第二节 曲面及其方程
教学目的：二次曲面
教学重难点：二次曲面的图形与方程的对应关系
教 法：讲授
课 时：2
一、 曲面的方程：
1 定义 设Σ为一曲面，F （x ，y ，z ）=0或),(y x f z =为一三元方程，空间中建立
了坐标系以后，若Σ上任一点P （x ,y ,z ）的坐标都满足F （x ，y ，z ）=0或),(y x f z =，而且凡坐标满足方程的点都在曲面Σ上，则称F （x ，y ，z ）=0或),(y x f z =为曲面Σ的方程，而曲面Σ叫做方程F （x ，y ，z ）=0或),(y x f z =的图形.
不难看出，一点在曲面Σ上〈═〉该点的坐标满足Σ的方程，即曲面上的点与其方程的解之间是一一对应的 ∴Σ的方程的代数性质必能反映出Σ的几何性质.
2 三元方程的表示的几种特殊图形：
空间中任一曲面的方程都是一三元方程，反之，是否任一三元方程也表示空间中的 一个曲面呢？一般而言这是成立的，但也有如下特殊情况
1° 若F （x ，y ，z ）=0的左端可分解成两个（或多个）因式F 1（x ，y ，z ）
与F 2（x ，y ，z ）的乘积，即F （x ，y ，z ）≡F 1（x ，y ，z ）F 2（x ，y ，z ），则
F （x ，y ，z ）=0〈═〉F 1（x ，y ，z ）=0或F 2（x ，y ，z ）=0，此时
F （x ，y ，z ）=0表示两叶曲面1∑与2∑，它们分别以F 1（x ，y ，z ）=0，F 2（x ，y ，z ）
=0为其方程，此时称F （x ，y ，z ）=0表示的图形为变态曲面.如
0),,(=≡xyz z y x F
即为三坐标面.
20方程()()[]
0)3(21)(),,(222222=-+-+-++≡z y x z y x z y x F 仅表示坐标原点和点（1，2，3）
3°方程0),,(=z y x F 可能表示若干条曲线，如
0))((),,(2
222=++≡z y y x z y x F
即表示z 轴和x 轴
4°方程0),,(=z y x F 不表示任何实图形，如
01),,(222=+++≡z y x z y x F ，
此时，称0),,(=z y x F 所表示的图形为虚曲面
3 求法：
例1：求平行于坐标面的平面的方程.
解：设平行于xoy 面的平面为π，π与z 轴的交点为()k A ,0,00，则
),,(z y x P ∈π〈═〉210,,e e A 共面? 01
00
01k z y x
-=0 即 .0=-k z 同理，平行于其他两坐标面的平面的方程为 .,k z k y ==
例2：求作两定点A （1，-2，1），B （0，1，3）等距离的点的轨迹.
解：
（图2.1）
设所求轨迹为Σ，则 222)1()2()1(-+++-z y x =222)3()1(-+-+z y x
〈═〉-2x+4y-2z+6=-2y-6z+10
〈═〉2x-6y-4z+4=0〈═〉x-3y-2z+2=0
即所求轨迹为x-3y-2z+2=0
例3：求半径为R 的球面的方程
解：建立直角坐标系{O ；i,j,k}，并设球心0M （a,b,c ），则
P （x,y,z ）∈球面Σ〈═〉∣P M 0∣=R 〈═〉
2
222R )c z ()b y ()a x (=-+-+-
特别地，若M.（a,b,c ）为坐标原点，则球面Σ的方程为
x 2+y 2+z 2=R 2
综合上述条例，可归纳出求曲面方程的一般步骤如下：
1°建立适当的坐标系；（方程易求且求出的方程简单）
2°设动点Σ坐标为P （x,y,z ），并根据已知条件，推出曲面上的点的坐标应满
足的方程；
3°对方程作同解化简.
二、 曲面的参数方程：
定义 设D ?R 2为有序数对集，若对任意（u ，v ）∈D ，按照某对应规则，有唯一确
定的向量r 与之对应，称这种对应关系为D 上的一个二元向量函数，记作
r=r （u ，v ），（u ，v ）∈D
定义 设Σ为一曲面，r=r （u ，v ），（u ，v ）∈D 为一二元向量函数，在空间坐标系
下，若对任意（u ，v ）∈D ，径向 OP =r （u ，v ）的终点P 总在曲面Σ上，
而且对任意P ∈Σ，也必能找到（u ，v ）∈D ，使OP =r （u ，v ），则称
r=r （u ，v ）为Σ的向量式参数方程，记作Σ：r=r （u ，v ），（u ，v ）∈D. 若令 r （u ，v ）={x （u ，v ），y （u ，v ），z （u ，v ）}，则称
??
???===),(),(),(v u z z v u y y v u x x （u ，v ）∈D
为Σ的坐标式参数方程，记作Σ：??
