稳恒电流： ， *#3.真空中的麦克斯韦方程组 0, E E ρ ε??=??= r r ()00 1 0L S V Q E dl E dS x dV ρεε'' ?= ?== ? ? ? r r r r r 蜒 ， 0 J t ρ ???+=?r 00 L S B dl I B d S μ?=?=??r r u v u v 蜒， 00 B J B μ??=??=u v u v u v ，0J ??=r 21(-)0 n J J ?=r u u r u u r 揭示了电磁场内部的矛盾和运动，即电荷激发电场，时变电磁场相互激发。微分形式反映点与点之间场的联系，积分方程反映场的局域特性。 *真空中位移电流 ，实质上是电场的变化率 *#4.介质中的麦克斯韦方程组 1）介质中普适的电磁场基本方程，可用于任意介质，当 ，回到真空情况。 2）12个未知量，6个独立方程，求解必须给出 与 ， 与 的关系。 #）边值关系一般表达式 2）理想介质边值关系表达式 6.电磁场能量守恒公式 0==P M ρ ρH ρB ρE ρD ρ ) (00M H B P E D ρρρρ ρρ+=+=με()()????? ? ?=-?=-?=-?=-?α σ ???????ρ?12121212?0?0)(?)(?H H n E E n B B n D D n ()()????? ? ?=-?=-?=-?=-?0 ?0?0) (?0 )(?12121212H H n E E n B B n D D n ??????ρ?0 D E J t ε?=?r r 第四章 电磁波的传播 一、 填空题 1、 色散现象是指介质的( )是频率的函数. 答案：,εμ 2、 平面电磁波能流密度s 和能量密度w 的关系为( )。答案：S wv = 3、 平面电磁波在导体中传播时,其振幅为( )。答案：0x E e α-? 4、 电磁波只所以能够在空间传播,依靠的是( )。 答案：变化的电场和磁场相互激发 5、 满足条件( )导体可看作良导体，此时其内部体电荷密度等于( ) 答案：1>>ωε σ, 0, 6、 波导管尺寸为0.7cm ×0.4cm ，频率为30×109HZ 的微波在该波导中能以 ( )波模传播。答案： 10TE 波 7、 线性介质中平面电磁波的电磁场的能量密度（用电场E 表示）为 ( )，它对时间的平均值为( )。答案：2E ε, 202 1E ε 8、 平面电磁波的磁场与电场振幅关系为( )。它们的相位( )。 答案：E vB =,相等 9、 在研究导体中的电磁波传播时，引入复介电常数='ε( )，其中虚部 是( )的贡献。导体中平面电磁波的解析表达式为( )。 答案： ω σεεi +='，传导电流，)(0),(t x i x e e E t x E ωβα-??-= , 10、 矩形波导中，能够传播的电磁波的截止频率=n m c ,,ω( )，当电磁 波的频率ω满足( )时，该波不能在其中传播。若b ＞a ，则最低截 止频率为( )，该波的模式为( )。 答案： 22,,)()(b n a m n m c +=μεπ ω，ω＜n m c ,,ω，με πb ，01TE 11、 全反射现象发生时,折射波沿( )方向传播.答案：平行于界面 12、 自然光从介质1(11με，)入射至介质2(22με，),当入射角等于( ) 时,反射波是完全偏振波.答案：201 n i arctg n = 13、 迅变电磁场中导体中的体电荷密度的变化规律是( ). 答案：0t e σ ερρ-= 二、 选择题 1、 电磁波波动方程222 22222110,0E B E B c t c t ???-=?-=??,只有在下列那种情况下成立（ ） A ．均匀介质 B.真空中 C.导体内 D. 等离子体中 答案： A 2、 电磁波在金属中的穿透深度（ ） A ．电磁波频率越高,穿透深度越深 B.导体导电性能越好, 穿透深度越深 C. 电磁波频率越高,穿透深度越浅 D. 穿透深度与频率无关 答案： C 3、 能够在理想波导中传播的电磁波具有下列特征（ ） A ．有一个由波导尺寸决定的最低频率,且频率具有不连续性 B. 频率是连续的 C. 最终会衰减为零 D. 低于截至频率的波才能通过. 答案：A 4、 绝缘介质中，平面电磁波电场与磁场的位相差为（ ） A ．4π B.π C.0 D. 2 π 答案：C 5、 下列那种波不能在矩形波导中存在（ ） A ． 10TE B. 11TM C. mn TEM D. 01TE 答案：C 6、 平面电磁波E 、B 、k 三个矢量的方向关系是（ ） A ． B E ?沿矢量k 方向 B. E B ?沿矢量k 方向 C.B E ?的方向垂直于k D. k E ?