???===),(),(),(v u z z v u y y v u x x （u ，v ）∈D
(图2.2)
例：建立球面的参数方程： (图2.3)
解：为简单起见，设坐标原点位于球心，球面半径为R ，如图
对任意M （x,y,z ）∈球面Σ；令P 为M 在x.y 面上投影，
并令
θ=∠（，k ），则
r=OM = PM OP +
=∣∣cos ?i+∣∣sin ? j+∣∣cos θ k
=∣OM ∣sin θ cos ? i+ ∣OM ∣sin θ sin ?j+∣OM ∣cos θ k =Rsin θ cos ? i+Rsin θ sin ?j +Rcos θ k
∴球面的参数方程为
??
???===θ?θ?θcos sin sin cos sin R z R y R x 0≤θ≤π 0≤?<2π
三、 球坐标系与极坐标系
定义 空间中建立了直角坐标系之后，对空间中任一点M （x,y,z ），设∣OM ∣=ρ 则M 在以O 为中心，以ρ为半径的球面上，从而存在φ，θ，使
??
???===θρ?θρ?θρcos sin sin cos sin z y x （*）
反之，对任意ρ（ρ≥0），φ（0≤θ≤π），θ（0≤?<2π），通过（*）
也能确定空间中一点M （x,y,z ），我们称有序三数组ρ，φ，θ为M 点
球坐标（空间极坐标），记作M （ρ，φ，θ）
注：1°空间中的点与其球坐标间并非一一对应.
2°已知M 点的球坐标，通过（*）可求其直角坐标，而若已知M 的直角
坐标，则通过 ???????????+=+=++=++=2
2222222
22sin ,cos cos y x y y x x z y x z z y x ??θρ （**） 便可求其球坐标.
定义 空间中建立了直角坐标系之后，对?M （x,y,z ），设其到z 轴的距离为ρ，则 M 落
在以z 轴为中心轴，以ρ为半径的圆柱面上，从而?θ，u ，使
??
???===u z y x θρθρsin cos （*）
反之，对?给的ρ（ρ≥0），θ（0≦θ<2π），u （∣u ∣<∞）,依据（*）式
也可确定空间中一点M （x,y,z ），称有序三数组ρ，θ，u 为M 点的柱坐标，记
作M （ρ，θ，u ）.
注：1°空间中的点与其柱坐标并非一一对应.
2°曲柱面坐标求直角坐标,利用(*)即可,而由直角坐标求柱坐标,则需按下式
进行. ???????=+=+=+=z u y x y y x x y x 22222
2sin ,cos θθρ
例：在直角坐标系下，圆柱面222R y x =+，双曲柱面122
22=-b
y a x ，平面1=+z y 和抛物柱面)0(22>=p px y 的图形如下：
(图2.4)
(图2.5)
(图2.6) (图2.7)
§4.5 常见曲面的参数方程 本节重点：掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点：旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中，我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示，例如球面与圆柱螺旋线，直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程，同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。 （一）旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴，母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标，所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ??? ????=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中2121Y X +是纬圆半径，即1P 到Z 轴的距离，而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对应的参数是1t ，则 )())(())((112 1212121t h Z t g t f Y X =+=+ 再让1t 在其取值范围内变动，即得这旋转曲面的参数方程 ??? ????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ???? ??<≤≤≤πθ20b t a （4.5.1） 特别地，当母线P 为坐标面XOZ 上的径线 )(0) (t h Z Y t f X === 时,（4.5.1）成为
8.3 实际问题与二元一次方程组（3）教学设计 【教学目标】 知识与技能： 会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组. 过程与方法： 进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型. 情感态度与价值观： 培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值. 【教学重难点】 教学重点：用列表的方式分析题目中的各个量的关系. 教学难点：借助列表分问题中所蕴含的数量关系. 教具准备：小黑板 教法：讲授 学法：合作交流 课时：第3课时 课型：新授课 授课时间： 【教学过程】 一、创设情境 一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表： 问（1）每辆甲种货车能装货多少吨？ 每辆乙种货车可装货多少吨？ （２）这批货物需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完，如果每
吨付20元运费，货主应付运费多少元？（学生独立思考，容易解答）回顾本题：收获所得 1、在这道题目中，有部分条件是以表格的形式给出的， 这就要求同学们 在审题时要真正读懂表中的信息，这样才能找到解题的方向。 2、本题中的单位运价是每吨 20元，有时单位运价还可以以下面的形式 出现。 二、探索分析，解决问题 （出示例题）如图，长青化工厂与 A ， B 两地有公路、铁路相连．这家工厂 从A 地购买一批每吨 1 000元的原料运回工厂，制成每吨 8 000元的产品运到B 地．公路运价为 1. 5元/（吨·千米），铁路运价为 1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？（图见教材 100页，图8.3-2） 设问1.如何设未知数？ 销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此设产品重 x 吨，原料重y 吨． 设问2.如何确定题中数量关系？列表分析 产品x 吨 原料y 吨 合计 公路运费（元）铁路运费（元）价值（元）由上表可列方程组97200 1201102 .11500010205.1y x y x 解这个方程组，得400 300y x 因为毛利润=销售款－原料费－运输费所以这批产品的销售款比原料费与运输的和多 1887800元.
第3课时实际问题与二元一次方程组（3） 【知识与技能】 图文信息问题、行程问题、方案设计问题、其他问题. 【过程与方法】 先独立作业，再交流成果. 【情感态度】 加强应用能力训练，提高数学兴趣. 【教学重点】 行程问题、方案设计问题. 【教学难点】 分析题目中的两个等量关系. 一、情境导入，初步认识 问题1如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A 地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 解：设产品重x吨，原料重y吨，根据题意填表
题目所求数值是______，为此需先解出_____与_____.由上表，列方程组_________________._________________.???解得__________. x y =??=?，因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多_____元. 问题2 某电脑公司现有A ，B ，C 三种型号的甲品牌电脑和 D ， E 两种型号的乙品牌电脑.希望中学要从甲、乙两种品牌电 脑中各选购一种型号的电脑.现知希望中学购买甲、乙两种品牌 电脑共36台（价格如图所示），恰好用了10万元人民币，其中， 甲品牌电脑为A 型号电脑，求购买的A 型号电脑有几台？ 解：选择A 型号的电脑后，另外一种只能从D 、E 当中选，所以可分情况讨论.本题中存在的两个等量关系是 ______,_______________________. A D E A +=??+=?型号电脑数量或型号电脑数量型号电脑价格 （1）当选用方案（A ，D ）时，设购买A 型号、D 型号电脑分别为x 台，y 台.根据题意， 得_________________._________________.??? 解得__________. x y =??=?，经检验，_______________. （2）当选用方案（A ，E ）时，设购买A 型号、E 型号电脑分别为x 台，y 台. 根据题意，得_________________._________________. ??? 解得__________.x y =??=? ，经检验，_______________. 答：希望中学购买了台A 型号电脑. 问题3 （吉林中考）如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度是28cm ，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为224cm ，设演员的身高为x cm ，高跷的长度为y cm ，求x,y 的值 .
常见的空间曲面与方程 常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面。 1. 平面 空间中平面的一般方程为 0a x b y c z d +++= 其中,,a b c 均为常数，且,,a b c 不全为零。 例如，1x y z ++=（图8-6（a ）），0x =（图8-6（b ））均表示空间中的平面， z yoz 平面（x =0） y y x 图8-6（a ） 图8-6 (b) 图8-6 2. 柱面 与给定直线L 平行的动直线l 沿着某给定的曲线C 移动所得到空间曲面，称为柱面， l 为母线，C 为准线。 如图8-7所示 图8-7 图8-8
例如，222x y R +=表示空间中母线平行于z 轴，准线是xoy 平面上的圆222x y R +=的 圆柱面的方程，简称圆柱面图（8-8）。 3. 二次曲面 三元二次方程 222 1231 2 31230a x a y a z b x y b y z b z x c x c y c z d +++ ++++++= 所表示的曲面称为二次曲面，其中,,(1,2,3),i i i a b c i d =均为常数，且,,i i i a b c 不全为0. 二次曲面有以下几种标准形式，它们分别为： 球面： 图8-9 椭球面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c ++=>图8-10 图8-9 图8-10 单叶双曲面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c -+=>图8-11 双叶双曲面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c +-=->图8-12 2222(0)x y z R R + += >x z
曲面的切平面与法线方程 欧阳学文 设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且 ，过点任意引一条位于曲面 Σ上的曲线Γ。设其方程为，且对应于点； 不全为零。由于曲线Γ在Σ上，则有 及。该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量 称为曲面Σ在点处的一个法向量。记为 。 基本方法：
1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点 处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为 . 法线方程为 . 2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为 . 过X0的法线方程为 . 注：方法2实际上是方法1中取的情形.
3、若曲面∑由参数方程 x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v) 给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为 和 三、答疑解惑 问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？ 注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线. Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0); Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v).