的方向沿矢量B 的方向 答案：A 7、 矩形波导管尺寸为b a ? ,若b a >,则最低截止频率为（ ） 电动力学中麦克斯韦方程组的整理及讨论 引言 大学中有关电动力学的学习，都离不开一个重要的方程--------麦克斯韦方程组。麦克斯韦方程作为电磁场中核心定律引导我们更好的学习电动力学，并更好的从电磁场的角度来分析光学的相关知识。更深一步的掌握麦克斯韦方程组，有助于我们学科的学习，为了更好的归纳，以下就从它的历史背景，公式推导，静电场，静磁场，电磁场等几个方面论述麦克斯韦方程组的重要应用。b5E2RGbCAP 一、历史背景 伟大的数学家麦克斯韦和物理学家法拉第历史性的拥抱，麦克斯韦将法拉第实验得到电磁场存在的理论，用数学公式完美的表现出来，这就是伟大的麦克斯韦方程组。p1EanqFDPw 1845年，关于电磁现象的三个最基本的实验定律：库仑定律<1785年），安培—毕奥—萨伐尔定律<1820年），法拉第定律<1831-1845年）已被总结出来，法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已发展成“电磁场概念”。1855年至1865年，麦克斯韦基于以上理论，把数学的分析方法引进电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。DXDiTa9E3d 二、真空中麦克斯韦方程的推导 麦克斯韦方程之所以能够出现，是因为他在恒定场的基础上提出两个假设，他们分别是有法拉第电磁感应定律，认为变化的磁场可 以激发电场；麦克斯韦位移电流假设，认为变化的电场可以激发磁场。RTCrpUDGiT 所以麦克斯韦利用库伦定律，高斯定理和相应的数学公式推出了电场的高斯定理的微分式<1）。利用安培环路定理，毕奥—萨伐尔定律推导出微分式<3）。利用了法拉第电磁感应定律和静电场方程推出了微分式<2）。最后利用麦克斯韦的位移电流假说和电荷守恒定律推导出了微分式<4）。5PCzVD7HxA 三、介质中的麦克斯韦方程组 介质中的电容率和磁导率不再是和而是改成和，并在此我们确定了两个物理量，分别是极化强度适量和磁化强度适量。他们各自产生了极化电流和磁化电流，他们之间的关系式由微分形式表示为和。根据以上关系式，并根据电荷守恒和诱导电流< 极化电荷和磁化电流）分别得到电位移矢量和磁场强度。并得到两个线性关系和。这样就把真空中的麦克斯韦方程组推广到介质中，下面<5）到<8）就是介质中的麦克斯韦方程组。jLBHrnAILg 对以上各式进行物理分析，就能确切麦克斯韦方程组的物理含义。其中<5）式说明电荷是产生电场的场源；<6）式说明了变化的磁场可以激发涡旋电场；<7）式说明了磁场是无源场；<8）式表明变化的电场和电流可以激发涡旋磁场。xHAQX74J0X <2 ） <1 ） <3 ） <4 ） <6 ） <5 ） <7 ） <8 ） 西南大学 网络与继续教育学院 课程代码： 0134 学年学季：20182 单项选择题 1、 关于相对论时空观，以下正确的是 1. 两事件在同一地点发生 , 则在任何惯性系中都是同时的 2. 速度小于光速时 , 因果关系是相对的 3. 两惯性系中, 在一系同时发生的两事件, 在另系也同时发生 4. 物体静止系下 , 某过程所用的时间长于动系下这一过程所用时间 2、一列火车静止时，长是1km ，当这列火车以0.6c 的速度行驶时，地面观察者观察到火车的长度是: 1. 0.70km 2. 0.80km 3. 0.60km 4. 0.90km 3、（ ） 一束光在介质1（光密）和介质2（光疏）的界面上发生全反射，设界面法向方向从介质1 到 1. 折射波在介质2中的穿透深度与 数量级相当 2. 折射波在介质2中是沿分界面的表面波 3. 界面上沿法向方向的平均能流密度为零 4. 如果介质2为真空，折射波的波速等于 c 4、 以下物理量，哪个为洛伦兹不变量 1. E. 两点之间的空间距离 2. 时间 3. 电量密度 4. 两事件间的间隔 5、 关于麦克斯韦方程组，以下正确的是 1. 电位移矢量的散度等于自由电荷密度与极化电荷密度之和 2. 电位移矢量的旋度等于磁感随时间的偏微分的负值 3. 磁场强度的旋度等于传导电流密度与位移电流密度之和. 4. 磁感强度的散度为零 6、关于相对论以下说法正确的是 1. 对于两不同惯性系,同时是绝对的 2. 光速无论在介质中还是在真空中都等于 3. 对所有惯性系，真空中的光速为 4. 任意惯性系中观察者观察到物体的长度都是一样的 7、由唯一性定理，接地导体腔外的电场不受空腔内部影响，是因为 1. 空腔内电荷及空腔内表面电荷确定 2. 空腔外电荷及导体空腔的电势确定 3. 空腔内没有电荷 4. 