9．2二元一次方程组的解法（第三课时） 学习目标： 1、理解“消元”思想，掌握用加减消元法解二元一次方程组的基本思路． 2、会用加减法解二元一次方程组． 学习重点、难点： 根据二元一次方程组的具体情况选准要消的未知量和加（或减）法． 预习导航：（预习课本P 67 —P 70 回答下列问题） 1．什么叫做加减消元法？ 2． 用加减消元法解二元一次方程组的条件是什么？ 学习过程 一、问题引入 分析方程组 [深入思考]怎么解这个方程组呢？ 1．这个方程组中两个未知数的系数有什么特点？ 2．根据你发现的特点，试着解这个方程组并与同学交流。 （温馨提示：如果你没有找到解题思路，可以借鉴小亮、小红的想法．） 二、合作交流 将解方程组的过程整理一下： 解： 小组合作，解方程组： 5x +3y =16 2x -3y = _2 ① ② 3x +2y =7 3x +y =5 ① ②
归纳结论：当两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数时，可以通 过将两个 方程 或 来达到“消元”的目的． 三、深入探究 解方程组 （温馨提示：在这个方程组中，未知数x 或y 的系数的绝对值不相等，可以通过对方程进行适当的变形来达到相加或相减消元的目的．） 谈一谈： 1．解这个方程组的过程中，每一步的目的是什么？ 2．这个方程组还有其它的解法吗？如果有，哪一种更简单？ 四、探究模仿 用上述方法解方程组： 通过将方程组中两个方程相加（或相减）消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做 ，简称 ． 五、当堂检测 1．下列方程组中，消去哪个未知数比较合理？方程两边同乘以什么数？怎样消？ （1） 2x －3y ＝8 （2）2x ＝3－3y (3) 3x ＋5y ＝25 7x －5y ＝－5 3x ＝4－5y 4x ＋3y ＝15 5x +6y =7 2x +3y =4 ① ② 4x +3y =17 2x +4y =16 ① ②
第三章 常 见 曲 面 §3.1 球面和旋转面 1.1球面的普通方程 球面方程的建立 首先建立球心在点()0000,,z y x M ，半径为0R ≥的球面方程。根据以下充分必要条件 (,,)M x y z 在球面上0M M R ?=， 得 ()()()2 2 2 2 000x x y y z z R -+-+-=， （3.1） 展开得 2221232220,x y z b x b y b z c ++++++= （3.2） 其中， 2222102030,000,,b x b y b z c x y z R =-=-=-=++-。 (3.1)或(3.2)就是所求球面方程，它是一个三元二次方程，没有交叉项(yz xz xy ,,项),平方项的系数相同。反之，任一形如（3.2）的方程经过配方后可写成： ()()(),0232221232221=---++++++b b b c b z b y b x 当c b b b >++2 32 22 1时，它表示一个球心在()321,,b b b ---，半径为c b b b -++2 32 22 1的 球面；当c b b b =++2 32221时，它表示一个点() 32,1,b b b ---；当c b b b <++2 32221时，它没有轨迹(或者说它表示一个虚球面）。 1.2球面的参数方程，点的球面坐标 如果球心在原点，半径为R ，在球面上任取一点()z y x M ,,,从M 作xOy 面的垂线，垂
足为N N ，连,O M O N 。设x 轴到ON 的角度为?，ON 到OM 的角度为θ(M 在xOy 面上方时，θ为正，反之为负)，则有 cos cos ,cos sin ,02,.2 2 sin ,x R y R z R θ?π π θ??πθθ=?? =≤<- ≤≤ ??=? （3.3） (3.3)称为球心在原点，半径为R 的球面的参数方程，有两个参数θ?,，其中?称为经度，θ称为纬度。 球面上的每一个点(除去它与z 轴的交点)对应唯一的对实数()?θ,，因此()?θ,称为球面上点的曲纹坐标。 因为空间中任一点()z y x M ,,必在以原点为球心，以R OM =为半径的球面上，而球面上点（除去它与z 轴的交点外）又由它的曲纹坐标()?θ,唯一确定，因此，除去z 轴外，空间中的点M 由有序三元实数组()?θ,,R 唯一确定。我们把()?θ,,R 称为空间中点M 的球面坐标（或空间极坐标），其中0R ≥，,022 2 π π θ?π-≤≤ ≤≤。 点M 的球面坐标()?θ,,R 与M 的直角坐标()z y x ,,的关系为 cos cos , 0,cos sin , - ,22 sin , 02x R R y R z R θ?π π θ?θθ?π =≥??? =≤≤ ??=≤≤?? （3.4） 1.3曲面和曲线的普通方程、参数方程 从球面的方程（3.2）和球面的参数方程（3.3）看到，一般来说，曲面的普通方程是一个三元方程()z y x F ,,=0，曲面的参数方程是含有两个参数的方程： (,),(,), ,,(,),x x u v y y u v a u b c v d z z u v =?? =≤≤≤≤??=? （3.5） 其中，对于()v u ,的每一对值，由（3.5）确定的点()z y x ,,在此曲面上；而此曲面上任一点的坐标都可由()v u ,的某一对值（3.5）表示。于是通过曲面的参数方程（3.5），曲面上的
第三课时 加减法解二元一次方程组 学前温故 1．适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解． 2．使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解． 新课早知 1．把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法叫做加减消元法，简称加减法． 2．二元一次方程组????? x ＋y ＝2，x －y ＝0 的解是( )． A ．? ???? x ＝0，y ＝2 B ．????? x ＝2，y ＝0 C ．????? x ＝1，y ＝1 D ．????? x ＝－1，y ＝－1 答案：C 3．用加减法解方程组? ???? 3x －5y ＝21，①12 x ＋y ＝－2 ②时，要消去x ，需( )． A ．①－②×3 B ．①－②×6 C ．①＋②×5 D ．①－②×5 答案：B 4．用加减法解方程组????? 3x －2y ＝10，4x －2y ＝15时，应将两个方程__________，消去未知数__________． 答案：相减 y 5．解方程组????? 3m ＋2n ＝16，3m －n ＝1. ①② 解：①－②，得3n ＝15，n ＝5. 把n ＝5代入②，得m ＝2. 所以???? ? m ＝2，n ＝5.
用加减消元法解二元一次方程组 【例题】 解方程组????? x 2－y ＋13＝1，3x ＋2y ＝10. ①② 解：①×6，得3x －2y －2＝6，即3x －2y ＝8.③ ②＋③，得6x ＝18，所以x ＝3. ②－③，得4y ＝2，所以y ＝12.所以????? x ＝3，y ＝12. 点拨：对于非整系数的方程组，应将其化简整理为整系数的方程组，再视其系数特点选择适当解法．若两方程中同一个未知数的系数相同或相反或成整数倍比例，适宜用加减法． 1．方程组? ???? x ＋y ＝1，2x －y ＝5的解是( )． A ．? ???? x ＝－1，y ＝2 B ．????? x ＝－2，y ＝3 C ．????? x ＝2，y ＝1 D ．????? x ＝2，y ＝－1 答案：D 2．若????? x ＝2，y ＝1是关于x ，y 的方程组????? mx －ny ＝1，nx ＋my ＝8的解，则m 和n 的值分别是( )． A ．m ＝2，n ＝1 B ．m ＝2，n ＝3 C ．m ＝1，n ＝8 D ．m ＝8，n ＝1 解析：把 x ＝2，,y ＝1代入方程组，得????? 2m －n ＝1，2n ＋m ＝8.解得????? m ＝2，n ＝3. 答案：B 3．方程组????? x －2y ＝－5，x ＋2y ＝11 的解是________． 答案：????? x ＝3，y ＝4
§ 常见曲面的参数方程 本节重点：掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点：旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中，我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示，例如球面与圆柱螺旋线，直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程，同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。 （一）旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴，母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标，所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ??? ????=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中2121Y X +是纬圆半径，即1P 到Z 轴的距离，而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对应的参数是1t ，则 )())(())((112 1212121t h Z t g t f Y X =+=+ 再让1t 在其取值范围内变动，即得这旋转曲面的参数方程 ??? ????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ???? ??<≤≤≤πθ20b t a （4.5.1） 特别地，当母线P 为坐标面XOZ 上的径线
§4.5 常见曲面的参数方程 本节重点：掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点：旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中，我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示，例如球面与圆柱螺旋线，直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程，同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。 （一）旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴，母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标，所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ??? ????=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中2121Y X +是纬圆半径，即1P 到Z 轴的距离，而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对应的参数是1t ，则 )())(())((1121212121t h Z t g t f Y X =+=+ 再让1t 在其取值范围内变动，即得这旋转曲面的参数方程 ???????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ??? ? ??<≤≤≤πθ20b t a （4.5.1） 特别地，当母线P 为坐标面XOZ 上的径线 )(0) (t h Z Y t f X === 时,（4.5.1）成为
§４、5 常见曲面得参数方程 本节重点:掌握空间中得三种坐标系:直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面得参数方程得建立。 掌握直纹面得参数方程、 本节难点:旋转曲面得参数方程。直纹面得参数方程。 在第二章中,我们已经引进一般曲面与曲线得参数方程得概念、并给出简单曲面与曲线得参数表示,例如球面与圆柱螺旋线,直线得参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面得参数方程,同时给出空间中另外两种坐标系:球坐标系与柱坐标系。 (一)旋转曲面得参数方程,球坐标与柱坐标 设旋转曲面得轴为轴,母线得参数方程就是 则此旋转曲面可由上每一点生成得纬圆所构成得、由于这纬圆上动点与它在坐标面上得投影具有相同得坐标,所以上任一点生成得纬圆得参数方程就是 其中就是纬圆半径,即到轴得距离,而参数就是轴到得转角、设对应得参数就是,则 再让在其取值范围内变动,即得这旋转曲面得参数方程 (4、5.1) 特别地,当母线为坐标面上得径线 时,(4。５、１)成为 (4.5.２) 例１、如图,以原点为中心,为半径得球面可瞧作就是由坐标面上得半圆, ()绕轴旋转所生成得,由(4.5。２)得其参数方程为 (4、5。3) 它与§2。１中得球面参数方程得形式就是相同得。 (４、５、3)中得参数分别叫做经度与纬度,序对叫做地理坐标、显然,除两极外,球面上得点与序对一一对应。这种利用曲面参数方程中得两个参数来表示曲面上得点得坐标叫做曲纹坐标,它对于曲面理论得进一步研究有着重要得作用。 利用球面得这种曲纹坐标还可以引入空间得另一种坐标系。设为空间任意一点,它到原点得距离为,过作以原点为中心,以为半径得球面,则在这球面上具有地理坐标,可令点Ｐ对应有序数组;反之,由非负实数可确定所在得球面,再由在这球面上确定点。空间中点得这种坐标叫做球坐标。显然,轴上点得球坐标可取任意值、 把(４.5。3)中得常数换为变数,就成为球坐标与直角坐标得变换式,即 (4、5。４) 反之,有 (4。5.５) 当时,＝0,于就是,对坐标面上得点,只需序对即可确定、这里不就是别得,正就是大家熟知得极坐标。这时原点就是极点,轴就是极轴,因此,球坐标可以瞧作就是平面极坐标在空间中得一种推广。 例2、如图4-17,以轴为对称轴,半径为得圆柱面可瞧作就是由坐标面上得直线: ,