空腔外表面没有电荷 8、关于多普勒效应, 狭义相对论认为，对于运动源，地面上观察者看到的电磁波频率将 1. 在运动的垂直方向上，频率减小 2. 在运动的垂直方向上，频率增大 3. 只在运动方向上改变 4. 不会改变 9、以下关于物理量关系描述中正确的是：（） 1. C. 真空中动量密度和能流密度的关系为 2. 洛仑兹力密度 3. 真空中平面电磁波电场强度、磁感强度的关系可以写为 《电动力学》知识点归纳及典型例题分析 一、知识点归纳 知识点1：一般情况下，电磁场的基本方程为：??? ? ? ?? ??=??=??+??=????-=??.0;;B D J t D H t B E ρ ρρρρρρρ（此为麦克斯韦方程组）；在没有电荷和电流分布（的情形0,0==J ρ ρ）的自由空间（或均匀 介质）的电磁场方程为：??? ? ? ????=??=????=????- =??.0;0;B D t D H t B E ρ ρρρρρ（齐次的麦克斯韦方程组） 知识点2：位移电流及与传导电流的区别。 答：我们知道恒定电流是闭合的： 在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有 现在我们考虑电流激发磁场的规律：()@.0J B μ=?? 取两边散度，由于 0≡????B ，因此上式只有当0=??J 时才能成立。在非恒定情形下，一般有0≠??J ，因而()@式与电荷守恒定律发生矛盾。由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，故应修改()@式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。 把()@式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量D J ，它和电流 J 合起来构成闭合的量 ()()*,0=+??D J J 并假设位移电流D J 与电流J 一样产生磁效应，即把()@修改为 ()D J J B +=??0μ。此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。由电荷守恒定律 .0=??+ ??t J ρ 电荷密度ρ与电场散度有关系式 .0ερ=??E 两式合起来 得：.00=?? ? ?? ??+??t E J ε与()*式比较可得D J 的一个可能表示式 位移电流与传导电流有何区别： 位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。而传导电流实际上是电荷的流动而产生的。 知识点3：电荷守恒定律的积分式和微分式，及恒定电流的连续性方程。 答：电荷守恒定律的积分式和微分式分别为：0 =??+????-=???t J dV t ds J S V ρρρρ 恒定电流的连续性方程为：0=??J 知识点4：在有介质存在的电磁场中，极化强度矢量p 和磁化强度矢量M 各的定义方法；P 与P ρ；M 与j ；E 、D 与p 以及B 、H 与M 的关系。 答：极化强度矢量p ：由于存在两类电介质：一类介质分子的正电中心和负电中心不重和，没有电偶极矩。另一类介质分子的正负电中心不重和，有分子电偶极矩，但是由于分子热运动的无规性，在物理小体积内的平均电偶极矩为零，因而也没有宏观电偶极矩分布。在外场的作用下，前一类分子的正负电中心被拉开，后一类介质的分子电偶极矩平均有一定取向性，因此都出现宏观电偶极矩分布。而宏观电偶极矩分布用电极化强度矢量P 描述，它等于物理小体积V ?内的 总电偶极矩与V ?之比，.V p P i ?= ∑ρ i p 为第i 个分子的电偶极矩，求和符号表示 对V ?内所有分子求和。 磁化强度矢量M ： 介质分子内的电子运动构成微观分子电流，由于分子电流取向的无规性，没有外场时一般不出现宏观电流分布。在外场作用下，分子电流出现有规则取向，形成宏观磁化电流密度M J 。分子电流可以用磁偶极矩描述。把分子电流看作载有电流i 的小线圈，线圈面积为a ，则与分子电流相应的磁矩为： 介质磁化后，出现宏观磁偶极矩分布，用磁化强度M 表示，它定义为物理小体积V ?内的总磁偶极矩与V ?之比， 知识点5：导体表面的边界条件。 答：理想导体表面的边界条件为：.,0α=?=?H n E n ??? ? ??=?=?.0,B n D n σ。它们可以形象地表述为：在导体表面上，电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。《电动力学》考点归纳及典型试题分析
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