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二元一次方程组的应用（第3课时） 教学内容分析：本节课一方面在列方程（组）的建模过程中，强化了方程的模型思想，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和能力，另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决中，进一步提高学生解方程组的能力.本节课也是上册一元一次方程的应用的延续和发展，进一步培养学生初步的抽象、想象、逻辑思维能力；同时，利用列表、画线段图等手段能帮助学生提高分析问题和解决问题的能力，而这些能力的形成，无疑是拿到了解决实际问题的“金钥匙”. 教学目标： 1、了解列二元一次方程组与列一元一次方程组的异同. 2、经历和体验方程组解决实际问题的过程，了解应用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤. 3、学会用二元一次方程组解决实际问题. 4、会用列表、画线段图等手段帮助分析理解实际问题. 教学重点：让学生经历和体验二元一次方程组解决实际问题的过程，会用列方程组解决实际问题. 教学难点：在实际问题中找等量关系、列方程组. 教学准备：多媒体显示游泳池中的数学问题的情境、例题及步骤的归纳等. 教学过程： 一、创设情景，合作学习，引入课题 合作学习：游泳池中的数学问题. 1、出示情景（多媒体显示实际情景）. 2、复习解决问题的常用手段，用算术方法求解与列一元一次方程来求解.讨论得出用以上两种方法解这个问题，很难求解. 3、合作学习、解决问题（展示学生的解题过程）. 4、讨论：（1）本题用什么知识来解决问题？（引出课题） （2）列二元一次方程解决问题与列一元一次方程解决问题，有什么异同，有什么优点？ 归纳：列二元一次方程解决问题，能使问题变得简单，比较容易找出等量关系， 但必须设两个未知数，找出两条等量关系，列两条不同的方程. 二、分析问题 解决问题 归纳步骤 （一）典型例题，例1的教学 1、能不能用刚才合作学习中得来的知识解决实际问题？（出示例1） 2、让学生分析题中的已知与未知，并问：如何找等量关系. 3、给学生提供表格（书中的分析）帮助学生分析数量关系，让学生自觉地得出两条等量关系：盖式纸盒中正方形的张数＋横式纸盒中正方形的张数＝1000张，竖式纸盒中长方形的张数＋横式纸盒中长方形的张数＝2000张.
10.5用二元一次方程组解决问题 第3课时 一、教学目标： 知识与技能： 1．能通过画示意图的方法分析较复杂的实际问题的数量关系，列出二元一次方程组解决问题。 2．加强学生列方程组的技能训练，形成解决实际问题的一般性策略。 过程与方法： 进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，在列方程组的建模过程中，强化方程的模型思想，培养学生列方程组解决现实问题的意识和能力。 情感、态度与价值观： 使学生在数学活动中感受探索的乐趣，获得成功的喜悦，并培养学生良好的学习习惯和严谨、负责的科学态度，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。 二、教学重点和难点： 重点：能通过画示意图的方法分析较复杂的实际问题的数量关系，列出二元一次方程组解决问题。 难点：将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。 三、教学过程 师生活动个人主页（一）创设情境导入新课 学生在手工实践课中，遇到这样一个问题：要用20张白卡纸制作包装 盒，每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒盖3个，如果1个盒身和2个 盒盖可以做成一个包装纸盒，那么能否将这些白卡纸分成两部分，一部分 做盒身，一部分做盒盖，使做成的盒身和盒盖正好配套？请你设计一种方 法。 （二）合作交流解读探究 用方程组解决问题 1．出示课本问题5 用正方形和长方形两种硬纸片制作甲、乙两种无盖的长方形纸盒（如 图所示），如果长方形的宽与正方形的边长相等，150张正方形和300张长
方形硬纸片可以制作甲、乙两种纸盒各多少个？ [想一想]从图中可获得哪些信息？ 每个甲种纸盒要正方形、长方形硬纸片各几张？ 每个乙种纸盒要正方形、长方形硬纸片各几张？ 每个甲种纸盒用正方形纸片1张，长方形纸片4张；每个乙种纸盒用正方形纸片2张，长方形纸片3张。 [议一议]可列表分析吗？ 2．出示课本问题6 某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1 min，整列火车完全在桥上的时间共40s，求火车的速度和长度。 [探索]（1）可画怎样的示意图，怎样通过示意图分析问题中的相等关系？ （2）从图中可发现两个相等关系是什么？ （三）应用迁移巩固提高 类型之一应用方程组解决实际问题 例1 用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽。 类型之二行程问题 例2 A、B两地之间的路程为20千米，甲从A地，乙从B地同时出发，相向而行，2小时后在C点相遇，相遇后甲原速返回A地，乙仍向A地前进，甲回到A地时，乙离A地还有2千米，求甲、乙两人的时速。 类型之三市场营销问题 例3 商场购进甲乙两种服装后，都加价40%标价出售。“春节”时期商
8.3 实际问题与二元一次方程组（3） 【教学目标】 知识与技能： 会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组. 过程与方法： 进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型. 情感态度与价值观： 培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值. 【教学重难点】 教学重点：用列表的方式分析题目中的各个量的关系. 教学难点：借助列表分问题中所蕴含的数量关系. 教具准备：小黑板 教法：讲授 学法：合作交流 课时：第3课时 课型：新授课 授课时间： 【教学过程】 一、创设情境 最近几年，全国各地普遍出现了夏季用电紧张的局面，为疏导电价矛盾，促进居民节约用电、合理用电，各地出台了峰谷电价试点方案． 电力行业中峰谷的含义是用山峰和山谷来形象地比喻用电负荷特性的变化幅度一般白天的用电比较集中、用电功率比较大，而夜里人们休息时用电比较小，所以通常白天的用电称为是高峰用电，即8:00～22:00，深夜的用电是低谷用电即22:00～次日8:00.若某地的高峰电价为每千瓦时0.56元；低谷电价为每千瓦时28元．八月份小彬家的总用电量为125千瓦时，总电费为49元，你知道他家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗？（学生独立思考，容易解答） 二、探索分析，解决问题
（出示例题）如图，长青化工厂与A ，B 两地有公路、铁路相连．这家工厂从A 地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B 地．公路运价为1. 5元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？（图见教材100页，图8.3-2） 设问1.如何设未知数？ 销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此设产品重x 吨，原料重y 吨． 设问2.如何确定题中数量关系？列表分析 由上表可列方程组 ()()? ? ?=+?=+?972001201102.115000 10205.1y x y x 解这个方程组，得 ? ? ?==400300y x 因为毛利润=销售款－原料费－运输费 所以这批产品的销售款比原料费与运输的和多1887800元. 引导学生讨论以上列方程组解决实际问题的思路. 学生讨论、分析：合理设定未知数，找出相等关系. 三、课堂练习 某瓜果基地生产一种特色水果，若在市场上每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润增为4500元；经精加工后销售，每吨利润可达7500元。一食品公司购到这种水果140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨，但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件限制，公司必须将这批水果全部销售或加工完毕，为此公司研制二种可行的方
第二章 曲面论 第二节 曲面的参数方程 一、 曲面的参数方程 设曲面∑是由显式 D y x y x f z ∈=),(),,( 所表示。 设),,(z y x 是曲面∑上的点，记向量),,(z y x r = ，则它们可构成一一对应。 于是曲面∑上的点可以用向量值函数 D y x y x f y x r ∈=),()),,(,,( 来表示， 也可以写为参数形式 ?????===),(, ,y x f z y y x x D y x ∈),(。
一般地，设3),(R v u r r ∈= ，其中参 数?∈),(v u ，这里?是2R 中的一 个区域。 我们称由3),(R v u r r ∈= ， ?∈),(v u ，所构成的3R 中点集∑为一张参数曲面，（即曲面∑，可以表示为参数方程表示的点集。） 记为?∈=∑),(),,(:v u v u r r ，（1） 把（1）用分量表示出来，就是 ?? ???===),(),(),,(v u z z v u y y v u x x ，?∈),(v u （2） 通常，我们称（1）是曲面∑的向量方程，而（2）是曲面∑的参数方程。 显然方程（1）和（2）之间的转换是直截了当的，所以我们可以认为（1）与（2）是一回事。
二、 几个用参数方程表示的常见 曲面 例1 平面的参数方程， 设30000),,(R z y x p ∈= 是一个固定的点， ),,(321a a a a = 与),,(321b b b b = 是自0p 出发的两个不平行的向量。这时，由a 与b 张成的平面可以用向量方程， 20),(,R v u b v a u p r ∈++= 来表示； 写成分量表示为 v b u a x x 110++=， v b u a y y 220++=， v b u a z z 330++=，
旋转曲面的参数方程 ---------利用正交变换作旋转 众所周知，yOz 坐标面上的曲线(,)0F y z =绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为 ()0F z = （1） （见同济大学《高等数学》（5版上册），313页）。 如果以上曲线的方程能写成显函数()y f z =（a z b ≤≤），则该旋转曲面的方程为 ()f z =或 222[()]x y f z += （2） 这个方程的几何意义是：对曲线上的每一点(0,,)P y z ，这个方程给出圆心在(0,0,)z ，半径为()f z 的一个垂直于z 轴的圆。当z 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。 如果曲线的方程是显函数()y f z =（a z b ≤≤），我们也可以用参数方程来表示这个旋转面： ()c o s ()s i n x f z y f z z z θθ?=?=??=? （02θπ≤≤，a z b ≤≤） （3） 这个方程的几何意义是：对每一个[,]z a b ∈，参数方程给出一个半径为()f z 的垂直于z 轴的圆。当z 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。 如果曲线的方程能写成参数方程() ()y f t z g t =??=?（a t b ≤≤），则旋转曲面的参数方程为： ()cos ()sin ()x f t y f t z g t θ θ?=? =??=? （02θπ≤≤，a t b ≤≤） （4） 这个方程的几何意义是：对每一个[,]t a b ∈，参数方程给出一个半径为()f t 的垂直于z 轴的圆。当t 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。 推而广之，如果该曲线是空间曲线，其参数方程为() ()()x h t y f t z g t =??=??=? （a t b ≤≤），则此曲线绕z 轴旋转而成的旋转曲面的参数方程为：
8.2 消元—解二元一次方程组第3课时 一、学习内容：教材课题P99-100 加减消元 二、学习目标： 1、掌握用加减法解二元一次方程组； 2、理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法； 3、体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立信心． 三、自学探究： 1、复习旧知 解方程组 10 2 x y x y += ? ? + = ? 有没有其它方法来解呢？ 2、思考：这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？?利用这种关系你能发现新的消元方法吗？ 两个方程中未知数y的系数相同，②－①可消去未知数y，得- =16-10 即x=6,把x=6代入①得y=4。 另外，由①－②也能消去未知数y，得- =10-16 即-x=-6,x=6,把x=6代入①得y=4. 3、探究想一想：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组 310 2.8 15108 x y x y += ? ? -=? 这两个方程中未知数y的系数，?因此由①＋②可消去未知数y，从而求出未知数x的值。 4、归纳：加减消元法的概念 从上面两个方程组的解法可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相加或者相减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 5、拓展应用： 用加减法解方程组 3416 5633 x y x y += ? ? -= ? 1 / 2
分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。 ①×3,得9x+12y=48 ③ ②×2,得10x-12y=66 ④ 这时候y的系数互为相反数，③＋④就可以消去y， 思考：用加减法消去x应如何解？解得结果与上面一样吗？ 四、自我检测： 教材p96 练习第1题1）、2）、3）、4） 五、学习小结： 用加减法解二元一次方程组的基本思想是什么？ 这种方法的适用条件是什么？步骤又是怎样的？ 2 / 2
8.2 消元—解二元一次方程组（3） 【教学目标】 知识与技能： 掌握用加减法解二元一次方程组. 过程与方法： 使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法. 情感态度与价值观： 体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心. 【教学重难点】 教学重点：学会用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组. 教学难点：用“加减法“解二元一次方程组. 教具准备：小黑板 教法：引导-讲授 学法：探究 课时：第3课时 课型：新授课 授课时间： 【教学过程】 一、创设情境 王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨共花了14元，李老师以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨共花了12元，梨每千克的售价是多少？比一比看谁求得快． 最简便的方法：抵消掉相同部分，王老师比李老师多买了1千克的梨，多花了2元，故梨每千克的售价为2元． 二、探究新知 1.解方程组 ???=--=+7 52132y x y x （由学生自主探究，并给出不同的解法） 解法一：由①得：x= 231y --y 代人方程②，消去x.
解法二：把2x 看作一个整体，由①得2z=－1－3y,代入方程②，消去2x. 肯定两解法正确，并由学生比较两种方法的优劣．解法二整体代入更简便，准确率更高． 有没有更简洁的解法呢？教师可做以下启发： 问题1.观察上述方程组，未知数z 的系数有什么点？（相等） 问题2.除了代入消元，你还有别的办法消去x 吗？ （两个方程的两边分别对应相减，就可消去x ，得到一个一元一次方程． 解法三：①－②得：8y=－8,所以y=－1 Y=－1代人①或②，得到x=1 所以原方程组的解为???-==1 1y x 2.变式一 ? ??=--=+-752132y x y x 问题1.观察上述方程组，未知数x 的系数有什么特点？（互为相反数） 问题2.除了代人消元，你还有别的办法消去x 吗？（两个方程的两边分别对应相加，就可消去x ，得到一个一元一次方程．） 从上面的解答过程来看，对某些二元一次方程组可通过两个方程两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解．这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 想一想：能用加减消元法解二元一次方程组的前提是什么？ 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等. 3.变式二：? ??=-=+752134y x y x 观察：本例可以用加减消元法来做吗？启发学生仔细观察方程组的结构特点，发现x 的系数成整数倍数关系． 因此：②×2，得4x －10y=14③ 由①－③即可消去x ，从而使问题得解．（追问：③－①可以吗？怎样更好？） 4.变式三：?? ?=--=+-753132y x y x
.常见曲面的参数方程
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§4.5 常见曲面的参数方程 本节重点：掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点：旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中，我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示，例如球面与圆柱螺旋线，直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程，同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。 （一）旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴，母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标，所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ??? ????=+=+=12 12121 21sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中 2121Y X +是纬圆半径，即1P 到Z 轴的距离，而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对 应的参数是1t ，则 )())(())((112 1212121t h Z t g t f Y X =+=+ 再让1t 在其取值范围内变动，即得这旋转曲面的参数方程 ??? ????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2 222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ??? ? ??<≤≤≤πθ20b t a （4.5.1） 特别地，当母线P 为坐标面XOZ 上的径线 )(0) (t h Z Y t f X === 时,（4.5.1）成为